موتر القصور الذاتي للمثلث

إن موتر القصور الذاتي $\mathbf {J}$ لأي مثلث (مثل موتر القصور الذاتي لأي جسم) يمكن التعبير عنه من حيث تغاير $\mathbf {C}$ الجسم:

$\mathbf {J} =\mathrm {tr} (\mathbf {C} )\mathbf {I} -\mathbf {C}$

في حين يُعرّف التغاير بأنه هو المنطقة التكاملية التي تعلو المثلث:

$\mathbf {C} \triangleq \int _{\Delta }\rho \mathbf {x} \mathbf {x} ^{\mathrm {T} }\,dA$

إن تغاير أي مثلث في حيز ثلاثي الأبعاد، بافتراض أن الكتلة موزعة بالتساوي على السطح مع كثافة الوحدة، هو

$\mathbf {C} =a\mathbf {V} ^{\mathrm {T} }\mathbf {S} \mathbf {V}$

حيث

• $\mathbf {V}$ تمثل مصفوفة 3 × 3 تحتوي على إحداثيات قمة المثلث $(\mathbf {v} _{0},\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2})$ في الصفوف،
• $a=|(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{0})\times (\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{0})|$ هي ضعف مساحة المثلث،
• $\mathbf {S} ={\frac {1}{24}}{\begin{bmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\\\end{bmatrix}}$

وفي النهاية، يعطي استبدال تغاير المثلث في تعريف موتر القصور الذاتي النتيجة

$\mathbf {J} ={\frac {a}{24}}(\mathbf {v} _{0}^{2}+\mathbf {v} _{1}^{2}+\mathbf {v} _{2}^{2}+(\mathbf {v} _{0}+\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2})^{2})\mathbf {I} -a\mathbf {V} ^{\mathrm {T} }\mathbf {S} \mathbf {V}$

البرهان على الصيغة

يتبع البرهان الوارد هنا الخطوات الواردة في المقال.

التغاير في المثلث القياسي

دعونا نحسب التغاير في المثلث قائم الزاوية مع قمم الرأس (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0).

باتباع تعريف التغاير الذي حصلنا عليه

$\mathbf {C} _{xx}^{0}=\int _{\Delta }x^{2}\,dA=\int _{x=0}^{1}x^{2}\int _{y=0}^{1-x}\,dy\,dx=\int _{0}^{1}x^{2}(1-x)\,dx={\frac {1}{12}}$

$\mathbf {C} _{xy}^{0}=\int _{\Delta }xy\,dA=\int _{x=0}^{1}x\int _{y=0}^{1-x}y\,dy\,dx=\int _{0}^{1}x{\frac {(1-x)^{2}}{2}}\,dx={\frac {1}{24}}$

$\mathbf {C} _{yy}^{0}=\mathbf {C} _{xx}^{0}$

حيث تكون باقي عناصر $C$ صفرًا لأن المثلث هو في $z=0$

ونتيجة لذلك

$\mathbf {C} ^{0}={\frac {1}{24}}{\begin{bmatrix}2&1&0\\1&2&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{48}}{\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&-1&0\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }+{\frac {1}{16}}{\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1&0\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }$

تغاير المثلث الذي تكون قمته في المصدر

مع مراعاة المشغل الخطي

$\mathbf {x} '=\mathbf {A} \mathbf {x} ^{0}$

الذي يرسم المثلث القياسي في المثلث $\mathbf {v} '_{0}=\mathbf {0}$, $\mathbf {v} '_{1}=\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{0}$, $\mathbf {v} '_{2}=\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{0}$. يحتوي أول عمودين من $\mathbf {A}$ على $\mathbf {v} '_{1}$ و $\mathbf {v} '_{2}$ على التوالي، بينما يكون العمود الثالث عشوائيًا. ويتساوى مثلث الهدف مع المثلث في المسألة (وعلى وجه الخصوص تكون مساحتهما متساوية) ولكن يتناوبان على قمة الرأس الصفرية في المصدر.

$\mathbf {C} '=\int _{\Delta '}\mathbf {x} '\mathbf {x} '^{\mathrm {T} }\,dA'=\int _{\Delta ^{0}}\mathbf {A} \mathbf {x} ^{0}\mathbf {x} ^{0\mathrm {T} }\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }a\,dA^{0}=a\mathbf {A} \mathbf {C} ^{0}\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }$

$\mathbf {C} '={\frac {a}{48}}(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})^{\mathrm {T} }+{\frac {a}{16}}(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}-2\mathbf {v} _{0})(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}-2\mathbf {v} _{0})^{\mathrm {T} }$

التغاير في المثلث في المسألة

يتبقى آخر شيء ينبغي القيام به وهو فهم كيف يتبدل التغاير مع ترجمة جميع النقاط على الكمية الموجهة $\mathbf {v} _{0}$.

$\mathbf {C} =\int _{\Delta }(\mathbf {x'} +\mathbf {v} _{0})(\mathbf {x'} +\mathbf {v} _{0})^{\mathrm {T} }\,dA=\mathbf {C} '+{\frac {a}{2}}(\mathbf {v} _{0}\mathbf {v} _{0}^{\mathrm {T} }+\mathbf {v} _{0}{\overline {\mathbf {x} }}'^{\mathrm {T} }+{\overline {\mathbf {x} }}'\mathbf {v} _{0}^{\mathrm {T} })$

حيث

${\overline {\mathbf {x} }}'=\int _{\Delta '}\mathbf {x} '\,dA'={\frac {1}{3}}(\mathbf {v} '_{1}+\mathbf {v} '_{2})={\frac {1}{3}}(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}-2\mathbf {v} _{0})$

هي المركز الوسطي للمثلث المتقطع

فمن السهل الآن التحقق من أن جميع المعاملات في $\mathbf {C}$ قبل $\mathbf {v} _{i}\mathbf {v} _{i}^{\mathrm {T} }$ هي ${\frac {a}{12}}$ وبعد $\mathbf {v} _{i}\mathbf {v} _{j}^{\mathrm {T} }\;(i\neq j)$ هي ${\frac {a}{24}}$. ويمكن التعبير عن ذلك في شكل مصفوفة مع $\mathbf {S}$ على النحو الوارد أعلاه.