نظرية الأعداد

حلزونية ستانيسلو أولام

نظرية الأعداد هي فرع من الرياضيات يهتم بخصائص الأعداد بشكل عام، و بالأعداد الصحيحة بشكل خاص. وتتضمن عدة مسائل مفتوحة سهلة الفهم، حتى بالنسبة لغير المختصين. بصفة عامة، المجال الذي تدرسه هذه النظرية يهتم بفئة كبيرة من المسائل التي تأتي من دراسة الأعداد الطبيعية.

من الممكن تقسيم نظرية الأعداد إلى عدة مجالات حسب الطريقة المستعملة ونوع المسألة. فهي تهتم بدراسة خواص وعلاقات الأعداد الصحيحة وتوسيعاتها الجبرية والتحليلية.

عند الإطلاق، نظرية الأعداد تدرس قابلية القسمة والأوليّة والتحليل إلى جداء عوامل أولية. كما تدرس خواص التجزئة وما قارب ذلك. ويوجد فروع أخرى نذكر منها نظرية الأعداد الجبرية التي تعتني باستعمال الطرق الجبرية لدراسة الأعداد الصماء والأعداد المتسامية ونظرية التحليل في التوسيعات الجبرية وغير هذا، ونظرية الأعداد التحليلية وهي تستغل طرق التحليل العقدي (الأعداد العقدية) حين دراسة بعض خواص الأعداد الأولية مثلا، انظر دالّة زيتا.

انظر مثلا قائمة بمجالات نظرية الأعداد.

المفهوم «حسابيات» مستعمل كمرجع لمبرهنة الأعداد وهو مفهوم قديم جدا.

التصنيف

نظرية الأعداد الأساسية

في هذا المجال، تدرس الأعداد دون اللجوء لتقنيات آتية من فروع أخرى للرياضيات. مسألة قابلية القسمة وخوارزمية إقليدس تمكن من حساب القاسم المشترك الأكبر و تفكيك الأعداد إلى أعداد أولية والبحث عن الأعداد المثالية والتقريب تنتمي لهذا المجال.

النتائج هي مبرهنة فيرما الصغرى ومبرهنة أويلر, ثم مبرهنة الباقي الصيني وقانون الانعكاس الرباعي. خاصيات الدوال الجذائية مثل دالة موبيوس ودالة أويلر تمت دراستها ; وأيضا المتتاليات مثل عاملي وأعداد فيبوشى.

مسائل عديدة في نظرية الأعداد يمكن أن يعبر عنها من داخل نظرية الأعداد الأساسية، ولكنها في حقيقة الأمر معقدة وتحتاج إلى دراسات عميقة ومقاربات جديدة، تقع خارج نطاق نظرية الأعداد الأساسية. فيما يلي بعض من الأمثلة :

• حدسية غولدباخ المتمثلة في كتابة الأعداد الزوجية على شكل مجموع عددين أوليين,
• مبرهنة ميخائيليتشو والمعروفة سابقا بحدسية كاتالان والخاصة بأس أعداد طبيعية متتالية,
• حدسية التوأمين الأولية التي تنص على أن مجموعة الأعداد الأولية التوأم غير منتهية,
• حدسية كولاتز أو مايعرف بحدسية $3n + 1$.
• مبرهنة فيرما الأخيرة (وضعت عام 1637 ولم تحل حتى عام 1994) والمتمثلة في استحالة إيجاد ثلاثة أعداد طبيعية تختلف عن الصفر x و y و z حيث $x^n+y^n=z^n$ بانسبة لعدد طبيعي ما n أكبر قطعا من 2.

تمت البرهنة على أن نظرية المعادلات الديوفانتية غير محددة (انظر المسألة العاشرة ضمن مسائل هيلبرت).

نظرية الأعداد التحليلية

مقال تفصيلي :نظرية الأعداد التحليلية

تستعمل أدوات الحساب والتحليل العقدي لدراسة مسائل حول الأعداد الطبيعية. مبرهنة الأعداد الأولية وفرضية ريمان هي بعض الأمثلة. مسألة ويرينغ (المتمثلة في تمثيل عد طبيعي ما على شكل مربعات أو مكعبات أو ما شابه ذلك) وحدسية التوأمين الأولية(إيجاد أزواج من الأعداد الأولية يكون الفرق بينهما مساويا ل 2) وحدسية غولدباخ (كتابة الأعداد الزوجية على شكل مجموع عددين أوليين) كلها مسائل تتعرض للدراسة بطرق تحليلية.

البراهين على أن العديد من الثابتات في الرياضيات أعداد متسامية أمثل π وe تدخل أيضا في مجال نظرية الأعداد التحليلية.

تم معالجتها بواسطة طرق تحليلية. الدليل على كون أعداد مثل عدد π وعدد أويلر هي أعداد لا يمكنها أن تكون حلولا لأي معادلة جبرية تم تصنيفها في هذا الإطار أي تحليل الأعداد.

في حين النتائج الخاصة بالأعداد التي ليس حلا لأي معادلة جبرية, تبدو خارج دراسة الأعداد الطبيعية.

نظرية الأعداد الجبرية

في هذا الحقل، مفهوم الأعداد تم إضافة مصطلح الأعداد الجبرية، التي هي جذور المعادلات الحدودية ذات معاملات نسبية. كما نجد مفهوما مقاربا وهو الأعداد الطبيعية الجبرية.

عدة مواضيع تم التعامل معها باستعمال الموافقة بترديد، مما أدى لظهور المبرهنة الجبرية للأعداد.

هندسة الأعداد

يمكن تسميتها هندسة الأعداد، تتضمن جميع أشكال الهندسة. نجد في هذا المجال مبرهنة مينكوفسكي الخاصة بشبكة النقط في شكل محدب. الهندسة الجبرية والجسم الإهليلجي، يتم أيضا استعمالها في هذا المجال من دراسة الأعداد. ومبرهنة فيرما الأخيرة والشهيرة تم البرهنة على صحتها اعتمادا على هذه التقنيات.

التاريخ

نظرية الأعداد في العصر الإسلامي

كان لعلماء الرياضيات المسلمين، منذ القرن التاسع الميلادي، اهتماما واضحا بنظرية الأعداد. أول هؤلاء العلماء هو ثابت بن قرة، حيث كان له الفضل في إيجاد طريقة لإيجاد الأعداد الصديقة(عددان هما صديقان إذا ساوى مجموع قواسم الواحد منهما، العدد الآخر). في القرن العاشر، وجد ابن طاهر البغدادي طريقة مختلفة بعض الشيء عن طريقة ثابت بن قرة.

في القرن العاشر، يبدو أن ابن الهيثم كان أول من حاول تصنيف الأعداد المثالية الزوجية على شكل ($2^{k-1}(2^k - 1$ حيث $(2^k - 1)$ هو عدد أولي. و لقد كان ابن الهيثم أيضا أول من أعلن مبرهنة ويلسون و التي يكون بموجبها عدد ما p أوليا إذا و فقط إذا كان $1+(p-1)!$ مضاعفا لذلك العدد p.

نظرية الأعداد الأولية

تعتبر معضلة توزيع الأعداد الأولية من المعضلات الأكثر ترددا و الأكثر جلبا للاهتمام. كان لكارل فريدرش غاوس حدسية في هذا المجال ولم يكن عمره يتجاوز المراهقة. تنص هاته الحدسية على إعطاء دالة تقريبية من عدد الأعداد الأولية الأصغر من عدد ما.

و قد جاء ديريشلت عام 1837 بمبرهنته المعروفة بمبرهنة ديريشلت.

نظرية الأعداد التطبيقية

[[تصنيف:[[ميديا:]]]]