نظرية الاحتمال

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

نظرية الاحتمال هي النظرية التي تدرس احتمال الحوادث العشوائية، فالبنسبة للرياضيين تعتبر الاحتمالات عبارة عن أرقام محصورة في المجال بين 0 و 1 تحدد احتمال حصول أو عدم حصول حدث معين عشوائي أي غير مؤكد. يتم تحديد احتمال الحدث E بالقيمة  P(E)\! حسب بدهيات الاحتمال.

مثال لبيان دالة توزيع في حالة متغير منقطع

كما ندعو احتمال الحدث E علما بحدوث الحدث F : الاحتمال الشرطي للحدث E مع العلم بحدوث F. نمثل هذا الاحتمال الشرطي بالنسبة بين احتمال التقاطع بين الحدثين (أي حدوثهما معا) إلى احتمال حدوث الحدث F، أي P(E \cap F)/P(F). إذا لم تتغير قيمة الاحتمال الشرطي للحدث E علما بوقوع F عن القيمة الأصلية غير الشرطية للحدث أي أن الاحتمال واحد في حال وقوع F أو عدم وقوعه عندئذ نقول أن هذين الحدثين مستقلين.

تناقش نظرية الاحتمالات مصطلحين غاية في الأهمية : المتغير العشوائي والتوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي.

مخطط التوزيع الهندسي

نظرة أكثر تجريدية[عدل]

تهتم نظرية الاحتمالات بتحليل الظواهر العشوائية.إن العناصر المركزية لنظرية الاحتمال هي الأحداث, المتغيرات العشوائية, والعمليات العشوائية. لقد قاد كولموغوروف عملية تأسيس دراسة نظرية حديثة للاحتمالات بدمجه بين فكرة فضاءالعينة التي قدمها ريتشارد فون ميزيس Richard von Mises وبين نظرية القياس وعرض في عام 1933 نظام بديهيات لنظرية الاحتمالات مالبث أن أصبح بلا منازع الأساس البدهي لنظرية الاحتمالات الحديثة.

يمكن تمثيل الفضاء الاحتمالي على أنه ثلاثية (\Omega, \mathcal F, P), حيث

  • \Omega تمثل مجموعة غير خالية, تدعى فضاء العينة.
  •  \mathcal F هو σ-جبر لفضاء العينة التي ندعو كل عنصر من عناصرها : «حدث».

لكي نستطيع أن نقول أن \mathcal F يشكل سيغما-جبر هذا يقتضي بالتعريف انها تحوي \Omega, وأن متممة أي حدث تشكل حدثا أيضا، واجتماع أي تسلسل أحداث هو حدث أيضا.

P(\Omega)=1, أي أن احتمال كامل فضاء العينة يساوي الواحد. تدعى الثنائية (\Omega, \mathcal F) فضاءا مقاسا أو فضاءا قابلا للقياس لأنه يتحول إلى فضاء احتمالي بتعريف قياس احتمالي عليه.

من المهم أن نلاحظ أن P تشكل دالة معرفة على \mathcal F وليس على فضاء العينة \Omega.

التاريخ[عدل]

لنظرية الاحتمالات جذور متعلقة بألعاب الفُرص التي تواجدت في القرن السادس عشر ، و تم استخدام نظرية حساب الاحتمالات في حساب الفرص لظهور عناصر من بين مجموعة كبيرة من العناصر الأخرى ، للاحتمالات في هذه النظرية أنواع منها الاحتمالات المشروطة ، و المستقلة ، و المنفية ، و المؤكدة ، و قد يكون لكل نوع من هذه الأنواع قاعدة عامة و قواعد فرعية . أيضاً نظرية الاحتمالات لها علاقة وثيقة بنظرية العد و يُستفاد منها في التوافيق و أيضاً التباديل .

توزيع الاحتمال[عدل]

تقارب المتغيرات العشوائية[عدل]

قانون الأعداد الكبيرة[عدل]

مبرهنة النهاية المركزية[عدل]

انظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

وصلات خارجية[عدل]