نظرية المد والجزر

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

تعتبر نظرية المد والجزر إحدى تطبيقات الميكانيك الاستمراري لتفسير والتنبؤ بالتشوهات الكوكبية الناتجة عن قوى المد والجزر وتشوهات المحيطات والغلاف الجوي، وتنتج نتيجة تأثير الجاذبية لجرم ما على آخر. ومن الشائع الإشارة لعملية المد والجزر بحركة المحيطات على الأرض.

أساس النظرية[عدل]

كتب غاليليو غاليلي سنة 1616 موضوع بعنوان مناقشة في المد والجزر [1] وقد حاول شرح ظاهرة المد والجزر كنتيجة لدوران الأرض حول الشمس. على أي حال ظهر لاحقاً أن نظريته كانت خاطئة.[1]

فيزياء المد والجزر[عدل]

قوى المد والجزر[عدل]

لنعتبر نقطة على سطح كوكب أو قمر وهذه النقطة تبعد عن مركز الثقل a وتقع على خط عرض \varphi وخط طول \lambda وتعرف هذه النقطة وفق الإحداثيات الديكارتية \mathbf{p} = a\mathbf{x} where

 \mathbf{x} = (\cos \lambda \cos \varphi, \sin \lambda \cos \varphi, \sin \varphi).

ولتكن \delta الانحراف الزاوي و\alpha المطلع المستقيم للجرم المتشوه فعندها يعطى شعاع الاتجاه

 \mathbf{x}_m = (\cos \alpha \cos \delta, \sin \alpha \cos \delta, \sin \delta),

ولتكن r_m المسافة بين مركزي الثقل وM_m كتلة الجرم فعندها تكون القوة في هذه النقطة

 \mathbf{F}_{a}= \frac{G M_m (r_m\mathbf{x}_{m}-a\mathbf{x})}{R^3}.

حيث R = \|r_m\mathbf{x}_{m}-a\mathbf{x}\|

من أجل مدار دائري يكون الزخم الزاوي math>\omega</math> فإن التسارع الجابذ يوازن الجاذبية في مركز الثقل

 Mr_{cm}\omega^2= \frac{G M M_m }{r_m^2}.

حيث r_{cm} المسافة بين مركز ثقل الجسم التابع ومركز ثقل الجرم الأساسي وM كتلة الجرم. تعتبر هذا لنقطة ثابتة بدون دوران، ولنقل معادلة هذه النقطة إلى معادلة نقطة تدور فإن القوى الجابذة تؤثر على هذ النقطة لتصبح المعادلة

\mathbf{F}_p= \frac{G M_m (r_m\mathbf{x}_{m}-a\mathbf{x})}{R^3} -r_{cm}\omega^2\mathbf{x}_m.

وبالتعويض في تسارع مركز الثقل


وبإعادة الترتيب

\mathbf{F}_p =  G M_m r_m \left(\frac {1}{R^3}  - \frac {1}{r_m^3} \right) \mathbf{x}_m 
-\frac{ (G M_m a\mathbf{x})}{R^3}.

في المحيطات تكون القوى القطرية غير كافية ، فالخطوة التالية كتابة معامل \mathbf{x}_m ولتكن \varepsilon= \frac {a} {r_m} عندها

R = r_m \sqrt{ 1+ \varepsilon ^2-2 \varepsilon (\mathbf{x}_m,\mathbf{x}) }

حيث math>(\mathbf{x}_m,\mathbf{x})= \cos z </math> هو محدد الناتج الداخلي للزاوية z للتشوه الجرم عند الذروة. وهذا يعني

\left(\frac {1}{R^3}  - \frac {1}{r_m^3} \right)   \approx
\frac{3\varepsilon  \cos z  }{r_m^3},

و إذا كانت ε صغيرة، وأذا كانت النقطة على سطح الكوكب عندها الجاذبية المحلية

g=\frac{ G M}{a^2}والمجموع

\mu= \frac{M_m} {M}.
\mathbf{F}_p = 3 g \mu \varepsilon^3 \cos z \mathbf{x}_m
- \frac{ (g \mu a^3\mathbf{x})}{R^3} + O(\varepsilon^4),

= معادلة لابلاس للمد والجزر[عدل]

من أجل طبقة سائل على شكل صفيحة ذات سماكة D وليكن الارتفاع المدي ς ومركبة السرعة الأفقية u وv (على خط العرض φ والطولλ على الترتيب) فتكون معادلة لابلاس [2][3]:


  \begin{align} 
    \frac{\partial \zeta}{\partial t}
    &+ \frac{1}{a \cos(\varphi)} \left[
           \frac{\partial}{\partial \lambda} (uD)
         + \frac{\partial}{\partial \varphi} \left(vD \cos(\varphi)\right)  
       \right]
     = 0,
     \\[2ex]
   \frac{\partial u}{\partial t}
   &- v \left(2 \Omega \sin(\varphi) \right)
    + \frac{1}{a \cos(\varphi)} \frac{\partial}{\partial \lambda} \left(g \zeta + U \right)
    =0 
    \qquad \text{and} \\[2ex]
   \frac{\partial v}{\partial t}
   &+ u \left(2 \Omega \sin(\varphi) \right)
    + \frac{1}{a} \frac{\partial}{\partial \varphi} \left(g \zeta + U \right)
    =0,
  \end{align}

حيث Ω التردد الزاوي لدوران الكوكب وU قوى الجاذبية الخارجية للمد والجزر

المراجع[عدل]