نظرية هان-باناخ

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

هي إحدى النظريات الأساسية للتحليل الدالي، وسميت على اسمي من صاغاها: العالم النمساوى هانز هان Hans Hahn والعالم البولندي ستيفان باناخ Stefan Banach.

نظرية هان-بناخ[عدل]

تُعنى النظرية في الأساس بفكرة إيجاد امتداد للداليات الخطية و قد ظهرت في صورتها الأولى في عام ۱۹۲۷ في أعمال الرياضي النمساوى هانز هان Hans Hahn ثم أعيدت صياغتها في عام ۱۹۲۹ في صورتها المتعلقة بالفراغات الاتجاهية الحقيقية على يد الرياضي البولندى ستيفان بناخ Stefan Banach و من ثم التعميم لحالة الفراغات الاتجاهية المركبة في عام ۱۹۳۸ ، و توجد أيضاً صياغة للنظرية في حالة الفراغات المعيرة .

نظرية هان-بناخ (۱۹۲۷-۱۹۲۹)[عدل]

ليكن X فراغاً اتجاهياً حقيقياً و p دالية تحت خطية معرفة عليه ، ولتكن f دالية خطية معرفة على الفراغ الجزئي Z وتحقق أن

f(x) \leqslant p(x) وذلك لكل Z\ni x ؛ عندئذ يمكن إيجاد دالية خطية \tilde{f} معرفة على كل الفراغ X بحيث :

\tilde{f}(x)=f(x)       \forall x\in Z ( أي أنها تمثل امتداداً لـ f )

و

\tilde{f}(x) \leqslant p(x)       \forall x\in X \cdot

نظرية هان-بناخ (۱۹۳۸)[عدل]

ليكن X فراغاً اتجاهياً حقيقياً أو مركباً و p دالية ذات قيم حقيقية معرفة على X بحيث أن لأى X\ni x,y         و أي كمية قياسية \alpha      يتحقق أن

p(x+y) \leqslant p(x)+p(y)

و

p(\alpha x) =|\alpha| p(x)

، ولتكن f دالية خطية معرفة على الفراغ الجزئي Z وتحقق أن |f(x)| \leqslant p(x) وذلك لكل Z\ni x ؛ عندئذ يمكن إيجاد دالية خطية \tilde{f} معرفة على كل الفراغ X بحيث

\tilde{f}(x)=f(x)       \forall x\in Z ( أي أنها تمثل امتداداً لـ f )

و

|\tilde{f}(x)| \leqslant p(x)       \forall x\in X \cdot

باستخدام هاتين النظريتين نحصل على

نظرية هان-بناخ للفراغات المعيرة[عدل]

لتكن f دالية خطية محدودة معرفة على الفراغ Z الجزئي من الفراغ المعير X ، إذن توجد دالية خطية محدودة \tilde{f} معرفة على كل الفراغ X بحيث تمثل امتداداً لـ f ولهما نفس المعيار أي أن \|\tilde{f}\|_X=\|f\| _Z

حيث

\|\tilde{f}\|_X=\sup_{x\in X,\|x\|=1}|\tilde{f}(x)|

و

\|f\|_Z=\sup_{x\in Z,\|x\|=1}|f(x)| .