نموذج أينشتاين

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

نموذج أينشتاين في الفيزياء و الكيمياء (بالإنجليزية: Einstein Model) افترضه البرت أينشتاين لوصف اهتزازات الذرات في المادة الصلبة وما تساهمه في السعة الحرارية . افترض اينشتاين أن اهتزازات الذرات في الشبكة البلورية تكون فونونات (صوتية) ذات طاقة محددة ، على نمط الفوتونات الضوئية . لم يؤدي هذا النموذج إلى وصف صحيح لتغير الحرارة النوعية للمواد الصلبة بتغير درجة الحرارة ، وإنما نجح في ذلك نموذج آخر و هو نموذج ديباي وهو يصف سلوك اهتزازات الذرات في المادة الصلبة بدقة.

أساس النموذج[عدل]

تتكون المادة الصلبة في العادة من بلورات تتخذ فيها الذرات أماكن في الشبكة البلورية ، وافترض أينشتاين أن الاهتزازات التي تقوم بها الذرات تكون ذات طاقة كمومية معينة \hbar\omega_E . تلك الطاقة الكمومية تسمى فونونات. وعلى هذا الأساس يمكن أن توصف المادة الصلبة بأنها تحتوي على عدد N من الهزازات التوافقية ، يهتز كل منها في ثلاثة اتجاهات x و y و z ولا تعتمد على بعضها البعض .

اعتبر أينشتاين أن احتمال اهتزاز ذرة \langle n \rangle بهذا التردد يعتمد على درجة الحرارة T ، وباعتبار الفونونات تتبع إحصاء بوز-أينشتاين فطبق عليهم المعادلة :

\langle n\rangle =\frac{1}{\exp\left(\frac{\hbar\omega_E}{k_BT}\right)-1}

وحصل على الطاقة الداخلية U للمادة الصلبة :

U=3N\cdot\hbar\omega_E\cdot \left(\langle n\rangle+\frac{1}{2}\right)= 3N\cdot\hbar\omega_E\cdot\left[\frac{1}{\exp\left(\frac{\hbar\omega_E}{k_BT}\right)-1}+\frac{1}{2}\right]

ويعطي الشق \frac{\hbar\omega_E}{2} طاقة درجة الصفر المطلق . وعلى هذا الأساس يصبح نصيب مشاركة الفونونات في السعة الحرارية عند ثبات الحجم V:

C_V=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V={\rm const}}=\frac{3N}{k_BT^2}\frac{(\hbar\omega_E)^2}{\left[\exp\left(\frac{\hbar\omega_E}{k_BT}\right)-1\right]^2}\cdot\exp\left(\frac{\hbar\omega_E}{k_BT}\right)

سمي الشق \Theta_E=\frac{\hbar\omega_E}{k_B} "درجة حرارة أينشتاين" ، وبالتعويض عنه في المعادلة نحصل على معادلة في صيغة أبسط :

C_V^{\rm mol}\left(T\right)=3 N k_B \cdot\left(\frac{\Theta_E}{T}\right)^2\cdot\frac{\exp\left(\frac{\Theta_E}{T}\right)}{\left[\exp\left(\frac{\Theta_E}{T}\right)-1\right]^2}

خطأ نموذج أينشتاين في درجات الحرارة المنخفضة[عدل]

عند درجات الحرارة المنخفضة وكذلك في حيز درجات الحرارة العالية ، تعطي المعادلة :

T\rightarrow\infty:\ \ C_V\rightarrow 3N\cdot k_B;\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ T\rightarrow 0:\ \ C_V\propto e^{-\Theta_E/T}\rightarrow 0

يعطي نموذج أينشتاين و نموذج ديباي قيما مطابقة لقانون قانون دولون-بتي في درجات الحررة العالية . أما ما تعطيه معادلة أينشتاين فلا يتفق بتاتا مع سلوك السعة الحرارية (CV(T) للمادة الصلبة في درجات الحرارة المنخفضة . ويرجع ذلك إلى الافتراض الخاطيئ بأن جميع الذرات في المادة الصلبة تهتز بنفس التردد . واتضح أن اهتزاز الذرات في المادة يتم بطرق أكثر تعقيدا ، نجح نموذج ديباي في وصفها.

مراجع[عدل]

  • "Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme", A. Einstein, Annalen der Physik, volume 22, pp. 180–190, 1907.

انظر أيضا[عدل]

المراجع[عدل]