نموذج ديباي

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

نموذج ديباي في الفيزياء و الكيمياء و الديناميكا الحرارية(بالإنجليزية: Debye model ) هو نموذج أعده العالم الفيزيائي بيتر ديباي عام 1912 لحساب جزء الحرارة النوعية الناشئة عن الفوتونات للمواد الصلبة.[1] والنموذج مبني على فكرة حساب اهتزازات الذرات في الشبكة البلورية (والتي هي جزء من الحرارة الداخلية) ومعاملتها كفونونات في صندوق . هذا بعكس نموذج أينشتاين الذي يعتبر أن المادة الصلبة مكونة من ذرات منفردة لا تتآثر مع بعضها البعض ، وبالتالي لا تتأثر اهتزازاتها باهتزازات الذرات الأخرى. وينجح نموذج ديباي في حساب السعة الحرارية للمواد الصلبة زاعتمادها على درجة الحرارة عند درجات حرارة منخفضة جدا ، ووجدها تتغير تناسبيا مع T3 – وتسمى هذه العلاقة "بقانون T3 لديباي " Debye T3 law.

يسري قانون ديباي للحرارة النوعية أيضا في درجات الحرارة العالية ، وهو في ذلك يتمشى مع نموذج أينشتاين و قانون دولونج و بيتيه. ولكنه لا يعطي نتائجا دقيقة في درجات الحرارة المتوسطة بسبب بساطة النموذج .

اشتقاقه[عدل]

يعتبر نموذج ديباي لحالة المواد الصلبة مناظرا لنموذج ماكس بلانك بشأن قانون إشعاع الجسم الأسود ، حيث تُعامل الأشعة الكهرومغناطيسية كما لو كانت غاز فوتونات في صندوق . ويتعامل نموذج ديباي مع اهتزازات الذرات في المادة الصلبة على أنها فونونات في صندوق (الصندوق هو المادة الصلبة). ونجد أن معظم الحسابات في الحالتين متشابهة .

وكانت الطريقة التي اتبعها ديباي لاشتقاق القانون طريقة التبسيط وسهلة . فهو يعتبر المادة الصلبة عبارة عن وسط مستمر ، وو جد أن عدد حالات الاهتزاز بترددات أقل من حد معين تصل إلى حد ثابت طبقا للعلاقة :

 n \sim {1 \over 3} \nu^3 V F\,,

حيث:

 V حجم المادة الصلبة (وتحتوي على عدد N من الذرات )،
 F هي معامل قام بحسابة بالاستعانة بمعامل المرونة و الكثافة.

ثم قام بربط تلك العلاقة بالطاقة الناتجة من هزاز توافقي عند درجة حرارة T بحيث تؤدي إلى طاقة U مقدارها:

U = \int_0^\infty \,{h\nu^3 V F\over e^{h\nu/kT}-1}\, d\nu\,,

عندما تصل ترددات الاهتزازات إلى ترددات عالية جدا. تلك الصيغة تعطي الحرارة النوعية بدقة عند درجات الحرارة المنخفضة . ثم وجد ديباي أن تلك الطريقة سوف تؤدي إلى عدد من حالات الاهتزاز قدرها 3N لعدد N من الذرات . وافترض أن طيف الترددات في حالة المادة الصلبة سيتبع العلاقة السابقة حتى تصل إلى حد أعلى للتردد \nu_m بحيث يكون عدد الحالات الكلي 3N:

 3N = {1 \over 3} \nu_m^3 V F \,.

وعرف ديباي أن هذا الافتراض لن يكون صحيحا (فالترددات العالية سوف تكون أكثر كثافة عما اخذه في الاعتبار ) ، ولكن عرف في نفس الوقت أن تلك المعادلة تكون صحيحة في درجات الحرارة العالية وتؤدي إلى قانون دولون-بتي . وبناءا على ذلك تبلغ الطاقة المحسوبة :

U = \int_0^{\nu_m} \,{h\nu^3 V F\over e^{h\nu/kT}-1}\, d\nu\,,
 = V F kT (kT/h)^3 \int_0^{T_D/T} \,{x^3 \over e^x-1}\, dx\,,
حيث T_D هي h\nu_m/k.
 = 9 N k T (T/T_D)^3 \int_0^{T_D/T} \,{x^3 \over e^x-1}\, dx\,,
 = 3 N k T D_3(T_D/T)^3\,,

حيث D_3 هي دالة سميت فيما بعد دالة ديباي من الدرجة الثالثة.

تبين المعادلة الأخيرة اعتماد الحرارة النوعية لمادة صلبة على درجة الحرارة بالقوة T3 عند درجات حرارة منخفضة جدا ، ونستخدمها في تعيين تغير الإنتروبي بدرجة الحرارة.

نتائج النموذج[عدل]

درجة ديباي لبعض المواد الصلبة
\Theta_\mathrm{D} كلفن
الرصاص 95
الصوديوم 160
الذهب 165
الفضة 215
النحاس 345
ألمونيوم 428
α-الحديد 464
الكروم 610
الماس 1850

درجات الحرارة[عدل]

يعطي النموذج قيما دقيقة للسعة الحرارية وتغيرها بتغير درجة الحرارة ، وبصفة خاصة في درجات الحرارة المنخفضة جدا ودرجات الحرارة العالية جدا.

فعند درجات الحرارة المنخفضة ، مثلا عندما تكون T \ll \Theta_\mathrm{D}

( وتسمى \Theta_\mathrm{D} درجة ديباي )

  • يُعطى جزء السعة الحرارية الذي يُعزى إلى الفونونات (الاهتزازات) بالعلاقة :
C_\mathrm{v} = {12 \pi^4 N k_\mathrm{B} \over 5} \cdot {T^3 \over \Theta_\mathrm{D}^3 },

حيث:

\Theta_D = \frac{\hbar\omega_D}{k_B}

درجة ديباي ، ويدخل فيها ثابتين :

ثابت بلانك المخفض \hbar
و ثابت بولتزمان k_\mathrm{B}
و  \omega_D   وهي خاصية اهتزازية تعتمد على نوع المادة .

وتتناسب درجة ديباي (درجة حرارة ديباي) تناسبا طرديا مع سرعة صوتية فعلية   \ c_{\rm eff} ، تنشأ عن موجة صوتية عرضية بنسبة 2/3 و موجة صوتية طولية بنسبة 1/3 (داخل المادة الصلبة) ، طبقا للمعادلة:

\frac{1}{\Theta_\mathrm{D}^3}\propto\frac{1}{c_{\rm eff}^3} :=\frac{1}{3}\left(\frac{2}{c_t^3}+\frac{1}{c_l^3}\right).
  • عند درجات الحرارة العالية ، عندما تكون T\gg \Theta_D,

تنطبق معادلة الطاقة الداخلية التالية :

U=3 N k_\mathrm{B} T

بالتالي ينطبق على السعة الحرارية :

C_\mathrm{v}=3Nk_\mathrm{B}\,

وفي تلك الحدود لدرجة الحرارة العالية نرى أن معادلة ديباي تتطابق مع قانون دولون-بتي ، وكذلك مع نموذج أينشتاين.

  • في حيز درجات الحرارة العالية وحيز درجات الحرارة المنخفضة تعطي معادلة ديباي القيمة الدقيقة للسعة الحرارية لمادة ، إلا أنها لا تعطي قيما دقيقة لها في درجات الحرارة المتوسطة ،أي أن معادلة ديباي تحتاج إلى اعتبار بعض المرثرات الأخرى . وانطباق معادلة ديباي عند درجات الحرارة المنخفضة يعود إلى الحد

\omega\ll\omega_D لتقريب ديباي الذي ينطبق على g(\omega ) ، كذلك يكون المعادلة صحيحة في حيز درجات الحرارة المرتفعة حيث تعطي معادلة ديباي لمجموع ترددات الاهتزازات :

\int_0^{\omega_{\rm max}} g(\omega )\,{\rm d}\omega \equiv 3N

انظر أيضا[عدل]


المراجع[عدل]

  1. ^ 'Zur Theorie der spezifischen Waerme', Annalen der Physik (Leipzig) 39(4), p. 789 (1912)