هندسة تحليلية

الإحداثيات الديكارتية.

في الرياضيات الكلاسيكية، الهندسة التحليلية وتدعى أيضا الهندسة الأحداثية أو التنسيقية وسابقا الهندسة الديكارتية, هي فرع المعرفة الرياضية الذي يدرس الهندسة باستعمال نظام الإحداثيات ومبادئ الجبر والتحليل. تستعمل الهندسة التحليلية بشكل واسع في الفيزياء والهندسة التطبيقية كما تمثل الأساس الذي بُني عليه باقي مجالات الهندسة كالهندسة الجبرية والهندسة التفاضلية والهندسة المتقطعة والهندسة الحاسوبية.

التاريخ

في القرن الحادي عشر، رآى عالم الرياضيات الفارسي عمر الخيام علاقة قوية بين الجبر والهندسة، متجها نحو الاتجاه الصحيح حينما ساعد على سد الفراغ الموجود بين الجبر العددي والجبر الهندسي من خلال حلحلته الهندسية للمعادلات التكعيبية العامة, ولكن الخطوة النهائية أتت فيما بعد مع ديكارت.

المبادئ الأساسية

الإحداثيات

مقال تفصيلي :نظام إحداثي

معادلات المنحنيات

الصيغة التي تعطي المسافة بن نقطتين في المستوى تنبثق من مبرهنة فيثاغورس.

المسافة والزاوية

لتكن [AB] قطعة مستقيمة حيث (A(x1،y1 و (B(x2، y2 معرفتين في المستوى. المسافة بين النقطتين A و B هي :

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\!$

تهتم الهندسة التحليلية بالمواضيع ذاتها التي تهتم بها الهندسة التقليدية غير أنها تتيح طرقا أيسر لبرهان العديد من النظريات وتلعب دورا مهما في حساب المثلثات وحساب التفاضل والتكامل، وتهتم أيضا بدراسة الخواص الهندسية للأشكال باستخدام الوسائل الجبرية. عادة تستخدم جمل إحداثيات ديكارتية لوصف نقاط الفراغ بدلالة أعداد هي الإحداثيات ثم يتم إيجاد المعادلة الجبرية التي تصف الدائرة أوالقطع الناقص أوالقطع المكافيء أو غيرها.

تقوم الهندسة التحليلية بوصف الأشكال الهندسية بطريقة جبرية عددية، واستخراج معلومات رقمية من تمثيلات هندسية. مثال الشكل الجبري للدائرة هي : $(x-2)^2+(y-2)^2=25$ حيث نصف قطر الدائرة هنا هو 5 الذي حصلنا عليه من جذر الطرف الآخر من المعادلة.

تستخدم الهندسة التحليلية نطاقا إحداثيا يسمى النظام الديكارتي نسبة إلى العالم الفرنسي رينيه ديكارت(1596 – 1650) صاحب الفكرة الأساسية للربط بين الهندسة والجبر وهي تمثيل كل نقطة في المستوي ببعدها عن مستقيمين متعامدين يلتقيان في نقطة تسمى نقطة الأصل (0، 0). يسمي المستقيمان المتعامدان محوري الإحداثيات 0 المحور الأفقي هو المحور السيني والمحور الراسي هو المحو الصادي ويحدد موقع النقاط في المستوي بإعطائها إحداثيين على خطى الأعداد.

x، y ويسمي x الاحداثي السيني وهو يحدد موقع النقطة بالنسبة لمحور السينات بينما يحدد y الاحداثي الصادي موقع النقطة بالنسبة لمحور الصادات ويكتب هذان الإحداثيان على صورة زوج مرتب (x، y).

• ترتبط كل نقطة في المستوي بزوج مرتب وحيد من الأعداد (x، y)وأيضا كل زوج مرتب يرتبط بنقطة واحدة وواحدة فقط في المستوي.
• محوري الإحداثيات يقسمان المستوي الإحداثي إلى أربعة أجزاء :

• • الربع الأول = ة (x، y) : x < 0، y < 0 : x، y ي ح’.
  • الربع الثاني = ة (x، y) : x > 0، y.، y > 0 : x، y ي ح’.
  • الربع الثالث = ة (x، y) : x > 0، y.، y > 0 : x، y ي ح’.
  • الربع الرابع = ة (x، y : x < 0، y > 0 : x، y ي ح’.

كذلك يمكن وصف المحور السيني والمحور الصادي كمجموعة من النقاط كالتالي :

• المحور السيني = ة(x، y) : x ي ح، y = 0.
• المحور الصادي = ة (x، y) : y ح، x= 0.

بعض القوانين في الهندسة التحيلية

إحداثيا نقطة منتصف قطعة مستقيمة

إحداثيا نقطة المنتصف لقطعة مستقيمة AB هي :

$[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]$

ميل الخط المستقيم

ميل الخط المستقيم هو الزاوية المحصورة بين محور السينات الموجب والمتستقيم. ويساوي التغير في الاحداثات الصادية إلى التغير في الاحداثات السينية م= (y2-y1)/(x2-x1):حيث أن x1 لا تساوي x2. المستقيم الذي يوازي محور الصادات ليس له ميل و المستقيم الذي يوازي محور السينات ميله يساوي صفر. و الميل يساوي ظل الزاوية المحصورة بين محور السينات الموجب والمستقيم.

م= ظاه