صيغة هيرو

مثلث له أضلاع a, b وc

في الهندسة الرياضية، تستخدم صيغة هيرو لحساب مساحة مثلث أطوال أضلاعه a, b وc بالعلاقة:

$A = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}$

حيث s هو نصف طول محيط المثلث:

$s=\frac{a+b+c}{2}.$

ومن الممكن كتابة صيغة هيرو على الأشكال التالية:

$A={\ \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\,}\ \over 4}$

$A={\ \sqrt{2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)\,}\ \over 4}$

$A={\ \sqrt{(a^2 + b^2 + c^2)^2 - 2(a^4 + b^4 + c^4)\,}\ \over 4}.$

تعميم الصيغة لشكل الرباعي

شكل رباعي غير منتظم

يمكن تعميم صيغة هيرو لحساب مساحة الشكل الرباعي بدلالة أطوال أضلاعه الأربعة وطول أحد قطريه وذلك بجمع مساحة مثلثين. لو افترضنا أن أضلاع الشكل الرباعي هي A،B،C،D وأن أحد قطريه هو E فإن مساحته تعطى بالعلاقة:

$A=\frac{\sqrt{(A^2 + D^2 + E^2)^2 - 2(A^4 + D^4 + E^4)} + \sqrt{(B^2 + C^2 + E^2)^2 - 2(B^4 +C^4 + E^4)}}{4}.$

صيغة جيوشاو

تعزى الصيغة السابقة إلى هيرو السكندري، ويمكن الحصول على برهانها في كتابه (ميتريكا) الذي كتبه حوالى 60 بعد الميلاد.

توجد صيغة أخرى مكافئة لصيغة هيرو:

$A=\frac1{2}\sqrt{a^2c^2-\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2}\right)^2}$

اكتشفت هذه الصيغة من قبل الصينيين بشكل مستقل عن الإغريق ونشرها قين جيوشاو في 1247 ميلادية.

برهان صيغة هيرو

فيما يلي برهان لصيغة هيرو باستخدام الجبر، وهو يختلف عن البرهان الذي قدمه هيرو في كتابه "متريكا": لتكن a، b، c هي أضلاع المثلث، ولتكن A، B، C زواياه المقابلة لأضلاعه. يصبح لدينا: $\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ من قانون جيوب التمام. نحصل على:

$\sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}.$

ارتفاع المثلث على القاعدة a طوله b sin(C),وبالتالي

$\begin{align} A & = \frac{1}{2} (\mbox{base}) (\mbox{altitude}) \\ & = \frac{1}{2} ab\sin(C) \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2} \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{(2a b -(a^2 +b^2 -c^2))(2a b +(a^2 +b^2 -c^2))} \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{(c^2 -(a -b)^2)((a +b)^2 -c^2)} \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{(c -(a -b))((c +(a -b))((a +b) -c))((a +b) +c)} \\ & = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}. \end{align}$

تم تحليل الفرق بين المربعين في مرحلتين مختلفتين.

برهان صيغة جيوشاو

اذا كان لدينا: a، b، c هي أضلاع المثلث، ولتكن A، B، C زواياه المقابلة لأضلاعه. يصبح لدينا:

$\begin{align} A & = \frac{1}{2} (\mbox{base}) (\mbox{altitude}) \\ & = \frac{1}{2} ab\sin(C) \\ & = \frac{1}{2} ab\sqrt{1-cos^2(C)} \\ & = \frac{1}{2} ab\sqrt{1-\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)^2} \\ & = \frac1{2}\sqrt{a^2b^2-\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2}\right)^2} \\ \end{align}$

وصلات خارجية

إيريك ويستاين، معادلة هيرون، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).