متجه وحدة

في الرياضيات يعرف متجه الوحدة (بالإنجليزية: Unit vector) في الفضاء الشعاعي المنظم على أنه متجه (أحياناً متجه بعدي) له طول 1 (وحدة طولية). يرمز إلى متجه الوحدة عادة باستخدام حرف بالحالة الصغيرة مع إشارة الزاوية (رمز رياضي) فوقه مثل القبعة. مثال: ${\hat{\imath}}$.

الجداء الداخلي لمتجهي وحدة في الفضاء الإقليدي هو بشكل بسيط جيب تمام الزاوية الحاصلة بينهما. نستنتج هذا باستبدال قيم المتجهات بـ 1 في علاقة الجداء الداخلي الاتجاهي.

نظام الإحداثيات الديكارتية

في نظام الإحداثيات الديكارتية الثلاثي الأبعاد، يشار إلى متجه الوحدة على المحاور الثلاثة X, Y, Z باسم النواظم. وتعطى كما يلي:

$\mathbf{\hat{\boldsymbol{\imath}}} = \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}, \,\, \mathbf{\hat{\boldsymbol{\jmath}}} = \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}, \,\, \mathbf{\hat{\boldsymbol{k}}} = \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}$

في الإحداثيات الإسطوانية

متجهات الوحدة المخصصة للإحداثيات الإسطوانية هي: $\boldsymbol{\hat{s}}$ وهي المسافة من محور التناظر، $\boldsymbol{\hat \phi}$ وهي الزاوية مقاسة بعكس عقارب الساعة من محور x الموجب، و$\boldsymbol{\hat{z}}$.

يتم التحويل بين أسس الإحداثيات الإسطوانية المذكورة آنفاً وأسس الإحداثيات الديكارتية $\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}$ كما يلي:

$\boldsymbol{\hat{s}}$ = $\cos \phi\boldsymbol{\hat{x}} + \sin \phi\boldsymbol{\hat{y}}$

$\boldsymbol{\hat \phi}$ = $-\sin \phi\boldsymbol{\hat{x}} + \cos \phi\boldsymbol{\hat{y}}$

$\boldsymbol{\hat{z}}=\boldsymbol{\hat{z}}.$

الإحداثيات الكروية

متجهات الوحدة في نظام الإحداثيات الكروية هي $\boldsymbol{\hat{r}}$ المسافة القطرية من مركز الكرة، $\boldsymbol{\hat{\phi}}$ الزاوية في المستوي x-y بعكس عقارب الساعة من المحور x، و $\boldsymbol{\hat{\theta}}$ الزاوية من محور z الموجب. العلاقة بين هذه المتجهات مع الإحداثيات الديكارتية هي كالتالي:

$\boldsymbol{\hat{r}} = \sin \theta \cos \phi\boldsymbol{\hat{x}} + \sin \theta \sin \phi\boldsymbol{\hat{y}} + \cos \theta\boldsymbol{\hat{z}}$

$\boldsymbol{\hat \theta} = \cos \theta \cos \phi\boldsymbol{\hat{x}} + \cos \theta \sin \phi\boldsymbol{\hat{y}} - \sin \theta\boldsymbol{\hat{z}}$

$\boldsymbol{\hat \phi} = - \sin \phi\boldsymbol{\hat{x}} + \cos \phi\boldsymbol{\hat{y}}$