Alpha centrality

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في نظرية المخططات و تحليل الشبكة الاجتماعية، تُعد مركزية ألفا مقياسًا لـمركزية العقد (نقاط اللقاء) في الرسم البياني. وهي تعديلٌ لمركزية المتجه الذاتي مع إضافة إشباع العقد بالأهمية من مصادر خارجية.

التعريف[عدل]

بالنظر للرسم البياني المُعطى مع مصفوفة التجاور ‏A_{i,j} تُعرف مركزية ألفا كالآتي:

 x = (I-\alpha A^T)^{-1}e \,

حيث تكون ‏e_j هي الأهمية الخارجية المعطاة للعقدة ‏j، وتكون \alpha متغيرًا وسيطًا (بارامتر).[1]

الدافع[عدل]

يجب على المرء أولاً فهم مركزية المتجه الذاتي لفهم مركزية ألفا. ويُعد إعطاء كل عقدة مقدارًا إيجابيًا عشوائيًا ابتدائيًا من التأثير عمليةً حدسيةً لحساب مركزية المتجه الذاتي. وتشُق كل عقدة بعد ذلك تأثيرها بالتساوي وتُقسمه بين مجاوريها الخارجيين، مُستقبلةً من مجاوريها الداخليين من نفس النوع. وتتكرر هذه العملية حتى توزع كل عقدة بقدر ما تأخذ ويصل النظام إلى حالة من الثبات. وتكون كمية التأثير التي تملكها العقد في حالة الثبات هذه هي مركزية المتجه الذاتي لديها. وحسابيًا، تُسمى هذه العملية أسلوب القدرة (power method). ونحن نعلم أن هذه العملية تتقارب عندما يتغير متجه التأثير فقط من خلال قيمة ثابتة كالآتي.

x_i = \frac{1}{\lambda} A^T_{i,j}x_j

حيث تكون ‏x_i هي كمية التأثير التي تحملها العقدة ‏i، تكون ‏A_{i,j} هي مصفوفة التجاور ويصادف أن تكون ‏\lambda هي القيمة الذاتية الرئيسة (بالرغم من عدم كونها شديدة الأهمية هنا).

تُعزز مركزية ألفا هذه العملية عن طريق السماح للعقد بامتلاك مصادر خارجية للتأثير. وتكون كمية التأثير التي تستقبلها العقدة ‏i في كل لفة مكودةً في ‏e_i. ولا بد أن تتوقف العملية الموضحة أعلاه الآن عندما

 x_i = \alpha A^T_{i,j}x_j + e_i \,

حيث تكون ‏\alpha هي القيمة الثابتة التي تستبدل أهمية التأثير الخارجي في مقابل أهمية الاتصال. وحيث تكون ‏\alpha=0 فقط هي مسائل التأثير الخارجية. وحيث تكون ‏\alpha كبيرة جدًا، ثم بعد ذلك مسائل الاتصال فقط، أي نقلل لحالة مركزية المتجه الذاتي.

بدلاً من إجراء التكرار المبين أعلاه، نستطيع حل هذا النظام لـ ‏x للحصول على المعادلة التالية:

 x = (I-\alpha A^T)^{-1}e \,

التطبيقات[عدل]

تُنفذ مركزية ألفا في مكتبة الرسم البياني لتحليل الشبكة وتصورها.[2]


ملاحظات ومراجع[عدل]

  1. ^ P. Bonacich, P. Lloyd. Eigenvector-like measures of centrality for asymmetric relations. doi:10.1016/S0378-8733(01)00038-7. 
  2. ^ http:‏//igraph.sourceforge.net/doc/R/alpha.centrality.html