هذه المقالة اختصاصية وهي بحاجة لمراجعة خبير في مجالها.
يرجى مراجعة هذه المقالة وإزالة وسم المقالات غير المراجعة، ووسمها بوسوم الصيانة المناسبة.

أربعوني الأضلاع

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث

أربعوني أو خميسوني الأضلاع في الهندسة: هو مضلع رباعي الأضلاع أو أربعوني الأضلاع(40-ضلع) [1][2]، ومجموع الزوايا الداخلية لأي أربعوني الأضلاع: هو 6840 درجة.

أربعوني أضلاع منتظم
أربعوني الأضلاع العادي
نوع مضلع منتظم
حواف والقمم 40
رمز شلَيْفلي {40}، t {20}، tt {10}، ttt {5}
مجموعة التماثل ثنائي السطوح (د 40 ) اطلب 2 × 40
الزاوية الداخلية ( بالدرجات ) 171 درجة
الخصائص محدب، دوري، متساوي الأضلاع، isogonal ، isotoxal

أربعوني الأضلاع العادي[عدل]

يتم تمثيل أربعوني الأضلاع العادي برمز{40} شليفلي، وأيضا يمكن بناؤه على شكل عشريني الأضلاع مقتطع {20} t، الذي يبدل نوعين من الحواف. علاوة على ذلك يمكن أيضًا بناؤه على شكل عشري مقطوع مرتين tt {10} ، أو خماسي مقطوع ثلاث مرات ttt {5}.

إحدى الزوايا الداخلية في أربعوني الأضلاع العادي هي: 171 درجة، مما يعني أن إحدى الزوايا الخارجية ستكون 9 درجات.

مساحة أربعوني الأضلاع المنتظم هي: (حيث { طول الحافة = t } )

ونصف قطر الدوائرهو:

العامل هو جذر المعادلة الثمانية .

محيط نصف قطر أربعوني الأضلاع العادي هو

بما أن 40 = 2 3 × 5 ، فإن أربعوني الأضلاع العادي يمكن إنشاء مضلعته باستخدام مسطرة و فرجار.[3] ونتيجة لاقتطاع عشروني الأضلاع فإنه يمكن بناؤه من قبل حافة-التنصيف من عشريني منتظم. هذا يعني أن قيم و يمكن التعبير عنهما بالجذور على النحو الآتي:

بناء أربعوني الأضلاع العادي[عدل]

أربعوني الأضلاع عادي منتظم مع دائرة معينة.

يتم إعطاء دائرة المحيط[عدل]

  1. أنشئ أولاً طول الضلع الخماسي JE1.
  2. انقل هذا على الدائرة المحيطية، عند تقاطع E39.
  3. قم بتوصيل النقطة 39 بالنقطة المركزية M، حيث تظهر الزاوية E 39، و ME بزاوية 72 درجة.
  4. اقطع الزاوية E39 ME 1 إلى النصف، حيث ينشأ التقاطع E40 والزاوية E40 و ME1 بزاوية 9 درجات.
  5. قم بتوصيل النقطة E1 بالنقطة E40، حيث يظهر طول الضلع الأول a من أربعوني الأضلاع.
  6. أخيرًا تقوم بنقل المقطع E1 E40 ( على طول الجانب a ) بشكل متكرر عكس اتجاه عقارب الساعة على الدائرة حتى يظهر أربعوني أضلاع منتظم.

النسبة الذهبية

طول الضلع معطى[عدل]

اربعوني الأضلاع منتظم بطول ضلع معين



{البناء مشابه جدًا للذي له شكل إيكوساغون(عشروني الأضلاع) بطول جانب معين}
  1. ارسم قطعة E40E1 طولها هو طول الضلع المعطى a من أربعوني الأضلاع.
  2. مد المقطع E40E1 أكثر من مرتين.
  3. ارسم قوسًا دائريًا حول النقطتين E 1 و E 40، وهناك تنشأ التقاطعات A و B.
  4. ارسم خطًا مستقيمًا رأسيًا من النقطة B إلى النقطة A.
  5. ارسم أيضًا خطًا موازيًا للقطعة AB من النقطة E1 إلى القوس الدائري، حيث ينشأ التقاطع D.
  6. ارسم قوسًا دائريًا حول النقطة C مع نصف القطر CD حتى امتداد طول الضلع، حيث ينشأ التقاطع F.
  7. ارسم قوسًا دائريًا حول النقطة E40 نصف قطرها E40F حتى الخط الرأسي المستقيم، حيث يظهر التقاطع G والزاوية E40 GE 1 بزاوية 36 درجة.
  8. ارسم قوسًا دائريًا حول النقطة G نصف قطرها E40G حتى الخط الرأسي المستقيم، حيث ينشأ التقاطع H والزاوية E40 HE 1 مع 18 درجة.
  9. ارسم قوسًا دائريًا حول النقطة H نصف قطرها E40H حتى الخط الرأسي المستقيم، حيث تظهر النقطة المركزية M للدائرة والزاوية E40 ME 1 بزاوية 9 درجات.
  10. ارسم حول النقطة المركزية M التي يبلغ نصف قطرها E40M دائرة أربعوني الأضلاع.
  11. أخيرًا قم بنقل المقطع E40E1 ( على طول الجانب a ) بشكل متكرر عكس اتجاه عقارب الساعة على الدائرة حتى ظهور أربعوني أضلاع منتظم.

النسبة الذهبية

تناظر[عدل]

تناظرات أربعوني الأضلاع المنتظم. تظهر الخطوط الزرقاء الفاتحة مجموعات فرعية من الفهرس 2. ترتبط الرسوم البيانية الفرعية اليمنى واليسرى موضعيًا بمجموعات الفهرس الفرعية 5.

يحتوي أربعوني الأضلاع العادي على تناظر ثنائي السطوح( Dih 40 )، الترتيب (80)، ويمثله (40) خطًا من الانعكاس. يحتوي Dih40 على (7) مجموعات فرعية ثنائية السطوح : (Dih 20 ، Dih 10 ، Dih 5 ) و (Dih 8 ، Dih 4 ، Dih 2 ، Dih 1 ). كما أن لديه ثمانية تناظرات دورية أخرى كمجموعات فرعية: (Z 40 ، Z 20 ، Z 10 ، Z 5 )، و (Z 8 ، Z 4 ، Z 2 ، Z 1 )، مع Z n التي تمثل π / n تناظر دوراني راديان.

يسمي جون كونواي هذه التماثلات السفلية بحرف ويلحق ترتيب التناظر بحرف.[4] يعطي d (خط قطري) مع الخطوط المعكوسة من خلال الرؤوس، و p مع خطوط معكوسة عبر الحواف (العمودية)، و i مع خطوط معكوسة عبر كل من الرؤوس والحواف، و g للتناظر الدوراني. و a1 لتسمية أي تناظر.

تسمح هذه التماثلات المنخفضة بدرجات من الحريات في تحديد الأربعوني الأضلاع الغير المنتظم. فقط المجموعة الفرعية g40 ليس لديها درجة من الحرية، ولكن يمكن رؤيتها على أنها حواف موجهة.

تحليل[عدل]

ينص كوكستر على أن كل منطقة زونوغون (a 2m-gon تكون جوانبها المقابلة متوازية ومتساوية الطول) يمكن تحليله إلى m(m-1)/2 متوازي الأضلاع. يتم إحتواء هذه المكعبات الفائقة كمجموعات فرعية من الرؤوس والحواف والوجوه في الإسقاطات المتعامدة m.[5] وهذا ينطبق بشكل خاص على المضلعات المنتظمة ذات الجوانب المتعددة بشكل متساوٍ، وفي هذه الحالة تكون متوازيات الأضلاع كلها معينية. بالنسبة لأربعوني الأضلاع العادي: m = 20 ، ويمكن تقسيمه إلى 190: 10 مربعات و 9 مجموعات من 20 معينًا. يعتمد هذا التحلل على إسقاط مضلع بيتري لـ 20 مكعبًا.

أربعوني أضلاع (40 gon) مع 560 معينًا
عادي
متساوي السم
أمثلة
40-gon rhombic dissectionx.svg
40-gon rhombic dissection2.svg
40-gon rhombic dissection.svg

رباعي الأضلاع[عدل]

رباعي الأضلاع هو عبارة عن مضلع نجمي مكون من 40 جانبًا. وهناك سبعة نماذج عادية تقدمها رموز شليفلي وهي: {40/3} و {40/7} و {40/9} و {40/11} و {40/13} و {40/17} و {40/19 }، و 12 شكلًا نجميًا مركبًا يكون لها نفس تكوين الرأس.

المضلعات النجمية العادية {40 / k}
صورة Star polygon 40-3.svg</img>



<br /> {40/3}
Star polygon 40-7.svg</img>



<br /> {40/7}
Star polygon 40-9.svg</img>



<br /> {40/9}
Star polygon 40-11.svg</img>



<br /> {40/11}
Star polygon 40-13.svg</img>



<br /> {40/13}
Star polygon 40-17.svg</img>



<br /> {40/17}
Star polygon 40-19.svg</img>



<br /> {40/19}
الزاوية الداخلية 153 درجة 117 درجة 99 درجة 81 درجة 63 درجة 27 درجة 9 درجة
مضلعات مركبة منتظمة
صورة Star polygon 40-2.png</img>



<br /> {40/2} = 2 {20}
Star polygon 40-4.png</img>



<br /> {40/4} = 4 {10}
Star polygon 40-5.png</img>



<br /> {40/5} = 5 {8}
Star polygon 40-6.png</img>



<br /> {40/6} = 2 {20/3}
Star polygon 40-8.png</img>



<br /> {40/8} = 8 {5}
Star polygon 40-10.png</img>



<br /> {40/10} = 10 {4}
الزاوية الداخلية 162 درجة 144 درجة 135 درجة 126 درجة 108 درجة 90 درجة
صورة Star polygon 40-12.png</img>



<br /> {40/12} = 4 {10/3}
Star polygon 40-14.png</img>



<br /> {40/14} = 2 {20/7}
Star polygon 40-15.png</img>



<br /> {40/15} = 5 {8/3}
Star polygon 40-16.png</img>



<br /> {40/16} = 8 {5/2}
Star polygon 40-18.png</img>



<br /> {40/18} = 2 {20/9}
Star polygon 40-20.png</img>



<br /> {40/20} = 20 {2}
الزاوية الداخلية 72 درجة 54 درجة 45 درجة 36 درجة 18 درجة 0 درجة

يمكن أيضًا إنشاء العديد من متساوي الأضلاع المتساوية على أنها اقتطاع أعمق من عشروني الأضلاع المنتظم: {20} و عشروني متساوي الأضلاع {20/3} و {20/7} و {20/9}.يؤدي هذا أيضًا إلى إنشاء أربعة أشكال شبه مقطوعة وهي: t{20/11}={40/11} و t{20/13}={40/13} و t{20/17}={40/17} و t{20/19}={40/19}. ويتم وصف بعض من متساوي الأضلاع المتساوية الموضحة أدناه، كتسلسل اقتطاع بنقاط نهاية:

t {20} = {40} و t {20/19} = {40/19}.[6]

Regular polygon truncation 20 1.svg</img>



ر {20} = {40}



CDel node 1.pngCDel 20.pngCDel node 1.png</img>CDel node 1.pngCDel 20.pngCDel node 1.png</img>CDel node 1.pngCDel 20.pngCDel node 1.png</img>
</img> </img> </img> </img> </img>
</img> </img> </img> </img> Regular polygon truncation 20 11.svg</img>



ر {20/19} = {40/19}



CDel node 1.pngCDel 20.pngCDel rat.pngCDel 19.pngCDel node 1.png</img>CDel node 1.pngCDel 20.pngCDel rat.pngCDel 19.pngCDel node 1.png</img>CDel node 1.pngCDel 20.pngCDel rat.pngCDel 19.pngCDel node 1.png</img>CDel node 1.pngCDel 20.pngCDel rat.pngCDel 19.pngCDel node 1.png</img>CDel node 1.pngCDel 20.pngCDel rat.pngCDel 19.pngCDel node 1.png</img>

مراجع[عدل]

  1. ^ Gorini, Catherine A. (2009)، The Facts on File Geometry Handbook، Infobase Publishing، ص. 165، ISBN 9781438109572.
  2. ^ The New Elements of Mathematics: Algebra and Geometry by تشارلز ساندرز بيرس (1976), p.298 نسخة محفوظة 2021-04-28 على موقع واي باك مشين.
  3. ^ Constructible Polygon نسخة محفوظة 2021-11-26 على موقع واي باك مشين.
  4. ^ The Symmetries of Things, Chapter 20
  5. ^ سكوت ماكدونالد كوكستر, Mathematical recreations and Essays, Thirteenth edition, p.141
  6. ^ The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History, (1994), Metamorphoses of polygons, Branko Grünbaum

روابط خارجية[عدل]