إحصاء فيرمي ديراك

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

إحصاء فيرمي ديراك في الفيزياء لإنريكو فيرمي وبول ديراك هو دالة توزيع أوجداها منفردين وتحكم احتمالية تواجد إلكترون ما يملك طاقة معينة في حالة كمومية ما, ولا يقتصر التوزيع على الإلكترونات بل سائر جسيمات الشق الأول من الأجسام المتماثلة وهن الفرميونات الذاعنة لمبدأ باولي للاستبعاد ((أو نصفيات المغزل)), أما الشق الثاني وهو البوزونات ((صحيحات المغزل)) كالفوتونات فيرضخن لإحصاء بوز أينشتاين.

يجدر الانتباه إلى نقطة غاية في الأهمية هنا وهي إن امتلاك إلكترون (أو فرميون على وجه العموم) لطاقة ما لا تعني إطلاقا أنه سيستحوذ على مستوى الطاقة المقابل (الحالة الكمومية), بل يجب أن ندرس كذلك شغور هذا المستوى عن طريق حسبان كثافة المستويات عند مستوى الطاقة هذا.

و بتعميم هذا المبدأ, ينتج لنا أن حسبان تركيز الفرميونات في مستوى طاقة ما يعتمد بشكل أساسي على مرتكزين أساسين:

  • كثافة المستويات : عدد الأماكن الخالية في هذا المستوى.
  • إحصاء فيرمي ديراك : عدد الفرميونات التي تملك طاقة تبلّغها هذا المستوى.

الصياغة الرياضية[عدل]

ينجح هذا الإحصاء عند تواجد التوازن الحراري في تخمين عدد الإلكترونات التي تملك طاقة E حسب القانون التالي:

f(E) = \frac{1}{1 + e^{\frac{E-E_F}{k_B T}}}

حيث:

الرسم البياني[عدل]

عند الصفر المطلق يكون التوزيع على هيئة دالة خطوة:

f(E) = \begin{cases} 1 & \mbox{if}\ 0 < E \le E_F \\
0 & \mbox{if}\ E_F < E \end{cases}

ما معناه أن عند درجة الصفر المطلق:

  • احتمالية وجود إلكترون عندمستوى طاقة أقل من طاقة فيرمي هي 100 %
  • احتمالية وجود إلكترون عند مستوى طاقة تساوي طاقة فيرمي هي 50 %
  • احتمالية وجود إلكترون عند مستوى طاقة أعلى من فيرمي هي 0 %

لكن هذه الاحتماليات تبعا لدرجة الحرارة كما يوضح الرسم.

تأثير الحرارة على توزيع الطاقة

عند 0 كلفن, يأخذ خط الرسم قيمة صفرية عند طاقات أعلى من طاقة فيرمي مشيرا لإستحالة وجود إلكترون فوق مستوى فيرمي, لكن ارتفاع درجة الحرارة يعود بطاقة حرارية للإلكترون تساعده على تجاوز خط فيرمي فيبدأ الرسم بالانحناء ليشير إلا أن احتمالية تواجد إلكترون فوق فيرمي باتت أعلى من الصفر, وكلما زادت الحرارة زادت الإلكترونات المتخطية لخط فيرمي, وزاد انحناء الرسم.

ييجد هذا الإحصاء تطبيقا في الحياة العملية في أشباه الموصلات وهو أحد مداخل دراسة النبائط وأساسي تماما في فهم فكرة تصنيع وصلة م س. لكن كما سلف ذكره, ليس التوزيع حصرا على الإلكترونات بل يستوعب كل الفرميونات, فالفجوات ذات الشحنة الموجبة تخضع كذلك لهذا التوزيع, وتملك توزيعا مشابها لما في الرسم لكن بشكل يناظره حول خط فيرمي.

اقرأأيضا[عدل]