ارتفاع (مثلث)

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث
تتقاطع الارتفاعات الثلاثة للمثلث عند المركز العمودي، الذي يكون داخل المثلث الحاد.

في الهندسة الرياضية، ارتفاع المثلث هو القطعة المستقيمة من رأس للمثلث وعمودية على (أي تشكل زاوية قائمة مع) خط يحتوي على القاعدة (الضلع المقابل لهذا الرأس). يسمى الخط الذي يحتوي على الضلع المقابل للرأس بالقاعدة الممتدة لهذا الارتفاع. يُطلق على تقاطع القاعدة الممتدة والارتفاع اسم قدم الارتفاع. طول الارتفاع، الذي يُطلق عليه- غالبًا ببساطة- "الارتفاع"، هو المسافة بين القاعدة الممتدة والرأس. تُعرف عملية رسم الارتفاع من الرأس إلى القدم بإسقاط الارتفاع. إنها حالة خاصة من الإسقاط العمودي.

يمكن استخدام الارتفاعات في حساب مساحة المثلث: نصف جداء الارتفاع وطول قاعدته يساوي مساحة المثلث. وبالتالي، فإن أطول ارتفاع يكون عموديًا على أقصر ضلع للمثلث. ترتبط الارتفاعات أيضًا بأضلاع المثلث بواسطة الدوال المثلثية.

في المثلث المتساوي الساقين (مثلث له ضلعان متطابقان)، الارتفاع على الضلع غير المتطابق قدمه في نقطة منتصف القاعدة. ثم إن هذا الارتفاع ينصف زاوية الرأس.

ارتفاع المثلث القائم من الزاوية القائمة إلى الوتر هو المتوسط الهندسي لطول جزئي الوتر. باستخدام مبرهنة فيثاغورس على المثلثات الثلاثة التي لها الأضلاع (p + q, r, s )و (r, p, h ) و(s, h, q ),

من الشائع إعطاء الارتفاع الرمز h (نسبةً إلى height)، وغالبًا ما يُلحق باسم الضلع العمودي عليه. في المثلث القائم الزاوية، الارتفاع المرسوم على الوتر c يقسم الوتر إلى جزأين p و q . إذا أشرنا إلى طول الارتفاع بـ h c، فسنحصل على العلاقة

 ( مبرهنة المتوسط الهندسي [الإنجليزية] )
في المثلث القائم، يتطابق الارتفاع من كل زاوية حادة مع ساق ويتقاطع مع الضلع المقابل عند (تكون قدمه عند) الرأس القائم، وهي المركز العمودي.
تقع الارتفاعات من كل زاوية من الزوايا الحادة لمثلث منفرج خارج المثلث تمامًا، والمركز العمودي أيضًا H.

في المثلثات الحادة، تقع أقدام الارتفاعات كلها على أضلاع المثلث (غير الممتدة). في المثلث المنفرج (الذي فيه زاوية منفرجة)، تقع قدم الارتفاع من الرأس المنفرجة الزاوية في الجزء الداخلي من الضلع المقابل، لكن قدمي الارتفاعين من الرأسين الحادين الزاوية تقعان على الضلعين الممتدين المقابلين؛ خارج المثلث. هذا موضح في الرسم البياني المجاور: في هذا المثلث المنفرج، يسقط ارتفاع من الرأس العلوي، ذي الزاوية الحادة، ويتقاطع مع الضلع الأفقي الممتد خارج المثلث.

المركز العمودي [الإنجليزية] (نقطة تلاقي الارتفاعات)[عدل]

تتقاطع الارتفاعات الثلاثة في نقطة، تسمى المركز العمودي للمثلث، وعادةً ما يتم الإشارة إليها بـ H.[1][2] يقع المركز العمودي داخل المثلث فقط إذا كان المثلث حادًا (أي ليس له زاوية أكبر من الزاوية القائمة أو مساوية لها). إذا كانت إحدى الزوايا قائمة، فإن المركز العمودي يتطابق مع الرأس القائم.[2]

لنفترض أن A, B, C

تشير إلى رؤوس وكذلك زوايا المثلث، وافترض أن أطوال الأضلاعa = |BC|, b = |CA|, c = |AB|

فإن المركز العمودي له الإحداثيات الخطية الثلاثية [3]

ثلاثة ارتفاعات تتقاطع عند المركز العمودي

و الإحداثيات الكتلية

نظرًا لأن جميع الإحداثيات الكتلية موجبة لنقطة في داخل مثلث، لكن إحداها، على الأقل، سالبة لنقطة خارجه، واثنان من الإحداثيات الكتلية يساويان صفر لنقطة الرأس، فإن الإحداثيات الكتلية المعطاة للمركز العمودي توضح أن المركز العمودي يقع داخل المثلث الحاد، وعلى الرأس القائم الزاوية لمثلث قائم الزاوية، وخارج المثلث المنفرج.

في المستوى المركب، افترض أن النقاط A و B و C تمثل الأرقام و و ، على التوالي، وافترض أن المركز المحيطي من المثلث ABC يقع عند أصل المستوى. عندئذ، العدد المركب

تمثله النقطة H، أي المركز العمودي للمثلث ABC. من هذا، يمكن تحديد الخصائص التالية للمركز العمودي H عن طريق المتجهات الحرة مباشرةً:

تُعرف أولى المتطابقات المتجهة السابقة، أيضًا، بمسألة سيلفستر، التي اقترحها جيمس جوزيف سيلفستر .[4]

الخصائص[عدل]

لنفترض أن D وE و F تشير إلى أقدام الارتفاعات للرؤوس A وB و C على التوالي. عندئذ:

  • المركز العمودي يقسم الارتفاع لقطعتين جداؤهما ثابت لجميع الارتفاعات الثلاثة:[5][6]
الدائرة المتمركزة عند H و نصف قطرها الجذر التربيعي لهذا الثابت هي الدائرة القطبية للمثلث.[5]
  • مجموع النسب لبعد المركز العمودي عن القاعدة إلى طول الارتفاع للارتفاعات الثلاثة هو 1:[7] (هذه الخاصية والتالية لها، تطبيقان لخاصية أعم لأي نقطة داخلية وثلاثة خطوط شيفيّة [الإنجليزية] خلالها.)
  • مجموع النسب لبعد المركز العمودي عن الرأس إلى طول الارتفاع للارتفاعات الثلاثة هو 2:[7]

العلاقة مع الدوائر والمخروطات[عدل]

إذا أشرنا إلى محيط المثلث بـR . عندئذ [9][10]

وبالإضافة إلى ذلك، ترمز r لنصف قطر الدائرة الداخلية للمثلث، ra, rb و rc يرمزون إلى أنصاف أقطار الدوائر الخارجية للمثلث، R

هي نصف قطر الدائرة المحيطة، والعلاقات التالية تظل صحيحة بالنسبة لبعد المركز العمودي عن الرؤوس:[11]

إذا مد أي ارتفاع، على سبيل المثال، AD، ليتقاطع مع الدائرة المحيطة عند P ، بحيث تكون AP وتر للدائرة المحيطة، فإن القدم D تشطر الجزء HP

[6]

تمر أدلاء جميع القطوع المكافئة الماسة خارجيًا لضلع للمثلث والماسة لامتدادي الضلعين الآخرين، عبر المركز العمودي.[12]

المخروطي المحيطي الذي يمر عبر المركز العمودي لمثلث هو قطعًا زائدًا مستطيلًا .[13]

العلاقة بالمراكز الأخرى، دائرة النقاط التسع[عدل]

المركز العمودي H، ومركز الكتلة G ، والمركز المحيطي O ، والمركز N

لدائرة النقاط التسع يقعون على خط واحد، يُعرف بخط أويلر .[2] يقع مركز دائرة النقاط التسع في منتصف خط أويلر، بين المركز العمودي والمركز المحيطي، والمسافة بين مركز الكتلة والمركز المحيطي هي نصف المسافة بين مركز الكتلة والمركز العمودي [2]

بعد المركز العمودي عن المركز الداخلي أقل من بعد مركز الكتلة عن المركز العمودي، والبعد بين المركز العمودي ومركز الكتلة أكبر من البعد بين المركز الداخلي ومركز الكتلة.

من حيث الأضلاع a, b, c

نصف القطر الداخلي r

و نصف القطر المحيطي R [14]

[15]:p. 449

المثلث العمودي (مثلث الارتفاعات)[عدل]

المثلث abc (على التوالي ، DEF في النص) هو المثلث العمودي للمثلث ABC

إذا كان المثلث ABC مائلًا (لا يحتوي على زاوية قائمة) ، فإن مثلث المساقط الخاص بالمركز العمودي للمثلث الأصلي يسمى المثلث العمودي أو مثلث الارتفاعات. أي إن أقدام ارتفاعات المثلث المائل تشكل المثلث العمودي، DEF . وأيضًا، فإن المركز الداخلي (مركز الدائرة المحاطة بالمثلث) للمثلث العمودي هو المركز العمودي للمثلث ABC .[16]

تعطى الإحداثيات الخطية الثلاثية لرؤوس المثلث العمودي بـ* D = 0 : sec B : sec C

  • E = sec A : 0 : sec C
  • F = sec A : sec B : 0


  • الأضلاع الممتدة من المثلث العمودي تتقابل مع نظيرتها من المثلث المرجعي في ثلاث نقاط تقع على خط واحد .[5][10][16]
  • في أي مثلث حاد، المثلث المدرج بداخله ذو المحيط الأصغر هو المثلث العمودي.[5] هذا هو الحل ل مسألة فانيانو [الإنجليزية] التي طُرِحَت عام 1775.[2]
  • أضلاع المثلث العمودي متوازية مع مماسات الدائرة المحيطة عند رؤوس المثلث الأصلي.[5]
  • يعطي المثلث العمودي لمثلث حاد مثلث المرور الضوئي.[17]
  • الخطوط المماسية لدائرة النقاط التسع عند نقاط المنتصف لأضلاع المثلث ABC، توازي أضلاع المثلث العمودي، وتشكل مثلثًا مشابهًا للمثلث العمودي.[18]

يرتبط المثلث العمودي ارتباطًا وثيقًا بالمثلث المماسي، المنشئ على النحو التالي: افترض أن LA مماس للدائرة المحيطة بالمثلث ABC عند الرأس A ، وبالمثل LB و LC . افترض أن A" = LB ∩ LC ، B" = LC ∩ LA ، C" = LC ∩ LA . المثلث المماسي A"B"C" الذي أضلاعه مماسات للدائرة المحيطة بالمثلث "ABC عند رؤوسه، هو محاكي للمثلث العمودي. يقع المركز المحيطي للمثلث المماسي ومركز التشابه للمثلثين العمودي والمماسي على خط أويلر .[15] :p. 447

تعطى الإحداثيات الخطية الثلاثية لرؤوس المثلث المماسي بواسطة* A" = −a : b : c

  • B" = a : −b : c
  • C" = a : b : −c

.

بعض مبرهنات الارتفاع الإضافية[عدل]

الارتفاع من حيث الأضلاع[عدل]

لأي مثلث أضلاعه a, b, c

ونصف محيطه s = (a + b + c) / 2
،يعطى ارتفاع a


هذا يتأتى من دمج صيغة هيرون لمساحة المثلث من حيث الأضلاع مع صيغة المساحة (1/2) × القاعدة × الارتفاع، حيث نعتبر القاعدة الضلع a

والارتفاع هو الارتفاع من A

.

مبرهنات نصف القطر الداخلي[عدل]

بالنسبة لأي مثلث له الأضلاع a, b, c و الارتفاعات المقابلة ha, hb و hc . ترتبط الارتفاعات ونصف القطر الداخلي r بـالعلاقة [19] :Lemma 1

مبرهنة نصف القطر المحيطي[عدل]

إذا أشرنا إلى الارتفاع لأحد أضلاع المثلث بـ ha ، والجانبان الآخران b و c ، ونصف القطر المحيطي للمثلث (نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث) R ، يعطى الارتفاع بالعلاقة

نقطة داخلية[عدل]

إذا كانت p1, p2 و p3 هي المسافات العمودية من أي نقطة P إلى الأضلاع، و و h3 هي الارتفاعات على الأضلاع، إذًا [5]

مبرهنة المساحة[عدل]

إذا أشرنا إلى ارتفاعات أي مثلث له الأضلاع a, b


c على التوالي و ، و ، وإذا أشرنا إلى نصف مجموع مقلوبات الارتفاعات بـ ، إذا [20]

نقطة عامة على ارتفاع[عدل]

إذا كانت E أي نقطة على الارتفاع AD لأي مثلث ABC ، إذًا [21] :77–78

مثلثات خاصة[عدل]

المثلث المتساوي الأضلاع[عدل]

لأي نقطة P داخل مثلث متساوي الأضلاع، فإن مجموع الأعمدة على الأضلاع الثلاثة يساوي ارتفاع المثلث. هذه هي مبرهنة فيفياني .

المثلث القائم[عدل]

في المثلث القائم الزاوية الذي ارتفاعاته الثلاثة ha و hb و hc

مقارنة بين مبرهنة فيثاغورس المعكوسة ومبرهنة فيثاغورس

(أول ارتفاعين منهم يساويان الضلعين b


و a على التوالي) يرتبطون وفقًا لـلعلاقة [22][23]

يُعرف هذا أيضًا باسم مبرهنة فيثاغورس المعكوسة.

تاريخ[عدل]

تم إثبات المبرهنة القائلة بأن الارتفاعات الثلاثة للمثلث تلتقي في نقطة واحدة، المركز العمودي، أول مرة في ما نشر عام 1749 بواسطة وليام تشابل [الإنجليزية].[24]

انظر أيضًا[عدل]

اقرأ أيضاً[عدل]

مراجع[عدل]

  1. أ ب Smart 1998
  2. أ ب ت ث ج Berele & Goldman 2001
  3. ^ Clark Kimberling's Encyclopedia of Triangle Centers "Archived copy". مؤرشف من الأصل في 19 أبريل 2012. اطلع عليه بتاريخ 19 أبريل 2012. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)صيانة CS1: الأرشيف كعنوان (link)
  4. ^ Dörrie, Heinrich, "100 Great Problems of Elementary Mathematics. Their History and Solution". Dover Publications, Inc., New York, 1965, (ردمك 0-486-61348-8), page 142
  5. أ ب ت ث ج ح Johnson 2007
  6. أ ب ""Orthocenter of a triangle"". مؤرشف من الأصل في 05 يوليو 2012. اطلع عليه بتاريخ 04 مايو 2012. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  7. أ ب Panapoi,Ronnachai, "Some properties of the orthocenter of a triangle", جامعة جورجيا. نسخة محفوظة 2021-04-29 على موقع واي باك مشين.
  8. ^ Weisstein, Eric W. "Isotomic conjugate" From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/IsotomicConjugate.html نسخة محفوظة 2021-10-24 على موقع واي باك مشين.
  9. ^ Weisstein, Eric W. "Orthocenter." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. نسخة محفوظة 2021-11-14 على موقع واي باك مشين.
  10. أ ب Altshiller-Court 2007
  11. ^ Bell, Amy, "Hansen's right triangle theorem, its converse and a generalization", Forum Geometricorum 6, 2006, 335–342. نسخة محفوظة 2021-08-31 على موقع واي باك مشين.
  12. ^ Weisstein, Eric W. "Kiepert Parabola." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/KiepertParabola.html نسخة محفوظة 2021-11-12 على موقع واي باك مشين.
  13. ^ Weisstein, Eric W. "Jerabek Hyperbola." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/JerabekHyperbola.html نسخة محفوظة 2021-11-12 على موقع واي باك مشين.
  14. ^ Marie-Nicole Gras, "Distances between the circumcenter of the extouch triangle and the classical centers", Forum Geometricorum 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html نسخة محفوظة 2021-04-28 على موقع واي باك مشين.
  15. أ ب Smith, Geoff, and Leversha, Gerry, "Euler and triangle geometry", Mathematical Gazette 91, November 2007, 436–452.
  16. أ ب William H. Barker, Roger Howe (2007). "§ VI.2: The classical coincidences". Continuous symmetry: from Euclid to Klein. American Mathematical Society. صفحة 292. ISBN 0-8218-3900-4. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة) See also: Corollary 5.5, p. 318.
  17. ^ Bryant, V., and Bradley, H., "Triangular Light Routes," Mathematical Gazette 82, July 1998, 298-299.
  18. ^ Kay, David C. (1993), College Geometry / A Discovery Approach, HarperCollins, صفحة 6, ISBN 0-06-500006-4 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link)
  19. ^ Dorin Andrica and Dan S ̧tefan Marinescu. "New Interpolation Inequalities to Euler’s R ≥ 2r". Forum Geometricorum, Volume 17 (2017), pp. 149–156. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201719.pdf نسخة محفوظة 2021-08-31 على موقع واي باك مشين.
  20. ^ Mitchell, Douglas W., "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle," Mathematical Gazette 89, November 2005, 494.
  21. ^ Alfred S. Posamentier and Charles T. Salkind, Challenging Problems in Geometry, Dover Publishing Co., second revised edition, 1996.
  22. ^ Voles, Roger, "Integer solutions of ," Mathematical Gazette 83, July 1999, 269–271.
  23. ^ Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem," Mathematical Gazette 92, July 2008, 313–317.
  24. ^ Bogomolny, Alexander, "A Possibly First Proof of the Concurrence of Altitudes", Cut The Knot, مؤرشف من الأصل في 7 مايو 2021, اطلع عليه بتاريخ 17 نوفمبر 2019 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link)
  • Altshiller-Court, Nathan (2007) [1952], College Geometry, Dover Publications الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link)
  • Berele, Allan; Goldman, Jerry (2001), Geometry / Theorems and Constructions, Prentice Hall, ISBN 0-13-087121-4 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link)
  • Johnson, Roger A. (2007) [1960], Advanced Euclidean Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-46237-0 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link)
  • Smart, James R. (1998), Modern Geometries (الطبعة 5th), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link)