البرهان على أن e عدد غير جذري

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في الرياضيات، التمثيل بمتسلسلة لعدد أويلر e يأتي كما يلي:

البرهان[عدل]

ظهر أول برهان على تسامي العدد e سنة 1873. سنتبع هنا طريقة ديفيد هيلبرت (1862 - 1943) والذي بسط البرهان الأصلي لتشارلز هيرمت. الفكرة هي كالتالي:

نفترض أن العدد e هو عدد جبري، وذلك للحصول على تناقض في النهاية. إذن توجد مجموعة منتهية من المعاملات الصحيحة  التي تحقق المعادلة:

بحيث يكون كلا العددان  و مخالفين للصفر.

نختار عددا كبيرا k بما يكفي وذلك حسب قيمة n. 

نضرب طرفي المعادلة بـ ، في حين سنستعمل الترميز التالي  كاختصار للتكامل:

.

سنصل إلى المعادلة:

والتي يمكن الآن كتابتها على الشكل:

حيث

الهدف الآن هو أن نبين من أجل k كبير بما يكفي، يستحيل تحقيق المتساويات أعلاه لأن : هو عدد صحيح يخالف الصفر، في حين العدد  ليس كذلك.

والسبب في أن  عدد صحيح يخالف الصفر يأتي من العلاقة:

وهي صحيحة لكل عدد صحيح موجب j ويمكننا البرهنة عليها بالترجع عن طريق مكاملة بالأجزاء.

ولكي نبرهن على أن:

 من أجل k كبير بما يكفي

نشير أولا إلى أن  هو جداء الدوال  و. وباستعمال المحد العلوي لـ  و على المجال  وبما أن:

 لكل عدد حقيقي G.

وهذا كاف لإكمال البرهان.

يمكن استعمال طريقة ممثالة، مختلفة عن عن المقاربة الأصلية لـ (لندمان)، للبرهنة على أن e عدد متسام. زيادة على ذلك، تلعب بعض التقديرات وبعض خصائص الحدوديات المتماثلة دورا حيويا في البرهان.

انظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

Midori Extension.svg
هذه بذرة مقالة بحاجة للتوسيع. شارك في تحريرها.