التفاف دركليه

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في الرياضيات، التواء دركليه عملية ثنائية معرفة للدوال الحسابية، ذات أهمية في نظرية الأعداد. سميت لمطورها يوهان بيتر غوستاف لوجون دركليه عالم الرياضيات الألماني.


التعريف[عدل]

إذا كان (ƒ) و(g) دالتين حسابيتين - أي دالتين من الأعداد الطبيعية إلى الأعداد المركبة - يمكن تعريف دالة حسابية جديدة (ƒ * g) تسمى التفاف دركليه لـ(ƒ) و(g) كالآتي:


\begin{align}
(f*g)(n) 
&= \sum_{d\,\mid \,n} f(d)g\left(\frac{n}{d}\right) \\
&= \sum_{ab\,=\,n}f(a)g(b)
\end{align}

حيث يمتد المجموع على كل القواسم الموجبة (d) لـ(n)، أو بالتكافؤ يمتد على كل زوج (a) و(b) من الأعداد الطبيعية جداءها (n).

الخواص[عدل]

تشكل مجموعةُ الدوال الحسابية حلقة تبديلية تسمى «حلقة دركليه» تحت عمليتي الجمع نقطة بنقطة - بمعنى أن (ƒ + g) تعرف بأنها تتبع أمرين:

  • (ƒ + g)(n)= ƒ(n) + g(n)
  • التفاف دركليه.

والدالة المحايدة الجدائية (ε) تعرف كالآتي:

  • ε(n) = 1 لو n = 1
  • ε(n) = 1 لو n > 1

والواحدات (أو العناصر العكوسة) لهذه الحلقة هي الدوال (ƒ) التي تلتزم بالآتي (ƒ(1) ≠ 0).

وبالتحديد، لالتفاف دركليه الخواص الآتية:

(ƒ * g) * h = ƒ * (g * h)
ƒ * (g + h) = ƒ * g + ƒ * h = (g + h) * ƒ
ƒ * g = g * ƒ
ƒ * ε = ε * ƒ = ƒ

إضافة لذلك، لكل (ƒ) خاضع للآتي (ƒ(1) ≠ 0) يوجد (g) بحيث ƒ * g = ε ويسمى «محايد الدركليه (ƒ)»

وتطبيق التفاف دركليه على دالتين جدائيتين ينتج دالة جدائية ثالثة، ولكل دالة جدائية محايد دركليه جدائي أيضا.

وإذا كانت (ƒ) دالة جدائية تماما (en)‏ يكون (ƒ (g*h) = (ƒ g)*(ƒ h)) حيث يمثل التصاق حرفين جداء نقطة بنقطة. والتفاف دالتين جدائيتين تماما ينتج دالة جدائية بالتأكيد الضمني (en)‏ لكن لا تكون بالضرورة جدائية تماما.

أمثلة[عدل]

محايد دركليه[عدل]

متسلسلة دركليه[عدل]

إذا كان (ƒ) دالة حسابية، ممكن تعريف دالة توليد متسلسلة دركليه لها بالآتي


DG(f;s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}

لكل عمدة مركب (s) تتقارب له المتسلسلة (إذا وجد). ويكون جداء متسلسلات دركليه منسجما (en)‏ مع التفاف دركليه بالمعنى الآتي:


DG(f;s) DG(g;s) = DG(f*g;s)\,

لكل (s) تتقارب له كلتا المتسلسلتان على يسار المعادلة، ويجب أن تحقق إحداهم التقارب المطلق. ويجب الانتبه إلى أن تقارب متسلسلتا اليسار لا يمكن الاستنتاج منه أي تقارب في يمين المعادلة. والمذكور شبيه بمبرهنة الالتفاف إذا نظرنا لمتسلسلة دركليه أنها تحويل فورييه.

مفاهيم ذات علاقة[عدل]

يؤدي تقييد قواسم الالتفاف لتحتصر على القواسم الوحدوية (en)‏ أو الثاني وحدوية (en)‏ أو اللانهائية (en)‏ فحسب إلى عمليات تبديلية مشابهة لها الكثير من السمات المشتركة مع التفاف دركليه (مثل وجود عاكس موبيوس (en)ومداومة (en)‏ الجداء، وتعريف مؤشرات أويلر، وصيغات جدائية من نوعية أويلر على الأعداد الأولية المرتبطة، إلخ).

مصادر[عدل]

  • Chan Heng Huat (2009). Analytic Number Theory for Undergraduates. World Scientific Publishing Company. ISBN 981-4271-36-5.  Unknown parameter |aeries= ignored (help)
  • Hugh L. Montgomery؛ Robert C. Vaughan (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory. Cambridge tracts in advanced mathematics 97. Cambridge: Cambridge Univ. Press. صفحة 38. ISBN 0-521-84903-9. 
  • Cohen، Eckford (1959). "A class of residue systems (mod r) and related arithmetical functions. I. A generalization of Möbius inversion". Pacific J. Math. 9 (1). صفحات 13—23. MR 0109806. 
  • Cohen، Eckford (1960). "Arithmetical functions associated with the unitary divisors of an integer". Mathematische Zeitschrift 74. صفحات 66—80. doi:10.1007/BF01180473. MR 0112861. 
  • Cohen، Eckford (1960). "The number of unitary divisors of an integer". American mathematical monthly 67 (9). صفحات 879—880. MR 0122790. 
  • Cohen، Graeme L. (1990). "On an integers' infinitary divisors". Math. Comp. 54 (189). صفحات 395—411. doi:10.1090/S0025-5718-1990-0993927-5. MR 0993927. 
  • Cohen، Graeme L. (1993). "Arithmetic functions associated with infinitary divisors of an integer". Intl. J. Math. Math. Sci. 16 (2). صفحات 373—383. doi:10.1155/S0161171293000456. 
  • Sandor، Jozsef؛ Berge، Antal (2003). "The Möbius function: generalizations and extensions". Adv. Stud. Contemp. Math. (Kyungshang) 6 (2): 77–128. MR 1962765. 
  • Finch، Steven (2004). "Unitarism and Infinitarism".