كثافة طيفية

تُظهر الكثافة الطيفية للضوء الفلوري كدالة للطول الموجي البصري قممًا عند الانتقالات الذرية، كما هو موضح بالأسهم المرقمة.

يُظهر شكل الموجة الصوتية بمرور الوقت (يسار) طيفًا واسعًا لقوة الصوت (يمين).

في معالجة الإشارات، يصف طيف القدرة $S_{xx}(f)$ لإشارة زمنية مستمرة $x(t)$ كيفية توزّع القدرة على المكوّنات الترددية f التي تتكوّن منها تلك الإشارة. يبيّن تحليل فورييه أن أي إشارة فيزيائية يمكن تحليلها إلى توزيع من الترددات على مجال مستمر، حيث قد تتركّز بعض القدرة عند ترددات منفصلة. ويُطلق على المتوسط الإحصائي للطاقة أو القدرة لأي نوع من الإشارات (بما في ذلك الضوضاء)، عند تحليلها من حيث محتواها الترددي، اسم الكثافة الطيفية.

عندما تكون طاقة الإشارة متركّزة حول فترة زمنية محدودة، ولا سيما إذا كانت طاقتها الكلية محدودة، يمكن حساب كثافة طيف الطاقة. إلا أن الأكثر استخدامًا هو كثافة طيف القدرة (بالإنجليزية: power spectral density)، والتي تنطبق على الإشارات الموجودة على امتداد الزمن كله، أو خلال فترة زمنية طويلة بما يكفي (وخاصة مقارنةً بمدة القياس) بحيث يمكن اعتبارها مكافئة لوجودها خلال زمن لانهائي. في هذه الحالة تشير كثافة طيف القدرة إلى توزيع القدرة الطيفية المتوقع العثور عليه، إذ إن الطاقة الكلية لمثل هذه الإشارة عبر الزمن كله تكون عادة غير محدودة. إن جمع أو تكامل المكوّنات الطيفية يعطي القدرة الكلية (في عملية فيزيائية) أو التباين (في عملية إحصائية)، وهو ما يطابق تمامًا ما يُحصَل عليه من تكامل $x^{2}(t)$ على المجال الزمني، وفقًا لمبرهنة بارسيفال.

تحويل فورييه: مجالات الزمن والتردد

غالبًا ما يحتوي طيف عملية فيزيائية $x(t)$ على معلومات جوهرية عن طبيعة $x$. فعلى سبيل المثال، يمكن تحديد درجة الصوت والطابع الصوتي لآلة موسيقية من خلال تحليل طيفها. كما يُحدَّد لون مصدر الضوء بواسطة طيف المجال الكهربائي للموجة الكهرومغناطيسية $E(t)$ أثناء تذبذبه عند تردد عالٍ للغاية. ويتطلّب الحصول على الطيف من بيانات سلسلة زمنية كهذه استخدام تحويل فورييه وتعميماته المعتمدة على تحليل فورييه. وفي كثير من الحالات لا يُلتقَط المجال الزمني مباشرةً في التطبيق العملي، كما هو الحال عند استخدام موشور مشتت للحصول على طيف الضوء في المطياف، أو عندما يُدرَك الصوت من خلال تأثيره على المستقبلات السمعية في الأذن الداخلية، حيث يكون كل منها حساسًا لتردد معيّن.

غير أن هذه المقالة تركّز على الحالات التي تكون فيها السلسلة الزمنية معروفة (على الأقل من الناحية الإحصائية) أو مقاسة مباشرةً (مثل إشارة ميكروفون جرى أخذ عينات منها بواسطة حاسوب). ويُعد طيف القدرة مهمًا في معالجة الإشارات الإحصائية وفي الدراسة الإحصائية للعمليات العشوائية، وكذلك في العديد من فروع الفيزياء والهندسة الأخرى. وعادةً ما تكون العملية دالة في الزمن، لكن يمكن على نحو مماثل مناقشة البيانات في المجال المكاني وتحليلها من حيث التردد المكاني.

الوحدات

في الفيزياء، قد تكون الإشارة موجة، مثل الموجة الكهرومغناطيسية أو الموجة الصوتية أو اهتزاز آلية ما. تصف كثافة طيف القدرة للإشارة كثافة القدرة بوصفها دالة في التردد. وتُعبَّر كثافة طيف القدرة عادةً بوحدة النظام الدولي واط لكل هرتز (W/Hz).

عندما تُعرَّف الإشارة فقط من حيث جهد يتغير مع الزمن، على سبيل المثال، فلا تكون هناك قدرة محددة مرتبطة بجهد معيّن. في هذه الحالة يُحسب مفهوم «القدرة» ببساطة على أساس مربع الإشارة، لأن ذلك يكون متناسبًا دائمًا مع القدرة الفعلية التي توصلها تلك الإشارة إلى ممانعة معيّنة. لذلك يمكن استخدام الوحدة V²·Hz⁻¹ لكثافة طيف القدرة. أما كثافة طيف الطاقة فستكون وحدتها V²·s·Hz⁻¹، لأن الطاقة هي القدرة مضروبة في الزمن (مثل واط-ساعة).

في الحالة العامة، تكون وحدة كثافة طيف القدرة هي نسبة وحدة التباين إلى وحدة التردد؛ فعلى سبيل المثال، إذا كانت لدينا سلسلة من قيم الإزاحة (بوحدة المتر) مع الزمن (بوحدة الثانية)، فإن كثافة طيف القدرة ستكون بوحدة m²/Hz. وفي تحليل الاهتزازات العشوائية، قد تُستخدم الوحدة g₀²·Hz⁻¹ لكثافة طيف القدرة الخاصة بالتسارع، حيث يشير g₀ إلى تسارع الجاذبية القياسي.

من الناحية الرياضية، ليس من الضروري إسناد أبعاد فيزيائية للإشارة أو للمتغير المستقل. وفي النقاش التالي سيبقى معنى $x(t)$ غير محدد، لكن سيُفترض أن المتغير المستقل هو الزمن.

أحادي الجانب مقابل ثنائي الجانب

يمكن أن تكون كثافة طيف القدرة دالة أحادية الجانب تقتصر على الترددات الموجبة فقط، أو دالة ثنائية الجانب تشمل الترددات الموجبة والسالبة معًا ولكن بسعة تساوي نصف القيمة. تكون كثافات طيف القدرة للضوضاء عادةً أحادية الجانب في الهندسة، وثنائية الجانب في الفيزياء.

تعريف

كثافة طيف الطاقة

  ميّز عن توزيع القدرة الطيفية.

في معالجة الإشارات ، طاقة الإشارة $x(t)$ يُعطى بواسطة $$E\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }\left|x(t)\right|^{2}\ dt.$$ بافتراض أن الطاقة الكلية محدودة (أي $x(t)$ (دالة قابلة للتكامل التربيعي ) تسمح بتطبيق نظرية بارسيفال (أو نظرية بلانشيريل ). أي، $$\int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\hat {x}}(f)\right|^{2}\,df,$$ حيث$${\hat {x}}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi ft}x(t)\ dt,$$ هو تحويل فورييه للإشارة $x(t)$ عند التردد $f$ (بوحدة الهرتز). كما تصح هذه المبرهنة أيضًا في حالات الزمن المتقطع. وبما أن التكامل في الطرف الأيسر يمثل طاقة الإشارة، فإن القيمة $\left|{\hat {x}}(f)\right|^{2}df$ يمكن تفسيرها على أنها دالة الكثافة الاحتمالية مضروبة في فاصل ترددي صغير جدًا، تصف مقدار الطاقة الموجودة في الإشارة عند التردد f ضمن المجال الترددي $f+df$.

وبناءً على ذلك، تُعرَّف كثافة طيف الطاقة للإشارة $x(t)$ كما يلي:

$S_{xx}(f)=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}|{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}\,$ (Eq.2)

تشكّل الدالة ${\bar {S}}_{xx}(f)$ والارتباط الذاتي للإشارة $x(t)$ زوجًا من تحويلات فورييه، وهي نتيجة تُعرَف أيضًا باسم مبرهنة وينر–خينتشين.

كمثال عملي على كيفية قياس كثافة الطاقة الطيفية لإشارة ما:

1. الإشارة والبيئة: لنفترض أن $(V(t))$ يمثل الجهد (بالفولت) لنبضة كهربائية تنتشر على طول خط نقل له مقاومة $Z$، وأن الخط ينتهي بمقاومة مطابقة، بحيث يتم توصيل كل طاقة النبضة إلى المقاومة دون انعكاس.
2. حساب القدرة: وفقًا لقانون أوم، فإن القدرة الموصلة إلى المقاومة عند الزمن $(t)$ تُحسب كالتالي:

$P(t)={\frac {V(t)^{2}}{Z}}$

1. حساب الطاقة الكلية: للحصول على الطاقة الكلية للنبضة، يُكامل التعبير السابق على طول زمن النبضة:

$E_{\text{total}}=\int {\frac {V(t)^{2}}{Z}},dt$

1. قياس كثافة الطاقة الطيفية: لإيجاد قيمة كثافة الطاقة الطيفية $({\overline {S}}_{xx}(f))$ عند تردد محدد $(f)$:
   • يتم إدخال مرشح تمرير نطاقي بين خط النقل والمقاومة، بحيث يمرر فقط نطاقًا ضيقًا من الترددات (\Delta f) بالقرب من التردد $(f)$.
   • ثم يُقاس الطاقة الكلية $(E(f))$ المبددة عبر المقاومة عند هذا النطاق.
   • يُقدّر أن كثافة الطاقة الطيفية عند $(f)$ هي:${\overline {S}}_{xx}(f)\approx {\frac {E(f)}{\Delta f}}$
2. الوحدات:
   • القوة لها وحدة$(V(t)^{2}/Z)$:$(V^{2}\cdot \Omega ^{-1}$
   • الطاقة $(E(f))$ لها وحدة: $(V^{2}\cdot s\cdot \Omega ^{-1}=J)$
   • بالتالي، كثافة الطاقة الطيفية $(E(f)/\Delta f)$ لها وحدة: $(J\cdot Hz^{-1})$
   • في كثير من الحالات، يمكن حذف خطوة القسمة على $Z$، فيصبح الوصف بوحدة:$(V^{2}\cdot s\cdot Hz^{-1})$.

يمكن تعميم هذا التعريف بطريقة مباشرة ليشمل إشارة منفصلة ذات عدد لا نهائي قابل للعد من القيم $x_{n}$ مثل إشارة يتم أخذ عينات منها في أوقات منفصلة $t_{n}=t_{0}+(n\,\Delta t)$ : $${\bar {S}}_{xx}(f)=\lim _{N\to \infty }(\Delta t)^{2}\underbrace {\left|\sum _{n=-N}^{N}x_{n}e^{-i2\pi fn\,\Delta t}\right|^{2}} _{\left|{\hat {x}}_{d}(f)\right|^{2}},$$ حيث ${\hat {x}}_{d}(f)$ هو تحويل فورييه المتقطع لـ $x_{n}.$ فترة أخذ العينات $\Delta t$ يلزم ذلك للحفاظ على الوحدة الفيزيائية الصحيحة ولضمان استعادة الحالة المستمرة في الحد $\Delta t\to 0$ لكن في العلوم الرياضية، غالباً ما تُحدد الفترة بـ 1، مما يُبسط النتائج على حساب عموميتها. (انظر أيضاً: التردد المُعَيَّر (الوحدة) )

كثافة القدرة الطيفية

$S_{xx}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }R_{xx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }\,d\tau ={\hat {R}}_{xx}(f)$ (Eq.3)

طيف القدرة لتباين درجة حرارة إشعاع الخلفية الكونية الميكروي المقاس بدلالة المقياس الزاوي. الخط المتصل هو نموذج نظري للمقارنة.

إن التعريف السابق لكثافة طيف الطاقة مناسب للإشارات العابرة (الإشارات الشبيهة بالنبضات) التي تتركّز طاقتها ضمن نافذة زمنية واحدة؛ ففي هذه الحالة يكون لتحويلات فورييه الخاصة بالإشارات وجودٌ عام. أمّا بالنسبة للإشارات المستمرة على امتداد الزمن كله، فيلزم بدلًا من ذلك تعريف كثافة طيف القدرة، والتي تكون موجودة للعمليات الساكنة؛ إذ تصف هذه الكثافة كيفية توزّع قدرة الإشارة أو السلسلة الزمنية على التردد، كما في المثال البسيط المذكور سابقًا. وهنا قد تكون القدرة هي القدرة الفيزيائية الفعلية، أو — وهو الأكثر شيوعًا للتبسيط عند التعامل مع إشارات مجردة — تُعرَّف ببساطة على أنها مربع قيمة الإشارة.

فعلى سبيل المثال، يدرس الإحصائيون تباين دالة مع الزمن $x(t)$ (أو مع متغير مستقل آخر)، وبالاستعانة بتشبيه مع الإشارات الكهربائية (وغيرها من العمليات الفيزيائية)، جرت العادة على الإشارة إلى ذلك باسم طيف القدرة حتى في الحالات التي لا تكون فيها قدرة فيزيائية حقيقية متضمنة. ولو أُنشئ مصدر جهد فيزيائي يتبع الدالة $x(t)$ وطُبِّق على طرفي مقاومة مقدارها أوم واحد، فإن القدرة اللحظية المتبددة في تلك المقاومة ستُعطى فعلًا بقيمة $x^{2}(t)$ واط.

وعليه فإن القدرة المتوسطة P لإشارة x(t) على امتداد الزمن كله تُعطى بالمتوسط الزمني التالي، حيث تكون الفترة T متمركزة حول زمن اعتباطي t = $t=t_{0}$:

$$P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{t_{0}-T/2}^{t_{0}+T/2}\left|x(t)\right|^{2}\,dt$$

وعندما يكون التعامل مع حدود زمنية داخل الإشارة نفسها أسهل من التعامل مع حدود زمنية في حدود التكامل، يمكن أيضًا كتابة القدرة المتوسطة على الصورة:$$P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }\left|x_{T}(t)\right|^{2}\,dt,$$

حيث إن$x_{T}(t)=x(t)w_{T}(t)$، و $w_{T}(t)$ تساوي واحدًا داخل الفترة الزمنية الاعتباطية، وتساوي صفرًا خارجها.

عندما تكون القدرة المتوسطة P غير صفريّة، فلا بد أن ينمو التكامل إلى ما لا نهاية بسرعة لا تقل عن سرعة نمو $T$. ولهذا السبب لا يمكن استخدام طاقة الإشارة، لأن ذلك التكامل يكون متباعدًا (غير منتهٍ).

عند تحليل المحتوى الترددي للإشارة $x(t)$، قد يرغب المرء في حساب تحويل فورييه الاعتيادي ${\hat {x}}(f)$؛ غير أن هذا التحويل لا يكون موجودًا رسميًا بالنسبة إلى كثير من الإشارات محل الاهتمام. ومع ذلك، وضمن شروط مناسبة، فإن بعض التعميمات لتحويل فورييه (مثل تحويل فورييه–ستيلتجس) تظل خاضعة لمبرهنة بارسيفال. وبناءً على ذلك،

$$P=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}\,df,$$

حيث يعرّف integrand (المكامل) كثافة طيف القدرة.

المقالة الرئيسة: Spectral density estimation

$S_{xx}(f)=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}|{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}\,$ (Eq.2)

ثم تسمح نظرية الالتفاف بالنظر إلى $|{\hat {x}}_{T}(f)|^{2}$ باعتبارها تحويل فورييه للالتفاف الزمني لـ $x_{T}^{*}(-t)$ و $x_{T}(t)$ ، حيث يمثل * المرافق المركب.

لإثبات الادعاء الوارد في المعادلة 2 أدناه، سنجد تعبيرًا لـ $[{\hat {x}}_{T}(f)]^{*}$ سيكون ذلك مفيدًا لهذا الغرض. في الواقع، سنوضح ذلك. $[{\hat {x}}_{T}(f)]^{*}={\mathcal {F}}\left\{x_{T}^{*}(-t)\right\}$ ابدأ بملاحظة أن $${\begin{aligned}{\mathcal {F}}\left\{x_{T}^{*}(-t)\right\}&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(-t)e^{-i2\pi ft}dt\end{aligned}}$$ ودع $z=-t$ ، لهذا السبب $z\rightarrow -\infty$ متى $t\rightarrow \infty$ والعكس صحيح. $${\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(-t)e^{-i2\pi ft}dt&=\int _{\infty }^{-\infty }x_{T}^{*}(z)e^{i2\pi fz}\left(-dz\right)\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(z)e^{i2\pi fz}dz\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t)e^{i2\pi ft}dt\end{aligned}}$$ حيث تم استخدام في السطر الأخير $z$ و $t$ كونها متغيرات وهمية. لذلك، لدينا $${\begin{aligned}{\mathcal {F}}\left\{x_{T}^{*}(-t)\right\}&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(-t)e^{-i2\pi ft}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t)e^{i2\pi ft}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t)[e^{-i2\pi ft}]^{*}dt\\&=\left[\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}(t)e^{-i2\pi ft}dt\right]^{*}\\&=\left[{\mathcal {F}}\left\{x_{T}(t)\right\}\right]^{*}\\&=\left[{\hat {x}}_{T}(f)\right]^{*}\end{aligned}}$$

والآن، دعونا نبرهن على صحة الادعاء الوارد في المعادلة 2 باستخدام المتطابقة الموضحة. بالإضافة إلى ذلك، سنقوم بالاستبدال. $u(t)=x_{T}^{*}(-t)$ وبهذه الطريقة، لدينا: $${\begin{aligned}\left|{\hat {x}}_{T}(f)\right|^{2}&=[{\hat {x}}_{T}(f)]^{*}\cdot {\hat {x}}_{T}(f)\\&={\mathcal {F}}\left\{x_{T}^{*}(-t)\right\}\cdot {\mathcal {F}}\left\{x_{T}(t)\right\}\\&={\mathcal {F}}\left\{u(t)\right\}\cdot {\mathcal {F}}\left\{x_{T}(t)\right\}\\&={\mathcal {F}}\left\{u(t)\mathbin {\mathbf {*} } x_{T}(t)\right\}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }u(\tau -t)x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }\ d\tau ,\end{aligned}}$$ حيث تم استخدام نظرية الالتفاف عند الانتقال من السطر الثالث إلى السطر الرابع.

والآن، إذا قسمنا الالتفاف الزمني أعلاه على الفترة $T$ وأخذنا الحد عند $T\rightarrow \infty$، فإنه يتحوّل إلى دالة الارتباط الذاتي للإشارة غير المحدودة x(t)، والتي يُرمز إليها بـ $R_{xx}(\tau )$، بشرط أن تكون $x(t)$ إرجودية، وهو ما ينطبق في معظم الحالات العملية، ولكن ليس في كل الحالات. وبذلك:

$$\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\left|{\hat {x}}_{T}(f)\right|^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\left[\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t)dt\right]e^{-i2\pi f\tau }\ d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{xx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau$$

بافتراض إرجودية الإشارة $x(t)$، يمكن إيجاد كثافة طيف القدرة مرة أخرى باعتبارها تحويل فورييه لدالة الارتباط الذاتي $R_{xx}$، وهي الخاصية المعروفة باسم مبرهنة وينر–خينتشين.

$S_{xx}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }R_{xx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }\,d\tau ={\hat {R}}_{xx}(f)$ (Eq.3)

يستخدم العديد من المؤلفين هذه العلاقة لتعريف كثافة طيف القدرة من حيث دالة الارتباط الذاتي، بدلًا من تعريفها بتحويل فورييه للإشارة كما فعلنا سابقًا.

يمكن حساب قدرة الإشارة في نطاق ترددي محدد $[f_{1},f_{2}]$، حيث$0<f_{1}<f_{2}$، عن طريق التكامل على التردد. وبما أن$S_{xx}(-f)=S_{xx}(f)$، يمكن نسب نفس مقدار القدرة إلى نطاقات التردد الموجبة والسالبة، وهو ما يفسر وجود العامل 2 في الصيغة التالية (تعتمد مثل هذه العوامل البسيطة على الاتفاقيات المستخدمة):

$$P_{\textsf {band-limited}}=2\int _{f_{1}}^{f_{2}}S_{xx}(f)\,df$$

وعمومًا، يمكن استخدام تقنيات مشابهة لتقدير كثافة طيفية متغيرة مع الزمن. في هذه الحالة، تكون الفترة الزمنية T محدودة بدلاً من اقترابها من اللانهاية. وهذا يؤدي إلى تقليل التغطية الطيفية والدقة، حيث لا تُؤخذ عينات للترددات الأقل من $1/T$، كما أن النتائج عند الترددات التي ليست مضاعفًا صحيحًا لـ $1/T$ ليست مستقلة. استخدام سلسلة زمنية واحدة فقط سيجعل الطيف المقدر "صاخبًا" جدًا، إلا أن هذا يمكن التخفيف منه إذا كان بالإمكان حساب القيمة المتوقعة (في المعادلة أعلاه) باستخدام عدد كبير (أو لانهائي) من الأطياف قصيرة المدى المقابلة لمجاميع إحصائية من تكرارات $x(t)$ المقيَّمة ضمن النافذة الزمنية المحددة.

كما هو الحال مع كثافة الطيف الطاقي، يمكن تعميم تعريف كثافة الطيف القدرة ليشمل متغيرات الزمن المنفصلة $x_{n}$ كما في السابق، يمكننا اعتبار نافذة من $-N\leq n\leq N$ مع أخذ عينات من الإشارة في أوقات منفصلة $t_{n}=t_{0}+(n\,\Delta t)$ لفترة قياس إجمالية $T=(2N+1)\,\Delta t$ . $$S_{xx}(f)=\lim _{N\to \infty }{\frac {(\Delta t)^{2}}{T}}\left|\sum _{n=-N}^{N}x_{n}e^{-i2\pi fn\,\Delta t}\right|^{2}$$ لاحظ أنه يمكن الحصول على تقدير واحد لكثافة القدرة الطيفية من خلال عدد محدود من عمليات أخذ العينات. وكما كان الحال سابقًا، يتم الحصول على كثافة القدرة الطيفية الفعلية عندما $N$ (وبالتالي $T$ عندما يقترب عدد القياسات من اللانهاية، يتم تطبيق القيمة المتوقعة رسميًا. في التطبيقات العملية، يُجرى عادةً حساب متوسط كثافة القدرة الطيفية لعدد محدود من القياسات عبر العديد من التجارب للحصول على تقدير أدق لكثافة القدرة الطيفية النظرية للعملية الفيزيائية الكامنة وراء القياسات الفردية. تُسمى كثافة القدرة الطيفية المحسوبة هذه أحيانًا مخطط الفترة . يتقارب مخطط الفترة هذا مع كثافة القدرة الطيفية الحقيقية مع ازدياد عدد التقديرات وفترة حساب المتوسط. $T$ الاقتراب من اللانهاية.

إذا كانت إشارتان كلاهما تمتلكان كثافات طيفية للقدرة، فيمكن حساب الكثافة الطيفية المشتركة بطريقة مماثلة؛ فكما أن كثافة طيف القدرة مرتبطة بالارتباط الذاتي، فإن الكثافة الطيفية المشتركة ترتبط بالارتباط المتبادل بين الإشارتين.

خصائص كثافة القدرة الطيفية

تتضمن بعض خصائص PSD ما يلي:

لمعلوماتٍ أكثر: Spectrum

• طيف القدرة يكون دائمًا حقيقيًا وغير سالب، كما أن طيف إشارة ذات قيم حقيقية يكون دالة زوجية بالنسبة للتردد:
• بالنسبة لعملية عشوائية مستمرة $x(t)$، يمكن إعادة بناء دالة الارتباط الذاتي $R_{xx}(\tau )$ من طيف القدرة ${\bar {S}}_{xx}(f)$ باستخدام تحويل فورييه العكسي.
• وباستخدام مبرهنة بارسيفال، يمكن حساب اللحظة الثانية (أو القدرة المتوسطة) للعملية عن طريق تكامل طيف القدرة على كامل نطاق الترددات:

$P=E(x^{2})=\int _{-\infty }^{\infty }S_{xx}(f),df$

• بالنسبة لعملية حقيقية $x(t)$ تمتلك كثافة طيف قدرة ${S}_{xx}(f)$، يمكن حساب الطيف المتكامل أو توزيع القدرة الطيفية ، والذي يحدد القدرة المتوسطة المقيدة بالنطاق من التردد صفر حتى f، كما يلي:

$F(f)=2\int _{0}^{f}S_{xx}(f'),df'$

كثافة القدرة الطيفية المتقاطعة

بافتراض وجود إشارتين $x(t)$ و $y(t)$ ، وكل منها يمتلك كثافة طيفية للقدرة $S_{xx}(f)$ و $S_{yy}(f)$ من الممكن تعريف كثافة القدرة الطيفية المتقاطعة أو الكثافة الطيفية المتقاطعة. ولنبدأ بالنظر إلى متوسط قدرة هذه الإشارة المركبة. $${\begin{aligned}P&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }\left[x_{T}(t)+y_{T}(t)\right]^{*}\left[x_{T}(t)+y_{T}(t)\right]dt\\&=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }|x_{T}(t)|^{2}+x_{T}^{*}(t)y_{T}(t)+y_{T}^{*}(t)x_{T}(t)+|y_{T}(t)|^{2}dt\\\end{aligned}}$$

باستخدام نفس الرموز والأساليب المستخدمة في اشتقاق كثافة طيف القدرة، نستفيد من مبرهنة بارسيفال لنحصل على:

$$S_{xy}(f)=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}[x_{T}^{(}f)y_{T}(f)],\quad$$

$$S_{yx}(f)=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}[y_{T}^{(}f)x_{T}(f)]$$

حيث إن مساهمات $S_{yy}(f)$و $S_{yy}(f)$ مفهومة مسبقًا.

ولاحظ أن $$S_{xy}^{*}(f)=S_{yx}(f))$$ وبالتالي فإن المساهمة الكاملة في القدرة المشتركة عادةً تأتي من ضعفي الجزء الحقيقي لأي كثافة طيفية مشتركة للقدرة منفردة.

وكما فعلنا سابقًا، يمكن إعادة صياغة هذه المنتجات على أنها تحويل فورييه لالتفاف زمني، والذي عند قسمته على الفترة وأخذ الحد T → ∞ يتحول إلى تحويل فورييه لدالة الارتباط المتبادل:

$$S_{xy}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }{\Big [}\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }x_{T}^{*}(t-\tau )y_{T}(t),dt{\Big ]}e^{-i2\pi f\tau },d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{xy}(\tau )e^{-i2\pi f\tau },d\tau$$

$$S_{yx}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }{\Big [}\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{\infty }y_{T}^{*}(t-\tau )x_{T}(t),dt{\Big ]}e^{-i2\pi f\tau },d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }R_{yx}(\tau )e^{-i2\pi f\tau },d\tau$$

حيث $R_{xx}(\tau )$ هو الارتباط المتبادل للإشارة $x(t)$ مع $y(t)$، وRyx(τ) هو الارتباط المتبادل للإشارة $y(t)$ مع $x(t)$. ومن هذا المنطلق، يُرى أن PSD هو حالة خاصة من الكثافة الطيفية المشتركة عندما $x(t)$) = $y(t)$.

إذا كانت $x(t)$ و$y(t)$ إشارات حقيقية (مثل الجهد أو التيار)، فإن تحويلاتهما فورييه x̂(f) وŷ(f) تُقصر عادة على الترددات الموجبة حسب الاتفاق. لذلك، في معالجة الإشارات المعتادة، تكون الكثافة الطيفية المشتركة الكاملة مجرد أحد الكثافة الطيفية المشتركة مضروبًا في عامل 2:$${\text{CPSD}}{\text{Full}}=2S{xy}(f)=2S_{yx}(f)$$بالنسبة للإشارات المنفصلة x_n و y_n ، فإن العلاقة بين الكثافة الطيفية المتقاطعة والتباين المتقاطع هي $$S_{xy}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }R_{xy}(\tau _{n})e^{-i2\pi f\tau _{n}}\,\Delta \tau$$

التقدير

يهدف تقدير الكثافة الطيفية إلى تقدير الكثافة الطيفية لإشارة عشوائية من خلال سلسلة من العينات الزمنية. اعتمادًا على ما هو معروف عن الإشارة، يمكن أن تتضمن تقنيات التقدير نهجًا معلميًا أو غير معلمي ، وقد تكون مبنية على تحليل المجال الزمني أو المجال الترددي. على سبيل المثال، إحدى التقنيات المعلمية الشائعة تتضمن ملاءمة الملاحظات لنموذج الانحدار الذاتي. أما إحدى التقنيات غير المعلمية الشائعة فهي المخطط الدوري.

عادةً ما تُقدَّر الكثافة الطيفية باستخدام طرق تحويل فورييه (مثل طريقة ويلش)، لكن يمكن أيضًا استخدام تقنيات أخرى مثل طريقة أقصى الانتروبيا .

مفاهيم ذات صلة

• المركز الطيفي: هو منتصف دالة الكثافة الطيفية للإشارة، أي التردد الذي يقسم التوزيع إلى جزأين متساويين.
• تردد الحافة الطيفية : يُعبَّر عنه عادةً كـ "SEF x"، ويمثل التردد الذي يقع تحته نسبة x من القدرة الكلية للإشارة. عادةً تكون x بين 75 و95. يُستخدم هذا المقياس بشكل شائع في مراقبة تخطيط الدماغ الكهربائي، حيث يُستعمل لتقدير عمق التخدير أو مراحل النوم.
• الغلاف الطيفي: هو المنحنى المغلف لطيف القدرة. يصف لحظة زمنية واحدة (نافذة واحدة، بدقة). على سبيل المثال، في الاستشعار عن بعد باستخدام مطياف، يمثل الغلاف الطيفي لخاصية ما حدود خصائصها الطيفية كما تُحددها مستويات السطوع في كل نطاق طيفي ذي اهتمام.
• الكثافة الطيفية مقابل الزمن: الكثافة الطيفية هي دالة للتردد وليست للزمن. مع ذلك، يمكن حساب كثافة طيفية لنافذة صغيرة من إشارة أطول ورسمها مقابل الزمن المرتبط بالنافذة. يسمى هذا الرسم مخطط طيفي، وهو أساس العديد من تقنيات التحليل الطيفي مثل تحويل فورييه قصير المدى والمويجات.

  

  مويجات ناجمة عن عملية التنعيم المستخدمة في الدائرة السابقة. اللون الأحمر يظهر شكل الموجة بعد التنعيم بينما الشكل المتقطع يوضح شكل الموجة بعد التقويم الكلي وقبل عملية التنعيم.

• الطيف: يشير عادةً إلى كثافة طيف القدرة كما ذُكر أعلاه، والتي تمثل توزيع محتوى الإشارة عبر التردد. بالنسبة لدوال النقل (مثل مخطط بود، أو شرب)، يمكن رسم الاستجابة الترددية الكاملة في جزأين: القدرة مقابل التردد وطور الإشارة مقابل التردد).
• قد تكون الجزأين هما الجزء الحقيقي والجزء التخيلي لدالة النقل. ويجب عدم الخلط بين هذا والاستجابة الترددية لدالة النقل، التي تتضمن أيضًا الطور (أو ما يعادله: جزء حقيقي وجزء تخيلي) كدالة للتردد. ولا يمكن استعادة الاستجابة اللحظية h(t) من كثافة طيف القدرة وحدها دون الجزء الطوري. على الرغم من أن هذه أزواج تحويل فورييه أيضًا، إلا أنه لا يوجد تماثل (كما هو الحال في الارتباط الذاتي) يجبر تحويل فورييه على أن يكون حقيقي القيمة.
• كثافة الطيف الجهدية: أحيانًا تُستخدم كثافة الطيف الجهدية، وهي الجذر التربيعي لكثافة طيف القدرة. على سبيل المثال، كثافة الطيف الجهدية لإشارة جهد تكون وحدتها V·Hz⁻¹/². يُعد هذا مفيدًا عندما يكون شكل الطيف ثابتًا نسبيًا، لأن التغيرات في كثافة الطيف الجهدية ستكون متناسبة مع تغيرات مستوى جهد الإشارة نفسها. ومع ذلك، يُفضل رياضيًا استخدام PSD، لأنه فقط في هذه الحالة يكون المساحة تحت المنحنى ذات معنى بالنسبة للقدرة الفعلية عبر كل الترددات أو عبر عرض نطاق محدد.

التطبيقات

لمعلوماتٍ أكثر: Spectrum

أي إشارة يمكن تمثيلها كمتغير يتغير مع الزمن لها طيف ترددي مكافئ. ويشمل ذلك كيانات مألوفة مثل الضوء المرئي (الذي يُدرك على شكل لون)، والنغمات الموسيقية (التي يُدرك على شكل درجة صوتية)، والإذاعة والتلفاز (المحددة بترددها أو أحيانًا بطول موجتها)، وحتى الدوران المنتظم للأرض.

عند عرض هذه الإشارات في صورة طيف ترددي، يتم الكشف عن بعض خصائص الإشارات المستقبلة أو العمليات الكامنة التي تنتجها. في بعض الحالات، قد يتضمن الطيف الترددي ذروة واضحة تتوافق مع مكون موجي جيبي. بالإضافة إلى ذلك، قد تظهر ذروات تتوافق مع توافقيات الذروة الأساسية، ما يشير إلى إشارة دورية ليست مجرد موجة جيبية بسيطة. أما الطيف المستمر فقد يظهر فواصل ترددية ضيقة معززة بقوة تتوافق مع الرنينات، أو فواصل ترددية تحتوي على قدرة شبه صفرية كما يحدث عند استخدام مرشح إيقاف النطاق.

الهندسة الكهربائية

مخطط طيفي لإشارة راديو FM، حيث يمثل المحور الأفقي التردد، بينما يمثل المحور الرأسي الزمن المتزايد لأعلى.

يُعد مفهوم واستخدام طيف القدرة لإشارة ما أمرًا أساسيًا في الهندسة الكهربائية، وخاصة في نظم الاتصال الإلكترونية، بما في ذلك الاتصالات الراديوية، والرادارات، والنظم ذات الصلة، بالإضافة إلى تقنيات الاستشعار عن بعد السلبية. وتُستخدم أجهزة إلكترونية تُسمى محللات الطيف لمراقبة وقياس طيف القدرة للإشارات.

يقيس محلل الطيف مقدار تحويل فورييه قصير المدى للإشارة المدخلة. وإذا كانت الإشارة قيد التحليل تُعتبر عملية ثابتة، فإن تحويل فورييه قصير المدى للإشارة يُعد تقديرًا مملسًا جيدًا لكثافة طيف القدرة الخاصة بها.

علم الكونيات

يتم قياس التقلبات الأولية أو تباينات الكثافة في الكون المبكر من خلال طيف قدرة يُحدد قوة هذه التباينات كدالة للمقياس المكاني.

انظر أيضاً

• درجة حرارة السطوع
• الكفاءة الطيفية
• توزيع القدرة الطيفية
• احتمال ضئيل
• وظيفة النافذة
• متسلسلة فورييه
• تحويل لابلاس
• تحويل فورييه السريع
• تحويل فورييه المنقطع
• معالجة الإشارة
• مويجات

ملحوظات

مراجع

• Birolini، Alessandro (2007). Reliability Engineering. Berlin ; New York: Springer Science & Business Media. ISBN:978-3-540-49388-4.
• Brown، Robert Grover؛ Hwang، Patrick Y. C. (1997). Introduction to Random Signals and Applied Kalman Filtering with Matlab Exercises and Solutions. New York: Wiley-Liss. ISBN:978-0-471-12839-7.
• Davenport، Wilbur B. (Jr)؛ Root، William L. (1987). An Introduction to the Theory of Random Signals and Noise. New York: Wiley-IEEE Press. ISBN:978-0-87942-235-6.
• Imtiaz، Syed Anas؛ Rodriguez-Villegas، Esther (2014). "A Low Computational Cost Algorithm for REM Sleep Detection Using Single Channel EEG". Annals of Biomedical Engineering. ج. 42 ع. 11: 2344–59. DOI:10.1007/s10439-014-1085-6. PMC:4204008. PMID:25113231.
• Iranmanesh، Saam؛ Rodriguez-Villegas، Esther (2017). "An Ultralow-Power Sleep Spindle Detection System on Chip". IEEE Transactions on Biomedical Circuits and Systems. ج. 11 ع. 4: 858–866. Bibcode:2017ITBC...11..858I. DOI:10.1109/TBCAS.2017.2690908. hdl:10044/1/46059. PMID:28541914. S2CID:206608057.
• Maral، Gerard (2004). VSAT Networks. West Sussex, England ; Hoboken, NJ: Wiley. ISBN:978-0-470-86684-9.
• Miller، Scott؛ Childers، Donald (2012). Probability and Random Processes. Boston, MA: Academic Press. ISBN:978-0-12-386981-4. OCLC:696092052.
• Norton، M. P.؛ Karczub، D. G. (2003). Fundamentals of Noise and Vibration Analysis for Engineers. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN:978-0-521-49913-2.
• Oppenheim، Alan V.؛ Verghese، George C. (2016). Signals, Systems & Inference. Boston: Pearson. ISBN:978-0-13-394328-3.
• Risken، Hannes؛ Frank، Till (1996). The Fokker-Planck Equation. New York: Springer Science & Business Media. ISBN:978-3-540-61530-9.
• Stein، Jonathan Y. (2000). Digital Signal Processing. New York Weinheim: Wiley-Interscience. ISBN:978-0-471-29546-4.

روابط خارجية

• برامج Matlab لحساب كثافة القدرة الطيفية