انحراف معياري

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
بيان الانحراف المعياري

في الإحصاء ونظرية الاحتمالات يعتبر الانحراف المعياري القيمة الأكثر استخداما من بين مقاييس التشتت الإحصائي لقياس مدى التبعثر الإحصائي، أي أنه يدل على مدى امتداد مجالات القيم ضمن مجموعة البيانات الإحصائية.

و " التباين " Variance وهو معدل مربعات انحرافات العلامات في التوزيع عن الوسط الحسابي. ويكون الانحراف المعياري Standard deviation عندها الجذر التربيعي للتباين بالنسبة لمجموعة البيانات الإحصائية.

يتأثر التباين أو الانحراف المعياري بالقيم المتباعدة أو المتطرفة ولكنه لا يتأثر كثيرا بالتغيرات التي تطرأ على العينة, كما أنهما يرتبطان بالوسط الحسابي للتوزيع، بمعنى ان التشتت الذي نعبر عنه بالتباين أو الانحراف المعياري ينسب إلى الوسط الحسابي وليس لاي نقطة أخرى في التوزيع.

مثال على حساب الانحراف المعياري[عدل]

سنأخذ هذا المثال البسيط على حساب الانحراف المعياري لكل من الرقمين 8 و4.

الخطوة 1: إحسب الـمتوسط حسابي للرقمين.

(4 + 8) / 2 = 6

الخطوة 2: احسب انحراف كل من الرقمين السابقين عن الـمتوسط حسابي.


4 - 6 = -2

 8 - 6 = 2

الخطوة 3: قم بتربيع الانحرافين:

(-2)^2=4

(2)^2=4

الخطوة 4: إجمع التربيعين الناتجين:

4 + 4 = 8

الخطوة 5: قم بتقسيم الناتج على عدد القيم ناقص 1 (وهو في مثالنا 2-1 = 1):

8/1=8

الخطوة 6: قم بإيجاد الجذر التربيعي الموجب:

\sqrt{8}=2.8

إذًا الانحراف المعياري هو 2.8.

حساب الانحراف المعياري لمتغير[عدل]

نفرض أن لدينا المتحولات (أو المتغيرات)\scriptstyle x_1,\dots,x_N، يعطى الانحراف المعياري لهذه القيم بالعلاقة:

\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2}.

حيث أن N هو عدد المتحولات (المتغيرات). ويمكن تبسيط العبارة السابقة إلى التالي:

\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \left(\sum_{i=1}^N x_i^2 - N\overline{x}^2\right)}.

يمكن البرهنة على ذلك بواسطة العملية الجبرية التالية:

\begin{align}
\sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2 & = {} \sum_{i=1}^N (x_i^2 - 2 x_i\overline{x} + \overline{x}^2) \\
& {} = \left(\sum_{i=1}^N x_i^2\right) - \left(2 \overline{x} \sum_{i=1}^N x_i\right) + N\overline{x}^2 \\
& {} = \left(\sum_{i=1}^N x_i^2\right) - 2 \overline{x} (N\overline{x}) + N\overline{x}^2 \\
& {} = \left(\sum_{i=1}^N x_i^2\right) - 2N\overline{x}^2 + N\overline{x}^2 \\
& {} = \left(\sum_{i=1}^N x_i^2\right) - N\overline{x}^2.
\end{align}

بما أن علم الإحصاء يحلل ويعرض البيانات المتفرقة بحيث تكون ذات معنى معين أو تعطي انطباعا معينًا فان تباين هذه البيانات يمثل مشكله كبيرة في فهم سلوك البيانات.

التشتت[عدل]

لشرح معنى التشتت يمكن أن نقدم المثال البسيط التالي: بالنظر للمفردات: 9، 10، 11 فأن وسطها الحسابي هو 10 وهو أفضل قيمة تصلح لتمثيل هذه المجموعة، لكن بالنظر إلى: 8، 10، 12 فإن وسطهم الحسابي هو أيضا 10 وكذلك 6، 10، 14 أي أن الوسط الحسابي فقط لا يكفي لتعريف مجموعة البيانات تعريفا دقيقا بل نحتاج لمعيار إضافي يوضح مدى تشتت هذه البيانات حول الوسط الإحصائي ولذلك اقترح الإحصائيون إدخال مفهوم الانحراف المعياري وغيره من القيم التي تعبر عن مدى تشتت البيانات.