المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر، أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها.

تباعد

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
Question book-new.svg
المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر. يرجى إيراد مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (فبراير 2016)
مواضيع في الحسبان
المبرهنة الأساسية
نهايات الدوال
استمرارية
مبرهنة القيمة المتوسطة

في حسبان المتجهات، التباعد (بالإنجليزية: Divergence) ورمزه \nabla. أو \operatorname{div}(\mathbf{F}) مؤثر تفاضلي على غرار مؤثري التدور والتدرج. يقيس مؤثر التباعد شدة مصدر الحقل المتجهي (حيث التباعد أكبر من الصفر) أو مصرفه (حيث التباعد أقل من الصفر) عند نقطة معينة . ويؤثر التباعد على الحقول المتجهة وينتج عنه حقل قياسي. أما إذا كان التباعد صفرا فهذا يعني أن الحقل المتجهي بلا مصدر (بالإنجليزية: source free) ولا مصرف ، ويسمى الحقل في هذه الحالة حقلا متجهيا ملفيا لإنه ليس له بداية ولا نهاية . ومن الأمثلة على ذلك المجالات المغناطيسية. فخطوط المجال المغناطيسي للكرة الأرضية تخرج من القطب الجنوبي (المصدر) وتتجه إلى القطب الشمالي (المصرف) . فعند قياس تباعدها حول الأرض فالنتيجة سوف تكون صفرا لإن كل ما يخرج منها يعود إليها ، وهذا ما أكد استحالة وجود مغناطيس أحادي القطب. وكذا ُفإن تباعد أي مجال دوار يساوي صفر أي أن :\nabla \cdot ( \nabla \times \mathbf{A} ) = 0 مهما كان الحقل A.

التعريف[عدل]

يعرف تباعد الحقل المتجهي \vec F \colon \R^n\to\R^n الذي تمتد مركباته في ن من الأبعاد على أنه قسمة المركبة F_i بالكمية \tfrac{\partial}{\partial x_i}. على سبيل المثال إذا كانت ن=3 أي \vec F(x_1, x_2, x_3) في ثلاثة أبعاد فإن التباعد يعطى بالصيغة التالية:


\operatorname{div}\colon 
 \vec F = \left(F_1, F_2, F_3\right)  \mapsto  \frac{\partial}{\partial x_1}F_1
+ \frac{\partial}{\partial x_2}F_2+ \frac{\partial}{\partial x_3}F_3

والآن للتعميم على الحقل \vec F = (F_1, \ldots, F_n) في ن من الأبعاد. فإن التباعد يكون:


\operatorname{div}\colon \vec F=\left(F_1,\ldots,F_n\right)  \mapsto  \sum_{i=1}^n\frac{\partial}{\partial x_i}F_i

التباعد في الإحداثيات ثلاثية الأبعاد[عدل]

يحسب التباعد لحقل متجهي في الإحداثيات الديكارتية ثلاثية الأبعاد \vec{F}(x,y,z) وفقا لما يلي:

\operatorname{div}\,\vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}

وفي الإحداثيات الإسطوانية \vec{F}(\rho,\varphi,z):

\operatorname{div}\,\vec{F} = \frac 1 \rho \frac \partial {\partial \rho} (\rho F_\rho) + \frac 1 \rho \frac{\partial F_\varphi}{\partial \varphi} + \frac{\partial F_z}{\partial z}

أما في الإحداثيات الكروية \vec{F}(r, \theta,\varphi)
\operatorname{div}\,\vec{F} = \frac 1 {r^2} \frac \partial {\partial r} (r^2 F_r) + \frac 1 {r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} ( F_\theta \sin \theta) + \frac 1{r \sin \theta } \frac {\partial F_\varphi}{\partial \varphi}

العمليات على المتجهات[عدل]

يدرس التفاضل الشعاعي العديد من العمليات التفاضلية معرفة في الحقل الشعاعي أو السلمي، والتي يعبر عنها غالباً على شكل معامل دلتا (\nabla). العمليات الرئيسية الأربعة في التفاضل الشعاعي هي:

العملية الترميز الوصف المجال
تدرجGradient  \operatorname{grad}(f) = \nabla f تقيس معدل وجهة التغير في الحقل السلمي. تسقط الحقل السلمي على الحقل الشعاعي.
تدورCurl  \operatorname{curl}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F} يقيس قابلية الدوران حول نقطة في الحقل الشعاعي. يسقط الحقل الشعاعي على الحقل الشعاعي.
تباعدDivergence  \operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F} يقيس ميل المصدر أو المصرف عند نقطة معينة في الحقل الشعاعي. يسقط الحقل الشعاعي على الحقل السلمي.
لابلاسيLaplacian  \Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f مركب من عمليتي التشعب والتغير. يسقط الحقل السلمي على الحقل السلمي.