تباعد (متجهات)

في حسبان المتجهات، التباعد ورمزه $\nabla .$ أو $\operatorname {div} (\mathbf {F} )$ مؤثر تفاضلي على غرار مؤثري التدور والتدرج. يقيس مؤثر التباعد شدة مصدر الحقل المتجهي (حيث التباعد أكبر من الصفر) أو مصرفه (حيث التباعد أقل من الصفر) عند نقطة معينة . ويؤثر التباعد على الحقول المتجهة وينتج عنه حقل قياسي. أما إذا كان التباعد صفرا فهذا يعني أن الحقل المتجهي بلا مصدر ولا مصرف ، ويسمى الحقل في هذه الحالة حقلا متجهيا ملفيا لإنه ليس له بداية ولا نهاية . ومن الأمثلة على ذلك المجالات المغناطيسية. فخطوط المجال المغناطيسي للكرة الأرضية تخرج من القطب الجنوبي (المصدر) وتتجه إلى القطب الشمالي (المصرف) . فعند قياس تباعدها حول الأرض فالنتيجة سوف تكون صفرا لإن كل ما يخرج منها يعود إليها ، وهذا ما أكد استحالة وجود مغناطيس أحادي القطب. وكذا ُفإن تباعد أي مجال دوار يساوي صفر أي أن :$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0$ مهما كان الحقل A.

التعريف

يعرف تباعد الحقل المتجهي ${\vec {F}}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ الذي تمتد مركباته في ن من الأبعاد على أنه قسمة المركبة $F_{i}$ بالكمية ${\tfrac {\partial }{\partial x_{i}}}$. على سبيل المثال إذا كانت ن=3 أي ${\vec {F}}(x_{1},x_{2},x_{3})$ في ثلاثة أبعاد فإن التباعد يعطى بالصيغة التالية:

$\operatorname {div} \colon {\vec {F}}=\left(F_{1},F_{2},F_{3}\right)\mapsto {\frac {\partial }{\partial x_{1}}}F_{1}+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}F_{2}+{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}F_{3}$

والآن للتعميم على الحقل ${\vec {F}}=(F_{1},\ldots ,F_{n})$ في ن من الأبعاد. فإن التباعد يكون:

$\operatorname {div} \colon {\vec {F}}=\left(F_{1},\ldots ,F_{n}\right)\mapsto \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}F_{i}$

التباعد في الإحداثيات ثلاثية الأبعاد

يحسب التباعد لحقل متجهي في الإحداثيات الديكارتية ثلاثية الأبعاد ${\vec {F}}(x,y,z)$ وفقا لما يلي:

$\operatorname {div} \,{\vec {F}}={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}$

وفي الإحداثيات الإسطوانية ${\vec {F}}(\rho ,\varphi ,z)$:

$\operatorname {div} \,{\vec {F}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}(\rho F_{\rho })+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}$

أما في الإحداثيات الكروية ${\vec {F}}(r,\theta ,\varphi )$
$\operatorname {div} \,{\vec {F}}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r^{2}F_{r})+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(F_{\theta }\sin \theta )+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}$

العمليات على المتجهات

يدرس التفاضل الشعاعي العديد من العمليات التفاضلية معرفة في الحقل الشعاعي أو السلمي، والتي يعبر عنها غالباً على شكل معامل دلتا ($\nabla$). العمليات الرئيسية الأربعة في التفاضل الشعاعي هي:

العملية	الترميز	الوصف	المجال
تدرجGradient	$\operatorname {grad} (f)=\nabla f$	تقيس معدل وجهة التغير في الحقل السلمي.	تسقط الحقل السلمي على الحقل الشعاعي.
تدورCurl	$\operatorname {curl} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F}$	يقيس قابلية الدوران حول نقطة في الحقل الشعاعي.	يسقط الحقل الشعاعي على الحقل الشعاعي.
تباعدDivergence	$\operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F}$	يقيس ميل المصدر أو المصرف عند نقطة معينة في الحقل الشعاعي.	يسقط الحقل الشعاعي على الحقل السلمي.
لابلاسيLaplacian	$\Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f$	مركب من عمليتي التشعب والتغير.	يسقط الحقل السلمي على الحقل السلمي.