رسم يوضح تحويل ليجاندر (انظر معناه الهندسي). تحويل ليجاندر في الرياضيات والفيزياء (بالإنجليزية:Legendre Transformation) هو تحويل رياضي ينتسب إلى عالم الرياضيات أدريان ليجاندر يختص بتحويل التماس ويشكل طريقة حسابية هامة لتحويل المتغيرات في الدوال الرياضية.[1]
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
g
(
u
)
{\displaystyle g(u)}
حيث ينشأ المتغير
g
{\displaystyle g}
f
{\displaystyle f}
أي أن:
u
=
∂
f
∂
x
{\displaystyle u={\tfrac {\partial f}{\partial x}}}
وبالعكس:
x
=
±
∂
g
∂
u
{\displaystyle x=\pm {\tfrac {\partial g}{\partial u}}}
ويمكن كتابة معادلات قبل وبعد التحويل كالآتي:
g
(
u
)
=
±
[
u
x
(
u
)
−
f
(
x
(
u
)
)
]
,
f
(
x
)
=
x
u
(
x
)
∓
g
(
u
(
x
)
)
{\displaystyle g(u)=\pm \left[u\,x(u)-f(x(u))\right]\ ,\quad f(x)=x\,u(x)\mp g(u(x))}
استنباطه [ عدل ] الغرض من تحويل ليجاندر هو تغيير اعتماد دالة
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
x
{\displaystyle x}
u
{\displaystyle u}
u
=
∂
f
∂
x
{\displaystyle u={\frac {\partial f}{\partial x}}}
فعندما نصيغ الدالة
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
x
{\displaystyle x}
d
f
=
∂
f
∂
x
d
x
=
u
d
x
{\displaystyle \mathrm {d} f={\frac {\partial f}{\partial x}}\,\mathrm {d} x=u\,\mathrm {d} x}
يصبح الدالة
g
(
u
)
{\displaystyle g(u)}
u
{\displaystyle u}
d
g
=
±
x
d
u
{\displaystyle \mathrm {d} g=\pm x\,\mathrm {d} u}
وعندما نقوم بمعلية التفاضل الكلي ل
(
±
u
x
)
{\displaystyle (\pm ux)}
d
(
±
u
x
)
=
±
(
x
d
u
+
u
d
x
)
{\displaystyle \mathrm {d} (\pm ux)=\pm (x\,\mathrm {d} u+u\,\mathrm {d} x)}
وبالمقارنة ب
d
f
{\displaystyle \mathrm {d} f}
d
g
{\displaystyle \mathrm {d} g}
نحصل على:
d
(
±
u
x
)
=
d
g
±
u
d
x
=
d
g
±
d
f
{\displaystyle \mathrm {d} (\pm ux)=\mathrm {d} g\pm u\,\mathrm {d} x=\mathrm {d} g\pm \mathrm {d} f}
أي أن:
d
g
=
d
(
∓
f
±
u
x
)
{\displaystyle \mathrm {d} g=\mathrm {d} (\mp f\pm ux)}
وبعد إجراء التكامل نحصل على:
g
(
u
)
=
±
(
−
f
(
x
(
u
)
)
+
u
x
(
u
)
)
{\displaystyle g(u)=\pm (-f(x(u))+ux(u))}
وتسمى الدالة
g
(
u
)
{\displaystyle g(u)}
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
لذلك يمكننا كتابة
g
=
u
x
−
f
{\displaystyle g=ux-f}
g
=
f
−
u
x
{\displaystyle g=f-ux}
ويعتمد اختيار الإشارة على المعني الفيزيائي للدالة
g
{\displaystyle g}
معناه الهندسي [ عدل ] سنوضح تحويل ليجاندر بواسطة الرسم المرسوم أعلاه: يمكن رسم المنحنى الأحمر عن طريق استبدال كل نقاطه بتحويلات ليجاندر التي تعطينا عددا كبيرا من المماسات التي تحيط وتمس المنحنى الأحمر. وهذا ما تقوم به تحيلات ليجاندر. فالدالة الناتجة
g
(
u
)
{\displaystyle g(u)}
u
{\displaystyle u}
u
{\displaystyle u}
x
{\displaystyle x}
في حالة عدة متغيرات [ عدل ] يتغير اعتماد دالة
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)}
x
{\displaystyle x}
u
{\displaystyle u}
f
{\displaystyle f}
x
{\displaystyle x}
u
=
∂
f
∂
x
{\displaystyle u={\frac {\partial f}{\partial x}}}
ويمثل فيها
u
(
x
,
y
)
{\displaystyle u(x,y)}
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)}
ذلك نتحدث عن تحويل ليجاندر بأنه «تحويل مماسات». وتسمى الدالة
F
(
u
,
y
)
{\displaystyle F(u,y)}
«دالة ليجراند المحولة».
ويمكننا استنباط دالة ليجراند المحولة كالآتي: يمكن كتابة الدالة
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)}
f
(
x
,
y
)
≈
f
(
x
0
,
y
)
+
∂
f
∂
x
Δ
x
,
Δ
x
=
x
−
x
0
{\displaystyle f(x,y)\approx f(x_{0},y)+{\frac {\partial f}{\partial x}}\Delta x,\;\Delta x=x-x_{0}}
وإذا عرّفنا
f
(
x
0
,
y
)
≡
F
(
u
,
y
)
{\displaystyle f(x_{0},y)\equiv F(u,y)}
F
(
u
,
y
)
=
f
(
x
,
y
)
−
∂
f
∂
x
Δ
x
{\displaystyle F(u,y)=f(x,y)-{\frac {\partial f}{\partial x}}\Delta x}
في أغلب أحوال توضع
x
0
=
0
{\displaystyle x_{0}=0}
F
(
u
,
y
)
=
f
(
x
,
y
)
−
∂
f
∂
x
x
{\displaystyle F(u,y)=f(x,y)-{\frac {\partial f}{\partial x}}x}
بالنسبة إلى التعريف الأخير يكون الجزء
y
{\displaystyle y}
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
أي ينشأ تبديل المتغيرات من خلال طرح حاصل ضرب الإحداثيات الأولية والجديدة
u
x
{\displaystyle ux}
F
(
u
,
y
)
=
f
(
x
,
y
)
−
u
x
{\displaystyle F(u,y)=f(x,y)-ux}
ويبدو ذلك واضحا عند مشاهدة إلى التفاضل الكلي لدالة ليجاندر المحولة:
d
(
f
(
x
,
y
)
−
u
x
)
=
d
f
(
x
,
y
)
−
x
d
u
−
u
d
x
=
∂
f
∂
x
d
x
+
∂
f
∂
y
d
y
−
x
d
u
−
u
d
x
=
∂
f
∂
y
d
y
−
x
d
u
=
d
F
(
u
,
y
)
{\displaystyle \mathrm {d} (f(x,y)-ux)=\mathrm {d} f(x,y)-x\,\mathrm {d} u-u\,\mathrm {d} x={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathrm {d} y-x\mathrm {d} u-u\mathrm {d} x={\frac {\partial f}{\partial y}}\mathrm {d} y-x\,\mathrm {d} u=\mathrm {d} F(u,y)}
تطبيقاته [ عدل ] يطبق تحويل ليجاندر في الفيزياء في مسائل الترموديناميكا الإحصائية ، مثل تحويل معادلات الانتقال بين الجهود الترموديناميكية تحت طروف معينة وكذلك عند الانتقال من دالة ليجاندر إلى ميكانيك هاميلتون أو إلى ميكانيك لاغرانج .
وفي علم الحركة الحرارية نستخدمها مع اختيار الإشارة السفلى، أي بوضع
(
g
=
f
−
u
x
{\displaystyle g=f-ux}
ويقوم تحويل ليجاندر - وكذلك تحويل نقاط الممسات بصفة عامة - بوظية هامة ي الميكانيكا وحساب التغيرات وفي نظرية المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى . وعند استخدام دالة ليجراندر المحولة في الميكانيكا نستخدم الإشارة العليا في المعادلة (
g
=
u
x
−
f
{\displaystyle g=ux-f}
مثـال دالة هاميلتون [ عدل ] في الميكانيكا نستنبط معادلة هاميلتون من معادلة لاغرانج عن طريق استخدام تحويل ليجاندر :
H
(
q
,
p
)
=
p
q
˙
(
q
,
p
)
−
L
(
q
,
q
˙
(
q
,
p
)
)
with
p
=
∂
L
∂
q
˙
{\displaystyle H(q,p)=p\,{\dot {q}}(q,p)-L(q,{\dot {q}}(q,p))\quad {\text{with}}\quad p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}}
وفي الترموديناميكا يمكننا عن طريق تحويل ليجاندر استنباط الجهد الترمويناميكي من المعادلات الأساسية للترموديناميكا . عندئذ يمكن الانتقال من الطاقة الداخلية U (وهي تعتمد على الإنتروبيا ) S إلى طاقة هيلمهولتز F التي تعتمد على درجة الحرارة T :
F
(
T
,
V
,
N
)
=
U
(
S
,
V
,
N
)
−
(
∂
U
∂
S
)
V
,
N
⋅
S
=
U
−
T
S
{\displaystyle F(T,V,N)=U(S,V,N)-\left({\frac {\partial U}{\partial S}}\right)_{V,N}\cdot S=U-TS}
وهنا يختص تفاضل المعادلة
(U(S,V,N بانسبة لإنتروبيا S , حيث نضع كلا من V و N كثوابت.
بالمثل نستخدمها عند دراسة جهد ترموديناميكي وتحوله إلى جهد آخر، مثلما يحدث عند الانتقال من الإنثالبي H إلى طاقة جيبس G :
G
(
T
,
p
,
N
)
=
H
(
S
,
p
,
N
)
−
(
∂
H
∂
S
)
p
,
N
⋅
S
=
(
U
+
p
V
)
−
T
S
{\displaystyle G(T,p,N)=H(S,p,N)-\left({\frac {\partial H}{\partial S}}\right)_{p,N}\cdot S=(U+pV)-TS}
وبالمثل نستطيع الحصول على جهود ترموديناميكية أخرى أننا عن طريق تحويل ليجاندر نستطيع الانتقال إلى إحداثيات معممة والتي عن طريقها يمكننا استبدالها بالقوة الترموديناميكية المقترنة.
أمثلة الدالة الأسية [ عدل ] رسم الرسم البياني للدالة ex الدالة الأسية ex
لها دالة تحويل ليجاندر
x ln x − x  
حيث أن مشتقاتها الأولى ex x معكوسة بالنسبة لبعضها.
وهذا يبين أن ليس من الضروري أن يتفق الحيزين الرياضييين للدالتين مع بعضهما.
كذلك بالنسبة إلى الدالة التربيعية:
f
(
x
)
=
1
2
x
T
A
x
{\displaystyle f(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\,x^{T}\,A\,x}
حيث A مصفوف متناظر غير متغير
(مصفوف n -في-n ) ودالة تحويل ليجاندر له هي:
f
⋆
(
y
)
=
1
2
y
T
A
−
1
y
{\displaystyle f^{\star }(y)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\,y^{T}\,A^{-1}\,y}
مراجع [ عدل ] انظر أيضا [ عدل ] 
![{\displaystyle g(u)=\pm \left[u\,x(u)-f(x(u))\right]\ ,\quad f(x)=x\,u(x)\mp g(u(x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3658c1811f4fe7ea1cb56e1bbb7c5a9244c786a)
