المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر، أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها.

تصنيف الزمر المنتهية البسيطة

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث
Question book-new.svg
المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر. يرجى إيراد مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (ديسمبر 2018)

في الرياضيات، تصنيف الزمر المنتهية البسيطة (بالإنجليزية: Classification of finite simple groups) هو نظرية تقرر أن كل زمرة منتهية بسيطة تنتمي إلى واحدة من الفئات الأربع المذكورة أدناه. يمكن اعتبار هذه الـزمر حجر الأساس لكل الزمر المنتهية، تمامًا مثلما تُعد الأعداد الأولية حجر الأساس للأعداد الطبيعية. إن مبرهنة جوردان–هولدر هي طريقة دقيقة لإقرار هذه الحقيقة عن الزمر المنتهية.

يحتوي البرهان على النظرية على عشرات الآلاف من الصفحات في مئات من مقالات الصحف لمئات المؤلفين، ونُشرت غالبًا بين عامي 1955 و2004. ويقوم كلٌ من غورينشتاين (ت 1922) وليونز، وسولومون بنشر نسخة مبسطة ومنقحة من الدليل بصورة تدريجية.

تاريخ البرهان[عدل]

برنامج غورينشتاين[عدل]

في عام 1972، أعلن غورنشتاين (1979, Appendix) عن برنامج لإتمام تصنيف الزمر المنتهية البسيطة، تضم الخطوات الست عشرة التالية:

  1. الزمر من الرتبة الثانية المنخفضة. قام غورينشتاين وهارادا (Harada) بذلك في الأساس، وهما اللذان صنفا الزمر في الرتبة القطاعية الثانية و4 على الأكثر. إن أغلب حالات الرتبة الثانية تمت في الوقت الذي أعلن فيه غورينشتاين عن برنامجه.
  2. البساطة الجزئية لطبقتين. تكمن المشكلة في إثبات أن طبقتي بؤرة الالتفاف في زمرة بسيطة هو بساطة جزئية.
  3. الشكل القياسي في السمة الفردية. إذا كانت زمرة ما تتسم بالتفاف ذي مكونين، فهي زمرة من نوع لي (Lie) من السمة الفردية، ويتمثل الهدف في إثبات أن لديها بؤرة التفاف في "شكل قياسي" مما يعني أن بؤرة الالتفاف بها مكوِّن من نوع لي في السمة الغريبة وأيضًا بها بؤرة من رتبة 2.
  4. تصنيف الزمر من النوع الفردي. تكمن المشكلة في إثبات أنه إذا كان لدى زمرةٍ ما بؤرة التفاف في "الشكل القياسي"، فهي زمرة من نوع لي من النوع الفردي. وقام أشباشر (Aschbacher) بحل ذلك من خلال نظرية الالتفاف الكلاسيكي.
  5. الشكل شبه القياسي
  6. التفافات مركزية
  7. تصنيف الزمر المتعاقبة.
  8. بعض الزمر المتقطعة
  9. الزمر الصغيرة. قام أشباشر في عام 1978 بتصنيف الزمر المنتهية الصغيرة، تلك الزمر ذات الرتبة 2 p وعلى الأكثر 1 للأعداد الأولية الفردية p.
  10. الزمر التي تحتوي على زميرة p قوية للp الفردي
  11. طريقة المدلل الإشاري للأعداد الأولية الفردية. تتمثل المشكلة الأساسية في إثبات نظرية المدلل الإشاري للمدللات الإشارية غير القابلة للحل. حيث قام ماك برايد (McBride) بحل ذلك في 1982.
  12. الزمر من نوع p. تلك هي مشكلة الزمر التي تحتوي على زميرات مشتملة بقوة علىpوعدد فردي p، وهو ما تناوله أشباشر.
  13. الزمر شبه الصغيرة. إن الزمرة شبه الصغيرة هي تلك التي تحتوي زميراتها -2 على رتبة -p وعلى الأكثر 2 لكل الأعداد الفردية p، وتتمثل المشكلة في تصنيف البسيط منها من نوع 2. قام أشباشر وسميث بإتمام ذلك في 2004.
  14. الزمر من رتبة -2 المنخفضة -3. قام أشباشر بحل هذا من خلال نظرية انقسام إلى ثلاثة أجزاء للزمر ذات e(G)=3.إن التغيير الأساسي هو أن رتبة 2 -3 قد تم استبدالها برتبة 2 p للأعداد الفردية.
  15. مراكز ذات 3 عناصر في الشكل المعياري. تم ذلك بشكل أساسي من خلال نظرية انقسام إلى ثلاثة أجزاء.
  16. تصنيف الزمر البسيطة من نوع 2. تم ذلك من خلال مبرهنة جيلمان-غريس، ب3 عناصر تم استبدالها ب عناصر-p للأعداد الفردية.

مراجع[عدل]

  • Aschbacher، Michael؛ Lyons، Richard؛ Smith، Stephen D.؛ Solomon، Ronald (2011)، The Classification of Finite Simple Groups: Groups of Characteristic 2 Type، Mathematical Surveys and Monographs، 172، ISBN 978-0-8218-5336-8 
  • Conway، John Horton؛ Curtis، Robert Turner؛ Norton، Simon Phillips؛ Parker، Richard A؛ Wilson، Robert Arnott (1985)، Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups، Oxford University Press، ISBN 0-19-853199-0 
  • Gorenstein، D. (1979)، "The classification of finite simple groups. I. Simple groups and local analysis"، American Mathematical Society. Bulletin. New Series، 1 (1): 43–199، ISSN 0002-9904، MR 513750، doi:10.1090/S0273-0979-1979-14551-8 
  • Gorenstein، D. (1982)، Finite simple groups، University Series in Mathematics، New York: Plenum Publishing Corp.، ISBN 978-0-306-40779-6، MR 698782 
  • Gorenstein، D. (1983)، The classification of finite simple groups. Vol. 1. Groups of noncharacteristic 2 type، The University Series in Mathematics، Plenum Press، ISBN 978-0-306-41305-6، MR 746470 
  • Daniel Gorenstein (1985), "The Enormous Theorem", Scientific American, vol. 253, no. 6, pp. 104–115.
  • Gorenstein، D. (1986)، "Classifying the finite simple groups"، American Mathematical Society. Bulletin. New Series، 14 (1): 1–98، ISSN 0002-9904، MR 818060، doi:10.1090/S0273-0979-1986-15392-9 
  • Gorenstein، D.؛ Lyons، Richard؛ Solomon، Ronald (1994)، The classification of the finite simple groups، Mathematical Surveys and Monographs، 40، Providence, R.I.: American Mathematical Society، ISBN 978-0-8218-0334-9، MR 1303592 
  • Gorenstein، D.؛ Lyons، Richard؛ Solomon، Ronald (1996)، The classification of the finite simple groups. Number 2. Part I. Chapter G، Mathematical Surveys and Monographs، 40، Providence, R.I.: American Mathematical Society، ISBN 978-0-8218-0390-5، MR 1358135 
  • Gorenstein، D.؛ Lyons، Richard؛ Solomon، Ronald (1998)، The classification of the finite simple groups. Number 3. Part I. Chapter A، Mathematical Surveys and Monographs، 40، Providence, R.I.: American Mathematical Society، ISBN 978-0-8218-0391-2، MR 1490581 
  • Gorenstein، D.؛ Lyons، Richard؛ Solomon، Ronald (1999)، The classification of the finite simple groups. Number 4. Part II. Chapters 1–4، Mathematical Surveys and Monographs، 40، Providence, R.I.: American Mathematical Society، ISBN 978-0-8218-1379-9، MR 1675976 
  • Gorenstein، D.؛ Lyons، Richard؛ Solomon، Ronald (2002)، The classification of the finite simple groups. Number 5. Part III. Chapters 1–6، Mathematical Surveys and Monographs، 40، Providence, R.I.: American Mathematical Society، ISBN 978-0-8218-2776-5، MR 1923000 
  • Gorenstein، D.؛ Lyons، Richard؛ Solomon، Ronald (2005)، The classification of the finite simple groups. Number 6. Part IV، Mathematical Surveys and Monographs، 40، Providence, R.I.: American Mathematical Society، ISBN 978-0-8218-2777-2، MR 2104668 
  • Mark Ronan, Symmetry and the Monster, ISBN 978-0-19-280723-6, Oxford University Press, 2006. (Concise introduction for lay reader)
  • Marcus du Sautoy, Finding Moonshine, Fourth Estate, 2008, ISBN 978-0-00-721461-7 (another introduction for the lay reader)
  • Ron Solomon (1995) "On Finite Simple Groups and their Classification," Notices of the American Mathematical Society. (Not too technical and good on history)
  • Solomon، Ronald (2001)، "A brief history of the classification of the finite simple groups" (PDF)، American Mathematical Society. Bulletin. New Series، 38 (3): 315–352، ISSN 0002-9904، MR 1824893، doi:10.1090/S0273-0979-01-00909-0  – article won Levi L. Conant prize for exposition
  • Thompson، John G. (1984)، "Finite nonsolvable groups"، in Gruenberg، K. W.؛ Roseblade، J. E.، Group theory. Essays for Philip Hall، Boston, MA: Academic Press، صفحات 1–12، ISBN 978-0-12-304880-6، MR 780566 
  • Wilson، Robert A. (2009)، The finite simple groups، Graduate Texts in Mathematics 251، 251، Berlin, New York: Springer-Verlag، ISBN 978-1-84800-987-5، Zbl 05622792، doi:10.1007/978-1-84800-988-2 

وصلات خارجية[عدل]