تفاضل

  ميّز عن حساب التفاضل.

في الرياضيات، يشير التفاضل إلى عدة مفاهيم مترابطة مستمدة من الأيام الأولى لحُسْبَان التفاضل والتكامل، والتي وضعت على أساس صارم، مثل الفروق اللامتناهية في الصغر ومشتقات الدوال.

يستخدم هذا المصطلح في مختلف فروع الرياضيات مثل حُسْبَان التفاضل والتكامل، والهندسة التفاضلية، والهندسة الجبرية، والطبولوجيا الجبرية .

مقدمة

يُستخدم مصطلح التفاضل بشكل غير دقيق في حسبان التفاضل والتكامل للإشارة إلى تغير لامتناهٍ في الصغر ("صغير لانهائيًا") في بعض الكميات المتغيرة. على سبيل المثال، إذا كان x متغيرًا، فإن التغير في قيمة x يُشار إليه غالبًا بـ Δ x (يُنطق دلتا x). يمثل التفاضل dx تغيرًا لامتناهٍ في الصغر في المتغير x. إن فكرة التغير اللامتناهي في الصغر أو البطيء للغاية مفيدة للغاية بديهيًا، وتوجد عدة طرق لجعل هذا المفهوم دقيقًا من الناحية الرياضياتية.

باستخدام حسبان التفاضل والتكامل، يُمكن ربط التغيرات اللامتناهية في الصغر لمختلف المتغيرات ببعضها البعض رياضيًا باستخدام المشتقات. إذا كانت y دالة لـ x، فإن التفاضل dy لـ y يرتبط بـ dx بالصيغة:$$dy={\frac {dy}{dx}}\,dx,$$ وفيها${\frac {dy}{dx}}\,$ لا يُشير إلى "dy مقسومًا على dx" كما يُقرَأ بديهيًا، بل إلى "مشتقة y بالنسبة إلى x". تُلخِّص هذه الصيغة فكرة أن مشتقة y بالنسبة إلى x هي نهاية نسبة الفرقين Δy/Δx عندما يقترب Δx من الصفر.

المفاهيم الأساسية

• في حسبان التفاضل والتكامل، يمثل التفاضل تغيرًا في استخطاط الدالة.
  • التفاضل الكلي هو تعميمه على دوال متعددة المتغيرات.
• في المناهج التقليدية لحسبان التفاضل والتكامل، تُفسَّر التفاضلات (مثل dx وdy وdt وغيرها) على أنها لامتناهية في الصغر. توجد عدة طرق لتعريف اللامتناهيات في الصغر بدقة، ولكن يكفي القول إن عددًا لامتناهيًا في الصغر هو أصغر في قيمته المطلقة من أي عدد حقيقي موجب، تمامًا كما أن عددًا لامتناهيًا في الكبر هو أكبر من أي عدد حقيقي.
• التفاضل هو اسم آخر للمصفوفة الياكوبية للمشتقات الجزئية لدالة من Rⁿ إلى R^m (خاصةً عندما يُنظر إلى هذه المصفوفة على أنها تطبيق خطي).
• بشكل أعم، يشير التفاضل أو الدفع للأمام إلى مشتقة تطبيق بين متنوعات ملساء وعمليات الدفع للأمام التي تُعرّفها. ويُستخدم التفاضل أيضًا لتعريف المفهوم المزدوج للسحب للخلف.
• يوفر الحُسْبَان التصادفي مفهوم التفاضل التصادفي والحُسْبَان المرتبط بالعمليات العشوائية .
• يُمثَّل المُكَامِل في تكامل ستيلشيس على أنه مُشتق دالة. من الناحية الشكلية، يتصرف المُشتق الذي يظهر تحت التكامل تمامًا مثل التفاضل: ومن ثم، فإن صيغتي التكامل بالتعويض والتكامل بالتجزئة لتكامل ستيلشيس تتوافقان، على الترتيب، مع قاعدتَي السلسلة والضرب للتفاضل.