تفاضل دالة

  ميّز عن مفاضلة/اشتقاق، عملية لإيجاد مشتق دالة.

في حساب التفاضل والتكامل، يمثل التفاضل الجزء الرئيس من التغير في الدالة $y=f(x)$ بالنسبة للتغيرات في المتغير المستقل. يُعرَّف التفاضل $dy$ بِـ:$$dy=f'(x)\,dx,$$ وفيها $f'(x)$ هو مشتق f بالنسبة إلى $x$ ، و$dx$ هو متغير حقيقي إضافي (بحيث يكون $dy$ دالة لـ $x$ و $dx$). التدوين هو بحيث تكون المعادلة

$$dy={\frac {dy}{dx}}\,dx$$

محققة، وفيها يُمثَّل المشتق في صيغة لايبنتس $dy/dx$، وهذا يتوافق مع اعتبار المشتق خارج قسمة التفاضلين. ويكتب أيضًا على شكل

$$df(x)=f'(x)\,dx.$$

يعتمد المعنى الدقيق للمتغيرين $dy$ و $dx$ على سياق التطبيق ومستوى الدقة الرياضية المطلوب. قد يأخذ مجال هذه المتغيرات دلالة هندسية معينة إذا اعتُبر التفاضل شكلاً تفاضليًا معينًا، أو دلالة تحليلية إذا اعتُبر التفاضل تقريبًا خطيًا لتزايد الدالة. تعتبر المتغيرين $dx$ و $dy$ تقليديًا صغيرين جدًا (لامتناهيين في الصغر)، وتُضفَى الدقة على هذا التفسير في التحليل غير المعياري.

التعريف

تفاضل الدالة $f(x)$ عند النقطة $x_{0}$.

يُعرَّف التفاضل في المعالجات الحديثة لحساب التفاضل على النحو التالي. تفاضل الدالة $f(x)$ لمتغير حقيقي واحد $x$ هو الدالة $df$ لمتغيرين حقيقيين مستقلين $x$ و $\Delta x$ المعطاة بـ:

$$df(x,\Delta x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ f'(x)\,\Delta x.$$

يمكن حذف إحدى العُمْدَتَيْن أو كلتيهما، أي يمكن رؤية $df(x)$ أو ببساطة $df$. إذا كان $y=f(x)$، فيمكن أيضًا كتابة التفاضل على النحو $dy$. نظرًا لأن $dx(x,\Delta x)=\Delta x$، فمن المعتاد كتابة $dx=\Delta x$ بحيث تكون المساواة التالية محققة:

$$df(x)=f'(x)\,dx$$

يمكن تطبيق مفهوم التفاضل هذا على نطاق واسع عند البحث عن تقريب خطي لدالة، حيث تكون قيمة الزيادة $\Delta x$ صغيرة بما يكفي. بتعبير أدق، إذا كانت $f$ دالة قابلة للاشتقاق عند $x$، فإن الفرق في قيم $y$

$$\Delta y\ {\stackrel {\rm {def}}{=}}\ f(x+\Delta x)-f(x)$$

تحقق

$$\Delta y=f'(x)\,\Delta x+\varepsilon =df(x)+\varepsilon \,$$

وفي الأخيرة الخطأ $\varepsilon$ في التقريب يحقق $\varepsilon /\Delta x\rightarrow 0$ عندما $\Delta x\rightarrow 0$. بعبارة أخرى، كون لدينا المُطابَقة التقريبية

$$\Delta y\approx dy$$

حيث يمكن جعل الخطأ صغيرًا بقدر ما نريد بالنسبة إلى $\Delta x$ عن طريق تقييد $\Delta x$ ليكون صغيرًا بما يكفي؛ أي $${\frac {\Delta y-dy}{\Delta x}}\to 0$$ عندما $\Delta x\rightarrow 0$ . لهذا السبب، يُعرف تفاضل الدالة بأنه الجزء الرئيس (الخطي) في زيادة الدالة: التفاضل هو دالة خطية للزيادة $\Delta x$، وعلى الرغم من أن الخطأ $\varepsilon$ قد يكون غير خطي، فإنه يؤول إلى الصفر بسرعة عندما يؤول $\Delta x$ إلى الصفر.