تفاضل كامل

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث

تفاضل كامل أو المشتقة الكاملة في الرياضيات (بالإنجليزية: total derivative) وبصفة خاصة في حساب التفاضل وهو يختص بتفاضل دالة تعتمد علي عدة متغيرات.[1][2][3] فإذا كان لدينا دالة f تعتمد على المتغيرات مثلا t,x,y وغيرها فإن المشتقة الكاملة للدالة f بالنسبة إلى أحد المتغيرات مثل t تكون مختلفة عن المشتقة الجزئية. بحساب التفاضل الكامل للدالة f بالنسبة إلى t لا نعتبر أن المتغيرات الأخرى ثابتة أثناء تغير t ، وإنما تسمح للمتغيرات الأخرى x,y أن تتغير بالنسبة إلى t. وتأخذ المشتقة الكاملة أعتماد المتغيرات فيما بينها في الحسبان للحصول على التغير الكامل للدالة f على t.

فعلى سبيل المثال ، يكون التفاضل الكامل للدالة (f(t,x,y بالنسبة إلى t كالآتي :

وعندما نقوم بضرب طرفي المعادلة بمعامل التفاضل نحصل على :

والنتيجة هي التغير التفاضلي للدالة . ونظرا لأن تعتمد على , فإن جزء من هذا التغير سيكون بسبب المشتقة الجزئية للدالة بالنسبة إلى . ولكن بعض هذا التغير يعود على المشتقات الجزئية للدالة واعتمادها على المتغيرات و.

وبناء على ذلك نطبق التفاضل على المشتقة الكاملة ل و للحصول على التفاضل بالنسبة إلى و, والتي يمكن بها تعيين تأثيرهما على ..

ونعبر عن معامل التفاضل كالآتي :

وهو يصف المشتقة الكاملة لدالة (في تلك الحالة بالنسبة إلى المتغير x ).

الحصول على المشتقة الكاملة بالتفاضل[عدل]

يعطينا التفاضل تفسيرا واضحا للمشتقة الكاملة. فعلى سبيل المثال ، إذا افترضنا دالة للزمن t وعدد n من المتغيرات فيكون تفاضل الدالة M كالآتي:

وقد تكون المتغيرات t وpj هي بدورها دوال بحيث تكون الدالة M معتمدة على تلك الدوال الأخرى ، عندئذ يمكننا اعتبار المعادلة السابقة بأنها تفاضل من الدرجة الأولى. وميزة تلك الطريقة أنها تأخذ في الاعتبار أيضا اعتماد المتغيرات على بعضها البعض. فمثلا ، إذا كانت ،

فتكون :

.

وإذا كانت المتغيرات pj دوالا ل t, نحصل على :

المشتقة الكاملة والمشتقة الجزئية[عدل]

تصادفنا في الميكانيكا مسائل تكون فيها الدالة لا تعتمد فقط على إحداثيات الموقع و وإنما أيضا على الزمن. أي تكون : و إحداثيات مواقع نقطة تتحرك وتغير موضعها بمرور الزمن. في تلك الحالة تصبح دالة الحركة :

وهي معتمدة بطريقتان مع الزمن ، حيث أن نفسها تعتمد على الزمن .

  1. يسمى اعتماد على الزمن مباشرة "اعتمادا بسيطا " أو "اعتمادا مباشرا" Explicit،
  2. وإذا كانت إحداثيات الموقع و هي الأخرى معتمدة على الزمن فيسمى اعتماد على الزمن "اعتمادا ضمنيا" Implicit.

نسمي المشتقة "مشتقة جزئية " للدالة بالنسبة للزمن عندما نعني المشتقة الجزئية للعلاقة الأولى ، أي :

حيث تكون كل من و ثابتين.أي أن تلك الحالة تراعي الاعتماد المباشر للدالة على الزمن.

ومن ناحية أخرى نتحدث عن "المشتقة الكاملة" للدالة بالنسبة للزمن عند تعاملنا مع الدالة المركبة ، أي :

وترتبط العلاقتان ببعضهما البعض كالآتي:

و هذه العلاقة تعتبر كلتا الحالتين لاعتماد الدالة "المباشرة " و"الضمنية " على الزمن.

أقرأ أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

  1. ^ José-Philippe، Pérez. Mécanique : fondements et applications - 7e édition: Avec 320 exercices et problèmes résolus (باللغة الفرنسية). Dunod. ISBN 9782100721894. اطلع عليه بتاريخ 27 أكتوبر 2017. 
  2. ^ Chiang، Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (الطبعة Third). McGraw-Hill. ISBN 0-07-010813-7. 
  3. ^ Abraham، Ralph؛ Marsden، J. E.؛ Ratiu، Tudor (2012). Manifolds, Tensor Analysis, and Applications. Springer Science & Business Media. صفحة 78.