تكامل مثلثي

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في الرياضيات, تكون التكاملات المثلثية (بالإنجليزية: trigonometric integrals) هي إحدى عائلات التكامل التي تطبق على الدوال المثلثية. هناك عدد من التكاملات المثلثية الرئيسية تمت مناقشتها في قائمة تكاملات الدوال المثلثية.

تكامل الجيب[عدل]

رسم لتكامل جيب (x) عندما يكون 0 ≤ x ≤ 8π.

هناك تعريفين مختلفين لتكامل جيب و هما:

{\rm Si}(x) = \int_0^x\frac{\sin t}{t}\,dt
{\rm si}(x) = -\int_x^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt

حيث {\rm Si}(x) هو أصل \sin x/x و التي تكون صفراً عندما x=0; و {\rm si}(x) هو أصل \sin x/x و التي تكون صفراً عندما x=\infty. يكون لدينا:

{\rm si}(x) = {\rm Si}(x) - \frac{\pi}{2}

لاحظ بأن \frac{\sin t}{t} هي دالة جيبية جوهرية sinc function و هي أيضاً دالة بيسيل الكروية الرقم صفر.

عندما يكون x=\infty, فأنه يُعرف بأسم تكامل ديريشلت.

في معالجة الإشارة, تسبب الاهتزازات الناتجة من التكامل الجيبي بعض التجاوزات و المصنوعات الرنينية ringing artifacts عند استعمال المرشح الجيبي الجوهري sinc filter، و تسبب رنين مجال التردد إذا تم استعمال مرشح جيبي جوهري منقوص مثل مرشح الترددات المنخفضة low-pass filter.

إن ظاهرة جيبس Gibbs phenomenon هي ظاهرة لها علاقة بهذا الموضوع: فعند اعتبار دالة الجيب الجوهرية مرشحاً للترددات المنخفضة, فأنها توازي النقص الحادث في سلسلة فورييه, مما يؤدي إلى ظاهرة جيبس.

تكامل جيب التمام[عدل]

هناك تعاريف مختلفة لتكامل جيب التمام و هي:

{\rm Ci}(x) = \gamma + \ln x + \int_0^x\frac{\cos t-1}{t}\,dt
{\rm ci}(x) = -\int_x^\infty\frac{\cos t}{t}\,dt
{\rm Cin}(x) = \int_0^x\frac{1-\cos t}{t}\,dt

حيث {\rm ci}(x) هو أصل \cos x/x و التي تكون صفراً عندما x=\infty. يكون لدينا:

{\rm ci}(x)={\rm Ci}(x)\,
{\rm Cin}(x)=\gamma+\ln x-{\rm Ci}(x)\,

تكامل الجيب الزائدي[عدل]

يكون تكامل الجيب الزائدي integral كالتالي:

{\rm Shi}(x) = \int_0^x\frac{\sinh t}{t}\,dt = {\rm shi}(x).

تكامل جيب التمام الزائدي[عدل]

يكون تكامل جيب التمام الزائدي hyperbolic co كالتالي:

{\rm Chi}(x) = \gamma+\ln x + \int_0^x\frac{\cosh t-1}{t}\,dt = {\rm chi}(x)

حيث أن \gamma هو ثابتة أويلر-ماسكيروني.

مجسم نيلسن اللولبي[عدل]

حلزون نيلسين

يٌعرف المجسم اللولبي spiral التي تًشكلت بواسطة المخطط البارامتري لتكامل الجيب و جيب التمام بأسم مجسم نيلسن اللولبي Nielsen's spiral -و يسمى أيضاً حلزون نيلسن- . و يشار أيضاً إليها بأسم مجسم أويلر اللولبي أو مجسم كورنو اللولبي [1], أو الكلوثويد clothoid, أو بالانحناء الخطي لمجسم لولبي عديد الحدود. و بالإضافة إلى ذلك, للمجسمات اللولبية صلة وثيقة بتكاملات فريسنل. كما أن لدى المجسمات اللوبية العديد من التطبيقات في معالجة الرؤية و في بناء الطرق و المسارات و في أمور أخرى.

تفكيك[عدل]

هناك العديد من طرق التفكيك يمكن استخامها لتقدير التكاملات المثلثية, و ذلك يعتمد على مدى المتغير.

سلسلة تقاربية (لمتغير كبير)[عدل]

{\rm Si}(x)=\frac{\pi}{2} 
                 - \frac{\cos x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^{2}}+...\right)
                 - \frac{\sin x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^{3}}+...\right)
{\rm Ci}(x)= \frac{\sin x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^{2}}+...\right)
-\frac{\cos x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^{3}}+...\right)

هذه السلاسل متباعدة, على الرغم من أنه يمكن أن تُستعمل لتخمين أو حتى لأختيار القيم بشكل دقيق عندما يكون ~{\rm Re} (x) \gg 1~.

متسلسلات التقارب[عدل]

{\rm Si}(x)= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!\cdot3}+\frac{x^5}{5!\cdot5}-\frac{x^7}{7! \cdot7}\pm\cdots
{\rm Ci}(x)= \gamma+\ln x+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}=\gamma+\ln x-\frac{x^2}{2!\cdot2}+\frac{x^4}{4! \cdot4}\mp\cdots

هذه السلاسل متقاربة عند جميع قيم ~x~ المعقدة, على الرغم من أنه إذا كان |x|\gg 1 يكون إيجاد القيم بطيئاً للغاية و مع ذلك فأنها ليست دقيقة, و ذلك في جميع الأحوال.

العلاقة مع التكامل الأسي للمتغير العقدي[عدل]

تُسمى الدالة 
{\rm E}_1(z) = \int_1^\infty
\frac
{\exp(-zt)}
{t}
{\rm d} t
\qquad({\rm Re}(z) \ge 0)
بالتكامل الأسي. لهذه الدالة علاقة وثيقة بتكاملات الجيب و جيب التمام:


{\rm E}_1( {\rm i}\!~ x)=
i\left(-\frac{\pi}{2}
+{\rm Si}(x)\right)-{\rm Ci}(x) = i~{\rm si}(x) - {\rm ci}(x) \qquad(x>0)

بما أن كل دالة متضمنة في هذه المعادلة هي دالة تحليلية عدا المقطع التي يكون فيها قيم المتغير سالبة, ينبغي على مساحة صحة العلاقة أن تُوسع إلى {\rm Re}(x)>0. (من هذا المدى, يمكن أن تظهر الحدود التي تكون عبارة عن عوامل صحيحية للعدد \pi في هذه العبارة الجبرية).

أنظر أيضاً[عدل]

معالجة الإشارة[عدل]

المراجع[عدل]

  1. ^ [1]