تكامل مثلثي

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في الرياضيات, تكون التكاملات المثلثية (بالإنجليزية: trigonometric integrals) هي إحدى عائلات التكامل التي تطبق على الدوال المثلثية. هناك عدد من التكاملات المثلثية الرئيسية تمت مناقشتها في قائمة تكاملات الدوال المثلثية.

تكامل الجيب[عدل]

رسم لتكامل جيب (x) عندما يكون 0 ≤ x ≤ 8π.

هناك تعريفين مختلفين لتكامل جيب و هما:

حيث هو أصل و التي تكون صفراً عندما ; و هو أصل و التي تكون صفراً عندما . يكون لدينا:

لاحظ بأن هي دالة جيبية جوهرية sinc function و هي أيضاً دالة بيسيل الكروية الرقم صفر.

عندما يكون , فأنه يُعرف بأسم تكامل دركليه.

في معالجة الإشارة, تسبب الاهتزازات الناتجة من التكامل الجيبي بعض التجاوزات و المصنوعات الرنينية ringing artifacts عند استعمال المرشح الجيبي الجوهري sinc filter، و تسبب رنين مجال التردد إذا تم استعمال مرشح جيبي جوهري منقوص مثل مرشح الترددات المنخفضة low-pass filter.

إن ظاهرة جيبس Gibbs phenomenon هي ظاهرة لها علاقة بهذا الموضوع: فعند اعتبار دالة الجيب الجوهرية مرشحاً للترددات المنخفضة, فأنها توازي النقص الحادث في سلسلة فورييه, مما يؤدي إلى ظاهرة جيبس.

تكامل جيب التمام[عدل]

هناك تعاريف مختلفة لتكامل جيب التمام و هي:

حيث هو أصل و التي تكون صفراً عندما . يكون لدينا:

تكامل الجيب الزائدي[عدل]

يكون تكامل الجيب الزائدي integral كالتالي:

تكامل جيب التمام الزائدي[عدل]

يكون تكامل جيب التمام الزائدي hyperbolic co كالتالي:

حيث أن هو ثابتة أويلر-ماسكيروني.

مجسم نيلسن اللولبي[عدل]

حلزون نيلسين

يٌعرف المجسم اللولبي spiral التي تًشكلت بواسطة المخطط البارامتري لتكامل الجيب و جيب التمام بأسم مجسم نيلسن اللولبي Nielsen's spiral -و يسمى أيضاً حلزون نيلسن- . و يشار أيضاً إليها بأسم مجسم أويلر اللولبي أو مجسم كورنو اللولبي [1], أو الكلوثويد clothoid, أو بالانحناء الخطي لمجسم لولبي عديد الحدود. و بالإضافة إلى ذلك, للمجسمات اللولبية صلة وثيقة بتكاملات فريسنل. كما أن لدى المجسمات اللوبية العديد من التطبيقات في معالجة الرؤية و في بناء الطرق و المسارات و في أمور أخرى.

تفكيك[عدل]

هناك العديد من طرق التفكيك يمكن استخامها لتقدير التكاملات المثلثية, و ذلك يعتمد على مدى المتغير.

سلسلة تقاربية (لمتغير كبير)[عدل]

هذه السلاسل متباعدة, على الرغم من أنه يمكن أن تُستعمل لتخمين أو حتى لأختيار القيم بشكل دقيق عندما يكون .

متسلسلات التقارب[عدل]

هذه السلاسل متقاربة عند جميع قيم المعقدة, على الرغم من أنه إذا كان يكون إيجاد القيم بطيئاً للغاية و مع ذلك فأنها ليست دقيقة, و ذلك في جميع الأحوال.

العلاقة مع التكامل الأسي للمتغير العقدي[عدل]

تُسمى الدالة بالتكامل الأسي. لهذه الدالة علاقة وثيقة بتكاملات الجيب و جيب التمام:

بما أن كل دالة متضمنة في هذه المعادلة هي دالة تحليلية عدا المقطع التي يكون فيها قيم المتغير سالبة, ينبغي على مساحة صحة العلاقة أن تُوسع إلى . (من هذا المدى, يمكن أن تظهر الحدود التي تكون عبارة عن عوامل صحيحية للعدد في هذه العبارة الجبرية).

أنظر أيضاً[عدل]

معالجة الإشارة[عدل]

المراجع[عدل]