يفتقر محتوى هذه المقالة إلى مصادر موثوقة.

تكامل مثلثي

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث

في الرياضيات، التكاملات المثلثية (بالإنجليزية: Trigonometric integrals)‏ هي إحدى عائلات التكامل التي تطبق على الدوال المثلثية. هناك عدد من التكاملات المثلثية الرئيسية تمت مناقشتها في قائمة تكاملات الدوال المثلثية.

تكامل الجيب[عدل]

رسم بياني لتكامل الجيب Si(x) عندما يكون 0 ≤ x ≤ 8π.

هناك تعريفين مختلفين لتكامل الجيب و هما:

حيث هو أصل و التي تكون صفراً عندما ; و هو أصل و التي تكون صفراً عندما . يكون لدينا:

لاحظ بأن هي دالة الجيب الجوهري (Sinc function) و هي أيضاً دالة بيسيل الكروية الرقم صفر.

عندما يكون , فأنه يُعرف باسم تكامل ديريكليه [الإنجليزية].

في معالجة الإشارة، تسبب الاهتزازات الناتجة من التكامل الجيبي بعض تجاوزات الحد و المصنوعات الرنينية [الإنجليزية] (Ringing artifacts) عند استعمال مرشح جيبي جوهري [الإنجليزية] (Sinc filter)، وتسبب رنين مجال التردد إذا تم استعمال مرشح جيبي جوهري منقوص مثل مرشح الترددات المنخفضة (low-pass filter).

إن ظاهرة غيبس [الإنجليزية] (Gibbs phenomenon) هي ظاهرة لها علاقة بهذا الموضوع: فعند اعتبار دالة الجيب الجوهرية مرشحاً للترددات المنخفضة، فأنها توازي النقص الحادث في متسلسلة فورييه، مما يؤدي إلى ظاهرة غيبس.

تكامل جيب التمام[عدل]

رسم بياني لتكامل جيب التمام Si(x) عندما يكون 0 ≤ x ≤ 8π.

هناك تعاريف مختلفة لتكامل جيب التمام وهي:

حيث هو أصل و التي تكون صفراً عندما . يكون لدينا:

تكامل الجيب الزائدي[عدل]

يعرّف تكامل الجيب الزائدي كالتالي:

تكامل جيب التمام الزائدي[عدل]

يعرّف تكامل جيب التمام الزائدي كالتالي:

حيث أن هو ثابتة أويلر-ماسكيروني.

لولب نيلسن[عدل]

رسم مجسم نيلسن اللولبي

في الرياضيات, لولب نيلسن (بالإنجليزية: Nielsen's spiral)‏, و يسمى أيضاً باللولب المتحصل عليه عن طريق مكاملة الجيب وجيب التمام (بالإنجليزية: sici spiral)‏، هو لولب معادلاته الوسيطية:

حيث يكون "ci" هو تكامل جيب التمام و "si" هو تكامل الجيب.

هذا الرسم جدير بالذكر ذلك لأن انحنائها تتزايد بنسبة ثابنة بمقدار طولها.

تفكيك[عدل]

هناك العديد من طرق التفكيك يمكن استخامها لتقدير التكاملات المثلثية, و ذلك يعتمد على مدى المتغير.

سلسلة تقاربية (لمتغير كبير)[عدل]

هذه السلاسل متباعدة, على الرغم من أنه يمكن أن تُستعمل لتخمين أو حتى لأختيار القيم بشكل دقيق عندما يكون .

متسلسلات التقارب[عدل]

هذه السلاسل متقاربة عند جميع قيم المعقدة, على الرغم من أنه إذا كان يكون إيجاد القيم بطيئاً للغاية و مع ذلك فأنها ليست دقيقة, و ذلك في جميع الأحوال.

العلاقة مع التكامل الأسي للمتغير العقدي[عدل]

تُسمى الدالة بالتكامل الأسي. لهذه الدالة علاقة وثيقة بتكاملات الجيب و جيب التمام:

بما أن كل دالة متضمنة في هذه المعادلة هي دالة تحليلية عدا المقطع التي يكون فيها قيم المتغير سالبة, ينبغي على مساحة صحة العلاقة أن تُوسع إلى . (من هذا المدى, يمكن أن تظهر الحدود التي تكون عبارة عن عوامل صحيحية للعدد في هذه العبارة الجبرية).

انظر أيضًا[عدل]