جبر شباهي

الجبر الشِّباهيّ هو فرعٌ من علم الرياضيات يدرس الشباه في إطار الجبر العام. وهو علمٌ حديثٌ نسبيًا تعود أصوله إلى دراساتٍ في الطوبولوجيا التوافقية (البادرة للطوبولوجيا الجبرية) والجبر التجريدي (نظرية الحلقيات (modules) والاقتران (syzygy) قام بها هنري بوانكاريه وديفيد هيلبرت في نهاية القرن التاسع عشر.

يوجد ارتباط وثيق بين الجبر الشباهي ونظرية التصنيف. ويهتم الجبر الشباهي بدراسة الدال الشباهي والبنى الجبرية المعقدة التي تتضمنها. المُعَقَّدات المسلسلة المعقدات المسلسلة (chain complexes) هي من إحدى المفاهيم الحيوية في الرياضيات التي يمكن دراستها عن طريق الشباه وتشابه المرافق (cohomology)، ويستطيع الجبر الشباهي استخلاص المعلومات من هذه المُعَقَّدات وعرضها على هيئة لامتباينات شباهية من الحلقات، ووحدات جبرية، فضاء طوبولوجي، وأجسام رياضية أخرى 'ملموسة'، تُعَد التسلسلات الطيفية (spectral sequences) من الأدوات الأكثر فاعلية لتحقيق هذا الغرض.

لعب الجبر الشباهي دورًا هامًا في ظهور الطوبولوجيا الجبرية. ودائرة تأثيره اتسعت تدريجيًا لتشمل الجبر التبادلي، والهندسة الجبرية، والنظرية الجبرية للأعداد، ونظرية التمثيل، والفيزياء الرياضية، وجبر المُشَغِّل (operator algebra)، والتحليل العقدي، ونظرية المعادلات التفاضلية الجزئية.

The E₂ sheet of a cohomological spectral sequence

نظرية كي (K-theory) هي علمٌ منفصلٌ بذاته يستخدم أساليب الجبر الشباهي بالطريقة التي تستخدمها الهندسة اللاتبديلية للعالم ألان كن.

انظر أيضًا

عَبَثٌ تجريدي، مسمى ساخر أطلق على الجبر الشباهي ونظرية التصنيف، ظهر في عقد الخمسينيات
الجبر الهوموتوبي

المراجع

Henri Cartan, Samuel Eilenberg, Homological algebra. With an appendix by David A. Buchsbaum. Reprint of the 1956 original. Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1999. xvi+390 pp. ISBN 0-691-04991-2
Alexander Grothendieck, Sur quelques points d'algèbre homologique. Tôhoku Math. J. (2) 9, 1957, 119–221
Saunders Mac Lane, Homology. Reprint of the 1975 edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1995. x+422 pp. ISBN 3-540-58662-8
Peter Hilton; Stammbach, U. A course in homological algebra. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 4. Springer-Verlag, New York, 1997. xii+364 pp. ISBN 0-387-94823-6
Gelfand, Sergei I.; Yuri Manin, Methods of homological algebra. Translated from Russian 1988 edition. Second edition. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2003. xx+372 pp. ISBN 3-540-43583-2
Gelfand, Sergei I.; Yuri Manin, Homological algebra. Translated from the 1989 Russian original by the authors. Reprint of the original English edition from the series Encyclopaedia of Mathematical Sciences (Algebra, V, Encyclopaedia Math. Sci., 38, Springer, Berlin, 1994). Springer-Verlag, Berlin, 1999. iv+222 pp. ISBN 3-540-65378-3

ع ن ت الطوبولوجيا
فروع	عامة جبرية توافيقية المُتصِل ^{[الإنجليزية]} تفاضلية هندسية خفيضة الأبعاد الشباه مقابل ^{[الإنجليزية]} مجموعاتية ^{[الإنجليزية]} رقمية ^{[الإنجليزية]}
مفاهيم رئيسة	المجموعة مفتوحة مغلقة الداخل الاستمرارية الفضاء التراص الاتصال انفصال الجوارات (هاوسدورف) المترية الانتظام ^{[الإنجليزية]} تحاول زمرة متماثلة التوضع ^{[الإنجليزية]} زمرة أساسية مُجمَّعات مبسَّطي ^{[الإنجليزية]} خلوي ^{[الإنجليزية]} مُجسَّمي ^{[الإنجليزية]} متنوعة حزمة فضاء قابل للعد الثاني ^{[الإنجليزية]} تشارك المحدود ^{[الإنجليزية]}
محددات وخواص	مميزة أويلر عدد بتي ^{[الإنجليزية]} عدد اللفات ^{[الإنجليزية]} صنف تشيرن ^{[الإنجليزية]} قابلية التوجيه ^{[الإنجليزية]}
مبرهنات	مبرهنة باناخ للنقط الثابتة ^{[الإنجليزية]} شِباه دو رام المقابِل ^{[الإنجليزية]} ثبات المجال حدسية بوانكاريه مبرهنة تيخونوف ^{[الإنجليزية]} توطئة يورسن ^{[الإنجليزية]}
بوابة طوبولوجيا بوابة رياضيات