جذر تربيعي

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في الرياضيات، الجذر التربيعي أو الجذر المربع، للعدد x هو العدد y الذي إذا ضرب في نفسه ينتج العدد x. على سبيل المثال،

\sqrt 9 = 3
3^2 = 3\times3 = 9.

الجذر التربيعي للعدد المربع الكامل. 5×5 = 25 = 25. يقال: 5×5 هي عملية تربيع للعدد 5.

لا يوجد جذر تربيعي للأعداد السالبة ضمن مجموعة الأعداد الحقيقية.

الخصائص[عدل]

مخطط تابع الجذر التربيعي f(x) = √x,حيث يأخذ شكل نصف قطع مكافئ.
  • تابع الجذر التربيعي ذو الشكل f(x) = √x هو تابع يربط مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة R+ ∪ 0 بنفسها، ومثله مثل جميع التوابع الأخرى فإنه ينتج دائماً قيمة فريدة.
  • من أجل جميع أي عدد حقيقي x

\sqrt{x^2} = \left|x\right| = 
\begin{cases} 
  x,  & \mbox{if }x \ge 0 \\
  -x, & \mbox{if }x \le 0 
\end{cases}
  • من أجل أي عددين حقيقين موجبين x، y يتحقق
\sqrt{xy} = \sqrt x \sqrt y
و
\sqrt x = x^{\frac{1}{2}}.
  • يعطى مشتق تابع الجذر التربيعي بالعلاقة:
f'(x) = \frac{1}{2\sqrt x}.
\sqrt{1 + x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \dots\!

الحساب[عدل]

الجذر التربيعي للأعداد السالبة وللأعداد العقدية[عدل]

انظر إلى سطح ريمان

الجذر التربيعي لعدد تخيلي صِرف[عدل]

الذور التربيعية ل i في المستوى العقدي

يُعطى الجذر التربيعي ل i بما يلي:

\sqrt{i} = \frac{1}{2}\sqrt{2} + i\frac{1}{2}\sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i).

يُمكن الحصول على هاته النتيجة جبريا من خلال البحث عن العددين الحقيقين a و b حيث

i = (a+bi)^2\,\!

أي

i = a^2 + 2abi - b^2.\,\!

هذا يعطي المعادلتين المترابطتين التاليتين:

\begin{cases}
2ab = 1\,\! \\
a^2 - b^2 = 0\,\!
\end{cases}

انظر إلى صيغة دي موافر.

الجذر التربيعي الرئيسي لعدد عقدي[عدل]

صيغة جبرية[عدل]

ملاحظات[عدل]

الجذر التربيعي للمصفوفات[عدل]

وحدانية الجذر التربيعي في الحلقات العامة[عدل]

جذور الأعداد الطبيعية[عدل]

الأرقام التي لها جذر تربيعي في مجموعة الأعداد الصحيحة بالتسلسل:

  • 1=1 أول رقم له جذر تربيعي
  • 1 + 3 = 4 ثاني رقم له جذر تربيعي
  • 1 + 3 + 5 = 9 ثالث رقم له جذر تربيعي
  • 1 + 3 + 5 + 7 = 16 رابع رقم له جذر تربيعي
  • 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 خامس رقم له جذر تربيعي
  • 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 سادس رقم له جذر تربيعي
  • 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 =49 سابع عدد له جذر تربيعي
  • وهكذا بالتسلسل [1]

الإنشاء الهندسي للجذر التربيعي[عدل]

التاريخ[عدل]

انظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

وصلات خارجية[عدل]