جذع (رياضيات)

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
مجسم ناقص
Pentagonal frustum.svg
معلومات عامة
زمرة التناظر
Cnv, [1,n], (*nn)

في الهندسة، جِذْع[1] أو مجسم ناقص[2] ((باللاتينية: frustum)[أ] «بمعنى كِسْرَة أو قطعة»؛ الجمع: frusta أو frustums) هو جزء من مجسم (عادة هرم أو مخروط) يقطعه مستوى واحد أو مستويين متوازيين. قاعدته الأساسية مضلعة، وأوجهه الجانبية شبه منحرفة. الجذع القائم (right frustum) أو الهرم الناقص هو هرم منتظم أو مخروط منتظم مقطوع [الإنجليزية] عموديًا على محوره.[5]

إذا كانت كل حواف الجذع لها نفس الطول (شكل متساوي الأضلاع)، فهو منشور منتظم [الإنجليزية].

جذع المشاهدة [الإنجليزية] في الرسومات الحاسوبية، هو هرم مقطوع [الإنجليزية] يمثل منطقة ثلاثية الأبعاد على الشاشة. طريقة استبعاد الجذع "frustum culling" من طرق تحديد السطح المخفي [الإنجليزية].

الجذع في صناعة الطيران، يكون على شكل مخروط مقطوع ويستخدم كغطاء للحمولة بين مرحلتين فيصاروخ متعدد المراحل (مثل ساتورن 5).

جذع

العناصر والحالات الخاصة والمفاهيم المتعلقة بها[عدل]

جذع مربع
يمكن إنشاء "جذع مثلث" باستخدام ثماني السطوح

محور الجذع هو محور المخروط أو الهرم الأصلي. يكون الجذغ دائريًا إذا كانت قاعدته دائرية؛ ومنتظم إذا كان المحور عموديًا على كلتا القاعدتين، ومائل بخلاف ذلك.

ارتفاع الجذع هو المسافة العمودية بين مستوىات القاعدتين.

يمكن اعتبار المخروط والهرم حالات خاصة للجذع، حيث يمر أحد المستويات القاطعة عبر القمة (حيث تُمَثَّلْ القاعدة هنا بنقطة تقاطع المستوى مع نقطة رأس الهرم أو المخروط)، الجذع الهرمي هي فئة فرعية من المنشورات.

جذعان اثنان بقاعدتين متطابقتين متصلتين يصنعان جذع ثنائي [الإنجليزية].

الصيغ الرياضية[عدل]

الحجم[عدل]

قدمت الرياضيات المصرية القديمة معادلة حجم الجذع الهرمي في بردية موسكو الرياضية، المكتوبة في الأسرة الثالثة عشر (ق. 1850 BC):

حيث a هو طول ضلع القاعدة وb هو طول ضلع السطح، وh هو الارتفاع.

عرف المصريون الصيغة الصحيحة لحجم مثل هذا الهرم المربع المبتور، لكنها ظهرت بغير برهان في بردية موسكو.

حجم الجذع المخروطي أو الهرمي هو حجم الجسم قبل قطع «القمة»، مطروحًا منه حجم «القمة» المقطوعة هذه:

حيث B1 وB2 هما مساحتي القاعدة والسطح، وh1 وh2 هما الارتفاعات العمودية من القمة لمستويات القاعدة والسطح.

مع الأخذ في الاعتبار أن

يمكن التعبير عن صيغة الحجم على أنها ثلث جداء النسبة مع فرق مكعبات الارتفاعات h1 وh2 فقط:

باستخدام المتطابقة a3b3 = (ab)(a2 + ab + b2) ، يحصل المرء على:

حيث h1h2 = h هو ارتفاع الجذع.

بتوزيع والتعويض من تعريفها، نحصل على المتوسط الهيروني للمساحات B1 وB2 :

لذا فإن الصيغة البديلة هي:

اشتهر هيرو السكندري باشتقاقه لهذه الصيغة ومعها واجه الوحدة التخيلية: الجذر التربيعي لسالب واحد.[6]

للتحديد:

  • حجم المخروط الدائري هو:
حيث r1 وr2 هما نصف قطر القاعدة والسطح.
  • حجم الجذع الهرمي الذي تكون قواعده عبارة عن n -مضلع منتظم (حيث n تمثل عدد الضلوع) هو:
حيث a1 وa2 هما طولا ضلعي القاعدة والسطح.
Pyramidal frustum

مساحة السطح[عدل]

جذع مخروطي
نموذج ثلاثي الأبعاد لمجسم ناقص مخروطي الشكل.

للجذع المخروطي الدائرية المنتظم[7][8]

و

حيث r 1 وr 2 هما نصف قطر القاعدة والسطح على الترتيب، وs هو الارتفاع المائل للجذع.

مساحة سطح الجذع المنتظم الذي له قواعد من مضلعات عادية متشابهة وعدد جوانبها n هي

حيث a1 وa2 هما جانبي القاعدتين.

أمثلة[عدل]

شوكولاتة ماركة رولو [الإنجليزية] لها تقريبا شكل جذع مخروطي دائري منتظم، على الرغم من أنها ليست مسطحة في الأعلى.

ملاحظات[عدل]

  1. ^ الكلمة الإنجليزية "frustum" أصلها من اللغة اللاتينية frustum بمعنى "قطعة" أو "كسرة". أحيانا تكتب الكلمة الإنجليزية كـ frustrum, وهي كلمة لاتينية أخرى قريبة للكلمة الإنجليزية "frustrate".[3] هذا الخلط بين الكلمتين قديم جدا: فهناك تحذير منه يمكن قراءته في كتاب ملحق بروبس, ومؤلفات بلاوتوس احتوت على تورية متعلقة بهم.[4]

مراجع[عدل]

  1. ^ معجم مصطلحات الرياضيات، إعداد لجنة مصطلحات الرياضيات في المجمع، أ. د. موفق دعبول، أ. د. خضر الأحمد، أ. د. بشير قابيل، أ. مروان البواب، مجمع اللغة العربية، الجمهورية العربية السورية، 2018، ص 263 (رابط)
  2. ^ معجم الرياضيات، مجمع اللغة العربية بالقاهرة، وضع لجنة الرياضيات بالمجمع، إشراف د. عطية عبد السلام عاشور، 1415 هـ، 1995 م، ص 158 (رابط)
  3. ^ Clark، John Spencer (1895)، Teachers' Manual: Books I-VIII.. For Prang's complete course in form-study and drawing, Books 7–8، Prang Educational Company، ص. 49.
  4. ^ Fontaine، Michael (2010)، Funny Words in Plautine Comedy، Oxford University Press، ص. 117, 154، ISBN 9780195341447.
  5. ^ William F. Kern, James R. Bland, Solid Mensuration with proofs, 1938, p. 67
  6. ^ Nahin, Paul.
  7. ^ "Mathwords.com: Frustum". مؤرشف من الأصل في 2022-02-03. اطلع عليه بتاريخ 2011-07-17.
  8. ^ Al-Sammarraie، Ahmed T.؛ Vafai، Kambiz (2017). "Heat transfer augmentation through convergence angles in a pipe". Numerical Heat Transfer, Part A: Applications. 72 (3): 197−214. doi:10.1080/10407782.2017.1372670.

روابط خارجية[عدل]