جسم محدب

الاثني عشر وجهاً هو جسم محدب.

في الرياضيات، الجسم المحدب في $n$ - الفضاء الإقليدي الأبعادي $\mathbb {R} ^{n}$ هي مجموعة محدبة متراصة ذات جزء داخلي غير فارغ. لا يشترط بعض المؤلفين أن تكون المجموعة غير فارغة، بل يشترطون فقط أن تكون المجموعة غير فارغة.

جسم محدب $K$ يُطلق عليه اسم المتماثل إذا كان متماثلًا مركزيًا بالنسبة إلى الأصل؛ أي نقطة $x$ يكمن في $K$ إذا وفقط إذا كان نقيضه، $-x$ كما يكمن في $K.$ الأجسام المحدبة المتماثلة تتوافق فرديًا مع الكرات الوحدوية للمعايير الموجودة على $\mathbb {R} ^{n}.$

بعض الأمثلة المعروفة للأجسام المحدبة هي الكرة الإقليدية والمكعب الفائق ومتعدد الوجوه المتقاطع.

البنية المترية

يُرمز ${\mathcal {K}}^{n}$ لمجموعة الأجسام المحدبة في $\mathbb {R} ^{n}$. حينها تشكّل ${\mathcal {K}}^{n}$ فضاء كامل مع المسافة:

$d(K,L):=\inf\{\epsilon \geq 0:K\subset L+B^{n}(\epsilon ),\;L\subset K+B^{n}(\epsilon )\}$.

علاوة على ذلك، ينص نظرية اختيار بلاشكه على أن كل متتالية محصورة بخصوص $d$ في ${\mathcal {K}}^{n}$ تحتوي على متتالية فرعية متقاربة.

الجسم القطبي

إذا كان $K$ جسماً محدباً محدوداً يحتوي على الأصل $O$ في داخله، فإن الجسم القطبي $K^{*}$ هو $\{u:\langle u,v\rangle \leq 1,\forall v\in K\}$. يمتلك الجسم القطبي عدة خصائص، منها أن $(K^{*})^{*}=K$، وأن $K^{*}$ محدود، وإذا كان $K_{1}\subset K_{2}$ فإن $K_{2}^{*}\subset K_{1}^{*}$. الجسم القطبي هو نوع من الثنوية.