حدأة (هندسة رياضية)

  لمعلومات عن معانٍ أخرى، طالع حدأة (توضيح).

الحَدَأة
حَدَأة، يُلاحظ أزواج الأضلاع المتقابلة المتساوية مثنى مثنى، وتعامد القطرين والدائرة الداخلية (المُحاطة)
النوع	رباعي أضلاع، مماسي، متعامد القطرين ‏
الأضلاع والرؤوس	4
زمرة التناظر	D1 (*)
الثنوي	شبه منحرف متساوي الساقين

في الهندسة الإقليدية، الحَدَأة (الجمع: حدآت وحَدَأ وحِداء) رباعي أضلاع ذو تناظر انعكاسي بالنسبة لقُطر واحد من أقطاره على الأقل. لكل حدأة، نتيجة لهذا التناظر، زوجين من الزوايا المتقابلة متساوية المقاس، وفيها مجموعتين من الأضلاع المتجاورة، في كل منها زوجين متساويا الطول.

تُسمَّى الحَدأة أيضًا شبيهة المُثلَّث، ولكن هذا الاسم مُلبِس لأنه يُستعمل أيضًا لتسمية المنحني شبيه المُثلَّث وتُسمَّى الحَدَأة أيضًا نصل السهم، خاصة عندما لا تكون مُحدَّبة.

الحَدَأة رباعي أضلاع متعامد القطرين ‏، أي أن القطرين يتقاطعان بزاوية قائمة، وهو رباعي أضلاع مماسي في حالة الحدأة المُحدَّبة، أي يحيط بدائرة تمس أضلاعه داخلًا. الحدأة القائمة حالة خاصة من الحدآت، تكون الزاويتين المتساويتين المتقابلتين فيها متساويتا المقاس، والمُعيَّن حالة أخرى خاصة تتساوى فيها أطوال الأضلاع، ويستوفي المُربَّع شروط الحالتين الخاصتين السابقتين معًا.

التعريف

الحدأة المقعرة (يسار) والمُحدَّبة (يمين)، سُميت المُقعَّرة في التراث العربي (ذو الرِّجلين).

الحَدَأة رباعي أضلاع ذو تناظر انعكاسي بالنسبة لقطر من قطريه، أضلاع الرباعي المتجاورة المتناظرة بالنسبة لذلك القطر متساوية الطول. يُمكن إنشاء الحدأة أيضًا من أي دائرتين متقاطعتين بوصل النقاط الأربعة: كل مركز دائرة مع نقطتي التقاطع. يُكمن أن تكون الحدأة مُحدَّبة أو مُقعَّرة، وتقصر بعض التعاريف مفهوم الحدأة على المُحدَّبة فقط.

يكون أي رباعي أضلاع حدأة، إذا وفقط إذا استوفى شرطًا مما يأتي:

• يمكن تقسيم الأضلاع إلى مجموعتين في كل منها زوجين من الأضلاع المتجاورة متساوية الطول.
• يقطع أحد القطرين، في حالة الرباعي المُحدَّب، أو امتداده، في حالة الرباعي المُقعَّر، القطر الآخر في منتصفه ويعامده، فيكون مُنصِّف معامِد له.
• قطر من القطرين محور تناظر للشكل: يقسم الشكل إلى مثلثين متطابقين كل منهما انعكاس مرآتي للآخر.
• يُنصِّف قطرٌ من القطرين الزاويتين اللتين يصل بينهما.

ثمة اختلاف بين اللغويين في ضبط كلمة (حدأة) في العربية، وقد أوردها أصحاب المعاجم بالوجهين: الفتح والكسر، وهي بالكسر (حِدَأة) الطائر الجارح، وبالفتح (حَدَأة) الفأس ذات الرأسين ونصل السهم. وأجاز صاحب تاج العروس الوجهين (حَدَأة) و(حِدَأة)، وعدَّ الأفصح الكسر بمعنى الطائر والفتح بمعنى الفأس ونصل السهم. أما المعاجم المعاصرة فجعلت (حِدَأة) بالكسر مختصَّة بالطائر، وتجمع على حِدَأ وحِداء وحِدآن، وجعلت (حَدَأة) بالفتح مختصة بنصل السهم، والجمع حَدَأ وحِداء.

وصف العالم المسلم غياث الدين الكاشي في كتابه مفتاح الحساب الحدأة المُحدَّبة، وسمَّاها بذي اليمينين، وسمَّاها إذا كان فيها زاويتين قائمتين متقابلتين اللَّوزة وهي ما الحدأة القائمة، أما إذا كانت الزاويتان منفرجتان فسماها الجودانة أو الجودانجة، وإذا كانتا حادتين سماها الباطية، أما الحدأة المُقعَّرة فسمَّاها بذي الرجلين. أما معجم مصطلحات الرياضيات الصادر عن مَجمَع اللغة العربية بدمشق، فيسمي الشكل (طائرة ورقية) ويُعرِّفه بأنه (رباعي أضلاع مُحدَّب مستوٍ يتألف من ضلعين متجاورين طول كل منها a، وضلعين متجاورين آخرين طول كل منهما b). في حين ينفرد أحمد شفيق الخطيب في معجمه المصوَّر بذكر لفظ (حَدأة)، ويُعرِّفها بأنها (شكل رباعي مُحدَّب فيه زوجان متساويان من الأضلع المتجاورة).

تُسمَّى الحَدَأة (الإنجليزية: Kite)، أي الطائرة الورقية، وهي لعبة لها شكل الحدأة، تُصنع من خيوط وخشب عادة، وتُطلق في الهواء فترتفع،، وأصل التسمية الإنجليزية طائر الحِدَأة، وهو من الجوارح. ورفقًا لأولاس هنريش فإن جيمس جوزيف سيلفستر هو أول من أطلق على الاسم على الشكل الهندسي.

التصنيف

تصنيف رباعيات الأضلاع بمخطط هاسه، الحدأة في منتصف الجانب الأيسر

مخطط أويلر لرباعيات الأضلاع البسيطة، الحدأة المُحدَّبة باللون البرتقالي ونصل السهم بالأسود المنقوط.

الحَدَأة مُضلَّع مستوٍ من رباعيات الأضلاع له تناظر انعكاسي بالنسبة لأحد قطريه على الأقل. للحدأة، بسبب خاصية التناظر، موقع في تصنيف الرباعيات التراتبي حسب خواصها. من خواص الحَدَأة أيضًا أن جُداء طولي أي ضلعين متقابلين فيها متساوٍ، وبهذا تكون الحدأة رباعي أضلاع أبلوني.

إذا كانت الزاويتان المتساويتان قائمتان، وصفت الحدأة بأنها قائمة، وبصوف أدق قائمة الزاويتين، أما إذا كانت أطوال أضلاع الحدأة متساوية، فهي مُعيَّن، وللمعين تناظر انعكاسي بالنسبة لقطريه في الوقت نفسه، وفيه زوجين متساويين من الزوايا الحادة، وزوجين متساويين من الزوايا المنفرجة، لذلك يُوصَف بأنه حَدَأة منفرجة الزاويتين وحَدَأة حادة الزاويتين بالوقت نفسه. المُربَّع حَدَأة قائمة، لأن فيه زاويتين متقابلتين قائمتين، ومُعيَّن لأن أطوال أضلاعه متساوية، لذلك يُوصف بأن حدأة قائمة الزوايا ومتساوية الأضلاع ومتساوية القطرين بالوقت نفسه.

تختلف الحَدَأة عن متوازي الأضلاع الرباعي بأن زوجي الأضلاع متساويي الطول متجاورين فيها، في حين أنهما متقابلين في متوازي الأضلاع. إذا كان لرباعي الأضلاع البسيط محور تناظر، فلا بد أن يكون حدأة وربما مُعيَّن أو مربع بالتبعية، إذا كان المحور أحد أقطاره، أو شبه منحرف متساوي الساقين، ومستطيل بالتبعية، إذا كان المحور مُنصِّفًا لضلعين متوازيين. أما المضلعات ذاتية التقاطع ففيها صنفٌ آخر من رباعيات الأضلاع المتناظرة هو الفراشة.

للحدأة القائمة زاويتان قائمتان، وهي رباعي أضلاع دائري: أي ثمة دائرة تمر من رؤوسه كلها. للرباعي الدائري خاصية أخرى هي أن كل زاويتين متقابلتين فيه متكاملتان، أي مجموعهما مساوٍ لقيمة 180°، وهذا يعني أن الزاويتين المتقابلتين غير القائمتين في الحدأة القائمة متكاملتان أيضًا. لكل الحَدَآت دائرة محاطة تمس أضلاعها داخلًا، وهذا يعني أن الحدأة القائمة رباعي أضلاع ثنائي المركز، ويمكن أن يُعدَّ ثلاثي المركز لوجود دائرة ثالثة تمس امتداد أضلاعه. إذا ثبتت مقاسات الدائرتين المحيطة والمحاطة، فإن للحدأة القائمة أكبر مساحة رباعي أضلاع يمكن رسمه ليحيط بالصغيرة ويحاط بالكبيرة.

للحدأة متساوية القطرين التي تكون مقاسات زواياها 60°و75°و150°و75° خاصية مميزة بكونها رباعي الأضلاع الذي يملك أعظم نسبة محيط إلى قطر فيه. هذه الحدأة محاطة بمُثلَّث رولو، 3 من رؤوسها هي رؤوس المثلث نفسه، والرأس الرابع يقع في منتصف أحد أقواسه. الحدأة متساوية القطرين حالة خاصة من رباعي أضلاع ذي مربع المنتصفات. عندما يكون طول أحد أضلاع الحَدَأة متساوية القطرين مساوٍ لطول القطرين أو أصغر، كما في حالة الحدأة متساوية القطرين أو المربع، فإن نسبة مساحتها إلى قطرها من أكبر النسب من بين رباعيات الأضلاع كلها. تُشكِّل الحَدَأة التي تكون مقاسات ثلاث من زواياها 108° والرابعة 36° غلافًا مُحدَّبًا لعود فيثاغورس، وهو كُسُوريَّة مُكوَّنة من نجمات خماسية الرؤوس.، تقع أضلاع هذه الحَدَأة الأربعة على أربعة أضلاع لمُخمَّس منتظَم مع مُثلَّث ذهبي مُلصَق على ضلع الضلع الخامِس.

ثمة 8 مُضلَّعات فقط تستعمل في التبليط الضلعي، وهو تبليط للمستوي بمُضلَّع واحد بالانعكاس نسبةً إلى أحد أضلاعه لإنتاج مُضلَّع جديد مطابق للأصل، الحَدَأة القائمة ذات الزوايا (60° و90° و90° و120°) واحد منها. يُسمَّى التبليط الذي يستعمل هذه الحدأة التبليط المسدسي المُثلَّثي الحدئي. تحلُّ بلاطة بدئية مكوَّنة من 8 من هذه الحَدَأة مسألة البلاطة الواحدة في التبليط اللادوري.

تملك الحَدَأة في الهندسات اللاإقليدية 3 زوايا قائمة، مكونةً بذلك حالة خاصة من رباعي أضلاع لامبرت. تكون الزاوية الرابعة حادة في الهندسة الزائدية ومنفرجة في الهندسة الكروية.

• 
  حدأة قائمة: يُمكن تبين الدائرتين المحيطة والمحاطة ومركزهما على محور التناظر.
• 
  الدائرة الأرجوانية تمس امتدادات أضلاع الحَدَأة القائمة، مركز الدائرة على محور تناظر الحدأة.
• 
  الحدأة متساوية القطرين (بالأزرق) محاطة بمُثلَّث رولو (بالأصفر)، تشاركه رؤوسه الثلاثة ويقع رأسها الرابع على منتصف أحد أقواسه.
• 
  غلاف عود فيثاغورس حَدَأة مقاسات ثلاث من زواياها 108° والرابعة 36°.
• 
  حل لمسألة البلاطة في التبليط اللادوري ببلاطات بدئية كل منها مُكوَّنة من 8 من الحَدَأ.

الخواص

الأقطار والزوايا والمساحة

الحدأة رباعي أضلاع متعامد القطرين، أي أن قطرا الرباعي يتلاقيان بزاوية قائمة. أحد هذين القطرين محور تناظر للحَدَأة، وهو مُنصِّف معامِد للقطر الآخر ومُنصِّف للزاويتين اللتين يصل بينهما، ويلزم أن تكون الزاويتين الأخريين متساويتين نتيجة للتناظر. يقسُم محور التناظر الحَدَأة إلى مثلثين متطابقين، في حين يقسم القطر الآخر الحَدَأة إلى مُثلَّثين متساويي الساقين.

مِساحة الحَدَأة $A$، بوصفها رباعي أضلاع متعامِد القطرين، بنصف جُداء طول القطرين$p$ و$q$، وفق العلاقة:

$$A={\frac {p\cdot q}{2}}$$

يُمكن أن تُحسَب مساحة الحَدَأة أيضًا بتقسيمها إلى مثلثين متطابقين، ثم حساب مساحة كل منها بمعرفة طولي ضلعين ومقاس الزاوية المحصورة بينهما. إذا كان طول ضلعي حدأة $a$ و$b$ على الترتيب، وكانت $\theta$ الزاوية المحصورة بينهما، فإن مساحة الحدأة تُحسَب بالعلاقة:

$$\displaystyle A=ab\cdot \sin \theta .$$

الدائرة الدخلية (المُحاطة)

أعلى: حَدَأة مُحدَّبة (بالأزرق): الدائرة الداخلية تمس الأضلاع الأربعة، والخارجية تمس امتدادات الأضلاع الأربعة، أسفل: حَدَأة مُقعَّرة (بالأزرق):تمس كل من الدائرتان الداخلية والخارجية ضلعين وامتدادا الضلعين الآخرين في الوقت نفسه.

كل الحَدَآت المُحدَّبة رباعيات أضلاع مماسية، أي تحيط بدائرة بدائرة تمس أضلاع الرباعي كلها داخلًا. بالإضافة لذلك، كل الحَدَأ، ما خلا المُعيَّن، رباعيات أضلاع مماسية خارجية، أي ثمَّة دائرة خارج الحَدَأة تمس امتدادات أضلاعها الأربعة. أما الحَدَآت المُقعَّرة، فلها كلها دائرتان مماسيتان، تمس كل منهما ضلعين من أضلاع الحدأة وامتدادا الضلعين الآخرين، إحداهما مُحاطة تقع داخل الحدأة وتقع الأخرى خارجها.

إذا كان طولا قطري حَدَأة مُحدَّبة $p$ و $q$ على الترتيب، وكان طولا ضلعين فيها $a$ و$b$، فإن قطر الدائرة المحاطة $r$ يُحسب بالعلاقة: $$r={\frac {pq}{2(a+b)}}$$

وقطر الدائرة الخارجية الماسة لامتدادات الأضلاع $\rho$ يُحسَب بالعلاقة: $$\rho ={\frac {pq}{2|a-b|}}$$

يكون رباعي الأضلاع المماسي حَدَأة إذا وفقط إذا تحقق شرطٌ مما سيأتي:

• ساوت مساحة الرباعي نصف جُداء القطرين.
• تعامد القطران.
• تساوى طولا القطعتين المستقيمتين الواصلتين بين كل نقطتي تماس متقابلتين.
• تساوى طولا المتوسطين الثنائيين
• تساوى جُداء طولي كل ضلعين متقابلين فيه.
• وقع مركز الدائرة المحاطة على محور التناظر، وكان هذا المحور قطرًا.

إذا كان $ABCD$ رباعي أضلاع مماسي يتقاطع قطراه في نقطة $P$ لتتشكل المُثلَّثات $ABP$ و$BCP$ و$CDP$ و$DAP$ على الترتيب، وفي كل منها دائرة محاطة نصف قطرها $r_{1}$ و$r_{2}$ و$r_{3}$ و$r_{4}$ على الترتيب، فإن هذا الرباعي يكون حَدَأة إذا وفقط إذا تحققت المساواة التالية: $$r_{1}+r_{3}=r_{2}+r_{4}.$$

يكون الرباعي المماسي السابق حَدَأة أيضًا، إذا، وفقط إذا، رُسمت الدوائر الماسة خارجًا لأضلاع المثلثات الأربعة السابقة المقابلة للرأس $P$، وكانت أقطارها: $R_{1}$ و$R_{2}$ و$R_{3}$ و$R_{4}$ على الترتيب، وتحققت المساواة التالية: $$R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4}.$$

الثنوية

حَدَأة (بالأصفر) وثنويها: شبه المنحرف متساوي الساقين (بالأزرق).

ثنوي الحَدَأةِ شبهُ المنحرف متساوي الساقين، والعكس بالعكس، فكل منهما ثنوي الآخر. الدائرة الماسة داخلًا لأضلاع حدأة، هي نفسها الدائرة المحيطة (أي التي تمر من الرؤوس) لثنويها: شبه المنحرف متساوي الساقين، والعكس بالعكس.

يقارن الجدول التالي خواص شبه المنحرف متساوي الساقين والحدأة من منظور ثنوي.

شبه المنحرِف متساوي الساقين	الحَدَأة
4 أزواج من الزوايا المتساوية مثنى مثنى	4 أزواج من الأضلاع المتساوية مثنى مثنى
ضلعان متقابلان متساويا الطول	زاويتان متقابلتان متساويتا المقاس
يُوسِّط خط مستقيم الضعلين المتقابلين ويعامدهما	يُنصِّف كل قطر زاويتين متقابلتين
محور تناظر يُنصِّف ضلعين متقابلين.	محور تناظر يُنصِّف زاويتين متقابلتين.
دائرة محيطة تمر بكل الرؤوس	دائرة مرسومة داخلها تمس كل الأضلاع

التقطيع

تطرح مسألة التقطيع متساوي المساحة تقسيم مضلع نوني إلى $n$ مُثلَّث متساوية المساحة. تستعمل الحَدَأة في حل مسائل التقطيع، والغالب أن تُقطِّع الشكل المطلوب إلى عدد زوجي من المثلثات، لأن محور تناظر الحدأة يقسمها إلى مثلثين متطابقين، ولكن قد يكون هذا العدد فرديًا في بعض الحالات.

يُمكن تقسيم أي مُثلَّث إلى 3 حَدَآت قائمة تلتقي في نقطة هي مركز الدائرة المحاطة بالمُثلَّث. ثمة طريقة تعتمد على رزم الدوائر تُستعمل لتقسيم أي مُضلَّع نوني إلى $O(n)$ حَدَأة، تتشارك كل اثنتان منها حرفًا.

التطبيقات

التبليط بالحَدَآت

7 تشكيلات ممكنة لتبليط بنزور اللادوري بالحَدَآت المُحدَّبة (بالرمادي الزاهي) والمُقعَّرة (بالرمادي الداكن).

وردية كسورية بالحَدَآت.

تُبلِّط كل الحَدَآت المستوي بالتكرار التناظري المركزي بالنسبة لمنتصفات الأضلاع، وهذه حالة عامة في رباعيات الأضلاع. تُشكِّل الحَدَآت المُحدَّبة ذات مقاسات الزوايا 72° و72° و72° و144° والمُقعَّرة ذات المقاسات 36° و72° و36° و216° بلاطات بدئية في إحدى تبليطات بنروز. يُمكن أن تستعمل الحدأة لتشكيل وردية تبليط تكون جميع الحدآت متشابهة فيها، أي ثمة بلاطة بدئية واحدة فقط. أما في الوردية نونية الطيات، فتُرتب الحدآت في حلقات في كل منها n حدآت، مع عامل توسع بين الحلقات المتجاورة مساوٍ لنسبة طول الضلع القصير إلى الضلع الطويل للبلاطة البدئية. يلزم أن تستوفي الحدآت على هيئة البلاطة البدئية في التناظر نوني الطيات متناسبة مع مجموع الزاويتين الجانبيتين والرأس مساوٍ للقيمة $\pi (1-{\tfrac {1}{n}})$.

تُبلِّط الحَدَأة القائمة التي تكون مقاسات زواياها 60° و90° و120° و90° المستوي بانعكاسها بالنسبة لأضلاعها، ويُعرَف هذا التبليط باسم التبليط المُسدَّسي المثلثيّ الحدئي، وهو يجمع بين نوعي تبليط: التبليط بالمُسدَّسات المنتظَمة والتبليط بالمثلثات متساوية الساقين.

متعددات الوجوه

ذو الـ 24 وجهًا حَدئيًا وستوني الوجوه الحدئية وحَدئي الوجوه متعددات وجوه وجوهها حَدَآت متطابقة، ويمكن أن ينظر إليها على أنها أمثلة عن تبليط الكرة بحَدَآت كروية متطابقة. ثمة عدد لانهائي من الأشكال متآسية الوجوه الحدئية المستعملة في التبليط المتناظر للمستوي الزائدي. تظهر هذه الأشكال مع أنماط تبليط مستوية وزائدية في الجدول بالأسفل وتحت كل منها تشكلية الوجوه خاصتها، قد يظهر بعضها أكثر من مرة إذا أمكن تدوين تشكيلة وجوهها بأكثر من طريقة.

متعددات وجوه			تبليط مستو إقليدي
V4.3.4.3	V4.3.4.4	V4.3.4.5	V4.3.4.6
متعدِّدات وجوه	تبليط مستو إقليدي	تبليط مستوٍ زائدي
V4.4.4.3	V4.4.4.4	V4.4.4.5	V4.4.4.6
متعدِّدات وجوه	تبليط مستوٍ زائدي
V4.3.4.5	V4.4.4.5	V4.5.4.5	V4.6.4.5
تبليط مستوٍ إقليدي	تبليط مستوٍ زائدي
V4.3.4.6	V4.4.4.6	V4.5.4.6	V4.6.4.6

حَدئيَّات الوجوه عائلة من متعددات الوجوه وجوهها كلها حَدَآت متطابقة. تلتقي حروف أحد جانبي الحَدَآت في ذورة تُسمَّى قطبًا أما حروف الجانب الآخر فتتوضع على هيئة خط استواء متكسر يحيط بمتعدد الوجوه. ثنويات هذه العائلة عائلة أخرى هي المواشير التخالفية المحتَتِنة. من الأمثلة على حدئيات الوجوه حجر النرد عشاري الوجوه، وهو حَدئيّ وجوه مُخمَّس.

• 
  حَدئي الوجوه المُسدَّس متعدِّد وجوه من عائلة حدئيات الوجوه
• 
  نموذج ثلاثي الأبعاد من حَدئي الوجوه المُخمَّس
• 
  حجر نرد عشاري الوجوه.

انظر أيضًا

• رباعي أضلاع
• حدأة قائمة

المراجع

فهرس الإحالات

بالعربية

بالإنجليزية

معلومات المراجع

بالعربية

الكتب

• مرتضى الزبيدي (1965)، تاج العروس من جواهر القاموس، التراث العربي (16)، تحقيق: عبد الستار فراج (ط. 1)، مدينة الكويت: المجلس الوطني للثقافة والفنون والآداب، ج. 1، QID:Q131914197
• غياث الدين الكاشي (1969)، مفتاح الحساب، مراجعة: عبد الحميد لطفي. تحقيق: أحمد سعيد الدمرداش، محمد حمدي الحفني الشيخ، القاهرة: دار الكاتب العربي للطباعة والنشر، OCLC:18770000، QID:Q131764273
• محمد خير أبو حرب (1985)، المعجم المدرسي، مراجعة: ندوة النوري (ط. 1)، دمشق: وزارة التربية، OCLC:1136027329، QID:Q116176016
• ابن منظور (1994)، لسان العرب (ط. 3)، بيروت: دار صادر، OCLC:4770578388، QID:Q114878607{{استشهاد}}: صيانة الاستشهاد: ref duplicates default (link)
• أحمد شفيق الخطيب (2001). قاموس العلوم المصور: بالتعريفات والتطبيقات (بالعربية والإنجليزية) (ط. 1). بيروت: مكتبة لبنان ناشرون. ISBN:978-9953-10-218-4. OCLC:50131139. QID:Q124741809.
• موفق دعبول؛ بشير قابيل؛ مروان البواب؛ خضر الأحمد (2018)، معجم مصطلحات الرياضيات (بالعربية والإنجليزية)، دمشق: مجمع اللغة العربية بدمشق، OCLC:1369254291، QID:Q108593221
• المعجم الوسيط (ط. 5)، القاهرة: مجمع اللغة العربية بالقاهرة، 2021، QID:Q134614746

بالإنجليزية

المقالات المُحكَّمة

• D. F. Ferguson (1944). "1702. A Note on Quadrilaterals". The Mathematical Gazette (بالإنجليزية). 28 (278): 29–30. DOI:10.2307/3607362. ISSN:0025-5572. JSTOR:3607362. OCLC:5546307683. QID:Q56113755.
• R. Goormaghtigh (1947). "Orthopolar and Isopolar Lines in the Cyclic Quadrilateral". American Mathematical Monthly (بالإنجليزية). 54 (4): 211–214. DOI:10.2307/2304700. ISSN:0002-9890. JSTOR:2304700. MR:0019934. OCLC:5545418513. QID:Q58187846.
• Roger F. Wheeler (1958). "25. Quadrilaterals". The Mathematical Gazette (بالإنجليزية). 42 (342): 275–276. DOI:10.2307/3610439. ISSN:0025-5572. JSTOR:3610439. OCLC:5546297240. S2CID:250434576. QID:Q56113756.
• Derek G. Ball (1973). "A Generalisation of π". The Mathematical Gazette (بالإنجليزية). 57 (402): 298–303. DOI:10.2307/3616052. ISSN:0025-5572. JSTOR:3616052. Zbl:0271.50010. QID:Q55922250.
• James E. Beamer (1975). "The tale of a kite". The Arithmetic Teacher (بالإنجليزية). 22 (5): 382–386. DOI:10.5951/AT.22.5.0382. ISSN:0004-136X. JSTOR:41188788. OCLC:427042774. QID:Q137739583.
• David Griffiths; David Culpin (1975). "Pi-Optimal Polygons". The Mathematical Gazette (بالإنجليزية). 59 (409): 165–175. DOI:10.2307/3617699. ISSN:0025-5572. JSTOR:3617699. OCLC:6067041762. Zbl:0337.52010. QID:Q55922251.
• Martin Gardner (1977). "Extraordinary nonperiodic tiling that enriches the theory of tiles". Scientific American (بالإنجليزية). 236 (1): 110–121. DOI:10.1038/SCIENTIFICAMERICAN0177-110. ISSN:0036-8733. JSTOR:24953856. QID:Q62072907.
• S. A. Robertson (1977). "Classifying Triangles and Quadrilaterals". The Mathematical Gazette (بالإنجليزية). 61 (415): 38. DOI:10.2307/3617441. ISSN:0025-5572. JSTOR:3617441. OCLC:5556044196. Zbl:0345.50002. QID:Q56113757.
• Douglas Dunham; John Lindgren; David Witte (1981). "Creating repeating hyperbolic patterns". Computer graphics (بالإنجليزية). 15 (3): 215–223. DOI:10.1145/965161.806808. ISSN:0097-8930. OCLC:11007051559. QID:Q137803144.
• Doris Schattschneider (1992). "The Fascination of Tiling". Leonardo (بالإنجليزية). 25 (3–4): 341–348. DOI:10.2307/1575860. ISSN:0024-094X. MR:1255846. OCLC:5547936952. QID:Q137802557.
• Kevin Charter; Thomas Rogers (1993). "The dynamics of quadrilateral folding". Experimental Mathematics (بالإنجليزية). 2 (3): 209–222. DOI:10.1080/10586458.1993.10504278. ISSN:1058-6458. MR:1273409. OCLC:5721437599. QID:Q137757790.
• Michael De Villiers (1994). "The role and function of a hierarchical classification of quadrilaterals". For the Learning of Mathematics (بالإنجليزية). 14 (1): 11–18. JSTOR:40248098. OCLC:424717804. QID:Q137757661.
• E.A. Kasimatis; S.K. Stein (1990). "Equidissections of polygons". Discrete Mathematics (بالإنجليزية). 85 (3): 281–294. DOI:10.1016/0012-365X(90)90384-T. ISSN:0012-365X. MR:1081836. OCLC:4923355790. Zbl:0736.05028. QID:Q137799109.
• Hiroshi Haruki; Themistocles M. Rassias (1998). "A new characteristic of Möbius transformations by use of Apollonius quadrilaterals". Proceedings of the American Mathematical Society (بالإنجليزية). 126: 2857–2861. DOI:10.1090/S0002-9939-98-04736-4. ISSN:0002-9939. JSTOR:119083. MR:1485479. OCLC:9964130910. QID:Q137757627.
• Marshall Bern; David Eppstein (2000). "Quadrilateral meshing by circle packing". International Journal of Computational Geometry and Applications (بالإنجليزية). 10 (4): 347–360. arXiv:cs.CG/9908016. DOI:10.1142/S0218195900000206. ISSN:0218-1959. MR:1791192. OCLC:4639462295. QID:Q137796905.
• Charles Jepsen; Trevor Sedberry; Rolf Hoyer (2009). "Equidissections of kite-shaped quadrilaterals". Involve : a journal of mathematics (بالإنجليزية). 2 (1): 89–93. DOI:10.2140/INVOLVE.2009.2.89. ISSN:1944-4176. MR:2501347. OCLC:4632336352. QID:Q137799128.
• Martin Josefsson (2011). "When is a tangential quadrilateral a kite?" (PDF). Forum Geometricorum (بالإنجليزية). 11: 165–174. ISSN:1534-1178. QID:Q137785688.
• Matthew Kirby; Ronald Umble (2011). "Edge Tessellations and Stamp Folding Puzzles". Mathematics Magazine (بالإنجليزية). 84 (4): 283–289. arXiv:0908.3257. DOI:10.4169/MATH.MAG.84.4.283. ISSN:0025-570X. MR:2843659. OCLC:5887522748. Zbl:1227.52013. QID:Q55922249.
• Martin Josefsson (2012). "Maximal Area of a Bicentric Quadrilateral" (PDF). Forum Geometricorum (بالإنجليزية). 12: 237–241. ISSN:1534-1178. MR:2990945. QID:Q137759479.
• Yudai Sakano; Yohji Akama (2015). "Anisohedral spherical triangles and classification of spherical tilings by congruent kites, darts and rhombi". Hiroshima Mathematical Journal (بالإنجليزية). 45 (3): 309–339. DOI:10.32917/HMJ/1448323768. ISSN:0018-2079. MR:3429167. OCLC:5929378912. Zbl:1331.52028. QID:Q114037408.
• Robert Fathauer (2018). "Art and Recreational Math Based on Kite-Tiling Rosettes". Proceedings of Bridges 2018: Mathematics, Art, Music, Architecture, Education, Culture (بالإنجليزية): 15–22. ISBN:978-1-938664-27-4. QID:Q137804731.
• Charles Audet; Pierre Hansen; Dragutin Svrtan (2021). "Using symbolic calculations to determine largest small polygons". Journal of Global Optimization (بالإنجليزية). 81: 261–268. DOI:10.1007/S10898-020-00908-W. ISSN:0925-5001. OCLC:9159395421. QID:Q137778687.
• "Olympiad corner solutions" (PDF). Crux Mathematicorum (بالإنجليزية). 48 (5): 241–247. 2021. ISSN:1706-8142. QID:Q137782576.
• David Smith; Joseph Samuel Myers; Craig S. Kaplan; Chaim Goodman-Strauss (2024). "An aperiodic monotile". Combinatorial Theory (بالإنجليزية). 4 (1): 1–91. arXiv:2303.10798. DOI:10.5070/C64163843. ISSN:2766-1334. OCLC:10283614062. QID:Q130465742.

الكتب

• Olaus Henrici (1879), G. Carey Foster FCS FRS; Philip Magnus (eds.), Elementary geometry: Congruent figures, London science class-books (بالإنجليزية), London: Longman, OCLC:568703725, QID:Q137749215
• George Bruce Halsted (1896), Elementary Synthetic Geometry (بالإنجليزية) (2nd ed.), New York City: Wiley, OCLC:806000189, QID:Q137189618
• Howard Eves (1995). College geometry (بالإنجليزية). Boston: Jones & Bartlett Learning. ISBN:978-0-86720-475-9. LCCN:94039749. OCLC:31375422. QID:Q137778797.
• David J. Darling (2004). The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes (بالإنجليزية). Hoboken: Wiley. ISBN:978-0-471-27047-8. LCCN:2003024670. OCLC:249404993. OL:7614373M. QID:Q60386236.
• Denise Szecsei (2004). The complete idiot's guide to geometry (بالإنجليزية). Indianapolis: Alpha Books. ISBN:978-1-59257-183-3. LCCN:2004100483. OCLC:55044121. QID:Q137738976.
• Zalman Usiskin; Jennifer Griffin; David Witonsky; Edwin Willmore (2008). The classification of quadrilaterals: a study of definition. Research in mathematics education series (بالإنجليزية). Charlotte: Information Age Publishing. ISBN:978-1-60752-600-1. OCLC:254166189. QID:Q136140485.
• Michael de Villiers (2009). Some Adventures In Euclidean Geometry (بالإنجليزية). ISBN:978-0-557-10295-2. OCLC:1040048475. QID:Q137189878.
• Daniel C. Alexander; Geralyn M. Koeberlein (2014). Elementary geometry for college students (بالإنجليزية) (6th ed.). Cengage Group. ISBN:978-1-285-19569-8. OCLC:864087072. QID:Q136085209.
• Claudi Alsina; Roger B. Nelsen (2020). A cornucopia of quadrilaterals. Dolciani mathematical expositions (55) (بالإنجليزية). Providence: American Mathematical Society. ISBN:978-1-4704-5312-1. LCCN:2019040456. MR:4286138. OCLC:1122714937. QID:Q137186882.

تقارير تقنية

• Branko Grünbaum (1959), On polyhedra in E3 having all faces congruent, United States. Air Force Office of Scientific Research Technical (59-1129) (بالإنجليزية), Washington, D.C.: United States Air Force, MR:0125489, OCLC:1473183384, QID:Q137782812

وصلات خارجية

• صفحة حَدَأة على موقع موسوعة الرياضيات.
• محاكٍ هندسي لإنشاء الحدآت وحساب مساحتها آليًا.