حسبان بمتعددات الحدود

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث

في الرياضيات, تُعتبر متعددات الحدود من أبسط الدوال المستعملة في الحسبان. وتُعطى مشتقاتها وتكاملها غير المحدود بواسطة القوانين التالية:

و

.

لذلك, تكون مشتقة هي والتكامل غير المحدود للقيمة هو حيث أن C هو الثابت الكيفي للتكامل.

سنذكر في هذه المقالة قاعدة القوة power rule للتفاضل وبرهانها, ومن ثم سنستعملها لبرهنة الصيغتين الموجودتين في الأعلى.

قاعدة القوة[عدل]

تذكر قاعدة القوة للتفاضل بأنه إذا كان n هو عدد طبيعي, تكون مشتقة هي , وبالتالي تكون القاعدة هي

و قاعدة القوة للتكامل هي

عندما يكون n عدد طبيعي, سيسهل لنا استنتاج الإجابة. ويبقى على المرء فقط القيام باشتقاق هذه المتباينة واستعمال قاعدة القوة والتحويل الخطي للتفاضل على الجانب الأيمن من المعادلة.

البرهان[عدل]

لبرهنة قاعدة القوة للتفاضل, يجب استعمال طريقة الاشتقاق كنهاية رياضياتية:

و عند تعويض ستكون المعادلة على النحو التالي

ثم يمكن للمرء التعبير عن باستعمال مبرهنة ثنائية الحد للحصول على

يمكن كتابة الحد من المجموع في جهة مستقلة للحصول على

و بسبب إلغاء قيم الحدود ستكون المعادلة

و يمكن إخراج قيمة من جميع الحدود من المجموع للحصول على

و بذلك يمكننا إلغاء قيم من المقام والحصول على

و لإيجاد قيمة هذه النهاية نلاحظ بأن لكل وتساوي صفر لكل لذلك نجد قيمة فقط عندما يكون , وبالتالي تكون المعادلة

و بإيجاد قيمة المعامل الثنائي الحد سنجد هذه المعادلة

و بالتالي هذه المعادلة

تفاضل متعددات الحدود الكيفية[عدل]

لمفاضلة متعددات الحدود الكيفية, يمكن للمرء استعمال الخاصية الخطية للمؤثر التفاضلي differential operator للحصول على:

و باستعمال التحويل الخطي للتكامل وقاعدة القوة للتكامل, وباستعمال نفس الخطوات, سنجد المعادلة على النحو التالي

تعميم[عدل]

يمكن البرهان بأن قاعدة القوة تكون صحيحة عند أي أس حقيقي, والمعادلة هي

عندما تكون قيمة a أي عدد حقيقي ما دام أن قيم x من مجال الدوال لكلا الجانبين من المعادلة. وباستعمال هذه الصيغة, مع

سيستطيع المرء القيام بمفاضلة ومكاملة التركيبات الخطية لقوى القيمة x, والتي ليست بالضرورة أن تكون متعددة الحدود.

المراجع[عدل]

  • Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; and Edwards, Bruce H. (2003). Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions (3rd edition). Houghton Mifflin Company. ISBN 0-618-22307-X.