حلقة (رياضيات)

في الجبر التجريدي، الحلقة (بالإنجليزية: Ring)، $R\!$$R\!$ والتي يرمز لها أحيانا $\{R,+,\times \}$$\{R,+,\times \}$ هي مجموعة من العناصر مزودة بعمليتين ثنائيتين هما الجمع $+\!$$+\!$ والجداء $\times$$\times$⁽¹⁾ بحيث تحقق البديهيات التالية:

1. $\{R,+\}\!$$\{R,+\}\!$ زمرة أبيلية حيث العنصر الحيادي $e=0\!$$e=0\!$ والمتمم ${\acute {a}}=-a$${\acute {a}}=-a$
2. مغلقة بالنسبة للجداء: $\forall a,b\in R:ab\in R$$\forall a,b\in R:ab\in R$
3. تجميعية بالنسبة للجداء: $a(bc)=(ab)c\ \forall a,b,c\in R$$a(bc)=(ab)c\ \forall a,b,c\in R$
4. قانونا التوزيع: $a(b+c)=ab+ac\ \forall a,b,c\in R$$a(b+c)=ab+ac\ \forall a,b,c\in R$ و$(a+b)c=ac+bc\ \forall a,b,c\in R$$(a+b)c=ac+bc\ \forall a,b,c\in R$

تُدعى الحلقة بالتبديلية إن حققت الشرط الإضافي التالي:

5. تبديلية بالنسبة للجداء: $ab=ba\ \forall a,b\in R$$ab=ba\ \forall a,b\in R$

يجب أن ننتبه أن هاتين العمليتين رغم أنهما تشابهان الجمع والجداء المألوفين في مجموعات الأعداد إلا أنهما غير متماثلتين فهما جمع وجداء مجازي وليس الجمع والجداء المتعارف عليهما.

تعريف وتوضيح

المثال الأول: الأعداد الصحيحة

المثال الأكثر شيوعا حول الحلقات هو مجموعة الأعداد الصحيحة, والمتمثلة في الأعداد التالية :

$...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...$$...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...$

التاريخ

•  مقالة مفصلة: نظرية الحلقات#التاريخ

ريتشارد ديدكايند, واحد من مؤسسي نظرية الحلقات.

انظر أيضا

• الجبر على حلقة تبادلية,
• مبرهنة الباقي الصيني,
• نظرية الحلقات,
• نصف حلقة,
• أصناف الحلقات,
• سرد لمصطلحات نظرية الحلقات,
• بنية جبرية,
• حلقة غير تجميعية.

أنواع خاصة من الحلقات,

• • حقل,
  • حلقة ديدكايند,
  • حلقة تفاضلية,
  • حلقة تبادلية,
  • حلقة محلية,
  • حلقة مرتبة,
  • حلقة مختزلة.

هامش

1 لا يستعمل عادة رمز الجداء $\times$$\times$ ويستعاض عنه بالرمز $\cdot$$\cdot$ (مثلا $a\cdot b$$a\cdot b$) أو لا يستعمل أي رمز (مثلا $ab\!$$ab\!$)

مراجع

هذه بذرة مقالة عن الرياضيات بحاجة للتوسيع. شارك في تحريرها.