نص الويكي القديم للصفحة، قبل التعديل (old_wikitext) | '{{تفاضل تكامل}}
[[ملف:Integral as region under curve.png|تصغير|'''مثال لحساب تكامل دالة (المساحة الرمادية)''']]
[[ملف:Emblem-integral.svg|تصغير|رمز التكامل، وأصله حرف الإس الألماني المطول]]
في [[رياضيات|الرياضيات]]، مكاملة [[دالة رياضية|دالة]] هي نوع من التعميم لكميات قابلة للتجزئة مثل المساحة أو الحجم أو الكتلة أو أي مجموع لعناصر متناهية في الصغر.
وأيضاً يمكن أن يُنظر إلى عملية التكامل على أنها عملية عكسية لعملية [[التفاضل]].
[[File:Что такое интеграл Анимация.gif|thumb|ما هو التكامل (الرسوم المتحركة)))]]
بالرغم من تعدد التعاريف المستخدمة للتكامل وتعدد طرق استخدامه فإن نتيجة هذه الطرق جميعها متشابهة وجميع التعاريف تؤدي في النهاية إلى المعنى ذاته.
يمكن اعتبار تكامل دالة حقيقية مستمرة ذات قيم موجبة لمتغير حقيقي بين قيمة حدية دنيا وقيمة حدية عليا هي المساحة المحصورة بين المستقيمين الرأسيين:
''x=a'', ''x=b'' والمحور ''x'' وال[[منحنى|منحني]] المحدد بالدالة، يمكن صياغة ذلك بشكل رياضي:
:<math> S= \{(x,y) \in \mathbb{R}_+^2:a \leq x \leq b \land 0 \leq y \leq f(x)\}, </math>
ويرمز لهذه العملية حسب اصطلاح لورينتز :
<math>\int_a^b f(x)\,dx\,</math>.
النقطة الأساسية في التكامل تأتي من المبرهنة الأساسية في التكامل والتي تنص على أن مشتق تابع المساحة تحت منحني الدالة هو الدالة نفسها. بالتالي إذا عرفنا دالة تربط القيمة x بقيمة المساحة المحدودة بين منحني الدالة
<math> f(x)\,</math> ومحور السينات'''(x)''' ومن الجهة الأخرى محدودة بمحور الصادات'''(y)''' والمستقيم X=x، تدعى هذه الدالة ب دالة المساحة ومشتقها هو الدالة <math> f(x)\,</math> نفسها، لذلك ندعو تابع المساحة عكس الاشتقاق أو التابع الأصلي للدالة <math> f(x)\,</math>.
يقوم حساب التكامل على إيجاد التابع الأصلي للدالة التي نريد القيام بمكاملتها.
وقد عرض [[غوتفريد لايبنتز|جوتفريد لايبنتز]]، في [[13 نوفمبر]] [[1675]]، أول عملية تكامل لحساب المساحة تحت [[منحنى]] ال[[دالة رياضية|دالة]] ص = د(س).
يوجد عدة أنواع للتكامل منها:
[[تكامل بالأجزاء|التكامل بالتجزئ]] ،[[تكامل بالتعويض]]، [[تكامل بالكسور الجزئية|التحويل إلى الكسور الجزئية]]، [[تكامل بالختزال المتتالي|الاختزال المتتالى]]
== تاريخ ==
=== التكامل ماقبل عصر علم التفاضل والتكامل ===
توجد دلالات تاريخية على استخدام التكامل في عهد [[فراعنة|قدماء المصريين]] (حوالي 1800 قبل الميلاد) فقد دلت [[بردية موسكو الرياضية]] على علمهم بصيغة لحساب [[حجم]] [[هرم|الهرم]] المقطوع. وتعد طريقة الاستنزاف من أوائل الطرق المستعملة في إيجاد التكاملات حيث تعود إلى 370 قبل الميلاد وكانت تحسب بها الحجوم والمساحات وذلك بتقسيمها إلى أشكال صغيرة غير منتهية معلومة المساحة أو الحجم. كما تم تطوير هذه الطريقة من قبل [[أرخميدس]] وتم استعمالها في حساب مساحات [[القطع المكافئ]] والتقريب لمساحة الدائرة. وفي [[الصين]] طورت طرق مماثلة في القرن الثالث الميلادي بواسطة [[ليوهوي]]، والذي استخدمها لإيجاد مساحة [[الدائرة]] كما تم استعمال هذه الطرق فيما بعد في القرن الخامس من قبل الرياضيين الصينيين - الأب والابن [[تسوتشونغ]] و[[زوجنغ]] لإيجاد حجم [[الكرة]].<ref>{{Citation| last1=Shea | first1=Marilyn | title=Biography of Zu Chongzhi | date=مايو 2007 | url=https://hua.umf.maine.edu/China/astronomy/tianpage/0014ZuChongzhi9296bw.html | publisher=University of Maine | accessdate=9 January 2009}}<br />{{Citation | last1=Katz | first1=Victor J. | title=A History of Mathematics, Brief Version | publisher={{Ill-WD2|أديسون-ويسلي|id=Q353060}} | isbn=978-0-321-16193-2 | year=2004 | pages=125–126}}</ref> في نفس القرن, استخدم الرياضي الهندي [[اريابهاتا]] طريقة مشابهة لحساب حجم المكعب.<ref>Victor J. Katz (1995), "Ideas of Calculus in Islam and India", ''Mathematics Magazine'' '''68''' (3): 163-174 [165]</ref>
أتت الخطوة التالية والهامة في التفاضل التكاملي في القرن الحادي عشر عندما أخترع العالم الفلكي [[الحسن بن الهيثم]] ما يعرف اليوم باسم '''مسألة الحسن''' (نسبة لاسمه المشهور عند الأوروبيين) والتي تقود إلى [[معادلة الدرجة الرابعة]]. في كتابه [[المناظر]]. بينما كان يحل هذه المسألة، قام بعملية تكامل لإيجاد حجم [[السطح المكافئ]]. وقد استطاع بالاستقراء الرياضي تعميم هذه النتيجة لدوال [[كثيرة الحدود]] حتى الدرجة الرابعة وقد كان بالتالي قادرا على إيجاد صيغة عامة لتكاملات كثيرة الحدود ولكنه لم يعر للأمر أهمية لذلك في وقته.<ref name=Katz>Victor J. Katz (1995), "Ideas of Calculus in Islam and India", ''Mathematics Magazine'' '''68''' (3): 163–174 [165–9 & 173–4]</ref>
بعض الأفكار في التفاضل التكاملي يمكن مشاهدتها أيضا في سيدهانتا شيروماني، وهي عبارة عن نص يعود للقرن الثاني عشر [[علم الفلك|للفلكي]] الهندي [[بهاسكارا 2]].
لم يبدأ ظهور التقدم الملحوظ في علم التكامل التفاضلي إلا مع القرن السادس عشر وفي هذا الوقت كان عمل كافاليري [[مبدأ كافاليري|بطريقته '''الكل لا التجزيء''']] وعمل [[فيرمات]]، ولقد بدأ بوضع الأساسيات لعلم [[التفاضل]] والتكامل الحديث. وكان لإسحق نيوتن وتورشيلي دورا هاما أيضا في توسيع هذا العلم أوائل القرن السابع عشر اللذان قدما التلميحات الأولى في وجود صلة بين التكامل و[[الاشتقاق]] في الوقت الذي كان الرياضيون اليابانيون قد أسهمو في أعمال مشابهة وبشكل خاص على يد [[سيكي كاوا]].<ref>[https://www2.gol.com/users/coynerhm/0598rothman.html] {{وصلة مكسورة|تاريخ=يوليو 2016}} {{Webarchive|url=http://web.archive.org/web/20061230062231/http://www2.gol.com:80/users/coynerhm/0598rothman.html |date=30 ديسمبر 2006}}</ref> كان منها طرق إيجاد مساحات الأشكال بالتكامل, بتوسيع طريقة الاستنزاف.
=== نيوتن وليبنز ===
مثل اكتشاف [[النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل]] الفريد من قبل [[إسحاق نيوتن]] و[[ليبنيز]] تقدما عظيما في علم التفاضل والتكامل.
فهي توضح العلاقة بين التكامل والتفاضل. هذه العلاقة, بدمجها مع قرينتها السهلة - الاشتقاق يمكن استغلالها لحساب التكاملات. وبشكل خاص فإن النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل تساعد في حل مسائل أكثر تعقيدا. وبإعطاء اسم التفاضل المتناهي في الصغر فقد سمحت بتحليل دقيق لدوال متصلة. لقد أصبح هذا العمل [[التفاضل والتكامل]] الحديث, والذي استمد رمزه من عمل ليبنيز.
=== صياغة التكاملات ===
مع أن نيوتن وليبنز أوجدا طريقة نظامية للتكامل إلا أن عملهما كان يفتقر إلى درجة الدقة. فقد هاجم جورج بركلي عبارة متناهي في الصغر ووصفها '''ب[[كميات الأشباح المغادرة]]'''. اكتسب التفاضل والتكامل مع تطور علم [[النهايات]] وتوطدت أركانه بفضل [[أوغستين لويس كوشي]] في منتصف القرن التاسع عشر. تم أولا صياغة التكامل بدقة باستعمال النهايات من قبل [[بيرنارد ريمان]] كما ظهرت صورة أخرى من قبل [[هنري لوبيغ]] في تأسيس نظرية [[القياس]].
=== العلامة ===
استعمل نيوتن عمودا صغيرا فوق المتغير للإشارة إلى عملية التكامل, أو أن يضع المتغير داخل مربع. كان القضيب العمودي يلتبس مع <math>\dot{x}</math> و<math>x'\,\!</math>, والتي كان قد استعملها نيوتن للإشارة للتفاضل. كما أنه من الصعب على الطابعة التعامل مع المربع, وبالتالي لم يتم تبني هذه العلامات.
الرمز الحديث للتكامل الغير محدود تم تقديمه على يد ليبنيز عام 1675 ({{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Burton|1988|loc=p. 359}}; {{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Leibniz|1899|loc=p. 154}}), كما أنه قام بموائمة رمز التكامل,:<math> \int\,</math>, بعد إطالته للحرف ''s'' كتمثيل لاختصار عملية الجمع sum. الشكل الحديث لعلامة التكامل المحدود استعمل لأول مرة من قبل جوزيف فوريير بإضافة حدود التكامل أسفل وأعلى الرمز السابق ({{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Cajori|1929|loc=pp. 249–250}}; {{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Fourier|1822|loc=§231}}).
الجدير بالذكر أن الرياضيات العربية التي تكتب من اليمين لليسار تستعمل الرمز المعكوس للتكامل, [[ملف:ArabicIntegralSign.svg|25px]]، ليتماشى مع اتجاه الكتابة.{{Harvard citation|W3C|2006}}.
== مقدمة ==
تظهر التكاملات في العديد من الحالات التطبيقية. إذا اعتبرنا بركة السباحة مثلا, إذا كانت مستطيلة الشكل, من طولها, عرضها, وعمقها فمن الممكن إيجاد حجم الماء التي يمكن احتواؤها (لملئها), مساحتها السطحية (التي تغطيها من جميع الجهات), وطول حوافها (بحبل مثلا). لكن إذا كانت بيضاوية الشكل ومدورة من القعر, فإن كل هذه الكميات تستدعي التكامل. قد تكون التقريبات التطبيقية كافية في مثل هذه الأمثلة البسيطة ولكن الدقة الهندسية تتطلب قيما مضبوطة ودقيقة لهذه العناصر.
[[ملف:Integral approximations.svg|thumb|تقريب التكامل لـ √''x'' من 0 إلى 1, بـ<span style="color:#fec200">■</span> 5 عينات على اليمين (فوق) و<span style="color:#009246">■</span> 12 عينة على اليسار (أسفل)]]
للبدء, اعتبر المنحنى<math> y=f(x)\,</math> بين ''x'' = 0 و''x'' = 1, و<math> f(x)=\sqrt(x)\,</math>. يكون السؤال:
:ماهي المساحة تحت الدالة ''f'', في الفترة 0 إلى 1?
ولندعي أن هذه المساحة (حتى الآن غير معلومة) هي '''تكامل''' ''f''. يكون الرمز لهذا التكامل هو:
:<math> \int_0^1 \sqrt x \, dx \,\!.</math>
كتقريب أولي فلننظر في مربع الوحدة المعطى بالأضلاع ''x'' = 0 إلى ''x'' = 1 و<math> y=f(x)\,</math> nbsp;= 0 and ''y'' = ''f''(1) = 1. مساحته هي 1 تماما. ينبغي أن تكون القيمة الحقيقية للتكامل أقل مما هي عليه.
بتقليل عرض المستطيلات التقريبية يعطي نتيجة أفضل, وبالتالي عبر الفترة في خمس خطوات, باستعمال نقاط التقريب 0, <sup>1</sup>⁄<sub>5</sub>, <sup>2</sup>⁄<sub>5</sub>, وهكذا حتى 1. بوضع مربعا مناسبا لكل خطوة مستخدمين الارتفاع المناسب لكل قطعة منحنية، وعليه <sup>1</sup>⁄<sub>5</sub>√, <sup>2</sup>⁄<sub>5</sub>√, وهكذا حتى 1√= 1. وبجمع مساحات هذه المستطيلات, نحصل على تقريبا أفضل للتكاملات المقصودة,
:<math>\textstyle \sqrt {\frac {1} {5}} \left (\frac {1} {5} - 0 \right) + \sqrt {\frac {2} {5}} \left (\frac {2} {5} - \frac {1} {5} \right) + \cdots + \sqrt {\frac {5} {5}} \left (\frac {5} {5} - \frac {4} {5} \right) \approx 0.7497.\,\!</math>
لاحظ أننا نأخذ مجموع لقيم دوال عديدة محدودة لـ ''f'', مضروبة في الفرق بين فترتين تقريبيتين متعاقبتين. يمكننا ملاحظة أن التقريب ما زال كبيرا. وكلما استخدمنا خطوات أكثر حصلنا على تقريبات أفضل, ولكننا لن نحصل على قيم دقيقة أبدا: بإبدال الـ5 فترات بـ12 فترة نحصل على التقريب 0.6203, وهي تقريب أفضل. مفتاح الفكرة يكمن في الانتقال من ''العديد'' من نقاط التقريب المحدودة مضروبة بقيم دالتها إلى استعمال عدد لانهائي أو خطى ''متناهية في الصغر''.
بالنسبة للحساب الحقيقي للتكامل, تكون النظرية الأساسية للتكامل هي الرابط الأساسي بين عمليات الاشتقاق والتكامل. وبتطبيقها على منحنى الجذر التربيعي,''f''(''x'') = ''x''<sup>1/2</sup>, تقترح علينا أن نبحث عن [[المشتق العكسي]] ''F''(''x'') = <sup>2</sup>⁄<sub>3</sub>''x''<sup>3/2</sup>, ونأخذ ببساطة ''F''(1) − ''F''(0), حيث 0 و1 هي حدود [[الفترة]] [0,1].هذه حالة لقاعدة عامة, لإجل ''f''(''x'') = ''x''<sup>''q''</sup>, مع ''q'' ≠ −1, تكون الدالة المتعلقة والتي تدعى المشتق العكسي هي <math> F(x)=x^{q+1}/(q+1)\,</math> وبالتالي فإن القيمة ''الدقيقة'' للمساحة تحت المنحنى رسميا كما يلي
:<math> \int_0^1 \sqrt x \,dx = \int_0^1 x^{\frac{1}{2}} \,dx = \int_0^1 d \left({\textstyle \frac 2 3} x^{\frac{3}{2}}\right) = {\textstyle \frac 2 3}.</math>
== تعريفات منهجية ==
هناك عدة طرق لتعريف التكامل بشكل منهجي, لكن هذه الطرق مختلفة عن بعضها البعض في الطرق التي تسلكها. بعض هذه الاختلافات نتجت عن محاولات الرياضيين لحل حالات خاصة من المسائل التي تكون فيها المسألة غير قابلة للتكامل, وبعضها الآخر نتجت لأسباب تعليمية -كتسهيل حل المسائل-. إن أكثر تعريفين شيوعاً للتكامل هي تكامل ريمان وتكامل لوبيغ.
=== تكامل ريمان ===
{{مفصلة|تكامل ريمان}}
[[ملف:Integral Riemann sum.png|thumb|يسار|صورة توضيحية لتكامل تقريبي عند استخدام مجموع ريمان, تم تقسيم المساحة الموجودة تحت المنحنى إلى مضلعات غير منتظمة (الضلع الذي يوجد تحته الخط الأحمر هو الأعرض). القيمة الدقيقة للمساحة هي 3.76; والقيمة الفرضية هي 3.648.]]
يمكن تعريف تكامل ريمان على أنها أخذ [[مجموع ريمان]] للدالة الموجودة ضمن مجال ''جزئها المحدد Tagged partition''. فإذا كان الفترة [''a'',''b''] هي [[فترة (رياضيات)|فترة مغلقة]] في [[خط حقيقي|خطها الحقيقي]]; فإن ''جزئها المحدد'' ضمن الفترة [''a'',''b''] هي سلسلة متناهية، حيث تكون:
:<math> a = x_0 \le t_1 \le x_1 \le t_2 \le x_2 \le \cdots \le x_{n-1} \le t_n \le x_n = b. \,\!</math>
[[ملف:Riemann sum convergence.png|thumb|250px|يسار|صورة توضيحية لمجموع ريمان عندما يتم تقسيم فترات مساحة الأضلاع إلى نصفين في كل مرة، لاحظ بأن القيمة التقريبية تزداد صحةُ كلما أزداد عدد الأضلاع.]]
وهذا سيجزئ الفترة [''a'',''b''] إلى ''n'' جزء ذو الفترة الجديدة [''x''<sub>''i''−1</sub>, ''x''<sub>''i''</sub>]، حيث أن ''i'' يعتمد على عدد الأجزاء, كل واحد من هذه الأجزاء "تم تحديدها" بنقطة مفرِّقة ''t''<sub>''i''</sub> التي تنتمي للفترة [''x''<sub>''i''−1</sub>, ''x''<sub>''i''</sub>]. إذاً، تُعرّف ''مجموع ريمان'' للدالة ''f'' الموجودة ضمن الجزء المحدد من الفترة [''a'',''b''] على النحو التالي:
:<math>\sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta_i ; </math>
و بالتالي، كل حد من المجموع هي عبارة عن مساحة لمضلع لديه ارتفاع تساوي قيمة الدالة عند النقطة المفرقة للجزء المعطى, ولديه عرض تساوي طول الفترة الجزئية. فلتكنΔ<sub>''i''</sub> = ''x''<sub>''i''</sub>−''x''<sub>''i''−1</sub> هي عرض الفترة الجزئية ''i''; لكي يكون ''تشبيك'' هذا النوع من الأجزاء المحددة هي نفسها عرض أكبر فترة جزئية تم تشكيلها بواسطة التجزئية, التي لها القيمة القصوى <sub>''i''=1…''n''</sub> Δ<sub>''i''</sub>. إذاً، ''تكامل ريمان'' للدالة ''f'' في الفترة [''a'',''b''] هي مساوية للقيمة ''S'':
فإذا كان جميع قيم ε > 0، ستكون جميع قيم δ > 0. وإذا كان هناك جزء محدد في الفترة [''a'',''b''] أقل من قيمة δ, ستكون:
::<math>\left| S - \sum_{i=1}^{n} f(t_i)\Delta_i \right| < \epsilon.</math>
=== تكامل لوبيغ ===
== تكامل لوبيغ للدوال غير سالبة القيمة ==
لتكن <math>f\in {{M}^{+}}(X,\sum{)}</math> نعرف تكامل f بالنسبة للمقياس <math>\mu </math> على أنه العدد الحقيقي الممتد
<math>\int{fd\mu }=\sup \int{\phi d\mu }</math>
حيث sup يسري على كل الدوال البسيطة <math>\phi </math> التي تحقق <math>(\forall x\in X):0\le \phi (x)\le f(x)</math> إذا كانت E مجموعة قابلة للقياس نعرف تكامل f على E بالنسبة للمقياس <math>\mu </math> على أنه العدد الحقيقي الممتد
<math>\int\limits_{E}{fd\mu }={{\int{f\chi }}_{E}}d\mu </math>
إذا تكامل f على E هو مجرد تكامل الدالة <math>f{{\chi }_{E}}</math>.لاحظ أن هذه الدالة غير سالبة وقابلة للقياس طالما كانت f كذلك.
=== تكامل أخرى ===
== خواص التكامل ==
<big>من خواص التكامل (المحدد) :</big>
* إذا كانت ''n'' <math>\ni</math> ''مجموعة الأعداد الحقيقية'' وكانت <math>f</math> قابلة للتكامل على <math>[a,b]</math> فإن :
:: <math>\int_a^b {\color{red}n} f(x) dx = {\color{red}n} \int_a^b f(x) dx</math>
* إذا كانت الدالة <math>f</math> قابلة للتكامل على الفترة <math>[a,b]</math> فإن :
:: <math>\int_a^b f(x) dx \,= {\color{red}-} \,\int_b^a f(x) dx</math>
: وإذا كانت <math>b > a</math> فإنت :
:: <math>|\int_a^b f(x) \, dx \, | \ge \, \int_a^b | f(x) | \, dx</math>
* إذا كانت الدالة <math>f</math> قابلة للتكامل على الفترة <math>[a,b]</math> وكانت النقطة <math>c \in [a,b]</math> فإن :
:: <math>\int_a^b f(x) dx \,= \int_a^c f(x) dx \, + \, \int_c^b f(x) dx</math>
* إذا كانت الدالة د قابلة للتكامل على <math>[a,b]</math> و<math>f(x) \ge 0</math> على هذه الفترة فإن :
:: <math>\int_a^b f(x) dx \,\ge \, 0</math>
* إذا كانت الدالتان <math>f_1 , f_2</math> قابلتين للتكامل على <math>[a,b]</math> فإن الدالة <math>f_1 \pm f_2</math> تكون قابلة للتكامل على <math>[a,b]</math> ويكون :
:: <math>\int_a^b (f_1\pm f_2)(x)\, dx = \int_a^b f_1(x) \, dx \, \pm \int_a^b f_2(x)\, dx</math>
== النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل ==
== المراجع ==
* كتاب الرياضيات الصف الثالث ثانوي ، الفصل الدراسي الثاني طبعة 1431-1432 هـ المملكة العربية السعودية
{{مراجع}}
== اُنظر أيضاً ==
* ال[[مكامل]]
* [[التكامل الوظيفي]]
{{تصنيف كومنز|Integral functions}}
{{ضبط استنادي}}
{{شريط بوابات|رياضيات|تحليل رياضي}}
[[تصنيف:تكاملات]]
[[تصنيف:دوال]]' |
نص الويكي الجديد للصفحة، بعد التعديل (new_wikitext) | '{{تفاضل تكامل}}
[[ملف:Integral as region under curve.png|تصغير|'''مثال لحساب تكامل دالة (المساحة الرمادية)''']]
[[ملف:Emblem-integral.svg|تصغير|رمز التكامل، وأصله حرف الإس الألماني المطول]]
في [[رياضيات|الرياضيات]]، مكاملة [[دالة رياضية|دالة]] هي نوع من التعميم لكميات قابلة للتجزئة مثل المساحة أو الحجم أو الكتلة أو أي مجموع لعناصر متناهية في الصغر.
وأيضاً يمكن أن يُنظر إلى عملية التكامل على أنها عملية عكسية لعملية [[التفاضل]].
[[File:Что такое интеграл Анимация.gif|thumb|ما هو التكامل (الرسوم المتحركة)))]]
بالرغم من تعدد التعاريف المستخدمة للتكامل وتعدد طرق استخدامه فإن نتيجة هذه الطرق جميعها متشابهة وجميع التعاريف تؤدي في النهاية إلى المعنى ذاته.
يمكن اعتبار تكامل دالة حقيقية مستمرة ذات قيم موجبة لمتغير حقيقي بين قيمة حدية دنيا وقيمة حدية عليا هي المساحة المحصورة بين المستقيمين الرأسيين:
''x=a'', ''x=b'' والمحور ''x'' وال[[منحنى|منحني]] المحدد بالدالة، يمكن صياغة ذلك بشكل رياضي:
:<math> S= \{(x,y) \in \mathbb{R}_+^2:a \leq x \leq b \land 0 \leq y \leq f(x)\}, </math>
ويرمز لهذه العملية حسب اصطلاح لورينتز :
<math>\int_a^b f(x)\,dx\,</math>.
النقطة الأساسية في التكامل تأتي من المبرهنة الأساسية في التكامل والتي تنص على أن مشتق تابع المساحة تحت منحني الدالة هو الدالة نفسها. بالتالي إذا عرفنا دالة تربط القيمة x بقيمة المساحة المحدودة بين منحني الدالة
<math> f(x)\,</math> ومحور السينات'''(x)''' ومن الجهة الأخرى محدودة بمحور الصادات'''(y)''' والمستقيم X=x، تدعى هذه الدالة ب دالة المساحة ومشتقها هو الدالة <math> f(x)\,</math> نفسها، لذلك ندعو تابع المساحة عكس الاشتقاق أو التابع الأصلي للدالة <math> f(x)\,</math>.
يقوم حساب التكامل على إيجاد التابع الأصلي للدالة التي نريد القيام بمكاملتها.
وقد عرض [[غوتفريد لايبنتز|جوتفريد لايبنتز]]، في [[13 نوفمبر]] [[1675]]، أول عملية تكامل لحساب المساحة تحت [[منحنى]] ال[[دالة رياضية|دالة]] ص = د(س).
يوجد عدة أنواع للتكامل منها:
[[تكامل بالأجزاء|التكامل بالتجزئ]] ،[[تكامل بالتعويض]]، [[تكامل بالكسور الجزئية|التحويل إلى الكسور الجزئية]]، [[تكامل بالختزال المتتالي|الاختزال المتتالى]]
== تاريخ ==
=== التكامل ماقبل عصر علم التفاضل والتكامل ===
توجد دلالات تاريخية على استخدام التكامل في عهد [[فراعنة|قدماء المصريين]] (حوالي 1800 قبل الميلاد) فقد دلت [[بردية موسكو الرياضية]] على علمهم بصيغة لحساب [[حجم]] [[هرم|الهرم]] المقطوع. وتعد طريقة الاستنزاف من أوائل الطرق المستعملة في إيجاد التكاملات حيث تعود إلى 370 قبل الميلاد وكانت تحسب بها الحجوم والمساحات وذلك بتقسيمها إلى أشكال صغيرة غير منتهية معلومة المساحة أو الحجم. كما تم تطوير هذه الطريقة من قبل [[أرخميدس]] وتم استعمالها في حساب مساحات [[القطع المكافئ]] والتقريب لمساحة الدائرة. وفي [[الصين]] طورت طرق مماثلة في القرن الثالث الميلادي بواسطة [[ليوهوي]]، والذي استخدمها لإيجاد مساحة [[الدائرة]] كما تم استعمال هذه الطرق فيما بعد في القرن الخامس من قبل الرياضيين الصينيين - الأب والابن [[تسوتشونغ]] و[[زوجنغ]] لإيجاد حجم [[الكرة]].<ref>{{Citation| last1=Shea | first1=Marilyn | title=Biography of Zu Chongzhi | date=مايو 2007 | url=https://hua.umf.maine.edu/China/astronomy/tianpage/0014ZuChongzhi9296bw.html | publisher=University of Maine | accessdate=9 January 2009}}<br />{{Citation | last1=Katz | first1=Victor J. | title=A History of Mathematics, Brief Version | publisher={{Ill-WD2|أديسون-ويسلي|id=Q353060}} | isbn=978-0-321-16193-2 | year=2004 | pages=125–126}}</ref> في نفس القرن, استخدم الرياضي الهندي [[اريابهاتا]] طريقة مشابهة لحساب حجم المكعب.<ref>Victor J. Katz (1995), "Ideas of Calculus in Islam and India", ''Mathematics Magazine'' '''68''' (3): 163-174 [165]</ref>
أتت الخطوة التالية والهامة في التفاضل التكاملي في القرن الحادي عشر عندما أخترع العالم الفلكي [[الحسن بن الهيثم]] ما يعرف اليوم باسم '''مسألة الحسن''' (نسبة لاسمه المشهور عند الأوروبيين) والتي تقود إلى [[معادلة الدرجة الرابعة]]. في كتابه [[المناظر]]. بينما كان يحل هذه المسألة، قام بعملية تكامل لإيجاد حجم [[السطح المكافئ]]. وقد استطاع بالاستقراء الرياضي تعميم هذه النتيجة لدوال [[كثيرة الحدود]] حتى الدرجة الرابعة وقد كان بالتالي قادرا على إيجاد صيغة عامة لتكاملات كثيرة الحدود ولكنه لم يعر للأمر أهمية لذلك في وقته.<ref name=Katz>Victor J. Katz (1995), "Ideas of Calculus in Islam and India", ''Mathematics Magazine'' '''68''' (3): 163–174 [165–9 & 173–4]</ref>
بعض الأفكار في التفاضل التكاملي يمكن مشاهدتها أيضا في سيدهانتا شيروماني، وهي عبارة عن نص يعود للقرن الثاني عشر [[علم الفلك|للفلكي]] الهندي [[بهاسكارا 2]].
لم يبدأ ظهور التقدم الملحوظ في علم التكامل التفاضلي إلا مع القرن السادس عشر وفي هذا الوقت كان عمل كافاليري [[مبدأ كافاليري|بطريقته '''الكل لا التجزيء''']] وعمل [[فيرمات]]، ولقد بدأ بوضع الأساسيات لعلم [[التفاضل]] والتكامل الحديث. وكان لإسحق نيوتن وتورشيلي دورا هاما أيضا في توسيع هذا العلم أوائل القرن السابع عشر اللذان قدما التلميحات الأولى في وجود صلة بين التكامل و[[الاشتقاق]] في الوقت الذي كان الرياضيون اليابانيون قد أسهمو في أعمال مشابهة وبشكل خاص على يد [[سيكي كاوا]].<ref>[https://www2.gol.com/users/coynerhm/0598rothman.html] {{وصلة مكسورة|تاريخ=يوليو 2016}} {{Webarchive|url=http://web.archive.org/web/20061230062231/http://www2.gol.com:80/users/coynerhm/0598rothman.html |date=30 ديسمبر 2006}}</ref> كان منها طرق إيجاد مساحات الأشكال بالتكامل, بتوسيع طريقة الاستنزاف.
=== نيوتن وليبنز ===
مثل اكتشاف [[النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل]] الفريد من قبل [[إسحاق نيوتن]] و[[ليبنيز]] تقدما عظيما في علم التفاضل والتكامل.
فهي توضح العلاقة بين التكامل والتفاضل. هذه العلاقة, بدمجها مع قرينتها السهلة - الاشتقاق يمكن استغلالها لحساب التكاملات. وبشكل خاص فإن النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل تساعد في حل مسائل أكثر تعقيدا. وبإعطاء اسم التفاضل المتناهي في الصغر فقد سمحت بتحليل دقيق لدوال متصلة. لقد أصبح هذا العمل [[التفاضل والتكامل]] الحديث, والذي استمد رمزه من عمل ليبنيز.
=== صياغة التكاملات ===
مع أن نيوتن وليبنز أوجدا طريقة نظامية للتكامل إلا أن عملهما كان يفتقر إلى درجة الدقة. فقد هاجم جورج بركلي عبارة متناهي في الصغر ووصفها '''ب[[كميات الأشباح المغادرة]]'''. اكتسب التفاضل والتكامل مع تطور علم [[النهايات]] وتوطدت أركانه بفضل [[أوغستين لويس كوشي]] في منتصف القرن التاسع عشر. تم أولا صياغة التكامل بدقة باستعمال النهايات من قبل [[بيرنارد ريمان]] كما ظهرت صورة أخرى من قبل [[هنري لوبيغ]] في تأسيس نظرية [[القياس]].
=== العلامة ===
استعمل نيوتن عمودا صغيرا فوق المتغير للإشارة إلى عملية التكامل, أو أن يضع المتغير داخل مربع. كان القضيب العمودي يلتبس مع <math>\dot{x}</math> و<math>x'\,\!</math>, والتي كان قد استعملها نيوتن للإشارة للتفاضل. كما أنه من الصعب على الطابعة التعامل مع المربع, وبالتالي لم يتم تبني هذه العلامات.
الرمز الحديث للتكامل الغير محدود تم تقديمه على يد ليبنيز عام 1675 ({{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Burton|1988|loc=p. 359}}; {{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Leibniz|1899|loc=p. 154}}), كما أنه قام بموائمة رمز التكامل,:<math> \int\,</math>, بعد إطالته للحرف ''s'' كتمثيل لاختصار عملية الجمع sum. الشكل الحديث لعلامة التكامل المحدود استعمل لأول مرة من قبل جوزيف فوريير بإضافة حدود التكامل أسفل وأعلى الرمز السابق ({{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Cajori|1929|loc=pp. 249–250}}; {{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Fourier|1822|loc=§231}}).
الجدير بالذكر أن الرياضيات العربية التي تكتب من اليمين لليسار تستعمل الرمز المعكوس للتكامل, [[ملف:ArabicIntegralSign.svg|25px]]، ليتماشى مع اتجاه الكتابة.{{Harvard citation|W3C|2006}}.
== مقدمة ==
تظهر التكاملات في العديد من الحالات التطبيقية. إذا اعتبرنا بركة السباحة مثلا, إذا كانت مستطيلة الشكل, من طولها, عرضها, وعمقها فمن الممكن إيجاد حجم الماء التي يمكن احتواؤها (لملئها), مساحتها السطحية (التي تغطيها من جميع الجهات), وطول حوافها (بحبل مثلا). لكن إذا كانت بيضاوية الشكل ومدورة من القعر, فإن كل هذه الكميات تستدعي التكامل. قد تكون التقريبات التطبيقية كافية في مثل هذه الأمثلة البسيطة ولكن الدقة الهندسية تتطلب قيما مضبوطة ودقيقة لهذه العناصر.
[[ملف:Integral approximations.svg|thumb|تقريب التكامل لـ √''x'' من 0 إلى 1, بـ<span style="color:#fec200">■</span> 5 عينات على اليمين (فوق) و<span style="color:#009246">■</span> 12 عينة على اليسار (أسفل)]]
للبدء, اعتبر المنحنى<math> y=f(x)\,</math> بين ''x'' = 0 و''x'' = 1, و<math> f(x)=\sqrt(x)\,</math>. يكون السؤال:
:ماهي المساحة تحت الدالة ''f'', في الفترة 0 إلى 1?
ولندعي أن هذه المساحة (حتى الآن غير معلومة) هي '''تكامل''' ''f''. يكون الرمز لهذا التكامل هو:
:<math> \int_0^1 \sqrt x \, dx \,\!.</math>
كتقريب أولي فلننظر في مربع الوحدة المعطى بالأضلاع ''x'' = 0 إلى ''x'' = 1 و<math> y=f(x)\,</math> nbsp;= 0 and ''y'' = ''f''(1) = 1. مساحته هي 1 تماما. ينبغي أن تكون القيمة الحقيقية للتكامل أقل مما هي عليه.
بتقليل عرض المستطيلات التقريبية يعطي نتيجة أفضل, وبالتالي عبر الفترة في خمس خطوات, باستعمال نقاط التقريب 0, <sup>1</sup>⁄<sub>5</sub>, <sup>2</sup>⁄<sub>5</sub>, وهكذا حتى 1. بوضع مربعا مناسبا لكل خطوة مستخدمين الارتفاع المناسب لكل قطعة منحنية، وعليه <sup>1</sup>⁄<sub>5</sub>√, <sup>2</sup>⁄<sub>5</sub>√, وهكذا حتى 1√= 1. وبجمع مساحات هذه المستطيلات, نحصل على تقريبا أفضل للتكاملات المقصودة,
:<math>\textstyle \sqrt {\frac {1} {5}} \left (\frac {1} {5} - 0 \right) + \sqrt {\frac {2} {5}} \left (\frac {2} {5} - \frac {1} {5} \right) + \cdots + \sqrt {\frac {5} {5}} \left (\frac {5} {5} - \frac {4} {5} \right) \approx 0.7497.\,\!</math>
لاحظ أننا نأخذ مجموع لقيم دوال عديدة محدودة لـ ''f'', مضروبة في الفرق بين فترتين تقريبيتين متعاقبتين. يمكننا ملاحظة أن التقريب ما زال كبيرا. وكلما استخدمنا خطوات أكثر حصلنا على تقريبات أفضل, ولكننا لن نحصل على قيم دقيقة أبدا: بإبدال الـ5 فترات بـ12 فترة نحصل على التقريب 0.6203, وهي تقريب أفضل. مفتاح الفكرة يكمن في الانتقال من ''العديد'' من نقاط التقريب المحدودة مضروبة بقيم دالتها إلى استعمال عدد لانهائي أو خطى ''متناهية في الصغر''.
بالنسبة للحساب الحقيقي للتكامل, تكون النظرية الأساسية للتكامل هي الرابط الأساسي بين عمليات الاشتقاق والتكامل. وبتطبيقها على منحنى الجذر التربيعي,''f''(''x'') = ''x''<sup>1/2</sup>, تقترح علينا أن نبحث عن [[المشتق العكسي]] ''F''(''x'') = <sup>2</sup>⁄<sub>3</sub>''x''<sup>3/2</sup>, ونأخذ ببساطة ''F''(1) − ''F''(0), حيث 0 و1 هي حدود [[الفترة]] [0,1].هذه حالة لقاعدة عامة, لإجل ''f''(''x'') = ''x''<sup>''q''</sup>, مع ''q'' ≠ −1, تكون الدالة المتعلقة والتي تدعى المشتق العكسي هي <math> F(x)=x^{q+1}/(q+1)\,</math> وبالتالي فإن القيمة ''الدقيقة'' للمساحة تحت المنحنى رسميا كما يلي
:<math> \int_0^1 \sqrt x \,dx = \int_0^1 x^{\frac{1}{2}} \,dx = \int_0^1 d \left({\textstyle \frac 2 3} x^{\frac{3}{2}}\right) = {\textstyle \frac 2 3}.</math>
== تعريفات منهجية ==
هناك عدة طرق لتعريف التكامل بشكل منهجي, لكن هذه الطرق مختلفة عن بعضها البعض في الطرق التي تسلكها. بعض هذه الاختلافات نتجت عن محاولات الرياضيين لحل حالات خاصة من المسائل التي تكون فيها المسألة غير قابلة للتكامل, وبعضها الآخر نتجت لأسباب تعليمية -كتسهيل حل المسائل-. إن أكثر تعريفين شيوعاً للتكامل هي تكامل ريمان وتكامل لوبيغ.
=== تكامل ريمان ===
{{مفصلة|تكامل ريمان}}
[[ملف:Integral Riemann sum.png|thumb|يسار|صورة توضيحية لتكامل تقريبي عند استخدام مجموع ريمان, تم تقسيم المساحة الموجودة تحت المنحنى إلى مضلعات غير منتظمة (الضلع الذي يوجد تحته الخط الأحمر هو الأعرض). القيمة الدقيقة للمساحة هي 3.76; والقيمة الفرضية هي 3.648.]]
يمكن تعريف تكامل ريمان على أنها أخذ [[مجموع ريمان]] للدالة الموجودة ضمن مجال ''جزئها المحدد Tagged partition''. فإذا كان الفترة [''a'',''b''] هي [[فترة (رياضيات)|فترة مغلقة]] في [[خط حقيقي|خطها الحقيقي]]; فإن ''جزئها المحدد'' ضمن الفترة [''a'',''b''] هي سلسلة متناهية، حيث تكون:
:<math> a = x_0 \le t_1 \le x_1 \le t_2 \le x_2 \le \cdots \le x_{n-1} \le t_n \le x_n = b. \,\!</math>
[[ملف:Riemann sum convergence.png|thumb|250px|يسار|صورة توضيحية لمجموع ريمان عندما يتم تقسيم فترات مساحة الأضلاع إلى نصفين في كل مرة، لاحظ بأن القيمة التقريبية تزداد صحةُ كلما أزداد عدد الأضلاع.]]
وهذا سيجزئ الفترة [''a'',''b''] إلى ''n'' جزء ذو الفترة الجديدة [''x''<sub>''i''−1</sub>, ''x''<sub>''i''</sub>]، حيث أن ''i'' يعتمد على عدد الأجزاء, كل واحد من هذه الأجزاء "تم تحديدها" بنقطة مفرِّقة ''t''<sub>''i''</sub> التي تنتمي للفترة [''x''<sub>''i''−1</sub>, ''x''<sub>''i''</sub>]. إذاً، تُعرّف ''مجموع ريمان'' للدالة ''f'' الموجودة ضمن الجزء المحدد من الفترة [''a'',''b''] على النحو التالي:
:<math>\sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta_i ; </math>
و بالتالي، كل حد من المجموع هي عبارة عن مساحة لمضلع لديه ارتفاع تساوي قيمة الدالة عند النقطة المفرقة للجزء المعطى, ولديه عرض تساوي طول الفترة الجزئية. فلتكنΔ<sub>''i''</sub> = ''x''<sub>''i''</sub>−''x''<sub>''i''−1</sub> هي عرض الفترة الجزئية ''i''; لكي يكون ''تشبيك'' هذا النوع من الأجزاء المحددة هي نفسها عرض أكبر فترة جزئية تم تشكيلها بواسطة التجزئية, التي لها القيمة القصوى <sub>''i''=1…''n''</sub> Δ<sub>''i''</sub>. إذاً، ''تكامل ريمان'' للدالة ''f'' في الفترة [''a'',''b''] هي مساوية للقيمة ''S'':
فإذا كان جميع قيم ε > 0، ستكون جميع قيم δ > 0. وإذا كان هناك جزء محدد في الفترة [''a'',''b''] أقل من قيمة δ, ستكون:
::<math>\left| S - \sum_{i=1}^{n} f(t_i)\Delta_i \right| < \epsilon.</math>
=== تكامل لوبيغ ===
== تكامل لوبيغ للدوال غير سالبة القيمة ==
لتكن <math>f\in {{M}^{+}}(X,\sum{)}</math> نعرف تكامل f بالنسبة للمقياس <math>\mu </math> على أنه العدد الحقيقي الممتد
<math>\int{fd\mu }=\sup \int{\phi d\mu }</math>
حيث sup يسري على كل الدوال البسيطة <math>\phi </math> التي تحقق <math>(\forall x\in X):0\le \phi (x)\le f(x)</math> إذا كانت E مجموعة قابلة للقياس نعرف تكامل f على E بالنسبة للمقياس <math>\mu </math> على أنه العدد الحقيقي الممتد
<math>\int\limits_{E}{fd\mu }={{\int{f\chi }}_{E}}d\mu </math>
إذا تكامل f على E هو مجرد تكامل الدالة <math>f{{\chi }_{E}}</math>.لاحظ أن هذه الدالة غير سالبة وقابلة للقياس طالما كانت f كذلك.
=== تكامل أخرى ===
== خواص التكامل ==
<big>من خواص التكامل (المحدد) :</big>
* إذا كانت ''n'' <math>\ni</math> ''مجموعة الأعداد الحقيقية'' وكانت <math>f</math> قابلة للتكامل على <math>[a,b]</math> فإن :
:: <math>\int_a^b {\color{red}n} f(x) dx = {\color{red}n} \int_a^b f(x) dx</math>
* إذا كانت الدالة <math>f</math> قابلة للتكامل على الفترة <math>[a,b]</math> فإن :
:: <math>\int_a^b f(x) dx \,= {\color{red}-} \,\int_b^a f(x) dx</math>
: وإذا كانت <math>b > a</math> فإنت :
:: <math>|\int_a^b f(x) \, dx \, | \ge \, \int_a^b | f(x) | \, dx</math>
* إذا كانت الدالة <math>f</math> قابلة للتكامل على الفترة <math>[a,b]</math> وكانت النقطة <math>c \in [a,b]</math> فإن :
:: <math>\int_a^b f(x) dx \,= \int_a^c f(x) dx \, + \, \int_c^b f(x) dx</math>
* إذا كانت الدالة د قابلة للتكامل على <math>[a,b]</math> و<math>f(x) \ge 0</math> على هذه الفترة فإن :
:: <math>\int_a^b f(x) dx \,\ge \, 0</math>
* إذا كانت الدالتان <math>f_1 , f_2</math> قابلتين للتكامل على <math>[a,b]</math> فإن الدالة <math>f_1 \pm f_2</math> تكون قابلة للتكامل على <math>[a,b]</math> ويكون :
:: <math>\int_a^b (f_1\pm f_2)(x)\, dx = \int_a^b f_1(x) \, dx \, \pm \int_a^b f_2(x)\, dx</math>
== النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل معاذ وينك؟؟ ==
== المراجع ==
* كتاب الرياضيات الصف الثالث ثانوي ، الفصل الدراسي الثاني طبعة 1431-1432 هـ المملكة العربية السعودية
{{مراجع}}
== اُنظر أيضاً ==
* ال[[مكامل]]
* [[التكامل الوظيفي]]
{{تصنيف كومنز|Integral functions}}
{{ضبط استنادي}}
{{شريط بوابات|رياضيات|تحليل رياضي}}
[[تصنيف:تكاملات]]
[[تصنيف:دوال]]' |
نص الصفحة الجديد، مجردا من أية تهيئة (new_text) | '
مواضيع في التفاضل والتكامل
المبرهنة الأساسية نهايات الدوال استمرارية مبرهنة القيمة المتوسطة
حسبان تفاضلي 
اشتقاق تغير المتغيرات تفاضل ضمني مبرهنة تايلور معدلات مرتبطة متطابِقات قواعد:
قاعدة القوة، قاعدة الضرب،قاعدة ناتج القسمة، قاعدة التسلسل
حسبان تكاملي 
تكامل
قائمة التكاملات
تكاملات معتلة
التكامل بواسطة:
التجزيء، الأقراص، الطبقات الأسطوانية، التعويض، التعويضات المثلثية،الكسور الجزئية، تغيير الرتب
حسبان المتجهات 
تدرج تباعد التواء لابلاسي مبرهنة التدرج مبرهنة غرين مبرهنة ستوكس مبرهنة التباعد
حسبان متعدد المتغيرات 
حسبان المصفوفات اشتقاق جزئي تكامل متعدد تكامل خطي تكامل سطحي تكامل حجمي جاكوبي
مثال لحساب تكامل دالة (المساحة الرمادية)
رمز التكامل، وأصله حرف الإس الألماني المطول
في الرياضيات، مكاملة دالة هي نوع من التعميم لكميات قابلة للتجزئة مثل المساحة أو الحجم أو الكتلة أو أي مجموع لعناصر متناهية في الصغر.
وأيضاً يمكن أن يُنظر إلى عملية التكامل على أنها عملية عكسية لعملية التفاضل.
ما هو التكامل (الرسوم المتحركة)))
بالرغم من تعدد التعاريف المستخدمة للتكامل وتعدد طرق استخدامه فإن نتيجة هذه الطرق جميعها متشابهة وجميع التعاريف تؤدي في النهاية إلى المعنى ذاته.
يمكن اعتبار تكامل دالة حقيقية مستمرة ذات قيم موجبة لمتغير حقيقي بين قيمة حدية دنيا وقيمة حدية عليا هي المساحة المحصورة بين المستقيمين الرأسيين:
x=a, x=b والمحور x والمنحني المحدد بالدالة، يمكن صياغة ذلك بشكل رياضي:
S
=
{
(
x
,
y
)
∈
R
+
2
:
a
≤
x
≤
b
∧
0
≤
y
≤
f
(
x
)
}
,
{\displaystyle S=\{(x,y)\in \mathbb {R} _{+}^{2}:a\leq x\leq b\land 0\leq y\leq f(x)\},}
ويرمز لهذه العملية حسب اصطلاح لورينتز :
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\,}
.
النقطة الأساسية في التكامل تأتي من المبرهنة الأساسية في التكامل والتي تنص على أن مشتق تابع المساحة تحت منحني الدالة هو الدالة نفسها. بالتالي إذا عرفنا دالة تربط القيمة x بقيمة المساحة المحدودة بين منحني الدالة
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)\,}
ومحور السينات(x) ومن الجهة الأخرى محدودة بمحور الصادات(y) والمستقيم X=x، تدعى هذه الدالة ب دالة المساحة ومشتقها هو الدالة
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)\,}
نفسها، لذلك ندعو تابع المساحة عكس الاشتقاق أو التابع الأصلي للدالة
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)\,}
.
يقوم حساب التكامل على إيجاد التابع الأصلي للدالة التي نريد القيام بمكاملتها.
وقد عرض جوتفريد لايبنتز، في 13 نوفمبر 1675، أول عملية تكامل لحساب المساحة تحت منحنى الدالة ص = د(س).
يوجد عدة أنواع للتكامل منها:
التكامل بالتجزئ ،تكامل بالتعويض، التحويل إلى الكسور الجزئية، الاختزال المتتالى
محتويات
1 تاريخ
1.1 التكامل ماقبل عصر علم التفاضل والتكامل
1.2 نيوتن وليبنز
1.3 صياغة التكاملات
1.4 العلامة
2 مقدمة
3 تعريفات منهجية
3.1 تكامل ريمان
3.2 تكامل لوبيغ
4 تكامل لوبيغ للدوال غير سالبة القيمة
4.1 تكامل أخرى
5 خواص التكامل
6 النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل معاذ وينك؟؟
7 المراجع
8 اُنظر أيضاً
تاريخ[عدل]
التكامل ماقبل عصر علم التفاضل والتكامل[عدل]
توجد دلالات تاريخية على استخدام التكامل في عهد قدماء المصريين (حوالي 1800 قبل الميلاد) فقد دلت بردية موسكو الرياضية على علمهم بصيغة لحساب حجم الهرم المقطوع. وتعد طريقة الاستنزاف من أوائل الطرق المستعملة في إيجاد التكاملات حيث تعود إلى 370 قبل الميلاد وكانت تحسب بها الحجوم والمساحات وذلك بتقسيمها إلى أشكال صغيرة غير منتهية معلومة المساحة أو الحجم. كما تم تطوير هذه الطريقة من قبل أرخميدس وتم استعمالها في حساب مساحات القطع المكافئ والتقريب لمساحة الدائرة. وفي الصين طورت طرق مماثلة في القرن الثالث الميلادي بواسطة ليوهوي، والذي استخدمها لإيجاد مساحة الدائرة كما تم استعمال هذه الطرق فيما بعد في القرن الخامس من قبل الرياضيين الصينيين - الأب والابن تسوتشونغ وزوجنغ لإيجاد حجم الكرة.[1] في نفس القرن, استخدم الرياضي الهندي اريابهاتا طريقة مشابهة لحساب حجم المكعب.[2]
أتت الخطوة التالية والهامة في التفاضل التكاملي في القرن الحادي عشر عندما أخترع العالم الفلكي الحسن بن الهيثم ما يعرف اليوم باسم مسألة الحسن (نسبة لاسمه المشهور عند الأوروبيين) والتي تقود إلى معادلة الدرجة الرابعة. في كتابه المناظر. بينما كان يحل هذه المسألة، قام بعملية تكامل لإيجاد حجم السطح المكافئ. وقد استطاع بالاستقراء الرياضي تعميم هذه النتيجة لدوال كثيرة الحدود حتى الدرجة الرابعة وقد كان بالتالي قادرا على إيجاد صيغة عامة لتكاملات كثيرة الحدود ولكنه لم يعر للأمر أهمية لذلك في وقته.[3]
بعض الأفكار في التفاضل التكاملي يمكن مشاهدتها أيضا في سيدهانتا شيروماني، وهي عبارة عن نص يعود للقرن الثاني عشر للفلكي الهندي بهاسكارا 2.
لم يبدأ ظهور التقدم الملحوظ في علم التكامل التفاضلي إلا مع القرن السادس عشر وفي هذا الوقت كان عمل كافاليري بطريقته الكل لا التجزيء وعمل فيرمات، ولقد بدأ بوضع الأساسيات لعلم التفاضل والتكامل الحديث. وكان لإسحق نيوتن وتورشيلي دورا هاما أيضا في توسيع هذا العلم أوائل القرن السابع عشر اللذان قدما التلميحات الأولى في وجود صلة بين التكامل والاشتقاق في الوقت الذي كان الرياضيون اليابانيون قد أسهمو في أعمال مشابهة وبشكل خاص على يد سيكي كاوا.[4] كان منها طرق إيجاد مساحات الأشكال بالتكامل, بتوسيع طريقة الاستنزاف.
نيوتن وليبنز[عدل]
مثل اكتشاف النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل الفريد من قبل إسحاق نيوتن وليبنيز تقدما عظيما في علم التفاضل والتكامل.
فهي توضح العلاقة بين التكامل والتفاضل. هذه العلاقة, بدمجها مع قرينتها السهلة - الاشتقاق يمكن استغلالها لحساب التكاملات. وبشكل خاص فإن النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل تساعد في حل مسائل أكثر تعقيدا. وبإعطاء اسم التفاضل المتناهي في الصغر فقد سمحت بتحليل دقيق لدوال متصلة. لقد أصبح هذا العمل التفاضل والتكامل الحديث, والذي استمد رمزه من عمل ليبنيز.
صياغة التكاملات[عدل]
مع أن نيوتن وليبنز أوجدا طريقة نظامية للتكامل إلا أن عملهما كان يفتقر إلى درجة الدقة. فقد هاجم جورج بركلي عبارة متناهي في الصغر ووصفها بكميات الأشباح المغادرة. اكتسب التفاضل والتكامل مع تطور علم النهايات وتوطدت أركانه بفضل أوغستين لويس كوشي في منتصف القرن التاسع عشر. تم أولا صياغة التكامل بدقة باستعمال النهايات من قبل بيرنارد ريمان كما ظهرت صورة أخرى من قبل هنري لوبيغ في تأسيس نظرية القياس.
العلامة[عدل]
استعمل نيوتن عمودا صغيرا فوق المتغير للإشارة إلى عملية التكامل, أو أن يضع المتغير داخل مربع. كان القضيب العمودي يلتبس مع
x
˙
{\displaystyle {\dot {x}}}
و
x
′
{\displaystyle x'\,\!}
, والتي كان قد استعملها نيوتن للإشارة للتفاضل. كما أنه من الصعب على الطابعة التعامل مع المربع, وبالتالي لم يتم تبني هذه العلامات.
الرمز الحديث للتكامل الغير محدود تم تقديمه على يد ليبنيز عام 1675 (Burton 1988, p. 359; Leibniz 1899, p. 154), كما أنه قام بموائمة رمز التكامل,:
∫
{\displaystyle \int \,}
, بعد إطالته للحرف s كتمثيل لاختصار عملية الجمع sum. الشكل الحديث لعلامة التكامل المحدود استعمل لأول مرة من قبل جوزيف فوريير بإضافة حدود التكامل أسفل وأعلى الرمز السابق (Cajori 1929, pp. 249–250; Fourier 1822, §231).
الجدير بالذكر أن الرياضيات العربية التي تكتب من اليمين لليسار تستعمل الرمز المعكوس للتكامل, ، ليتماشى مع اتجاه الكتابة.(W3C 2006).
مقدمة[عدل]
تظهر التكاملات في العديد من الحالات التطبيقية. إذا اعتبرنا بركة السباحة مثلا, إذا كانت مستطيلة الشكل, من طولها, عرضها, وعمقها فمن الممكن إيجاد حجم الماء التي يمكن احتواؤها (لملئها), مساحتها السطحية (التي تغطيها من جميع الجهات), وطول حوافها (بحبل مثلا). لكن إذا كانت بيضاوية الشكل ومدورة من القعر, فإن كل هذه الكميات تستدعي التكامل. قد تكون التقريبات التطبيقية كافية في مثل هذه الأمثلة البسيطة ولكن الدقة الهندسية تتطلب قيما مضبوطة ودقيقة لهذه العناصر.
تقريب التكامل لـ √x من 0 إلى 1, بـ■ 5 عينات على اليمين (فوق) و■ 12 عينة على اليسار (أسفل)
للبدء, اعتبر المنحنى
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)\,}
بين x = 0 وx = 1, و
f
(
x
)
=
(
x
)
{\displaystyle f(x)={\sqrt {(}}x)\,}
. يكون السؤال:
ماهي المساحة تحت الدالة f, في الفترة 0 إلى 1?
ولندعي أن هذه المساحة (حتى الآن غير معلومة) هي تكامل f. يكون الرمز لهذا التكامل هو:
∫
0
1
x
d
x
.
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\,dx\,\!.}
كتقريب أولي فلننظر في مربع الوحدة المعطى بالأضلاع x = 0 إلى x = 1 و
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)\,}
nbsp;= 0 and y = f(1) = 1. مساحته هي 1 تماما. ينبغي أن تكون القيمة الحقيقية للتكامل أقل مما هي عليه.
بتقليل عرض المستطيلات التقريبية يعطي نتيجة أفضل, وبالتالي عبر الفترة في خمس خطوات, باستعمال نقاط التقريب 0, 1⁄5, 2⁄5, وهكذا حتى 1. بوضع مربعا مناسبا لكل خطوة مستخدمين الارتفاع المناسب لكل قطعة منحنية، وعليه 1⁄5√, 2⁄5√, وهكذا حتى   1√= 1. وبجمع مساحات هذه المستطيلات, نحصل على تقريبا أفضل للتكاملات المقصودة,
1
5
(
1
5
−
0
)
+
2
5
(
2
5
−
1
5
)
+
⋯
+
5
5
(
5
5
−
4
5
)
≈
0.7497.
{\displaystyle \textstyle {\sqrt {\frac {1}{5}}}\left({\frac {1}{5}}-0\right)+{\sqrt {\frac {2}{5}}}\left({\frac {2}{5}}-{\frac {1}{5}}\right)+\cdots +{\sqrt {\frac {5}{5}}}\left({\frac {5}{5}}-{\frac {4}{5}}\right)\approx 0.7497.\,\!}
لاحظ أننا نأخذ مجموع لقيم دوال عديدة محدودة لـ f, مضروبة في الفرق بين فترتين تقريبيتين متعاقبتين. يمكننا ملاحظة أن التقريب ما زال كبيرا. وكلما استخدمنا خطوات أكثر حصلنا على تقريبات أفضل, ولكننا لن نحصل على قيم دقيقة أبدا: بإبدال الـ5 فترات بـ12 فترة نحصل على التقريب 0.6203, وهي تقريب أفضل. مفتاح الفكرة يكمن في الانتقال من العديد من نقاط التقريب المحدودة مضروبة بقيم دالتها إلى استعمال عدد لانهائي أو خطى متناهية في الصغر.
بالنسبة للحساب الحقيقي للتكامل, تكون النظرية الأساسية للتكامل هي الرابط الأساسي بين عمليات الاشتقاق والتكامل. وبتطبيقها على منحنى الجذر التربيعي,f(x) = x1/2, تقترح علينا أن نبحث عن المشتق العكسي F(x) = 2⁄3x3/2, ونأخذ ببساطة F(1) − F(0), حيث 0 و1 هي حدود الفترة [0,1].هذه حالة لقاعدة عامة, لإجل f(x) = xq, مع q ≠ −1, تكون الدالة المتعلقة والتي تدعى المشتق العكسي هي
F
(
x
)
=
x
q
+
1
/
(
q
+
1
)
{\displaystyle F(x)=x^{q+1}/(q+1)\,}
وبالتالي فإن القيمة الدقيقة للمساحة تحت المنحنى رسميا كما يلي
∫
0
1
x
d
x
=
∫
0
1
x
1
2
d
x
=
∫
0
1
d
(
2
3
x
3
2
)
=
2
3
.
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\,dx=\int _{0}^{1}x^{\frac {1}{2}}\,dx=\int _{0}^{1}d\left({\textstyle {\frac {2}{3}}}x^{\frac {3}{2}}\right)={\textstyle {\frac {2}{3}}}.}
تعريفات منهجية[عدل]
هناك عدة طرق لتعريف التكامل بشكل منهجي, لكن هذه الطرق مختلفة عن بعضها البعض في الطرق التي تسلكها. بعض هذه الاختلافات نتجت عن محاولات الرياضيين لحل حالات خاصة من المسائل التي تكون فيها المسألة غير قابلة للتكامل, وبعضها الآخر نتجت لأسباب تعليمية -كتسهيل حل المسائل-. إن أكثر تعريفين شيوعاً للتكامل هي تكامل ريمان وتكامل لوبيغ.
تكامل ريمان[عدل]
 مقالة مفصلة: تكامل ريمان
صورة توضيحية لتكامل تقريبي عند استخدام مجموع ريمان, تم تقسيم المساحة الموجودة تحت المنحنى إلى مضلعات غير منتظمة (الضلع الذي يوجد تحته الخط الأحمر هو الأعرض). القيمة الدقيقة للمساحة هي 3.76; والقيمة الفرضية هي 3.648.
يمكن تعريف تكامل ريمان على أنها أخذ مجموع ريمان للدالة الموجودة ضمن مجال جزئها المحدد Tagged partition. فإذا كان الفترة [a,b] هي فترة مغلقة في خطها الحقيقي; فإن جزئها المحدد ضمن الفترة [a,b] هي سلسلة متناهية، حيث تكون:
a
=
x
0
≤
t
1
≤
x
1
≤
t
2
≤
x
2
≤
⋯
≤
x
n
−
1
≤
t
n
≤
x
n
=
b
.
{\displaystyle a=x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}=b.\,\!}
صورة توضيحية لمجموع ريمان عندما يتم تقسيم فترات مساحة الأضلاع إلى نصفين في كل مرة، لاحظ بأن القيمة التقريبية تزداد صحةُ كلما أزداد عدد الأضلاع.
وهذا سيجزئ الفترة [a,b] إلى n جزء ذو الفترة الجديدة [xi−1, xi]، حيث أن i يعتمد على عدد الأجزاء, كل واحد من هذه الأجزاء "تم تحديدها" بنقطة مفرِّقة ti التي تنتمي للفترة [xi−1, xi]. إذاً، تُعرّف مجموع ريمان للدالة f الموجودة ضمن الجزء المحدد من الفترة [a,b] على النحو التالي:
∑
i
=
1
n
f
(
t
i
)
Δ
i
;
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i};}
و بالتالي، كل حد من المجموع هي عبارة عن مساحة لمضلع لديه ارتفاع تساوي قيمة الدالة عند النقطة المفرقة للجزء المعطى, ولديه عرض تساوي طول الفترة الجزئية. فلتكنΔi = xi−xi−1 هي عرض الفترة الجزئية i; لكي يكون تشبيك هذا النوع من الأجزاء المحددة هي نفسها عرض أكبر فترة جزئية تم تشكيلها بواسطة التجزئية, التي لها القيمة القصوى i=1…n Δi. إذاً، تكامل ريمان للدالة f في الفترة [a,b] هي مساوية للقيمة S:
فإذا كان جميع قيم ε > 0، ستكون جميع قيم δ > 0. وإذا كان هناك جزء محدد في الفترة [a,b] أقل من قيمة δ, ستكون:
|
S
−
∑
i
=
1
n
f
(
t
i
)
Δ
i
|
<
ϵ
.
{\displaystyle \left|S-\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i}\right|<\epsilon .}
تكامل لوبيغ[عدل]
تكامل لوبيغ للدوال غير سالبة القيمة[عدل]
لتكن
f
∈
M
+
(
X
,
∑
)
{\displaystyle f\in {{M}^{+}}(X,\sum {)}}
نعرف تكامل f بالنسبة للمقياس
μ
{\displaystyle \mu }
على أنه العدد الحقيقي الممتد
∫
f
d
μ
=
sup
∫
ϕ
d
μ
{\displaystyle \int {fd\mu }=\sup \int {\phi d\mu }}
حيث sup يسري على كل الدوال البسيطة
ϕ
{\displaystyle \phi }
التي تحقق
(
∀
x
∈
X
)
:
0
≤
ϕ
(
x
)
≤
f
(
x
)
{\displaystyle (\forall x\in X):0\leq \phi (x)\leq f(x)}
إذا كانت E مجموعة قابلة للقياس نعرف تكامل f على E بالنسبة للمقياس
μ
{\displaystyle \mu }
على أنه العدد الحقيقي الممتد
∫
E
f
d
μ
=
∫
f
χ
E
d
μ
{\displaystyle \int \limits _{E}{fd\mu }={{\int {f\chi }}_{E}}d\mu }
إذا تكامل f على E هو مجرد تكامل الدالة
f
χ
E
{\displaystyle f{{\chi }_{E}}}
.لاحظ أن هذه الدالة غير سالبة وقابلة للقياس طالما كانت f كذلك.
تكامل أخرى[عدل]
خواص التكامل[عدل]
من خواص التكامل (المحدد) :
إذا كانت n
∋
{\displaystyle \ni }
مجموعة الأعداد الحقيقية وكانت
f
{\displaystyle f}
قابلة للتكامل على
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
فإن :
∫
a
b
n
f
(
x
)
d
x
=
n
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}{\color {red}n}f(x)dx={\color {red}n}\int _{a}^{b}f(x)dx}
إذا كانت الدالة
f
{\displaystyle f}
قابلة للتكامل على الفترة
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
فإن :
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
−
∫
b
a
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\,={\color {red}-}\,\int _{b}^{a}f(x)dx}
وإذا كانت
b
>
a
{\displaystyle b>a}
فإنت :
|
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
|
≥
∫
a
b
|
f
(
x
)
|
d
x
{\displaystyle |\int _{a}^{b}f(x)\,dx\,|\geq \,\int _{a}^{b}|f(x)|\,dx}
إذا كانت الدالة
f
{\displaystyle f}
قابلة للتكامل على الفترة
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
وكانت النقطة
c
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle c\in [a,b]}
فإن :
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
∫
a
c
f
(
x
)
d
x
+
∫
c
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\,=\int _{a}^{c}f(x)dx\,+\,\int _{c}^{b}f(x)dx}
إذا كانت الدالة د قابلة للتكامل على
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
و
f
(
x
)
≥
0
{\displaystyle f(x)\geq 0}
على هذه الفترة فإن :
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≥
0
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\,\geq \,0}
إذا كانت الدالتان
f
1
,
f
2
{\displaystyle f_{1},f_{2}}
قابلتين للتكامل على
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
فإن الدالة
f
1
±
f
2
{\displaystyle f_{1}\pm f_{2}}
تكون قابلة للتكامل على
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
ويكون :
∫
a
b
(
f
1
±
f
2
)
(
x
)
d
x
=
∫
a
b
f
1
(
x
)
d
x
±
∫
a
b
f
2
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}(f_{1}\pm f_{2})(x)\,dx=\int _{a}^{b}f_{1}(x)\,dx\,\pm \int _{a}^{b}f_{2}(x)\,dx}
النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل معاذ وينك؟؟[عدل]
المراجع[عدل]
كتاب الرياضيات الصف الثالث ثانوي ، الفصل الدراسي الثاني طبعة 1431-1432 هـ المملكة العربية السعودية
^ Shea، Marilyn (مايو 2007)، Biography of Zu Chongzhi، University of Maine، اطلع عليه بتاريخ 09 يناير 2009  تحقق من التاريخ في: |date= (مساعدة).mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Lock-green.svg/9px-Lock-green.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center}.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg/9px-Lock-gray-alt-2.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center}.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/aa/Lock-red-alt-2.svg/9px-Lock-red-alt-2.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center}.mw-parser-output .cs1-subscription,.mw-parser-output .cs1-registration{color:#555}.mw-parser-output .cs1-subscription span,.mw-parser-output .cs1-registration span{border-bottom:1px dotted;cursor:help}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Wikisource-logo.svg/12px-Wikisource-logo.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center}.mw-parser-output code.cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:inherit;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;font-size:100%}.mw-parser-output .cs1-visible-error{font-size:100%}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#33aa33;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-subscription,.mw-parser-output .cs1-registration,.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left,.mw-parser-output .cs1-kern-wl-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right,.mw-parser-output .cs1-kern-wl-right{padding-right:0.2em}Katz، Victor J. (2004)، A History of Mathematics, Brief Version،  أديسون-ويسلي  [لغات أخرى]، صفحات 125–126، ISBN 978-0-321-16193-2 
^ Victor J. Katz (1995), "Ideas of Calculus in Islam and India", Mathematics Magazine 68 (3): 163-174 [165]
^ Victor J. Katz (1995), "Ideas of Calculus in Islam and India", Mathematics Magazine 68 (3): 163–174 [165–9 & 173–4]
^ [1][وصلة مكسورة] نسخة محفوظة 30 ديسمبر 2006 على موقع واي باك مشين.
اُنظر أيضاً[عدل]
المكامل
التكامل الوظيفي
في كومنز صور وملفات عن: تكامل
ضبط استنادي
LCCN: sh85067099
بوابة رياضيات
بوابة تحليل رياضي
' |
مصدر HTML المعروض للمراجعة الجديدة (new_html) | '<div class="mw-parser-output"><table class="infobox" style="width: 233x; margin: 0 0 1em 1em; float: left; text-align: center;">
<tbody><tr>
<th style="border-bottom: 1px solid #303060; background:#ccccff;">مواضيع في <a href="/wiki/%D8%AA%D9%81%D8%A7%D8%B6%D9%84_%D9%88%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84" title="تفاضل وتكامل">التفاضل والتكامل</a>
</th></tr>
<tr>
<td><a href="/wiki/%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A8%D8%B1%D9%87%D9%86%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D8%A3%D8%B3%D8%A7%D8%B3%D9%8A%D8%A9_%D9%84%D9%84%D8%AA%D9%81%D8%A7%D8%B6%D9%84_%D9%88%D8%A7%D9%84%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84" title="المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل">المبرهنة الأساسية</a> <br /> <a href="/wiki/%D9%86%D9%87%D8%A7%D9%8A%D8%A9_%D8%AF%D8%A7%D9%84%D8%A9" title="نهاية دالة">نهايات الدوال</a> <br /> <a href="/wiki/%D8%AF%D8%A7%D9%84%D8%A9_%D9%85%D8%B3%D8%AA%D9%85%D8%B1%D8%A9" title="دالة مستمرة">استمرارية</a><br /> <a href="/wiki/%D9%85%D8%A8%D8%B1%D9%87%D9%86%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D9%82%D9%8A%D9%85%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D9%88%D8%B3%D8%B7%D9%89" title="مبرهنة القيمة الوسطى">مبرهنة القيمة المتوسطة</a>
<table class="collapsible collapsed" style="width: 100%">
<tbody><tr style="background:#ccccff;">
<th><a href="/wiki/%D8%AA%D9%81%D8%A7%D8%B6%D9%84" title="تفاضل">حسبان تفاضلي</a> 
</th></tr>
<tr>
<td><a href="/wiki/%D8%A7%D8%B4%D8%AA%D9%82%D8%A7%D9%82_(%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A7%D8%AA)" class="mw-redirect" title="اشتقاق (رياضيات)">اشتقاق</a><br /> <a href="/w/index.php?title=%D8%AA%D8%BA%D9%8A%D8%B1_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%AA%D8%BA%D9%8A%D8%B1%D8%A7%D8%AA&action=edit&redlink=1" class="new" title="تغير المتغيرات (الصفحة غير موجودة)">تغير المتغيرات</a><br /> <a href="/wiki/%D8%AF%D8%A7%D9%84%D8%A9_%D8%B6%D9%85%D9%86%D9%8A%D8%A9" title="دالة ضمنية">تفاضل ضمني</a> <br /> <a href="/wiki/%D9%85%D8%A8%D8%B1%D9%87%D9%86%D8%A9" title="مبرهنة">مبرهنة تايلور</a> <br /> <a href="/wiki/%D9%85%D8%B9%D8%AF%D9%84%D8%A7%D8%AA_%D9%85%D8%B1%D8%AA%D8%A8%D8%B7%D8%A9" title="معدلات مرتبطة">معدلات مرتبطة</a> <br /> <a href="/wiki/%D9%82%D8%A7%D8%A6%D9%85%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%B7%D8%A7%D8%A8%D9%82%D8%A7%D8%AA_%D8%A7%D9%84%D8%AA%D9%81%D8%A7%D8%B6%D9%84%D9%8A%D8%A9" class="mw-redirect" title="قائمة المطابقات التفاضلية">متطابِقات</a><br /> <span style="font-family: Times New Roman; font-size:100%; font-style:italic; font-weight:bold;"> قواعد: </span><br />
<p><a href="/wiki/%D8%AD%D8%B3%D8%A8%D8%A7%D9%86_%D8%A8%D9%85%D8%AA%D8%B9%D8%AF%D8%AF%D8%A7%D8%AA_%D8%A7%D9%84%D8%AD%D8%AF%D9%88%D8%AF#قاعدة_القوة" title="حسبان بمتعددات الحدود">قاعدة القوة</a>، <a href="/wiki/%D9%82%D8%A7%D8%B9%D8%AF%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D8%AC%D8%AF%D8%A7%D8%A1" class="mw-redirect" title="قاعدة الجداء">قاعدة الضرب</a>،<br /><a href="/wiki/%D9%82%D8%A7%D8%B9%D8%AF%D8%A9_%D9%86%D8%A7%D8%AA%D8%AC_%D8%A7%D9%84%D9%82%D8%B3%D9%85%D8%A9" title="قاعدة ناتج القسمة">قاعدة ناتج القسمة</a>، <a href="/wiki/%D9%82%D8%A7%D8%B9%D8%AF%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D8%AA%D8%B3%D9%84%D8%B3%D9%84" class="mw-redirect" title="قاعدة التسلسل">قاعدة التسلسل</a>
</p>
</td></tr>
</tbody></table>
<table class="collapsible collapsed" style="width: 100%">
<tbody><tr style="background:#ccccff;">
<th><a class="mw-selflink selflink">حسبان تكاملي</a> 
</th></tr>
<tr>
<td><a class="mw-selflink selflink">تكامل</a><br />
<p><a href="/wiki/%D9%82%D8%A7%D8%A6%D9%85%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84%D8%A7%D8%AA" title="قائمة التكاملات">قائمة التكاملات</a> <br />
<a href="/wiki/%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84%D8%A7%D8%AA_%D9%85%D8%B9%D8%AA%D9%84%D8%A9" class="mw-redirect" title="تكاملات معتلة">تكاملات معتلة </a> <br />
<span style="font-family: Times New Roman; font-size:100%; font-style:italic; font-weight:bold;"> التكامل بواسطة: </span><br />
<a href="/wiki/%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84_%D8%A8%D8%A7%D9%84%D8%AA%D8%AC%D8%B2%D9%8A%D8%A1" title="تكامل بالتجزيء">التجزيء</a>، <a href="/wiki/%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84_%D8%A8%D8%A7%D9%84%D8%A3%D9%82%D8%B1%D8%A7%D8%B5" title="تكامل بالأقراص">الأقراص</a>، <a href="/w/index.php?title=%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84_%D8%A7%D9%84%D8%B7%D8%A8%D9%82%D8%A7%D8%AA&action=edit&redlink=1" class="new" title="تكامل الطبقات (الصفحة غير موجودة)">الطبقات <br />الأسطوانية</a>، <a href="/wiki/%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84_%D8%A8%D8%A7%D9%84%D8%AA%D8%B9%D9%88%D9%8A%D8%B6" title="تكامل بالتعويض">التعويض</a>،<br /> <a href="/wiki/%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84_%D8%A8%D8%A7%D9%84%D8%AA%D8%B9%D9%88%D9%8A%D8%B6%D8%A7%D8%AA_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%AB%D9%84%D8%AB%D9%8A%D8%A9" class="mw-redirect" title="تكامل بالتعويضات المثلثية">التعويضات المثلثية</a>،<br /><a href="/w/index.php?title=%D8%A7%D9%84%D9%83%D8%B3%D9%88%D8%B1_%D8%A7%D9%84%D8%AC%D8%B2%D8%A6%D9%8A%D8%A9_%D9%81%D9%8A_%D8%A7%D9%84%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84&action=edit&redlink=1" class="new" title="الكسور الجزئية في التكامل (الصفحة غير موجودة)">الكسور الجزئية</a>، <a href="/w/index.php?title=%D8%B1%D8%AA%D8%A8%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84_(%D8%AD%D8%B3%D8%A8%D8%A7%D9%86)&action=edit&redlink=1" class="new" title="رتبة التكامل (حسبان) (الصفحة غير موجودة)">تغيير الرتب</a>
</p>
</td></tr></tbody></table>
<table class="collapsible collapsed" style="width: 100%;">
<tbody><tr style="background:#ccccff;">
<th><a href="/wiki/%D8%AD%D8%B3%D8%A8%D8%A7%D9%86_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%AA%D8%AC%D9%87%D8%A7%D8%AA" class="mw-redirect" title="حسبان المتجهات">حسبان المتجهات</a> 
</th></tr>
<tr>
<td><a href="/wiki/%D8%AA%D8%AF%D8%B1%D8%AC" class="mw-disambig" title="تدرج">تدرج</a> <br /> <a href="/wiki/%D8%A7%D9%86%D8%AD%D8%B1%D8%A7%D9%81" class="mw-redirect mw-disambig" title="انحراف">تباعد</a> <br /> <a href="/wiki/%D8%A7%D9%84%D8%AA%D9%88%D8%A7%D8%A1_(%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A7%D8%AA)" class="mw-redirect" title="التواء (رياضيات)">التواء</a> <br /> <a href="/wiki/%D9%85%D8%A4%D8%AB%D8%B1_%D9%84%D8%A7%D8%A8%D9%84%D8%A7%D8%B3" class="mw-redirect" title="مؤثر لابلاس">لابلاسي</a> <br /> <a href="/w/index.php?title=%D9%85%D8%A8%D8%B1%D9%87%D9%86%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D8%AA%D8%AF%D8%B1%D8%AC&action=edit&redlink=1" class="new" title="مبرهنة التدرج (الصفحة غير موجودة)">مبرهنة التدرج</a> <br /> <a href="/wiki/%D9%85%D8%A8%D8%B1%D9%87%D9%86%D8%A9_%D8%BA%D8%B1%D9%8A%D9%86" title="مبرهنة غرين">مبرهنة غرين</a> <br /> <a href="/wiki/%D9%85%D8%A8%D8%B1%D9%87%D9%86%D8%A9_%D8%B3%D8%AA%D9%88%D9%83%D8%B3" title="مبرهنة ستوكس">مبرهنة ستوكس</a> <br /> <a href="/w/index.php?title=%D9%85%D8%A8%D8%B1%D9%87%D9%86%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D8%AA%D8%A8%D8%A7%D8%B9%D8%AF&action=edit&redlink=1" class="new" title="مبرهنة التباعد (الصفحة غير موجودة)">مبرهنة التباعد</a>
</td></tr>
</tbody></table>
<table class="collapsible collapsed" style="width: 100%;">
<tbody><tr style="background:#ccccff;">
<th><a href="/wiki/%D8%AD%D8%B3%D8%A8%D8%A7%D9%86_%D9%85%D8%AA%D8%B9%D8%AF%D8%AF_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%AA%D8%BA%D9%8A%D8%B1%D8%A7%D8%AA" class="mw-redirect" title="حسبان متعدد المتغيرات">حسبان متعدد المتغيرات</a> 
</th></tr>
<tr>
<td><a href="/wiki/%D8%AD%D8%B3%D8%A8%D8%A7%D9%86_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%B5%D9%81%D9%88%D9%81%D8%A7%D8%AA" class="mw-redirect" title="حسبان المصفوفات">حسبان المصفوفات</a> <br /> <a href="/wiki/%D8%A7%D8%B4%D8%AA%D9%82%D8%A7%D9%82_%D8%AC%D8%B2%D8%A6%D9%8A" class="mw-redirect" title="اشتقاق جزئي">اشتقاق جزئي</a> <br /> <a href="/wiki/%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84_%D9%85%D8%AA%D8%B9%D8%AF%D8%AF" title="تكامل متعدد">تكامل متعدد</a> <br /> <a href="/wiki/%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84_%D8%AE%D8%B7%D9%8A" title="تكامل خطي">تكامل خطي</a> <br /> <a href="/wiki/%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84_%D8%B3%D8%B7%D8%AD%D9%8A" title="تكامل سطحي">تكامل سطحي</a> <br /> <a href="/wiki/%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84_%D8%AD%D8%AC%D9%85%D9%8A" title="تكامل حجمي">تكامل حجمي</a> <br /> <a href="/wiki/%D9%85%D8%B5%D9%81%D9%88%D9%81%D8%A9_%D8%AC%D8%A7%D9%83%D9%88%D8%A8%D9%8A" class="mw-redirect" title="مصفوفة جاكوبي">جاكوبي</a>
</td></tr></tbody></table>
</td></tr></tbody></table>
<div class="thumb tleft"><div class="thumbinner" style="width:222px;"><a href="/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:Integral_as_region_under_curve.png" class="image"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/90/Integral_as_region_under_curve.png/220px-Integral_as_region_under_curve.png" decoding="async" width="220" height="193" class="thumbimage" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/90/Integral_as_region_under_curve.png/330px-Integral_as_region_under_curve.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/90/Integral_as_region_under_curve.png/440px-Integral_as_region_under_curve.png 2x" data-file-width="782" data-file-height="685" /></a> <div class="thumbcaption"><div class="magnify"><a href="/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:Integral_as_region_under_curve.png" class="internal" title="كبّر"></a></div><b>مثال لحساب تكامل دالة (المساحة الرمادية)</b></div></div></div>
<div class="thumb tleft"><div class="thumbinner" style="width:222px;"><a href="/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:Emblem-integral.svg" class="image"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ee/Emblem-integral.svg/220px-Emblem-integral.svg.png" decoding="async" width="220" height="220" class="thumbimage" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ee/Emblem-integral.svg/330px-Emblem-integral.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ee/Emblem-integral.svg/440px-Emblem-integral.svg.png 2x" data-file-width="48" data-file-height="48" /></a> <div class="thumbcaption"><div class="magnify"><a href="/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:Emblem-integral.svg" class="internal" title="كبّر"></a></div>رمز التكامل، وأصله حرف الإس الألماني المطول</div></div></div>
<p>في <a href="/wiki/%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A7%D8%AA" title="رياضيات">الرياضيات</a>، مكاملة <a href="/wiki/%D8%AF%D8%A7%D9%84%D8%A9_%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A9" class="mw-redirect" title="دالة رياضية">دالة</a> هي نوع من التعميم لكميات قابلة للتجزئة مثل المساحة أو الحجم أو الكتلة أو أي مجموع لعناصر متناهية في الصغر.
</p><p>وأيضاً يمكن أن يُنظر إلى عملية التكامل على أنها عملية عكسية لعملية <a href="/wiki/%D8%A7%D9%84%D8%AA%D9%81%D8%A7%D8%B6%D9%84" class="mw-redirect" title="التفاضل">التفاضل</a>.
</p>
<div class="thumb tleft"><div class="thumbinner" style="width:222px;"><a href="/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:%D0%A7%D1%82%D0%BE_%D1%82%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%90%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F.gif" class="image"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c0/%D0%A7%D1%82%D0%BE_%D1%82%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%90%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F.gif/220px-%D0%A7%D1%82%D0%BE_%D1%82%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%90%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F.gif" decoding="async" width="220" height="124" class="thumbimage" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c0/%D0%A7%D1%82%D0%BE_%D1%82%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%90%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F.gif/330px-%D0%A7%D1%82%D0%BE_%D1%82%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%90%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F.gif 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c0/%D0%A7%D1%82%D0%BE_%D1%82%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%90%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F.gif/440px-%D0%A7%D1%82%D0%BE_%D1%82%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%90%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F.gif 2x" data-file-width="640" data-file-height="360" /></a> <div class="thumbcaption"><div class="magnify"><a href="/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:%D0%A7%D1%82%D0%BE_%D1%82%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%90%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F.gif" class="internal" title="كبّر"></a></div>ما هو التكامل (الرسوم المتحركة)))</div></div></div>
<p>بالرغم من تعدد التعاريف المستخدمة للتكامل وتعدد طرق استخدامه فإن نتيجة هذه الطرق جميعها متشابهة وجميع التعاريف تؤدي في النهاية إلى المعنى ذاته.
</p><p>يمكن اعتبار تكامل دالة حقيقية مستمرة ذات قيم موجبة لمتغير حقيقي بين قيمة حدية دنيا وقيمة حدية عليا هي المساحة المحصورة بين المستقيمين الرأسيين:
<i>x=a</i>, <i>x=b</i> والمحور <i>x</i> <a href="/wiki/%D9%85%D9%86%D8%AD%D9%86%D9%89" title="منحنى">والمنحني</a> المحدد بالدالة، يمكن صياغة ذلك بشكل رياضي:
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S=\{(x,y)\in \mathbb {R} _{+}^{2}:a\leq x\leq b\land 0\leq y\leq f(x)\},}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mo fence="false" stretchy="false">{</mo>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo>,</mo>
<mi>y</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo>∈<!-- ∈ --></mo>
<msubsup>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="double-struck">R</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo>+</mo>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msubsup>
<mo>:</mo>
<mi>a</mi>
<mo>≤<!-- ≤ --></mo>
<mi>x</mi>
<mo>≤<!-- ≤ --></mo>
<mi>b</mi>
<mo>∧<!-- ∧ --></mo>
<mn>0</mn>
<mo>≤<!-- ≤ --></mo>
<mi>y</mi>
<mo>≤<!-- ≤ --></mo>
<mi>f</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo fence="false" stretchy="false">}</mo>
<mo>,</mo>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S=\{(x,y)\in \mathbb {R} _{+}^{2}:a\leq x\leq b\land 0\leq y\leq f(x)\},}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48537395c64510671dafd0776424b81f4ab793b1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:46.134ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle S=\{(x,y)\in \mathbb {R} _{+}^{2}:a\leq x\leq b\land 0\leq y\leq f(x)\},}"/></span></dd></dl>
<p>ويرمز لهذه العملية حسب اصطلاح لورينتز :
</p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\,}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msubsup>
<mo>∫<!-- ∫ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>a</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>b</mi>
</mrow>
</msubsup>
<mi>f</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mspace width="thinmathspace" />
<mi>d</mi>
<mi>x</mi>
<mspace width="thinmathspace" />
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\,}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ca4b48f1507907b45ecd3b9a9f59aff5e7862ee" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:11.526ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\,}"/></span>.
</p><p>النقطة الأساسية في التكامل تأتي من المبرهنة الأساسية في التكامل والتي تنص على أن مشتق تابع المساحة تحت منحني الدالة هو الدالة نفسها. بالتالي إذا عرفنا دالة تربط القيمة x بقيمة المساحة المحدودة بين منحني الدالة
<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)\,}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>f</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mspace width="thinmathspace" />
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)\,}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78b2b66021c2cac2b5654495678c63ff142952e5" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.805ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)\,}"/></span> ومحور السينات<b>(x)</b> ومن الجهة الأخرى محدودة بمحور الصادات<b>(y)</b> والمستقيم X=x، تدعى هذه الدالة ب دالة المساحة ومشتقها هو الدالة <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)\,}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>f</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mspace width="thinmathspace" />
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)\,}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78b2b66021c2cac2b5654495678c63ff142952e5" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.805ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)\,}"/></span> نفسها، لذلك ندعو تابع المساحة عكس الاشتقاق أو التابع الأصلي للدالة <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)\,}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>f</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mspace width="thinmathspace" />
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)\,}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78b2b66021c2cac2b5654495678c63ff142952e5" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.805ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)\,}"/></span>.
</p><p>يقوم حساب التكامل على إيجاد التابع الأصلي للدالة التي نريد القيام بمكاملتها.
</p><p>وقد عرض <a href="/wiki/%D8%BA%D9%88%D8%AA%D9%81%D8%B1%D9%8A%D8%AF_%D9%84%D8%A7%D9%8A%D8%A8%D9%86%D8%AA%D8%B2" class="mw-redirect" title="غوتفريد لايبنتز">جوتفريد لايبنتز</a>، في <a href="/wiki/13_%D9%86%D9%88%D9%81%D9%85%D8%A8%D8%B1" title="13 نوفمبر">13 نوفمبر</a> <a href="/wiki/1675" title="1675">1675</a>، أول عملية تكامل لحساب المساحة تحت <a href="/wiki/%D9%85%D9%86%D8%AD%D9%86%D9%89" title="منحنى">منحنى</a> <a href="/wiki/%D8%AF%D8%A7%D9%84%D8%A9_%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A9" class="mw-redirect" title="دالة رياضية">الدالة</a> ص = د(س).
</p><p>يوجد عدة أنواع للتكامل منها:
<a href="/wiki/%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84_%D8%A8%D8%A7%D9%84%D8%A3%D8%AC%D8%B2%D8%A7%D8%A1" class="mw-redirect" title="تكامل بالأجزاء">التكامل بالتجزئ</a> <a href="/wiki/%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84_%D8%A8%D8%A7%D9%84%D8%AA%D8%B9%D9%88%D9%8A%D8%B6" title="تكامل بالتعويض">،تكامل بالتعويض</a>، <a href="/w/index.php?title=%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84_%D8%A8%D8%A7%D9%84%D9%83%D8%B3%D9%88%D8%B1_%D8%A7%D9%84%D8%AC%D8%B2%D8%A6%D9%8A%D8%A9&action=edit&redlink=1" class="new" title="تكامل بالكسور الجزئية (الصفحة غير موجودة)">التحويل إلى الكسور الجزئية</a>، <a href="/w/index.php?title=%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84_%D8%A8%D8%A7%D9%84%D8%AE%D8%AA%D8%B2%D8%A7%D9%84_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%AA%D8%AA%D8%A7%D9%84%D9%8A&action=edit&redlink=1" class="new" title="تكامل بالختزال المتتالي (الصفحة غير موجودة)">الاختزال المتتالى</a>
</p>
<div id="toc" class="toc"><input type="checkbox" role="button" id="toctogglecheckbox" class="toctogglecheckbox" style="display:none" /><div class="toctitle" lang="ar" dir="rtl"><h2>محتويات</h2><span class="toctogglespan"><label class="toctogglelabel" for="toctogglecheckbox"></label></span></div>
<ul>
<li class="toclevel-1 tocsection-1"><a href="#تاريخ"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">تاريخ</span></a>
<ul>
<li class="toclevel-2 tocsection-2"><a href="#التكامل_ماقبل_عصر_علم_التفاضل_والتكامل"><span class="tocnumber">1.1</span> <span class="toctext">التكامل ماقبل عصر علم التفاضل والتكامل</span></a></li>
<li class="toclevel-2 tocsection-3"><a href="#نيوتن_وليبنز"><span class="tocnumber">1.2</span> <span class="toctext">نيوتن وليبنز</span></a></li>
<li class="toclevel-2 tocsection-4"><a href="#صياغة_التكاملات"><span class="tocnumber">1.3</span> <span class="toctext">صياغة التكاملات</span></a></li>
<li class="toclevel-2 tocsection-5"><a href="#العلامة"><span class="tocnumber">1.4</span> <span class="toctext">العلامة</span></a></li>
</ul>
</li>
<li class="toclevel-1 tocsection-6"><a href="#مقدمة"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">مقدمة</span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-7"><a href="#تعريفات_منهجية"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">تعريفات منهجية</span></a>
<ul>
<li class="toclevel-2 tocsection-8"><a href="#تكامل_ريمان"><span class="tocnumber">3.1</span> <span class="toctext">تكامل ريمان</span></a></li>
<li class="toclevel-2 tocsection-9"><a href="#تكامل_لوبيغ"><span class="tocnumber">3.2</span> <span class="toctext">تكامل لوبيغ</span></a></li>
</ul>
</li>
<li class="toclevel-1 tocsection-10"><a href="#تكامل_لوبيغ_للدوال_غير_سالبة_القيمة"><span class="tocnumber">4</span> <span class="toctext">تكامل لوبيغ للدوال غير سالبة القيمة</span></a>
<ul>
<li class="toclevel-2 tocsection-11"><a href="#تكامل_أخرى"><span class="tocnumber">4.1</span> <span class="toctext">تكامل أخرى</span></a></li>
</ul>
</li>
<li class="toclevel-1 tocsection-12"><a href="#خواص_التكامل"><span class="tocnumber">5</span> <span class="toctext">خواص التكامل</span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-13"><a href="#النظرية_الأساسية_للتفاضل_والتكامل_معاذ_وينك؟؟"><span class="tocnumber">6</span> <span class="toctext">النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل معاذ وينك؟؟</span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-14"><a href="#المراجع"><span class="tocnumber">7</span> <span class="toctext">المراجع</span></a></li>
<li class="toclevel-1 tocsection-15"><a href="#اُنظر_أيضاً"><span class="tocnumber">8</span> <span class="toctext">اُنظر أيضاً</span></a></li>
</ul>
</div>
<h2><span id=".D8.AA.D8.A7.D8.B1.D9.8A.D8.AE"></span><span class="mw-headline" id="تاريخ">تاريخ</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84&action=edit&section=1" title="عدل القسم: تاريخ">عدل</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2>
<h3><span id=".D8.A7.D9.84.D8.AA.D9.83.D8.A7.D9.85.D9.84_.D9.85.D8.A7.D9.82.D8.A8.D9.84_.D8.B9.D8.B5.D8.B1_.D8.B9.D9.84.D9.85_.D8.A7.D9.84.D8.AA.D9.81.D8.A7.D8.B6.D9.84_.D9.88.D8.A7.D9.84.D8.AA.D9.83.D8.A7.D9.85.D9.84"></span><span class="mw-headline" id="التكامل_ماقبل_عصر_علم_التفاضل_والتكامل">التكامل ماقبل عصر علم التفاضل والتكامل</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84&action=edit&section=2" title="عدل القسم: التكامل ماقبل عصر علم التفاضل والتكامل">عدل</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h3>
<p>توجد دلالات تاريخية على استخدام التكامل في عهد <a href="/wiki/%D9%81%D8%B1%D8%A7%D8%B9%D9%86%D8%A9" class="mw-redirect mw-disambig" title="فراعنة">قدماء المصريين</a> (حوالي 1800 قبل الميلاد) فقد دلت <a href="/wiki/%D8%A8%D8%B1%D8%AF%D9%8A%D8%A9_%D9%85%D9%88%D8%B3%D9%83%D9%88_%D8%A7%D9%84%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A9" title="بردية موسكو الرياضية">بردية موسكو الرياضية</a> على علمهم بصيغة لحساب <a href="/wiki/%D8%AD%D8%AC%D9%85" title="حجم">حجم</a> <a href="/wiki/%D9%87%D8%B1%D9%85" title="هرم">الهرم</a> المقطوع. وتعد طريقة الاستنزاف من أوائل الطرق المستعملة في إيجاد التكاملات حيث تعود إلى 370 قبل الميلاد وكانت تحسب بها الحجوم والمساحات وذلك بتقسيمها إلى أشكال صغيرة غير منتهية معلومة المساحة أو الحجم. كما تم تطوير هذه الطريقة من قبل <a href="/wiki/%D8%A3%D8%B1%D8%AE%D9%85%D9%8A%D8%AF%D8%B3" title="أرخميدس">أرخميدس</a> وتم استعمالها في حساب مساحات <a href="/wiki/%D8%A7%D9%84%D9%82%D8%B7%D8%B9_%D8%A7%D9%84%D9%85%D9%83%D8%A7%D9%81%D8%A6" class="mw-redirect" title="القطع المكافئ">القطع المكافئ</a> والتقريب لمساحة الدائرة. وفي <a href="/wiki/%D8%A7%D9%84%D8%B5%D9%8A%D9%86" title="الصين">الصين</a> طورت طرق مماثلة في القرن الثالث الميلادي بواسطة <a href="/w/index.php?title=%D9%84%D9%8A%D9%88%D9%87%D9%88%D9%8A&action=edit&redlink=1" class="new" title="ليوهوي (الصفحة غير موجودة)">ليوهوي</a>، والذي استخدمها لإيجاد مساحة <a href="/wiki/%D8%A7%D9%84%D8%AF%D8%A7%D8%A6%D8%B1%D8%A9" class="mw-redirect" title="الدائرة">الدائرة</a> كما تم استعمال هذه الطرق فيما بعد في القرن الخامس من قبل الرياضيين الصينيين - الأب والابن <a href="/w/index.php?title=%D8%AA%D8%B3%D9%88%D8%AA%D8%B4%D9%88%D9%86%D8%BA&action=edit&redlink=1" class="new" title="تسوتشونغ (الصفحة غير موجودة)">تسوتشونغ</a> <a href="/w/index.php?title=%D8%B2%D9%88%D8%AC%D9%86%D8%BA&action=edit&redlink=1" class="new" title="زوجنغ (الصفحة غير موجودة)">وزوجنغ</a> لإيجاد حجم <a href="/wiki/%D8%A7%D9%84%D9%83%D8%B1%D8%A9" class="mw-redirect" title="الكرة">الكرة</a>.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1">[1]</a></sup> في نفس القرن, استخدم الرياضي الهندي <a href="/w/index.php?title=%D8%A7%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%A8%D9%87%D8%A7%D8%AA%D8%A7&action=edit&redlink=1" class="new" title="اريابهاتا (الصفحة غير موجودة)">اريابهاتا</a> طريقة مشابهة لحساب حجم المكعب.<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2">[2]</a></sup>
</p><p>أتت الخطوة التالية والهامة في التفاضل التكاملي في القرن الحادي عشر عندما أخترع العالم الفلكي <a href="/wiki/%D8%A7%D9%84%D8%AD%D8%B3%D9%86_%D8%A8%D9%86_%D8%A7%D9%84%D9%87%D9%8A%D8%AB%D9%85" class="mw-redirect" title="الحسن بن الهيثم">الحسن بن الهيثم</a> ما يعرف اليوم باسم <b>مسألة الحسن</b> (نسبة لاسمه المشهور عند الأوروبيين) والتي تقود إلى <a href="/wiki/%D9%85%D8%B9%D8%A7%D8%AF%D9%84%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D8%AF%D8%B1%D8%AC%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D8%B1%D8%A7%D8%A8%D8%B9%D8%A9" class="mw-redirect" title="معادلة الدرجة الرابعة">معادلة الدرجة الرابعة</a>. في كتابه <a href="/wiki/%D8%A7%D9%84%D9%85%D9%86%D8%A7%D8%B8%D8%B1" title="المناظر">المناظر</a>. بينما كان يحل هذه المسألة، قام بعملية تكامل لإيجاد حجم <a href="/wiki/%D8%A7%D9%84%D8%B3%D8%B7%D8%AD_%D8%A7%D9%84%D9%85%D9%83%D8%A7%D9%81%D8%A6" class="mw-redirect" title="السطح المكافئ">السطح المكافئ</a>. وقد استطاع بالاستقراء الرياضي تعميم هذه النتيجة لدوال <a href="/wiki/%D9%83%D8%AB%D9%8A%D8%B1%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D8%AD%D8%AF%D9%88%D8%AF" class="mw-redirect" title="كثيرة الحدود">كثيرة الحدود</a> حتى الدرجة الرابعة وقد كان بالتالي قادرا على إيجاد صيغة عامة لتكاملات كثيرة الحدود ولكنه لم يعر للأمر أهمية لذلك في وقته.<sup id="cite_ref-Katz_3-0" class="reference"><a href="#cite_note-Katz-3">[3]</a></sup>
بعض الأفكار في التفاضل التكاملي يمكن مشاهدتها أيضا في سيدهانتا شيروماني، وهي عبارة عن نص يعود للقرن الثاني عشر <a href="/wiki/%D8%B9%D9%84%D9%85_%D8%A7%D9%84%D9%81%D9%84%D9%83" title="علم الفلك">للفلكي</a> الهندي <a href="/w/index.php?title=%D8%A8%D9%87%D8%A7%D8%B3%D9%83%D8%A7%D8%B1%D8%A7_2&action=edit&redlink=1" class="new" title="بهاسكارا 2 (الصفحة غير موجودة)">بهاسكارا 2</a>.
</p><p>لم يبدأ ظهور التقدم الملحوظ في علم التكامل التفاضلي إلا مع القرن السادس عشر وفي هذا الوقت كان عمل كافاليري <a href="/w/index.php?title=%D9%85%D8%A8%D8%AF%D8%A3_%D9%83%D8%A7%D9%81%D8%A7%D9%84%D9%8A%D8%B1%D9%8A&action=edit&redlink=1" class="new" title="مبدأ كافاليري (الصفحة غير موجودة)">بطريقته <b>الكل لا التجزيء</b></a> وعمل <a href="/wiki/%D9%81%D9%8A%D8%B1%D9%85%D8%A7%D8%AA" class="mw-redirect" title="فيرمات">فيرمات</a>، ولقد بدأ بوضع الأساسيات لعلم <a href="/wiki/%D8%A7%D9%84%D8%AA%D9%81%D8%A7%D8%B6%D9%84" class="mw-redirect" title="التفاضل">التفاضل</a> والتكامل الحديث. وكان لإسحق نيوتن وتورشيلي دورا هاما أيضا في توسيع هذا العلم أوائل القرن السابع عشر اللذان قدما التلميحات الأولى في وجود صلة بين التكامل <a href="/wiki/%D8%A7%D9%84%D8%A7%D8%B4%D8%AA%D9%82%D8%A7%D9%82" class="mw-redirect mw-disambig" title="الاشتقاق">والاشتقاق</a> في الوقت الذي كان الرياضيون اليابانيون قد أسهمو في أعمال مشابهة وبشكل خاص على يد <a href="/w/index.php?title=%D8%B3%D9%8A%D9%83%D9%8A_%D9%83%D8%A7%D9%88%D8%A7&action=edit&redlink=1" class="new" title="سيكي كاوا (الصفحة غير موجودة)">سيكي كاوا</a>.<sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4">[4]</a></sup> كان منها طرق إيجاد مساحات الأشكال بالتكامل, بتوسيع طريقة الاستنزاف.
</p>
<h3><span id=".D9.86.D9.8A.D9.88.D8.AA.D9.86_.D9.88.D9.84.D9.8A.D8.A8.D9.86.D8.B2"></span><span class="mw-headline" id="نيوتن_وليبنز">نيوتن وليبنز</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84&action=edit&section=3" title="عدل القسم: نيوتن وليبنز">عدل</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h3>
<p>مثل اكتشاف <a href="/wiki/%D8%A7%D9%84%D9%86%D8%B8%D8%B1%D9%8A%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D8%A3%D8%B3%D8%A7%D8%B3%D9%8A%D8%A9_%D9%84%D9%84%D8%AA%D9%81%D8%A7%D8%B6%D9%84_%D9%88%D8%A7%D9%84%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84" class="mw-redirect" title="النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل">النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل</a> الفريد من قبل <a href="/wiki/%D8%A5%D8%B3%D8%AD%D8%A7%D9%82_%D9%86%D9%8A%D9%88%D8%AA%D9%86" title="إسحاق نيوتن">إسحاق نيوتن</a> <a href="/wiki/%D9%84%D9%8A%D8%A8%D9%86%D9%8A%D8%B2" class="mw-redirect" title="ليبنيز">وليبنيز</a> تقدما عظيما في علم التفاضل والتكامل.
فهي توضح العلاقة بين التكامل والتفاضل. هذه العلاقة, بدمجها مع قرينتها السهلة - الاشتقاق يمكن استغلالها لحساب التكاملات. وبشكل خاص فإن النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل تساعد في حل مسائل أكثر تعقيدا. وبإعطاء اسم التفاضل المتناهي في الصغر فقد سمحت بتحليل دقيق لدوال متصلة. لقد أصبح هذا العمل <a href="/wiki/%D8%A7%D9%84%D8%AA%D9%81%D8%A7%D8%B6%D9%84_%D9%88%D8%A7%D9%84%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84" class="mw-redirect" title="التفاضل والتكامل">التفاضل والتكامل</a> الحديث, والذي استمد رمزه من عمل ليبنيز.
</p>
<h3><span id=".D8.B5.D9.8A.D8.A7.D8.BA.D8.A9_.D8.A7.D9.84.D8.AA.D9.83.D8.A7.D9.85.D9.84.D8.A7.D8.AA"></span><span class="mw-headline" id="صياغة_التكاملات">صياغة التكاملات</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84&action=edit&section=4" title="عدل القسم: صياغة التكاملات">عدل</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h3>
<p>مع أن نيوتن وليبنز أوجدا طريقة نظامية للتكامل إلا أن عملهما كان يفتقر إلى درجة الدقة. فقد هاجم جورج بركلي عبارة متناهي في الصغر ووصفها <b><a href="/w/index.php?title=%D9%83%D9%85%D9%8A%D8%A7%D8%AA_%D8%A7%D9%84%D8%A3%D8%B4%D8%A8%D8%A7%D8%AD_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%BA%D8%A7%D8%AF%D8%B1%D8%A9&action=edit&redlink=1" class="new" title="كميات الأشباح المغادرة (الصفحة غير موجودة)">بكميات الأشباح المغادرة</a></b>. اكتسب التفاضل والتكامل مع تطور علم <a href="/wiki/%D8%A7%D9%84%D9%86%D9%87%D8%A7%D9%8A%D8%A7%D8%AA" class="mw-redirect mw-disambig" title="النهايات">النهايات</a> وتوطدت أركانه بفضل <a href="/w/index.php?title=%D8%A3%D9%88%D8%BA%D8%B3%D8%AA%D9%8A%D9%86_%D9%84%D9%88%D9%8A%D8%B3_%D9%83%D9%88%D8%B4%D9%8A&action=edit&redlink=1" class="new" title="أوغستين لويس كوشي (الصفحة غير موجودة)">أوغستين لويس كوشي</a> في منتصف القرن التاسع عشر. تم أولا صياغة التكامل بدقة باستعمال النهايات من قبل <a href="/wiki/%D8%A8%D9%8A%D8%B1%D9%86%D8%A7%D8%B1%D8%AF_%D8%B1%D9%8A%D9%85%D8%A7%D9%86" class="mw-redirect" title="بيرنارد ريمان">بيرنارد ريمان</a> كما ظهرت صورة أخرى من قبل <a href="/wiki/%D9%87%D9%86%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%88%D8%A8%D9%8A%D8%BA" title="هنري لوبيغ">هنري لوبيغ</a> في تأسيس نظرية <a href="/wiki/%D8%A7%D9%84%D9%82%D9%8A%D8%A7%D8%B3" class="mw-redirect mw-disambig" title="القياس">القياس</a>.
</p>
<h3><span id=".D8.A7.D9.84.D8.B9.D9.84.D8.A7.D9.85.D8.A9"></span><span class="mw-headline" id="العلامة">العلامة</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84&action=edit&section=5" title="عدل القسم: العلامة">عدل</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h3>
<p>استعمل نيوتن عمودا صغيرا فوق المتغير للإشارة إلى عملية التكامل, أو أن يضع المتغير داخل مربع. كان القضيب العمودي يلتبس مع <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {x}}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mover>
<mi>x</mi>
<mo>˙<!-- ˙ --></mo>
</mover>
</mrow>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {x}}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a82c85f33714da82ab42d6b69eae07ab7e5e234b" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\dot {x}}}"/></span> و<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x'\,\!}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msup>
<mi>x</mi>
<mo>′</mo>
</msup>
<mspace width="thinmathspace" />
<mspace width="negativethinmathspace" />
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x'\,\!}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d05dec942bacf1ae63a25154b173e8d5c47b960" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; margin-right: -0.387ex; width:2.401ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x'\,\!}"/></span>, والتي كان قد استعملها نيوتن للإشارة للتفاضل. كما أنه من الصعب على الطابعة التعامل مع المربع, وبالتالي لم يتم تبني هذه العلامات.
الرمز الحديث للتكامل الغير محدود تم تقديمه على يد ليبنيز عام 1675 (<a href="#CITEREFBurton1988">Burton 1988</a>, p. 359; <a href="#CITEREFLeibniz1899">Leibniz 1899</a>, p. 154), كما أنه قام بموائمة رمز التكامل,:<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int \,}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mo>∫<!-- ∫ --></mo>
<mspace width="thinmathspace" />
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int \,}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba2794e142343d3783e2163fcebe1f6bcb028f9e" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:2.581ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int \,}"/></span>, بعد إطالته للحرف <i>s</i> كتمثيل لاختصار عملية الجمع sum. الشكل الحديث لعلامة التكامل المحدود استعمل لأول مرة من قبل جوزيف فوريير بإضافة حدود التكامل أسفل وأعلى الرمز السابق (<a href="#CITEREFCajori1929">Cajori 1929</a>, pp. 249–250; <a href="#CITEREFFourier1822">Fourier 1822</a>, §231).
</p><p>الجدير بالذكر أن الرياضيات العربية التي تكتب من اليمين لليسار تستعمل الرمز المعكوس للتكامل, <a href="/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:ArabicIntegralSign.svg" class="image"><img alt="ArabicIntegralSign.svg" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0d/ArabicIntegralSign.svg/25px-ArabicIntegralSign.svg.png" decoding="async" width="25" height="25" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0d/ArabicIntegralSign.svg/38px-ArabicIntegralSign.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0d/ArabicIntegralSign.svg/50px-ArabicIntegralSign.svg.png 2x" data-file-width="64" data-file-height="64" /></a>، ليتماشى مع اتجاه الكتابة.<cite class="inline">(<a href="#CITEREFW3C2006">W3C 2006</a>)</cite>.
</p>
<h2><span id=".D9.85.D9.82.D8.AF.D9.85.D8.A9"></span><span class="mw-headline" id="مقدمة">مقدمة</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84&action=edit&section=6" title="عدل القسم: مقدمة">عدل</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2>
<p>تظهر التكاملات في العديد من الحالات التطبيقية. إذا اعتبرنا بركة السباحة مثلا, إذا كانت مستطيلة الشكل, من طولها, عرضها, وعمقها فمن الممكن إيجاد حجم الماء التي يمكن احتواؤها (لملئها), مساحتها السطحية (التي تغطيها من جميع الجهات), وطول حوافها (بحبل مثلا). لكن إذا كانت بيضاوية الشكل ومدورة من القعر, فإن كل هذه الكميات تستدعي التكامل. قد تكون التقريبات التطبيقية كافية في مثل هذه الأمثلة البسيطة ولكن الدقة الهندسية تتطلب قيما مضبوطة ودقيقة لهذه العناصر.
</p>
<div class="thumb tleft"><div class="thumbinner" style="width:222px;"><a href="/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:Integral_approximations.svg" class="image"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Integral_approximations.svg/220px-Integral_approximations.svg.png" decoding="async" width="220" height="220" class="thumbimage" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Integral_approximations.svg/330px-Integral_approximations.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Integral_approximations.svg/440px-Integral_approximations.svg.png 2x" data-file-width="420" data-file-height="420" /></a> <div class="thumbcaption"><div class="magnify"><a href="/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:Integral_approximations.svg" class="internal" title="كبّر"></a></div>تقريب التكامل لـ √<i>x</i> من 0 إلى 1, بـ<span style="color:#fec200">■</span> 5 عينات على اليمين (فوق) و<span style="color:#009246">■</span> 12 عينة على اليسار (أسفل)</div></div></div>
<p>للبدء, اعتبر المنحنى<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=f(x)\,}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>y</mi>
<mo>=</mo>
<mi>f</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mspace width="thinmathspace" />
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=f(x)\,}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceab146b2e6d4d4a3580db2ba2d1d240edcbc080" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.059ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y=f(x)\,}"/></span> بين <i>x</i> = 0 و<i>x</i> = 1, و<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)={\sqrt {(}}x)\,}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>f</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo>=</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<msqrt>
<mo stretchy="false">(</mo>
</msqrt>
</mrow>
<mi>x</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mspace width="thinmathspace" />
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)={\sqrt {(}}x)\,}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/249fbfbae8a09eff18114070922f8471294497f6" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:13.366ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)={\sqrt {(}}x)\,}"/></span>. يكون السؤال:
</p>
<dl><dd>ماهي المساحة تحت الدالة <i>f</i>, في الفترة 0 إلى 1?</dd></dl>
<p>ولندعي أن هذه المساحة (حتى الآن غير معلومة) هي <b>تكامل</b> <i>f</i>. يكون الرمز لهذا التكامل هو:
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\,dx\,\!.}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msubsup>
<mo>∫<!-- ∫ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>0</mn>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msubsup>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<msqrt>
<mi>x</mi>
</msqrt>
</mrow>
<mspace width="thinmathspace" />
<mi>d</mi>
<mi>x</mi>
<mspace width="thinmathspace" />
<mspace width="negativethinmathspace" />
<mo>.</mo>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\,dx\,\!.}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1104e2fe0af839de06ce1b9852e7551432766a8b" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:10.751ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\,dx\,\!.}"/></span></dd></dl>
<p>كتقريب أولي فلننظر في مربع الوحدة المعطى بالأضلاع <i>x</i> = 0 إلى <i>x</i> = 1 و<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y=f(x)\,}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>y</mi>
<mo>=</mo>
<mi>f</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mspace width="thinmathspace" />
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y=f(x)\,}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceab146b2e6d4d4a3580db2ba2d1d240edcbc080" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.059ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle y=f(x)\,}"/></span> nbsp;= 0 and <i>y</i> = <i>f</i>(1) = 1. مساحته هي 1 تماما. ينبغي أن تكون القيمة الحقيقية للتكامل أقل مما هي عليه.
بتقليل عرض المستطيلات التقريبية يعطي نتيجة أفضل, وبالتالي عبر الفترة في خمس خطوات, باستعمال نقاط التقريب 0, <sup>1</sup>⁄<sub>5</sub>, <sup>2</sup>⁄<sub>5</sub>, وهكذا حتى 1. بوضع مربعا مناسبا لكل خطوة مستخدمين الارتفاع المناسب لكل قطعة منحنية، وعليه <sup>1</sup>⁄<sub>5</sub>√, <sup>2</sup>⁄<sub>5</sub>√, وهكذا حتى   1√= 1. وبجمع مساحات هذه المستطيلات, نحصل على تقريبا أفضل للتكاملات المقصودة,
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle {\sqrt {\frac {1}{5}}}\left({\frac {1}{5}}-0\right)+{\sqrt {\frac {2}{5}}}\left({\frac {2}{5}}-{\frac {1}{5}}\right)+\cdots +{\sqrt {\frac {5}{5}}}\left({\frac {5}{5}}-{\frac {4}{5}}\right)\approx 0.7497.\,\!}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<msqrt>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mn>5</mn>
</mfrac>
</msqrt>
</mrow>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mn>5</mn>
</mfrac>
</mrow>
<mo>−<!-- − --></mo>
<mn>0</mn>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<msqrt>
<mfrac>
<mn>2</mn>
<mn>5</mn>
</mfrac>
</msqrt>
</mrow>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<mn>2</mn>
<mn>5</mn>
</mfrac>
</mrow>
<mo>−<!-- − --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mn>5</mn>
</mfrac>
</mrow>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
<mo>+</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<msqrt>
<mfrac>
<mn>5</mn>
<mn>5</mn>
</mfrac>
</msqrt>
</mrow>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<mn>5</mn>
<mn>5</mn>
</mfrac>
</mrow>
<mo>−<!-- − --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<mn>4</mn>
<mn>5</mn>
</mfrac>
</mrow>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>≈<!-- ≈ --></mo>
<mn>0.7497.</mn>
<mspace width="thinmathspace" />
<mspace width="negativethinmathspace" />
</mstyle>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle {\sqrt {\frac {1}{5}}}\left({\frac {1}{5}}-0\right)+{\sqrt {\frac {2}{5}}}\left({\frac {2}{5}}-{\frac {1}{5}}\right)+\cdots +{\sqrt {\frac {5}{5}}}\left({\frac {5}{5}}-{\frac {4}{5}}\right)\approx 0.7497.\,\!}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7c5690571db239ccbd47c3d57cbfa7a985a9852" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; margin-right: -0.387ex; width:61.244ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \textstyle {\sqrt {\frac {1}{5}}}\left({\frac {1}{5}}-0\right)+{\sqrt {\frac {2}{5}}}\left({\frac {2}{5}}-{\frac {1}{5}}\right)+\cdots +{\sqrt {\frac {5}{5}}}\left({\frac {5}{5}}-{\frac {4}{5}}\right)\approx 0.7497.\,\!}"/></span></dd></dl>
<p>لاحظ أننا نأخذ مجموع لقيم دوال عديدة محدودة لـ <i>f</i>, مضروبة في الفرق بين فترتين تقريبيتين متعاقبتين. يمكننا ملاحظة أن التقريب ما زال كبيرا. وكلما استخدمنا خطوات أكثر حصلنا على تقريبات أفضل, ولكننا لن نحصل على قيم دقيقة أبدا: بإبدال الـ5 فترات بـ12 فترة نحصل على التقريب 0.6203, وهي تقريب أفضل. مفتاح الفكرة يكمن في الانتقال من <i>العديد</i> من نقاط التقريب المحدودة مضروبة بقيم دالتها إلى استعمال عدد لانهائي أو خطى <i>متناهية في الصغر</i>.
بالنسبة للحساب الحقيقي للتكامل, تكون النظرية الأساسية للتكامل هي الرابط الأساسي بين عمليات الاشتقاق والتكامل. وبتطبيقها على منحنى الجذر التربيعي,<i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i><sup>1/2</sup>, تقترح علينا أن نبحث عن <a href="/wiki/%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%B4%D8%AA%D9%82_%D8%A7%D9%84%D8%B9%D9%83%D8%B3%D9%8A" class="mw-redirect" title="المشتق العكسي">المشتق العكسي</a> <i>F</i>(<i>x</i>) = <sup>2</sup>⁄<sub>3</sub><i>x</i><sup>3/2</sup>, ونأخذ ببساطة <i>F</i>(1) − <i>F</i>(0), حيث 0 و1 هي حدود <a href="/wiki/%D8%A7%D9%84%D9%81%D8%AA%D8%B1%D8%A9" class="mw-redirect" title="الفترة">الفترة</a> [0,1].هذه حالة لقاعدة عامة, لإجل <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i><sup><i>q</i></sup>, مع <i>q</i> ≠ −1, تكون الدالة المتعلقة والتي تدعى المشتق العكسي هي <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(x)=x^{q+1}/(q+1)\,}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>F</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo>=</mo>
<msup>
<mi>x</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>q</mi>
<mo>+</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msup>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo>/</mo>
</mrow>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>q</mi>
<mo>+</mo>
<mn>1</mn>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mspace width="thinmathspace" />
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x)=x^{q+1}/(q+1)\,}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/547a775ba6128ead4fd8d5645967755f91da2e4c" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.828ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle F(x)=x^{q+1}/(q+1)\,}"/></span> وبالتالي فإن القيمة <i>الدقيقة</i> للمساحة تحت المنحنى رسميا كما يلي
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\,dx=\int _{0}^{1}x^{\frac {1}{2}}\,dx=\int _{0}^{1}d\left({\textstyle {\frac {2}{3}}}x^{\frac {3}{2}}\right)={\textstyle {\frac {2}{3}}}.}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msubsup>
<mo>∫<!-- ∫ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>0</mn>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msubsup>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<msqrt>
<mi>x</mi>
</msqrt>
</mrow>
<mspace width="thinmathspace" />
<mi>d</mi>
<mi>x</mi>
<mo>=</mo>
<msubsup>
<mo>∫<!-- ∫ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>0</mn>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msubsup>
<msup>
<mi>x</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mrow>
</msup>
<mspace width="thinmathspace" />
<mi>d</mi>
<mi>x</mi>
<mo>=</mo>
<msubsup>
<mo>∫<!-- ∫ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>0</mn>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msubsup>
<mi>d</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<mn>2</mn>
<mn>3</mn>
</mfrac>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<msup>
<mi>x</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<mn>3</mn>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mrow>
</msup>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<mn>2</mn>
<mn>3</mn>
</mfrac>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<mo>.</mo>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\,dx=\int _{0}^{1}x^{\frac {1}{2}}\,dx=\int _{0}^{1}d\left({\textstyle {\frac {2}{3}}}x^{\frac {3}{2}}\right)={\textstyle {\frac {2}{3}}}.}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0f2e561097585ddf6e0ec552aab659c45cb7a56" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:45.261ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\,dx=\int _{0}^{1}x^{\frac {1}{2}}\,dx=\int _{0}^{1}d\left({\textstyle {\frac {2}{3}}}x^{\frac {3}{2}}\right)={\textstyle {\frac {2}{3}}}.}"/></span></dd></dl>
<h2><span id=".D8.AA.D8.B9.D8.B1.D9.8A.D9.81.D8.A7.D8.AA_.D9.85.D9.86.D9.87.D8.AC.D9.8A.D8.A9"></span><span class="mw-headline" id="تعريفات_منهجية">تعريفات منهجية</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84&action=edit&section=7" title="عدل القسم: تعريفات منهجية">عدل</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2>
<p>هناك عدة طرق لتعريف التكامل بشكل منهجي, لكن هذه الطرق مختلفة عن بعضها البعض في الطرق التي تسلكها. بعض هذه الاختلافات نتجت عن محاولات الرياضيين لحل حالات خاصة من المسائل التي تكون فيها المسألة غير قابلة للتكامل, وبعضها الآخر نتجت لأسباب تعليمية -كتسهيل حل المسائل-. إن أكثر تعريفين شيوعاً للتكامل هي تكامل ريمان وتكامل لوبيغ.
</p>
<h3><span id=".D8.AA.D9.83.D8.A7.D9.85.D9.84_.D8.B1.D9.8A.D9.85.D8.A7.D9.86"></span><span class="mw-headline" id="تكامل_ريمان">تكامل ريمان</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84&action=edit&section=8" title="عدل القسم: تكامل ريمان">عدل</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h3>
<div style="overflow-x: unset;" class="rellink hlist">
<ul><li><img alt="Crystal Clear app kdict.png" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Crystal_Clear_app_kdict.png/18px-Crystal_Clear_app_kdict.png" decoding="async" width="18" height="18" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Crystal_Clear_app_kdict.png/27px-Crystal_Clear_app_kdict.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Crystal_Clear_app_kdict.png/36px-Crystal_Clear_app_kdict.png 2x" data-file-width="128" data-file-height="128" /> <b>مقالة مفصلة</b>: <a href="/wiki/%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84_%D8%B1%D9%8A%D9%85%D8%A7%D9%86" title="تكامل ريمان">تكامل ريمان</a></li></ul></div>
<div class="thumb tleft"><div class="thumbinner" style="width:222px;"><a href="/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:Integral_Riemann_sum.png" class="image"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2c/Integral_Riemann_sum.png/220px-Integral_Riemann_sum.png" decoding="async" width="220" height="220" class="thumbimage" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2c/Integral_Riemann_sum.png/330px-Integral_Riemann_sum.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2c/Integral_Riemann_sum.png/440px-Integral_Riemann_sum.png 2x" data-file-width="1260" data-file-height="1260" /></a> <div class="thumbcaption"><div class="magnify"><a href="/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:Integral_Riemann_sum.png" class="internal" title="كبّر"></a></div>صورة توضيحية لتكامل تقريبي عند استخدام مجموع ريمان, تم تقسيم المساحة الموجودة تحت المنحنى إلى مضلعات غير منتظمة (الضلع الذي يوجد تحته الخط الأحمر هو الأعرض). القيمة الدقيقة للمساحة هي 3.76; والقيمة الفرضية هي 3.648.</div></div></div>
<p>يمكن تعريف تكامل ريمان على أنها أخذ <a href="/wiki/%D9%85%D8%AC%D9%85%D9%88%D8%B9_%D8%B1%D9%8A%D9%85%D8%A7%D9%86" title="مجموع ريمان">مجموع ريمان</a> للدالة الموجودة ضمن مجال <i>جزئها المحدد Tagged partition</i>. فإذا كان الفترة [<i>a</i>,<i>b</i>] هي <a href="/wiki/%D9%81%D8%AA%D8%B1%D8%A9_(%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A7%D8%AA)" title="فترة (رياضيات)">فترة مغلقة</a> في <a href="/wiki/%D8%AE%D8%B7_%D8%AD%D9%82%D9%8A%D9%82%D9%8A" class="mw-redirect" title="خط حقيقي">خطها الحقيقي</a>; فإن <i>جزئها المحدد</i> ضمن الفترة [<i>a</i>,<i>b</i>] هي سلسلة متناهية، حيث تكون:
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a=x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}=b.\,\!}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>a</mi>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>0</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>≤<!-- ≤ --></mo>
<msub>
<mi>t</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>≤<!-- ≤ --></mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>≤<!-- ≤ --></mo>
<msub>
<mi>t</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>≤<!-- ≤ --></mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>≤<!-- ≤ --></mo>
<mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
<mo>≤<!-- ≤ --></mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>n</mi>
<mo>−<!-- − --></mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>≤<!-- ≤ --></mo>
<msub>
<mi>t</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>n</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>≤<!-- ≤ --></mo>
<msub>
<mi>x</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>n</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<mi>b</mi>
<mo>.</mo>
<mspace width="thinmathspace" />
<mspace width="negativethinmathspace" />
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a=x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}=b.\,\!}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a95dc34e72c3da728c59d5f83e148f3e57f100b" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-right: -0.387ex; width:57.164ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a=x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}=b.\,\!}"/></span></dd></dl>
<div class="thumb tleft"><div class="thumbinner" style="width:252px;"><a href="/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:Riemann_sum_convergence.png" class="image"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2a/Riemann_sum_convergence.png/250px-Riemann_sum_convergence.png" decoding="async" width="250" height="250" class="thumbimage" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2a/Riemann_sum_convergence.png/375px-Riemann_sum_convergence.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2a/Riemann_sum_convergence.png/500px-Riemann_sum_convergence.png 2x" data-file-width="1260" data-file-height="1260" /></a> <div class="thumbcaption"><div class="magnify"><a href="/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:Riemann_sum_convergence.png" class="internal" title="كبّر"></a></div>صورة توضيحية لمجموع ريمان عندما يتم تقسيم فترات مساحة الأضلاع إلى نصفين في كل مرة، لاحظ بأن القيمة التقريبية تزداد صحةُ كلما أزداد عدد الأضلاع.</div></div></div>
<p>وهذا سيجزئ الفترة [<i>a</i>,<i>b</i>] إلى <i>n</i> جزء ذو الفترة الجديدة [<i>x</i><sub><i>i</i>−1</sub>, <i>x</i><sub><i>i</i></sub>]، حيث أن <i>i</i> يعتمد على عدد الأجزاء, كل واحد من هذه الأجزاء "تم تحديدها" بنقطة مفرِّقة <i>t</i><sub><i>i</i></sub> التي تنتمي للفترة [<i>x</i><sub><i>i</i>−1</sub>, <i>x</i><sub><i>i</i></sub>]. إذاً، تُعرّف <i>مجموع ريمان</i> للدالة <i>f</i> الموجودة ضمن الجزء المحدد من الفترة [<i>a</i>,<i>b</i>] على النحو التالي:
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i};}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<munderover>
<mo>∑<!-- ∑ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>n</mi>
</mrow>
</munderover>
<mi>f</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<msub>
<mi>t</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
</mrow>
</msub>
<mo stretchy="false">)</mo>
<msub>
<mi mathvariant="normal">Δ<!-- Δ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>;</mo>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i};}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f988bf16d04d532a77e978ed1d82addfb9ab761c" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:11.852ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i};}"/></span></dd></dl>
<p>و بالتالي، كل حد من المجموع هي عبارة عن مساحة لمضلع لديه ارتفاع تساوي قيمة الدالة عند النقطة المفرقة للجزء المعطى, ولديه عرض تساوي طول الفترة الجزئية. فلتكنΔ<sub><i>i</i></sub> = <i>x</i><sub><i>i</i></sub>−<i>x</i><sub><i>i</i>−1</sub> هي عرض الفترة الجزئية <i>i</i>; لكي يكون <i>تشبيك</i> هذا النوع من الأجزاء المحددة هي نفسها عرض أكبر فترة جزئية تم تشكيلها بواسطة التجزئية, التي لها القيمة القصوى <sub><i>i</i>=1…<i>n</i></sub> Δ<sub><i>i</i></sub>. إذاً، <i>تكامل ريمان</i> للدالة <i>f</i> في الفترة [<i>a</i>,<i>b</i>] هي مساوية للقيمة <i>S</i>:
فإذا كان جميع قيم ε > 0، ستكون جميع قيم δ > 0. وإذا كان هناك جزء محدد في الفترة [<i>a</i>,<i>b</i>] أقل من قيمة δ, ستكون:
</p>
<dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left|S-\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i}\right|<\epsilon .}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow>
<mo>|</mo>
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>−<!-- − --></mo>
<munderover>
<mo>∑<!-- ∑ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>n</mi>
</mrow>
</munderover>
<mi>f</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<msub>
<mi>t</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
</mrow>
</msub>
<mo stretchy="false">)</mo>
<msub>
<mi mathvariant="normal">Δ<!-- Δ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
</mrow>
</msub>
</mrow>
<mo>|</mo>
</mrow>
<mo><</mo>
<mi>ϵ<!-- ϵ --></mi>
<mo>.</mo>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left|S-\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i}\right|<\epsilon .}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb607c3ab2c9c7182e1a7f7ac349fa5ce97042db" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:21.528ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle \left|S-\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i}\right|<\epsilon .}"/></span></dd></dl></dd></dl>
<h3><span id=".D8.AA.D9.83.D8.A7.D9.85.D9.84_.D9.84.D9.88.D8.A8.D9.8A.D8.BA"></span><span class="mw-headline" id="تكامل_لوبيغ">تكامل لوبيغ</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84&action=edit&section=9" title="عدل القسم: تكامل لوبيغ">عدل</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h3>
<h2><span id=".D8.AA.D9.83.D8.A7.D9.85.D9.84_.D9.84.D9.88.D8.A8.D9.8A.D8.BA_.D9.84.D9.84.D8.AF.D9.88.D8.A7.D9.84_.D8.BA.D9.8A.D8.B1_.D8.B3.D8.A7.D9.84.D8.A8.D8.A9_.D8.A7.D9.84.D9.82.D9.8A.D9.85.D8.A9"></span><span class="mw-headline" id="تكامل_لوبيغ_للدوال_غير_سالبة_القيمة">تكامل لوبيغ للدوال غير سالبة القيمة</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84&action=edit&section=10" title="عدل القسم: تكامل لوبيغ للدوال غير سالبة القيمة">عدل</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2>
<p>لتكن <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\in {{M}^{+}}(X,\sum {)}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>f</mi>
<mo>∈<!-- ∈ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<msup>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>M</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo>+</mo>
</mrow>
</msup>
</mrow>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>X</mi>
<mo>,</mo>
<mo>∑<!-- ∑ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\in {{M}^{+}}(X,\sum {)}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98dcad2e35ffcb7ce4906be9784c956bdd6028b7" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:16.694ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle f\in {{M}^{+}}(X,\sum {)}}"/></span> نعرف تكامل f بالنسبة للمقياس <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>μ<!-- μ --></mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }"/></span> على أنه العدد الحقيقي الممتد
<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int {fd\mu }=\sup \int {\phi d\mu }}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mo>∫<!-- ∫ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>f</mi>
<mi>d</mi>
<mi>μ<!-- μ --></mi>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mo movablelimits="true" form="prefix">sup</mo>
<mo>∫<!-- ∫ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>ϕ<!-- ϕ --></mi>
<mi>d</mi>
<mi>μ<!-- μ --></mi>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int {fd\mu }=\sup \int {\phi d\mu }}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83318a138a61abb2766c3b6a5cf71d17a8f40821" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:20.048ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int {fd\mu }=\sup \int {\phi d\mu }}"/></span>
حيث sup يسري على كل الدوال البسيطة <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>ϕ<!-- ϕ --></mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi }"/></span> التي تحقق <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\forall x\in X):0\leq \phi (x)\leq f(x)}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi mathvariant="normal">∀<!-- ∀ --></mi>
<mi>x</mi>
<mo>∈<!-- ∈ --></mo>
<mi>X</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo>:</mo>
<mn>0</mn>
<mo>≤<!-- ≤ --></mo>
<mi>ϕ<!-- ϕ --></mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo>≤<!-- ≤ --></mo>
<mi>f</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\forall x\in X):0\leq \phi (x)\leq f(x)}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b1d83224d5b8cd3c1347b4d2ba5a45eb17fb5ba" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.491ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\forall x\in X):0\leq \phi (x)\leq f(x)}"/></span> إذا كانت E مجموعة قابلة للقياس نعرف تكامل f على E بالنسبة للمقياس <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>μ<!-- μ --></mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }"/></span> على أنه العدد الحقيقي الممتد
<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int \limits _{E}{fd\mu }={{\int {f\chi }}_{E}}d\mu }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<munder>
<mo>∫<!-- ∫ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>E</mi>
</mrow>
</munder>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>f</mi>
<mi>d</mi>
<mi>μ<!-- μ --></mi>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo>∫<!-- ∫ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>f</mi>
<mi>χ<!-- χ --></mi>
</mrow>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>E</mi>
</mrow>
</msub>
</mrow>
<mi>d</mi>
<mi>μ<!-- μ --></mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int \limits _{E}{fd\mu }={{\int {f\chi }}_{E}}d\mu }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f9a1ad16d3100caf7bca23303e4bdcedf5af2cc" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; margin-left: -0.065ex; width:19.06ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle \int \limits _{E}{fd\mu }={{\int {f\chi }}_{E}}d\mu }"/></span>
إذا تكامل f على E هو مجرد تكامل الدالة <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f{{\chi }_{E}}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>f</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>χ<!-- χ --></mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>E</mi>
</mrow>
</msub>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f{{\chi }_{E}}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15f880a241c7d4351918d37197f0d313209c9fca" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.221ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle f{{\chi }_{E}}}"/></span>.لاحظ أن هذه الدالة غير سالبة وقابلة للقياس طالما كانت f كذلك.
</p>
<h3><span id=".D8.AA.D9.83.D8.A7.D9.85.D9.84_.D8.A3.D8.AE.D8.B1.D9.89"></span><span class="mw-headline" id="تكامل_أخرى">تكامل أخرى</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84&action=edit&section=11" title="عدل القسم: تكامل أخرى">عدل</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h3>
<h2><span id=".D8.AE.D9.88.D8.A7.D8.B5_.D8.A7.D9.84.D8.AA.D9.83.D8.A7.D9.85.D9.84"></span><span class="mw-headline" id="خواص_التكامل">خواص التكامل</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84&action=edit&section=12" title="عدل القسم: خواص التكامل">عدل</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2>
<p><big>من خواص التكامل (المحدد) :</big>
</p>
<ul><li>إذا كانت <i>n</i> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ni }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mo>∋<!-- ∋ --></mo>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ni }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91c3deaee7d8f5b0a1dc4c3913acdf15044b8eb3" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.55ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \ni }"/></span> <i>مجموعة الأعداد الحقيقية</i> وكانت <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>f</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="f"/></span> قابلة للتكامل على <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [a,b]}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mo stretchy="false">[</mo>
<mi>a</mi>
<mo>,</mo>
<mi>b</mi>
<mo stretchy="false">]</mo>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [a,b]}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.555ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [a,b]}"/></span> فإن :</li></ul>
<dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{a}^{b}{\color {red}n}f(x)dx={\color {red}n}\int _{a}^{b}f(x)dx}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msubsup>
<mo>∫<!-- ∫ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>a</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>b</mi>
</mrow>
</msubsup>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle mathcolor="red">
<mi>n</mi>
</mstyle>
</mrow>
<mi>f</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mi>d</mi>
<mi>x</mi>
<mo>=</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle mathcolor="red">
<mi>n</mi>
</mstyle>
</mrow>
<msubsup>
<mo>∫<!-- ∫ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>a</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>b</mi>
</mrow>
</msubsup>
<mi>f</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mi>d</mi>
<mi>x</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{a}^{b}{\color {red}n}f(x)dx={\color {red}n}\int _{a}^{b}f(x)dx}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72cc2f5b7b524785d461d3b3ee4f948bc7ebe4fb" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:27.779ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \int _{a}^{b}{\color {red}n}f(x)dx={\color {red}n}\int _{a}^{b}f(x)dx}"/></span></dd></dl></dd></dl>
<ul><li>إذا كانت الدالة <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>f</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="f"/></span> قابلة للتكامل على الفترة <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [a,b]}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mo stretchy="false">[</mo>
<mi>a</mi>
<mo>,</mo>
<mi>b</mi>
<mo stretchy="false">]</mo>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [a,b]}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.555ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [a,b]}"/></span> فإن :</li></ul>
<dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\,={\color {red}-}\,\int _{b}^{a}f(x)dx}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msubsup>
<mo>∫<!-- ∫ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>a</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>b</mi>
</mrow>
</msubsup>
<mi>f</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mi>d</mi>
<mi>x</mi>
<mspace width="thinmathspace" />
<mo>=</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle mathcolor="red">
<mo>−<!-- − --></mo>
</mstyle>
</mrow>
<mspace width="thinmathspace" />
<msubsup>
<mo>∫<!-- ∫ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>b</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>a</mi>
</mrow>
</msubsup>
<mi>f</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mi>d</mi>
<mi>x</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\,={\color {red}-}\,\int _{b}^{a}f(x)dx}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e4c5b4432016f06366d3d06befddfff97251101" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:27.736ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\,={\color {red}-}\,\int _{b}^{a}f(x)dx}"/></span></dd></dl></dd>
<dd>وإذا كانت <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b>a}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>b</mi>
<mo>></mo>
<mi>a</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b>a}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b1cfc86ca957eea4f09d683db2412a173f6f404" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.326ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b>a}"/></span> فإنت :
<dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\int _{a}^{b}f(x)\,dx\,|\geq \,\int _{a}^{b}|f(x)|\,dx}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">|</mo>
</mrow>
<msubsup>
<mo>∫<!-- ∫ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>a</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>b</mi>
</mrow>
</msubsup>
<mi>f</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mspace width="thinmathspace" />
<mi>d</mi>
<mi>x</mi>
<mspace width="thinmathspace" />
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">|</mo>
</mrow>
<mo>≥<!-- ≥ --></mo>
<mspace width="thinmathspace" />
<msubsup>
<mo>∫<!-- ∫ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>a</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>b</mi>
</mrow>
</msubsup>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">|</mo>
</mrow>
<mi>f</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">|</mo>
</mrow>
<mspace width="thinmathspace" />
<mi>d</mi>
<mi>x</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\int _{a}^{b}f(x)\,dx\,|\geq \,\int _{a}^{b}|f(x)|\,dx}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7e5029d844b91ae87b6f79c5a310f75c4d3a12b" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:29.125ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle |\int _{a}^{b}f(x)\,dx\,|\geq \,\int _{a}^{b}|f(x)|\,dx}"/></span></dd></dl></dd></dl>
<ul><li>إذا كانت الدالة <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>f</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="f"/></span> قابلة للتكامل على الفترة <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [a,b]}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mo stretchy="false">[</mo>
<mi>a</mi>
<mo>,</mo>
<mi>b</mi>
<mo stretchy="false">]</mo>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [a,b]}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.555ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [a,b]}"/></span> وكانت النقطة <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c\in [a,b]}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>c</mi>
<mo>∈<!-- ∈ --></mo>
<mo stretchy="false">[</mo>
<mi>a</mi>
<mo>,</mo>
<mi>b</mi>
<mo stretchy="false">]</mo>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c\in [a,b]}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/997256364b06acf0710e5d24da39e8c42991a249" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.402ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle c\in [a,b]}"/></span> فإن :</li></ul>
<dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\,=\int _{a}^{c}f(x)dx\,+\,\int _{c}^{b}f(x)dx}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msubsup>
<mo>∫<!-- ∫ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>a</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>b</mi>
</mrow>
</msubsup>
<mi>f</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mi>d</mi>
<mi>x</mi>
<mspace width="thinmathspace" />
<mo>=</mo>
<msubsup>
<mo>∫<!-- ∫ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>a</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>c</mi>
</mrow>
</msubsup>
<mi>f</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mi>d</mi>
<mi>x</mi>
<mspace width="thinmathspace" />
<mo>+</mo>
<mspace width="thinmathspace" />
<msubsup>
<mo>∫<!-- ∫ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>c</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>b</mi>
</mrow>
</msubsup>
<mi>f</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mi>d</mi>
<mi>x</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\,=\int _{a}^{c}f(x)dx\,+\,\int _{c}^{b}f(x)dx}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf57c91b1fe785e1403f2d680d37f623d73a6eff" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:39.363ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\,=\int _{a}^{c}f(x)dx\,+\,\int _{c}^{b}f(x)dx}"/></span></dd></dl></dd></dl>
<ul><li>إذا كانت الدالة د قابلة للتكامل على <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [a,b]}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mo stretchy="false">[</mo>
<mi>a</mi>
<mo>,</mo>
<mi>b</mi>
<mo stretchy="false">]</mo>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [a,b]}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.555ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [a,b]}"/></span> و<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)\geq 0}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>f</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo>≥<!-- ≥ --></mo>
<mn>0</mn>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)\geq 0}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2635ab62e1e5dc91ebf9789bb2e8d636415df57" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.678ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)\geq 0}"/></span> على هذه الفترة فإن :</li></ul>
<dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\,\geq \,0}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msubsup>
<mo>∫<!-- ∫ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>a</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>b</mi>
</mrow>
</msubsup>
<mi>f</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mi>d</mi>
<mi>x</mi>
<mspace width="thinmathspace" />
<mo>≥<!-- ≥ --></mo>
<mspace width="thinmathspace" />
<mn>0</mn>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\,\geq \,0}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe450df9fc2dc604a2c8bcbf9bf5c8d26a3e0f80" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:15.787ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\,\geq \,0}"/></span></dd></dl></dd></dl>
<ul><li>إذا كانت الدالتان <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{1},f_{2}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msub>
<mi>f</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>,</mo>
<msub>
<mi>f</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{1},f_{2}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f72559892d77d249622d3c79330e8a11a2b0cb99" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.421ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f_{1},f_{2}}"/></span> قابلتين للتكامل على <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [a,b]}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mo stretchy="false">[</mo>
<mi>a</mi>
<mo>,</mo>
<mi>b</mi>
<mo stretchy="false">]</mo>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [a,b]}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.555ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [a,b]}"/></span> فإن الدالة <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{1}\pm f_{2}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msub>
<mi>f</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>±<!-- ± --></mo>
<msub>
<mi>f</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{1}\pm f_{2}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/424a9befdeff0bba0285632615a2f850f631e409" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.227ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f_{1}\pm f_{2}}"/></span> تكون قابلة للتكامل على <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [a,b]}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mo stretchy="false">[</mo>
<mi>a</mi>
<mo>,</mo>
<mi>b</mi>
<mo stretchy="false">]</mo>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [a,b]}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.555ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [a,b]}"/></span> ويكون :</li></ul>
<dl><dd><dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{a}^{b}(f_{1}\pm f_{2})(x)\,dx=\int _{a}^{b}f_{1}(x)\,dx\,\pm \int _{a}^{b}f_{2}(x)\,dx}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msubsup>
<mo>∫<!-- ∫ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>a</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>b</mi>
</mrow>
</msubsup>
<mo stretchy="false">(</mo>
<msub>
<mi>f</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>±<!-- ± --></mo>
<msub>
<mi>f</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mspace width="thinmathspace" />
<mi>d</mi>
<mi>x</mi>
<mo>=</mo>
<msubsup>
<mo>∫<!-- ∫ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>a</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>b</mi>
</mrow>
</msubsup>
<msub>
<mi>f</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mspace width="thinmathspace" />
<mi>d</mi>
<mi>x</mi>
<mspace width="thinmathspace" />
<mo>±<!-- ± --></mo>
<msubsup>
<mo>∫<!-- ∫ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>a</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>b</mi>
</mrow>
</msubsup>
<msub>
<mi>f</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>x</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mspace width="thinmathspace" />
<mi>d</mi>
<mi>x</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{a}^{b}(f_{1}\pm f_{2})(x)\,dx=\int _{a}^{b}f_{1}(x)\,dx\,\pm \int _{a}^{b}f_{2}(x)\,dx}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/417ef37bb37f1b5e1b151e166bdf681442c30a8d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:48.944ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \int _{a}^{b}(f_{1}\pm f_{2})(x)\,dx=\int _{a}^{b}f_{1}(x)\,dx\,\pm \int _{a}^{b}f_{2}(x)\,dx}"/></span></dd></dl></dd></dl>
<h2><span id=".D8.A7.D9.84.D9.86.D8.B8.D8.B1.D9.8A.D8.A9_.D8.A7.D9.84.D8.A3.D8.B3.D8.A7.D8.B3.D9.8A.D8.A9_.D9.84.D9.84.D8.AA.D9.81.D8.A7.D8.B6.D9.84_.D9.88.D8.A7.D9.84.D8.AA.D9.83.D8.A7.D9.85.D9.84_.D9.85.D8.B9.D8.A7.D8.B0_.D9.88.D9.8A.D9.86.D9.83.D8.9F.D8.9F"></span><span class="mw-headline" id="النظرية_الأساسية_للتفاضل_والتكامل_معاذ_وينك؟؟">النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل معاذ وينك؟؟</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84&action=edit&section=13" title="عدل القسم: النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل معاذ وينك؟؟">عدل</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2>
<h2><span id=".D8.A7.D9.84.D9.85.D8.B1.D8.A7.D8.AC.D8.B9"></span><span class="mw-headline" id="المراجع">المراجع</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84&action=edit&section=14" title="عدل القسم: المراجع">عدل</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2>
<ul><li>كتاب الرياضيات الصف الثالث ثانوي ، الفصل الدراسي الثاني طبعة 1431-1432 هـ المملكة العربية السعودية</li></ul>
<div class="reflist"><ol class="references">
<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><b><a href="#cite_ref-1">^</a></b></span> <span class="reference-text"><span id="CITEREFShea" class="citation">Shea، Marilyn (مايو 2007)، <a rel="nofollow" class="external text" href="https://hua.umf.maine.edu/China/astronomy/tianpage/0014ZuChongzhi9296bw.html"><i>Biography of Zu Chongzhi</i></a>، University of Maine<span class="reference-accessdate">، اطلع عليه بتاريخ 09 يناير 2009</span></span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84&rft.aufirst=Marilyn&rft.aulast=Shea&rft.btitle=Biography+of+Zu+Chongzhi&rft.genre=book&rft.pub=University+of+Maine&rft_id=https%3A%2F%2Fhua.umf.maine.edu%2FChina%2Fastronomy%2Ftianpage%2F0014ZuChongzhi9296bw.html&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span> <span style="display:none;font-size:100%" class="error citation-comment">تحقق من التاريخ في: <code style="color:inherit; border:inherit; padding:inherit;">|date=</code> (<a href="/wiki/%D9%85%D8%B3%D8%A7%D8%B9%D8%AF%D8%A9:CS1_errors#bad_date" title="مساعدة:CS1 errors">مساعدة</a>)</span><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r32919374">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Lock-green.svg/9px-Lock-green.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center}.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg/9px-Lock-gray-alt-2.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center}.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/aa/Lock-red-alt-2.svg/9px-Lock-red-alt-2.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center}.mw-parser-output .cs1-subscription,.mw-parser-output .cs1-registration{color:#555}.mw-parser-output .cs1-subscription span,.mw-parser-output .cs1-registration span{border-bottom:1px dotted;cursor:help}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Wikisource-logo.svg/12px-Wikisource-logo.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center}.mw-parser-output code.cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:inherit;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;font-size:100%}.mw-parser-output .cs1-visible-error{font-size:100%}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#33aa33;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-subscription,.mw-parser-output .cs1-registration,.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left,.mw-parser-output .cs1-kern-wl-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right,.mw-parser-output .cs1-kern-wl-right{padding-right:0.2em}</style><br /><span id="CITEREFKatz2004" class="citation">Katz، Victor J. (2004)، <i>A History of Mathematics, Brief Version</i>،  <a href="/w/index.php?title=%D8%A3%D8%AF%D9%8A%D8%B3%D9%88%D9%86-%D9%88%D9%8A%D8%B3%D9%84%D9%8A&action=edit&redlink=1" class="new" title="أديسون-ويسلي (الصفحة غير موجودة)">أديسون-ويسلي</a> <span style="font-size: smaller; font-style: normal; font-weight: normal;" class="noprint"> <a href="https://www.wikidata.org/wiki/Q353060#sitelinks-wikipedia" class="extiw" title="d:Q353060"><sup class="reference" title=""Q353060" في لغات أخرى">[لغات أخرى]</sup></a></span>، صفحات 125–126، <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-0-321-16193-2" title="خاص:مصادر كتاب/978-0-321-16193-2">978-0-321-16193-2</a></span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84&rft.aufirst=Victor+J.&rft.aulast=Katz&rft.btitle=A+History+of+Mathematics%2C+Brief+Version&rft.date=2004&rft.genre=book&rft.isbn=978-0-321-16193-2&rft.pages=125-126&rft.pub=+%D8%A3%D8%AF%D9%8A%D8%B3%D9%88%D9%86-%D9%88%D9%8A%D8%B3%D9%84%D9%8A+%3Cspan+style%3D%22font-size%3A+smaller%3B+font-style%3A+normal%3B+font-weight%3A+normal%3B%22+class%3D%22noprint%22%3E+%5B%5Bd%3AQ353060%23sitelinks-wikipedia%7C%3Csup+class%3Dreference+title%3D%22%26quot%3BQ353060%26quot%3B+%D9%81%D9%8A+%D9%84%D8%BA%D8%A7%D8%AA+%D8%A3%D8%AE%D8%B1%D9%89%22%3E%5B%D9%84%D8%BA%D8%A7%D8%AA+%D8%A3%D8%AE%D8%B1%D9%89%5D%3C%2Fsup%3E%5D%5D%3C%2Fspan%3E&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></span>
</li>
<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><b><a href="#cite_ref-2">^</a></b></span> <span class="reference-text">Victor J. Katz (1995), "Ideas of Calculus in Islam and India", <i>Mathematics Magazine</i> <b>68</b> (3): 163-174 [165]</span>
</li>
<li id="cite_note-Katz-3"><span class="mw-cite-backlink"><b><a href="#cite_ref-Katz_3-0">^</a></b></span> <span class="reference-text">Victor J. Katz (1995), "Ideas of Calculus in Islam and India", <i>Mathematics Magazine</i> <b>68</b> (3): 163–174 [165–9 & 173–4]</span>
</li>
<li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><b><a href="#cite_ref-4">^</a></b></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external autonumber" href="https://www2.gol.com/users/coynerhm/0598rothman.html">[1]</a><sup class="noprint Inline-Template"><span title=" منذ يوليو 2016" style="white-space0: nowrap;">[<a href="/wiki/%D9%88%D9%8A%D9%83%D9%8A%D8%A8%D9%8A%D8%AF%D9%8A%D8%A7:%D9%88%D8%B5%D9%84%D8%A7%D8%AA_%D8%AE%D8%A7%D8%B1%D8%AC%D9%8A%D8%A9_%D9%85%D9%83%D8%B3%D9%88%D8%B1%D8%A9" title="ويكيبيديا:وصلات خارجية مكسورة">وصلة مكسورة</a>]</span></sup> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://web.archive.org/web/20061230062231/http://www2.gol.com:80/users/coynerhm/0598rothman.html">نسخة محفوظة</a> 30 ديسمبر 2006 على موقع <a href="/wiki/%D9%88%D8%A7%D9%8A_%D8%A8%D8%A7%D9%83_%D9%85%D8%B4%D9%8A%D9%86" title="واي باك مشين">واي باك مشين</a>.</span>
</li>
</ol></div>
<h2><span id=".D8.A7.D9.8F.D9.86.D8.B8.D8.B1_.D8.A3.D9.8A.D8.B6.D8.A7.D9.8B"></span><span class="mw-headline" id="اُنظر_أيضاً">اُنظر أيضاً</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84&action=edit&section=15" title="عدل القسم: اُنظر أيضاً">عدل</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2>
<ul><li><a href="/wiki/%D9%85%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84" title="مكامل">المكامل</a></li>
<li><a href="/wiki/%D8%A7%D9%84%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84_%D8%A7%D9%84%D9%88%D8%B8%D9%8A%D9%81%D9%8A" class="mw-redirect" title="التكامل الوظيفي">التكامل الوظيفي</a></li></ul>
<div class="إعلام صغير plainlinks sisterlinks commonscat" style=""><div class="صورة" style="display:inline"><a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D8%A8%D8%AD%D8%AB/%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84" title="مشاريع شقيقة"><img alt="مشاريع شقيقة" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/49px-Commons-logo.svg.png" decoding="async" width="49" height="66" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/74px-Commons-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/98px-Commons-logo.svg.png 2x" data-file-width="1024" data-file-height="1376" /></a></div> <div style="display:inline">في <a href="/wiki/%D9%88%D9%8A%D9%83%D9%8A%D9%85%D9%8A%D8%AF%D9%8A%D8%A7_%D9%83%D9%88%D9%85%D9%86%D8%B2" title="ويكيميديا كومنز">كومنز</a> صور وملفات عن: <a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Integral_functions" class="extiw" title="commons:Category:Integral functions">تكامل</a></div></div>
<div class="auth-control"><table class="navbox" style="border-spacing:0"><tbody><tr><td style="padding:1px"><table class="nowraplinks hlist navbox-inner" style="border-spacing:0;background:transparent;color:inherit"><tbody><tr><th scope="row" class="navbox-group"><a href="/wiki/%D8%B6%D8%A8%D8%B7_%D8%A7%D8%B3%D8%AA%D9%86%D8%A7%D8%AF%D9%8A" title="ضبط استنادي">ضبط استنادي</a></th><td class="navbox-list navbox-odd" style="text-align:right;border-right-width:2px;border-right-style:solid;width:100%;padding:0px;text-align:left;"><div style="padding:0em 0.25em">
<ul><li><a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%A7%D9%84%D8%B6%D8%A8%D8%B7_%D9%81%D9%8A_%D9%85%D9%83%D8%AA%D8%A8%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D9%83%D9%88%D9%86%D8%BA%D8%B1%D8%B3" title="رقم الضبط في مكتبة الكونغرس">LCCN</a>: <span class="uid"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://id.loc.gov/authorities/subjects/sh85067099">sh85067099</a></span></li></ul>
</div></td></tr></tbody></table></td></tr></tbody></table></div>
<ul class="bandeau-portail إعلام" id="bandeau-portail">
<li class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone" style="margin-right:1em"><a href="/wiki/%D8%A8%D9%88%D8%A7%D8%A8%D8%A9:%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A7%D8%AA" title="بوابة:رياضيات"><img alt="أيقونة بوابة" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/26/Nuvola_apps_edu_mathematics-ar.svg/32px-Nuvola_apps_edu_mathematics-ar.svg.png" decoding="async" width="32" height="21" class="noviewer" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/26/Nuvola_apps_edu_mathematics-ar.svg/48px-Nuvola_apps_edu_mathematics-ar.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/26/Nuvola_apps_edu_mathematics-ar.svg/64px-Nuvola_apps_edu_mathematics-ar.svg.png 2x" data-file-width="190" data-file-height="124" /></a></span><span class="bandeau-portail-texte"><a href="/wiki/%D8%A8%D9%88%D8%A7%D8%A8%D8%A9:%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A7%D8%AA" title="بوابة:رياضيات">بوابة رياضيات</a></span></li>
<li class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone" style="margin-right:1em"><a href="/wiki/%D8%A8%D9%88%D8%A7%D8%A8%D8%A9:%D8%AA%D8%AD%D9%84%D9%8A%D9%84_%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A" title="بوابة:تحليل رياضي"><img alt="أيقونة بوابة" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/23/P_cartesian_graph.svg/31px-P_cartesian_graph.svg.png" decoding="async" width="31" height="28" class="noviewer" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/23/P_cartesian_graph.svg/47px-P_cartesian_graph.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/23/P_cartesian_graph.svg/62px-P_cartesian_graph.svg.png 2x" data-file-width="400" data-file-height="360" /></a></span><span class="bandeau-portail-texte"><a href="/wiki/%D8%A8%D9%88%D8%A7%D8%A8%D8%A9:%D8%AA%D8%AD%D9%84%D9%8A%D9%84_%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A" title="بوابة:تحليل رياضي">بوابة تحليل رياضي</a></span></li></ul>
<!--
NewPP limit report
Parsed by mw1276
Cached time: 20190419125025
Cache expiry: 2592000
Dynamic content: false
CPU time usage: 0.460 seconds
Real time usage: 0.690 seconds
Preprocessor visited node count: 1057/1000000
Preprocessor generated node count: 0/1500000
Post‐expand include size: 21417/2097152 bytes
Template argument size: 1943/2097152 bytes
Highest expansion depth: 13/40
Expensive parser function count: 3/500
Unstrip recursion depth: 1/20
Unstrip post‐expand size: 9616/5000000 bytes
Number of Wikibase entities loaded: 2/400
Lua time usage: 0.171/10.000 seconds
Lua memory usage: 3.72 MB/50 MB
-->
<!--
Transclusion expansion time report (%,ms,calls,template)
100.00% 396.950 1 -total
50.09% 198.842 1 قالب:مراجع
42.75% 169.690 2 قالب:Citation
15.61% 61.967 1 قالب:Ill-WD2
15.10% 59.957 1 قالب:تصنيف_كومنز
13.16% 52.241 1 قالب:شريط_بوابات
6.78% 26.927 1 قالب:WikidataCheck
6.74% 26.759 1 قالب:ضبط_استنادي
6.02% 23.911 4 قالب:استشهاد_بهارفارد_دون_أقواس
4.87% 19.337 1 قالب:شقيقة
-->
</div>' |
