سجل مرشح الإساءة

التفاصيل لمدخلة السجل 2٬678٬022

07:24، 20 أبريل 2019: Yuyu996 (نقاش | مساهمات) أطلق المرشح 134; مؤديا الفعل "edit" في الإقتصاد المالي. الأفعال المتخذة: وسم; وصف المرشح: وضع وسم nowiki في المقالات (افحص)

التغييرات التي أجريت في التعديل

محددات الفعل

متغير	قيمة
عدد التعديلات للمستخدم `(user_editcount)`	62
اسم حساب المستخدم `(user_name)`	'Yuyu996'
عمر حساب المستخدم `(user_age)`	4136362
المجموعات (متضمنة غير المباشرة) التي المستخدم فيها `(user_groups)`	[ 0 => '*', 1 => 'user', 2 => 'autoconfirmed' ]
المجموعات العامة التي ينتمي إليها الحساب `(global_user_groups)`	[]
ما إذا كان المستخدم يعدل من تطبيق المحمول `(user_app)`	false
ما إذا كان المستخدم يعدل عبر واجهة المحمول `(user_mobile)`	false
`user_wpzero`	false
هوية الصفحة `(page_id)`	0
نطاق الصفحة `(page_namespace)`	0
عنوان الصفحة (بدون نطاق) `(page_title)`	'الإقتصاد المالي'
عنوان الصفحة الكامل `(page_prefixedtitle)`	'الإقتصاد المالي'
آخر عشرة مساهمين في الصفحة `(page_recent_contributors)`	''
فعل `(action)`	'edit'
ملخص التعديل/السبب `(summary)`	'أُنشئَت بترجمة الصفحة "[[:en:Special:Redirect/revision/893150931\|Financial economics]]"'
نموذج المحتوى القديم `(old_content_model)`	''
نموذج المحتوى الجديد `(new_content_model)`	'wikitext'
نص الويكي القديم للصفحة، قبل التعديل `(old_wikitext)`	''
نص الويكي الجديد للصفحة، بعد التعديل `(new_wikitext)`	' '''الاقتصاد المالي''' هو فرع [[اقتصاد (علم)\|الاقتصاد الذي]] يتميز بـ "التركيز على الأنشطة النقدية" ، والذي من المحتمل أن يظهر فيه "المال من نوع أو آخر على ''جانبي'' التجارة". <ref name="stanford1">[[ويليام شارب\|William F. Sharpe]], [http://www.stanford.edu/~wfsharpe/mia/int/mia_int2.htm "Financial Economics"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20040604105441/http://www.stanford.edu/~wfsharpe/mia/int/mia_int2.htm\|date=2004-06-04}}, in {{مرجع ويب \| url = http://web.stanford.edu/~wfsharpe/mia/MIA.HTM \| title = ''Macro-Investment Analysis'' \| publisher = Stanford University (manuscript) \| archiveurl = https://web.archive.org/web/20140714034144/http://web.stanford.edu/~wfsharpe/mia/mia.htm \| archivedate = 2014-07-14 \| deadurl = no \| accessdate = 2009-08-06 }}</ref> وبالتالي ، فإن اهتمامها هو الترابط بين المتغيرات المالية ، مثل الأسعار وأسعار [[سعر الفائدة\|الفائدة]] والأسهم ، مقابل تلك المتعلقة [[اقتصاد\|بالاقتصاد الحقيقي]] . له مجالان رئيسيان للتركيز: <ref name="Miller"> [[Merton H. Miller]] ، (1999). تاريخ المالية: حساب شاهد عيان ، ''مجلة إدارة المحافظ'' . صيف 1999. </ref> [[Asset pricing\|تسعير الأصول]] [[تمويل الشركات\|وتمويل الشركات]] ؛ الأول هو منظور مقدمي رأس المال ، أي المستثمرين ، والثاني لمستخدمي رأس المال. يتعلق الموضوع بـ "تخصيص ونشر الموارد الاقتصادية ، مكانيا وعبر الزمن ، في بيئة غير مستقرة". <ref>[[روبرت ميرتون\|Robert C. Merton]] {{مرجع ويب \| url = http://nobelprize.org/nobel_prizes/economics/laureates/1997/merton-lecture.pdf \| title = Nobel Lecture \| archiveurl = https://web.archive.org/web/20090319202149/http://nobelprize.org/nobel_prizes/economics/laureates/1997/merton-lecture.pdf \| archivedate = 2009-03-19 \| deadurl = no \| accessdate = 2009-08-06 }}</ref> لذلك فهو يركز على اتخاذ القرارات في ظل عدم اليقين في سياق الأسواق المالية ، والنماذج والمبادئ الاقتصادية والمالية الناتجة ، ويهتم باستنباط الآثار القابلة للاختبار أو السياسة من الافتراضات المقبولة. إنه مبني على أسس [[اقتصاد جزئي\|الاقتصاد الجزئي]] [[نظرية القرار\|ونظرية القرار]] . الاقتصاد القياسي هو فرع الاقتصاد المالي الذي يستخدم تقنيات الاقتصاد القياسي لتحديد معالم هذه العلاقات. يرتبط [[رياضيات مالية\|التمويل الرياضي]] بأنه سيشتق ويوسع النماذج الرياضية أو العددية المقترحة من قبل الاقتصاد المالي. لاحظ على الرغم من أن التركيز هناك هو الاتساق الرياضي ، على عكس التوافق مع النظرية الاقتصادية. يركز الاقتصاد المالي في المقام الأول على [[اقتصاد جزئي\|الاقتصاد الجزئي]] ، في حين أن [[نظرية نقدية (اقتصاد)\|الاقتصاد النقدي]] هو في المقام الأول [[اقتصاد كلي\|الاقتصاد الكلي]] بطبيعته. يتم تدريس الاقتصاد المالي عادة على مستوى الدراسات العليا ؛ انظر [[Master of Financial Economics\|ماجستير في الاقتصاد المالي]] . في الآونة الأخيرة ، يتم تقديم شهادات جامعية متخصصة في التخصص. <ref>e.g.: [http://www.kent.ac.uk/courses/undergraduate/126/financial-economics Kent] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20140221212707/http://www.kent.ac.uk/courses/undergraduate/126/financial-economics\|date=2014-02-21}}; [http://www.city.ac.uk/courses/undergraduate/financial-economics City London] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20140223090217/http://www.city.ac.uk/courses/undergraduate/financial-economics\|date=2014-02-23}}; [http://undergradbusiness.ucr.edu/major/financial_economics.html UC Riverside] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20140222044845/http://undergradbusiness.ucr.edu/major/financial_economics.html\|date=2014-02-22}}; [http://www2.le.ac.uk/departments/economics/undergraduate Leicester] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20140222003101/http://www2.le.ac.uk/departments/economics/undergraduate\|date=2014-02-22}}; [http://www.economics.utoronto.ca/index.php/index/undergraduate/load/overview Toronto] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20140221102435/http://www.economics.utoronto.ca/index.php/index/undergraduate/load/overview\|date=2014-02-21}}; [http://economics.umbc.edu/bs-in-financial-economics/ UMBC] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20141230165120/http://economics.umbc.edu/bs-in-financial-economics/\|date=2014-12-30}}</ref> توفر هذه المقالة نظرة عامة واستطلاعًا حول الحقل: للحصول على مزيد من الاشتقاقات ومناقشة فنية أكثر ، راجع المقالات المحددة المرتبطة. == الاقتصاد الأساسي == {\| class="wikitable floatright" width="250" \| رموز تصنيف JEL \|- \| في رموز تصنيف مجلة الأدب الاقتصادي ، يعد الاقتصاد المالي واحدًا من التصنيفات الـ 19 الأولية ، في JEL: G. ويتبع [[اقتصاد دولي\|الاقتصاد]] [[نظرية نقدية (اقتصاد)\|النقدي]] [[اقتصاد دولي\|والدولي]] ويسبق الاقتصاد العام . للاطلاع على التصنيفات الفرعية التفصيلية ، انظر أكواد تصنيف JEL الاقتصاد المالي . ''يستخدم قاموس الجرافيك الجديد للاقتصاد'' (2008 ، الطبعة الثانية) أيضًا رموز JEL لتصنيف إدخالاته في الإصدار 8 ، فهرس الموضوع ، بما في ذلك الاقتصاد المالي في صفحة.   863-64. فيما يلي روابط [[موجز (ملخص)\|لملخصات]] إدخال The New Palgrave [http://www.dictionaryofeconomics.com/dictionary Online] لكل فئة من فئات JEL الأساسية أو الثانوية (10 أو أقل لكل صفحة ، على غرار عمليات بحث [[جوجل\|Google]] ): : [http://www.dictionaryofeconomics.com/search_results?,q=&field=content&edition=all&topicid=G JEL: G] - الاقتصاد المالي : [http://www.dictionaryofeconomics.com/search_results?q=&field=content&edition=all&topicid=G0 JEL: G0] - عام : [http://www.dictionaryofeconomics.com/search_results?q=&field=content&edition=all&topicid=G1 JEL: G1] - [[سوق مالية\|الأسواق المالية العامة]] : [http://www.dictionaryofeconomics.com/search_results?q=&field=content&edition=all&topicid=G2 JEL: G2] - [[مؤسسة مالية\|المؤسسات]] [[خدمات مالية\|والخدمات]] [[مؤسسة مالية\|المالية]] : [http://www.dictionaryofeconomics.com/search_results?q=&field=content&edition=all&topicid=G3 JEL: G3] - [[تمويل الشركات]] [[حوكمة الشركات\|والحوكمة]] ويمكن أيضا إدخالات الفئة الثالثة يمكن البحث. <ref>For example, http://www.dictionaryofeconomics.com/search_results?q=&field=content&edition=all&topicid=G00 {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20130529074942/http://www.dictionaryofeconomics.com/search_results?q=&field=content&edition=all&topicid=G00\|date=2013-05-29}}.</ref> \|} كما ذكر أعلاه ، يستكشف الانضباط بشكل أساسي كيف يمكن [[Homo economicus\|للمستثمرين العقلانيين]] تطبيق [[نظرية القرار]] على مشكلة [[استثمار\|الاستثمار]] . وبالتالي فإن الموضوع مبني على أسس [[اقتصاد جزئي\|الاقتصاد الجزئي]] ونظرية القرار ، ويستخلص العديد من النتائج الرئيسية لتطبيق [[اتخاذ القرار\|صنع القرار في]] ظل عدم اليقين في [[سوق مالية\|الأسواق المالية]] . === القيمة الحالية والتوقع والفائدة === تكمن وراء كل الاقتصاد المالي مفاهيم [[قيمة حالية\|القيمة الحالية]] [[قيمة متوقعة\|والتوقع]] . <ref name="Rubinstein"> [[Mark Rubinstein\|روبنشتاين ، مارك]] . (2005). "لحظات عظيمة في الاقتصاد المالي: رابعا. النظرية الأساسية (الجزء الأول)" ، ''مجلة إدارة الاستثمار'' ، المجلد. 3 ، رقم 4 ، الربع الرابع 2005 ؛ ~ (2006). الجزء الثاني ، المجلد. 4 ، رقم 1 ، الربع الأول 2006. انظر تحت عنوان "الروابط الخارجية". </ref> يسمح حساب القيمة الحالية لصانع القرار بتجميع [[تدفق نقدي\|التدفقات النقدية]] (أو العوائد الأخرى) التي يتم إنتاجها بواسطة الأصل في المستقبل ، إلى قيمة واحدة في التاريخ المعني ، وبالتالي مقارنة فرصتين بسهولة أكبر ؛ وبالتالي هذا المفهوم هو نقطة الانطلاق لاتخاذ القرارات المالية. (تاريخها مبكرًا: يناقش [[فائدة مركبة\|ريتشارد ويت]] [[فائدة مركبة\|الاهتمام المركب]] بعمق بالفعل في عام 1613 ، في كتابه "أسئلة الحساب" ؛ <ref>C. Lewin (1970). [https://www.actuaries.org.uk/system/files/documents/pdf/0121-0132.pdf An early book on compound interest] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20161221163926/https://www.actuaries.org.uk/system/files/documents/pdf/0121-0132.pdf\|date=2016-12-21}}, Institute and Faculty of Actuaries</ref> بتطويره [[Johan de Witt\|يوهان دي ويت]] [[إدموند هالي\|وإدموند هالي]] . ) يتمثل الامتداد الفوري في الجمع بين الاحتمالات والقيمة الحالية ، مما يؤدي إلى [[قيمة متوقعة\|معيار القيمة المتوقعة]] الذي يحدد قيمة الأصول كدالة لأحجام الدفعات المتوقعة واحتمالات حدوثها. (هذه الأفكار تنبع من [[بليز باسكال]] [[بيير دي فيرما\|وبيير دي فيرمات]] . ) ومع ذلك ، تفشل طريقة القرار هذه في النظر في [[تجنب المخاطر\|كره المخاطرة]] ("كما يعرف أي طالب مالي" <ref name="Rubinstein"> [[Mark Rubinstein\|روبنشتاين ، مارك]] . (2005). "لحظات عظيمة في الاقتصاد المالي: رابعا. النظرية الأساسية (الجزء الأول)" ، ''مجلة إدارة الاستثمار'' ، المجلد. 3 ، رقم 4 ، الربع الرابع 2005 ؛ ~ (2006). الجزء الثاني ، المجلد. 4 ، رقم 1 ، الربع الأول 2006. انظر تحت عنوان "الروابط الخارجية". </ref> ). بمعنى آخر ، نظرًا لأن الأفراد يحصلون على [[منفعة\|فائدة]] أكبر من دولار إضافي عندما يكونون فقراء وأقل فائدة عندما يكونون أغنياء نسبياً ، فإن الطريقة هي "ضبط" الوزن المعين لمختلف النتائج ("الحالات") في المقابل. (قد يكون بعض المستثمرين في الواقع [[البحث عن المخاطر\|يبحثون عن المخاطرة]] بدلاً من [[تجنب المخاطر\|تجنب المخاطرة]] ، ولكن نفس المنطق سينطبق). قد يتم وصف الاختيار تحت عدم اليقين هنا بأنه تعظيم الفائدة المتوقعة . أكثر رسميا، مما أدى إلى فرضية فائدة المتوقع تنص على أنه، إذا راضون بعض البديهيات، و [[نظرية ذاتية للقيمة\|ذاتية]] القيمة المرتبطة مقامرة من قبل فرد هو ''أن {{'}}'' [[قيمة متوقعة\|التوقع الإحصائي]] لتقييم نتائج تلك المقامرة. ينشأ الدافع وراء هذه الأفكار من التناقضات المختلفة التي لوحظت في إطار القيمة المتوقعة ، مثل [[St. Petersburg paradox\|مفارقة سان بطرسبرغ]] ؛ انظر أيضا [[Ellsberg paradox\|مفارقة إلسبرغ]] . (التطوير هنا يرجع أصلاً إلى [[دانييل برنولي\|دانييل بيرنولي]] ، وتم إضفاء طابع رسمي عليه لاحقًا بواسطة [[جون فون نيومان]] [[أوسكار مورغينسترن\|وأوسكار مورغنسترن]] ) === التسعير وخالية من التحكيم === ثم تقترن مفاهيم [[نموذج المراجحة\|التحكيم-]] الحر ، "العقلاني" ، التسعير والتوازن مع ما سبق لاستخلاص الاقتصاد المالي "الكلاسيكي" <ref name="Rubinstein2"> انظر روبنشتاين تحت عنوان "الببليوغرافيا". </ref> (أو "الكلاسيكي الجديد" <ref name="Derman">Emanuel Derman, [http://www.emanuelderman.com/media/Scientific_Approach_to_Finance.pdf ''A Scientific Approach to CAPM and Options Valuation''] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20160330002200/http://www.emanuelderman.com/media/Scientific_Approach_to_Finance.pdf\|date=2016-03-30}}</ref> ). التسعير العقلاني هو افتراض أن أسعار الأصول (وبالتالي نماذج تسعير الأصول) ستعكس [[نموذج المراجحة\|السعر الخالي من المراجحة]] للأصل ، حيث إن "أي انحراف عن هذا السعر" سيتم "تحريفه". هذا الافتراض مفيد في تسعير الأوراق المالية ذات الدخل الثابت ، وخاصة السندات ، وهو أساسي لتسعير الأدوات المشتقة. [[توازن اقتصادي\|التوازن الاقتصادي]] هو ، بوجه عام ، حالة [[توازن اقتصادي\|تتوازن]] فيها القوى الاقتصادية مثل العرض والطلب ، وفي غياب التأثيرات الخارجية ، لن تتغير قيم التوازن للمتغيرات الاقتصادية. يتعامل [[نظرية التوازن العام\|التوازن العام]] مع سلوك العرض والطلب والأسعار في الاقتصاد ككل مع العديد من الأسواق المتفاعلة أو العديد منها ، من خلال السعي لإثبات وجود مجموعة من الأسعار ستؤدي إلى توازن شامل. (هذا على عكس التوازن الجزئي ، الذي يحلل فقط الأسواق الموحدة. ) يرتبط المفهومان على النحو التالي: حيث لا تسمح أسعار السوق بمراجحة مربحة ، أي أنها تشتمل على سوق خالية من المراجحة ، ثم يقال إن هذه الأسعار تشكل "توازن موازنة". حدسيًا ، يمكن ملاحظة ذلك من خلال التفكير في أنه في حالة وجود فرصة تحكيم ، فمن المتوقع أن تتغير الأسعار ، وبالتالي ليست في حالة توازن. <ref name="Delbaen_Schachermayer">Freddy Delbaen and Walter Schachermayer. (2004). [http://www.ams.org/notices/200405/what-is.pdf "What is... a Free Lunch?"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20160304061252/http://www.ams.org/notices/200405/what-is.pdf\|date=2016-03-04}} (pdf). Notices of the AMS 51 (5): 526–528</ref> وبالتالي فإن موازنة التحكيم شرط مسبق لتحقيق التوازن الاقتصادي العام. على الفور، وغير الرسمية، وتوسيع هذه الفكرة و [[Fundamental theorem of asset pricing\|النظرية الأساسية في تسعير الأصول]] ، ويظهر أنه عندما تكون الأسواق كما -و صفه هي بالإضافة إلى ذلك (ضمنا وتبعا لذلك) [[Complete market\|كاملة]] قد -one ثم اتخاذ القرارات المالية عن طريق بناء [[Risk-neutral measure\|مقياس المخاطر محايد احتمال]] المقابلة إلى السوق. "اكتمال" هنا يعني أن هناك ثمنًا لكل أصل في كل حالة ممكنة من العالم ، وبالتالي يمكن بناء المجموعة الكاملة من الرهانات المحتملة على دول العالم المستقبلية بأصول موجودة (مع [[أسواق غير احتكاكية\|عدم الاحتكاك]] ) أساسا [[نظام معادلات خطية\|حل في وقت واحد]] ''لن'' الاحتمالات (خالية من المخاطر)، نظرا لارتفاع أسعار ''ن.'' سوف يشتق الاشتقاق الرسمي بحجج التحكيم. <ref name="Rubinstein"> [[Mark Rubinstein\|روبنشتاين ، مارك]] . (2005). "لحظات عظيمة في الاقتصاد المالي: رابعا. النظرية الأساسية (الجزء الأول)" ، ''مجلة إدارة الاستثمار'' ، المجلد. 3 ، رقم 4 ، الربع الرابع 2005 ؛ ~ (2006). الجزء الثاني ، المجلد. 4 ، رقم 1 ، الربع الأول 2006. انظر تحت عنوان "الروابط الخارجية". </ref> <ref name="Delbaen_Schachermayer">Freddy Delbaen and Walter Schachermayer. (2004). [http://www.ams.org/notices/200405/what-is.pdf "What is... a Free Lunch?"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20160304061252/http://www.ams.org/notices/200405/what-is.pdf\|date=2016-03-04}} (pdf). Notices of the AMS 51 (5): 526–528</ref> للاطلاع على مثال [[Rational pricing#Risk neutral valuation\|عملي ،]] انظر [[Rational pricing#Risk neutral valuation\|التسعير الرشيد # التقييم المحايد للمخاطر]] ، حيث يوجد في بيئة مبسطة ، يوجد حالتان محتملتان فقط - للأعلى والأسفل - وحيث ''p'' و (1− ''p'' ) هما الاحتمالان المقابلان (أي ضمني) وبدوره ، التوزيع المشتق ، أو [[Probability measure\|"التدبير"]] . مع وجود هذا الإجراء في مكانه ، فإن عائد أي ورقة مالية (أو محفظة) المتوقعة ، أي ما هو مطلوب ، سوف يساوي بعد ذلك العائد الذي لا ينطوي على مخاطر ، بالإضافة إلى "تسوية للمخاطر" ، <ref name="Rubinstein"> [[Mark Rubinstein\|روبنشتاين ، مارك]] . (2005). "لحظات عظيمة في الاقتصاد المالي: رابعا. النظرية الأساسية (الجزء الأول)" ، ''مجلة إدارة الاستثمار'' ، المجلد. 3 ، رقم 4 ، الربع الرابع 2005 ؛ ~ (2006). الجزء الثاني ، المجلد. 4 ، رقم 1 ، الربع الأول 2006. انظر تحت عنوان "الروابط الخارجية". </ref> أي [[علاوة مخاطرة\|علاوة المخاطر]] الخاصة بالأمان ، وتعويض المدى التي لا يمكن التنبؤ بتدفقاتها النقدية. جميع نماذج التسعير هي متغيرات أساسية لذلك ، مع إعطاء افتراضات و / أو شروط محددة. <ref name="Rubinstein" /> <ref name="Cochrane & Culp">Christopher L. Culp and [[John H. Cochrane]]. (2003). "[http://faculty.chicagobooth.edu/john.cochrane/research/Papers/cochrane-culp%20asset%20pricing.pdf "Equilibrium Asset Pricing and Discount Factors: Overview and Implications for Derivatives Valuation and Risk Management"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20160304190225/http://faculty.chicagobooth.edu/john.cochrane/research/Papers/cochrane-culp%20asset%20pricing.pdf\|date=2016-03-04}}, in ''Modern Risk Management: A History''. Peter Field, ed. London: Risk Books, 2003. {{ردمك\|1904339050}}</ref> يتماشى هذا النهج مع ما [[Financial economics#Present value, expectation and utility\|ورد أعلاه]] ، ولكن مع التوقع القائم على "السوق" (أي خالي من المراجحة ، ووفقًا للنظرية ، وبالتالي في حالة توازن) بدلاً من التفضيلات الفردية. وبالتالي ، مع الاستمرار في المثال ، لتقييم قيمة ورقة مالية معينة ، يتم ضرب التدفقات النقدية المتوقعة في الدول الصاعدة والهابطة من خلال ''p'' و (1- ''p'' ) على التوالي ، ثم يتم [[قيمة حالية\|خصمها]] بسعر فائدة خالي من المخاطر بالإضافة إلى متميزة. بشكل عام ، قد يتم اشتقاق هذه العلاوة بواسطة [[نموذج تقييم الأصول الرأسمالية\|C A P M]] (أو الامتدادات) كما سيظهر تحت [[Financial economics#Uncertainty\|# اليقين]] . === أسعار الدولة === مع إقامة العلاقة أعلاه ، يمكن اشتقاق [[Arrow–Debreu model\|نموذج Arrow-D e b r e u]] المتخصص. تشير هذه النتيجة المهمة إلى أنه في ظل ظروف اقتصادية معينة ، يجب أن يكون هناك مجموعة من الأسعار بحيث يكون إجمالي الإمدادات مساوياً للطلب الكلي على كل سلعة في الاقتصاد. غالبًا ما يتم إجراء التحليل هنا بافتراض وجود ''[[Representative agent\|وكيل تمثيلي]]'' . <ref name="Doyne_Geanakoplos">{{Cite journal\|last=Farmer J. Doyne, Geanakoplos John\|year=2009\|title=The virtues and vices of equilibrium and the future of financial economics\|url=https://campuspress.yale.edu/johngeanakoplos/files/2017/07/63.-The-Virtues-and-Vices-of-Equilbrium-and-the-Future-of-Financial-Economics-2009-26baz0x.pdf\|journal=Complexity\|volume=14\|issue=3\|pages=11–38\|DOI=10.1002/cplx.20261\|arxiv=0803.2996\|bibcode=2009Cmplx..14c..11F}}</ref> ينطبق نموذج Arrow-D e b r e u على الاقتصادات التي تتمتع [[Complete market\|بأسواق كاملة إلى]] أقصى حد ، حيث يوجد سوق لكل فترة زمنية وأسعار آجلة لكل سلعة في جميع الفترات الزمنية. الامتداد المباشر ، إذن ، هو مفهوم ضمان أسعار الدولة (يُطلق عليه أيضًا اسم أمان السهم - D e b r e u) ، وهو عقد يوافق على دفع وحدة واحدة من n u m e r a i r e (عملة أو سلعة) في حالة حدوث حالة معينة ("up") "و" لأسفل "في المثال المبسط أعلاه) في وقت معين في المستقبل وتدفع قيمة الصفر في جميع الولايات الأخرى. ثمن هذا الأمن هو سعر الدولة لهذه الحالة بالذات في العالم. في المثال أعلاه ، فإن أسعار الدولة تعادل القيم الحالية التي تبلغ $ p و $ (1 − p): أي ما الذي سيدفعه اليوم ، على التوالي ، للأوراق المالية ذات الحالة العليا والدنيا ؛ ناقل سعر الحالة هو ناقل أسعار الحالة لجميع الولايات. بالتطبيق على التقييم ، سيكون سعر المشتق اليوم هو ببساطة [السعر الأعلى × المردود المدفوع من الدولة + السعر المقلوب من الدولة × المردود المسقط]] ؛ انظر أدناه فيما يتعلق بعدم وجود أي علاوة المخاطرة هنا. بالنسبة [[توزيع احتمال\|للمتغير العشوائي المستمر الذي]] يشير إلى استمرارية الحالات المحتملة ، يتم العثور على القيمة من خلال [[تكامل\|التكامل]] على كثافة أسعار الولاية ؛ انظر [[Stochastic discount factor\|عامل الخصم العشوائي]] . يتم توسيع هذه المفاهيم لتشمل [[Martingale pricing\|التسعير مارتينجال]] [[Risk-neutral measure\|والتدبير محايد للمخاطر]] ذات الصلة. تجد أسعار الولاية تطبيقًا فوريًا كأداة مفاهيمية (" تحليل المطالبات الطارئة ") ؛ <ref name="Rubinstein"> [[Mark Rubinstein\|روبنشتاين ، مارك]] . (2005). "لحظات عظيمة في الاقتصاد المالي: رابعا. النظرية الأساسية (الجزء الأول)" ، ''مجلة إدارة الاستثمار'' ، المجلد. 3 ، رقم 4 ، الربع الرابع 2005 ؛ ~ (2006). الجزء الثاني ، المجلد. 4 ، رقم 1 ، الربع الأول 2006. انظر تحت عنوان "الروابط الخارجية". </ref> ولكن يمكن تطبيقها أيضًا على مشكلات التقييم. <ref name="corp fin state prices"> انظر de Matos ، وكذلك Bossaerts و Ødegaard ، تحت المراجع. </ref> بالنظر إلى آلية التسعير الموصوفة ، يمكن للمرء تحليل القيمة المشتقة - في الواقع لكل "ورقة مالية" <ref name="Miller"> [[Merton H. Miller]] ، (1999). تاريخ المالية: حساب شاهد عيان ، ''مجلة إدارة المحافظ'' . صيف 1999. </ref> - كتركيبة خطية من أسعارها الحكومية ؛ أي حل الظهر للأسعار الدولة المقابلة لأسعار مشتقة لوحظ. <ref name="Chance2">Don M. Chance (2008). [http://www.bus.lsu.edu/academics/finance/faculty/dchance/Instructional/TN97-13.pdf "Option Prices and State Prices"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20120209215717/http://www.bus.lsu.edu/academics/finance/faculty/dchance/Instructional/TN97-13.pdf\|date=2012-02-09}}</ref> <ref name="corp fin state prices" /> يمكن بعد ذلك استخدام أسعار الحالة المستردة لتقييم الأدوات الأخرى ذات التعرض الأقل من اللازم ، أو لاتخاذ القرارات الأخرى المتعلقة بأقل من اللازم. (عمل B r e e d e n و L i t z e n b e r g e r في عام 1978 <ref>{{Cite journal\|title=Prices of State-Contingent Claims Implicit in Option Prices\|first=Douglas T.\|last=Breeden\|first2=Robert H.\|last2=Litzenberger\|author2-link=Robert Litzenberger\|journal=[[Journal of Business]]\|volume=51\|issue=4\|year=1978\|pages=621–651\|jstor=2352653\|DOI=10.1086/296025}}</ref> أنشأ استخدام أسعار الدولة في الاقتصاد المالي. ) == النماذج الناتجة == [[ملف:MM2.png\|يسار\|تصغير\| Modigliani-Miller Proposition II بدين محفوف بالمخاطر. مع زيادة [[رفع مالي\|الرافعة المالية]] ( D / E ) ، يظل [[وسيط وزني لتكلفة رأس المال\|W A C C]] (k 0) ثابتًا. ]] [[ملف:Markowitz_frontier.jpg\|يسار\|تصغير\| كفاءة الحواف. يشار أحيانًا إلى "القطع الزائد" باسم "M a r k o w i t z Bullet" ، وجزءه المنحدر الصاعد هو الحدود الفعالة إذا لم تتوفر أصول خالية من المخاطر. مع الأصول الخالية من المخاطر ، فإن الخط الثابت هو الحدود الفعالة. يعرض الرسم CAL ، [[Capital allocation line\|خط تخصيص رأس المال]] ، الذي يتكون عندما يكون الأصل الخطير أصل واحد وليس السوق ، وفي هذه الحالة يكون الخط هو C M L. ]] [[ملف:CML-plot.png\|يسار\|تصغير\| خط سوق رأس المال هو خط الظل المرسوم من نقطة الأصل الخالي من المخاطر إلى [[Feasible region\|المنطقة الممكنة]] للأصول الخطرة. تمثل نقطة الظل M [[Market portfolio\|حافظة السوق]] . ينتج C M L عن مزيج من محفظة السوق والأصول الخالية من المخاطر (النقطة L). تؤدي إضافة الرافعة المالية (النقطة R) إلى إنشاء حافظات ذات رافعة موجودة أيضًا في C M L. ]] {\| class="wikitable floatright" width="250" \| {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) :<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) :<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) :<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mo><msub><mi> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) :<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) :<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mi></mrow></msub><mo stretchy="false"> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) :<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mo><mo> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) :<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mo><msub><mi> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) :<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) :<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mi></mrow></msub><mo> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) :<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mo><msub><mi> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) :<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) :<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mi></mrow></msub><mo stretchy="false"> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) :<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mo><mi> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) :<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) :<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mo><msub><mi> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) :<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) :<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mi></mrow></msub><mo stretchy="false"> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) :<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mo><mo> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) :<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mo><msub><mi> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) :<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) :<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mi></mrow></msub><mo stretchy="false"> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) :<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mo></mstyle></mrow> </math>{{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) :<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) :<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </img> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) :<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} \|} [[File:SML-chart.png\|يسار\|تصغير\| [[Security market line\|خط سوق الأوراق المالية]] : يمثل عرض C A P M معدل العائد المتوقع للأوراق المالية الفردية كدالة لمخاطرها المنهجية وغير القابلة للتنوع. ]] [[ملف:Stockpricesimulation.jpg\|يسار\|تصغير\| حركات البني البراقة الهندسية مع معلمات من بيانات السوق. ]] {\| class="wikitable floatright" width="250" \| {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] :<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal"> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] :<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] :<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] :<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] :<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi></mrow></mfrac></mrow><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] :<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] :<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mn><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] :<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mn></mfrac></mrow><msup><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] :<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] :<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mn></mrow></msup><msup><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] :<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] :<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mn></mrow></msup><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mrow><msup><mi mathvariant="normal"> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] :<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] :<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mn></mrow></msup><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] :<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] :<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi><msup><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] :<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] :<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] :<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] :<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] :<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal"> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] :<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] :<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] :<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] :<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi></mrow></mfrac></mrow><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] :<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] :<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] :<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] :<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mo><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] :<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mn></mstyle></mrow> </math>{{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] :<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] :<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </img> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] :<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} \|} {\| class="wikitable floatright" width="250" \| {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mtable displaystyle="true" rowspacing="3pt"><mtr><mtd><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo></mtd><mtd><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><msub><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mn></mrow></msub><mo stretchy="false"> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><msub><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mn></mrow></msub><mo stretchy="false"> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><msup><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mn></mrow></msub></mtd><mtd><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mn><mrow><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><msqrt><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi></msqrt></mrow></mrow></mfrac></mrow><mrow><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mrow><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mrow><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi></mfrac></mrow><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo></mrow><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mrow><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mrow><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><msup><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mn></mrow></msup><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mn></mfrac></mrow></mrow><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo></mrow><mo stretchy="false"> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo></mrow><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mn></mrow></msub></mtd><mtd><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><msub><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mn></mrow></msub><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><msqrt><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi></msqrt></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow> </math>{{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </img> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><msub><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mn></mrow></msub><mo stretchy="false"> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo></mstyle></mrow> </math>{{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </img> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><msub><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mn></mrow></msub><mo stretchy="false"> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi></mstyle></mrow> </math>{{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </img> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}</math> [[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} \|} بتطبيق المفاهيم الاقتصادية أعلاه ، قد نستنتج بعد ذلك مختلف النماذج والمبادئ [[نموذج اقتصادي\|الاقتصادية]] والمالية. كما ذكر أعلاه ، فإن مجالي التركيز المعتادين هما تسعير الأصول وتمويل الشركات ، الأول هو منظور مقدمي رأس المال ، والثاني لمستخدمي رأس المال. هنا ، ولجميع نماذج الاقتصاد المالي (تقريبًا) ، تكون الأسئلة التي يتم تناولها مؤطرة عادةً من حيث "الوقت ، وعدم اليقين ، والخيارات ، والمعلومات" ، <ref name="stanford1">[[ويليام شارب\|William F. Sharpe]], [http://www.stanford.edu/~wfsharpe/mia/int/mia_int2.htm "Financial Economics"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20040604105441/http://www.stanford.edu/~wfsharpe/mia/int/mia_int2.htm\|date=2004-06-04}}, in {{مرجع ويب \| url = http://web.stanford.edu/~wfsharpe/mia/MIA.HTM \| title = ''Macro-Investment Analysis'' \| publisher = Stanford University (manuscript) \| archiveurl = https://web.archive.org/web/20140714034144/http://web.stanford.edu/~wfsharpe/mia/mia.htm \| archivedate = 2014-07-14 \| deadurl = no \| accessdate = 2009-08-06 }}</ref> <ref name="Doyne_Geanakoplos">{{Cite journal\|last=Farmer J. Doyne, Geanakoplos John\|year=2009\|title=The virtues and vices of equilibrium and the future of financial economics\|url=https://campuspress.yale.edu/johngeanakoplos/files/2017/07/63.-The-Virtues-and-Vices-of-Equilbrium-and-the-Future-of-Financial-Economics-2009-26baz0x.pdf\|journal=Complexity\|volume=14\|issue=3\|pages=11–38\|DOI=10.1002/cplx.20261\|arxiv=0803.2996\|bibcode=2009Cmplx..14c..11F}}</ref> كما سنرى أدناه. الوقت: يتم تداول المال الآن مقابل المال في المستقبل. عدم اليقين (أو المخاطرة): مبلغ المال الذي سيتم تحويله في المستقبل غير مؤكد. الخيارات : يمكن لطرف واحد في المعاملة اتخاذ قرار في وقت لاحق يؤثر على التحويلات المالية اللاحقة. [[معلومات كاملة\|المعلومات]] : يمكن للمعرفة بالمستقبل أن تقلل أو ربما تقضي على عدم اليقين المرتبط بالقيمة النقدية المستقبلية (FMV). تطبيق هذا الإطار ، مع المفاهيم المذكورة أعلاه ، يؤدي إلى النماذج المطلوبة. يبدأ هذا الاشتقاق بافتراض "عدم اليقين" ثم يتم توسيعه ليشمل الاعتبارات الأخرى. (يشير هذا القسمة في بعض الأحيان إلى " [[حتمية\|الحتمية]] " و "العشوائية" ، <ref name="Luenberger"> انظر لوينبرجر ''علوم الاستثمار'' ، تحت المراجع. </ref> أو " [[تصادفية\|العشوائية]] ". ) === السياقات === نقطة الانطلاق هنا هي "الاستثمار تحت اليقين". تؤكد [[مبرهنة الانفصال لفيشر\|نظرية فصل فيشر]] أن هدف الشركة هو زيادة قيمتها الحالية إلى الحد الأقصى ، بغض النظر عن تفضيلات مساهميها. ذات الصلة هي نظرية Modigliani-Miller ، التي توضح أنه في ظل ظروف معينة ، لا تتأثر قيمة الشركة بكيفية تمويل هذه الشركة ، ولا تعتمد على سياسة توزيع الأرباح ولا على قرار جمع رأس المال عن طريق إصدار الأسهم أو بيع الديون. يستمر الدليل هنا باستخدام وسيطات التحكيم ، ويعمل كمعيار لتقييم آثار العوامل خارج النموذج التي تؤثر على القيمة. يتم توفير آلية تحديد القيمة (المؤسسية) من خلال ''[[جون بور وليامز\|نظرية قيمة الاستثمار]]'' (John Burr Williams) ، التي تقترح أن يتم احتساب قيمة الأصل باستخدام "التقييم وفقًا لقيم القيمة الحالية". وبالتالي ، بالنسبة للسهم العادي ، فإن القيمة الحقيقية طويلة الأجل هي القيمة الحالية لصافي التدفقات النقدية المستقبلية ، في شكل [[حصة أرباح\|أرباح]] . ما يتبقى هو تحديد سعر الخصم المناسب. تظهر التطورات اللاحقة "عقلانيًا" ، بمعنى رسمي ، أن معدل الخصم المناسب هنا (ينبغي) يعتمد على مخاطرة الأصل بالنسبة للسوق ككل ، بدلاً من تفضيلات مالكيها ؛ انظر أدناه. [[صافي القيمة الحالية\|القيمة]] الحالية الصافية (NPV) هي الامتداد المباشر لهذه الأفكار التي يتم تطبيقها عادة على اتخاذ القرارات بشأن تمويل الشركات (مقدمة من [[Joel Dean (economist)\|جويل دين]] في عام 1951). للحصول على نتائج أخرى ، بالإضافة إلى النماذج المحددة التي تم تطويرها هنا ، راجع قائمة مواضيع "تقييم الأسهم" ضمن [[Outline of finance#Discounted cash flow valuation\|مخطط التمويل # تقييم التدفقات النقدية المخصومة]] . [[Bond valuation\|تقييم السندات]] ، في أن التدفقات النقدية (القسائم وعودة رأس المال) هي الحتمية ، قد تسير بنفس الطريقة. <ref name="Luenberger"> انظر لوينبرجر ''علوم الاستثمار'' ، تحت المراجع. </ref> إن الامتداد الفوري ، [[Bond valuation#Arbitrage-free pricing approach\|وهو سعر السندات الخالي من التحكيم]] ، يقوم بتخفيض كل تدفق نقدي بالسعر المشتق من السوق - أي بسعر الصفر المقابل لكل كوبون - بدلاً من المعدل الإجمالي. لاحظ أنه في العديد من المعالجات ، يسبق تقييم السندات تقييم [[تقييم الأسهم العادية\|حقوق الملكية]] ، والتي بموجبها "التدفقات النقدية (أرباح الأسهم)" غير معروفة ''في حد ذاتها'' . يسمح Williams وما بعده بالتنبؤ به - بناءً على النسب التاريخية أو السياسة المنشورة - ثم يتم التعامل مع التدفقات النقدية باعتبارها حتمية بشكل أساسي ؛ انظر أدناه تحت [[Financial economics#Corporate finance theory\|نظرية تمويل الشركات #]] . يتم استخدام جميع نتائج "اليقين" هذه بشكل شائع في إطار تمويل الشركات. عدم اليقين هو محور "نماذج تسعير الأصول" ، على النحو التالي. === شك === بالنسبة إلى [[نظرية القرار\|"الاختيار في حالة عدم اليقين" ،]] فإن الافتراضين التوأمين للعقلانية وكفاءة السوق ، كما تم تعريفه بشكل أوثق ، يؤديان إلى [[نظرية المحفظة الحديثة]] (M P T) مع [[نموذج تقييم الأصول الرأسمالية\|نموذج تسعير الأصول الرأسمالية]] (CAPM) - نتيجة ''تستند إلى التوازن'' - وإلى [[Black–Scholes model\|Black-Scholes نظرية -Merton]] (BSM ؛ غالبًا ، ببساطة Black-S c h o l e s) [[Valuation of options\|لتسعير الخيار]] - نتيجة ''خالية من المراجحة'' . لاحظ أنه يتم احتساب أسعار المشتقات الأخيرة بحيث تكون خالية من المراجحة فيما يتعلق بأسعار الأوراق المالية الأكثر تحديدًا وتوازنًا ؛ رؤية [[Asset pricing\|تسعير الأصول]] . باختصار ، وبشكل حدسي - ومتسق مع [[Financial economics#Arbitrage-free pricing and equilibrium\|# التسعير والتوازن الخاليين من المراجحة]] أعلاه - يكون الرابط كما يلي. <ref> للحصول على علاج أكثر رسمية ، انظر ، على سبيل المثال: يوجين فاما. 1965. [http://www.cfapubs.org/toc/faj/1965/21/5 يسير عشوائي في أسعار البورصة] . ''[[Financial Analysts Journal\|مجلة المحللين الماليين]]'' ، سبتمبر / أكتوبر 1965 ، المجلد. 21 ، رقم 5: 55-59. </ref> بالنظر إلى القدرة على الاستفادة من المعلومات الخاصة ، يتم تحفيز المتداولين المهتمين بأنفسهم للحصول على معلوماتهم الخاصة والتصرف فيها. عند القيام بذلك ، يساهم المتداولون في المزيد من "الأسعار" الصحيحة ، أي ''الفعالة'' : [[فرضية كفاءة السوق\|فرضية السوق الفعالة]] ، أو EMH ( [[يوجين فاما\|Eugene Fama]] ، 1965). تفترض EMH (ضمنيًا) أن متوسط التوقعات يشكل "توقعات مثالية" ، أي أن الأسعار التي تستخدم جميع المعلومات المتاحة ، مطابقة ''لأفضل تخمين للمستقبل'' : افتراض [[توقعات رشيدة\|التوقعات المنطقية]] . تسمح EMH أنه عند مواجهة معلومات جديدة ، قد يبالغ بعض المستثمرين في رد فعلهم وقد يكون رد فعلهم غير صحيح ، لكن المطلوب هو أن ردود فعل المستثمرين تتبع [[توزيع احتمالي طبيعي\|توزيعا طبيعيا]] - بحيث لا يمكن استغلال التأثير الصافي على أسعار السوق بشكل موثوق تحقيق ربح غير طبيعي. في الحدود التنافسية ، ستعكس أسعار السوق جميع المعلومات المتاحة ، ويمكن أن تتحرك الأسعار فقط استجابة للأخبار ؛ <ref name="Shiller">{{Cite journal\|last=Shiller\|first=Robert J.\|author-link=Robert J. Shiller\|date=2003\|title=From Efficient Markets Theory to Behavioral Finance\|journal=[[Journal of Economic Perspectives]]\|volume=17\|issue=1 (Winter 2003)\|pages=83–104\|url=http://www.econ.yale.edu/~shiller/pubs/p1055.pdf\|accessdate=\|DOI=10.1257/089533003321164967\|archiveurl=https://web.archive.org/web/20150412081613/http://www.econ.yale.edu/~shiller/pubs/p1055.pdf\|archivedate=2015-04-12\|deadurl=no}}</ref> وهذا ، بالطبع ، يمكن أن يكون "جيدًا" أو "سيئًا" ، كبيرًا أو صغيرًا: [[Random walk hypothesis\|فرضية المشي العشوائي]] . وبالتالي ، إذا كانت أسعار الأصول المالية فعالة (على نطاق واسع) ، فلن تستمر الانحرافات عن هذه القيم (التوازن) لفترة طويلة. (انظر [[Earnings response coefficient\|معامل استجابة الأرباح]] . (على مسارات عشوائية في أسعار الأسهم: [[Jules Regnault\|جول رينو]] ، 1863 ؛ [[لوي باشوليي\|لويس باشيلير]] ، 1900 ؛ [[Maurice Kendall\|موريس كيندال]] ، 1953 ؛ [[Paul Cootner\|بول كوتنر]] ، 1964. ) في ظل هذه الظروف ، يمكن عندئذ افتراض أن المستثمرين يتصرفون بطريقة عقلانية: يجب حساب قرارهم الاستثماري أو التأكد من اتباع الخسارة ؛ في المقابل ، عندما تقدم فرصة التحكيم ، يستغلها المراجحون ، مما يعزز هذا التوازن. هنا ، كما هو الحال في حالة اليقين الموضحة أعلاه ، الافتراض المحدد فيما يتعلق بالتسعير هو أن الأسعار تُحسب كقيمة حالية لتوزيعات الأرباح المستقبلية المتوقعة ، <ref name="Cochrane & Culp">Christopher L. Culp and [[John H. Cochrane]]. (2003). "[http://faculty.chicagobooth.edu/john.cochrane/research/Papers/cochrane-culp%20asset%20pricing.pdf "Equilibrium Asset Pricing and Discount Factors: Overview and Implications for Derivatives Valuation and Risk Management"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20160304190225/http://faculty.chicagobooth.edu/john.cochrane/research/Papers/cochrane-culp%20asset%20pricing.pdf\|date=2016-03-04}}, in ''Modern Risk Management: A History''. Peter Field, ed. London: Risk Books, 2003. {{ردمك\|1904339050}}</ref> <ref name="Shiller">{{Cite journal\|last=Shiller\|first=Robert J.\|author-link=Robert J. Shiller\|date=2003\|title=From Efficient Markets Theory to Behavioral Finance\|journal=[[Journal of Economic Perspectives]]\|volume=17\|issue=1 (Winter 2003)\|pages=83–104\|url=http://www.econ.yale.edu/~shiller/pubs/p1055.pdf\|accessdate=\|DOI=10.1257/089533003321164967\|archiveurl=https://web.archive.org/web/20150412081613/http://www.econ.yale.edu/~shiller/pubs/p1055.pdf\|archivedate=2015-04-12\|deadurl=no}}</ref> <ref name="Doyne_Geanakoplos">{{Cite journal\|last=Farmer J. Doyne, Geanakoplos John\|year=2009\|title=The virtues and vices of equilibrium and the future of financial economics\|url=https://campuspress.yale.edu/johngeanakoplos/files/2017/07/63.-The-Virtues-and-Vices-of-Equilbrium-and-the-Future-of-Financial-Economics-2009-26baz0x.pdf\|journal=Complexity\|volume=14\|issue=3\|pages=11–38\|DOI=10.1002/cplx.20261\|arxiv=0803.2996\|bibcode=2009Cmplx..14c..11F}}</ref> حسب المعلومات المتوفرة حاليًا. ما هو مطلوب رغم ذلك هو نظرية لتحديد معدل الخصم المناسب ، أي "العائد المطلوب" ، بالنظر إلى عدم اليقين هذا: يتم توفيره بواسطة MPT و CAPM الخاص به. ذات الصلة ، والعقلانية - بمعنى المراجحة في الاستغلال - تؤدي إلى ظهور بلاك سكولز ؛ قيم الخيار هنا تتفق في نهاية المطاف مع CAPM. بشكل عام ، إذن ، بينما تدرس نظرية المحفظة كيف ينبغي للمستثمرين الموازنة بين المخاطر والعائد عند الاستثمار في العديد من الأصول أو الأوراق المالية ، فإن CAPM أكثر تركيزًا ، ويصف كيف ، في التوازن ، تحدد الأسواق أسعار الأصول فيما يتعلق بمدى خطورة هذه المخاطر. الأهم من ذلك ، ستكون هذه النتيجة مستقلة عن مستوى كره المخاطرة لدى المستثمر و / أو وظيفة الأداة المفترضة ، وبالتالي توفير معدل خصم محدد بسهولة لصناع القرار في تمويل الشركات على [[Financial economics#Certainty\|النحو الوارد أعلاه]] ، <ref name="Jensen&Smith"> [[Michael C. Jensen\|Jensen، Michael C.]] and Smith، Clifford W.، "Theory of Corporate Finance: A Historical Overview". In: ''The Modern Theory of Corporate Finance'' ، New York: McGraw-Hill Inc.، pp. 2-20، 1984. </ref> وبالنسبة للمستثمرين الآخرين. تستمر الحجة على النحو التالي: إذا كان بإمكان المرء إنشاء [[Efficient frontier\|حدود فعالة]] - أي كل مجموعة من الأصول التي تقدم أفضل مستوى متوقع من العائد لمستوى المخاطرة الخاص بها ، انظر الرسم البياني - ثم يمكن تشكيل محافظ كفاءة التباين المتوسط ببساطة على أنها مزيج من حيازات [[عائد خالي من المخاطرة\|الأصول الخالية من المخاطر]] و " [[Market portfolio\|محفظة السوق]] " ( [[Mutual fund separation theorem\|نظرية فصل صناديق الاستثمار المشتركة]] ) ، مع التخطيط هنا للتخطيط كخط [[Capital market line\|لسوق المال]] ، أو CML. بعد ذلك ، بالنظر إلى CML ، فإن العائد المطلوب على الأوراق المالية المحفوفة بالمخاطر سيكون مستقلاً عن [[منفعة\|وظيفة المرافق]] للمستثمر ، وسيتم تحديده فقط من خلال [[تغاير (إحصاء)\|التغاير]] ("بيتا") مع المخاطر الإجمالية ، أي السوق. وذلك لأن المستثمرين هنا يمكنهم بعد ذلك زيادة الفائدة من خلال الرافعة المالية بدلاً من التسعير ؛ انظر مخطط CML. كما يتضح من الصيغة جانبا ، فإن هذه النتيجة تتسق مع ما سبق ، حيث تساوي العائد بلا مخاطرة بالإضافة إلى تعديل للمخاطر. <ref name="Cochrane & Culp">Christopher L. Culp and [[John H. Cochrane]]. (2003). "[http://faculty.chicagobooth.edu/john.cochrane/research/Papers/cochrane-culp%20asset%20pricing.pdf "Equilibrium Asset Pricing and Discount Factors: Overview and Implications for Derivatives Valuation and Risk Management"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20160304190225/http://faculty.chicagobooth.edu/john.cochrane/research/Papers/cochrane-culp%20asset%20pricing.pdf\|date=2016-03-04}}, in ''Modern Risk Management: A History''. Peter Field, ed. London: Risk Books, 2003. {{ردمك\|1904339050}}</ref> (تم تقديم الحدود الفعالة بواسطة [[هاري ماركويتز]] في عام 1952. تم اشتقاق CAPM بواسطة [[Jack L. Treynor\|Jack Treynor]] (1961 ، 1962) ، و [[ويليام شارب\|William F. Sharpe]] (1964) ، و [[John Lintner]] (1965) و [[Jan Mossin]] (1966) بشكل مستقل. ) يوفر Black – Scholes نموذجًا رياضيًا لسوق مالية تحتوي على أدوات [[عقد اشتقاقي\|مشتقة]] ، والمعادلة الناتجة عن سعر [[Option style\|الخيارات الأوروبية]] . يتم التعبير عن النموذج باعتباره معادلة Black-Scholes ، معادلة تفاضلية [[معادلة تفاضلية جزئية\|جزئية]] تصف السعر المتغير للخيار بمرور الوقت ؛ تم اشتقاقها بافتراض وجود [[Geometric Brownian motion\|حركة براونية هندسية]] طبيعية (انظر [[Brownian model of financial markets\|النموذج البراوني للأسواق المالية]] ). تتمثل النظرة المالية الرئيسية وراء النموذج في أنه يمكن للمرء أن يحوط الخيار تمامًا عن طريق شراء وبيع الأصل الأساسي بالطريقة الصحيحة وبالتالي "التخلص من المخاطر" ، مع عدم وجود تسوية للمخاطر من السعر (<math>V</math> ، قيمة ، أو سعر الخيار ، ينمو في <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math>r</math> </mi></mstyle></mrow> </math><math>r</math> <math>r</math> ، معدل خالية من المخاطر. انظر معادلة بلاك شولز التفسير المالي ). <ref name="Rubinstein"> [[Mark Rubinstein\|روبنشتاين ، مارك]] . (2005). "لحظات عظيمة في الاقتصاد المالي: رابعا. النظرية الأساسية (الجزء الأول)" ، ''مجلة إدارة الاستثمار'' ، المجلد. 3 ، رقم 4 ، الربع الرابع 2005 ؛ ~ (2006). الجزء الثاني ، المجلد. 4 ، رقم 1 ، الربع الأول 2006. انظر تحت عنوان "الروابط الخارجية". </ref> <ref name="Cochrane & Culp">Christopher L. Culp and [[John H. Cochrane]]. (2003). "[http://faculty.chicagobooth.edu/john.cochrane/research/Papers/cochrane-culp%20asset%20pricing.pdf "Equilibrium Asset Pricing and Discount Factors: Overview and Implications for Derivatives Valuation and Risk Management"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20160304190225/http://faculty.chicagobooth.edu/john.cochrane/research/Papers/cochrane-culp%20asset%20pricing.pdf\|date=2016-03-04}}, in ''Modern Risk Management: A History''. Peter Field, ed. London: Risk Books, 2003. {{ردمك\|1904339050}}</ref> هذا التحوط ، بدوره ، يعني أن هناك سعرًا واحدًا مناسبًا - بمعنى خالٍ من التحكيم - للخيار. ويتم إرجاع هذا السعر بواسطة صيغة تسعير خيار Black-Scholes. (الصيغة ، وبالتالي السعر ، تتسق مع المعادلة ، لأن الصيغة هي [[معادلة تفاضلية جزئية\|الحل]] للمعادلة. بما أن الصيغة لا تشير إلى العائد المتوقع للسهم ، فإن Black-Scholes يرث حياد المخاطر ؛ متسقة بشكل حدسي مع "القضاء على المخاطر" هنا ، ومتسقة رياضياً مع [[Financial economics#Arbitrage-free pricing and equilibrium\|# التسعير والتوازن الخاليين من التحكيم]] . وبالتالي ، يمكن أيضًا اشتقاق صيغة التسعير مباشرةً من خلال التوقعات المحايدة للمخاطرة. (BSM - [[لوي باشوليي\|بحثان أساسيان في]] عام 1973 <ref name="BlackScholes_paper">{{Cite journal\|title=The Pricing of Options and Corporate Liabilities\|last=Black\|first=Fischer\|last2=Myron Scholes\|journal=Journal of Political Economy\|year=1973\|volume=81\|issue=3\|pages=637–654\|DOI=10.1086/260062}} [https://www.jstor.org/stable/1831029]</ref> <ref name="Merton_paper"> {{Cite journal\|title=Theory of Rational Option Pricing\|last=Merton\|first=Robert C.\|journal=Bell Journal of Economics and Management Science\|year=1973\|volume=4\|issue=1\|pages=141–183\|DOI=10.2307/3003143\|jstor=3003143}} [https://www.jstor.org/stable/3003143]</ref> - يتوافق مع "الإصدارات السابقة من صيغة" [[لوي باشوليي\|Louis Bachelier]] (1900) و [[Edward O. Thorp]] (1967) ؛ <ref name="Haug Taleb">Haug, E. G. and [[نسيم نقولا طالب\|Taleb, N. N.]] (2008): [http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1012075 Why We Have Never Used the Black-Scholes-Merton Option Pricing Formula] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20110503181600/http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1012075\|date=2011-05-03}}, ''Wilmott Magazine'' January 2008</ref> على الرغم من أن هذه كانت "اكتوارية" أكثر في نكهة ، ولم يثبت خصم محايد للمخاطر. <ref name="Derman">Emanuel Derman, [http://www.emanuelderman.com/media/Scientific_Approach_to_Finance.pdf ''A Scientific Approach to CAPM and Options Valuation''][http://www.emanuelderman.com/media/Scientific_Approach_to_Finance.pdf <nowiki>[1]</nowiki>] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20160330002200/http://www.emanuelderman.com/media/Scientific_Approach_to_Finance.pdf\|date=2016-03-30}}</ref> انظر أيضا [[بول سامويلسون\|بول صامويلسون]] (1965). <ref>{{Cite journal\|last=Samuelson Paul\|author-link=Paul Samuelson\|year=1965\|title=A Rational Theory of Warrant Pricing\|url=http://www.dse.unisalento.it/c/document_library/get_file?folderId=1344637&name=DLFE-157230.pdf\|journal=Industrial Management Review\|volume=6\|issue=\|page=2\|accessdate=2017-02-28\|archiveurl=https://web.archive.org/web/20170301092720/http://www.dse.unisalento.it/c/document_library/get_file?folderId=1344637&name=DLFE-157230.pdf\|archivedate=2017-03-01\|deadurl=no}}</ref> حقق فينزينز برونزين (1908) نتائج مبكرة للغاية ، أيضًا. ) كما ذكرنا ، يمكن إثبات أن النموذجين متسقان ؛ ثم ، كما هو متوقع ، فإن الاقتصاد المالي "الكلاسيكي" موحد. هنا ، يمكن اشتقاق معادلة Black Scholes من CAPM ، وبالتالي فإن السعر الذي يتم الحصول عليه من نموذج Black-Scholes يتسق مع العائد المتوقع من CAPM. <ref name="Chance1">Don M. Chance (2008). [http://www.bus.lsu.edu/academics/finance/faculty/dchance/Instructional/TN03-01.pdf "Option Prices and Expected Returns"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20150923195335/http://www.bus.lsu.edu/academics/finance/faculty/dchance/Instructional/TN03-01.pdf\|date=2015-09-23}}</ref> <ref name="Derman">Emanuel Derman, [http://www.emanuelderman.com/media/Scientific_Approach_to_Finance.pdf ''A Scientific Approach to CAPM and Options Valuation''][http://www.emanuelderman.com/media/Scientific_Approach_to_Finance.pdf <nowiki>[1]</nowiki>] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20160330002200/http://www.emanuelderman.com/media/Scientific_Approach_to_Finance.pdf\|date=2016-03-30}}</ref> نظرية Black-Scholes ، على الرغم من أنها مبنية على التسعير الخالي من التحكيم ، تتفق مع تسعير الأصول الرأسمالية القائمة على التوازن. كلا النموذجين ، بدوره ، يتفقان في النهاية مع نظرية Arrow-Debreu ، ويمكن اشتقاقهما من خلال تسعير الدولة ، <ref name="Rubinstein"> [[Mark Rubinstein\|روبنشتاين ، مارك]] . (2005). "لحظات عظيمة في الاقتصاد المالي: رابعا. النظرية الأساسية (الجزء الأول)" ، ''مجلة إدارة الاستثمار'' ، المجلد. 3 ، رقم 4 ، الربع الرابع 2005 ؛ ~ (2006). الجزء الثاني ، المجلد. 4 ، رقم 1 ، الربع الأول 2006. انظر تحت عنوان "الروابط الخارجية". </ref> لمزيد من التوضيح ، وإذا لزم الأمر ، فإن هذه الوحدة توضح ذلك. == ملحقات == العمل الأكثر حداثة يعمم و / أو يمدد هذه النماذج. فيما يتعلق بتسعير الأصول ، تتم مناقشة التطورات في التسعير على أساس التوازن في إطار "نظرية المحفظة" أدناه ، في حين أن "التسعير المشتق" يتعلق بتسعير محايد من المخاطر ، أي خالي من التحكيم. فيما يتعلق باستخدام رأس المال ، تتعلق "نظرية تمويل الشركات" ، بشكل أساسي ، بتطبيق هذه النماذج. === نظرية الحافظة === [[ملف:Pareto_Efficient_Frontier_for_the_Markowitz_Portfolio_selection_problem..png\|يسار\|تصغير\|200x200بك\| قطعة من معيارين عند تعظيم العائد وتقليل المخاطر في [[محفظة استثمارية\|المحافظ المالية]] (نقاط [[أمثلية باريتو\|Pareto الأمثل]] باللون الأحمر) ]] : ''انظر أيضا: [[Post-modern portfolio theory\|نظرية محفظة ما بعد الحداثة]] والتمويل الرياضي إدارة المخاطر والمحفظة: العالم ف .'' تتعلق غالبية التطورات هنا بالعائد المطلوب ، أي التسعير ، وتمديد C A P M الأساسي. تقترح النماذج متعددة العوامل ، مثل نموذج [[Fama–French three-factor model\|Fa m a-F r e n c h ثلاثي العوامل ونموذج]] [[Carhart four-factor model\|C a r h a r t المكون من أربعة عوامل]] ، عوامل أخرى غير عائد السوق كما هو مناسب في التسعير. يقوم نظام [[Intertemporal CAPM\|C A P M in t e rt e m p o r a l]] و [[Intertemporal CAPM\|C A P M]] [[Consumption-based capital asset pricing model\|المعتمد على الاستهلاك]] بتمديد النموذج بشكل مشابه. من خلال [[Intertemporal portfolio choice\|اختيار محفظة i n te r t e m p o r a l]] ، تقوم المستثمر الآن بتحسين محفظتها بشكل متكرر. بينما يدرج إدراج [[استهلاك\|الاستهلاك (بالمعنى الاقتصادي)]] جميع مصادر الثروة ، وليس فقط الاستثمارات القائمة على السوق ، في حساب المستثمر للعائد المطلوب. في حين أن ما سبق يمد C A P M ، فإن [[Single-index model\|نموذج الفهرس الفردي]] هو [[Single-index model\|نموذج]] أكثر بساطة. إنه يفترض ، فقط ، وجود علاقة بين عوائد الأمن والسوق ، دون افتراضات اقتصادية (عديدة) أخرى. من المفيد أنه يبسط تقدير العلاقة بين الأوراق المالية ، مما يقلل بشكل كبير من المدخلات لبناء مصفوفة الارتباط اللازمة لتحسين المحفظة. تختلف [[Arbitrage pricing theory\|نظرية تسعير المراجحة]] (APT ؛ [[ستيفن روس (اقتصادي)\|ستيفن روس]] ، 1976) بالمثل فيما يتعلق بافتراضاتها. APT "تتخلى عن فكرة أن هناك محفظة واحدة مناسبة للجميع في العالم ، و ... استبدالها بنموذج توضيحي لما يدفع عائدات الأصول." <ref> ''نظرية التسعير للتحكيم ،'' الفصل السادس في جوتزمان ، تحت الروابط الخارجية </ref> تقوم بإرجاع العائد المطلوب (المتوقع) للأصل المالي كدالة خطية لمختلف عوامل الاقتصاد الكلي ، ويفترض أن المراجحة يجب أن تعيد الأصول المسعرة بشكل غير صحيح إلى خطها. فيما يتعلق [[Portfolio optimization\|بتحسين المحفظة]] ، فإن [[Black–Litterman model\|نموذج Black-L i t t e rm a n]] يغادر من [[هاري ماركويتز\|نهج M a r k o w i t z الأصلي المتمثل]] في بناء المحافظ عبر [[Efficient frontier\|حدود فعالة]] . يبدأ Black-Li t term a n بدلاً من ذلك بافتراض توازن ، ثم يتم تعديله لمراعاة "وجهات النظر" (أي الآراء المحددة حول عائدات الأصول) للمستثمر المعني للوصول إلى تخصيص أصل مخصص. حيث تعتبر العوامل الإضافية للتقلبات (التقرن ، الانحراف ...) ثم يمكن تطبيق [[Multiple-criteria decision analysis\|تحليل القرار متعدد المعايير]] ؛ هنا اشتقاق محفظة [[أمثلية باريتو\|باريتو فعالة]] . تطبق [[Universal portfolio algorithm\|خوارزمية الحافظة الشاملة]] ( [[توماس كوفر\|Thomas M. Cover]] ) [[تعلم آلي\|التعلم الآلي]] على اختيار الأصول ، والتعلم بشكل تكيفي من البيانات التاريخية. تدرك [[Behavioral portfolio theory\|نظرية الحافظة السلوكية]] أن المستثمرين لديهم أهداف متنوعة وأنشئوا محفظة استثمارية تلبي مجموعة واسعة من الأهداف. [[Copula (probability theory)#Quantitative finance\|تم تطبيق]] Copulas [[Copula (probability theory)#Quantitative finance\|مؤخرًا هنا]] . انظر تحسين الحافظة § تحسين محفظة الأمثل للتقنيات و / أو الأهداف الأخرى. === التسعير المشتق === [[ملف:Arbre_Binomial_Options_Reelles.png\|يسار\|تصغير\| شعرية ذات الحدين مع صيغ CRR ]] {\| class="wikitable floatright" width="250" \| {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mn> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mn><mn> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mn></mfrac></mrow><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><msup><mo stretchy="false"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mn></mrow></msup><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mrow><msup><mi mathvariant="normal"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mn></mrow></msup><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><msup><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mo stretchy="false"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mo> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mo> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mo> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mo stretchy="false"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi></mrow></mfrac></mrow><mo> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi></mrow></mfrac></mrow><mo> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mo> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mn> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mn></mstyle></mrow> </math>{{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </img> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} \|} فيما يتعلق بالتسعير المشتق ، يوفر [[Binomial options pricing model\|نموذج تسعير الخيارات ذات الحدين]] إصدارًا تقديريًا من Black-Scholes ، مفيد لتقييم الخيارات الأمريكية. النماذج المبنية من هذا النوع مبنية - على الأقل ضمنيًا - باستخدام أسعار الحالة (على [[Financial economics#State prices\|النحو الوارد أعلاه]] ) ؛ فيما يتعلق بذلك ، استخدم عدد كبير من الباحثين خيارات لاستخراج أسعار الحالة لمجموعة متنوعة من التطبيقات الأخرى في الاقتصاد المالي. <ref name="Rubinstein"> [[Mark Rubinstein\|روبنشتاين ، مارك]] . (2005). "لحظات عظيمة في الاقتصاد المالي: رابعا. النظرية الأساسية (الجزء الأول)" ، ''مجلة إدارة الاستثمار'' ، المجلد. 3 ، رقم 4 ، الربع الرابع 2005 ؛ ~ (2006). الجزء الثاني ، المجلد. 4 ، رقم 1 ، الربع الأول 2006. انظر تحت عنوان "الروابط الخارجية". </ref> <ref name="Chance1">Don M. Chance (2008). [http://www.bus.lsu.edu/academics/finance/faculty/dchance/Instructional/TN03-01.pdf "Option Prices and Expected Returns"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20150923195335/http://www.bus.lsu.edu/academics/finance/faculty/dchance/Instructional/TN03-01.pdf\|date=2015-09-23}}</ref> <ref name="Chance2">Don M. Chance (2008). [http://www.bus.lsu.edu/academics/finance/faculty/dchance/Instructional/TN97-13.pdf "Option Prices and State Prices"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20120209215717/http://www.bus.lsu.edu/academics/finance/faculty/dchance/Instructional/TN97-13.pdf\|date=2012-02-09}}</ref> بالنسبة إلى [[Option style#Non-vanilla path-dependent "exotic" options\|المشتقات المعتمدة]] على المسار ، يتم استخدام [[Monte Carlo methods for option pricing\|طرق مونت كارلو لتسعير الخيارات]] ؛ هنا النمذجة في وقت مستمر ، ولكن بالمثل يستخدم القيمة المتوقعة للخطر المحايدة. كما تم تطوير [[Option (finance)#Model implementation\|تقنيات رقمية]] مختلفة أخرى . لقد تم تمديد الإطار النظري أيضًا بحيث أصبح [[Martingale pricing\|تسعير مارتينجال]] الآن هو النهج القياسي. التطورات المتعلقة التعقيدات في العودة و / أو التقلب تناقش [[Financial economics#Departures from normality\|أدناه]] . بالاعتماد على هذه التقنيات ، تم تطوير نماذج مشتقة للعديد من التطبيقات الفرعية والتطبيقات الأخرى ، وكلها تستند إلى نفس المنطق (باستخدام " تحليل المطالبة الطارئة "). يسمح [[Real options valuation\|تقييم الخيارات الحقيقية]] بأنه يمكن لأصحاب الخيارات التأثير على أساس الخيار ؛ تفترض نماذج [[Employee stock option#Valuation\|تقييم خيارات أسهم الموظف]] بشكل صريح عدم العقلانية من جانب أصحاب الخيارات ؛ تسمح [[Credit derivative\|مشتقات الائتمان]] بعدم الوفاء بالتزامات الدفع و / أو متطلبات التسليم. يتم الآن تقييم [[Exotic derivative\|المشتقات الغريبة]] بشكل روتيني. يتم التعامل مع وكيل الأصول المتعددة عن طريق المحاكاة أو [[Copula (probability theory)#Quantitative finance\|التحليل القائم على]] الكوبولا. وبالمثل ، بدايةً من أولدريتش فاسيتش (1977) ، تسمح مختلف النماذج ذات المعدلات القصيرة ، وكذلك التقنيات المعتمدة على السعر الآجل H J M و B G M ، بتمديد هذه التقنيات لتشمل المشتقات [[دخل ثابت\|ذات الدخل الثابت]] وأسعار الفائدة . (يعتمد طرازا [[Vasicek model\|V a s i c e k]] و [[Cox–Ingersoll–Ross model\|CIR]] على التوازن ، بينما تعتمد النماذج Ho-Lee والنماذج اللاحقة على التسعير الخالي من التحكيم. ) يتم تمديد تقييم السندات ذات الصلة: يسمح أسلوب [[Bond valuation#Stochastic calculus approach\|حساب التفاضل والتكامل في Stochastic]] ، الذي يستخدم هذه الطرق ، بمعدلات "عشوائية" (مع إعادة سعر خالٍ من المراجحة ، على النحو الوارد أعلاه ) ؛ [[Lattice model (finance)#Hybrid securities\|نماذج شعرية للأوراق المالية المختلطة]] تسمح بتدفقات نقدية غير حتمية (وأسعار عشوائية). على النحو الوارد أعلاه ، اعتمد تسعير المشتقات ( [[أدوية متاحة بدون وصفة\|OTC]] ) على إطار التسعير المحايد لمخاطر B S M ، في ظل افتراضات التمويل بسعر خالٍ من المخاطر والقدرة على تكرار التدفقات النقدية بشكل مثالي حتى يتم التحوط بالكامل. وهذا ، بدوره ، مبني على افتراض وجود بيئة خالية من مخاطر الائتمان. بعد [[الأزمة المالية 2007-2008\|الأزمة المالية في عام 2008]] ، لذلك ، يتم إضافة مسائل مثل مخاطر الائتمان للطرف المقابل ، وتكاليف التمويل وتكاليف رأس المال ، <ref>[http://pure.au.dk/portal-asb-student/files/96440392/Master_Thesis_Pure.pdf "Post-Crisis Pricing of Swaps using xVAs"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20160917015231/http://pure.au.dk/portal-asb-student/files/96440392/Master_Thesis_Pure.pdf\|date=2016-09-17}}, Christian Kjølhede & Anders Bech, Master thesis, [[جامعة آرهوس\|Aarhus University]]</ref> ''وتعديل'' تقييم الائتمان ، أو C V A - ''وتسويات تقييم'' محتملة أخرى ، مجتمعة [[XVA\|x V A]] - تتم إضافتها عمومًا إلى القيمة المشتقة المحايدة للمخاطر. من التغييرات ذات الصلة ، وربما الأكثر جوهرية ، أن الخصم الآن على منحنى مؤشر مبادلة Overnight ، بدلاً من L I B O R كما كان مستخدمًا من قبل. وذلك لأن ما بعد الأزمة ، يعتبر O I S وكيلًا أفضل "للمعدلات الخالية من المخاطر". <ref>{{Cite journal\|title=LIBOR vs. OIS: The Derivatives Discounting Dilemma\|first=John\|last=Hull\|first2=Alan\|last2=White\|journal=[[Journal of Investment Management]]\|volume=11\|issue=3\|year=2013\|pages=14–27\|jstor=\|DOI=}}</ref> (وأيضًا ، من الناحية العملية ، عادة ما تكون الفائدة المدفوعة على [[ضمان إضافي\|ضمان]] ن قدي هي معدل الليلة الواحدة ؛ يُشار إلى خصم O I S ، في بعض الأحيان ، باسم "خصم [[Credit Support Annex\|C S A]] ". ) [[مقايضة مالية\|التسعير مبادلة]] - و، في الواقع، بناء منحنى - يتم تعديل أبعد من ذلك: في السابق، وبلغت قيمة المبادلات قبالة "خصم النفس" منحنى أسعار الفائدة واحد؛ في حين أنه بعد الأزمة ، لاستيعاب خصم O I S ، أصبح التقييم الآن ضمن إطار "متعدد المنحنى" حيث يتم إنشاء "منحنيات التنبؤ" ''لكل'' فترة L I B O R عائمة ، مع خصم على منحنى O I S مشترك ؛ انظر مقايضة سعر الفائدة التقييم والتسعير . === نظرية تمويل الشركات === [[ملف:Manual_decision_tree.jpg\|يسار\|تصغير\| تقييم المشروع عبر شجرة القرار. ]] تم تمديد نظرية تمويل الشركات أيضًا: تعكس التطورات المذكورة أعلاه وتقييم الأصول واتخاذ القرارات بعد الآن "اليقين". كما تمت مناقشته ، فإن طرق مونت كارلو في مجال التمويل ، التي طرحها [[ديفيد بي. هيرتز]] في عام 1964 ، تسمح للمحللين الماليين بإنشاء نماذج "تمويل [[تصادفية\|عشوائية]] أو [[احتمال\|احتمالية]] للشركات" ، على عكس النماذج الثابتة [[حتمية\|والحتمية]] التقليدية ؛ <ref name="Damodaran_Risk">[[Aswath Damodaran]] (2007). [http://www.stern.nyu.edu/~adamodar/pdfiles/papers/probabilistic.pdf "Probabilistic Approaches: Scenario Analysis, Decision Trees and Simulations"]. In ''Strategic Risk Taking: A Framework for Risk Management''. Prentice Hall. {{ردمك\|0137043775}}</ref> انظر تمويل الشركات قياس عدم اليقين . ذات الصلة ، تسمح نظرية الخيارات الحقيقية للمالك - أي الإجراءات الإدارية - التي تؤثر على القيمة الأساسية: من خلال دمج منطق تسعير الخيارات ، يتم تطبيق هذه الإجراءات بعد ذلك على توزيع النتائج المستقبلية ، مع التغيير مع الوقت ، والتي تحدد بعد ذلك تقييم "المشروع" اليوم. <ref name="Damodaran">{{Cite journal\|last=Damodaran\|first=Aswath\|author-link=Aswath Damodaran\|jstor=\|title=The Promise and Peril of Real Options\|journal=NYU Working Paper\|volume=\|issue=S-DRP-05-02\|year=2005\|pages=\|url=http://stern.nyu.edu/~adamodar/pdfiles/papers/realopt.pdf\|accessdate=2016-12-14\|archiveurl=https://web.archive.org/web/20010613082802/http://www.stern.nyu.edu/~adamodar/pdfiles/papers/realopt.pdf\|archivedate=2001-06-13\|deadurl=no}}</ref> وبشكل أكثر تقليدية ، تم استخدام [[شجرة القرار\|أشجار القرارات]] - التي تكمل بعضها البعض - لتقييم المشروعات ، من خلال دمجها في التقييم (جميع) [[حدث (نظرية الاحتمالات)\|الأحداث]] (أو الولايات) [[حدث (نظرية الاحتمالات)\|المحتملة]] [[اتخاذ القرار\|وقرارات الإدارة]] المترتبة عليها ؛ <ref>{{Cite journal\|title=Valuing Risky Projects: Option Pricing Theory and Decision Analysis\|first=James E.\|last=Smith\|first2=Robert F.\|last2=Nau\|url=https://faculty.fuqua.duke.edu/~jes9/bio/Valuing_Risky_Projects.pdf\|journal=Management Science\|volume=41\|issue=5\|year=1995\|pages=795–816\|DOI=10.1287/mnsc.41.5.795\|accessdate=2017-08-17\|archiveurl=https://web.archive.org/web/20100612170613/http://faculty.fuqua.duke.edu/%7Ejes9/bio/Valuing_Risky_Projects.pdf\|archivedate=2010-06-12\|deadurl=no}}</ref> <ref name="Damodaran_Risk">[[Aswath Damodaran]] (2007). [http://www.stern.nyu.edu/~adamodar/pdfiles/papers/probabilistic.pdf "Probabilistic Approaches: Scenario Analysis, Decision Trees and Simulations"]. In ''Strategic Risk Taking: A Framework for Risk Management''. Prentice Hall. {{ردمك\|0137043775}}</ref> معدل الخصم الصحيح هنا يعكس "كل نقطة غير قابلة للتنوع تتطلع إلى الأمام". <ref name="Damodaran_Risk" /> (هذه التقنية تسبق استخدام خيارات حقيقية في تمويل الشركات ؛ <ref>See for example: {{Cite journal\|title=Decision Trees for Decision Making\|first=John F.\|url=https://hbr.org/1964/07/decision-trees-for-decision-making\|last=Magee\|journal=[[Harvard Business Review]]\|volume=July 1964\|year=1964\|pages=795–816\|accessdate=2017-08-16\|archiveurl=https://web.archive.org/web/20170816192517/https://hbr.org/1964/07/decision-trees-for-decision-making\|archivedate=2017-08-16\|deadurl=no}}</ref> فهي مستعارة من [[بحوث العمليات]] ، وليست "تنمية اقتصادية مالية" ''في حد ذاتها'' . ) يرتبط هذا ، هو التدفقات النقدية المتوقعة في [[تقييم الأسهم العادية\|تقييم الأسهم]] . في كثير من الحالات ، بعد وليامز أعلاه ، تم تخفيض متوسط (أو على الأرجح) التدفقات النقدية ، <ref name="Markowitz_interview">{{Cite journal\|last=Kritzman\|first=Mark\|jstor=\|title=An Interview with Nobel Laureate Harry M. Markowitz\|journal=Financial Analysts Journal\|volume=73\|issue=4\|year=2017\|pages=16–21\|DOI=10.2469/faj.v73.n4.3}}</ref> بدلاً من معاملة أكثر صحة لكل ولاية في ظل عدم اليقين ؛ انظر التعليقات تحت [[نمذجة مالية\|النمذجة المالية § المحاسبة]] . في العلاجات الأكثر حداثة ، إذن ، فإن التدفقات النقدية ''المتوقعة'' ( [[قيمة متوقعة\|بالمعنى الرياضي]] ) مجتمعة في القيمة الإجمالية لكل فترة تنبؤية يتم خصمها. <ref name="Kruschwitz and Löffler"> انظر Kruschwitz و Löffler لكل ببليوغرافيا. </ref> <ref name="welch">[http://book.ivo-welch.info/read/chap13.pdf "Capital Budgeting Applications and Pitfalls"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20170815234404/http://book.ivo-welch.info/read/chap13.pdf\|date=2017-08-15}}. Ch 13 in [[Ivo Welch]] (2017). ''Corporate Finance'': 4th Edition</ref> <ref>George Chacko and Carolyn Evans (2014). ''Valuation: Methods and Models in Applied Corporate Finance''. FT Press. {{ردمك\|0132905221}}</ref> <ref name="Damodaran_Risk">[[Aswath Damodaran]] (2007). [http://www.stern.nyu.edu/~adamodar/pdfiles/papers/probabilistic.pdf "Probabilistic Approaches: Scenario Analysis, Decision Trees and Simulations"]. In ''Strategic Risk Taking: A Framework for Risk Management''. Prentice Hall. {{ردمك\|0137043775}}</ref> وباستخدام C A P M - أو الامتدادات - يكون الخصم هنا بسعر خالٍ من المخاطر بالإضافة إلى علاوة مرتبطة بعدم اليقين في التدفقات النقدية للمشروع أو المشروع. <ref name="Damodaran_Risk" /> <ref name="welch" /> تتضمن التطورات الأخرى هنا <ref> انظر جنسن و سميث تحت عنوان "الروابط الخارجية" ، وكذلك روبنشتاين تحت عنوان "المراجع" </ref> [[مشكلة الموكل والوكيل\|نظرية الوكالة]] ، التي تحلل الصعوبات في تحفيز إدارة الشركات ("الوكيل") للعمل بما يحقق مصلحة المساهمين ("الموكل") ، وليس لمصالحهم الخاصة. [[Clean surplus accounting\|توفر محاسبة الفوائض النظيفة]] [[Residual income valuation\|وتقييم الدخل المتبقي]] ذي الصلة نموذجًا يعيد السعر كدالة للأرباح والعوائد المتوقعة والتغيير في [[قيمة دفترية\|القيمة الدفترية]] ، بدلاً من توزيعات الأرباح. ينشأ هذا النهج ، إلى حد ما ، بسبب التناقض الضمني في رؤية القيمة كدالة لتوزيعات الأرباح ، مع الإبقاء أيضًا على أن سياسة توزيع الأرباح لا يمكن أن تؤثر على القيمة وفقًا لمبدأ Modigliani و Miller " مبدأ عدم الصلة " ؛ انظر سياسة توزيع الأرباح عدم أهمية سياسة توزيع الأرباح . التطبيق النموذجي للخيارات الحقيقية هو مشاكل نوع [[موازنة رأسمالية\|الميزانية الرأسمالية]] كما هو موضح. ومع ذلك ، يتم تطبيقها أيضًا على مسائل [[هيكل رأس المال]] وسياسة توزيع الأرباح ، وعلى التصميم ذي الصلة لأوراق مالية الشركات ؛ <ref name="Garbade">Kenneth D. Garbade (2001). ''Pricing Corporate Securities as Contingent Claims.'' [[MIT Press]]. {{ردمك\|9780262072236}}</ref> وبما أن حاملي الأسهم والسندات لديهم وظائف موضوعية مختلفة ، في تحليل مشاكل الوكالة ذات الصلة. <ref name="Damodaran">{{Cite journal\|last=Damodaran\|first=Aswath\|author-link=Aswath Damodaran\|jstor=\|title=The Promise and Peril of Real Options\|journal=NYU Working Paper\|volume=\|issue=S-DRP-05-02\|year=2005\|pages=\|url=http://stern.nyu.edu/~adamodar/pdfiles/papers/realopt.pdf\|accessdate=2016-12-14\|archiveurl=https://web.archive.org/web/20010613082802/http://www.stern.nyu.edu/~adamodar/pdfiles/papers/realopt.pdf\|archivedate=2001-06-13\|deadurl=no}}</ref> في جميع هذه الحالات ، يمكن أن توفر الأسعار الحكومية المعلومات الضمنية في السوق المتعلقة بالشركة ، على النحو الوارد أعلاه ، والتي يتم تطبيقها بعد ذلك على التحليل. على سبيل المثال ، يمكن (يجب) تسعير [[سند قابل للتحويل\|السندات القابلة للتحويل]] بما يتفق مع الأسعار الحكومية لأسهم الشركة. <ref name="corp fin state prices"> انظر de Matos ، وكذلك Bossaerts و Ødegaard ، تحت المراجع. </ref> <ref name="Kruschwitz and Löffler"> انظر Kruschwitz و Löffler لكل ببليوغرافيا. </ref> == التحديات والنقد == كما ذكر أعلاه ، هناك صلة وثيقة للغاية بين (1) فرضية المشي العشوائي ، مع التوقعات المرتبطة بأن تغيرات الأسعار يجب أن تتبع [[توزيع احتمالي طبيعي\|التوزيع الطبيعي]] ، من ناحية ، و (2) كفاءة السوق [[توقعات رشيدة\|والتوقعات المنطقية]] ، من ناحية أخرى. لاحظ ، مع ذلك ، أنه يتم ملاحظة حالات الخروج (الواسعة) عن هذه ، وبالتالي ، هناك ، على التوالي ، مجموعتان رئيسيتان من التحديات. === المغادرين من الحياة الطبيعية === [[ملف:Ivsrf.gif\|يسار\|تصغير\| سطح التقلب الضمني. يمثل المحور Z تقلبًا ضمنيًا في المئة ، وتمثل محاور X و Y دلتا الخيار ، والأيام حتى الاستحقاق. ]] كما تمت مناقشته ، فإن الافتراضات القائلة بأن أسعار السوق تتبع [[سير عشوائي\|مسارًا عشوائيًا]] و / أو أن عوائد الأصول يتم توزيعها بشكل طبيعي هي أمور أساسية. ومع ذلك ، تشير الدلائل التجريبية إلى أن هذه الافتراضات قد لا تصمد (انظر خطر التعرق ، مخاطر الانحراف ، [[الذيل الطويل]] ) وأنه في الممارسة العملية ، يعدل التجار والمحللون ومديرو المخاطر بشكل متكرر "النماذج القياسية" (انظر نموذج المخاطر ). في الواقع ، اكتشف [[بينوا ماندلبروت\|B e n o i t Mandelbrot]] بالفعل في الستينيات من القرن الماضي أن التغيرات في الأسعار المالية لا تتبع [[توزيع احتمالي طبيعي\|توزيعًا غوسيًا]] ، وهو الأساس لنظرية تسعير الخيارات ، على الرغم من أن هذه الملاحظة كانت بطيئة في العثور على طريقها إلى الاقتصاد المالي السائد. [[Financial models with long-tailed distributions and volatility clustering\|تم تقديم نماذج مالية ذات توزيعات طويلة الذيل وتجمعات متقلبة]] للتغلب على مشاكل الواقعية للنماذج المالية "الكلاسيكية" أعلاه ؛ بينما تسمح [[Jump diffusion#In economics and finance\|نماذج الانتقال السريع]] لأسعار (الخيار) بدمج [[Jump process\|"القفزات"]] في السعر الفوري . <ref name="holes">{{Cite journal\|title=How to use the holes in Black-Scholes\|first=Fischer\|last=Black\|journal=[[Journal of Applied Corporate Finance]]\|volume=1\|issue=Jan\|year=1989\|pages=67–73\|jstor=\|DOI=10.1111/j.1745-6622.1989.tb00175.x}}</ref> وبالمثل ، يستكمل مديرو المخاطر (أو البديل) [[Value at risk\|القيمة]] القياسية في نماذج [[Value at risk\|المخاطر]] [[Historical simulation (finance)\|بمحاكاة تاريخية]] ، [[Mixture model#A financial model\|ونماذج خليط]] ، [[تحليل العنصر الرئيسي\|وتحليل مكون رئيسي]] ، [[Extreme value theory\|ونظرية القيمة القصوى]] ، فضلاً عن نماذج [[Volatility clustering\|لتجميع التقلب]] . <ref>III.A.3 in Carol Alexander, ed. ''The Professional Risk Managers' Handbook: A Comprehensive Guide to Current Theory and Best Practices''. PRMIA Publications (January 2005). {{ردمك\|978-0976609704}}</ref> لمزيد من المناقشة رؤية الذيل الدهون § التوزيع التطبيقات في الاقتصاد ، والقيمة المعرضة للخطر النقد . مديرو الحافظة ، وبالمثل ، قاموا بتعديل معايير وخوارزميات التحسين الخاصة بهم ؛ انظر [[Financial economics#Portfolio theory\|نظرية محفظة #]] أعلاه. يرتبط ارتباطًا وثيقًا [[Volatility smile\|بابتسامة التقلب]] ، حيث يُلاحظ أن [[Implied volatility\|التقلب الضمني]] - التقلب المقابل لسعر B S M - ''يختلف'' كدالة [[Strike price\|لسعر الإضراب]] (أي [[Moneyness\|النقود]] ) ، وهذا صحيح فقط إذا كان توزيع تغيير السعر غير طبيعي ، على عكس ذلك المفترض بواسطة B S M. يصف مصطلح مصطلح التقلب مدى اختلاف التقلب (الضمني) بالنسبة للخيارات ذات الصلة مع آجال استحقاق مختلفة. سطح التقلب الضمني هو ثم مؤامرة سطح ثلاثية الأبعاد من ابتسامة التقلب وهيكل المدى. هذه الظواهر التجريبية تنفي افتراض التقلب المستمر والسجلات الطبيعية - التي بنيت عليها بلاك سكولز ؛ <ref name="Haug Taleb">Haug, E. G. and [[نسيم نقولا طالب\|Taleb, N. N.]] (2008): [http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1012075 Why We Have Never Used the Black-Scholes-Merton Option Pricing Formula] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20110503181600/http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1012075\|date=2011-05-03}}, ''Wilmott Magazine'' January 2008</ref> <ref name="holes">{{Cite journal\|title=How to use the holes in Black-Scholes\|first=Fischer\|last=Black\|journal=[[Journal of Applied Corporate Finance]]\|volume=1\|issue=Jan\|year=1989\|pages=67–73\|jstor=\|DOI=10.1111/j.1745-6622.1989.tb00175.x}}</ref> انظر نموذج بلاك سكولز تقلب ابتسامة . نتيجة لذلك ، يستخدم المتداولون (ومديرو المخاطر) نماذج "متسقة مع الابتسامة" ، أولاً ، عند تقييم المشتقات التي لم يتم تعيينها مباشرة إلى السطح ، مما يسهل تسعير المجموعات الأخرى ، مثل مجموعات الأسعار / النضج غير المشتقة ، أو المشتقات غير الأوروبية ، وعموما لأغراض التحوط. الطريقتان الرئيسيتان هما [[Local volatility\|التقلب المحلي وتقلب]] [[Stochastic volatility\|مؤشر ستوكاستيك]] . الأول يعيد التقلبات "المحلية" إلى كل نقطة زمنية [[Finite difference methods for option pricing\|محددة]] للتقييم القائم على [[Finite difference methods for option pricing\|الفروق]] أو [[Monte Carlo methods for option pricing\|المحاكاة]] - أي على عكس التذبذب الضمني ، والذي يبقى ثابتًا بشكل عام. وبهذه الطريقة ، تكون الأسعار المحسوبة - والهياكل الرقمية - متسقة مع السوق بطريقة خالية من المراجحة. النهج الثاني يفترض أن تقلب السعر الأساسي هو عملية عشوائية وليس ثابتة. يتم أولاً [[Stochastic volatility#Calibration and estimation\|"معايرة"]] النماذج هنا للأسعار المرصودة ، ثم يتم تطبيقها على التقييم المعني ؛ الأكثر شيوعًا هي [[Heston model\|H e s t o n]] و [[SABR volatility model\|S A B R]] و [[Constant elasticity of variance model\|C E V]] . يعالج هذا النهج بعض المشكلات المحددة مع التحوط في ظل التقلبات المحلية. <ref>{{Cite journal\|title=Managing smile risk\|first=Patrick\|last=Hagan\|displayauthors=etal\|journal=[[Wilmott Magazine]]\|volume=\|issue=Sep\|year=2002\|pages=84–108\|jstor=\|DOI=}}</ref> تتعلق التقلبات المحلية بالأشجار الضمنية ذات الحدين و الأشجار المستندة إلى [[Lattice model (finance)\|شعرية]] - تقديرا أساسيا للنهج - والتي تستخدم بالمثل في التسعير هذه مبنية على أسعار الدولة المستردة من السطح. تسمح أشجار E d g e w o r t h ذات الحدين بوجود [[Skewness\|انحراف]] وخرط محدد (أي غير غاوسي) في السعر الفوري ؛ بسعر هنا ، فإن الخيارات ذات الضربات المختلفة ستعيد التقلبات الضمنية المختلفة ، ويمكن معايرة الشجرة حسب الابتسامة على النحو المطلوب. <ref>See for example Pg 217 of: Jackson, Mary; Mike Staunton (2001). ''Advanced modelling in finance using Excel and VBA''. New Jersey: Wiley. {{ردمك\|0-471-49922-6}}.</ref> كما تم تطوير [[Closed-form expression\|نماذج مقفلة ذات]] أغراض مماثلة. <ref> وتشمل هذه: [[Robert A. Jarrow\|Jarrow]] و Rudd (1982) ؛ Corrado and Su (1996)؛ [[David K. Backus\|Backus]] و Foresi و Wu (2004). انظر: Emmanuel Jurczenko ، Bertrand Maillet & Bogdan Negrea ، 2002. "إعادة النظر في نماذج تسعير الخيار التقريبي متعدد اللحظات: مقارنة عامة (الجزء 1)". ورقة عمل ، [[London School of Economics and Political Science\|كلية لندن للاقتصاد والعلوم السياسية]] . </ref> كما ذكر أعلاه ، يفترض B S M - ونماذج المشتقات الأخرى عادة - (د) القدرة على تكرار التدفقات النقدية تمامًا بحيث يتم التحوط بالكامل ، ومن ثم إلى الخصم دون معدل المخاطرة. وهذا ، بدوره ، مبني على افتراض وجود بيئة خالية من مخاطر الائتمان. بعد الأزمة ، إذن ، يتم إجراء العديد من التعديلات على القيمة x على القيمة المشتقة من المخاطر المحايدة. لاحظ أن هذه العناصر ''إضافية'' لأي تأثير على الابتسامة أو السطح: هذا صحيح لأن السطح مبني على بيانات الأسعار المتعلقة بالمراكز المضمونة بالكامل ، وبالتالي لا يوجد " حساب مزدوج " لمخاطر الائتمان (وما إلى ذلك) عند تضمين x V A. (أيضًا ، لو لم يكن الأمر كذلك ، فسيكون لكل طرف مقابل سطحه الخاص. . . ) === المغادرين من العقلانية === {\| class="wikitable floatright" width="200" \|- align="center" \| colspan="1" \| الشذوذ في السوق والألغاز الاقتصادية \|- \| rowspan="2" \| * تأثير التقويم تأثير يناير سانتا كلوز تجمع ** بيع في مايو * [[رأسمال مغلق\|لغز نهاية مغلقة الصندوق]] * لغز الارباح * الإنصاف لغز المنزل التحيز * لغز قسط الأسهم * إلى الأمام الشذوذ قسط * انخفاض الشذوذ الشذوذ * الزخم الشذوذ * بعد إعلان الأرباح الانجراف * الألغاز الحقيقية لسعر الصرف \|} كما رأينا ، هناك افتراض شائع هو أن صناع القرار المالي يتصرفون بعقلانية. رؤية [[Homo economicus\|هومو الاقتصادية]] . لكن في الآونة الأخيرة ، تحدى الباحثون في [[علم اقتصاد تجريبي\|الاقتصاد]] [[Experimental finance\|التجريبي والتمويل التجريبي]] هذا الافتراض [[دليل تجريبي\|تجريبياً]] . كما يتم تحدي هذه الافتراضات من [[نظرية\|الناحية النظرية]] ، من خلال [[اقتصاد سلوكي\|التمويل السلوكي]] ، وهو مجال يتعلق في المقام الأول بالقيود المفروضة على عقلانية العوامل الاقتصادية. تمشيا مع هذه النتائج ومكملة لها ، تم توثيق العديد من [[Market anomaly\|الحالات الشاذة]] المستمرة في [[Market anomaly\|السوق ، والتي تمثل تشوهات في]] الأسعار و / أو العودة - على سبيل المثال [[Size premium\|أقساط الحجم]] - والتي تتعارض مع [[فرضية كفاءة السوق\|فرضية السوق الفعالة]] ؛ [[Calendar effect\|تأثيرات التقويم]] هي أفضل مجموعة معروفة هنا. تتعلق هذه [[Economic puzzle\|الألغاز الاقتصادية]] المختلفة ، المتعلقة بالظواهر التي تتناقض مع النظرية بالمثل. ينشأ ''[[Equity premium puzzle\|لغز علاوة الأسهم]]'' ، على سبيل المثال ، في أن الفرق بين العوائد الملحوظة على الأسهم مقارنة بالسندات الحكومية أعلى باستمرار من [[Abnormal return\|عائد]] [[علاوة مخاطرة\|المخاطرة في]] الأسهم العقلانية التي ينبغي على المستثمرين طلبها ، وهو " [[Abnormal return\|عائد غير طبيعي]] ". للحصول على مزيد من السياق ، انظر [[Random walk hypothesis#A non-random walk hypothesis\|فرضية المشي العشوائي § فرضية المشي العشوائية]] ، والشريط الجانبي لحالات محددة. بشكل أعم ، وخاصة بعد [[الأزمة المالية 2007-2008\|الأزمة المالية في 2007-2010]] ، تعرض الاقتصاد المالي [[رياضيات مالية\|والتمويل الرياضي]] إلى نقد أعمق ؛ جدير بالذكر هنا [[نسيم نقولا طالب\|نسيم نيكولاس طالب]] ، الذي يدعي أن أسعار الأصول المالية لا يمكن وصفها بالنماذج البسيطة المستخدمة حاليًا ، مما يجعل الكثير من الممارسات الحالية غير ذات صلة ، وفي أسوأ الأحوال ، مضللة بشكل خطير ؛ رؤية [[نظرية البجعة السوداء]] ، توزيع طالب . كان موضوع الاهتمام العام الذي تمت دراسته في السنوات الأخيرة هو [[أزمة مالية\|الأزمات المالية]] ، <ref>From ''[[The New Palgrave Dictionary of Economics]]'', Online Editions, 2011, 2012, with abstract links:<br /><br />   • [http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2012_F000330&edition=1 "regulatory responses to the financial crisis: an interim assessment"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20130529101109/http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2012_F000330&edition=1\|date=2013-05-29}} by [[هوارد ديفيز\|Howard Davies]]<br /><br />   • [http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2011_C000621&edition= "Credit Crunch Chronology: April 2007–September 2009"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20130529092712/http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2011_C000621&edition=\|date=2013-05-29}} by The Statesman's Yearbook team<br /><br />   • [http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2011_M000430&edition=current&q= "Minsky crisis"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20130529172102/http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2011_M000430&edition=current&q=\|date=2013-05-29}} by [[L. Randall Wray]]<br /><br />   • [http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2011_E000326&edition=current&q= "euro zone crisis 2010"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20130529092726/http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2011_E000326&edition=current&q=\|date=2013-05-29}} by [[Daniel Gros]] and Cinzia Alcidi.<br /><br />   • [[Carmen M. Reinhart]] and [[Kenneth S. Rogoff]], 2009. ''This Time Is Different: Eight Centuries of Financial Folly'', Princeton. [http://press.princeton.edu/titles/8973.html Description] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20130118213207/http://press.princeton.edu/titles/8973.html\|date=2013-01-18}}, ch. 1 ("Varieties of Crises and their Dates". pp. [http://press.princeton.edu/chapters/s8973.pdf 3-20)] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20120925065855/http://press.princeton.edu/chapters/s8973.pdf\|date=2012-09-25}}, and chapter-preview [https://books.google.com/books?id=ak5fLB24ircC&printsec=frontcover&source=find&pg=PR7gbs_atb#v=onepage&q&f=false links.]</ref> وفشل الاقتصاديات المالية في تشكيلها. (المشكلة ذات الصلة هي [[مخاطر نظمية\|المخاطر النظامية]] : حيث تحتفظ الشركات بأوراق مالية فيما بينها ، فإن الترابط قد يستلزم "سلسلة تقييم" - وأداء شركة واحدة ، أو أمان ، سوف يؤثر هنا على الجميع ، وهي ظاهرة لا يمكن صياغتها بسهولة ، بغض النظر عما إذا النماذج الفردية صحيحة. انظر [[مخاطر نظمية\|المخاطر النظامية § عدم كفاية نماذج التقييم الكلاسيكية]] ؛ [[Cascades in financial networks\|شلالات في الشبكات المالية]] ؛ [[Flight-to-quality\|رحلة إلى الجودة]] . ) تشمل مجالات البحث التي تحاول شرح (أو على الأقل نموذج) هذه الظواهر والأزمات ، <ref name="Doyne_Geanakoplos">{{Cite journal\|last=Farmer J. Doyne, Geanakoplos John\|year=2009\|title=The virtues and vices of equilibrium and the future of financial economics\|url=https://campuspress.yale.edu/johngeanakoplos/files/2017/07/63.-The-Virtues-and-Vices-of-Equilbrium-and-the-Future-of-Financial-Economics-2009-26baz0x.pdf\|journal=Complexity\|volume=14\|issue=3\|pages=11–38\|DOI=10.1002/cplx.20261\|arxiv=0803.2996\|bibcode=2009Cmplx..14c..11F}}</ref> [[Noise trader\|تجارة الضوضاء]] [[Market microstructure\|والبنية المجهرية للسوق]] ونماذج العوامل غير المتجانسة . يمتد هذا الأخير إلى [[Agent-based computational economics\|الاقتصاد الحسابي القائم على الوكيل]] ، حيث يتم التعامل مع السعر [[تولد\|كظاهرة ناشئة]] ، الناتجة عن تفاعل مختلف المشاركين في السوق (الوكلاء). تقول فرضية السوق الصاخبة أن الأسعار يمكن أن تتأثر بالمضاربين وتجار الزخم ، وكذلك من [[تداول من الداخل\|الداخل]] والمؤسسات التي غالباً ما تشتري وتبيع الأسهم لأسباب لا علاقة لها بالقيمة الأساسية ؛ انظر [[Noise (economic)\|الضوضاء (الاقتصادية)]] . [[Adaptive market hypothesis\|فرضية السوق التكيفية]] هي محاولة للتوفيق بين فرضية السوق الفعالة والاقتصاد السلوكي ، من خلال تطبيق مبادئ [[تطور\|التطور]] على التفاعلات المالية. بدلاً من ذلك ، تُظهر [[Information cascade\|سلسلة المعلومات]] المشاركين في السوق وهم يشاركون في نفس أفعال الآخرين (" [[سلوك القطيع]] ") ، على الرغم من التناقضات مع معلوماتهم الخاصة. وقد تم تطبيق [[Copula (probability theory)#Quantitative finance\|النمذجة المستندة إلى Copula]] بالمثل. انظر أيضًا [[Hyman Minsky#Minsky's financial instability hypothesis\|"فرضية عدم الاستقرار المالي" التي]] [[Hyman Minsky\|وضعها هيمان مينسكي]] ، بالإضافة إلى مقاربة [[جورج سوروس]] ، [[جورج سوروس\|الانعكاسية ، الأسواق المالية ، والنظرية الاقتصادية]] . ولكن على الجانب الآخر ، أظهرت العديد من الدراسات أنه على الرغم من هذه الانحرافات عن الكفاءة ، إلا أن أسعار الأصول عادةً ما تمشي بشكل عشوائي ، وبالتالي لا يمكن للمرء أن يتفوق باستمرار على متوسطات السوق ( "ألفا" ). <ref>[[ويليام شارب\|William F. Sharpe]] (1991). [http://www.stanford.edu/~wfsharpe/art/active/active.htm "The Arithmetic of Active Management"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20131113071513/http://www.stanford.edu/~wfsharpe/art/active/active.htm\|date=2013-11-13}}. ''Financial Analysts Journal'' Vol. 47, No. 1, January/February</ref> لذلك فإن الأثر العملي هو أن الاستثمار السلبي (على سبيل المثال من خلال [[Index fund\|صناديق المؤشرات]] منخفضة التكلفة) ينبغي ، في المتوسط ، أن يخدم بشكل أفضل من أي استراتيجية نشطة أخرى. <ref name="two">[[ويليام شارب\|William F. Sharpe]] (2002). [http://www.stanford.edu/~wfsharpe/art/talks/indexed_investing.htm ''Indexed Investing: A Prosaic Way to Beat the Average Investor''] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20131114160728/http://www.stanford.edu/~wfsharpe/art/talks/indexed_investing.htm\|date=2013-11-14}}. Presention: [[Monterey Institute of International Studies]]. Retrieved May 20, 2010.</ref> [[Burton Malkiel\|تعد لعبة Burton M a l k i e l]] ''[[A Random Walk Down Wall Street\|للمشي العشوائي في وول ستريت]]'' - التي نُشرت لأول مرة في عام 1973 ، وفي عددها الحادي عشر اعتبارًا من عام 2015 - تعميمًا شائعًا لهذه الحجج. (راجع أيضًا [[John C. Bogle\|John C B o g l e]] 's ''[[Common Sense on Mutual Funds\|Sense على صناديق الاستثمار المشتركة]]'' ؛ لكن قارن [[وارن بافت\|وارين بافيت]] ''[[The Superinvestors of Graham-and-Doddsville\|من S u p e r i n v e s t o r s لـ Graham-and-D o d d s v i l l e]]'' . لاحظ أيضًا أن ''الحدود'' الموروثة مؤسسيًا ''[[Limits to arbitrage\|للمراجحة]]'' - على عكس العوامل المتناقضة مباشرة مع النظرية - تُقترح أحيانًا كتفسير لهذه الانحرافات عن الكفاءة. == أنظر أيضا == {{Div col}} * [[:Category:Finance theories]] * [[:Category:Financial economists]] * [[Deutsche Bank Prize in Financial Economics]] * [[Financial modeling]] * [[Fischer Black Prize]] * {{sectionlink\|List of unsolved problems in economics\|Financial economics}} * [[Monetary economics]] * [[Outline of economics]] * [[Outline of finance]] {{Div col end}} == المراجع == <references group="" responsive="0"></references> == قائمة المراجع == {{refbegin\|30em}} '''Financial economics''' * {{cite book\|author=Roy E. Bailey\|title=The Economics of Financial Markets\|publisher=[[Cambridge University Press]]\|location=\|year=2005\|isbn=978-0521612807}} * {{cite book\|author=Marcelo Bianconi\|title=Financial Economics, Risk and Information (2nd Edition)\|publisher=[[World Scientific]]\|location=\|year=2013\|isbn=978-9814355131}} * {{cite book\|author=[[Zvi Bodie]], [[Robert C. Merton]] and David Cleeton\|title=Financial Economics (2nd Edition)\|publisher=[[Prentice Hall]]\|location=\|year=2008\|isbn=978-0131856158}} * {{cite book\|author=James Bradfield\|title=Introduction to the Economics of Financial Markets\|publisher=Oxford University Press\|location=\|year=2007\|isbn=978-0-19-531063-4}} * {{cite book\|author1=Satya R. Chakravarty\|title=An Outline of Financial Economics\|publisher=Anthem Press\|location=\|year=2014\|isbn=978-1783083367}} * {{cite book\|author=[[Jakša Cvitanić]] and Fernando Zapatero\|title=Introduction to the Economics and Mathematics of Financial Markets\|publisher=MIT Press\|location=\|year=2004\|isbn=978-0262033206}} * {{cite book\|author=[[George Constantinides\|George M. Constantinides]], Milton Harris, [[René M. Stulz]] (editors)\|url=http://econpapers.repec.org/bookchap/eeefinchp/\|title=Handbook of the Economics of Finance\|publisher=[[Elsevier]]\|location=\|year=2003\|isbn=978-0444513632}} * {{cite book\|author1=Keith Cuthbertson\|author2=Dirk Nitzsche\|title=Quantitative Financial Economics: Stocks, Bonds and Foreign Exchange\|publisher=Wiley\|location=\|year=2004\|isbn=978-0470091715}} * {{cite book\|author=[[Jean-Pierre Danthine]], [[John Donaldson (economist)\|John B. Donaldson]]\|title=Intermediate Financial Theory (2nd Edition)\|publisher=[[Academic Press]]\|location=\|year=2005\|isbn=978-0123693808}} * {{cite book\|author=Louis Eeckhoudt\|author2=Christian Gollier, [[American Risk and Insurance Association#Presidents\|Harris Schlesinger]]\|title=Economic and Financial Decisions Under Risk\|publisher=Princeton University Press\|location=\|year=2005\|isbn=978-0-691-12215-1}} * {{cite book\|author1=Jürgen Eichberger\|author2=[[Ian Harper\|Ian R. Harper]]\|title=Financial Economics\|publisher=Oxford University Press\|location=\|year=1997\|isbn=978-0198775409}} * {{cite book\|author=Igor Evstigneev, Thorsten Hens, and Klaus Reiner Schenk-Hoppé\|title=Mathematical Financial Economics: A Basic Introduction\|publisher=Springer\|location=\|year=2015\|isbn=978-3319165707}} * {{cite book\|author=[[Frank J. Fabozzi]], Edwin H. Neave and Guofu Zhou\|title=Financial Economics\|publisher=Wiley\|location=\|year=2011\|isbn=978-0470596203}} * {{cite book\|author=Christian Gollier\|title=The Economics of Risk and Time (2nd Edition)\|publisher=[[MIT Press]]\|location=\|year=2004\|isbn=978-0-262-57224-8}} * {{cite book\|author=[[Thorsten Hens]] and Marc Oliver Rieger\|title=Financial Economics: A Concise Introduction to Classical and Behavioral Finance\|publisher=[[Springer Publishing\|Springer]]\|location=\|year=2010\|isbn=978-3540361466}} * {{cite book\|author=[[Chi-fu Huang]] and [[Robert Litzenberger\|Robert H. Litzenberger]]\|title=Foundations for Financial Economics\|publisher=Prentice Hall\|location=\|year=1998\|isbn=978-0135006535}} * {{cite book\|author=[[Jonathan E. Ingersoll]]\|title=Theory of Financial Decision Making\|publisher=Rowman & Littlefield\|location=\|year=1987\|isbn=978-0847673599}} * {{cite book\|author=[[Robert A. Jarrow]]\|title=Finance theory\|publisher=Prentice Hall\|location=\|year=1988\|isbn=978-0133148657}} * {{cite book\|author=Chris Jones\|title=Financial Economics\|publisher=[[Routledge]]\|location=\|year=2008\|isbn=978-0415375856}} * {{cite book\|author=Brian Kettell\|title=Economics for Financial Markets\|publisher=[[Butterworth-Heinemann]]\|location=\|year=2002\|isbn=978-0-7506-5384-8}} * {{cite book\|author=Yvan Lengwiler\|title=Microfoundations of Financial Economics: An Introduction to General Equilibrium Asset Pricing\|publisher=Princeton University Press\|location=\|year=2006\|isbn=978-0691126319}} * {{cite book\|author1=Stephen F. LeRoy\|author2=Jan Werner\|title=Principles of Financial Economics\|publisher=Cambridge University Press\|location=\|year=2000\|isbn=978-0521586054}} * {{cite book\|author1=Leonard C. MacLean\|author2=William T. Ziemba\|title=Handbook of the Fundamentals of Financial Decision Making\|publisher=World Scientific\|location=\|year=2013\|isbn=978-9814417341}} * {{cite book\|author=[[Frederic S. Mishkin]]\|title=The Economics of Money, Banking, and Financial Markets (3rd Edition)\|publisher=[[Prentice Hall]]\|location=\|year=2012\|isbn=978-0132961974}} * {{cite book\|author=[[Harry Panjer\|Harry H. Panjer]], ed.\|title=Financial Economics with Applications\|publisher=Actuarial Foundation\|location=\|year=1998\|isbn=978-0938959489}} * {{cite book\|editor=Geoffrey Poitras\|title=Pioneers of Financial Economics, Volume I\|publisher=[[Edward Elgar Publishing]]\|location=\|year=2007\|isbn=978-1845423810}}; Volume II {{ISBN\|978-1845423827}}. * {{cite book\|author=[[Richard Roll]] (series editor)\|url=http://www.e-elgar.co.uk/search_results.lasso?series_title=The%20International%20Library%20of%20Critical%20Writings%20in%20Financial%20Economics\|title=The International Library of Critical Writings in Financial Economics\|publisher=[[Edward Elgar Publishing]]\|location=[[Cheltenham]]\|year=2006\|isbn=}} '''Asset pricing''' * {{cite book\|author=Kerry E. Back\|title=Asset Pricing and Portfolio Choice Theory\|publisher=Oxford University Press\|location=\|year=2010\|isbn=978-0195380613}} * {{cite book\|author=Tomas Björk\|title=Arbitrage Theory in Continuous Time (3rd Edition)\|publisher=Oxford University Press\|location=\|year=2009\|isbn=978-0199574742}} * {{cite book\|author=[[John H. Cochrane]]\|title=Asset Pricing\|publisher=[[Princeton University Press]]\|location=\|year=2005\|isbn=978-0691121376}} * {{cite book\|author=[[Darrell Duffie]]\|title=Dynamic Asset Pricing Theory (3rd Edition)\|publisher=Princeton University Press\|location=\|year=2001\|isbn=978-0691090221}} * {{cite book\|author=[[Edwin Elton\|Edwin J. Elton]], Martin J. Gruber, Stephen J. Brown, [[William N. Goetzmann]]\|title=Modern Portfolio Theory and Investment Analysis (9th Edition)\|publisher=[[John Wiley & Sons\|Wiley]]\|location=\|year=2014\|isbn=978-1118469941}} * {{cite book\|author=[[Robert Haugen\|Robert A. Haugen]]\|title=Modern Investment Theory (5th Edition)\|publisher=Prentice Hall\|location=\|year=2000\|isbn=978-0130191700}} * {{cite book\|author=[[Mark S. Joshi]], Jane M. Paterson\|title=Introduction to Mathematical Portfolio Theory\|publisher=Cambridge University Press\|location=\|year=2013\|isbn=978-1107042315}} * {{cite book\|author=Lutz Kruschwitz, Andreas Loeffler\|title=Discounted Cash Flow: A Theory of the Valuation of Firms\|publisher=Wiley\|location=\|year=2005\|isbn=978-0470870440}} * {{cite book\|author=[[David Luenberger\|David G. Luenberger]]\|title=Investment Science (2nd Edition)\|publisher=[[Oxford University Press]]\|location=\|year=2013\|isbn=978-0199740086}} * {{cite book\|author=[[Harry M. Markowitz]]\|title=Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments (2nd Edition)\|publisher=Wiley\|location=\|year=1991\|isbn=978-1557861085}} * {{cite book\|author=[[Frank Milne]]\|title=Finance Theory and Asset Pricing (2nd Edition)\|publisher=Oxford University Press\|location=\|year=2003\|isbn=978-0199261079}} * {{cite book\|author=[[George Pennacchi]]\|title=Theory of Asset Pricing\|publisher=Prentice Hall\|location=\|year=2007\|isbn=978-0321127204}} * {{cite book\|author=[[Mark Rubinstein]]\|title=A History of the Theory of Investments\|publisher=Wiley\|location=\|year=2006\|isbn=978-0471770565}} * {{cite book\|author=[[William F. Sharpe]]\|title=Portfolio Theory and Capital Markets: The Original Edition\|publisher=[[McGraw-Hill]]\|location=\|year=1999\|isbn=978-0071353205}} '''Corporate finance''' * {{cite book\|author1=Jonathan Berk\|author2=Peter DeMarzo\|title=Corporate Finance (3rd Edition)\|publisher=[[Pearson Education\|Pearson]]\|location=\|year=2013\|isbn=978-0132992473}} * {{cite book\|author=Peter Bossaerts\|author2=Bernt Arne Ødegaard\|title=Lectures on Corporate Finance (Second Edition)\|publisher=World Scientific\|location=\|year=2006\|isbn=978-981-256-899-1}} * {{cite book\|author=[[Richard Brealey]]\|author2=[[Stewart Myers]]\|author3=[[Franklin Allen]]\|title=Principles of Corporate Finance\|publisher=Mcgraw-Hill\|location=\|year=2013\|isbn=978-0078034763\|title-link=Principles of Corporate Finance}} * {{cite book\|author=[[Aswath Damodaran]]\|title=Corporate Finance: Theory and Practice\|publisher=Wiley\|location=\|year=1996\|isbn=978-0471076803}} * {{cite book\|author=João Amaro de Matos\|title=Theoretical Foundations of Corporate Finance\|publisher=Princeton University Press\|location=\|year=2001\|isbn=9780691087948}} * {{cite book\|author1=Joseph Ogden\|author2=Frank C. Jen\|author3=Philip F. O'Connor\|title=Advanced Corporate Finance\|publisher=Prentice Hall\|location=\|year=2002\|isbn=978-0130915689}} * {{cite book\|author1=Pascal Quiry\|author2=Yann Le Fur\|author3=Antonio Salvi\|author4=Maurizio Dallochio\|author5=Pierre Vernimmen\|title=Corporate Finance: Theory and Practice (3rd Edition)\|publisher=Wiley\|location=\|year=2011\|isbn=978-1119975588}} * {{cite book\|author=[[Stephen Ross (economist)\|Stephen Ross]], Randolph Westerfield, Jeffrey Jaffe\|title=Corporate Finance (10th Edition)\|publisher=[[McGraw-Hill]]\|location=\|year=2012\|isbn=978-0078034770}} * {{cite book\|author=[[Joel Stern\|Joel M. Stern]], ed.\|title=The Revolution in Corporate Finance (4th Edition)\|publisher=[[Wiley-Blackwell]]\|location=\|year=2003\|isbn=9781405107815}} * {{cite book\|author=[[Jean Tirole]]\|title=The Theory of Corporate Finance\|publisher=Princeton University Press\|location=\|year=2006\|isbn=978-0691125565}} * {{cite book\|author=[[Ivo Welch]]\|title=Corporate Finance (3rd Edition)\|publisher=\|location=\|year=2014\|isbn=978-0-9840049-1-1}} {{refend}} [[تصنيف:علم اكتواري]] [[تصنيف:الاقتصاد المالي]] [[تصنيف:Webarchive template wayback links]] [[تصنيف:CS1 maint: Extra text: authors list]] [[تصنيف:صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفون]] [[تصنيف:صفحات بترجمات غير مراجعة]]'
فرق موحد للتغييرات المصنوعة بواسطة التعديل `(edit_diff)`	'@@ -1,0 +1,957 @@ + +'''الاقتصاد المالي''' هو فرع [[اقتصاد (علم)\|الاقتصاد الذي]] يتميز بـ "التركيز على الأنشطة النقدية" ، والذي من المحتمل أن يظهر فيه "المال من نوع أو آخر على ''جانبي'' التجارة". <ref name="stanford1">[[ويليام شارب\|William F. Sharpe]], [http://www.stanford.edu/~wfsharpe/mia/int/mia_int2.htm "Financial Economics"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20040604105441/http://www.stanford.edu/~wfsharpe/mia/int/mia_int2.htm\|date=2004-06-04}}, in {{مرجع ويب +\| url = http://web.stanford.edu/~wfsharpe/mia/MIA.HTM +\| title = ''Macro-Investment Analysis'' +\| publisher = Stanford University (manuscript) +\| archiveurl = https://web.archive.org/web/20140714034144/http://web.stanford.edu/~wfsharpe/mia/mia.htm +\| archivedate = 2014-07-14 +\| deadurl = no +\| accessdate = 2009-08-06 +}}</ref> وبالتالي ، فإن اهتمامها هو الترابط بين المتغيرات المالية ، مثل الأسعار وأسعار [[سعر الفائدة\|الفائدة]] والأسهم ، مقابل تلك المتعلقة [[اقتصاد\|بالاقتصاد الحقيقي]] . له مجالان رئيسيان للتركيز: <ref name="Miller"> [[Merton H. Miller]] ، (1999). تاريخ المالية: حساب شاهد عيان ، ''مجلة إدارة المحافظ'' . صيف 1999. </ref> [[Asset pricing\|تسعير الأصول]] [[تمويل الشركات\|وتمويل الشركات]] ؛ الأول هو منظور مقدمي رأس المال ، أي المستثمرين ، والثاني لمستخدمي رأس المال. + +يتعلق الموضوع بـ "تخصيص ونشر الموارد الاقتصادية ، مكانيا وعبر الزمن ، في بيئة غير مستقرة". <ref>[[روبرت ميرتون\|Robert C. Merton]] {{مرجع ويب +\| url = http://nobelprize.org/nobel_prizes/economics/laureates/1997/merton-lecture.pdf +\| title = Nobel Lecture +\| archiveurl = https://web.archive.org/web/20090319202149/http://nobelprize.org/nobel_prizes/economics/laureates/1997/merton-lecture.pdf +\| archivedate = 2009-03-19 +\| deadurl = no +\| accessdate = 2009-08-06 +}}</ref> لذلك فهو يركز على اتخاذ القرارات في ظل عدم اليقين في سياق الأسواق المالية ، والنماذج والمبادئ الاقتصادية والمالية الناتجة ، ويهتم باستنباط الآثار القابلة للاختبار أو السياسة من الافتراضات المقبولة. إنه مبني على أسس [[اقتصاد جزئي\|الاقتصاد الجزئي]] [[نظرية القرار\|ونظرية القرار]] . + +الاقتصاد القياسي هو فرع الاقتصاد المالي الذي يستخدم تقنيات الاقتصاد القياسي لتحديد معالم هذه العلاقات. يرتبط [[رياضيات مالية\|التمويل الرياضي]] بأنه سيشتق ويوسع النماذج الرياضية أو العددية المقترحة من قبل الاقتصاد المالي. لاحظ على الرغم من أن التركيز هناك هو الاتساق الرياضي ، على عكس التوافق مع النظرية الاقتصادية. يركز الاقتصاد المالي في المقام الأول على [[اقتصاد جزئي\|الاقتصاد الجزئي]] ، في حين أن [[نظرية نقدية (اقتصاد)\|الاقتصاد النقدي]] هو في المقام الأول [[اقتصاد كلي\|الاقتصاد الكلي]] بطبيعته. + +يتم تدريس الاقتصاد المالي عادة على مستوى الدراسات العليا ؛ انظر [[Master of Financial Economics\|ماجستير في الاقتصاد المالي]] . في الآونة الأخيرة ، يتم تقديم شهادات جامعية متخصصة في التخصص. <ref>e.g.: [http://www.kent.ac.uk/courses/undergraduate/126/financial-economics Kent] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20140221212707/http://www.kent.ac.uk/courses/undergraduate/126/financial-economics\|date=2014-02-21}}; [http://www.city.ac.uk/courses/undergraduate/financial-economics City London] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20140223090217/http://www.city.ac.uk/courses/undergraduate/financial-economics\|date=2014-02-23}}; [http://undergradbusiness.ucr.edu/major/financial_economics.html UC Riverside] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20140222044845/http://undergradbusiness.ucr.edu/major/financial_economics.html\|date=2014-02-22}}; [http://www2.le.ac.uk/departments/economics/undergraduate Leicester] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20140222003101/http://www2.le.ac.uk/departments/economics/undergraduate\|date=2014-02-22}}; [http://www.economics.utoronto.ca/index.php/index/undergraduate/load/overview Toronto] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20140221102435/http://www.economics.utoronto.ca/index.php/index/undergraduate/load/overview\|date=2014-02-21}}; [http://economics.umbc.edu/bs-in-financial-economics/ UMBC] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20141230165120/http://economics.umbc.edu/bs-in-financial-economics/\|date=2014-12-30}}</ref> + +توفر هذه المقالة نظرة عامة واستطلاعًا حول الحقل: للحصول على مزيد من الاشتقاقات ومناقشة فنية أكثر ، راجع المقالات المحددة المرتبطة. + +== الاقتصاد الأساسي == +{\| class="wikitable floatright" width="250" +\| رموز تصنيف JEL +\|- +\| في رموز تصنيف مجلة الأدب الاقتصادي ، يعد الاقتصاد المالي واحدًا من التصنيفات الـ 19 الأولية ، في JEL: G. ويتبع [[اقتصاد دولي\|الاقتصاد]] [[نظرية نقدية (اقتصاد)\|النقدي]] [[اقتصاد دولي\|والدولي]] ويسبق الاقتصاد العام . للاطلاع على التصنيفات الفرعية التفصيلية ، انظر أكواد تصنيف JEL الاقتصاد المالي . +''يستخدم قاموس الجرافيك الجديد للاقتصاد'' (2008 ، الطبعة الثانية) أيضًا رموز JEL لتصنيف إدخالاته في الإصدار 8 ، فهرس الموضوع ، بما في ذلك الاقتصاد المالي في صفحة.   863-64. فيما يلي روابط [[موجز (ملخص)\|لملخصات]] إدخال The New Palgrave [http://www.dictionaryofeconomics.com/dictionary Online] لكل فئة من فئات JEL الأساسية أو الثانوية (10 أو أقل لكل صفحة ، على غرار عمليات بحث [[جوجل\|Google]] ): + +: [http://www.dictionaryofeconomics.com/search_results?,q=&field=content&edition=all&topicid=G JEL: G] - الاقتصاد المالي +: [http://www.dictionaryofeconomics.com/search_results?q=&field=content&edition=all&topicid=G0 JEL: G0] - عام +: [http://www.dictionaryofeconomics.com/search_results?q=&field=content&edition=all&topicid=G1 JEL: G1] - [[سوق مالية\|الأسواق المالية العامة]] +: [http://www.dictionaryofeconomics.com/search_results?q=&field=content&edition=all&topicid=G2 JEL: G2] - [[مؤسسة مالية\|المؤسسات]] [[خدمات مالية\|والخدمات]] [[مؤسسة مالية\|المالية]] +: [http://www.dictionaryofeconomics.com/search_results?q=&field=content&edition=all&topicid=G3 JEL: G3] - [[تمويل الشركات]] [[حوكمة الشركات\|والحوكمة]] + +ويمكن أيضا إدخالات الفئة الثالثة يمكن البحث. <ref>For example, http://www.dictionaryofeconomics.com/search_results?q=&field=content&edition=all&topicid=G00 {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20130529074942/http://www.dictionaryofeconomics.com/search_results?q=&field=content&edition=all&topicid=G00\|date=2013-05-29}}.</ref> +\|} +كما ذكر أعلاه ، يستكشف الانضباط بشكل أساسي كيف يمكن [[Homo economicus\|للمستثمرين العقلانيين]] تطبيق [[نظرية القرار]] على مشكلة [[استثمار\|الاستثمار]] . وبالتالي فإن الموضوع مبني على أسس [[اقتصاد جزئي\|الاقتصاد الجزئي]] ونظرية القرار ، ويستخلص العديد من النتائج الرئيسية لتطبيق [[اتخاذ القرار\|صنع القرار في]] ظل عدم اليقين في [[سوق مالية\|الأسواق المالية]] . + +=== القيمة الحالية والتوقع والفائدة === +تكمن وراء كل الاقتصاد المالي مفاهيم [[قيمة حالية\|القيمة الحالية]] [[قيمة متوقعة\|والتوقع]] . <ref name="Rubinstein"> [[Mark Rubinstein\|روبنشتاين ، مارك]] . (2005). "لحظات عظيمة في الاقتصاد المالي: رابعا. النظرية الأساسية (الجزء الأول)" ، ''مجلة إدارة الاستثمار'' ، المجلد. 3 ، رقم 4 ، الربع الرابع 2005 ؛ ~ (2006). الجزء الثاني ، المجلد. 4 ، رقم 1 ، الربع الأول 2006. انظر تحت عنوان "الروابط الخارجية". </ref> + +يسمح حساب القيمة الحالية لصانع القرار بتجميع [[تدفق نقدي\|التدفقات النقدية]] (أو العوائد الأخرى) التي يتم إنتاجها بواسطة الأصل في المستقبل ، إلى قيمة واحدة في التاريخ المعني ، وبالتالي مقارنة فرصتين بسهولة أكبر ؛ وبالتالي هذا المفهوم هو نقطة الانطلاق لاتخاذ القرارات المالية. (تاريخها مبكرًا: يناقش [[فائدة مركبة\|ريتشارد ويت]] [[فائدة مركبة\|الاهتمام المركب]] بعمق بالفعل في عام 1613 ، في كتابه "أسئلة الحساب" ؛ <ref>C. Lewin (1970). [https://www.actuaries.org.uk/system/files/documents/pdf/0121-0132.pdf An early book on compound interest] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20161221163926/https://www.actuaries.org.uk/system/files/documents/pdf/0121-0132.pdf\|date=2016-12-21}}, Institute and Faculty of Actuaries</ref> بتطويره [[Johan de Witt\|يوهان دي ويت]] [[إدموند هالي\|وإدموند هالي]] . ) + +يتمثل الامتداد الفوري في الجمع بين الاحتمالات والقيمة الحالية ، مما يؤدي إلى [[قيمة متوقعة\|معيار القيمة المتوقعة]] الذي يحدد قيمة الأصول كدالة لأحجام الدفعات المتوقعة واحتمالات حدوثها. (هذه الأفكار تنبع من [[بليز باسكال]] [[بيير دي فيرما\|وبيير دي فيرمات]] . ) + +ومع ذلك ، تفشل طريقة القرار هذه في النظر في [[تجنب المخاطر\|كره المخاطرة]] ("كما يعرف أي طالب مالي" <ref name="Rubinstein"> [[Mark Rubinstein\|روبنشتاين ، مارك]] . (2005). "لحظات عظيمة في الاقتصاد المالي: رابعا. النظرية الأساسية (الجزء الأول)" ، ''مجلة إدارة الاستثمار'' ، المجلد. 3 ، رقم 4 ، الربع الرابع 2005 ؛ ~ (2006). الجزء الثاني ، المجلد. 4 ، رقم 1 ، الربع الأول 2006. انظر تحت عنوان "الروابط الخارجية". </ref> ). بمعنى آخر ، نظرًا لأن الأفراد يحصلون على [[منفعة\|فائدة]] أكبر من دولار إضافي عندما يكونون فقراء وأقل فائدة عندما يكونون أغنياء نسبياً ، فإن الطريقة هي "ضبط" الوزن المعين لمختلف النتائج ("الحالات") في المقابل. (قد يكون بعض المستثمرين في الواقع [[البحث عن المخاطر\|يبحثون عن المخاطرة]] بدلاً من [[تجنب المخاطر\|تجنب المخاطرة]] ، ولكن نفس المنطق سينطبق). + +قد يتم وصف الاختيار تحت عدم اليقين هنا بأنه تعظيم الفائدة المتوقعة . أكثر رسميا، مما أدى إلى فرضية فائدة المتوقع تنص على أنه، إذا راضون بعض البديهيات، و [[نظرية ذاتية للقيمة\|ذاتية]] القيمة المرتبطة مقامرة من قبل فرد هو ''أن {{'}}'' [[قيمة متوقعة\|التوقع الإحصائي]] لتقييم نتائج تلك المقامرة. + +ينشأ الدافع وراء هذه الأفكار من التناقضات المختلفة التي لوحظت في إطار القيمة المتوقعة ، مثل [[St. Petersburg paradox\|مفارقة سان بطرسبرغ]] ؛ انظر أيضا [[Ellsberg paradox\|مفارقة إلسبرغ]] . (التطوير هنا يرجع أصلاً إلى [[دانييل برنولي\|دانييل بيرنولي]] ، وتم إضفاء طابع رسمي عليه لاحقًا بواسطة [[جون فون نيومان]] [[أوسكار مورغينسترن\|وأوسكار مورغنسترن]] ) + +=== التسعير وخالية من التحكيم === +ثم تقترن مفاهيم [[نموذج المراجحة\|التحكيم-]] الحر ، "العقلاني" ، التسعير والتوازن مع ما سبق لاستخلاص الاقتصاد المالي "الكلاسيكي" <ref name="Rubinstein2"> انظر روبنشتاين تحت عنوان "الببليوغرافيا". </ref> (أو "الكلاسيكي الجديد" <ref name="Derman">Emanuel Derman, [http://www.emanuelderman.com/media/Scientific_Approach_to_Finance.pdf ''A Scientific Approach to CAPM and Options Valuation''] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20160330002200/http://www.emanuelderman.com/media/Scientific_Approach_to_Finance.pdf\|date=2016-03-30}}</ref> ). + +التسعير العقلاني هو افتراض أن أسعار الأصول (وبالتالي نماذج تسعير الأصول) ستعكس [[نموذج المراجحة\|السعر الخالي من المراجحة]] للأصل ، حيث إن "أي انحراف عن هذا السعر" سيتم "تحريفه". هذا الافتراض مفيد في تسعير الأوراق المالية ذات الدخل الثابت ، وخاصة السندات ، وهو أساسي لتسعير الأدوات المشتقة. + +[[توازن اقتصادي\|التوازن الاقتصادي]] هو ، بوجه عام ، حالة [[توازن اقتصادي\|تتوازن]] فيها القوى الاقتصادية مثل العرض والطلب ، وفي غياب التأثيرات الخارجية ، لن تتغير قيم التوازن للمتغيرات الاقتصادية. يتعامل [[نظرية التوازن العام\|التوازن العام]] مع سلوك العرض والطلب والأسعار في الاقتصاد ككل مع العديد من الأسواق المتفاعلة أو العديد منها ، من خلال السعي لإثبات وجود مجموعة من الأسعار ستؤدي إلى توازن شامل. (هذا على عكس التوازن الجزئي ، الذي يحلل فقط الأسواق الموحدة. ) + +يرتبط المفهومان على النحو التالي: حيث لا تسمح أسعار السوق بمراجحة مربحة ، أي أنها تشتمل على سوق خالية من المراجحة ، ثم يقال إن هذه الأسعار تشكل "توازن موازنة". حدسيًا ، يمكن ملاحظة ذلك من خلال التفكير في أنه في حالة وجود فرصة تحكيم ، فمن المتوقع أن تتغير الأسعار ، وبالتالي ليست في حالة توازن. <ref name="Delbaen_Schachermayer">Freddy Delbaen and Walter Schachermayer. (2004). [http://www.ams.org/notices/200405/what-is.pdf "What is... a Free Lunch?"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20160304061252/http://www.ams.org/notices/200405/what-is.pdf\|date=2016-03-04}} (pdf). Notices of the AMS 51 (5): 526–528</ref> وبالتالي فإن موازنة التحكيم شرط مسبق لتحقيق التوازن الاقتصادي العام. + +على الفور، وغير الرسمية، وتوسيع هذه الفكرة و [[Fundamental theorem of asset pricing\|النظرية الأساسية في تسعير الأصول]] ، ويظهر أنه عندما تكون الأسواق كما -و صفه هي بالإضافة إلى ذلك (ضمنا وتبعا لذلك) [[Complete market\|كاملة]] قد -one ثم اتخاذ القرارات المالية عن طريق بناء [[Risk-neutral measure\|مقياس المخاطر محايد احتمال]] المقابلة إلى السوق. + +"اكتمال" هنا يعني أن هناك ثمنًا لكل أصل في كل حالة ممكنة من العالم ، وبالتالي يمكن بناء المجموعة الكاملة من الرهانات المحتملة على دول العالم المستقبلية بأصول موجودة (مع [[أسواق غير احتكاكية\|عدم الاحتكاك]] ) أساسا [[نظام معادلات خطية\|حل في وقت واحد]] ''لن'' الاحتمالات (خالية من المخاطر)، نظرا لارتفاع أسعار ''ن.'' سوف يشتق الاشتقاق الرسمي بحجج التحكيم. <ref name="Rubinstein"> [[Mark Rubinstein\|روبنشتاين ، مارك]] . (2005). "لحظات عظيمة في الاقتصاد المالي: رابعا. النظرية الأساسية (الجزء الأول)" ، ''مجلة إدارة الاستثمار'' ، المجلد. 3 ، رقم 4 ، الربع الرابع 2005 ؛ ~ (2006). الجزء الثاني ، المجلد. 4 ، رقم 1 ، الربع الأول 2006. انظر تحت عنوان "الروابط الخارجية". </ref> <ref name="Delbaen_Schachermayer">Freddy Delbaen and Walter Schachermayer. (2004). [http://www.ams.org/notices/200405/what-is.pdf "What is... a Free Lunch?"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20160304061252/http://www.ams.org/notices/200405/what-is.pdf\|date=2016-03-04}} (pdf). Notices of the AMS 51 (5): 526–528</ref> للاطلاع على مثال [[Rational pricing#Risk neutral valuation\|عملي ،]] انظر [[Rational pricing#Risk neutral valuation\|التسعير الرشيد # التقييم المحايد للمخاطر]] ، حيث يوجد في بيئة مبسطة ، يوجد حالتان محتملتان فقط - للأعلى والأسفل - وحيث ''p'' و (1− ''p'' ) هما الاحتمالان المقابلان (أي ضمني) وبدوره ، التوزيع المشتق ، أو [[Probability measure\|"التدبير"]] . + +مع وجود هذا الإجراء في مكانه ، فإن عائد أي ورقة مالية (أو محفظة) المتوقعة ، أي ما هو مطلوب ، سوف يساوي بعد ذلك العائد الذي لا ينطوي على مخاطر ، بالإضافة إلى "تسوية للمخاطر" ، <ref name="Rubinstein"> [[Mark Rubinstein\|روبنشتاين ، مارك]] . (2005). "لحظات عظيمة في الاقتصاد المالي: رابعا. النظرية الأساسية (الجزء الأول)" ، ''مجلة إدارة الاستثمار'' ، المجلد. 3 ، رقم 4 ، الربع الرابع 2005 ؛ ~ (2006). الجزء الثاني ، المجلد. 4 ، رقم 1 ، الربع الأول 2006. انظر تحت عنوان "الروابط الخارجية". </ref> أي [[علاوة مخاطرة\|علاوة المخاطر]] الخاصة بالأمان ، وتعويض المدى التي لا يمكن التنبؤ بتدفقاتها النقدية. جميع نماذج التسعير هي متغيرات أساسية لذلك ، مع إعطاء افتراضات و / أو شروط محددة. <ref name="Rubinstein" /> <ref name="Cochrane & Culp">Christopher L. Culp and [[John H. Cochrane]]. (2003). "[http://faculty.chicagobooth.edu/john.cochrane/research/Papers/cochrane-culp%20asset%20pricing.pdf "Equilibrium Asset Pricing and Discount Factors: Overview and Implications for Derivatives Valuation and Risk Management"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20160304190225/http://faculty.chicagobooth.edu/john.cochrane/research/Papers/cochrane-culp%20asset%20pricing.pdf\|date=2016-03-04}}, in ''Modern Risk Management: A History''. Peter Field, ed. London: Risk Books, 2003. {{ردمك\|1904339050}}</ref> يتماشى هذا النهج مع ما [[Financial economics#Present value, expectation and utility\|ورد أعلاه]] ، ولكن مع التوقع القائم على "السوق" (أي خالي من المراجحة ، ووفقًا للنظرية ، وبالتالي في حالة توازن) بدلاً من التفضيلات الفردية. + +وبالتالي ، مع الاستمرار في المثال ، لتقييم قيمة ورقة مالية معينة ، يتم ضرب التدفقات النقدية المتوقعة في الدول الصاعدة والهابطة من خلال ''p'' و (1- ''p'' ) على التوالي ، ثم يتم [[قيمة حالية\|خصمها]] بسعر فائدة خالي من المخاطر بالإضافة إلى متميزة. بشكل عام ، قد يتم اشتقاق هذه العلاوة بواسطة [[نموذج تقييم الأصول الرأسمالية\|C A P M]] (أو الامتدادات) كما سيظهر تحت [[Financial economics#Uncertainty\|# اليقين]] . + +=== أسعار الدولة === +مع إقامة العلاقة أعلاه ، يمكن اشتقاق [[Arrow–Debreu model\|نموذج Arrow-D e b r e u]] المتخصص. تشير هذه النتيجة المهمة إلى أنه في ظل ظروف اقتصادية معينة ، يجب أن يكون هناك مجموعة من الأسعار بحيث يكون إجمالي الإمدادات مساوياً للطلب الكلي على كل سلعة في الاقتصاد. غالبًا ما يتم إجراء التحليل هنا بافتراض وجود ''[[Representative agent\|وكيل تمثيلي]]'' . <ref name="Doyne_Geanakoplos">{{Cite journal\|last=Farmer J. Doyne, Geanakoplos John\|year=2009\|title=The virtues and vices of equilibrium and the future of financial economics\|url=https://campuspress.yale.edu/johngeanakoplos/files/2017/07/63.-The-Virtues-and-Vices-of-Equilbrium-and-the-Future-of-Financial-Economics-2009-26baz0x.pdf\|journal=Complexity\|volume=14\|issue=3\|pages=11–38\|DOI=10.1002/cplx.20261\|arxiv=0803.2996\|bibcode=2009Cmplx..14c..11F}}</ref> + +ينطبق نموذج Arrow-D e b r e u على الاقتصادات التي تتمتع [[Complete market\|بأسواق كاملة إلى]] أقصى حد ، حيث يوجد سوق لكل فترة زمنية وأسعار آجلة لكل سلعة في جميع الفترات الزمنية. الامتداد المباشر ، إذن ، هو مفهوم ضمان أسعار الدولة (يُطلق عليه أيضًا اسم أمان السهم - D e b r e u) ، وهو عقد يوافق على دفع وحدة واحدة من n u m e r a i r e (عملة أو سلعة) في حالة حدوث حالة معينة ("up") "و" لأسفل "في المثال المبسط أعلاه) في وقت معين في المستقبل وتدفع قيمة الصفر في جميع الولايات الأخرى. ثمن هذا الأمن هو سعر الدولة لهذه الحالة بالذات في العالم. + +في المثال أعلاه ، فإن أسعار الدولة تعادل القيم الحالية التي تبلغ $ p و $ (1 − p): أي ما الذي سيدفعه اليوم ، على التوالي ، للأوراق المالية ذات الحالة العليا والدنيا ؛ ناقل سعر الحالة هو ناقل أسعار الحالة لجميع الولايات. بالتطبيق على التقييم ، سيكون سعر المشتق اليوم هو ببساطة [السعر الأعلى × المردود المدفوع من الدولة + السعر المقلوب من الدولة × المردود المسقط]] ؛ انظر أدناه فيما يتعلق بعدم وجود أي علاوة المخاطرة هنا. بالنسبة [[توزيع احتمال\|للمتغير العشوائي المستمر الذي]] يشير إلى استمرارية الحالات المحتملة ، يتم العثور على القيمة من خلال [[تكامل\|التكامل]] على كثافة أسعار الولاية ؛ انظر [[Stochastic discount factor\|عامل الخصم العشوائي]] . يتم توسيع هذه المفاهيم لتشمل [[Martingale pricing\|التسعير مارتينجال]] [[Risk-neutral measure\|والتدبير محايد للمخاطر]] ذات الصلة. + +تجد أسعار الولاية تطبيقًا فوريًا كأداة مفاهيمية (" تحليل المطالبات الطارئة ") ؛ <ref name="Rubinstein"> [[Mark Rubinstein\|روبنشتاين ، مارك]] . (2005). "لحظات عظيمة في الاقتصاد المالي: رابعا. النظرية الأساسية (الجزء الأول)" ، ''مجلة إدارة الاستثمار'' ، المجلد. 3 ، رقم 4 ، الربع الرابع 2005 ؛ ~ (2006). الجزء الثاني ، المجلد. 4 ، رقم 1 ، الربع الأول 2006. انظر تحت عنوان "الروابط الخارجية". </ref> ولكن يمكن تطبيقها أيضًا على مشكلات التقييم. <ref name="corp fin state prices"> انظر de Matos ، وكذلك Bossaerts و Ødegaard ، تحت المراجع. </ref> بالنظر إلى آلية التسعير الموصوفة ، يمكن للمرء تحليل القيمة المشتقة - في الواقع لكل "ورقة مالية" <ref name="Miller"> [[Merton H. Miller]] ، (1999). تاريخ المالية: حساب شاهد عيان ، ''مجلة إدارة المحافظ'' . صيف 1999. </ref> - كتركيبة خطية من أسعارها الحكومية ؛ أي حل الظهر للأسعار الدولة المقابلة لأسعار مشتقة لوحظ. <ref name="Chance2">Don M. Chance (2008). [http://www.bus.lsu.edu/academics/finance/faculty/dchance/Instructional/TN97-13.pdf "Option Prices and State Prices"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20120209215717/http://www.bus.lsu.edu/academics/finance/faculty/dchance/Instructional/TN97-13.pdf\|date=2012-02-09}}</ref> <ref name="corp fin state prices" /> يمكن بعد ذلك استخدام أسعار الحالة المستردة لتقييم الأدوات الأخرى ذات التعرض الأقل من اللازم ، أو لاتخاذ القرارات الأخرى المتعلقة بأقل من اللازم. (عمل B r e e d e n و L i t z e n b e r g e r في عام 1978 <ref>{{Cite journal\|title=Prices of State-Contingent Claims Implicit in Option Prices\|first=Douglas T.\|last=Breeden\|first2=Robert H.\|last2=Litzenberger\|author2-link=Robert Litzenberger\|journal=[[Journal of Business]]\|volume=51\|issue=4\|year=1978\|pages=621–651\|jstor=2352653\|DOI=10.1086/296025}}</ref> أنشأ استخدام أسعار الدولة في الاقتصاد المالي. ) + +== النماذج الناتجة == +[[ملف:MM2.png\|يسار\|تصغير\| Modigliani-Miller Proposition II بدين محفوف بالمخاطر. مع زيادة [[رفع مالي\|الرافعة المالية]] ( D / E ) ، يظل [[وسيط وزني لتكلفة رأس المال\|W A C C]] (k 0) ثابتًا. ]] +[[ملف:Markowitz_frontier.jpg\|يسار\|تصغير\| كفاءة الحواف. يشار أحيانًا إلى "القطع الزائد" باسم "M a r k o w i t z Bullet" ، وجزءه المنحدر الصاعد هو الحدود الفعالة إذا لم تتوفر أصول خالية من المخاطر. مع الأصول الخالية من المخاطر ، فإن الخط الثابت هو الحدود الفعالة. يعرض الرسم CAL ، [[Capital allocation line\|خط تخصيص رأس المال]] ، الذي يتكون عندما يكون الأصل الخطير أصل واحد وليس السوق ، وفي هذه الحالة يكون الخط هو C M L. ]] +[[ملف:CML-plot.png\|يسار\|تصغير\| خط سوق رأس المال هو خط الظل المرسوم من نقطة الأصل الخالي من المخاطر إلى [[Feasible region\|المنطقة الممكنة]] للأصول الخطرة. تمثل نقطة الظل M [[Market portfolio\|حافظة السوق]] . ينتج C M L عن مزيج من محفظة السوق والأصول الخالية من المخاطر (النقطة L). تؤدي إضافة الرافعة المالية (النقطة R) إلى إنشاء حافظات ذات رافعة موجودة أيضًا في C M L. ]] +{\| class="wikitable floatright" width="250" +\| {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) +:<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} + +: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) +:<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) +:<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mo><msub><mi> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) +:<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) +:<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mi></mrow></msub><mo stretchy="false"> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) +:<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mo><mo> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) +:<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mo><msub><mi> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) +:<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) +:<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mi></mrow></msub><mo> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) +:<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mo><msub><mi> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) +:<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) +:<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mi></mrow></msub><mo stretchy="false"> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) +:<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mo><mi> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) +:<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) +:<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mo><msub><mi> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) +:<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) +:<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mi></mrow></msub><mo stretchy="false"> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) +:<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mo><mo> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) +:<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mo><msub><mi> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) +:<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) +:<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mi></mrow></msub><mo stretchy="false"> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) +:<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mo></mstyle></mrow> </math>{{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) +:<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) +:<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </img> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) +:<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} +\|} +[[File:SML-chart.png\|يسار\|تصغير\| [[Security market line\|خط سوق الأوراق المالية]] : يمثل عرض C A P M معدل العائد المتوقع للأوراق المالية الفردية كدالة لمخاطرها المنهجية وغير القابلة للتنوع. ]] +[[ملف:Stockpricesimulation.jpg\|يسار\|تصغير\| حركات البني البراقة الهندسية مع معلمات من بيانات السوق. ]] +{\| class="wikitable floatright" width="250" +\| {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] +:<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} + +: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal"> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] +:<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] +:<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] +:<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] +:<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi></mrow></mfrac></mrow><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] +:<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] +:<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mn><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] +:<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mn></mfrac></mrow><msup><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] +:<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] +:<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mn></mrow></msup><msup><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] +:<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] +:<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mn></mrow></msup><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mrow><msup><mi mathvariant="normal"> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] +:<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] +:<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mn></mrow></msup><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] +:<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] +:<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi><msup><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] +:<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] +:<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] +:<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] +:<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] +:<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal"> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] +:<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] +:<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] +:<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] +:<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi></mrow></mfrac></mrow><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] +:<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] +:<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] +:<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] +:<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mo><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] +:<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mn></mstyle></mrow> </math>{{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] +:<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] +:<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </img> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] +:<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} +\|} +{\| class="wikitable floatright" width="250" +\| {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} + +: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mtable displaystyle="true" rowspacing="3pt"><mtr><mtd><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo></mtd><mtd><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><msub><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mn></mrow></msub><mo stretchy="false"> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><msub><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mn></mrow></msub><mo stretchy="false"> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><msup><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mn></mrow></msub></mtd><mtd><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mn><mrow><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><msqrt><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi></msqrt></mrow></mrow></mfrac></mrow><mrow><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mrow><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mrow><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi></mfrac></mrow><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo></mrow><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mrow><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mrow><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><msup><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mn></mrow></msup><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mn></mfrac></mrow></mrow><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo></mrow><mo stretchy="false"> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo></mrow><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mn></mrow></msub></mtd><mtd><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><msub><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mn></mrow></msub><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><msqrt><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi></msqrt></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow> </math>{{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </img> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} + +{{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><msub><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mn></mrow></msub><mo stretchy="false"> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo></mstyle></mrow> </math>{{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </img> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><msub><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mn></mrow></msub><mo stretchy="false"> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi></mstyle></mrow> </math>{{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </img> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: +:<math>\begin{align} + C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ + d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ + d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ +\end{align}</math> +[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} +\|} +بتطبيق المفاهيم الاقتصادية أعلاه ، قد نستنتج بعد ذلك مختلف النماذج والمبادئ [[نموذج اقتصادي\|الاقتصادية]] والمالية. كما ذكر أعلاه ، فإن مجالي التركيز المعتادين هما تسعير الأصول وتمويل الشركات ، الأول هو منظور مقدمي رأس المال ، والثاني لمستخدمي رأس المال. هنا ، ولجميع نماذج الاقتصاد المالي (تقريبًا) ، تكون الأسئلة التي يتم تناولها مؤطرة عادةً من حيث "الوقت ، وعدم اليقين ، والخيارات ، والمعلومات" ، <ref name="stanford1">[[ويليام شارب\|William F. Sharpe]], [http://www.stanford.edu/~wfsharpe/mia/int/mia_int2.htm "Financial Economics"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20040604105441/http://www.stanford.edu/~wfsharpe/mia/int/mia_int2.htm\|date=2004-06-04}}, in {{مرجع ويب +\| url = http://web.stanford.edu/~wfsharpe/mia/MIA.HTM +\| title = ''Macro-Investment Analysis'' +\| publisher = Stanford University (manuscript) +\| archiveurl = https://web.archive.org/web/20140714034144/http://web.stanford.edu/~wfsharpe/mia/mia.htm +\| archivedate = 2014-07-14 +\| deadurl = no +\| accessdate = 2009-08-06 +}}</ref> <ref name="Doyne_Geanakoplos">{{Cite journal\|last=Farmer J. Doyne, Geanakoplos John\|year=2009\|title=The virtues and vices of equilibrium and the future of financial economics\|url=https://campuspress.yale.edu/johngeanakoplos/files/2017/07/63.-The-Virtues-and-Vices-of-Equilbrium-and-the-Future-of-Financial-Economics-2009-26baz0x.pdf\|journal=Complexity\|volume=14\|issue=3\|pages=11–38\|DOI=10.1002/cplx.20261\|arxiv=0803.2996\|bibcode=2009Cmplx..14c..11F}}</ref> كما سنرى أدناه. + +الوقت: يتم تداول المال الآن مقابل المال في المستقبل. عدم اليقين (أو المخاطرة): مبلغ المال الذي سيتم تحويله في المستقبل غير مؤكد. + +الخيارات : يمكن لطرف واحد في المعاملة اتخاذ قرار في وقت لاحق يؤثر على التحويلات المالية اللاحقة. [[معلومات كاملة\|المعلومات]] : يمكن للمعرفة بالمستقبل أن تقلل أو ربما تقضي على عدم اليقين المرتبط بالقيمة النقدية المستقبلية (FMV). + +تطبيق هذا الإطار ، مع المفاهيم المذكورة أعلاه ، يؤدي إلى النماذج المطلوبة. يبدأ هذا الاشتقاق بافتراض "عدم اليقين" ثم يتم توسيعه ليشمل الاعتبارات الأخرى. (يشير هذا القسمة في بعض الأحيان إلى " [[حتمية\|الحتمية]] " و "العشوائية" ، <ref name="Luenberger"> انظر لوينبرجر ''علوم الاستثمار'' ، تحت المراجع. </ref> أو " [[تصادفية\|العشوائية]] ". ) + +=== السياقات === +نقطة الانطلاق هنا هي "الاستثمار تحت اليقين". تؤكد [[مبرهنة الانفصال لفيشر\|نظرية فصل فيشر]] أن هدف الشركة هو زيادة قيمتها الحالية إلى الحد الأقصى ، بغض النظر عن تفضيلات مساهميها. ذات الصلة هي نظرية Modigliani-Miller ، التي توضح أنه في ظل ظروف معينة ، لا تتأثر قيمة الشركة بكيفية تمويل هذه الشركة ، ولا تعتمد على سياسة توزيع الأرباح ولا على قرار جمع رأس المال عن طريق إصدار الأسهم أو بيع الديون. يستمر الدليل هنا باستخدام وسيطات التحكيم ، ويعمل كمعيار لتقييم آثار العوامل خارج النموذج التي تؤثر على القيمة. + +يتم توفير آلية تحديد القيمة (المؤسسية) من خلال ''[[جون بور وليامز\|نظرية قيمة الاستثمار]]'' (John Burr Williams) ، التي تقترح أن يتم احتساب قيمة الأصل باستخدام "التقييم وفقًا لقيم القيمة الحالية". وبالتالي ، بالنسبة للسهم العادي ، فإن القيمة الحقيقية طويلة الأجل هي القيمة الحالية لصافي التدفقات النقدية المستقبلية ، في شكل [[حصة أرباح\|أرباح]] . ما يتبقى هو تحديد سعر الخصم المناسب. تظهر التطورات اللاحقة "عقلانيًا" ، بمعنى رسمي ، أن معدل الخصم المناسب هنا (ينبغي) يعتمد على مخاطرة الأصل بالنسبة للسوق ككل ، بدلاً من تفضيلات مالكيها ؛ انظر أدناه. [[صافي القيمة الحالية\|القيمة]] الحالية الصافية (NPV) هي الامتداد المباشر لهذه الأفكار التي يتم تطبيقها عادة على اتخاذ القرارات بشأن تمويل الشركات (مقدمة من [[Joel Dean (economist)\|جويل دين]] في عام 1951). للحصول على نتائج أخرى ، بالإضافة إلى النماذج المحددة التي تم تطويرها هنا ، راجع قائمة مواضيع "تقييم الأسهم" ضمن [[Outline of finance#Discounted cash flow valuation\|مخطط التمويل # تقييم التدفقات النقدية المخصومة]] . + +[[Bond valuation\|تقييم السندات]] ، في أن التدفقات النقدية (القسائم وعودة رأس المال) هي الحتمية ، قد تسير بنفس الطريقة. <ref name="Luenberger"> انظر لوينبرجر ''علوم الاستثمار'' ، تحت المراجع. </ref> إن الامتداد الفوري ، [[Bond valuation#Arbitrage-free pricing approach\|وهو سعر السندات الخالي من التحكيم]] ، يقوم بتخفيض كل تدفق نقدي بالسعر المشتق من السوق - أي بسعر الصفر المقابل لكل كوبون - بدلاً من المعدل الإجمالي. لاحظ أنه في العديد من المعالجات ، يسبق تقييم السندات تقييم [[تقييم الأسهم العادية\|حقوق الملكية]] ، والتي بموجبها "التدفقات النقدية (أرباح الأسهم)" غير معروفة ''في حد ذاتها'' . يسمح Williams وما بعده بالتنبؤ به - بناءً على النسب التاريخية أو السياسة المنشورة - ثم يتم التعامل مع التدفقات النقدية باعتبارها حتمية بشكل أساسي ؛ انظر أدناه تحت [[Financial economics#Corporate finance theory\|نظرية تمويل الشركات #]] . + +يتم استخدام جميع نتائج "اليقين" هذه بشكل شائع في إطار تمويل الشركات. عدم اليقين هو محور "نماذج تسعير الأصول" ، على النحو التالي. + +=== شك === +بالنسبة إلى [[نظرية القرار\|"الاختيار في حالة عدم اليقين" ،]] فإن الافتراضين التوأمين للعقلانية وكفاءة السوق ، كما تم تعريفه بشكل أوثق ، يؤديان إلى [[نظرية المحفظة الحديثة]] (M P T) مع [[نموذج تقييم الأصول الرأسمالية\|نموذج تسعير الأصول الرأسمالية]] (CAPM) - نتيجة ''تستند إلى التوازن'' - وإلى [[Black–Scholes model\|Black-Scholes نظرية -Merton]] (BSM ؛ غالبًا ، ببساطة Black-S c h o l e s) [[Valuation of options\|لتسعير الخيار]] - نتيجة ''خالية من المراجحة'' . لاحظ أنه يتم احتساب أسعار المشتقات الأخيرة بحيث تكون خالية من المراجحة فيما يتعلق بأسعار الأوراق المالية الأكثر تحديدًا وتوازنًا ؛ رؤية [[Asset pricing\|تسعير الأصول]] . + +باختصار ، وبشكل حدسي - ومتسق مع [[Financial economics#Arbitrage-free pricing and equilibrium\|# التسعير والتوازن الخاليين من المراجحة]] أعلاه - يكون الرابط كما يلي. <ref> للحصول على علاج أكثر رسمية ، انظر ، على سبيل المثال: يوجين فاما. 1965. [http://www.cfapubs.org/toc/faj/1965/21/5 يسير عشوائي في أسعار البورصة] . ''[[Financial Analysts Journal\|مجلة المحللين الماليين]]'' ، سبتمبر / أكتوبر 1965 ، المجلد. 21 ، رقم 5: 55-59. </ref> بالنظر إلى القدرة على الاستفادة من المعلومات الخاصة ، يتم تحفيز المتداولين المهتمين بأنفسهم للحصول على معلوماتهم الخاصة والتصرف فيها. عند القيام بذلك ، يساهم المتداولون في المزيد من "الأسعار" الصحيحة ، أي ''الفعالة'' : [[فرضية كفاءة السوق\|فرضية السوق الفعالة]] ، أو EMH ( [[يوجين فاما\|Eugene Fama]] ، 1965). تفترض EMH (ضمنيًا) أن متوسط التوقعات يشكل "توقعات مثالية" ، أي أن الأسعار التي تستخدم جميع المعلومات المتاحة ، مطابقة ''لأفضل تخمين للمستقبل'' : افتراض [[توقعات رشيدة\|التوقعات المنطقية]] . تسمح EMH أنه عند مواجهة معلومات جديدة ، قد يبالغ بعض المستثمرين في رد فعلهم وقد يكون رد فعلهم غير صحيح ، لكن المطلوب هو أن ردود فعل المستثمرين تتبع [[توزيع احتمالي طبيعي\|توزيعا طبيعيا]] - بحيث لا يمكن استغلال التأثير الصافي على أسعار السوق بشكل موثوق تحقيق ربح غير طبيعي. في الحدود التنافسية ، ستعكس أسعار السوق جميع المعلومات المتاحة ، ويمكن أن تتحرك الأسعار فقط استجابة للأخبار ؛ <ref name="Shiller">{{Cite journal\|last=Shiller\|first=Robert J.\|author-link=Robert J. Shiller\|date=2003\|title=From Efficient Markets Theory to Behavioral Finance\|journal=[[Journal of Economic Perspectives]]\|volume=17\|issue=1 (Winter 2003)\|pages=83–104\|url=http://www.econ.yale.edu/~shiller/pubs/p1055.pdf\|accessdate=\|DOI=10.1257/089533003321164967\|archiveurl=https://web.archive.org/web/20150412081613/http://www.econ.yale.edu/~shiller/pubs/p1055.pdf\|archivedate=2015-04-12\|deadurl=no}}</ref> وهذا ، بالطبع ، يمكن أن يكون "جيدًا" أو "سيئًا" ، كبيرًا أو صغيرًا: [[Random walk hypothesis\|فرضية المشي العشوائي]] . وبالتالي ، إذا كانت أسعار الأصول المالية فعالة (على نطاق واسع) ، فلن تستمر الانحرافات عن هذه القيم (التوازن) لفترة طويلة. (انظر [[Earnings response coefficient\|معامل استجابة الأرباح]] . (على مسارات عشوائية في أسعار الأسهم: [[Jules Regnault\|جول رينو]] ، 1863 ؛ [[لوي باشوليي\|لويس باشيلير]] ، 1900 ؛ [[Maurice Kendall\|موريس كيندال]] ، 1953 ؛ [[Paul Cootner\|بول كوتنر]] ، 1964. ) + +في ظل هذه الظروف ، يمكن عندئذ افتراض أن المستثمرين يتصرفون بطريقة عقلانية: يجب حساب قرارهم الاستثماري أو التأكد من اتباع الخسارة ؛ في المقابل ، عندما تقدم فرصة التحكيم ، يستغلها المراجحون ، مما يعزز هذا التوازن. هنا ، كما هو الحال في حالة اليقين الموضحة أعلاه ، الافتراض المحدد فيما يتعلق بالتسعير هو أن الأسعار تُحسب كقيمة حالية لتوزيعات الأرباح المستقبلية المتوقعة ، <ref name="Cochrane & Culp">Christopher L. Culp and [[John H. Cochrane]]. (2003). "[http://faculty.chicagobooth.edu/john.cochrane/research/Papers/cochrane-culp%20asset%20pricing.pdf "Equilibrium Asset Pricing and Discount Factors: Overview and Implications for Derivatives Valuation and Risk Management"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20160304190225/http://faculty.chicagobooth.edu/john.cochrane/research/Papers/cochrane-culp%20asset%20pricing.pdf\|date=2016-03-04}}, in ''Modern Risk Management: A History''. Peter Field, ed. London: Risk Books, 2003. {{ردمك\|1904339050}}</ref> <ref name="Shiller">{{Cite journal\|last=Shiller\|first=Robert J.\|author-link=Robert J. Shiller\|date=2003\|title=From Efficient Markets Theory to Behavioral Finance\|journal=[[Journal of Economic Perspectives]]\|volume=17\|issue=1 (Winter 2003)\|pages=83–104\|url=http://www.econ.yale.edu/~shiller/pubs/p1055.pdf\|accessdate=\|DOI=10.1257/089533003321164967\|archiveurl=https://web.archive.org/web/20150412081613/http://www.econ.yale.edu/~shiller/pubs/p1055.pdf\|archivedate=2015-04-12\|deadurl=no}}</ref> <ref name="Doyne_Geanakoplos">{{Cite journal\|last=Farmer J. Doyne, Geanakoplos John\|year=2009\|title=The virtues and vices of equilibrium and the future of financial economics\|url=https://campuspress.yale.edu/johngeanakoplos/files/2017/07/63.-The-Virtues-and-Vices-of-Equilbrium-and-the-Future-of-Financial-Economics-2009-26baz0x.pdf\|journal=Complexity\|volume=14\|issue=3\|pages=11–38\|DOI=10.1002/cplx.20261\|arxiv=0803.2996\|bibcode=2009Cmplx..14c..11F}}</ref> حسب المعلومات المتوفرة حاليًا. ما هو مطلوب رغم ذلك هو نظرية لتحديد معدل الخصم المناسب ، أي "العائد المطلوب" ، بالنظر إلى عدم اليقين هذا: يتم توفيره بواسطة MPT و CAPM الخاص به. ذات الصلة ، والعقلانية - بمعنى المراجحة في الاستغلال - تؤدي إلى ظهور بلاك سكولز ؛ قيم الخيار هنا تتفق في نهاية المطاف مع CAPM. + +بشكل عام ، إذن ، بينما تدرس نظرية المحفظة كيف ينبغي للمستثمرين الموازنة بين المخاطر والعائد عند الاستثمار في العديد من الأصول أو الأوراق المالية ، فإن CAPM أكثر تركيزًا ، ويصف كيف ، في التوازن ، تحدد الأسواق أسعار الأصول فيما يتعلق بمدى خطورة هذه المخاطر. الأهم من ذلك ، ستكون هذه النتيجة مستقلة عن مستوى كره المخاطرة لدى المستثمر و / أو وظيفة الأداة المفترضة ، وبالتالي توفير معدل خصم محدد بسهولة لصناع القرار في تمويل الشركات على [[Financial economics#Certainty\|النحو الوارد أعلاه]] ، <ref name="Jensen&Smith"> [[Michael C. Jensen\|Jensen، Michael C.]] and Smith، Clifford W.، "Theory of Corporate Finance: A Historical Overview". In: ''The Modern Theory of Corporate Finance'' ، New York: McGraw-Hill Inc.، pp. 2-20، 1984. </ref> وبالنسبة للمستثمرين الآخرين. تستمر الحجة على النحو التالي: إذا كان بإمكان المرء إنشاء [[Efficient frontier\|حدود فعالة]] - أي كل مجموعة من الأصول التي تقدم أفضل مستوى متوقع من العائد لمستوى المخاطرة الخاص بها ، انظر الرسم البياني - ثم يمكن تشكيل محافظ كفاءة التباين المتوسط ببساطة على أنها مزيج من حيازات [[عائد خالي من المخاطرة\|الأصول الخالية من المخاطر]] و " [[Market portfolio\|محفظة السوق]] " ( [[Mutual fund separation theorem\|نظرية فصل صناديق الاستثمار المشتركة]] ) ، مع التخطيط هنا للتخطيط كخط [[Capital market line\|لسوق المال]] ، أو CML. بعد ذلك ، بالنظر إلى CML ، فإن العائد المطلوب على الأوراق المالية المحفوفة بالمخاطر سيكون مستقلاً عن [[منفعة\|وظيفة المرافق]] للمستثمر ، وسيتم تحديده فقط من خلال [[تغاير (إحصاء)\|التغاير]] ("بيتا") مع المخاطر الإجمالية ، أي السوق. وذلك لأن المستثمرين هنا يمكنهم بعد ذلك زيادة الفائدة من خلال الرافعة المالية بدلاً من التسعير ؛ انظر مخطط CML. كما يتضح من الصيغة جانبا ، فإن هذه النتيجة تتسق مع ما سبق ، حيث تساوي العائد بلا مخاطرة بالإضافة إلى تعديل للمخاطر. <ref name="Cochrane & Culp">Christopher L. Culp and [[John H. Cochrane]]. (2003). "[http://faculty.chicagobooth.edu/john.cochrane/research/Papers/cochrane-culp%20asset%20pricing.pdf "Equilibrium Asset Pricing and Discount Factors: Overview and Implications for Derivatives Valuation and Risk Management"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20160304190225/http://faculty.chicagobooth.edu/john.cochrane/research/Papers/cochrane-culp%20asset%20pricing.pdf\|date=2016-03-04}}, in ''Modern Risk Management: A History''. Peter Field, ed. London: Risk Books, 2003. {{ردمك\|1904339050}}</ref> (تم تقديم الحدود الفعالة بواسطة [[هاري ماركويتز]] في عام 1952. تم اشتقاق CAPM بواسطة [[Jack L. Treynor\|Jack Treynor]] (1961 ، 1962) ، و [[ويليام شارب\|William F. Sharpe]] (1964) ، و [[John Lintner]] (1965) و [[Jan Mossin]] (1966) بشكل مستقل. ) + +يوفر Black – Scholes نموذجًا رياضيًا لسوق مالية تحتوي على أدوات [[عقد اشتقاقي\|مشتقة]] ، والمعادلة الناتجة عن سعر [[Option style\|الخيارات الأوروبية]] . يتم التعبير عن النموذج باعتباره معادلة Black-Scholes ، معادلة تفاضلية [[معادلة تفاضلية جزئية\|جزئية]] تصف السعر المتغير للخيار بمرور الوقت ؛ تم اشتقاقها بافتراض وجود [[Geometric Brownian motion\|حركة براونية هندسية]] طبيعية (انظر [[Brownian model of financial markets\|النموذج البراوني للأسواق المالية]] ). تتمثل النظرة المالية الرئيسية وراء النموذج في أنه يمكن للمرء أن يحوط الخيار تمامًا عن طريق شراء وبيع الأصل الأساسي بالطريقة الصحيحة وبالتالي "التخلص من المخاطر" ، مع عدم وجود تسوية للمخاطر من السعر (<math>V</math> ، قيمة ، أو سعر الخيار ، ينمو في <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math>r</math> </mi></mstyle></mrow> </math><math>r</math> <math>r</math> ، معدل خالية من المخاطر. انظر معادلة بلاك شولز التفسير المالي ). <ref name="Rubinstein"> [[Mark Rubinstein\|روبنشتاين ، مارك]] . (2005). "لحظات عظيمة في الاقتصاد المالي: رابعا. النظرية الأساسية (الجزء الأول)" ، ''مجلة إدارة الاستثمار'' ، المجلد. 3 ، رقم 4 ، الربع الرابع 2005 ؛ ~ (2006). الجزء الثاني ، المجلد. 4 ، رقم 1 ، الربع الأول 2006. انظر تحت عنوان "الروابط الخارجية". </ref> <ref name="Cochrane & Culp">Christopher L. Culp and [[John H. Cochrane]]. (2003). "[http://faculty.chicagobooth.edu/john.cochrane/research/Papers/cochrane-culp%20asset%20pricing.pdf "Equilibrium Asset Pricing and Discount Factors: Overview and Implications for Derivatives Valuation and Risk Management"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20160304190225/http://faculty.chicagobooth.edu/john.cochrane/research/Papers/cochrane-culp%20asset%20pricing.pdf\|date=2016-03-04}}, in ''Modern Risk Management: A History''. Peter Field, ed. London: Risk Books, 2003. {{ردمك\|1904339050}}</ref> هذا التحوط ، بدوره ، يعني أن هناك سعرًا واحدًا مناسبًا - بمعنى خالٍ من التحكيم - للخيار. ويتم إرجاع هذا السعر بواسطة صيغة تسعير خيار Black-Scholes. (الصيغة ، وبالتالي السعر ، تتسق مع المعادلة ، لأن الصيغة هي [[معادلة تفاضلية جزئية\|الحل]] للمعادلة. بما أن الصيغة لا تشير إلى العائد المتوقع للسهم ، فإن Black-Scholes يرث حياد المخاطر ؛ متسقة بشكل حدسي مع "القضاء على المخاطر" هنا ، ومتسقة رياضياً مع [[Financial economics#Arbitrage-free pricing and equilibrium\|# التسعير والتوازن الخاليين من التحكيم]] . وبالتالي ، يمكن أيضًا اشتقاق صيغة التسعير مباشرةً من خلال التوقعات المحايدة للمخاطرة. (BSM - [[لوي باشوليي\|بحثان أساسيان في]] عام 1973 <ref name="BlackScholes_paper">{{Cite journal\|title=The Pricing of Options and Corporate Liabilities\|last=Black\|first=Fischer\|last2=Myron Scholes\|journal=Journal of Political Economy\|year=1973\|volume=81\|issue=3\|pages=637–654\|DOI=10.1086/260062}} [https://www.jstor.org/stable/1831029]</ref> <ref name="Merton_paper"> {{Cite journal\|title=Theory of Rational Option Pricing\|last=Merton\|first=Robert C.\|journal=Bell Journal of Economics and Management Science\|year=1973\|volume=4\|issue=1\|pages=141–183\|DOI=10.2307/3003143\|jstor=3003143}} [https://www.jstor.org/stable/3003143]</ref> - يتوافق مع "الإصدارات السابقة من صيغة" [[لوي باشوليي\|Louis Bachelier]] (1900) و [[Edward O. Thorp]] (1967) ؛ <ref name="Haug Taleb">Haug, E. G. and [[نسيم نقولا طالب\|Taleb, N. N.]] (2008): [http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1012075 Why We Have Never Used the Black-Scholes-Merton Option Pricing Formula] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20110503181600/http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1012075\|date=2011-05-03}}, ''Wilmott Magazine'' January 2008</ref> على الرغم من أن هذه كانت "اكتوارية" أكثر في نكهة ، ولم يثبت خصم محايد للمخاطر. <ref name="Derman">Emanuel Derman, [http://www.emanuelderman.com/media/Scientific_Approach_to_Finance.pdf ''A Scientific Approach to CAPM and Options Valuation''][http://www.emanuelderman.com/media/Scientific_Approach_to_Finance.pdf <nowiki>[1]</nowiki>] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20160330002200/http://www.emanuelderman.com/media/Scientific_Approach_to_Finance.pdf\|date=2016-03-30}}</ref> انظر أيضا [[بول سامويلسون\|بول صامويلسون]] (1965). <ref>{{Cite journal\|last=Samuelson Paul\|author-link=Paul Samuelson\|year=1965\|title=A Rational Theory of Warrant Pricing\|url=http://www.dse.unisalento.it/c/document_library/get_file?folderId=1344637&name=DLFE-157230.pdf\|journal=Industrial Management Review\|volume=6\|issue=\|page=2\|accessdate=2017-02-28\|archiveurl=https://web.archive.org/web/20170301092720/http://www.dse.unisalento.it/c/document_library/get_file?folderId=1344637&name=DLFE-157230.pdf\|archivedate=2017-03-01\|deadurl=no}}</ref> حقق فينزينز برونزين (1908) نتائج مبكرة للغاية ، أيضًا. ) + +كما ذكرنا ، يمكن إثبات أن النموذجين متسقان ؛ ثم ، كما هو متوقع ، فإن الاقتصاد المالي "الكلاسيكي" موحد. هنا ، يمكن اشتقاق معادلة Black Scholes من CAPM ، وبالتالي فإن السعر الذي يتم الحصول عليه من نموذج Black-Scholes يتسق مع العائد المتوقع من CAPM. <ref name="Chance1">Don M. Chance (2008). [http://www.bus.lsu.edu/academics/finance/faculty/dchance/Instructional/TN03-01.pdf "Option Prices and Expected Returns"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20150923195335/http://www.bus.lsu.edu/academics/finance/faculty/dchance/Instructional/TN03-01.pdf\|date=2015-09-23}}</ref> <ref name="Derman">Emanuel Derman, [http://www.emanuelderman.com/media/Scientific_Approach_to_Finance.pdf ''A Scientific Approach to CAPM and Options Valuation''][http://www.emanuelderman.com/media/Scientific_Approach_to_Finance.pdf <nowiki>[1]</nowiki>] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20160330002200/http://www.emanuelderman.com/media/Scientific_Approach_to_Finance.pdf\|date=2016-03-30}}</ref> نظرية Black-Scholes ، على الرغم من أنها مبنية على التسعير الخالي من التحكيم ، تتفق مع تسعير الأصول الرأسمالية القائمة على التوازن. كلا النموذجين ، بدوره ، يتفقان في النهاية مع نظرية Arrow-Debreu ، ويمكن اشتقاقهما من خلال تسعير الدولة ، <ref name="Rubinstein"> [[Mark Rubinstein\|روبنشتاين ، مارك]] . (2005). "لحظات عظيمة في الاقتصاد المالي: رابعا. النظرية الأساسية (الجزء الأول)" ، ''مجلة إدارة الاستثمار'' ، المجلد. 3 ، رقم 4 ، الربع الرابع 2005 ؛ ~ (2006). الجزء الثاني ، المجلد. 4 ، رقم 1 ، الربع الأول 2006. انظر تحت عنوان "الروابط الخارجية". </ref> لمزيد من التوضيح ، وإذا لزم الأمر ، فإن هذه الوحدة توضح ذلك. + +== ملحقات == +العمل الأكثر حداثة يعمم و / أو يمدد هذه النماذج. فيما يتعلق بتسعير الأصول ، تتم مناقشة التطورات في التسعير على أساس التوازن في إطار "نظرية المحفظة" أدناه ، في حين أن "التسعير المشتق" يتعلق بتسعير محايد من المخاطر ، أي خالي من التحكيم. فيما يتعلق باستخدام رأس المال ، تتعلق "نظرية تمويل الشركات" ، بشكل أساسي ، بتطبيق هذه النماذج. + +=== نظرية الحافظة === +[[ملف:Pareto_Efficient_Frontier_for_the_Markowitz_Portfolio_selection_problem..png\|يسار\|تصغير\|200x200بك\| قطعة من معيارين عند تعظيم العائد وتقليل المخاطر في [[محفظة استثمارية\|المحافظ المالية]] (نقاط [[أمثلية باريتو\|Pareto الأمثل]] باللون الأحمر) ]] + +: ''انظر أيضا: [[Post-modern portfolio theory\|نظرية محفظة ما بعد الحداثة]] والتمويل الرياضي إدارة المخاطر والمحفظة: العالم ف .'' + +تتعلق غالبية التطورات هنا بالعائد المطلوب ، أي التسعير ، وتمديد C A P M الأساسي. تقترح النماذج متعددة العوامل ، مثل نموذج [[Fama–French three-factor model\|Fa m a-F r e n c h ثلاثي العوامل ونموذج]] [[Carhart four-factor model\|C a r h a r t المكون من أربعة عوامل]] ، عوامل أخرى غير عائد السوق كما هو مناسب في التسعير. يقوم نظام [[Intertemporal CAPM\|C A P M in t e rt e m p o r a l]] و [[Intertemporal CAPM\|C A P M]] [[Consumption-based capital asset pricing model\|المعتمد على الاستهلاك]] بتمديد النموذج بشكل مشابه. من خلال [[Intertemporal portfolio choice\|اختيار محفظة i n te r t e m p o r a l]] ، تقوم المستثمر الآن بتحسين محفظتها بشكل متكرر. بينما يدرج إدراج [[استهلاك\|الاستهلاك (بالمعنى الاقتصادي)]] جميع مصادر الثروة ، وليس فقط الاستثمارات القائمة على السوق ، في حساب المستثمر للعائد المطلوب. + +في حين أن ما سبق يمد C A P M ، فإن [[Single-index model\|نموذج الفهرس الفردي]] هو [[Single-index model\|نموذج]] أكثر بساطة. إنه يفترض ، فقط ، وجود علاقة بين عوائد الأمن والسوق ، دون افتراضات اقتصادية (عديدة) أخرى. من المفيد أنه يبسط تقدير العلاقة بين الأوراق المالية ، مما يقلل بشكل كبير من المدخلات لبناء مصفوفة الارتباط اللازمة لتحسين المحفظة. تختلف [[Arbitrage pricing theory\|نظرية تسعير المراجحة]] (APT ؛ [[ستيفن روس (اقتصادي)\|ستيفن روس]] ، 1976) بالمثل فيما يتعلق بافتراضاتها. APT "تتخلى عن فكرة أن هناك محفظة واحدة مناسبة للجميع في العالم ، و ... استبدالها بنموذج توضيحي لما يدفع عائدات الأصول." <ref> ''نظرية التسعير للتحكيم ،'' الفصل السادس في جوتزمان ، تحت الروابط الخارجية </ref> تقوم بإرجاع العائد المطلوب (المتوقع) للأصل المالي كدالة خطية لمختلف عوامل الاقتصاد الكلي ، ويفترض أن المراجحة يجب أن تعيد الأصول المسعرة بشكل غير صحيح إلى خطها. + +فيما يتعلق [[Portfolio optimization\|بتحسين المحفظة]] ، فإن [[Black–Litterman model\|نموذج Black-L i t t e rm a n]] يغادر من [[هاري ماركويتز\|نهج M a r k o w i t z الأصلي المتمثل]] في بناء المحافظ عبر [[Efficient frontier\|حدود فعالة]] . يبدأ Black-Li t term a n بدلاً من ذلك بافتراض توازن ، ثم يتم تعديله لمراعاة "وجهات النظر" (أي الآراء المحددة حول عائدات الأصول) للمستثمر المعني للوصول إلى تخصيص أصل مخصص. حيث تعتبر العوامل الإضافية للتقلبات (التقرن ، الانحراف ...) ثم يمكن تطبيق [[Multiple-criteria decision analysis\|تحليل القرار متعدد المعايير]] ؛ هنا اشتقاق محفظة [[أمثلية باريتو\|باريتو فعالة]] . تطبق [[Universal portfolio algorithm\|خوارزمية الحافظة الشاملة]] ( [[توماس كوفر\|Thomas M. Cover]] ) [[تعلم آلي\|التعلم الآلي]] على اختيار الأصول ، والتعلم بشكل تكيفي من البيانات التاريخية. تدرك [[Behavioral portfolio theory\|نظرية الحافظة السلوكية]] أن المستثمرين لديهم أهداف متنوعة وأنشئوا محفظة استثمارية تلبي مجموعة واسعة من الأهداف. [[Copula (probability theory)#Quantitative finance\|تم تطبيق]] Copulas [[Copula (probability theory)#Quantitative finance\|مؤخرًا هنا]] . انظر تحسين الحافظة § تحسين محفظة الأمثل للتقنيات و / أو الأهداف الأخرى. + +=== التسعير المشتق === +[[ملف:Arbre_Binomial_Options_Reelles.png\|يسار\|تصغير\| شعرية ذات الحدين مع صيغ CRR ]] +{\| class="wikitable floatright" width="250" +\| {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} + +: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mn> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mn><mn> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mn></mfrac></mrow><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><msup><mo stretchy="false"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mn></mrow></msup><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mrow><msup><mi mathvariant="normal"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mn></mrow></msup><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><msup><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mo stretchy="false"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mo> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mo> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mo> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mo stretchy="false"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi></mrow></mfrac></mrow><mo> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi></mrow></mfrac></mrow><mo> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mo> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mn> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mn></mstyle></mrow> </math>{{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </img> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond +:<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} +\|} +فيما يتعلق بالتسعير المشتق ، يوفر [[Binomial options pricing model\|نموذج تسعير الخيارات ذات الحدين]] إصدارًا تقديريًا من Black-Scholes ، مفيد لتقييم الخيارات الأمريكية. النماذج المبنية من هذا النوع مبنية - على الأقل ضمنيًا - باستخدام أسعار الحالة (على [[Financial economics#State prices\|النحو الوارد أعلاه]] ) ؛ فيما يتعلق بذلك ، استخدم عدد كبير من الباحثين خيارات لاستخراج أسعار الحالة لمجموعة متنوعة من التطبيقات الأخرى في الاقتصاد المالي. <ref name="Rubinstein"> [[Mark Rubinstein\|روبنشتاين ، مارك]] . (2005). "لحظات عظيمة في الاقتصاد المالي: رابعا. النظرية الأساسية (الجزء الأول)" ، ''مجلة إدارة الاستثمار'' ، المجلد. 3 ، رقم 4 ، الربع الرابع 2005 ؛ ~ (2006). الجزء الثاني ، المجلد. 4 ، رقم 1 ، الربع الأول 2006. انظر تحت عنوان "الروابط الخارجية". </ref> <ref name="Chance1">Don M. Chance (2008). [http://www.bus.lsu.edu/academics/finance/faculty/dchance/Instructional/TN03-01.pdf "Option Prices and Expected Returns"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20150923195335/http://www.bus.lsu.edu/academics/finance/faculty/dchance/Instructional/TN03-01.pdf\|date=2015-09-23}}</ref> <ref name="Chance2">Don M. Chance (2008). [http://www.bus.lsu.edu/academics/finance/faculty/dchance/Instructional/TN97-13.pdf "Option Prices and State Prices"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20120209215717/http://www.bus.lsu.edu/academics/finance/faculty/dchance/Instructional/TN97-13.pdf\|date=2012-02-09}}</ref> بالنسبة إلى [[Option style#Non-vanilla path-dependent "exotic" options\|المشتقات المعتمدة]] على المسار ، يتم استخدام [[Monte Carlo methods for option pricing\|طرق مونت كارلو لتسعير الخيارات]] ؛ هنا النمذجة في وقت مستمر ، ولكن بالمثل يستخدم القيمة المتوقعة للخطر المحايدة. كما تم تطوير [[Option (finance)#Model implementation\|تقنيات رقمية]] مختلفة أخرى . لقد تم تمديد الإطار النظري أيضًا بحيث أصبح [[Martingale pricing\|تسعير مارتينجال]] الآن هو النهج القياسي. التطورات المتعلقة التعقيدات في العودة و / أو التقلب تناقش [[Financial economics#Departures from normality\|أدناه]] . + +بالاعتماد على هذه التقنيات ، تم تطوير نماذج مشتقة للعديد من التطبيقات الفرعية والتطبيقات الأخرى ، وكلها تستند إلى نفس المنطق (باستخدام " تحليل المطالبة الطارئة "). يسمح [[Real options valuation\|تقييم الخيارات الحقيقية]] بأنه يمكن لأصحاب الخيارات التأثير على أساس الخيار ؛ تفترض نماذج [[Employee stock option#Valuation\|تقييم خيارات أسهم الموظف]] بشكل صريح عدم العقلانية من جانب أصحاب الخيارات ؛ تسمح [[Credit derivative\|مشتقات الائتمان]] بعدم الوفاء بالتزامات الدفع و / أو متطلبات التسليم. يتم الآن تقييم [[Exotic derivative\|المشتقات الغريبة]] بشكل روتيني. يتم التعامل مع وكيل الأصول المتعددة عن طريق المحاكاة أو [[Copula (probability theory)#Quantitative finance\|التحليل القائم على]] الكوبولا. + +وبالمثل ، بدايةً من أولدريتش فاسيتش (1977) ، تسمح مختلف النماذج ذات المعدلات القصيرة ، وكذلك التقنيات المعتمدة على السعر الآجل H J M و B G M ، بتمديد هذه التقنيات لتشمل المشتقات [[دخل ثابت\|ذات الدخل الثابت]] وأسعار الفائدة . (يعتمد طرازا [[Vasicek model\|V a s i c e k]] و [[Cox–Ingersoll–Ross model\|CIR]] على التوازن ، بينما تعتمد النماذج Ho-Lee والنماذج اللاحقة على التسعير الخالي من التحكيم. ) يتم تمديد تقييم السندات ذات الصلة: يسمح أسلوب [[Bond valuation#Stochastic calculus approach\|حساب التفاضل والتكامل في Stochastic]] ، الذي يستخدم هذه الطرق ، بمعدلات "عشوائية" (مع إعادة سعر خالٍ من المراجحة ، على النحو الوارد أعلاه ) ؛ [[Lattice model (finance)#Hybrid securities\|نماذج شعرية للأوراق المالية المختلطة]] تسمح بتدفقات نقدية غير حتمية (وأسعار عشوائية). + +على النحو الوارد أعلاه ، اعتمد تسعير المشتقات ( [[أدوية متاحة بدون وصفة\|OTC]] ) على إطار التسعير المحايد لمخاطر B S M ، في ظل افتراضات التمويل بسعر خالٍ من المخاطر والقدرة على تكرار التدفقات النقدية بشكل مثالي حتى يتم التحوط بالكامل. وهذا ، بدوره ، مبني على افتراض وجود بيئة خالية من مخاطر الائتمان. بعد [[الأزمة المالية 2007-2008\|الأزمة المالية في عام 2008]] ، لذلك ، يتم إضافة مسائل مثل مخاطر الائتمان للطرف المقابل ، وتكاليف التمويل وتكاليف رأس المال ، <ref>[http://pure.au.dk/portal-asb-student/files/96440392/Master_Thesis_Pure.pdf "Post-Crisis Pricing of Swaps using xVAs"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20160917015231/http://pure.au.dk/portal-asb-student/files/96440392/Master_Thesis_Pure.pdf\|date=2016-09-17}}, Christian Kjølhede & Anders Bech, Master thesis, [[جامعة آرهوس\|Aarhus University]]</ref> ''وتعديل'' تقييم الائتمان ، أو C V A - ''وتسويات تقييم'' محتملة أخرى ، مجتمعة [[XVA\|x V A]] - تتم إضافتها عمومًا إلى القيمة المشتقة المحايدة للمخاطر. + +من التغييرات ذات الصلة ، وربما الأكثر جوهرية ، أن الخصم الآن على منحنى مؤشر مبادلة Overnight ، بدلاً من L I B O R كما كان مستخدمًا من قبل. وذلك لأن ما بعد الأزمة ، يعتبر O I S وكيلًا أفضل "للمعدلات الخالية من المخاطر". <ref>{{Cite journal\|title=LIBOR vs. OIS: The Derivatives Discounting Dilemma\|first=John\|last=Hull\|first2=Alan\|last2=White\|journal=[[Journal of Investment Management]]\|volume=11\|issue=3\|year=2013\|pages=14–27\|jstor=\|DOI=}}</ref> (وأيضًا ، من الناحية العملية ، عادة ما تكون الفائدة المدفوعة على [[ضمان إضافي\|ضمان]] ن قدي هي معدل الليلة الواحدة ؛ يُشار إلى خصم O I S ، في بعض الأحيان ، باسم "خصم [[Credit Support Annex\|C S A]] ". ) [[مقايضة مالية\|التسعير مبادلة]] - و، في الواقع، بناء منحنى - يتم تعديل أبعد من ذلك: في السابق، وبلغت قيمة المبادلات قبالة "خصم النفس" منحنى أسعار الفائدة واحد؛ في حين أنه بعد الأزمة ، لاستيعاب خصم O I S ، أصبح التقييم الآن ضمن إطار "متعدد المنحنى" حيث يتم إنشاء "منحنيات التنبؤ" ''لكل'' فترة L I B O R عائمة ، مع خصم على منحنى O I S مشترك ؛ انظر مقايضة سعر الفائدة التقييم والتسعير . + +=== نظرية تمويل الشركات === +[[ملف:Manual_decision_tree.jpg\|يسار\|تصغير\| تقييم المشروع عبر شجرة القرار. ]] +تم تمديد نظرية تمويل الشركات أيضًا: تعكس التطورات المذكورة أعلاه وتقييم الأصول واتخاذ القرارات بعد الآن "اليقين". كما تمت مناقشته ، فإن طرق مونت كارلو في مجال التمويل ، التي طرحها [[ديفيد بي. هيرتز]] في عام 1964 ، تسمح للمحللين الماليين بإنشاء نماذج "تمويل [[تصادفية\|عشوائية]] أو [[احتمال\|احتمالية]] للشركات" ، على عكس النماذج الثابتة [[حتمية\|والحتمية]] التقليدية ؛ <ref name="Damodaran_Risk">[[Aswath Damodaran]] (2007). [http://www.stern.nyu.edu/~adamodar/pdfiles/papers/probabilistic.pdf "Probabilistic Approaches: Scenario Analysis, Decision Trees and Simulations"]. In ''Strategic Risk Taking: A Framework for Risk Management''. Prentice Hall. {{ردمك\|0137043775}}</ref> انظر تمويل الشركات قياس عدم اليقين . ذات الصلة ، تسمح نظرية الخيارات الحقيقية للمالك - أي الإجراءات الإدارية - التي تؤثر على القيمة الأساسية: من خلال دمج منطق تسعير الخيارات ، يتم تطبيق هذه الإجراءات بعد ذلك على توزيع النتائج المستقبلية ، مع التغيير مع الوقت ، والتي تحدد بعد ذلك تقييم "المشروع" اليوم. <ref name="Damodaran">{{Cite journal\|last=Damodaran\|first=Aswath\|author-link=Aswath Damodaran\|jstor=\|title=The Promise and Peril of Real Options\|journal=NYU Working Paper\|volume=\|issue=S-DRP-05-02\|year=2005\|pages=\|url=http://stern.nyu.edu/~adamodar/pdfiles/papers/realopt.pdf\|accessdate=2016-12-14\|archiveurl=https://web.archive.org/web/20010613082802/http://www.stern.nyu.edu/~adamodar/pdfiles/papers/realopt.pdf\|archivedate=2001-06-13\|deadurl=no}}</ref> + +وبشكل أكثر تقليدية ، تم استخدام [[شجرة القرار\|أشجار القرارات]] - التي تكمل بعضها البعض - لتقييم المشروعات ، من خلال دمجها في التقييم (جميع) [[حدث (نظرية الاحتمالات)\|الأحداث]] (أو الولايات) [[حدث (نظرية الاحتمالات)\|المحتملة]] [[اتخاذ القرار\|وقرارات الإدارة]] المترتبة عليها ؛ <ref>{{Cite journal\|title=Valuing Risky Projects: Option Pricing Theory and Decision Analysis\|first=James E.\|last=Smith\|first2=Robert F.\|last2=Nau\|url=https://faculty.fuqua.duke.edu/~jes9/bio/Valuing_Risky_Projects.pdf\|journal=Management Science\|volume=41\|issue=5\|year=1995\|pages=795–816\|DOI=10.1287/mnsc.41.5.795\|accessdate=2017-08-17\|archiveurl=https://web.archive.org/web/20100612170613/http://faculty.fuqua.duke.edu/%7Ejes9/bio/Valuing_Risky_Projects.pdf\|archivedate=2010-06-12\|deadurl=no}}</ref> <ref name="Damodaran_Risk">[[Aswath Damodaran]] (2007). [http://www.stern.nyu.edu/~adamodar/pdfiles/papers/probabilistic.pdf "Probabilistic Approaches: Scenario Analysis, Decision Trees and Simulations"]. In ''Strategic Risk Taking: A Framework for Risk Management''. Prentice Hall. {{ردمك\|0137043775}}</ref> معدل الخصم الصحيح هنا يعكس "كل نقطة غير قابلة للتنوع تتطلع إلى الأمام". <ref name="Damodaran_Risk" /> (هذه التقنية تسبق استخدام خيارات حقيقية في تمويل الشركات ؛ <ref>See for example: {{Cite journal\|title=Decision Trees for Decision Making\|first=John F.\|url=https://hbr.org/1964/07/decision-trees-for-decision-making\|last=Magee\|journal=[[Harvard Business Review]]\|volume=July 1964\|year=1964\|pages=795–816\|accessdate=2017-08-16\|archiveurl=https://web.archive.org/web/20170816192517/https://hbr.org/1964/07/decision-trees-for-decision-making\|archivedate=2017-08-16\|deadurl=no}}</ref> فهي مستعارة من [[بحوث العمليات]] ، وليست "تنمية اقتصادية مالية" ''في حد ذاتها'' . ) + +يرتبط هذا ، هو التدفقات النقدية المتوقعة في [[تقييم الأسهم العادية\|تقييم الأسهم]] . في كثير من الحالات ، بعد وليامز أعلاه ، تم تخفيض متوسط (أو على الأرجح) التدفقات النقدية ، <ref name="Markowitz_interview">{{Cite journal\|last=Kritzman\|first=Mark\|jstor=\|title=An Interview with Nobel Laureate Harry M. Markowitz\|journal=Financial Analysts Journal\|volume=73\|issue=4\|year=2017\|pages=16–21\|DOI=10.2469/faj.v73.n4.3}}</ref> بدلاً من معاملة أكثر صحة لكل ولاية في ظل عدم اليقين ؛ انظر التعليقات تحت [[نمذجة مالية\|النمذجة المالية § المحاسبة]] . في العلاجات الأكثر حداثة ، إذن ، فإن التدفقات النقدية ''المتوقعة'' ( [[قيمة متوقعة\|بالمعنى الرياضي]] ) مجتمعة في القيمة الإجمالية لكل فترة تنبؤية يتم خصمها. <ref name="Kruschwitz and Löffler"> انظر Kruschwitz و Löffler لكل ببليوغرافيا. </ref> <ref name="welch">[http://book.ivo-welch.info/read/chap13.pdf "Capital Budgeting Applications and Pitfalls"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20170815234404/http://book.ivo-welch.info/read/chap13.pdf\|date=2017-08-15}}. Ch 13 in [[Ivo Welch]] (2017). ''Corporate Finance'': 4th Edition</ref> <ref>George Chacko and Carolyn Evans (2014). ''Valuation: Methods and Models in Applied Corporate Finance''. FT Press. {{ردمك\|0132905221}}</ref> <ref name="Damodaran_Risk">[[Aswath Damodaran]] (2007). [http://www.stern.nyu.edu/~adamodar/pdfiles/papers/probabilistic.pdf "Probabilistic Approaches: Scenario Analysis, Decision Trees and Simulations"]. In ''Strategic Risk Taking: A Framework for Risk Management''. Prentice Hall. {{ردمك\|0137043775}}</ref> وباستخدام C A P M - أو الامتدادات - يكون الخصم هنا بسعر خالٍ من المخاطر بالإضافة إلى علاوة مرتبطة بعدم اليقين في التدفقات النقدية للمشروع أو المشروع. <ref name="Damodaran_Risk" /> <ref name="welch" /> + +تتضمن التطورات الأخرى هنا <ref> انظر جنسن و سميث تحت عنوان "الروابط الخارجية" ، وكذلك روبنشتاين تحت عنوان "المراجع" </ref> [[مشكلة الموكل والوكيل\|نظرية الوكالة]] ، التي تحلل الصعوبات في تحفيز إدارة الشركات ("الوكيل") للعمل بما يحقق مصلحة المساهمين ("الموكل") ، وليس لمصالحهم الخاصة. [[Clean surplus accounting\|توفر محاسبة الفوائض النظيفة]] [[Residual income valuation\|وتقييم الدخل المتبقي]] ذي الصلة نموذجًا يعيد السعر كدالة للأرباح والعوائد المتوقعة والتغيير في [[قيمة دفترية\|القيمة الدفترية]] ، بدلاً من توزيعات الأرباح. ينشأ هذا النهج ، إلى حد ما ، بسبب التناقض الضمني في رؤية القيمة كدالة لتوزيعات الأرباح ، مع الإبقاء أيضًا على أن سياسة توزيع الأرباح لا يمكن أن تؤثر على القيمة وفقًا لمبدأ Modigliani و Miller " مبدأ عدم الصلة " ؛ انظر سياسة توزيع الأرباح عدم أهمية سياسة توزيع الأرباح . + +التطبيق النموذجي للخيارات الحقيقية هو مشاكل نوع [[موازنة رأسمالية\|الميزانية الرأسمالية]] كما هو موضح. ومع ذلك ، يتم تطبيقها أيضًا على مسائل [[هيكل رأس المال]] وسياسة توزيع الأرباح ، وعلى التصميم ذي الصلة لأوراق مالية الشركات ؛ <ref name="Garbade">Kenneth D. Garbade (2001). ''Pricing Corporate Securities as Contingent Claims.'' [[MIT Press]]. {{ردمك\|9780262072236}}</ref> وبما أن حاملي الأسهم والسندات لديهم وظائف موضوعية مختلفة ، في تحليل مشاكل الوكالة ذات الصلة. <ref name="Damodaran">{{Cite journal\|last=Damodaran\|first=Aswath\|author-link=Aswath Damodaran\|jstor=\|title=The Promise and Peril of Real Options\|journal=NYU Working Paper\|volume=\|issue=S-DRP-05-02\|year=2005\|pages=\|url=http://stern.nyu.edu/~adamodar/pdfiles/papers/realopt.pdf\|accessdate=2016-12-14\|archiveurl=https://web.archive.org/web/20010613082802/http://www.stern.nyu.edu/~adamodar/pdfiles/papers/realopt.pdf\|archivedate=2001-06-13\|deadurl=no}}</ref> في جميع هذه الحالات ، يمكن أن توفر الأسعار الحكومية المعلومات الضمنية في السوق المتعلقة بالشركة ، على النحو الوارد أعلاه ، والتي يتم تطبيقها بعد ذلك على التحليل. على سبيل المثال ، يمكن (يجب) تسعير [[سند قابل للتحويل\|السندات القابلة للتحويل]] بما يتفق مع الأسعار الحكومية لأسهم الشركة. <ref name="corp fin state prices"> انظر de Matos ، وكذلك Bossaerts و Ødegaard ، تحت المراجع. </ref> <ref name="Kruschwitz and Löffler"> انظر Kruschwitz و Löffler لكل ببليوغرافيا. </ref> + +== التحديات والنقد == +كما ذكر أعلاه ، هناك صلة وثيقة للغاية بين (1) فرضية المشي العشوائي ، مع التوقعات المرتبطة بأن تغيرات الأسعار يجب أن تتبع [[توزيع احتمالي طبيعي\|التوزيع الطبيعي]] ، من ناحية ، و (2) كفاءة السوق [[توقعات رشيدة\|والتوقعات المنطقية]] ، من ناحية أخرى. لاحظ ، مع ذلك ، أنه يتم ملاحظة حالات الخروج (الواسعة) عن هذه ، وبالتالي ، هناك ، على التوالي ، مجموعتان رئيسيتان من التحديات. + +=== المغادرين من الحياة الطبيعية === +[[ملف:Ivsrf.gif\|يسار\|تصغير\| سطح التقلب الضمني. يمثل المحور Z تقلبًا ضمنيًا في المئة ، وتمثل محاور X و Y دلتا الخيار ، والأيام حتى الاستحقاق. ]] +كما تمت مناقشته ، فإن الافتراضات القائلة بأن أسعار السوق تتبع [[سير عشوائي\|مسارًا عشوائيًا]] و / أو أن عوائد الأصول يتم توزيعها بشكل طبيعي هي أمور أساسية. ومع ذلك ، تشير الدلائل التجريبية إلى أن هذه الافتراضات قد لا تصمد (انظر خطر التعرق ، مخاطر الانحراف ، [[الذيل الطويل]] ) وأنه في الممارسة العملية ، يعدل التجار والمحللون ومديرو المخاطر بشكل متكرر "النماذج القياسية" (انظر نموذج المخاطر ). في الواقع ، اكتشف [[بينوا ماندلبروت\|B e n o i t Mandelbrot]] بالفعل في الستينيات من القرن الماضي أن التغيرات في الأسعار المالية لا تتبع [[توزيع احتمالي طبيعي\|توزيعًا غوسيًا]] ، وهو الأساس لنظرية تسعير الخيارات ، على الرغم من أن هذه الملاحظة كانت بطيئة في العثور على طريقها إلى الاقتصاد المالي السائد. + +[[Financial models with long-tailed distributions and volatility clustering\|تم تقديم نماذج مالية ذات توزيعات طويلة الذيل وتجمعات متقلبة]] للتغلب على مشاكل الواقعية للنماذج المالية "الكلاسيكية" أعلاه ؛ بينما تسمح [[Jump diffusion#In economics and finance\|نماذج الانتقال السريع]] لأسعار (الخيار) بدمج [[Jump process\|"القفزات"]] في السعر الفوري . <ref name="holes">{{Cite journal\|title=How to use the holes in Black-Scholes\|first=Fischer\|last=Black\|journal=[[Journal of Applied Corporate Finance]]\|volume=1\|issue=Jan\|year=1989\|pages=67–73\|jstor=\|DOI=10.1111/j.1745-6622.1989.tb00175.x}}</ref> وبالمثل ، يستكمل مديرو المخاطر (أو البديل) [[Value at risk\|القيمة]] القياسية في نماذج [[Value at risk\|المخاطر]] [[Historical simulation (finance)\|بمحاكاة تاريخية]] ، [[Mixture model#A financial model\|ونماذج خليط]] ، [[تحليل العنصر الرئيسي\|وتحليل مكون رئيسي]] ، [[Extreme value theory\|ونظرية القيمة القصوى]] ، فضلاً عن نماذج [[Volatility clustering\|لتجميع التقلب]] . <ref>III.A.3 in Carol Alexander, ed. ''The Professional Risk Managers' Handbook: A Comprehensive Guide to Current Theory and Best Practices''. PRMIA Publications (January 2005). {{ردمك\|978-0976609704}}</ref> لمزيد من المناقشة رؤية الذيل الدهون § التوزيع التطبيقات في الاقتصاد ، والقيمة المعرضة للخطر النقد . مديرو الحافظة ، وبالمثل ، قاموا بتعديل معايير وخوارزميات التحسين الخاصة بهم ؛ انظر [[Financial economics#Portfolio theory\|نظرية محفظة #]] أعلاه. + +يرتبط ارتباطًا وثيقًا [[Volatility smile\|بابتسامة التقلب]] ، حيث يُلاحظ أن [[Implied volatility\|التقلب الضمني]] - التقلب المقابل لسعر B S M - ''يختلف'' كدالة [[Strike price\|لسعر الإضراب]] (أي [[Moneyness\|النقود]] ) ، وهذا صحيح فقط إذا كان توزيع تغيير السعر غير طبيعي ، على عكس ذلك المفترض بواسطة B S M. يصف مصطلح مصطلح التقلب مدى اختلاف التقلب (الضمني) بالنسبة للخيارات ذات الصلة مع آجال استحقاق مختلفة. سطح التقلب الضمني هو ثم مؤامرة سطح ثلاثية الأبعاد من ابتسامة التقلب وهيكل المدى. هذه الظواهر التجريبية تنفي افتراض التقلب المستمر والسجلات الطبيعية - التي بنيت عليها بلاك سكولز ؛ <ref name="Haug Taleb">Haug, E. G. and [[نسيم نقولا طالب\|Taleb, N. N.]] (2008): [http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1012075 Why We Have Never Used the Black-Scholes-Merton Option Pricing Formula] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20110503181600/http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1012075\|date=2011-05-03}}, ''Wilmott Magazine'' January 2008</ref> <ref name="holes">{{Cite journal\|title=How to use the holes in Black-Scholes\|first=Fischer\|last=Black\|journal=[[Journal of Applied Corporate Finance]]\|volume=1\|issue=Jan\|year=1989\|pages=67–73\|jstor=\|DOI=10.1111/j.1745-6622.1989.tb00175.x}}</ref> انظر نموذج بلاك سكولز تقلب ابتسامة . + +نتيجة لذلك ، يستخدم المتداولون (ومديرو المخاطر) نماذج "متسقة مع الابتسامة" ، أولاً ، عند تقييم المشتقات التي لم يتم تعيينها مباشرة إلى السطح ، مما يسهل تسعير المجموعات الأخرى ، مثل مجموعات الأسعار / النضج غير المشتقة ، أو المشتقات غير الأوروبية ، وعموما لأغراض التحوط. الطريقتان الرئيسيتان هما [[Local volatility\|التقلب المحلي وتقلب]] [[Stochastic volatility\|مؤشر ستوكاستيك]] . الأول يعيد التقلبات "المحلية" إلى كل نقطة زمنية [[Finite difference methods for option pricing\|محددة]] للتقييم القائم على [[Finite difference methods for option pricing\|الفروق]] أو [[Monte Carlo methods for option pricing\|المحاكاة]] - أي على عكس التذبذب الضمني ، والذي يبقى ثابتًا بشكل عام. وبهذه الطريقة ، تكون الأسعار المحسوبة - والهياكل الرقمية - متسقة مع السوق بطريقة خالية من المراجحة. النهج الثاني يفترض أن تقلب السعر الأساسي هو عملية عشوائية وليس ثابتة. يتم أولاً [[Stochastic volatility#Calibration and estimation\|"معايرة"]] النماذج هنا للأسعار المرصودة ، ثم يتم تطبيقها على التقييم المعني ؛ الأكثر شيوعًا هي [[Heston model\|H e s t o n]] و [[SABR volatility model\|S A B R]] و [[Constant elasticity of variance model\|C E V]] . يعالج هذا النهج بعض المشكلات المحددة مع التحوط في ظل التقلبات المحلية. <ref>{{Cite journal\|title=Managing smile risk\|first=Patrick\|last=Hagan\|displayauthors=etal\|journal=[[Wilmott Magazine]]\|volume=\|issue=Sep\|year=2002\|pages=84–108\|jstor=\|DOI=}}</ref> + +تتعلق التقلبات المحلية بالأشجار الضمنية ذات الحدين و الأشجار المستندة إلى [[Lattice model (finance)\|شعرية]] - تقديرا أساسيا للنهج - والتي تستخدم بالمثل في التسعير هذه مبنية على أسعار الدولة المستردة من السطح. تسمح أشجار E d g e w o r t h ذات الحدين بوجود [[Skewness\|انحراف]] وخرط محدد (أي غير غاوسي) في السعر الفوري ؛ بسعر هنا ، فإن الخيارات ذات الضربات المختلفة ستعيد التقلبات الضمنية المختلفة ، ويمكن معايرة الشجرة حسب الابتسامة على النحو المطلوب. <ref>See for example Pg 217 of: Jackson, Mary; Mike Staunton (2001). ''Advanced modelling in finance using Excel and VBA''. New Jersey: Wiley. {{ردمك\|0-471-49922-6}}.</ref> كما تم تطوير [[Closed-form expression\|نماذج مقفلة ذات]] أغراض مماثلة. <ref> وتشمل هذه: [[Robert A. Jarrow\|Jarrow]] و Rudd (1982) ؛ Corrado and Su (1996)؛ [[David K. Backus\|Backus]] و Foresi و Wu (2004). انظر: Emmanuel Jurczenko ، Bertrand Maillet & Bogdan Negrea ، 2002. "إعادة النظر في نماذج تسعير الخيار التقريبي متعدد اللحظات: مقارنة عامة (الجزء 1)". ورقة عمل ، [[London School of Economics and Political Science\|كلية لندن للاقتصاد والعلوم السياسية]] . </ref> + +كما ذكر أعلاه ، يفترض B S M - ونماذج المشتقات الأخرى عادة - (د) القدرة على تكرار التدفقات النقدية تمامًا بحيث يتم التحوط بالكامل ، ومن ثم إلى الخصم دون معدل المخاطرة. وهذا ، بدوره ، مبني على افتراض وجود بيئة خالية من مخاطر الائتمان. بعد الأزمة ، إذن ، يتم إجراء العديد من التعديلات على القيمة x على القيمة المشتقة من المخاطر المحايدة. لاحظ أن هذه العناصر ''إضافية'' لأي تأثير على الابتسامة أو السطح: هذا صحيح لأن السطح مبني على بيانات الأسعار المتعلقة بالمراكز المضمونة بالكامل ، وبالتالي لا يوجد " حساب مزدوج " لمخاطر الائتمان (وما إلى ذلك) عند تضمين x V A. (أيضًا ، لو لم يكن الأمر كذلك ، فسيكون لكل طرف مقابل سطحه الخاص. . . ) + +=== المغادرين من العقلانية === +{\| class="wikitable floatright" width="200" +\|- align="center" +\| colspan="1" \| الشذوذ في السوق والألغاز الاقتصادية +\|- +\| rowspan="2" \| +* تأثير التقويم + تأثير يناير + سانتا كلوز تجمع +** بيع في مايو +* [[رأسمال مغلق\|لغز نهاية مغلقة الصندوق]] +* لغز الارباح +* الإنصاف لغز المنزل التحيز +* لغز قسط الأسهم +* إلى الأمام الشذوذ قسط +* انخفاض الشذوذ الشذوذ +* الزخم الشذوذ +* بعد إعلان الأرباح الانجراف +* الألغاز الحقيقية لسعر الصرف +\|} +كما رأينا ، هناك افتراض شائع هو أن صناع القرار المالي يتصرفون بعقلانية. رؤية [[Homo economicus\|هومو الاقتصادية]] . لكن في الآونة الأخيرة ، تحدى الباحثون في [[علم اقتصاد تجريبي\|الاقتصاد]] [[Experimental finance\|التجريبي والتمويل التجريبي]] هذا الافتراض [[دليل تجريبي\|تجريبياً]] . كما يتم تحدي هذه الافتراضات من [[نظرية\|الناحية النظرية]] ، من خلال [[اقتصاد سلوكي\|التمويل السلوكي]] ، وهو مجال يتعلق في المقام الأول بالقيود المفروضة على عقلانية العوامل الاقتصادية. + +تمشيا مع هذه النتائج ومكملة لها ، تم توثيق العديد من [[Market anomaly\|الحالات الشاذة]] المستمرة في [[Market anomaly\|السوق ، والتي تمثل تشوهات في]] الأسعار و / أو العودة - على سبيل المثال [[Size premium\|أقساط الحجم]] - والتي تتعارض مع [[فرضية كفاءة السوق\|فرضية السوق الفعالة]] ؛ [[Calendar effect\|تأثيرات التقويم]] هي أفضل مجموعة معروفة هنا. تتعلق هذه [[Economic puzzle\|الألغاز الاقتصادية]] المختلفة ، المتعلقة بالظواهر التي تتناقض مع النظرية بالمثل. ينشأ ''[[Equity premium puzzle\|لغز علاوة الأسهم]]'' ، على سبيل المثال ، في أن الفرق بين العوائد الملحوظة على الأسهم مقارنة بالسندات الحكومية أعلى باستمرار من [[Abnormal return\|عائد]] [[علاوة مخاطرة\|المخاطرة في]] الأسهم العقلانية التي ينبغي على المستثمرين طلبها ، وهو " [[Abnormal return\|عائد غير طبيعي]] ". للحصول على مزيد من السياق ، انظر [[Random walk hypothesis#A non-random walk hypothesis\|فرضية المشي العشوائي § فرضية المشي العشوائية]] ، والشريط الجانبي لحالات محددة. + +بشكل أعم ، وخاصة بعد [[الأزمة المالية 2007-2008\|الأزمة المالية في 2007-2010]] ، تعرض الاقتصاد المالي [[رياضيات مالية\|والتمويل الرياضي]] إلى نقد أعمق ؛ جدير بالذكر هنا [[نسيم نقولا طالب\|نسيم نيكولاس طالب]] ، الذي يدعي أن أسعار الأصول المالية لا يمكن وصفها بالنماذج البسيطة المستخدمة حاليًا ، مما يجعل الكثير من الممارسات الحالية غير ذات صلة ، وفي أسوأ الأحوال ، مضللة بشكل خطير ؛ رؤية [[نظرية البجعة السوداء]] ، توزيع طالب . كان موضوع الاهتمام العام الذي تمت دراسته في السنوات الأخيرة هو [[أزمة مالية\|الأزمات المالية]] ، <ref>From ''[[The New Palgrave Dictionary of Economics]]'', Online Editions, 2011, 2012, with abstract links:<br /><br />   • [http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2012_F000330&edition=1 "regulatory responses to the financial crisis: an interim assessment"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20130529101109/http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2012_F000330&edition=1\|date=2013-05-29}} by [[هوارد ديفيز\|Howard Davies]]<br /><br />   • [http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2011_C000621&edition= "Credit Crunch Chronology: April 2007–September 2009"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20130529092712/http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2011_C000621&edition=\|date=2013-05-29}} by The Statesman's Yearbook team<br /><br />   • [http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2011_M000430&edition=current&q= "Minsky crisis"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20130529172102/http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2011_M000430&edition=current&q=\|date=2013-05-29}} by [[L. Randall Wray]]<br /><br />   • [http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2011_E000326&edition=current&q= "euro zone crisis 2010"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20130529092726/http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2011_E000326&edition=current&q=\|date=2013-05-29}} by [[Daniel Gros]] and Cinzia Alcidi.<br /><br />   • [[Carmen M. Reinhart]] and [[Kenneth S. Rogoff]], 2009. ''This Time Is Different: Eight Centuries of Financial Folly'', Princeton. [http://press.princeton.edu/titles/8973.html Description] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20130118213207/http://press.princeton.edu/titles/8973.html\|date=2013-01-18}}, ch. 1 ("Varieties of Crises and their Dates". pp. [http://press.princeton.edu/chapters/s8973.pdf 3-20)] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20120925065855/http://press.princeton.edu/chapters/s8973.pdf\|date=2012-09-25}}, and chapter-preview [https://books.google.com/books?id=ak5fLB24ircC&printsec=frontcover&source=find&pg=PR7gbs_atb#v=onepage&q&f=false links.]</ref> وفشل الاقتصاديات المالية في تشكيلها. (المشكلة ذات الصلة هي [[مخاطر نظمية\|المخاطر النظامية]] : حيث تحتفظ الشركات بأوراق مالية فيما بينها ، فإن الترابط قد يستلزم "سلسلة تقييم" - وأداء شركة واحدة ، أو أمان ، سوف يؤثر هنا على الجميع ، وهي ظاهرة لا يمكن صياغتها بسهولة ، بغض النظر عما إذا النماذج الفردية صحيحة. انظر [[مخاطر نظمية\|المخاطر النظامية § عدم كفاية نماذج التقييم الكلاسيكية]] ؛ [[Cascades in financial networks\|شلالات في الشبكات المالية]] ؛ [[Flight-to-quality\|رحلة إلى الجودة]] . ) + +تشمل مجالات البحث التي تحاول شرح (أو على الأقل نموذج) هذه الظواهر والأزمات ، <ref name="Doyne_Geanakoplos">{{Cite journal\|last=Farmer J. Doyne, Geanakoplos John\|year=2009\|title=The virtues and vices of equilibrium and the future of financial economics\|url=https://campuspress.yale.edu/johngeanakoplos/files/2017/07/63.-The-Virtues-and-Vices-of-Equilbrium-and-the-Future-of-Financial-Economics-2009-26baz0x.pdf\|journal=Complexity\|volume=14\|issue=3\|pages=11–38\|DOI=10.1002/cplx.20261\|arxiv=0803.2996\|bibcode=2009Cmplx..14c..11F}}</ref> [[Noise trader\|تجارة الضوضاء]] [[Market microstructure\|والبنية المجهرية للسوق]] ونماذج العوامل غير المتجانسة . يمتد هذا الأخير إلى [[Agent-based computational economics\|الاقتصاد الحسابي القائم على الوكيل]] ، حيث يتم التعامل مع السعر [[تولد\|كظاهرة ناشئة]] ، الناتجة عن تفاعل مختلف المشاركين في السوق (الوكلاء). تقول فرضية السوق الصاخبة أن الأسعار يمكن أن تتأثر بالمضاربين وتجار الزخم ، وكذلك من [[تداول من الداخل\|الداخل]] والمؤسسات التي غالباً ما تشتري وتبيع الأسهم لأسباب لا علاقة لها بالقيمة الأساسية ؛ انظر [[Noise (economic)\|الضوضاء (الاقتصادية)]] . [[Adaptive market hypothesis\|فرضية السوق التكيفية]] هي محاولة للتوفيق بين فرضية السوق الفعالة والاقتصاد السلوكي ، من خلال تطبيق مبادئ [[تطور\|التطور]] على التفاعلات المالية. بدلاً من ذلك ، تُظهر [[Information cascade\|سلسلة المعلومات]] المشاركين في السوق وهم يشاركون في نفس أفعال الآخرين (" [[سلوك القطيع]] ") ، على الرغم من التناقضات مع معلوماتهم الخاصة. وقد تم تطبيق [[Copula (probability theory)#Quantitative finance\|النمذجة المستندة إلى Copula]] بالمثل. انظر أيضًا [[Hyman Minsky#Minsky's financial instability hypothesis\|"فرضية عدم الاستقرار المالي" التي]] [[Hyman Minsky\|وضعها هيمان مينسكي]] ، بالإضافة إلى مقاربة [[جورج سوروس]] ، [[جورج سوروس\|الانعكاسية ، الأسواق المالية ، والنظرية الاقتصادية]] . + +ولكن على الجانب الآخر ، أظهرت العديد من الدراسات أنه على الرغم من هذه الانحرافات عن الكفاءة ، إلا أن أسعار الأصول عادةً ما تمشي بشكل عشوائي ، وبالتالي لا يمكن للمرء أن يتفوق باستمرار على متوسطات السوق ( "ألفا" ). <ref>[[ويليام شارب\|William F. Sharpe]] (1991). [http://www.stanford.edu/~wfsharpe/art/active/active.htm "The Arithmetic of Active Management"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20131113071513/http://www.stanford.edu/~wfsharpe/art/active/active.htm\|date=2013-11-13}}. ''Financial Analysts Journal'' Vol. 47, No. 1, January/February</ref> لذلك فإن الأثر العملي هو أن الاستثمار السلبي (على سبيل المثال من خلال [[Index fund\|صناديق المؤشرات]] منخفضة التكلفة) ينبغي ، في المتوسط ، أن يخدم بشكل أفضل من أي استراتيجية نشطة أخرى. <ref name="two">[[ويليام شارب\|William F. Sharpe]] (2002). [http://www.stanford.edu/~wfsharpe/art/talks/indexed_investing.htm ''Indexed Investing: A Prosaic Way to Beat the Average Investor''] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20131114160728/http://www.stanford.edu/~wfsharpe/art/talks/indexed_investing.htm\|date=2013-11-14}}. Presention: [[Monterey Institute of International Studies]]. Retrieved May 20, 2010.</ref> [[Burton Malkiel\|تعد لعبة Burton M a l k i e l]] ''[[A Random Walk Down Wall Street\|للمشي العشوائي في وول ستريت]]'' - التي نُشرت لأول مرة في عام 1973 ، وفي عددها الحادي عشر اعتبارًا من عام 2015 - تعميمًا شائعًا لهذه الحجج. (راجع أيضًا [[John C. Bogle\|John C B o g l e]] 's ''[[Common Sense on Mutual Funds\|Sense على صناديق الاستثمار المشتركة]]'' ؛ لكن قارن [[وارن بافت\|وارين بافيت]] ''[[The Superinvestors of Graham-and-Doddsville\|من S u p e r i n v e s t o r s لـ Graham-and-D o d d s v i l l e]]'' . لاحظ أيضًا أن ''الحدود'' الموروثة مؤسسيًا ''[[Limits to arbitrage\|للمراجحة]]'' - على عكس العوامل المتناقضة مباشرة مع النظرية - تُقترح أحيانًا كتفسير لهذه الانحرافات عن الكفاءة. + +== أنظر أيضا == +{{Div col}} +* [[:Category:Finance theories]] +* [[:Category:Financial economists]] +* [[Deutsche Bank Prize in Financial Economics]] +* [[Financial modeling]] +* [[Fischer Black Prize]] +* {{sectionlink\|List of unsolved problems in economics\|Financial economics}} +* [[Monetary economics]] +* [[Outline of economics]] +* [[Outline of finance]] +{{Div col end}} + +== المراجع == +<references group="" responsive="0"></references> + +== قائمة المراجع == +{{refbegin\|30em}} +'''Financial economics''' +* {{cite book\|author=Roy E. Bailey\|title=The Economics of Financial Markets\|publisher=[[Cambridge University Press]]\|location=\|year=2005\|isbn=978-0521612807}} +* {{cite book\|author=Marcelo Bianconi\|title=Financial Economics, Risk and Information (2nd Edition)\|publisher=[[World Scientific]]\|location=\|year=2013\|isbn=978-9814355131}} +* {{cite book\|author=[[Zvi Bodie]], [[Robert C. Merton]] and David Cleeton\|title=Financial Economics (2nd Edition)\|publisher=[[Prentice Hall]]\|location=\|year=2008\|isbn=978-0131856158}} +* {{cite book\|author=James Bradfield\|title=Introduction to the Economics of Financial Markets\|publisher=Oxford University Press\|location=\|year=2007\|isbn=978-0-19-531063-4}} +* {{cite book\|author1=Satya R. Chakravarty\|title=An Outline of Financial Economics\|publisher=Anthem Press\|location=\|year=2014\|isbn=978-1783083367}} +* {{cite book\|author=[[Jakša Cvitanić]] and Fernando Zapatero\|title=Introduction to the Economics and Mathematics of Financial Markets\|publisher=MIT Press\|location=\|year=2004\|isbn=978-0262033206}} +* {{cite book\|author=[[George Constantinides\|George M. Constantinides]], Milton Harris, [[René M. Stulz]] (editors)\|url=http://econpapers.repec.org/bookchap/eeefinchp/\|title=Handbook of the Economics of Finance\|publisher=[[Elsevier]]\|location=\|year=2003\|isbn=978-0444513632}} +* {{cite book\|author1=Keith Cuthbertson\|author2=Dirk Nitzsche\|title=Quantitative Financial Economics: Stocks, Bonds and Foreign Exchange\|publisher=Wiley\|location=\|year=2004\|isbn=978-0470091715}} +* {{cite book\|author=[[Jean-Pierre Danthine]], [[John Donaldson (economist)\|John B. Donaldson]]\|title=Intermediate Financial Theory (2nd Edition)\|publisher=[[Academic Press]]\|location=\|year=2005\|isbn=978-0123693808}} +* {{cite book\|author=Louis Eeckhoudt\|author2=Christian Gollier, [[American Risk and Insurance Association#Presidents\|Harris Schlesinger]]\|title=Economic and Financial Decisions Under Risk\|publisher=Princeton University Press\|location=\|year=2005\|isbn=978-0-691-12215-1}} +* {{cite book\|author1=Jürgen Eichberger\|author2=[[Ian Harper\|Ian R. Harper]]\|title=Financial Economics\|publisher=Oxford University Press\|location=\|year=1997\|isbn=978-0198775409}} +* {{cite book\|author=Igor Evstigneev, Thorsten Hens, and Klaus Reiner Schenk-Hoppé\|title=Mathematical Financial Economics: A Basic Introduction\|publisher=Springer\|location=\|year=2015\|isbn=978-3319165707}} +* {{cite book\|author=[[Frank J. Fabozzi]], Edwin H. Neave and Guofu Zhou\|title=Financial Economics\|publisher=Wiley\|location=\|year=2011\|isbn=978-0470596203}} +* {{cite book\|author=Christian Gollier\|title=The Economics of Risk and Time (2nd Edition)\|publisher=[[MIT Press]]\|location=\|year=2004\|isbn=978-0-262-57224-8}} +* {{cite book\|author=[[Thorsten Hens]] and Marc Oliver Rieger\|title=Financial Economics: A Concise Introduction to Classical and Behavioral Finance\|publisher=[[Springer Publishing\|Springer]]\|location=\|year=2010\|isbn=978-3540361466}} +* {{cite book\|author=[[Chi-fu Huang]] and [[Robert Litzenberger\|Robert H. Litzenberger]]\|title=Foundations for Financial Economics\|publisher=Prentice Hall\|location=\|year=1998\|isbn=978-0135006535}} +* {{cite book\|author=[[Jonathan E. Ingersoll]]\|title=Theory of Financial Decision Making\|publisher=Rowman & Littlefield\|location=\|year=1987\|isbn=978-0847673599}} +* {{cite book\|author=[[Robert A. Jarrow]]\|title=Finance theory\|publisher=Prentice Hall\|location=\|year=1988\|isbn=978-0133148657}} +* {{cite book\|author=Chris Jones\|title=Financial Economics\|publisher=[[Routledge]]\|location=\|year=2008\|isbn=978-0415375856}} +* {{cite book\|author=Brian Kettell\|title=Economics for Financial Markets\|publisher=[[Butterworth-Heinemann]]\|location=\|year=2002\|isbn=978-0-7506-5384-8}} +* {{cite book\|author=Yvan Lengwiler\|title=Microfoundations of Financial Economics: An Introduction to General Equilibrium Asset Pricing\|publisher=Princeton University Press\|location=\|year=2006\|isbn=978-0691126319}} +* {{cite book\|author1=Stephen F. LeRoy\|author2=Jan Werner\|title=Principles of Financial Economics\|publisher=Cambridge University Press\|location=\|year=2000\|isbn=978-0521586054}} +* {{cite book\|author1=Leonard C. MacLean\|author2=William T. Ziemba\|title=Handbook of the Fundamentals of Financial Decision Making\|publisher=World Scientific\|location=\|year=2013\|isbn=978-9814417341}} +* {{cite book\|author=[[Frederic S. Mishkin]]\|title=The Economics of Money, Banking, and Financial Markets (3rd Edition)\|publisher=[[Prentice Hall]]\|location=\|year=2012\|isbn=978-0132961974}} +* {{cite book\|author=[[Harry Panjer\|Harry H. Panjer]], ed.\|title=Financial Economics with Applications\|publisher=Actuarial Foundation\|location=\|year=1998\|isbn=978-0938959489}} +* {{cite book\|editor=Geoffrey Poitras\|title=Pioneers of Financial Economics, Volume I\|publisher=[[Edward Elgar Publishing]]\|location=\|year=2007\|isbn=978-1845423810}}; Volume II {{ISBN\|978-1845423827}}. +* {{cite book\|author=[[Richard Roll]] (series editor)\|url=http://www.e-elgar.co.uk/search_results.lasso?series_title=The%20International%20Library%20of%20Critical%20Writings%20in%20Financial%20Economics\|title=The International Library of Critical Writings in Financial Economics\|publisher=[[Edward Elgar Publishing]]\|location=[[Cheltenham]]\|year=2006\|isbn=}} + +'''Asset pricing''' +* {{cite book\|author=Kerry E. Back\|title=Asset Pricing and Portfolio Choice Theory\|publisher=Oxford University Press\|location=\|year=2010\|isbn=978-0195380613}} +* {{cite book\|author=Tomas Björk\|title=Arbitrage Theory in Continuous Time (3rd Edition)\|publisher=Oxford University Press\|location=\|year=2009\|isbn=978-0199574742}} +* {{cite book\|author=[[John H. Cochrane]]\|title=Asset Pricing\|publisher=[[Princeton University Press]]\|location=\|year=2005\|isbn=978-0691121376}} +* {{cite book\|author=[[Darrell Duffie]]\|title=Dynamic Asset Pricing Theory (3rd Edition)\|publisher=Princeton University Press\|location=\|year=2001\|isbn=978-0691090221}} +* {{cite book\|author=[[Edwin Elton\|Edwin J. Elton]], Martin J. Gruber, Stephen J. Brown, [[William N. Goetzmann]]\|title=Modern Portfolio Theory and Investment Analysis (9th Edition)\|publisher=[[John Wiley & Sons\|Wiley]]\|location=\|year=2014\|isbn=978-1118469941}} +* {{cite book\|author=[[Robert Haugen\|Robert A. Haugen]]\|title=Modern Investment Theory (5th Edition)\|publisher=Prentice Hall\|location=\|year=2000\|isbn=978-0130191700}} +* {{cite book\|author=[[Mark S. Joshi]], Jane M. Paterson\|title=Introduction to Mathematical Portfolio Theory\|publisher=Cambridge University Press\|location=\|year=2013\|isbn=978-1107042315}} +* {{cite book\|author=Lutz Kruschwitz, Andreas Loeffler\|title=Discounted Cash Flow: A Theory of the Valuation of Firms\|publisher=Wiley\|location=\|year=2005\|isbn=978-0470870440}} +* {{cite book\|author=[[David Luenberger\|David G. Luenberger]]\|title=Investment Science (2nd Edition)\|publisher=[[Oxford University Press]]\|location=\|year=2013\|isbn=978-0199740086}} +* {{cite book\|author=[[Harry M. Markowitz]]\|title=Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments (2nd Edition)\|publisher=Wiley\|location=\|year=1991\|isbn=978-1557861085}} +* {{cite book\|author=[[Frank Milne]]\|title=Finance Theory and Asset Pricing (2nd Edition)\|publisher=Oxford University Press\|location=\|year=2003\|isbn=978-0199261079}} +* {{cite book\|author=[[George Pennacchi]]\|title=Theory of Asset Pricing\|publisher=Prentice Hall\|location=\|year=2007\|isbn=978-0321127204}} +* {{cite book\|author=[[Mark Rubinstein]]\|title=A History of the Theory of Investments\|publisher=Wiley\|location=\|year=2006\|isbn=978-0471770565}} +* {{cite book\|author=[[William F. Sharpe]]\|title=Portfolio Theory and Capital Markets: The Original Edition\|publisher=[[McGraw-Hill]]\|location=\|year=1999\|isbn=978-0071353205}} + +'''Corporate finance''' +* {{cite book\|author1=Jonathan Berk\|author2=Peter DeMarzo\|title=Corporate Finance (3rd Edition)\|publisher=[[Pearson Education\|Pearson]]\|location=\|year=2013\|isbn=978-0132992473}} +* {{cite book\|author=Peter Bossaerts\|author2=Bernt Arne Ødegaard\|title=Lectures on Corporate Finance (Second Edition)\|publisher=World Scientific\|location=\|year=2006\|isbn=978-981-256-899-1}} +* {{cite book\|author=[[Richard Brealey]]\|author2=[[Stewart Myers]]\|author3=[[Franklin Allen]]\|title=Principles of Corporate Finance\|publisher=Mcgraw-Hill\|location=\|year=2013\|isbn=978-0078034763\|title-link=Principles of Corporate Finance}} +* {{cite book\|author=[[Aswath Damodaran]]\|title=Corporate Finance: Theory and Practice\|publisher=Wiley\|location=\|year=1996\|isbn=978-0471076803}} +* {{cite book\|author=João Amaro de Matos\|title=Theoretical Foundations of Corporate Finance\|publisher=Princeton University Press\|location=\|year=2001\|isbn=9780691087948}} +* {{cite book\|author1=Joseph Ogden\|author2=Frank C. Jen\|author3=Philip F. O'Connor\|title=Advanced Corporate Finance\|publisher=Prentice Hall\|location=\|year=2002\|isbn=978-0130915689}} +* {{cite book\|author1=Pascal Quiry\|author2=Yann Le Fur\|author3=Antonio Salvi\|author4=Maurizio Dallochio\|author5=Pierre Vernimmen\|title=Corporate Finance: Theory and Practice (3rd Edition)\|publisher=Wiley\|location=\|year=2011\|isbn=978-1119975588}} +* {{cite book\|author=[[Stephen Ross (economist)\|Stephen Ross]], Randolph Westerfield, Jeffrey Jaffe\|title=Corporate Finance (10th Edition)\|publisher=[[McGraw-Hill]]\|location=\|year=2012\|isbn=978-0078034770}} +* {{cite book\|author=[[Joel Stern\|Joel M. Stern]], ed.\|title=The Revolution in Corporate Finance (4th Edition)\|publisher=[[Wiley-Blackwell]]\|location=\|year=2003\|isbn=9781405107815}} +* {{cite book\|author=[[Jean Tirole]]\|title=The Theory of Corporate Finance\|publisher=Princeton University Press\|location=\|year=2006\|isbn=978-0691125565}} +* {{cite book\|author=[[Ivo Welch]]\|title=Corporate Finance (3rd Edition)\|publisher=\|location=\|year=2014\|isbn=978-0-9840049-1-1}} +{{refend}} +[[تصنيف:علم اكتواري]] +[[تصنيف:الاقتصاد المالي]] +[[تصنيف:Webarchive template wayback links]] +[[تصنيف:CS1 maint: Extra text: authors list]] +[[تصنيف:صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفون]] +[[تصنيف:صفحات بترجمات غير مراجعة]] '
حجم الصفحة الجديد `(new_size)`	199844
حجم الصفحة القديم `(old_size)`	0
الحجم المتغير في التعديل `(edit_delta)`	199844
السطور المضافة في التعديل `(added_lines)`	[ 0 => false, 1 => ''''الاقتصاد المالي''' هو فرع [[اقتصاد (علم)\|الاقتصاد الذي]] يتميز بـ "التركيز على الأنشطة النقدية" ، والذي من المحتمل أن يظهر فيه "المال من نوع أو آخر على ''جانبي'' التجارة". <ref name="stanford1">[[ويليام شارب\|William F. Sharpe]], [http://www.stanford.edu/~wfsharpe/mia/int/mia_int2.htm "Financial Economics"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20040604105441/http://www.stanford.edu/~wfsharpe/mia/int/mia_int2.htm\|date=2004-06-04}}, in {{مرجع ويب', 2 => '\| url = http://web.stanford.edu/~wfsharpe/mia/MIA.HTM', 3 => '\| title = ''Macro-Investment Analysis''', 4 => '\| publisher = Stanford University (manuscript)', 5 => '\| archiveurl = https://web.archive.org/web/20140714034144/http://web.stanford.edu/~wfsharpe/mia/mia.htm', 6 => '\| archivedate = 2014-07-14', 7 => '\| deadurl = no', 8 => '\| accessdate = 2009-08-06', 9 => '}}</ref> وبالتالي ، فإن اهتمامها هو الترابط بين المتغيرات المالية ، مثل الأسعار وأسعار [[سعر الفائدة\|الفائدة]] والأسهم ، مقابل تلك المتعلقة [[اقتصاد\|بالاقتصاد الحقيقي]] . له مجالان رئيسيان للتركيز: <ref name="Miller"> [[Merton H. Miller]] ، (1999). تاريخ المالية: حساب شاهد عيان ، ''مجلة إدارة المحافظ'' . صيف 1999. </ref> [[Asset pricing\|تسعير الأصول]] [[تمويل الشركات\|وتمويل الشركات]] ؛ الأول هو منظور مقدمي رأس المال ، أي المستثمرين ، والثاني لمستخدمي رأس المال. ', 10 => false, 11 => 'يتعلق الموضوع بـ "تخصيص ونشر الموارد الاقتصادية ، مكانيا وعبر الزمن ، في بيئة غير مستقرة". <ref>[[روبرت ميرتون\|Robert C. Merton]] {{مرجع ويب', 12 => '\| url = http://nobelprize.org/nobel_prizes/economics/laureates/1997/merton-lecture.pdf', 13 => '\| title = Nobel Lecture', 14 => '\| archiveurl = https://web.archive.org/web/20090319202149/http://nobelprize.org/nobel_prizes/economics/laureates/1997/merton-lecture.pdf', 15 => '\| archivedate = 2009-03-19', 16 => '\| deadurl = no', 17 => '\| accessdate = 2009-08-06', 18 => '}}</ref> لذلك فهو يركز على اتخاذ القرارات في ظل عدم اليقين في سياق الأسواق المالية ، والنماذج والمبادئ الاقتصادية والمالية الناتجة ، ويهتم باستنباط الآثار القابلة للاختبار أو السياسة من الافتراضات المقبولة. إنه مبني على أسس [[اقتصاد جزئي\|الاقتصاد الجزئي]] [[نظرية القرار\|ونظرية القرار]] . ', 19 => false, 20 => 'الاقتصاد القياسي هو فرع الاقتصاد المالي الذي يستخدم تقنيات الاقتصاد القياسي لتحديد معالم هذه العلاقات. يرتبط [[رياضيات مالية\|التمويل الرياضي]] بأنه سيشتق ويوسع النماذج الرياضية أو العددية المقترحة من قبل الاقتصاد المالي. لاحظ على الرغم من أن التركيز هناك هو الاتساق الرياضي ، على عكس التوافق مع النظرية الاقتصادية. يركز الاقتصاد المالي في المقام الأول على [[اقتصاد جزئي\|الاقتصاد الجزئي]] ، في حين أن [[نظرية نقدية (اقتصاد)\|الاقتصاد النقدي]] هو في المقام الأول [[اقتصاد كلي\|الاقتصاد الكلي]] بطبيعته. ', 21 => false, 22 => 'يتم تدريس الاقتصاد المالي عادة على مستوى الدراسات العليا ؛ انظر [[Master of Financial Economics\|ماجستير في الاقتصاد المالي]] . في الآونة الأخيرة ، يتم تقديم شهادات جامعية متخصصة في التخصص. <ref>e.g.: [http://www.kent.ac.uk/courses/undergraduate/126/financial-economics Kent] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20140221212707/http://www.kent.ac.uk/courses/undergraduate/126/financial-economics\|date=2014-02-21}}; [http://www.city.ac.uk/courses/undergraduate/financial-economics City London] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20140223090217/http://www.city.ac.uk/courses/undergraduate/financial-economics\|date=2014-02-23}}; [http://undergradbusiness.ucr.edu/major/financial_economics.html UC Riverside] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20140222044845/http://undergradbusiness.ucr.edu/major/financial_economics.html\|date=2014-02-22}}; [http://www2.le.ac.uk/departments/economics/undergraduate Leicester] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20140222003101/http://www2.le.ac.uk/departments/economics/undergraduate\|date=2014-02-22}}; [http://www.economics.utoronto.ca/index.php/index/undergraduate/load/overview Toronto] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20140221102435/http://www.economics.utoronto.ca/index.php/index/undergraduate/load/overview\|date=2014-02-21}}; [http://economics.umbc.edu/bs-in-financial-economics/ UMBC] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20141230165120/http://economics.umbc.edu/bs-in-financial-economics/\|date=2014-12-30}}</ref> ', 23 => false, 24 => 'توفر هذه المقالة نظرة عامة واستطلاعًا حول الحقل: للحصول على مزيد من الاشتقاقات ومناقشة فنية أكثر ، راجع المقالات المحددة المرتبطة. ', 25 => false, 26 => '== الاقتصاد الأساسي ==', 27 => '{\| class="wikitable floatright" width="250"', 28 => '\| رموز تصنيف JEL ', 29 => '\|-', 30 => '\| في رموز تصنيف مجلة الأدب الاقتصادي ، يعد الاقتصاد المالي واحدًا من التصنيفات الـ 19 الأولية ، في JEL: G. ويتبع [[اقتصاد دولي\|الاقتصاد]] [[نظرية نقدية (اقتصاد)\|النقدي]] [[اقتصاد دولي\|والدولي]] ويسبق الاقتصاد العام . للاطلاع على التصنيفات الفرعية التفصيلية ، انظر أكواد تصنيف JEL الاقتصاد المالي . ', 31 => '''يستخدم قاموس الجرافيك الجديد للاقتصاد'' (2008 ، الطبعة الثانية) أيضًا رموز JEL لتصنيف إدخالاته في الإصدار 8 ، فهرس الموضوع ، بما في ذلك الاقتصاد المالي في صفحة.   863-64. فيما يلي روابط [[موجز (ملخص)\|لملخصات]] إدخال The New Palgrave [http://www.dictionaryofeconomics.com/dictionary Online] لكل فئة من فئات JEL الأساسية أو الثانوية (10 أو أقل لكل صفحة ، على غرار عمليات بحث [[جوجل\|Google]] ): ', 32 => false, 33 => ': [http://www.dictionaryofeconomics.com/search_results?,q=&field=content&edition=all&topicid=G JEL: G] - الاقتصاد المالي ', 34 => ': [http://www.dictionaryofeconomics.com/search_results?q=&field=content&edition=all&topicid=G0 JEL: G0] - عام ', 35 => ': [http://www.dictionaryofeconomics.com/search_results?q=&field=content&edition=all&topicid=G1 JEL: G1] - [[سوق مالية\|الأسواق المالية العامة]] ', 36 => ': [http://www.dictionaryofeconomics.com/search_results?q=&field=content&edition=all&topicid=G2 JEL: G2] - [[مؤسسة مالية\|المؤسسات]] [[خدمات مالية\|والخدمات]] [[مؤسسة مالية\|المالية]] ', 37 => ': [http://www.dictionaryofeconomics.com/search_results?q=&field=content&edition=all&topicid=G3 JEL: G3] - [[تمويل الشركات]] [[حوكمة الشركات\|والحوكمة]] ', 38 => false, 39 => 'ويمكن أيضا إدخالات الفئة الثالثة يمكن البحث. <ref>For example, http://www.dictionaryofeconomics.com/search_results?q=&field=content&edition=all&topicid=G00 {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20130529074942/http://www.dictionaryofeconomics.com/search_results?q=&field=content&edition=all&topicid=G00\|date=2013-05-29}}.</ref> ', 40 => '\|}', 41 => 'كما ذكر أعلاه ، يستكشف الانضباط بشكل أساسي كيف يمكن [[Homo economicus\|للمستثمرين العقلانيين]] تطبيق [[نظرية القرار]] على مشكلة [[استثمار\|الاستثمار]] . وبالتالي فإن الموضوع مبني على أسس [[اقتصاد جزئي\|الاقتصاد الجزئي]] ونظرية القرار ، ويستخلص العديد من النتائج الرئيسية لتطبيق [[اتخاذ القرار\|صنع القرار في]] ظل عدم اليقين في [[سوق مالية\|الأسواق المالية]] . ', 42 => false, 43 => '=== القيمة الحالية والتوقع والفائدة ===', 44 => 'تكمن وراء كل الاقتصاد المالي مفاهيم [[قيمة حالية\|القيمة الحالية]] [[قيمة متوقعة\|والتوقع]] . <ref name="Rubinstein"> [[Mark Rubinstein\|روبنشتاين ، مارك]] . (2005). "لحظات عظيمة في الاقتصاد المالي: رابعا. النظرية الأساسية (الجزء الأول)" ، ''مجلة إدارة الاستثمار'' ، المجلد. 3 ، رقم 4 ، الربع الرابع 2005 ؛ ~ (2006). الجزء الثاني ، المجلد. 4 ، رقم 1 ، الربع الأول 2006. انظر تحت عنوان "الروابط الخارجية". </ref> ', 45 => false, 46 => 'يسمح حساب القيمة الحالية لصانع القرار بتجميع [[تدفق نقدي\|التدفقات النقدية]] (أو العوائد الأخرى) التي يتم إنتاجها بواسطة الأصل في المستقبل ، إلى قيمة واحدة في التاريخ المعني ، وبالتالي مقارنة فرصتين بسهولة أكبر ؛ وبالتالي هذا المفهوم هو نقطة الانطلاق لاتخاذ القرارات المالية. (تاريخها مبكرًا: يناقش [[فائدة مركبة\|ريتشارد ويت]] [[فائدة مركبة\|الاهتمام المركب]] بعمق بالفعل في عام 1613 ، في كتابه "أسئلة الحساب" ؛ <ref>C. Lewin (1970). [https://www.actuaries.org.uk/system/files/documents/pdf/0121-0132.pdf An early book on compound interest] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20161221163926/https://www.actuaries.org.uk/system/files/documents/pdf/0121-0132.pdf\|date=2016-12-21}}, Institute and Faculty of Actuaries</ref> بتطويره [[Johan de Witt\|يوهان دي ويت]] [[إدموند هالي\|وإدموند هالي]] . ) ', 47 => false, 48 => 'يتمثل الامتداد الفوري في الجمع بين الاحتمالات والقيمة الحالية ، مما يؤدي إلى [[قيمة متوقعة\|معيار القيمة المتوقعة]] الذي يحدد قيمة الأصول كدالة لأحجام الدفعات المتوقعة واحتمالات حدوثها. (هذه الأفكار تنبع من [[بليز باسكال]] [[بيير دي فيرما\|وبيير دي فيرمات]] . ) ', 49 => false, 50 => 'ومع ذلك ، تفشل طريقة القرار هذه في النظر في [[تجنب المخاطر\|كره المخاطرة]] ("كما يعرف أي طالب مالي" <ref name="Rubinstein"> [[Mark Rubinstein\|روبنشتاين ، مارك]] . (2005). "لحظات عظيمة في الاقتصاد المالي: رابعا. النظرية الأساسية (الجزء الأول)" ، ''مجلة إدارة الاستثمار'' ، المجلد. 3 ، رقم 4 ، الربع الرابع 2005 ؛ ~ (2006). الجزء الثاني ، المجلد. 4 ، رقم 1 ، الربع الأول 2006. انظر تحت عنوان "الروابط الخارجية". </ref> ). بمعنى آخر ، نظرًا لأن الأفراد يحصلون على [[منفعة\|فائدة]] أكبر من دولار إضافي عندما يكونون فقراء وأقل فائدة عندما يكونون أغنياء نسبياً ، فإن الطريقة هي "ضبط" الوزن المعين لمختلف النتائج ("الحالات") في المقابل. (قد يكون بعض المستثمرين في الواقع [[البحث عن المخاطر\|يبحثون عن المخاطرة]] بدلاً من [[تجنب المخاطر\|تجنب المخاطرة]] ، ولكن نفس المنطق سينطبق). ', 51 => false, 52 => 'قد يتم وصف الاختيار تحت عدم اليقين هنا بأنه تعظيم الفائدة المتوقعة . أكثر رسميا، مما أدى إلى فرضية فائدة المتوقع تنص على أنه، إذا راضون بعض البديهيات، و [[نظرية ذاتية للقيمة\|ذاتية]] القيمة المرتبطة مقامرة من قبل فرد هو ''أن {{'}}'' [[قيمة متوقعة\|التوقع الإحصائي]] لتقييم نتائج تلك المقامرة. ', 53 => false, 54 => 'ينشأ الدافع وراء هذه الأفكار من التناقضات المختلفة التي لوحظت في إطار القيمة المتوقعة ، مثل [[St. Petersburg paradox\|مفارقة سان بطرسبرغ]] ؛ انظر أيضا [[Ellsberg paradox\|مفارقة إلسبرغ]] . (التطوير هنا يرجع أصلاً إلى [[دانييل برنولي\|دانييل بيرنولي]] ، وتم إضفاء طابع رسمي عليه لاحقًا بواسطة [[جون فون نيومان]] [[أوسكار مورغينسترن\|وأوسكار مورغنسترن]] ) ', 55 => false, 56 => '=== التسعير وخالية من التحكيم ===', 57 => 'ثم تقترن مفاهيم [[نموذج المراجحة\|التحكيم-]] الحر ، "العقلاني" ، التسعير والتوازن مع ما سبق لاستخلاص الاقتصاد المالي "الكلاسيكي" <ref name="Rubinstein2"> انظر روبنشتاين تحت عنوان "الببليوغرافيا". </ref> (أو "الكلاسيكي الجديد" <ref name="Derman">Emanuel Derman, [http://www.emanuelderman.com/media/Scientific_Approach_to_Finance.pdf ''A Scientific Approach to CAPM and Options Valuation''] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20160330002200/http://www.emanuelderman.com/media/Scientific_Approach_to_Finance.pdf\|date=2016-03-30}}</ref> ). ', 58 => false, 59 => 'التسعير العقلاني هو افتراض أن أسعار الأصول (وبالتالي نماذج تسعير الأصول) ستعكس [[نموذج المراجحة\|السعر الخالي من المراجحة]] للأصل ، حيث إن "أي انحراف عن هذا السعر" سيتم "تحريفه". هذا الافتراض مفيد في تسعير الأوراق المالية ذات الدخل الثابت ، وخاصة السندات ، وهو أساسي لتسعير الأدوات المشتقة. ', 60 => false, 61 => '[[توازن اقتصادي\|التوازن الاقتصادي]] هو ، بوجه عام ، حالة [[توازن اقتصادي\|تتوازن]] فيها القوى الاقتصادية مثل العرض والطلب ، وفي غياب التأثيرات الخارجية ، لن تتغير قيم التوازن للمتغيرات الاقتصادية. يتعامل [[نظرية التوازن العام\|التوازن العام]] مع سلوك العرض والطلب والأسعار في الاقتصاد ككل مع العديد من الأسواق المتفاعلة أو العديد منها ، من خلال السعي لإثبات وجود مجموعة من الأسعار ستؤدي إلى توازن شامل. (هذا على عكس التوازن الجزئي ، الذي يحلل فقط الأسواق الموحدة. ) ', 62 => false, 63 => 'يرتبط المفهومان على النحو التالي: حيث لا تسمح أسعار السوق بمراجحة مربحة ، أي أنها تشتمل على سوق خالية من المراجحة ، ثم يقال إن هذه الأسعار تشكل "توازن موازنة". حدسيًا ، يمكن ملاحظة ذلك من خلال التفكير في أنه في حالة وجود فرصة تحكيم ، فمن المتوقع أن تتغير الأسعار ، وبالتالي ليست في حالة توازن. <ref name="Delbaen_Schachermayer">Freddy Delbaen and Walter Schachermayer. (2004). [http://www.ams.org/notices/200405/what-is.pdf "What is... a Free Lunch?"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20160304061252/http://www.ams.org/notices/200405/what-is.pdf\|date=2016-03-04}} (pdf). Notices of the AMS 51 (5): 526–528</ref> وبالتالي فإن موازنة التحكيم شرط مسبق لتحقيق التوازن الاقتصادي العام. ', 64 => false, 65 => 'على الفور، وغير الرسمية، وتوسيع هذه الفكرة و [[Fundamental theorem of asset pricing\|النظرية الأساسية في تسعير الأصول]] ، ويظهر أنه عندما تكون الأسواق كما -و صفه هي بالإضافة إلى ذلك (ضمنا وتبعا لذلك) [[Complete market\|كاملة]] قد -one ثم اتخاذ القرارات المالية عن طريق بناء [[Risk-neutral measure\|مقياس المخاطر محايد احتمال]] المقابلة إلى السوق. ', 66 => false, 67 => '"اكتمال" هنا يعني أن هناك ثمنًا لكل أصل في كل حالة ممكنة من العالم ، وبالتالي يمكن بناء المجموعة الكاملة من الرهانات المحتملة على دول العالم المستقبلية بأصول موجودة (مع [[أسواق غير احتكاكية\|عدم الاحتكاك]] ) أساسا [[نظام معادلات خطية\|حل في وقت واحد]] ''لن'' الاحتمالات (خالية من المخاطر)، نظرا لارتفاع أسعار ''ن.'' سوف يشتق الاشتقاق الرسمي بحجج التحكيم. <ref name="Rubinstein"> [[Mark Rubinstein\|روبنشتاين ، مارك]] . (2005). "لحظات عظيمة في الاقتصاد المالي: رابعا. النظرية الأساسية (الجزء الأول)" ، ''مجلة إدارة الاستثمار'' ، المجلد. 3 ، رقم 4 ، الربع الرابع 2005 ؛ ~ (2006). الجزء الثاني ، المجلد. 4 ، رقم 1 ، الربع الأول 2006. انظر تحت عنوان "الروابط الخارجية". </ref> <ref name="Delbaen_Schachermayer">Freddy Delbaen and Walter Schachermayer. (2004). [http://www.ams.org/notices/200405/what-is.pdf "What is... a Free Lunch?"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20160304061252/http://www.ams.org/notices/200405/what-is.pdf\|date=2016-03-04}} (pdf). Notices of the AMS 51 (5): 526–528</ref> للاطلاع على مثال [[Rational pricing#Risk neutral valuation\|عملي ،]] انظر [[Rational pricing#Risk neutral valuation\|التسعير الرشيد # التقييم المحايد للمخاطر]] ، حيث يوجد في بيئة مبسطة ، يوجد حالتان محتملتان فقط - للأعلى والأسفل - وحيث ''p'' و (1− ''p'' ) هما الاحتمالان المقابلان (أي ضمني) وبدوره ، التوزيع المشتق ، أو [[Probability measure\|"التدبير"]] . ', 68 => false, 69 => 'مع وجود هذا الإجراء في مكانه ، فإن عائد أي ورقة مالية (أو محفظة) المتوقعة ، أي ما هو مطلوب ، سوف يساوي بعد ذلك العائد الذي لا ينطوي على مخاطر ، بالإضافة إلى "تسوية للمخاطر" ، <ref name="Rubinstein"> [[Mark Rubinstein\|روبنشتاين ، مارك]] . (2005). "لحظات عظيمة في الاقتصاد المالي: رابعا. النظرية الأساسية (الجزء الأول)" ، ''مجلة إدارة الاستثمار'' ، المجلد. 3 ، رقم 4 ، الربع الرابع 2005 ؛ ~ (2006). الجزء الثاني ، المجلد. 4 ، رقم 1 ، الربع الأول 2006. انظر تحت عنوان "الروابط الخارجية". </ref> أي [[علاوة مخاطرة\|علاوة المخاطر]] الخاصة بالأمان ، وتعويض المدى التي لا يمكن التنبؤ بتدفقاتها النقدية. جميع نماذج التسعير هي متغيرات أساسية لذلك ، مع إعطاء افتراضات و / أو شروط محددة. <ref name="Rubinstein" /> <ref name="Cochrane & Culp">Christopher L. Culp and [[John H. Cochrane]]. (2003). "[http://faculty.chicagobooth.edu/john.cochrane/research/Papers/cochrane-culp%20asset%20pricing.pdf "Equilibrium Asset Pricing and Discount Factors: Overview and Implications for Derivatives Valuation and Risk Management"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20160304190225/http://faculty.chicagobooth.edu/john.cochrane/research/Papers/cochrane-culp%20asset%20pricing.pdf\|date=2016-03-04}}, in ''Modern Risk Management: A History''. Peter Field, ed. London: Risk Books, 2003. {{ردمك\|1904339050}}</ref> يتماشى هذا النهج مع ما [[Financial economics#Present value, expectation and utility\|ورد أعلاه]] ، ولكن مع التوقع القائم على "السوق" (أي خالي من المراجحة ، ووفقًا للنظرية ، وبالتالي في حالة توازن) بدلاً من التفضيلات الفردية. ', 70 => false, 71 => 'وبالتالي ، مع الاستمرار في المثال ، لتقييم قيمة ورقة مالية معينة ، يتم ضرب التدفقات النقدية المتوقعة في الدول الصاعدة والهابطة من خلال ''p'' و (1- ''p'' ) على التوالي ، ثم يتم [[قيمة حالية\|خصمها]] بسعر فائدة خالي من المخاطر بالإضافة إلى متميزة. بشكل عام ، قد يتم اشتقاق هذه العلاوة بواسطة [[نموذج تقييم الأصول الرأسمالية\|C A P M]] (أو الامتدادات) كما سيظهر تحت [[Financial economics#Uncertainty\|# اليقين]] . ', 72 => false, 73 => '=== أسعار الدولة ===', 74 => 'مع إقامة العلاقة أعلاه ، يمكن اشتقاق [[Arrow–Debreu model\|نموذج Arrow-D e b r e u]] المتخصص. تشير هذه النتيجة المهمة إلى أنه في ظل ظروف اقتصادية معينة ، يجب أن يكون هناك مجموعة من الأسعار بحيث يكون إجمالي الإمدادات مساوياً للطلب الكلي على كل سلعة في الاقتصاد. غالبًا ما يتم إجراء التحليل هنا بافتراض وجود ''[[Representative agent\|وكيل تمثيلي]]'' . <ref name="Doyne_Geanakoplos">{{Cite journal\|last=Farmer J. Doyne, Geanakoplos John\|year=2009\|title=The virtues and vices of equilibrium and the future of financial economics\|url=https://campuspress.yale.edu/johngeanakoplos/files/2017/07/63.-The-Virtues-and-Vices-of-Equilbrium-and-the-Future-of-Financial-Economics-2009-26baz0x.pdf\|journal=Complexity\|volume=14\|issue=3\|pages=11–38\|DOI=10.1002/cplx.20261\|arxiv=0803.2996\|bibcode=2009Cmplx..14c..11F}}</ref> ', 75 => false, 76 => 'ينطبق نموذج Arrow-D e b r e u على الاقتصادات التي تتمتع [[Complete market\|بأسواق كاملة إلى]] أقصى حد ، حيث يوجد سوق لكل فترة زمنية وأسعار آجلة لكل سلعة في جميع الفترات الزمنية. الامتداد المباشر ، إذن ، هو مفهوم ضمان أسعار الدولة (يُطلق عليه أيضًا اسم أمان السهم - D e b r e u) ، وهو عقد يوافق على دفع وحدة واحدة من n u m e r a i r e (عملة أو سلعة) في حالة حدوث حالة معينة ("up") "و" لأسفل "في المثال المبسط أعلاه) في وقت معين في المستقبل وتدفع قيمة الصفر في جميع الولايات الأخرى. ثمن هذا الأمن هو سعر الدولة لهذه الحالة بالذات في العالم. ', 77 => false, 78 => 'في المثال أعلاه ، فإن أسعار الدولة تعادل القيم الحالية التي تبلغ $ p و $ (1 − p): أي ما الذي سيدفعه اليوم ، على التوالي ، للأوراق المالية ذات الحالة العليا والدنيا ؛ ناقل سعر الحالة هو ناقل أسعار الحالة لجميع الولايات. بالتطبيق على التقييم ، سيكون سعر المشتق اليوم هو ببساطة [السعر الأعلى × المردود المدفوع من الدولة + السعر المقلوب من الدولة × المردود المسقط]] ؛ انظر أدناه فيما يتعلق بعدم وجود أي علاوة المخاطرة هنا. بالنسبة [[توزيع احتمال\|للمتغير العشوائي المستمر الذي]] يشير إلى استمرارية الحالات المحتملة ، يتم العثور على القيمة من خلال [[تكامل\|التكامل]] على كثافة أسعار الولاية ؛ انظر [[Stochastic discount factor\|عامل الخصم العشوائي]] . يتم توسيع هذه المفاهيم لتشمل [[Martingale pricing\|التسعير مارتينجال]] [[Risk-neutral measure\|والتدبير محايد للمخاطر]] ذات الصلة. ', 79 => false, 80 => 'تجد أسعار الولاية تطبيقًا فوريًا كأداة مفاهيمية (" تحليل المطالبات الطارئة ") ؛ <ref name="Rubinstein"> [[Mark Rubinstein\|روبنشتاين ، مارك]] . (2005). "لحظات عظيمة في الاقتصاد المالي: رابعا. النظرية الأساسية (الجزء الأول)" ، ''مجلة إدارة الاستثمار'' ، المجلد. 3 ، رقم 4 ، الربع الرابع 2005 ؛ ~ (2006). الجزء الثاني ، المجلد. 4 ، رقم 1 ، الربع الأول 2006. انظر تحت عنوان "الروابط الخارجية". </ref> ولكن يمكن تطبيقها أيضًا على مشكلات التقييم. <ref name="corp fin state prices"> انظر de Matos ، وكذلك Bossaerts و Ødegaard ، تحت المراجع. </ref> بالنظر إلى آلية التسعير الموصوفة ، يمكن للمرء تحليل القيمة المشتقة - في الواقع لكل "ورقة مالية" <ref name="Miller"> [[Merton H. Miller]] ، (1999). تاريخ المالية: حساب شاهد عيان ، ''مجلة إدارة المحافظ'' . صيف 1999. </ref> - كتركيبة خطية من أسعارها الحكومية ؛ أي حل الظهر للأسعار الدولة المقابلة لأسعار مشتقة لوحظ. <ref name="Chance2">Don M. Chance (2008). [http://www.bus.lsu.edu/academics/finance/faculty/dchance/Instructional/TN97-13.pdf "Option Prices and State Prices"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20120209215717/http://www.bus.lsu.edu/academics/finance/faculty/dchance/Instructional/TN97-13.pdf\|date=2012-02-09}}</ref> <ref name="corp fin state prices" /> يمكن بعد ذلك استخدام أسعار الحالة المستردة لتقييم الأدوات الأخرى ذات التعرض الأقل من اللازم ، أو لاتخاذ القرارات الأخرى المتعلقة بأقل من اللازم. (عمل B r e e d e n و L i t z e n b e r g e r في عام 1978 <ref>{{Cite journal\|title=Prices of State-Contingent Claims Implicit in Option Prices\|first=Douglas T.\|last=Breeden\|first2=Robert H.\|last2=Litzenberger\|author2-link=Robert Litzenberger\|journal=[[Journal of Business]]\|volume=51\|issue=4\|year=1978\|pages=621–651\|jstor=2352653\|DOI=10.1086/296025}}</ref> أنشأ استخدام أسعار الدولة في الاقتصاد المالي. ) ', 81 => false, 82 => '== النماذج الناتجة ==', 83 => '[[ملف:MM2.png\|يسار\|تصغير\| Modigliani-Miller Proposition II بدين محفوف بالمخاطر. مع زيادة [[رفع مالي\|الرافعة المالية]] ( D / E ) ، يظل [[وسيط وزني لتكلفة رأس المال\|W A C C]] (k 0) ثابتًا. ]]', 84 => '[[ملف:Markowitz_frontier.jpg\|يسار\|تصغير\| كفاءة الحواف. يشار أحيانًا إلى "القطع الزائد" باسم "M a r k o w i t z Bullet" ، وجزءه المنحدر الصاعد هو الحدود الفعالة إذا لم تتوفر أصول خالية من المخاطر. مع الأصول الخالية من المخاطر ، فإن الخط الثابت هو الحدود الفعالة. يعرض الرسم CAL ، [[Capital allocation line\|خط تخصيص رأس المال]] ، الذي يتكون عندما يكون الأصل الخطير أصل واحد وليس السوق ، وفي هذه الحالة يكون الخط هو C M L. ]]', 85 => '[[ملف:CML-plot.png\|يسار\|تصغير\| خط سوق رأس المال هو خط الظل المرسوم من نقطة الأصل الخالي من المخاطر إلى [[Feasible region\|المنطقة الممكنة]] للأصول الخطرة. تمثل نقطة الظل M [[Market portfolio\|حافظة السوق]] . ينتج C M L عن مزيج من محفظة السوق والأصول الخالية من المخاطر (النقطة L). تؤدي إضافة الرافعة المالية (النقطة R) إلى إنشاء حافظات ذات رافعة موجودة أيضًا في C M L. ]]', 86 => '{\| class="wikitable floatright" width="250"', 87 => '\| {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM)', 88 => ':<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} ', 89 => false, 90 => ': <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM)', 91 => ':<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM)', 92 => ':<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mo><msub><mi> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM)', 93 => ':<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM)', 94 => ':<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mi></mrow></msub><mo stretchy="false"> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM)', 95 => ':<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mo><mo> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM)', 96 => ':<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mo><msub><mi> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM)', 97 => ':<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM)', 98 => ':<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mi></mrow></msub><mo> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM)', 99 => ':<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mo><msub><mi> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM)', 100 => ':<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM)', 101 => ':<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mi></mrow></msub><mo stretchy="false"> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM)', 102 => ':<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mo><mi> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM)', 103 => ':<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM)', 104 => ':<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mo><msub><mi> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM)', 105 => ':<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM)', 106 => ':<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mi></mrow></msub><mo stretchy="false"> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM)', 107 => ':<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mo><mo> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM)', 108 => ':<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mo><msub><mi> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM)', 109 => ':<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM)', 110 => ':<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mi></mrow></msub><mo stretchy="false"> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM)', 111 => ':<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </mo></mstyle></mrow> </math>{{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM)', 112 => ':<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM)', 113 => ':<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} </img> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM)', 114 => ':<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)</math>}} ', 115 => '\|}', 116 => '[[File:SML-chart.png\|يسار\|تصغير\| [[Security market line\|خط سوق الأوراق المالية]] : يمثل عرض C A P M معدل العائد المتوقع للأوراق المالية الفردية كدالة لمخاطرها المنهجية وغير القابلة للتنوع. ]]', 117 => '[[ملف:Stockpricesimulation.jpg\|يسار\|تصغير\| حركات البني البراقة الهندسية مع معلمات من بيانات السوق. ]]', 118 => '{\| class="wikitable floatright" width="250"', 119 => '\| {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]]', 120 => ':<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} ', 121 => false, 122 => ': <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal"> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]]', 123 => ':<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]]', 124 => ':<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]]', 125 => ':<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]]', 126 => ':<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi></mrow></mfrac></mrow><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]]', 127 => ':<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]]', 128 => ':<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mn><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]]', 129 => ':<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mn></mfrac></mrow><msup><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]]', 130 => ':<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]]', 131 => ':<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mn></mrow></msup><msup><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]]', 132 => ':<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]]', 133 => ':<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mn></mrow></msup><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mrow><msup><mi mathvariant="normal"> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]]', 134 => ':<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]]', 135 => ':<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mn></mrow></msup><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]]', 136 => ':<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]]', 137 => ':<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi><msup><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]]', 138 => ':<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]]', 139 => ':<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]]', 140 => ':<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]]', 141 => ':<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]]', 142 => ':<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal"> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]]', 143 => ':<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]]', 144 => ':<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]]', 145 => ':<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]]', 146 => ':<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi></mrow></mfrac></mrow><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]]', 147 => ':<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]]', 148 => ':<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]]', 149 => ':<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mi><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]]', 150 => ':<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mo><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]]', 151 => ':<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </mn></mstyle></mrow> </math>{{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]]', 152 => ':<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]]', 153 => ':<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} </img> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]]', 154 => ':<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>}} ', 155 => '\|}', 156 => '{\| class="wikitable floatright" width="250"', 157 => '\| {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 158 => ':<math>\begin{align}', 159 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 160 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 161 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 162 => '\end{align}</math>', 163 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} ', 164 => false, 165 => ': <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mtable displaystyle="true" rowspacing="3pt"><mtr><mtd><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 166 => ':<math>\begin{align}', 167 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 168 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 169 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 170 => '\end{align}</math>', 171 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 172 => ':<math>\begin{align}', 173 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 174 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 175 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 176 => '\end{align}</math>', 177 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 178 => ':<math>\begin{align}', 179 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 180 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 181 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 182 => '\end{align}</math>', 183 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 184 => ':<math>\begin{align}', 185 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 186 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 187 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 188 => '\end{align}</math>', 189 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 190 => ':<math>\begin{align}', 191 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 192 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 193 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 194 => '\end{align}</math>', 195 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 196 => ':<math>\begin{align}', 197 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 198 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 199 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 200 => '\end{align}</math>', 201 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo></mtd><mtd><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 202 => ':<math>\begin{align}', 203 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 204 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 205 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 206 => '\end{align}</math>', 207 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 208 => ':<math>\begin{align}', 209 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 210 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 211 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 212 => '\end{align}</math>', 213 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 214 => ':<math>\begin{align}', 215 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 216 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 217 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 218 => '\end{align}</math>', 219 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><msub><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 220 => ':<math>\begin{align}', 221 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 222 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 223 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 224 => '\end{align}</math>', 225 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 226 => ':<math>\begin{align}', 227 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 228 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 229 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 230 => '\end{align}</math>', 231 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mn></mrow></msub><mo stretchy="false"> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 232 => ':<math>\begin{align}', 233 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 234 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 235 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 236 => '\end{align}</math>', 237 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 238 => ':<math>\begin{align}', 239 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 240 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 241 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 242 => '\end{align}</math>', 243 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 244 => ':<math>\begin{align}', 245 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 246 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 247 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 248 => '\end{align}</math>', 249 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 250 => ':<math>\begin{align}', 251 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 252 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 253 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 254 => '\end{align}</math>', 255 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 256 => ':<math>\begin{align}', 257 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 258 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 259 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 260 => '\end{align}</math>', 261 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><msub><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 262 => ':<math>\begin{align}', 263 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 264 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 265 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 266 => '\end{align}</math>', 267 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 268 => ':<math>\begin{align}', 269 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 270 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 271 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 272 => '\end{align}</math>', 273 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mn></mrow></msub><mo stretchy="false"> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 274 => ':<math>\begin{align}', 275 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 276 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 277 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 278 => '\end{align}</math>', 279 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 280 => ':<math>\begin{align}', 281 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 282 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 283 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 284 => '\end{align}</math>', 285 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><msup><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 286 => ':<math>\begin{align}', 287 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 288 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 289 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 290 => '\end{align}</math>', 291 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 292 => ':<math>\begin{align}', 293 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 294 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 295 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 296 => '\end{align}</math>', 297 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 298 => ':<math>\begin{align}', 299 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 300 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 301 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 302 => '\end{align}</math>', 303 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 304 => ':<math>\begin{align}', 305 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 306 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 307 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 308 => '\end{align}</math>', 309 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 310 => ':<math>\begin{align}', 311 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 312 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 313 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 314 => '\end{align}</math>', 315 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 316 => ':<math>\begin{align}', 317 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 318 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 319 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 320 => '\end{align}</math>', 321 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 322 => ':<math>\begin{align}', 323 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 324 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 325 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 326 => '\end{align}</math>', 327 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 328 => ':<math>\begin{align}', 329 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 330 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 331 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 332 => '\end{align}</math>', 333 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 334 => ':<math>\begin{align}', 335 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 336 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 337 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 338 => '\end{align}</math>', 339 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 340 => ':<math>\begin{align}', 341 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 342 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 343 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 344 => '\end{align}</math>', 345 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mn></mrow></msub></mtd><mtd><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 346 => ':<math>\begin{align}', 347 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 348 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 349 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 350 => '\end{align}</math>', 351 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 352 => ':<math>\begin{align}', 353 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 354 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 355 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 356 => '\end{align}</math>', 357 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mn><mrow><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 358 => ':<math>\begin{align}', 359 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 360 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 361 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 362 => '\end{align}</math>', 363 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><msqrt><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 364 => ':<math>\begin{align}', 365 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 366 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 367 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 368 => '\end{align}</math>', 369 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 370 => ':<math>\begin{align}', 371 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 372 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 373 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 374 => '\end{align}</math>', 375 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 376 => ':<math>\begin{align}', 377 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 378 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 379 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 380 => '\end{align}</math>', 381 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi></msqrt></mrow></mrow></mfrac></mrow><mrow><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 382 => ':<math>\begin{align}', 383 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 384 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 385 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 386 => '\end{align}</math>', 387 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mrow><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 388 => ':<math>\begin{align}', 389 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 390 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 391 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 392 => '\end{align}</math>', 393 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 394 => ':<math>\begin{align}', 395 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 396 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 397 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 398 => '\end{align}</math>', 399 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mrow><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 400 => ':<math>\begin{align}', 401 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 402 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 403 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 404 => '\end{align}</math>', 405 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 406 => ':<math>\begin{align}', 407 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 408 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 409 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 410 => '\end{align}</math>', 411 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 412 => ':<math>\begin{align}', 413 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 414 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 415 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 416 => '\end{align}</math>', 417 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi></mfrac></mrow><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 418 => ':<math>\begin{align}', 419 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 420 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 421 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 422 => '\end{align}</math>', 423 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo></mrow><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 424 => ':<math>\begin{align}', 425 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 426 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 427 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 428 => '\end{align}</math>', 429 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mrow><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 430 => ':<math>\begin{align}', 431 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 432 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 433 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 434 => '\end{align}</math>', 435 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mrow><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 436 => ':<math>\begin{align}', 437 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 438 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 439 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 440 => '\end{align}</math>', 441 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 442 => ':<math>\begin{align}', 443 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 444 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 445 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 446 => '\end{align}</math>', 447 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><msup><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 448 => ':<math>\begin{align}', 449 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 450 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 451 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 452 => '\end{align}</math>', 453 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 454 => ':<math>\begin{align}', 455 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 456 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 457 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 458 => '\end{align}</math>', 459 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mn></mrow></msup><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 460 => ':<math>\begin{align}', 461 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 462 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 463 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 464 => '\end{align}</math>', 465 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mn></mfrac></mrow></mrow><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 466 => ':<math>\begin{align}', 467 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 468 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 469 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 470 => '\end{align}</math>', 471 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo></mrow><mo stretchy="false"> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 472 => ':<math>\begin{align}', 473 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 474 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 475 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 476 => '\end{align}</math>', 477 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 478 => ':<math>\begin{align}', 479 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 480 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 481 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 482 => '\end{align}</math>', 483 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 484 => ':<math>\begin{align}', 485 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 486 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 487 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 488 => '\end{align}</math>', 489 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 490 => ':<math>\begin{align}', 491 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 492 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 493 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 494 => '\end{align}</math>', 495 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 496 => ':<math>\begin{align}', 497 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 498 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 499 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 500 => '\end{align}</math>', 501 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo></mrow><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 502 => ':<math>\begin{align}', 503 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 504 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 505 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 506 => '\end{align}</math>', 507 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 508 => ':<math>\begin{align}', 509 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 510 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 511 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 512 => '\end{align}</math>', 513 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 514 => ':<math>\begin{align}', 515 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 516 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 517 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 518 => '\end{align}</math>', 519 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mn></mrow></msub></mtd><mtd><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 520 => ':<math>\begin{align}', 521 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 522 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 523 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 524 => '\end{align}</math>', 525 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><msub><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 526 => ':<math>\begin{align}', 527 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 528 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 529 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 530 => '\end{align}</math>', 531 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 532 => ':<math>\begin{align}', 533 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 534 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 535 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 536 => '\end{align}</math>', 537 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mn></mrow></msub><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 538 => ':<math>\begin{align}', 539 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 540 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 541 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 542 => '\end{align}</math>', 543 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 544 => ':<math>\begin{align}', 545 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 546 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 547 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 548 => '\end{align}</math>', 549 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><msqrt><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 550 => ':<math>\begin{align}', 551 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 552 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 553 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 554 => '\end{align}</math>', 555 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 556 => ':<math>\begin{align}', 557 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 558 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 559 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 560 => '\end{align}</math>', 561 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 562 => ':<math>\begin{align}', 563 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 564 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 565 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 566 => '\end{align}</math>', 567 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi></msqrt></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow> </math>{{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 568 => ':<math>\begin{align}', 569 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 570 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 571 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 572 => '\end{align}</math>', 573 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 574 => ':<math>\begin{align}', 575 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 576 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 577 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 578 => '\end{align}</math>', 579 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </img> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 580 => ':<math>\begin{align}', 581 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 582 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 583 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 584 => '\end{align}</math>', 585 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}}', 586 => false, 587 => '{{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 588 => ':<math>\begin{align}', 589 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 590 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 591 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 592 => '\end{align}</math>', 593 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 594 => ':<math>\begin{align}', 595 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 596 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 597 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 598 => '\end{align}</math>', 599 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 600 => ':<math>\begin{align}', 601 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 602 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 603 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 604 => '\end{align}</math>', 605 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><msub><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 606 => ':<math>\begin{align}', 607 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 608 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 609 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 610 => '\end{align}</math>', 611 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 612 => ':<math>\begin{align}', 613 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 614 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 615 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 616 => '\end{align}</math>', 617 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mn></mrow></msub><mo stretchy="false"> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 618 => ':<math>\begin{align}', 619 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 620 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 621 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 622 => '\end{align}</math>', 623 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo></mstyle></mrow> </math>{{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 624 => ':<math>\begin{align}', 625 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 626 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 627 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 628 => '\end{align}</math>', 629 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 630 => ':<math>\begin{align}', 631 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 632 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 633 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 634 => '\end{align}</math>', 635 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </img> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 636 => ':<math>\begin{align}', 637 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 638 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 639 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 640 => '\end{align}</math>', 641 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 642 => ':<math>\begin{align}', 643 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 644 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 645 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 646 => '\end{align}</math>', 647 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 648 => ':<math>\begin{align}', 649 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 650 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 651 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 652 => '\end{align}</math>', 653 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><msub><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 654 => ':<math>\begin{align}', 655 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 656 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 657 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 658 => '\end{align}</math>', 659 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 660 => ':<math>\begin{align}', 661 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 662 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 663 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 664 => '\end{align}</math>', 665 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mn></mrow></msub><mo stretchy="false"> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 666 => ':<math>\begin{align}', 667 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 668 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 669 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 670 => '\end{align}</math>', 671 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mo><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 672 => ':<math>\begin{align}', 673 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 674 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 675 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 676 => '\end{align}</math>', 677 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi></mstyle></mrow> </math>{{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 678 => ':<math>\begin{align}', 679 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 680 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 681 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 682 => '\end{align}</math>', 683 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 684 => ':<math>\begin{align}', 685 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 686 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 687 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 688 => '\end{align}</math>', 689 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} </img> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option:', 690 => ':<math>\begin{align}', 691 => ' C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\', 692 => ' d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\', 693 => ' d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\', 694 => '\end{align}</math>', 695 => '[[Black–Scholes model#Interpretation\|Interpretation]]: <math>N(d_2)</math> is the probability that the call will be exercised; <math>N(d_1)S</math> is the present value of the expected asset price at expiration, [[Conditional probability\|given that]] the asset price at expiration is above the exercise price.}} ', 696 => '\|}', 697 => 'بتطبيق المفاهيم الاقتصادية أعلاه ، قد نستنتج بعد ذلك مختلف النماذج والمبادئ [[نموذج اقتصادي\|الاقتصادية]] والمالية. كما ذكر أعلاه ، فإن مجالي التركيز المعتادين هما تسعير الأصول وتمويل الشركات ، الأول هو منظور مقدمي رأس المال ، والثاني لمستخدمي رأس المال. هنا ، ولجميع نماذج الاقتصاد المالي (تقريبًا) ، تكون الأسئلة التي يتم تناولها مؤطرة عادةً من حيث "الوقت ، وعدم اليقين ، والخيارات ، والمعلومات" ، <ref name="stanford1">[[ويليام شارب\|William F. Sharpe]], [http://www.stanford.edu/~wfsharpe/mia/int/mia_int2.htm "Financial Economics"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20040604105441/http://www.stanford.edu/~wfsharpe/mia/int/mia_int2.htm\|date=2004-06-04}}, in {{مرجع ويب', 698 => '\| url = http://web.stanford.edu/~wfsharpe/mia/MIA.HTM', 699 => '\| title = ''Macro-Investment Analysis''', 700 => '\| publisher = Stanford University (manuscript)', 701 => '\| archiveurl = https://web.archive.org/web/20140714034144/http://web.stanford.edu/~wfsharpe/mia/mia.htm', 702 => '\| archivedate = 2014-07-14', 703 => '\| deadurl = no', 704 => '\| accessdate = 2009-08-06', 705 => '}}</ref> <ref name="Doyne_Geanakoplos">{{Cite journal\|last=Farmer J. Doyne, Geanakoplos John\|year=2009\|title=The virtues and vices of equilibrium and the future of financial economics\|url=https://campuspress.yale.edu/johngeanakoplos/files/2017/07/63.-The-Virtues-and-Vices-of-Equilbrium-and-the-Future-of-Financial-Economics-2009-26baz0x.pdf\|journal=Complexity\|volume=14\|issue=3\|pages=11–38\|DOI=10.1002/cplx.20261\|arxiv=0803.2996\|bibcode=2009Cmplx..14c..11F}}</ref> كما سنرى أدناه. ', 706 => false, 707 => 'الوقت: يتم تداول المال الآن مقابل المال في المستقبل. عدم اليقين (أو المخاطرة): مبلغ المال الذي سيتم تحويله في المستقبل غير مؤكد. ', 708 => false, 709 => 'الخيارات : يمكن لطرف واحد في المعاملة اتخاذ قرار في وقت لاحق يؤثر على التحويلات المالية اللاحقة. [[معلومات كاملة\|المعلومات]] : يمكن للمعرفة بالمستقبل أن تقلل أو ربما تقضي على عدم اليقين المرتبط بالقيمة النقدية المستقبلية (FMV).', 710 => false, 711 => 'تطبيق هذا الإطار ، مع المفاهيم المذكورة أعلاه ، يؤدي إلى النماذج المطلوبة. يبدأ هذا الاشتقاق بافتراض "عدم اليقين" ثم يتم توسيعه ليشمل الاعتبارات الأخرى. (يشير هذا القسمة في بعض الأحيان إلى " [[حتمية\|الحتمية]] " و "العشوائية" ، <ref name="Luenberger"> انظر لوينبرجر ''علوم الاستثمار'' ، تحت المراجع. </ref> أو " [[تصادفية\|العشوائية]] ". ) ', 712 => false, 713 => '=== السياقات ===', 714 => 'نقطة الانطلاق هنا هي "الاستثمار تحت اليقين". تؤكد [[مبرهنة الانفصال لفيشر\|نظرية فصل فيشر]] أن هدف الشركة هو زيادة قيمتها الحالية إلى الحد الأقصى ، بغض النظر عن تفضيلات مساهميها. ذات الصلة هي نظرية Modigliani-Miller ، التي توضح أنه في ظل ظروف معينة ، لا تتأثر قيمة الشركة بكيفية تمويل هذه الشركة ، ولا تعتمد على سياسة توزيع الأرباح ولا على قرار جمع رأس المال عن طريق إصدار الأسهم أو بيع الديون. يستمر الدليل هنا باستخدام وسيطات التحكيم ، ويعمل كمعيار لتقييم آثار العوامل خارج النموذج التي تؤثر على القيمة. ', 715 => false, 716 => 'يتم توفير آلية تحديد القيمة (المؤسسية) من خلال ''[[جون بور وليامز\|نظرية قيمة الاستثمار]]'' (John Burr Williams) ، التي تقترح أن يتم احتساب قيمة الأصل باستخدام "التقييم وفقًا لقيم القيمة الحالية". وبالتالي ، بالنسبة للسهم العادي ، فإن القيمة الحقيقية طويلة الأجل هي القيمة الحالية لصافي التدفقات النقدية المستقبلية ، في شكل [[حصة أرباح\|أرباح]] . ما يتبقى هو تحديد سعر الخصم المناسب. تظهر التطورات اللاحقة "عقلانيًا" ، بمعنى رسمي ، أن معدل الخصم المناسب هنا (ينبغي) يعتمد على مخاطرة الأصل بالنسبة للسوق ككل ، بدلاً من تفضيلات مالكيها ؛ انظر أدناه. [[صافي القيمة الحالية\|القيمة]] الحالية الصافية (NPV) هي الامتداد المباشر لهذه الأفكار التي يتم تطبيقها عادة على اتخاذ القرارات بشأن تمويل الشركات (مقدمة من [[Joel Dean (economist)\|جويل دين]] في عام 1951). للحصول على نتائج أخرى ، بالإضافة إلى النماذج المحددة التي تم تطويرها هنا ، راجع قائمة مواضيع "تقييم الأسهم" ضمن [[Outline of finance#Discounted cash flow valuation\|مخطط التمويل # تقييم التدفقات النقدية المخصومة]] . ', 717 => false, 718 => '[[Bond valuation\|تقييم السندات]] ، في أن التدفقات النقدية (القسائم وعودة رأس المال) هي الحتمية ، قد تسير بنفس الطريقة. <ref name="Luenberger"> انظر لوينبرجر ''علوم الاستثمار'' ، تحت المراجع. </ref> إن الامتداد الفوري ، [[Bond valuation#Arbitrage-free pricing approach\|وهو سعر السندات الخالي من التحكيم]] ، يقوم بتخفيض كل تدفق نقدي بالسعر المشتق من السوق - أي بسعر الصفر المقابل لكل كوبون - بدلاً من المعدل الإجمالي. لاحظ أنه في العديد من المعالجات ، يسبق تقييم السندات تقييم [[تقييم الأسهم العادية\|حقوق الملكية]] ، والتي بموجبها "التدفقات النقدية (أرباح الأسهم)" غير معروفة ''في حد ذاتها'' . يسمح Williams وما بعده بالتنبؤ به - بناءً على النسب التاريخية أو السياسة المنشورة - ثم يتم التعامل مع التدفقات النقدية باعتبارها حتمية بشكل أساسي ؛ انظر أدناه تحت [[Financial economics#Corporate finance theory\|نظرية تمويل الشركات #]] . ', 719 => false, 720 => 'يتم استخدام جميع نتائج "اليقين" هذه بشكل شائع في إطار تمويل الشركات. عدم اليقين هو محور "نماذج تسعير الأصول" ، على النحو التالي. ', 721 => false, 722 => '=== شك ===', 723 => 'بالنسبة إلى [[نظرية القرار\|"الاختيار في حالة عدم اليقين" ،]] فإن الافتراضين التوأمين للعقلانية وكفاءة السوق ، كما تم تعريفه بشكل أوثق ، يؤديان إلى [[نظرية المحفظة الحديثة]] (M P T) مع [[نموذج تقييم الأصول الرأسمالية\|نموذج تسعير الأصول الرأسمالية]] (CAPM) - نتيجة ''تستند إلى التوازن'' - وإلى [[Black–Scholes model\|Black-Scholes نظرية -Merton]] (BSM ؛ غالبًا ، ببساطة Black-S c h o l e s) [[Valuation of options\|لتسعير الخيار]] - نتيجة ''خالية من المراجحة'' . لاحظ أنه يتم احتساب أسعار المشتقات الأخيرة بحيث تكون خالية من المراجحة فيما يتعلق بأسعار الأوراق المالية الأكثر تحديدًا وتوازنًا ؛ رؤية [[Asset pricing\|تسعير الأصول]] . ', 724 => false, 725 => 'باختصار ، وبشكل حدسي - ومتسق مع [[Financial economics#Arbitrage-free pricing and equilibrium\|# التسعير والتوازن الخاليين من المراجحة]] أعلاه - يكون الرابط كما يلي. <ref> للحصول على علاج أكثر رسمية ، انظر ، على سبيل المثال: يوجين فاما. 1965. [http://www.cfapubs.org/toc/faj/1965/21/5 يسير عشوائي في أسعار البورصة] . ''[[Financial Analysts Journal\|مجلة المحللين الماليين]]'' ، سبتمبر / أكتوبر 1965 ، المجلد. 21 ، رقم 5: 55-59. </ref> بالنظر إلى القدرة على الاستفادة من المعلومات الخاصة ، يتم تحفيز المتداولين المهتمين بأنفسهم للحصول على معلوماتهم الخاصة والتصرف فيها. عند القيام بذلك ، يساهم المتداولون في المزيد من "الأسعار" الصحيحة ، أي ''الفعالة'' : [[فرضية كفاءة السوق\|فرضية السوق الفعالة]] ، أو EMH ( [[يوجين فاما\|Eugene Fama]] ، 1965). تفترض EMH (ضمنيًا) أن متوسط التوقعات يشكل "توقعات مثالية" ، أي أن الأسعار التي تستخدم جميع المعلومات المتاحة ، مطابقة ''لأفضل تخمين للمستقبل'' : افتراض [[توقعات رشيدة\|التوقعات المنطقية]] . تسمح EMH أنه عند مواجهة معلومات جديدة ، قد يبالغ بعض المستثمرين في رد فعلهم وقد يكون رد فعلهم غير صحيح ، لكن المطلوب هو أن ردود فعل المستثمرين تتبع [[توزيع احتمالي طبيعي\|توزيعا طبيعيا]] - بحيث لا يمكن استغلال التأثير الصافي على أسعار السوق بشكل موثوق تحقيق ربح غير طبيعي. في الحدود التنافسية ، ستعكس أسعار السوق جميع المعلومات المتاحة ، ويمكن أن تتحرك الأسعار فقط استجابة للأخبار ؛ <ref name="Shiller">{{Cite journal\|last=Shiller\|first=Robert J.\|author-link=Robert J. Shiller\|date=2003\|title=From Efficient Markets Theory to Behavioral Finance\|journal=[[Journal of Economic Perspectives]]\|volume=17\|issue=1 (Winter 2003)\|pages=83–104\|url=http://www.econ.yale.edu/~shiller/pubs/p1055.pdf\|accessdate=\|DOI=10.1257/089533003321164967\|archiveurl=https://web.archive.org/web/20150412081613/http://www.econ.yale.edu/~shiller/pubs/p1055.pdf\|archivedate=2015-04-12\|deadurl=no}}</ref> وهذا ، بالطبع ، يمكن أن يكون "جيدًا" أو "سيئًا" ، كبيرًا أو صغيرًا: [[Random walk hypothesis\|فرضية المشي العشوائي]] . وبالتالي ، إذا كانت أسعار الأصول المالية فعالة (على نطاق واسع) ، فلن تستمر الانحرافات عن هذه القيم (التوازن) لفترة طويلة. (انظر [[Earnings response coefficient\|معامل استجابة الأرباح]] . (على مسارات عشوائية في أسعار الأسهم: [[Jules Regnault\|جول رينو]] ، 1863 ؛ [[لوي باشوليي\|لويس باشيلير]] ، 1900 ؛ [[Maurice Kendall\|موريس كيندال]] ، 1953 ؛ [[Paul Cootner\|بول كوتنر]] ، 1964. ) ', 726 => false, 727 => 'في ظل هذه الظروف ، يمكن عندئذ افتراض أن المستثمرين يتصرفون بطريقة عقلانية: يجب حساب قرارهم الاستثماري أو التأكد من اتباع الخسارة ؛ في المقابل ، عندما تقدم فرصة التحكيم ، يستغلها المراجحون ، مما يعزز هذا التوازن. هنا ، كما هو الحال في حالة اليقين الموضحة أعلاه ، الافتراض المحدد فيما يتعلق بالتسعير هو أن الأسعار تُحسب كقيمة حالية لتوزيعات الأرباح المستقبلية المتوقعة ، <ref name="Cochrane & Culp">Christopher L. Culp and [[John H. Cochrane]]. (2003). "[http://faculty.chicagobooth.edu/john.cochrane/research/Papers/cochrane-culp%20asset%20pricing.pdf "Equilibrium Asset Pricing and Discount Factors: Overview and Implications for Derivatives Valuation and Risk Management"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20160304190225/http://faculty.chicagobooth.edu/john.cochrane/research/Papers/cochrane-culp%20asset%20pricing.pdf\|date=2016-03-04}}, in ''Modern Risk Management: A History''. Peter Field, ed. London: Risk Books, 2003. {{ردمك\|1904339050}}</ref> <ref name="Shiller">{{Cite journal\|last=Shiller\|first=Robert J.\|author-link=Robert J. Shiller\|date=2003\|title=From Efficient Markets Theory to Behavioral Finance\|journal=[[Journal of Economic Perspectives]]\|volume=17\|issue=1 (Winter 2003)\|pages=83–104\|url=http://www.econ.yale.edu/~shiller/pubs/p1055.pdf\|accessdate=\|DOI=10.1257/089533003321164967\|archiveurl=https://web.archive.org/web/20150412081613/http://www.econ.yale.edu/~shiller/pubs/p1055.pdf\|archivedate=2015-04-12\|deadurl=no}}</ref> <ref name="Doyne_Geanakoplos">{{Cite journal\|last=Farmer J. Doyne, Geanakoplos John\|year=2009\|title=The virtues and vices of equilibrium and the future of financial economics\|url=https://campuspress.yale.edu/johngeanakoplos/files/2017/07/63.-The-Virtues-and-Vices-of-Equilbrium-and-the-Future-of-Financial-Economics-2009-26baz0x.pdf\|journal=Complexity\|volume=14\|issue=3\|pages=11–38\|DOI=10.1002/cplx.20261\|arxiv=0803.2996\|bibcode=2009Cmplx..14c..11F}}</ref> حسب المعلومات المتوفرة حاليًا. ما هو مطلوب رغم ذلك هو نظرية لتحديد معدل الخصم المناسب ، أي "العائد المطلوب" ، بالنظر إلى عدم اليقين هذا: يتم توفيره بواسطة MPT و CAPM الخاص به. ذات الصلة ، والعقلانية - بمعنى المراجحة في الاستغلال - تؤدي إلى ظهور بلاك سكولز ؛ قيم الخيار هنا تتفق في نهاية المطاف مع CAPM. ', 728 => false, 729 => 'بشكل عام ، إذن ، بينما تدرس نظرية المحفظة كيف ينبغي للمستثمرين الموازنة بين المخاطر والعائد عند الاستثمار في العديد من الأصول أو الأوراق المالية ، فإن CAPM أكثر تركيزًا ، ويصف كيف ، في التوازن ، تحدد الأسواق أسعار الأصول فيما يتعلق بمدى خطورة هذه المخاطر. الأهم من ذلك ، ستكون هذه النتيجة مستقلة عن مستوى كره المخاطرة لدى المستثمر و / أو وظيفة الأداة المفترضة ، وبالتالي توفير معدل خصم محدد بسهولة لصناع القرار في تمويل الشركات على [[Financial economics#Certainty\|النحو الوارد أعلاه]] ، <ref name="Jensen&Smith"> [[Michael C. Jensen\|Jensen، Michael C.]] and Smith، Clifford W.، "Theory of Corporate Finance: A Historical Overview". In: ''The Modern Theory of Corporate Finance'' ، New York: McGraw-Hill Inc.، pp. 2-20، 1984. </ref> وبالنسبة للمستثمرين الآخرين. تستمر الحجة على النحو التالي: إذا كان بإمكان المرء إنشاء [[Efficient frontier\|حدود فعالة]] - أي كل مجموعة من الأصول التي تقدم أفضل مستوى متوقع من العائد لمستوى المخاطرة الخاص بها ، انظر الرسم البياني - ثم يمكن تشكيل محافظ كفاءة التباين المتوسط ببساطة على أنها مزيج من حيازات [[عائد خالي من المخاطرة\|الأصول الخالية من المخاطر]] و " [[Market portfolio\|محفظة السوق]] " ( [[Mutual fund separation theorem\|نظرية فصل صناديق الاستثمار المشتركة]] ) ، مع التخطيط هنا للتخطيط كخط [[Capital market line\|لسوق المال]] ، أو CML. بعد ذلك ، بالنظر إلى CML ، فإن العائد المطلوب على الأوراق المالية المحفوفة بالمخاطر سيكون مستقلاً عن [[منفعة\|وظيفة المرافق]] للمستثمر ، وسيتم تحديده فقط من خلال [[تغاير (إحصاء)\|التغاير]] ("بيتا") مع المخاطر الإجمالية ، أي السوق. وذلك لأن المستثمرين هنا يمكنهم بعد ذلك زيادة الفائدة من خلال الرافعة المالية بدلاً من التسعير ؛ انظر مخطط CML. كما يتضح من الصيغة جانبا ، فإن هذه النتيجة تتسق مع ما سبق ، حيث تساوي العائد بلا مخاطرة بالإضافة إلى تعديل للمخاطر. <ref name="Cochrane & Culp">Christopher L. Culp and [[John H. Cochrane]]. (2003). "[http://faculty.chicagobooth.edu/john.cochrane/research/Papers/cochrane-culp%20asset%20pricing.pdf "Equilibrium Asset Pricing and Discount Factors: Overview and Implications for Derivatives Valuation and Risk Management"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20160304190225/http://faculty.chicagobooth.edu/john.cochrane/research/Papers/cochrane-culp%20asset%20pricing.pdf\|date=2016-03-04}}, in ''Modern Risk Management: A History''. Peter Field, ed. London: Risk Books, 2003. {{ردمك\|1904339050}}</ref> (تم تقديم الحدود الفعالة بواسطة [[هاري ماركويتز]] في عام 1952. تم اشتقاق CAPM بواسطة [[Jack L. Treynor\|Jack Treynor]] (1961 ، 1962) ، و [[ويليام شارب\|William F. Sharpe]] (1964) ، و [[John Lintner]] (1965) و [[Jan Mossin]] (1966) بشكل مستقل. ) ', 730 => false, 731 => 'يوفر Black – Scholes نموذجًا رياضيًا لسوق مالية تحتوي على أدوات [[عقد اشتقاقي\|مشتقة]] ، والمعادلة الناتجة عن سعر [[Option style\|الخيارات الأوروبية]] . يتم التعبير عن النموذج باعتباره معادلة Black-Scholes ، معادلة تفاضلية [[معادلة تفاضلية جزئية\|جزئية]] تصف السعر المتغير للخيار بمرور الوقت ؛ تم اشتقاقها بافتراض وجود [[Geometric Brownian motion\|حركة براونية هندسية]] طبيعية (انظر [[Brownian model of financial markets\|النموذج البراوني للأسواق المالية]] ). تتمثل النظرة المالية الرئيسية وراء النموذج في أنه يمكن للمرء أن يحوط الخيار تمامًا عن طريق شراء وبيع الأصل الأساسي بالطريقة الصحيحة وبالتالي "التخلص من المخاطر" ، مع عدم وجود تسوية للمخاطر من السعر (<math>V</math> ، قيمة ، أو سعر الخيار ، ينمو في <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math>r</math> </mi></mstyle></mrow> </math><math>r</math> <math>r</math> ، معدل خالية من المخاطر. انظر معادلة بلاك شولز التفسير المالي ). <ref name="Rubinstein"> [[Mark Rubinstein\|روبنشتاين ، مارك]] . (2005). "لحظات عظيمة في الاقتصاد المالي: رابعا. النظرية الأساسية (الجزء الأول)" ، ''مجلة إدارة الاستثمار'' ، المجلد. 3 ، رقم 4 ، الربع الرابع 2005 ؛ ~ (2006). الجزء الثاني ، المجلد. 4 ، رقم 1 ، الربع الأول 2006. انظر تحت عنوان "الروابط الخارجية". </ref> <ref name="Cochrane & Culp">Christopher L. Culp and [[John H. Cochrane]]. (2003). "[http://faculty.chicagobooth.edu/john.cochrane/research/Papers/cochrane-culp%20asset%20pricing.pdf "Equilibrium Asset Pricing and Discount Factors: Overview and Implications for Derivatives Valuation and Risk Management"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20160304190225/http://faculty.chicagobooth.edu/john.cochrane/research/Papers/cochrane-culp%20asset%20pricing.pdf\|date=2016-03-04}}, in ''Modern Risk Management: A History''. Peter Field, ed. London: Risk Books, 2003. {{ردمك\|1904339050}}</ref> هذا التحوط ، بدوره ، يعني أن هناك سعرًا واحدًا مناسبًا - بمعنى خالٍ من التحكيم - للخيار. ويتم إرجاع هذا السعر بواسطة صيغة تسعير خيار Black-Scholes. (الصيغة ، وبالتالي السعر ، تتسق مع المعادلة ، لأن الصيغة هي [[معادلة تفاضلية جزئية\|الحل]] للمعادلة. بما أن الصيغة لا تشير إلى العائد المتوقع للسهم ، فإن Black-Scholes يرث حياد المخاطر ؛ متسقة بشكل حدسي مع "القضاء على المخاطر" هنا ، ومتسقة رياضياً مع [[Financial economics#Arbitrage-free pricing and equilibrium\|# التسعير والتوازن الخاليين من التحكيم]] . وبالتالي ، يمكن أيضًا اشتقاق صيغة التسعير مباشرةً من خلال التوقعات المحايدة للمخاطرة. (BSM - [[لوي باشوليي\|بحثان أساسيان في]] عام 1973 <ref name="BlackScholes_paper">{{Cite journal\|title=The Pricing of Options and Corporate Liabilities\|last=Black\|first=Fischer\|last2=Myron Scholes\|journal=Journal of Political Economy\|year=1973\|volume=81\|issue=3\|pages=637–654\|DOI=10.1086/260062}} [https://www.jstor.org/stable/1831029]</ref> <ref name="Merton_paper"> {{Cite journal\|title=Theory of Rational Option Pricing\|last=Merton\|first=Robert C.\|journal=Bell Journal of Economics and Management Science\|year=1973\|volume=4\|issue=1\|pages=141–183\|DOI=10.2307/3003143\|jstor=3003143}} [https://www.jstor.org/stable/3003143]</ref> - يتوافق مع "الإصدارات السابقة من صيغة" [[لوي باشوليي\|Louis Bachelier]] (1900) و [[Edward O. Thorp]] (1967) ؛ <ref name="Haug Taleb">Haug, E. G. and [[نسيم نقولا طالب\|Taleb, N. N.]] (2008): [http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1012075 Why We Have Never Used the Black-Scholes-Merton Option Pricing Formula] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20110503181600/http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1012075\|date=2011-05-03}}, ''Wilmott Magazine'' January 2008</ref> على الرغم من أن هذه كانت "اكتوارية" أكثر في نكهة ، ولم يثبت خصم محايد للمخاطر. <ref name="Derman">Emanuel Derman, [http://www.emanuelderman.com/media/Scientific_Approach_to_Finance.pdf ''A Scientific Approach to CAPM and Options Valuation''][http://www.emanuelderman.com/media/Scientific_Approach_to_Finance.pdf <nowiki>[1]</nowiki>] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20160330002200/http://www.emanuelderman.com/media/Scientific_Approach_to_Finance.pdf\|date=2016-03-30}}</ref> انظر أيضا [[بول سامويلسون\|بول صامويلسون]] (1965). <ref>{{Cite journal\|last=Samuelson Paul\|author-link=Paul Samuelson\|year=1965\|title=A Rational Theory of Warrant Pricing\|url=http://www.dse.unisalento.it/c/document_library/get_file?folderId=1344637&name=DLFE-157230.pdf\|journal=Industrial Management Review\|volume=6\|issue=\|page=2\|accessdate=2017-02-28\|archiveurl=https://web.archive.org/web/20170301092720/http://www.dse.unisalento.it/c/document_library/get_file?folderId=1344637&name=DLFE-157230.pdf\|archivedate=2017-03-01\|deadurl=no}}</ref> حقق فينزينز برونزين (1908) نتائج مبكرة للغاية ، أيضًا. ) ', 732 => false, 733 => 'كما ذكرنا ، يمكن إثبات أن النموذجين متسقان ؛ ثم ، كما هو متوقع ، فإن الاقتصاد المالي "الكلاسيكي" موحد. هنا ، يمكن اشتقاق معادلة Black Scholes من CAPM ، وبالتالي فإن السعر الذي يتم الحصول عليه من نموذج Black-Scholes يتسق مع العائد المتوقع من CAPM. <ref name="Chance1">Don M. Chance (2008). [http://www.bus.lsu.edu/academics/finance/faculty/dchance/Instructional/TN03-01.pdf "Option Prices and Expected Returns"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20150923195335/http://www.bus.lsu.edu/academics/finance/faculty/dchance/Instructional/TN03-01.pdf\|date=2015-09-23}}</ref> <ref name="Derman">Emanuel Derman, [http://www.emanuelderman.com/media/Scientific_Approach_to_Finance.pdf ''A Scientific Approach to CAPM and Options Valuation''][http://www.emanuelderman.com/media/Scientific_Approach_to_Finance.pdf <nowiki>[1]</nowiki>] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20160330002200/http://www.emanuelderman.com/media/Scientific_Approach_to_Finance.pdf\|date=2016-03-30}}</ref> نظرية Black-Scholes ، على الرغم من أنها مبنية على التسعير الخالي من التحكيم ، تتفق مع تسعير الأصول الرأسمالية القائمة على التوازن. كلا النموذجين ، بدوره ، يتفقان في النهاية مع نظرية Arrow-Debreu ، ويمكن اشتقاقهما من خلال تسعير الدولة ، <ref name="Rubinstein"> [[Mark Rubinstein\|روبنشتاين ، مارك]] . (2005). "لحظات عظيمة في الاقتصاد المالي: رابعا. النظرية الأساسية (الجزء الأول)" ، ''مجلة إدارة الاستثمار'' ، المجلد. 3 ، رقم 4 ، الربع الرابع 2005 ؛ ~ (2006). الجزء الثاني ، المجلد. 4 ، رقم 1 ، الربع الأول 2006. انظر تحت عنوان "الروابط الخارجية". </ref> لمزيد من التوضيح ، وإذا لزم الأمر ، فإن هذه الوحدة توضح ذلك. ', 734 => false, 735 => '== ملحقات ==', 736 => 'العمل الأكثر حداثة يعمم و / أو يمدد هذه النماذج. فيما يتعلق بتسعير الأصول ، تتم مناقشة التطورات في التسعير على أساس التوازن في إطار "نظرية المحفظة" أدناه ، في حين أن "التسعير المشتق" يتعلق بتسعير محايد من المخاطر ، أي خالي من التحكيم. فيما يتعلق باستخدام رأس المال ، تتعلق "نظرية تمويل الشركات" ، بشكل أساسي ، بتطبيق هذه النماذج. ', 737 => false, 738 => '=== نظرية الحافظة ===', 739 => '[[ملف:Pareto_Efficient_Frontier_for_the_Markowitz_Portfolio_selection_problem..png\|يسار\|تصغير\|200x200بك\| قطعة من معيارين عند تعظيم العائد وتقليل المخاطر في [[محفظة استثمارية\|المحافظ المالية]] (نقاط [[أمثلية باريتو\|Pareto الأمثل]] باللون الأحمر) ]]', 740 => false, 741 => ': ''انظر أيضا: [[Post-modern portfolio theory\|نظرية محفظة ما بعد الحداثة]] والتمويل الرياضي إدارة المخاطر والمحفظة: العالم ف .'' ', 742 => false, 743 => 'تتعلق غالبية التطورات هنا بالعائد المطلوب ، أي التسعير ، وتمديد C A P M الأساسي. تقترح النماذج متعددة العوامل ، مثل نموذج [[Fama–French three-factor model\|Fa m a-F r e n c h ثلاثي العوامل ونموذج]] [[Carhart four-factor model\|C a r h a r t المكون من أربعة عوامل]] ، عوامل أخرى غير عائد السوق كما هو مناسب في التسعير. يقوم نظام [[Intertemporal CAPM\|C A P M in t e rt e m p o r a l]] و [[Intertemporal CAPM\|C A P M]] [[Consumption-based capital asset pricing model\|المعتمد على الاستهلاك]] بتمديد النموذج بشكل مشابه. من خلال [[Intertemporal portfolio choice\|اختيار محفظة i n te r t e m p o r a l]] ، تقوم المستثمر الآن بتحسين محفظتها بشكل متكرر. بينما يدرج إدراج [[استهلاك\|الاستهلاك (بالمعنى الاقتصادي)]] جميع مصادر الثروة ، وليس فقط الاستثمارات القائمة على السوق ، في حساب المستثمر للعائد المطلوب. ', 744 => false, 745 => 'في حين أن ما سبق يمد C A P M ، فإن [[Single-index model\|نموذج الفهرس الفردي]] هو [[Single-index model\|نموذج]] أكثر بساطة. إنه يفترض ، فقط ، وجود علاقة بين عوائد الأمن والسوق ، دون افتراضات اقتصادية (عديدة) أخرى. من المفيد أنه يبسط تقدير العلاقة بين الأوراق المالية ، مما يقلل بشكل كبير من المدخلات لبناء مصفوفة الارتباط اللازمة لتحسين المحفظة. تختلف [[Arbitrage pricing theory\|نظرية تسعير المراجحة]] (APT ؛ [[ستيفن روس (اقتصادي)\|ستيفن روس]] ، 1976) بالمثل فيما يتعلق بافتراضاتها. APT "تتخلى عن فكرة أن هناك محفظة واحدة مناسبة للجميع في العالم ، و ... استبدالها بنموذج توضيحي لما يدفع عائدات الأصول." <ref> ''نظرية التسعير للتحكيم ،'' الفصل السادس في جوتزمان ، تحت الروابط الخارجية </ref> تقوم بإرجاع العائد المطلوب (المتوقع) للأصل المالي كدالة خطية لمختلف عوامل الاقتصاد الكلي ، ويفترض أن المراجحة يجب أن تعيد الأصول المسعرة بشكل غير صحيح إلى خطها. ', 746 => false, 747 => 'فيما يتعلق [[Portfolio optimization\|بتحسين المحفظة]] ، فإن [[Black–Litterman model\|نموذج Black-L i t t e rm a n]] يغادر من [[هاري ماركويتز\|نهج M a r k o w i t z الأصلي المتمثل]] في بناء المحافظ عبر [[Efficient frontier\|حدود فعالة]] . يبدأ Black-Li t term a n بدلاً من ذلك بافتراض توازن ، ثم يتم تعديله لمراعاة "وجهات النظر" (أي الآراء المحددة حول عائدات الأصول) للمستثمر المعني للوصول إلى تخصيص أصل مخصص. حيث تعتبر العوامل الإضافية للتقلبات (التقرن ، الانحراف ...) ثم يمكن تطبيق [[Multiple-criteria decision analysis\|تحليل القرار متعدد المعايير]] ؛ هنا اشتقاق محفظة [[أمثلية باريتو\|باريتو فعالة]] . تطبق [[Universal portfolio algorithm\|خوارزمية الحافظة الشاملة]] ( [[توماس كوفر\|Thomas M. Cover]] ) [[تعلم آلي\|التعلم الآلي]] على اختيار الأصول ، والتعلم بشكل تكيفي من البيانات التاريخية. تدرك [[Behavioral portfolio theory\|نظرية الحافظة السلوكية]] أن المستثمرين لديهم أهداف متنوعة وأنشئوا محفظة استثمارية تلبي مجموعة واسعة من الأهداف. [[Copula (probability theory)#Quantitative finance\|تم تطبيق]] Copulas [[Copula (probability theory)#Quantitative finance\|مؤخرًا هنا]] . انظر تحسين الحافظة § تحسين محفظة الأمثل للتقنيات و / أو الأهداف الأخرى. ', 748 => false, 749 => '=== التسعير المشتق ===', 750 => '[[ملف:Arbre_Binomial_Options_Reelles.png\|يسار\|تصغير\| شعرية ذات الحدين مع صيغ CRR ]]', 751 => '{\| class="wikitable floatright" width="250"', 752 => '\| {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 753 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} ', 754 => false, 755 => ': <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mn> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 756 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mn><mn> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 757 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mn></mfrac></mrow><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 758 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 759 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 760 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><msup><mo stretchy="false"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 761 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 762 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mn></mrow></msup><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mrow><msup><mi mathvariant="normal"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 763 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 764 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mn></mrow></msup><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 765 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 766 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><msup><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 767 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 768 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 769 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mo stretchy="false"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 770 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 771 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 772 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 773 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 774 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mo> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 775 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 776 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 777 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 778 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 779 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mo> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 780 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 781 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 782 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 783 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mo> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 784 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 785 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mo stretchy="false"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 786 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mo stretchy="false"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 787 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 788 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 789 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 790 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 791 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi></mrow></mfrac></mrow><mo> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 792 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 793 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 794 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 795 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 796 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi></mrow></mfrac></mrow><mo> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 797 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 798 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mi> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 799 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mi><mo> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 800 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mo><mn> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 801 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </mn></mstyle></mrow> </math>{{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 802 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 803 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} </img> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond', 804 => ':<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0</math>}} ', 805 => '\|}', 806 => 'فيما يتعلق بالتسعير المشتق ، يوفر [[Binomial options pricing model\|نموذج تسعير الخيارات ذات الحدين]] إصدارًا تقديريًا من Black-Scholes ، مفيد لتقييم الخيارات الأمريكية. النماذج المبنية من هذا النوع مبنية - على الأقل ضمنيًا - باستخدام أسعار الحالة (على [[Financial economics#State prices\|النحو الوارد أعلاه]] ) ؛ فيما يتعلق بذلك ، استخدم عدد كبير من الباحثين خيارات لاستخراج أسعار الحالة لمجموعة متنوعة من التطبيقات الأخرى في الاقتصاد المالي. <ref name="Rubinstein"> [[Mark Rubinstein\|روبنشتاين ، مارك]] . (2005). "لحظات عظيمة في الاقتصاد المالي: رابعا. النظرية الأساسية (الجزء الأول)" ، ''مجلة إدارة الاستثمار'' ، المجلد. 3 ، رقم 4 ، الربع الرابع 2005 ؛ ~ (2006). الجزء الثاني ، المجلد. 4 ، رقم 1 ، الربع الأول 2006. انظر تحت عنوان "الروابط الخارجية". </ref> <ref name="Chance1">Don M. Chance (2008). [http://www.bus.lsu.edu/academics/finance/faculty/dchance/Instructional/TN03-01.pdf "Option Prices and Expected Returns"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20150923195335/http://www.bus.lsu.edu/academics/finance/faculty/dchance/Instructional/TN03-01.pdf\|date=2015-09-23}}</ref> <ref name="Chance2">Don M. Chance (2008). [http://www.bus.lsu.edu/academics/finance/faculty/dchance/Instructional/TN97-13.pdf "Option Prices and State Prices"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20120209215717/http://www.bus.lsu.edu/academics/finance/faculty/dchance/Instructional/TN97-13.pdf\|date=2012-02-09}}</ref> بالنسبة إلى [[Option style#Non-vanilla path-dependent "exotic" options\|المشتقات المعتمدة]] على المسار ، يتم استخدام [[Monte Carlo methods for option pricing\|طرق مونت كارلو لتسعير الخيارات]] ؛ هنا النمذجة في وقت مستمر ، ولكن بالمثل يستخدم القيمة المتوقعة للخطر المحايدة. كما تم تطوير [[Option (finance)#Model implementation\|تقنيات رقمية]] مختلفة أخرى . لقد تم تمديد الإطار النظري أيضًا بحيث أصبح [[Martingale pricing\|تسعير مارتينجال]] الآن هو النهج القياسي. التطورات المتعلقة التعقيدات في العودة و / أو التقلب تناقش [[Financial economics#Departures from normality\|أدناه]] . ', 807 => false, 808 => 'بالاعتماد على هذه التقنيات ، تم تطوير نماذج مشتقة للعديد من التطبيقات الفرعية والتطبيقات الأخرى ، وكلها تستند إلى نفس المنطق (باستخدام " تحليل المطالبة الطارئة "). يسمح [[Real options valuation\|تقييم الخيارات الحقيقية]] بأنه يمكن لأصحاب الخيارات التأثير على أساس الخيار ؛ تفترض نماذج [[Employee stock option#Valuation\|تقييم خيارات أسهم الموظف]] بشكل صريح عدم العقلانية من جانب أصحاب الخيارات ؛ تسمح [[Credit derivative\|مشتقات الائتمان]] بعدم الوفاء بالتزامات الدفع و / أو متطلبات التسليم. يتم الآن تقييم [[Exotic derivative\|المشتقات الغريبة]] بشكل روتيني. يتم التعامل مع وكيل الأصول المتعددة عن طريق المحاكاة أو [[Copula (probability theory)#Quantitative finance\|التحليل القائم على]] الكوبولا. ', 809 => false, 810 => 'وبالمثل ، بدايةً من أولدريتش فاسيتش (1977) ، تسمح مختلف النماذج ذات المعدلات القصيرة ، وكذلك التقنيات المعتمدة على السعر الآجل H J M و B G M ، بتمديد هذه التقنيات لتشمل المشتقات [[دخل ثابت\|ذات الدخل الثابت]] وأسعار الفائدة . (يعتمد طرازا [[Vasicek model\|V a s i c e k]] و [[Cox–Ingersoll–Ross model\|CIR]] على التوازن ، بينما تعتمد النماذج Ho-Lee والنماذج اللاحقة على التسعير الخالي من التحكيم. ) يتم تمديد تقييم السندات ذات الصلة: يسمح أسلوب [[Bond valuation#Stochastic calculus approach\|حساب التفاضل والتكامل في Stochastic]] ، الذي يستخدم هذه الطرق ، بمعدلات "عشوائية" (مع إعادة سعر خالٍ من المراجحة ، على النحو الوارد أعلاه ) ؛ [[Lattice model (finance)#Hybrid securities\|نماذج شعرية للأوراق المالية المختلطة]] تسمح بتدفقات نقدية غير حتمية (وأسعار عشوائية). ', 811 => false, 812 => 'على النحو الوارد أعلاه ، اعتمد تسعير المشتقات ( [[أدوية متاحة بدون وصفة\|OTC]] ) على إطار التسعير المحايد لمخاطر B S M ، في ظل افتراضات التمويل بسعر خالٍ من المخاطر والقدرة على تكرار التدفقات النقدية بشكل مثالي حتى يتم التحوط بالكامل. وهذا ، بدوره ، مبني على افتراض وجود بيئة خالية من مخاطر الائتمان. بعد [[الأزمة المالية 2007-2008\|الأزمة المالية في عام 2008]] ، لذلك ، يتم إضافة مسائل مثل مخاطر الائتمان للطرف المقابل ، وتكاليف التمويل وتكاليف رأس المال ، <ref>[http://pure.au.dk/portal-asb-student/files/96440392/Master_Thesis_Pure.pdf "Post-Crisis Pricing of Swaps using xVAs"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20160917015231/http://pure.au.dk/portal-asb-student/files/96440392/Master_Thesis_Pure.pdf\|date=2016-09-17}}, Christian Kjølhede & Anders Bech, Master thesis, [[جامعة آرهوس\|Aarhus University]]</ref> ''وتعديل'' تقييم الائتمان ، أو C V A - ''وتسويات تقييم'' محتملة أخرى ، مجتمعة [[XVA\|x V A]] - تتم إضافتها عمومًا إلى القيمة المشتقة المحايدة للمخاطر. ', 813 => false, 814 => 'من التغييرات ذات الصلة ، وربما الأكثر جوهرية ، أن الخصم الآن على منحنى مؤشر مبادلة Overnight ، بدلاً من L I B O R كما كان مستخدمًا من قبل. وذلك لأن ما بعد الأزمة ، يعتبر O I S وكيلًا أفضل "للمعدلات الخالية من المخاطر". <ref>{{Cite journal\|title=LIBOR vs. OIS: The Derivatives Discounting Dilemma\|first=John\|last=Hull\|first2=Alan\|last2=White\|journal=[[Journal of Investment Management]]\|volume=11\|issue=3\|year=2013\|pages=14–27\|jstor=\|DOI=}}</ref> (وأيضًا ، من الناحية العملية ، عادة ما تكون الفائدة المدفوعة على [[ضمان إضافي\|ضمان]] ن قدي هي معدل الليلة الواحدة ؛ يُشار إلى خصم O I S ، في بعض الأحيان ، باسم "خصم [[Credit Support Annex\|C S A]] ". ) [[مقايضة مالية\|التسعير مبادلة]] - و، في الواقع، بناء منحنى - يتم تعديل أبعد من ذلك: في السابق، وبلغت قيمة المبادلات قبالة "خصم النفس" منحنى أسعار الفائدة واحد؛ في حين أنه بعد الأزمة ، لاستيعاب خصم O I S ، أصبح التقييم الآن ضمن إطار "متعدد المنحنى" حيث يتم إنشاء "منحنيات التنبؤ" ''لكل'' فترة L I B O R عائمة ، مع خصم على منحنى O I S مشترك ؛ انظر مقايضة سعر الفائدة التقييم والتسعير . ', 815 => false, 816 => '=== نظرية تمويل الشركات ===', 817 => '[[ملف:Manual_decision_tree.jpg\|يسار\|تصغير\| تقييم المشروع عبر شجرة القرار. ]]', 818 => 'تم تمديد نظرية تمويل الشركات أيضًا: تعكس التطورات المذكورة أعلاه وتقييم الأصول واتخاذ القرارات بعد الآن "اليقين". كما تمت مناقشته ، فإن طرق مونت كارلو في مجال التمويل ، التي طرحها [[ديفيد بي. هيرتز]] في عام 1964 ، تسمح للمحللين الماليين بإنشاء نماذج "تمويل [[تصادفية\|عشوائية]] أو [[احتمال\|احتمالية]] للشركات" ، على عكس النماذج الثابتة [[حتمية\|والحتمية]] التقليدية ؛ <ref name="Damodaran_Risk">[[Aswath Damodaran]] (2007). [http://www.stern.nyu.edu/~adamodar/pdfiles/papers/probabilistic.pdf "Probabilistic Approaches: Scenario Analysis, Decision Trees and Simulations"]. In ''Strategic Risk Taking: A Framework for Risk Management''. Prentice Hall. {{ردمك\|0137043775}}</ref> انظر تمويل الشركات قياس عدم اليقين . ذات الصلة ، تسمح نظرية الخيارات الحقيقية للمالك - أي الإجراءات الإدارية - التي تؤثر على القيمة الأساسية: من خلال دمج منطق تسعير الخيارات ، يتم تطبيق هذه الإجراءات بعد ذلك على توزيع النتائج المستقبلية ، مع التغيير مع الوقت ، والتي تحدد بعد ذلك تقييم "المشروع" اليوم. <ref name="Damodaran">{{Cite journal\|last=Damodaran\|first=Aswath\|author-link=Aswath Damodaran\|jstor=\|title=The Promise and Peril of Real Options\|journal=NYU Working Paper\|volume=\|issue=S-DRP-05-02\|year=2005\|pages=\|url=http://stern.nyu.edu/~adamodar/pdfiles/papers/realopt.pdf\|accessdate=2016-12-14\|archiveurl=https://web.archive.org/web/20010613082802/http://www.stern.nyu.edu/~adamodar/pdfiles/papers/realopt.pdf\|archivedate=2001-06-13\|deadurl=no}}</ref> ', 819 => false, 820 => 'وبشكل أكثر تقليدية ، تم استخدام [[شجرة القرار\|أشجار القرارات]] - التي تكمل بعضها البعض - لتقييم المشروعات ، من خلال دمجها في التقييم (جميع) [[حدث (نظرية الاحتمالات)\|الأحداث]] (أو الولايات) [[حدث (نظرية الاحتمالات)\|المحتملة]] [[اتخاذ القرار\|وقرارات الإدارة]] المترتبة عليها ؛ <ref>{{Cite journal\|title=Valuing Risky Projects: Option Pricing Theory and Decision Analysis\|first=James E.\|last=Smith\|first2=Robert F.\|last2=Nau\|url=https://faculty.fuqua.duke.edu/~jes9/bio/Valuing_Risky_Projects.pdf\|journal=Management Science\|volume=41\|issue=5\|year=1995\|pages=795–816\|DOI=10.1287/mnsc.41.5.795\|accessdate=2017-08-17\|archiveurl=https://web.archive.org/web/20100612170613/http://faculty.fuqua.duke.edu/%7Ejes9/bio/Valuing_Risky_Projects.pdf\|archivedate=2010-06-12\|deadurl=no}}</ref> <ref name="Damodaran_Risk">[[Aswath Damodaran]] (2007). [http://www.stern.nyu.edu/~adamodar/pdfiles/papers/probabilistic.pdf "Probabilistic Approaches: Scenario Analysis, Decision Trees and Simulations"]. In ''Strategic Risk Taking: A Framework for Risk Management''. Prentice Hall. {{ردمك\|0137043775}}</ref> معدل الخصم الصحيح هنا يعكس "كل نقطة غير قابلة للتنوع تتطلع إلى الأمام". <ref name="Damodaran_Risk" /> (هذه التقنية تسبق استخدام خيارات حقيقية في تمويل الشركات ؛ <ref>See for example: {{Cite journal\|title=Decision Trees for Decision Making\|first=John F.\|url=https://hbr.org/1964/07/decision-trees-for-decision-making\|last=Magee\|journal=[[Harvard Business Review]]\|volume=July 1964\|year=1964\|pages=795–816\|accessdate=2017-08-16\|archiveurl=https://web.archive.org/web/20170816192517/https://hbr.org/1964/07/decision-trees-for-decision-making\|archivedate=2017-08-16\|deadurl=no}}</ref> فهي مستعارة من [[بحوث العمليات]] ، وليست "تنمية اقتصادية مالية" ''في حد ذاتها'' . ) ', 821 => false, 822 => 'يرتبط هذا ، هو التدفقات النقدية المتوقعة في [[تقييم الأسهم العادية\|تقييم الأسهم]] . في كثير من الحالات ، بعد وليامز أعلاه ، تم تخفيض متوسط (أو على الأرجح) التدفقات النقدية ، <ref name="Markowitz_interview">{{Cite journal\|last=Kritzman\|first=Mark\|jstor=\|title=An Interview with Nobel Laureate Harry M. Markowitz\|journal=Financial Analysts Journal\|volume=73\|issue=4\|year=2017\|pages=16–21\|DOI=10.2469/faj.v73.n4.3}}</ref> بدلاً من معاملة أكثر صحة لكل ولاية في ظل عدم اليقين ؛ انظر التعليقات تحت [[نمذجة مالية\|النمذجة المالية § المحاسبة]] . في العلاجات الأكثر حداثة ، إذن ، فإن التدفقات النقدية ''المتوقعة'' ( [[قيمة متوقعة\|بالمعنى الرياضي]] ) مجتمعة في القيمة الإجمالية لكل فترة تنبؤية يتم خصمها. <ref name="Kruschwitz and Löffler"> انظر Kruschwitz و Löffler لكل ببليوغرافيا. </ref> <ref name="welch">[http://book.ivo-welch.info/read/chap13.pdf "Capital Budgeting Applications and Pitfalls"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20170815234404/http://book.ivo-welch.info/read/chap13.pdf\|date=2017-08-15}}. Ch 13 in [[Ivo Welch]] (2017). ''Corporate Finance'': 4th Edition</ref> <ref>George Chacko and Carolyn Evans (2014). ''Valuation: Methods and Models in Applied Corporate Finance''. FT Press. {{ردمك\|0132905221}}</ref> <ref name="Damodaran_Risk">[[Aswath Damodaran]] (2007). [http://www.stern.nyu.edu/~adamodar/pdfiles/papers/probabilistic.pdf "Probabilistic Approaches: Scenario Analysis, Decision Trees and Simulations"]. In ''Strategic Risk Taking: A Framework for Risk Management''. Prentice Hall. {{ردمك\|0137043775}}</ref> وباستخدام C A P M - أو الامتدادات - يكون الخصم هنا بسعر خالٍ من المخاطر بالإضافة إلى علاوة مرتبطة بعدم اليقين في التدفقات النقدية للمشروع أو المشروع. <ref name="Damodaran_Risk" /> <ref name="welch" /> ', 823 => false, 824 => 'تتضمن التطورات الأخرى هنا <ref> انظر جنسن و سميث تحت عنوان "الروابط الخارجية" ، وكذلك روبنشتاين تحت عنوان "المراجع" </ref> [[مشكلة الموكل والوكيل\|نظرية الوكالة]] ، التي تحلل الصعوبات في تحفيز إدارة الشركات ("الوكيل") للعمل بما يحقق مصلحة المساهمين ("الموكل") ، وليس لمصالحهم الخاصة. [[Clean surplus accounting\|توفر محاسبة الفوائض النظيفة]] [[Residual income valuation\|وتقييم الدخل المتبقي]] ذي الصلة نموذجًا يعيد السعر كدالة للأرباح والعوائد المتوقعة والتغيير في [[قيمة دفترية\|القيمة الدفترية]] ، بدلاً من توزيعات الأرباح. ينشأ هذا النهج ، إلى حد ما ، بسبب التناقض الضمني في رؤية القيمة كدالة لتوزيعات الأرباح ، مع الإبقاء أيضًا على أن سياسة توزيع الأرباح لا يمكن أن تؤثر على القيمة وفقًا لمبدأ Modigliani و Miller " مبدأ عدم الصلة " ؛ انظر سياسة توزيع الأرباح عدم أهمية سياسة توزيع الأرباح . ', 825 => false, 826 => 'التطبيق النموذجي للخيارات الحقيقية هو مشاكل نوع [[موازنة رأسمالية\|الميزانية الرأسمالية]] كما هو موضح. ومع ذلك ، يتم تطبيقها أيضًا على مسائل [[هيكل رأس المال]] وسياسة توزيع الأرباح ، وعلى التصميم ذي الصلة لأوراق مالية الشركات ؛ <ref name="Garbade">Kenneth D. Garbade (2001). ''Pricing Corporate Securities as Contingent Claims.'' [[MIT Press]]. {{ردمك\|9780262072236}}</ref> وبما أن حاملي الأسهم والسندات لديهم وظائف موضوعية مختلفة ، في تحليل مشاكل الوكالة ذات الصلة. <ref name="Damodaran">{{Cite journal\|last=Damodaran\|first=Aswath\|author-link=Aswath Damodaran\|jstor=\|title=The Promise and Peril of Real Options\|journal=NYU Working Paper\|volume=\|issue=S-DRP-05-02\|year=2005\|pages=\|url=http://stern.nyu.edu/~adamodar/pdfiles/papers/realopt.pdf\|accessdate=2016-12-14\|archiveurl=https://web.archive.org/web/20010613082802/http://www.stern.nyu.edu/~adamodar/pdfiles/papers/realopt.pdf\|archivedate=2001-06-13\|deadurl=no}}</ref> في جميع هذه الحالات ، يمكن أن توفر الأسعار الحكومية المعلومات الضمنية في السوق المتعلقة بالشركة ، على النحو الوارد أعلاه ، والتي يتم تطبيقها بعد ذلك على التحليل. على سبيل المثال ، يمكن (يجب) تسعير [[سند قابل للتحويل\|السندات القابلة للتحويل]] بما يتفق مع الأسعار الحكومية لأسهم الشركة. <ref name="corp fin state prices"> انظر de Matos ، وكذلك Bossaerts و Ødegaard ، تحت المراجع. </ref> <ref name="Kruschwitz and Löffler"> انظر Kruschwitz و Löffler لكل ببليوغرافيا. </ref> ', 827 => false, 828 => '== التحديات والنقد ==', 829 => 'كما ذكر أعلاه ، هناك صلة وثيقة للغاية بين (1) فرضية المشي العشوائي ، مع التوقعات المرتبطة بأن تغيرات الأسعار يجب أن تتبع [[توزيع احتمالي طبيعي\|التوزيع الطبيعي]] ، من ناحية ، و (2) كفاءة السوق [[توقعات رشيدة\|والتوقعات المنطقية]] ، من ناحية أخرى. لاحظ ، مع ذلك ، أنه يتم ملاحظة حالات الخروج (الواسعة) عن هذه ، وبالتالي ، هناك ، على التوالي ، مجموعتان رئيسيتان من التحديات. ', 830 => false, 831 => '=== المغادرين من الحياة الطبيعية ===', 832 => '[[ملف:Ivsrf.gif\|يسار\|تصغير\| سطح التقلب الضمني. يمثل المحور Z تقلبًا ضمنيًا في المئة ، وتمثل محاور X و Y دلتا الخيار ، والأيام حتى الاستحقاق. ]]', 833 => 'كما تمت مناقشته ، فإن الافتراضات القائلة بأن أسعار السوق تتبع [[سير عشوائي\|مسارًا عشوائيًا]] و / أو أن عوائد الأصول يتم توزيعها بشكل طبيعي هي أمور أساسية. ومع ذلك ، تشير الدلائل التجريبية إلى أن هذه الافتراضات قد لا تصمد (انظر خطر التعرق ، مخاطر الانحراف ، [[الذيل الطويل]] ) وأنه في الممارسة العملية ، يعدل التجار والمحللون ومديرو المخاطر بشكل متكرر "النماذج القياسية" (انظر نموذج المخاطر ). في الواقع ، اكتشف [[بينوا ماندلبروت\|B e n o i t Mandelbrot]] بالفعل في الستينيات من القرن الماضي أن التغيرات في الأسعار المالية لا تتبع [[توزيع احتمالي طبيعي\|توزيعًا غوسيًا]] ، وهو الأساس لنظرية تسعير الخيارات ، على الرغم من أن هذه الملاحظة كانت بطيئة في العثور على طريقها إلى الاقتصاد المالي السائد. ', 834 => false, 835 => '[[Financial models with long-tailed distributions and volatility clustering\|تم تقديم نماذج مالية ذات توزيعات طويلة الذيل وتجمعات متقلبة]] للتغلب على مشاكل الواقعية للنماذج المالية "الكلاسيكية" أعلاه ؛ بينما تسمح [[Jump diffusion#In economics and finance\|نماذج الانتقال السريع]] لأسعار (الخيار) بدمج [[Jump process\|"القفزات"]] في السعر الفوري . <ref name="holes">{{Cite journal\|title=How to use the holes in Black-Scholes\|first=Fischer\|last=Black\|journal=[[Journal of Applied Corporate Finance]]\|volume=1\|issue=Jan\|year=1989\|pages=67–73\|jstor=\|DOI=10.1111/j.1745-6622.1989.tb00175.x}}</ref> وبالمثل ، يستكمل مديرو المخاطر (أو البديل) [[Value at risk\|القيمة]] القياسية في نماذج [[Value at risk\|المخاطر]] [[Historical simulation (finance)\|بمحاكاة تاريخية]] ، [[Mixture model#A financial model\|ونماذج خليط]] ، [[تحليل العنصر الرئيسي\|وتحليل مكون رئيسي]] ، [[Extreme value theory\|ونظرية القيمة القصوى]] ، فضلاً عن نماذج [[Volatility clustering\|لتجميع التقلب]] . <ref>III.A.3 in Carol Alexander, ed. ''The Professional Risk Managers' Handbook: A Comprehensive Guide to Current Theory and Best Practices''. PRMIA Publications (January 2005). {{ردمك\|978-0976609704}}</ref> لمزيد من المناقشة رؤية الذيل الدهون § التوزيع التطبيقات في الاقتصاد ، والقيمة المعرضة للخطر النقد . مديرو الحافظة ، وبالمثل ، قاموا بتعديل معايير وخوارزميات التحسين الخاصة بهم ؛ انظر [[Financial economics#Portfolio theory\|نظرية محفظة #]] أعلاه. ', 836 => false, 837 => 'يرتبط ارتباطًا وثيقًا [[Volatility smile\|بابتسامة التقلب]] ، حيث يُلاحظ أن [[Implied volatility\|التقلب الضمني]] - التقلب المقابل لسعر B S M - ''يختلف'' كدالة [[Strike price\|لسعر الإضراب]] (أي [[Moneyness\|النقود]] ) ، وهذا صحيح فقط إذا كان توزيع تغيير السعر غير طبيعي ، على عكس ذلك المفترض بواسطة B S M. يصف مصطلح مصطلح التقلب مدى اختلاف التقلب (الضمني) بالنسبة للخيارات ذات الصلة مع آجال استحقاق مختلفة. سطح التقلب الضمني هو ثم مؤامرة سطح ثلاثية الأبعاد من ابتسامة التقلب وهيكل المدى. هذه الظواهر التجريبية تنفي افتراض التقلب المستمر والسجلات الطبيعية - التي بنيت عليها بلاك سكولز ؛ <ref name="Haug Taleb">Haug, E. G. and [[نسيم نقولا طالب\|Taleb, N. N.]] (2008): [http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1012075 Why We Have Never Used the Black-Scholes-Merton Option Pricing Formula] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20110503181600/http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1012075\|date=2011-05-03}}, ''Wilmott Magazine'' January 2008</ref> <ref name="holes">{{Cite journal\|title=How to use the holes in Black-Scholes\|first=Fischer\|last=Black\|journal=[[Journal of Applied Corporate Finance]]\|volume=1\|issue=Jan\|year=1989\|pages=67–73\|jstor=\|DOI=10.1111/j.1745-6622.1989.tb00175.x}}</ref> انظر نموذج بلاك سكولز تقلب ابتسامة . ', 838 => false, 839 => 'نتيجة لذلك ، يستخدم المتداولون (ومديرو المخاطر) نماذج "متسقة مع الابتسامة" ، أولاً ، عند تقييم المشتقات التي لم يتم تعيينها مباشرة إلى السطح ، مما يسهل تسعير المجموعات الأخرى ، مثل مجموعات الأسعار / النضج غير المشتقة ، أو المشتقات غير الأوروبية ، وعموما لأغراض التحوط. الطريقتان الرئيسيتان هما [[Local volatility\|التقلب المحلي وتقلب]] [[Stochastic volatility\|مؤشر ستوكاستيك]] . الأول يعيد التقلبات "المحلية" إلى كل نقطة زمنية [[Finite difference methods for option pricing\|محددة]] للتقييم القائم على [[Finite difference methods for option pricing\|الفروق]] أو [[Monte Carlo methods for option pricing\|المحاكاة]] - أي على عكس التذبذب الضمني ، والذي يبقى ثابتًا بشكل عام. وبهذه الطريقة ، تكون الأسعار المحسوبة - والهياكل الرقمية - متسقة مع السوق بطريقة خالية من المراجحة. النهج الثاني يفترض أن تقلب السعر الأساسي هو عملية عشوائية وليس ثابتة. يتم أولاً [[Stochastic volatility#Calibration and estimation\|"معايرة"]] النماذج هنا للأسعار المرصودة ، ثم يتم تطبيقها على التقييم المعني ؛ الأكثر شيوعًا هي [[Heston model\|H e s t o n]] و [[SABR volatility model\|S A B R]] و [[Constant elasticity of variance model\|C E V]] . يعالج هذا النهج بعض المشكلات المحددة مع التحوط في ظل التقلبات المحلية. <ref>{{Cite journal\|title=Managing smile risk\|first=Patrick\|last=Hagan\|displayauthors=etal\|journal=[[Wilmott Magazine]]\|volume=\|issue=Sep\|year=2002\|pages=84–108\|jstor=\|DOI=}}</ref> ', 840 => false, 841 => 'تتعلق التقلبات المحلية بالأشجار الضمنية ذات الحدين و الأشجار المستندة إلى [[Lattice model (finance)\|شعرية]] - تقديرا أساسيا للنهج - والتي تستخدم بالمثل في التسعير هذه مبنية على أسعار الدولة المستردة من السطح. تسمح أشجار E d g e w o r t h ذات الحدين بوجود [[Skewness\|انحراف]] وخرط محدد (أي غير غاوسي) في السعر الفوري ؛ بسعر هنا ، فإن الخيارات ذات الضربات المختلفة ستعيد التقلبات الضمنية المختلفة ، ويمكن معايرة الشجرة حسب الابتسامة على النحو المطلوب. <ref>See for example Pg 217 of: Jackson, Mary; Mike Staunton (2001). ''Advanced modelling in finance using Excel and VBA''. New Jersey: Wiley. {{ردمك\|0-471-49922-6}}.</ref> كما تم تطوير [[Closed-form expression\|نماذج مقفلة ذات]] أغراض مماثلة. <ref> وتشمل هذه: [[Robert A. Jarrow\|Jarrow]] و Rudd (1982) ؛ Corrado and Su (1996)؛ [[David K. Backus\|Backus]] و Foresi و Wu (2004). انظر: Emmanuel Jurczenko ، Bertrand Maillet & Bogdan Negrea ، 2002. "إعادة النظر في نماذج تسعير الخيار التقريبي متعدد اللحظات: مقارنة عامة (الجزء 1)". ورقة عمل ، [[London School of Economics and Political Science\|كلية لندن للاقتصاد والعلوم السياسية]] . </ref> ', 842 => false, 843 => 'كما ذكر أعلاه ، يفترض B S M - ونماذج المشتقات الأخرى عادة - (د) القدرة على تكرار التدفقات النقدية تمامًا بحيث يتم التحوط بالكامل ، ومن ثم إلى الخصم دون معدل المخاطرة. وهذا ، بدوره ، مبني على افتراض وجود بيئة خالية من مخاطر الائتمان. بعد الأزمة ، إذن ، يتم إجراء العديد من التعديلات على القيمة x على القيمة المشتقة من المخاطر المحايدة. لاحظ أن هذه العناصر ''إضافية'' لأي تأثير على الابتسامة أو السطح: هذا صحيح لأن السطح مبني على بيانات الأسعار المتعلقة بالمراكز المضمونة بالكامل ، وبالتالي لا يوجد " حساب مزدوج " لمخاطر الائتمان (وما إلى ذلك) عند تضمين x V A. (أيضًا ، لو لم يكن الأمر كذلك ، فسيكون لكل طرف مقابل سطحه الخاص. . . ) ', 844 => false, 845 => '=== المغادرين من العقلانية ===', 846 => '{\| class="wikitable floatright" width="200"', 847 => '\|- align="center"', 848 => '\| colspan="1" \| الشذوذ في السوق والألغاز الاقتصادية ', 849 => '\|-', 850 => '\| rowspan="2" \|', 851 => '* تأثير التقويم ', 852 => ' تأثير يناير ', 853 => ' سانتا كلوز تجمع ', 854 => '** بيع في مايو ', 855 => '* [[رأسمال مغلق\|لغز نهاية مغلقة الصندوق]] ', 856 => '* لغز الارباح ', 857 => '* الإنصاف لغز المنزل التحيز ', 858 => '* لغز قسط الأسهم ', 859 => '* إلى الأمام الشذوذ قسط ', 860 => '* انخفاض الشذوذ الشذوذ ', 861 => '* الزخم الشذوذ ', 862 => '* بعد إعلان الأرباح الانجراف ', 863 => '* الألغاز الحقيقية لسعر الصرف ', 864 => '\|}', 865 => 'كما رأينا ، هناك افتراض شائع هو أن صناع القرار المالي يتصرفون بعقلانية. رؤية [[Homo economicus\|هومو الاقتصادية]] . لكن في الآونة الأخيرة ، تحدى الباحثون في [[علم اقتصاد تجريبي\|الاقتصاد]] [[Experimental finance\|التجريبي والتمويل التجريبي]] هذا الافتراض [[دليل تجريبي\|تجريبياً]] . كما يتم تحدي هذه الافتراضات من [[نظرية\|الناحية النظرية]] ، من خلال [[اقتصاد سلوكي\|التمويل السلوكي]] ، وهو مجال يتعلق في المقام الأول بالقيود المفروضة على عقلانية العوامل الاقتصادية. ', 866 => false, 867 => 'تمشيا مع هذه النتائج ومكملة لها ، تم توثيق العديد من [[Market anomaly\|الحالات الشاذة]] المستمرة في [[Market anomaly\|السوق ، والتي تمثل تشوهات في]] الأسعار و / أو العودة - على سبيل المثال [[Size premium\|أقساط الحجم]] - والتي تتعارض مع [[فرضية كفاءة السوق\|فرضية السوق الفعالة]] ؛ [[Calendar effect\|تأثيرات التقويم]] هي أفضل مجموعة معروفة هنا. تتعلق هذه [[Economic puzzle\|الألغاز الاقتصادية]] المختلفة ، المتعلقة بالظواهر التي تتناقض مع النظرية بالمثل. ينشأ ''[[Equity premium puzzle\|لغز علاوة الأسهم]]'' ، على سبيل المثال ، في أن الفرق بين العوائد الملحوظة على الأسهم مقارنة بالسندات الحكومية أعلى باستمرار من [[Abnormal return\|عائد]] [[علاوة مخاطرة\|المخاطرة في]] الأسهم العقلانية التي ينبغي على المستثمرين طلبها ، وهو " [[Abnormal return\|عائد غير طبيعي]] ". للحصول على مزيد من السياق ، انظر [[Random walk hypothesis#A non-random walk hypothesis\|فرضية المشي العشوائي § فرضية المشي العشوائية]] ، والشريط الجانبي لحالات محددة. ', 868 => false, 869 => 'بشكل أعم ، وخاصة بعد [[الأزمة المالية 2007-2008\|الأزمة المالية في 2007-2010]] ، تعرض الاقتصاد المالي [[رياضيات مالية\|والتمويل الرياضي]] إلى نقد أعمق ؛ جدير بالذكر هنا [[نسيم نقولا طالب\|نسيم نيكولاس طالب]] ، الذي يدعي أن أسعار الأصول المالية لا يمكن وصفها بالنماذج البسيطة المستخدمة حاليًا ، مما يجعل الكثير من الممارسات الحالية غير ذات صلة ، وفي أسوأ الأحوال ، مضللة بشكل خطير ؛ رؤية [[نظرية البجعة السوداء]] ، توزيع طالب . كان موضوع الاهتمام العام الذي تمت دراسته في السنوات الأخيرة هو [[أزمة مالية\|الأزمات المالية]] ، <ref>From ''[[The New Palgrave Dictionary of Economics]]'', Online Editions, 2011, 2012, with abstract links:<br /><br />   • [http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2012_F000330&edition=1 "regulatory responses to the financial crisis: an interim assessment"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20130529101109/http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2012_F000330&edition=1\|date=2013-05-29}} by [[هوارد ديفيز\|Howard Davies]]<br /><br />   • [http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2011_C000621&edition= "Credit Crunch Chronology: April 2007–September 2009"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20130529092712/http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2011_C000621&edition=\|date=2013-05-29}} by The Statesman's Yearbook team<br /><br />   • [http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2011_M000430&edition=current&q= "Minsky crisis"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20130529172102/http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2011_M000430&edition=current&q=\|date=2013-05-29}} by [[L. Randall Wray]]<br /><br />   • [http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2011_E000326&edition=current&q= "euro zone crisis 2010"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20130529092726/http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2011_E000326&edition=current&q=\|date=2013-05-29}} by [[Daniel Gros]] and Cinzia Alcidi.<br /><br />   • [[Carmen M. Reinhart]] and [[Kenneth S. Rogoff]], 2009. ''This Time Is Different: Eight Centuries of Financial Folly'', Princeton. [http://press.princeton.edu/titles/8973.html Description] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20130118213207/http://press.princeton.edu/titles/8973.html\|date=2013-01-18}}, ch. 1 ("Varieties of Crises and their Dates". pp. [http://press.princeton.edu/chapters/s8973.pdf 3-20)] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20120925065855/http://press.princeton.edu/chapters/s8973.pdf\|date=2012-09-25}}, and chapter-preview [https://books.google.com/books?id=ak5fLB24ircC&printsec=frontcover&source=find&pg=PR7gbs_atb#v=onepage&q&f=false links.]</ref> وفشل الاقتصاديات المالية في تشكيلها. (المشكلة ذات الصلة هي [[مخاطر نظمية\|المخاطر النظامية]] : حيث تحتفظ الشركات بأوراق مالية فيما بينها ، فإن الترابط قد يستلزم "سلسلة تقييم" - وأداء شركة واحدة ، أو أمان ، سوف يؤثر هنا على الجميع ، وهي ظاهرة لا يمكن صياغتها بسهولة ، بغض النظر عما إذا النماذج الفردية صحيحة. انظر [[مخاطر نظمية\|المخاطر النظامية § عدم كفاية نماذج التقييم الكلاسيكية]] ؛ [[Cascades in financial networks\|شلالات في الشبكات المالية]] ؛ [[Flight-to-quality\|رحلة إلى الجودة]] . ) ', 870 => false, 871 => 'تشمل مجالات البحث التي تحاول شرح (أو على الأقل نموذج) هذه الظواهر والأزمات ، <ref name="Doyne_Geanakoplos">{{Cite journal\|last=Farmer J. Doyne, Geanakoplos John\|year=2009\|title=The virtues and vices of equilibrium and the future of financial economics\|url=https://campuspress.yale.edu/johngeanakoplos/files/2017/07/63.-The-Virtues-and-Vices-of-Equilbrium-and-the-Future-of-Financial-Economics-2009-26baz0x.pdf\|journal=Complexity\|volume=14\|issue=3\|pages=11–38\|DOI=10.1002/cplx.20261\|arxiv=0803.2996\|bibcode=2009Cmplx..14c..11F}}</ref> [[Noise trader\|تجارة الضوضاء]] [[Market microstructure\|والبنية المجهرية للسوق]] ونماذج العوامل غير المتجانسة . يمتد هذا الأخير إلى [[Agent-based computational economics\|الاقتصاد الحسابي القائم على الوكيل]] ، حيث يتم التعامل مع السعر [[تولد\|كظاهرة ناشئة]] ، الناتجة عن تفاعل مختلف المشاركين في السوق (الوكلاء). تقول فرضية السوق الصاخبة أن الأسعار يمكن أن تتأثر بالمضاربين وتجار الزخم ، وكذلك من [[تداول من الداخل\|الداخل]] والمؤسسات التي غالباً ما تشتري وتبيع الأسهم لأسباب لا علاقة لها بالقيمة الأساسية ؛ انظر [[Noise (economic)\|الضوضاء (الاقتصادية)]] . [[Adaptive market hypothesis\|فرضية السوق التكيفية]] هي محاولة للتوفيق بين فرضية السوق الفعالة والاقتصاد السلوكي ، من خلال تطبيق مبادئ [[تطور\|التطور]] على التفاعلات المالية. بدلاً من ذلك ، تُظهر [[Information cascade\|سلسلة المعلومات]] المشاركين في السوق وهم يشاركون في نفس أفعال الآخرين (" [[سلوك القطيع]] ") ، على الرغم من التناقضات مع معلوماتهم الخاصة. وقد تم تطبيق [[Copula (probability theory)#Quantitative finance\|النمذجة المستندة إلى Copula]] بالمثل. انظر أيضًا [[Hyman Minsky#Minsky's financial instability hypothesis\|"فرضية عدم الاستقرار المالي" التي]] [[Hyman Minsky\|وضعها هيمان مينسكي]] ، بالإضافة إلى مقاربة [[جورج سوروس]] ، [[جورج سوروس\|الانعكاسية ، الأسواق المالية ، والنظرية الاقتصادية]] . ', 872 => false, 873 => 'ولكن على الجانب الآخر ، أظهرت العديد من الدراسات أنه على الرغم من هذه الانحرافات عن الكفاءة ، إلا أن أسعار الأصول عادةً ما تمشي بشكل عشوائي ، وبالتالي لا يمكن للمرء أن يتفوق باستمرار على متوسطات السوق ( "ألفا" ). <ref>[[ويليام شارب\|William F. Sharpe]] (1991). [http://www.stanford.edu/~wfsharpe/art/active/active.htm "The Arithmetic of Active Management"] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20131113071513/http://www.stanford.edu/~wfsharpe/art/active/active.htm\|date=2013-11-13}}. ''Financial Analysts Journal'' Vol. 47, No. 1, January/February</ref> لذلك فإن الأثر العملي هو أن الاستثمار السلبي (على سبيل المثال من خلال [[Index fund\|صناديق المؤشرات]] منخفضة التكلفة) ينبغي ، في المتوسط ، أن يخدم بشكل أفضل من أي استراتيجية نشطة أخرى. <ref name="two">[[ويليام شارب\|William F. Sharpe]] (2002). [http://www.stanford.edu/~wfsharpe/art/talks/indexed_investing.htm ''Indexed Investing: A Prosaic Way to Beat the Average Investor''] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20131114160728/http://www.stanford.edu/~wfsharpe/art/talks/indexed_investing.htm\|date=2013-11-14}}. Presention: [[Monterey Institute of International Studies]]. Retrieved May 20, 2010.</ref> [[Burton Malkiel\|تعد لعبة Burton M a l k i e l]] ''[[A Random Walk Down Wall Street\|للمشي العشوائي في وول ستريت]]'' - التي نُشرت لأول مرة في عام 1973 ، وفي عددها الحادي عشر اعتبارًا من عام 2015 - تعميمًا شائعًا لهذه الحجج. (راجع أيضًا [[John C. Bogle\|John C B o g l e]] 's ''[[Common Sense on Mutual Funds\|Sense على صناديق الاستثمار المشتركة]]'' ؛ لكن قارن [[وارن بافت\|وارين بافيت]] ''[[The Superinvestors of Graham-and-Doddsville\|من S u p e r i n v e s t o r s لـ Graham-and-D o d d s v i l l e]]'' . لاحظ أيضًا أن ''الحدود'' الموروثة مؤسسيًا ''[[Limits to arbitrage\|للمراجحة]]'' - على عكس العوامل المتناقضة مباشرة مع النظرية - تُقترح أحيانًا كتفسير لهذه الانحرافات عن الكفاءة. ', 874 => false, 875 => '== أنظر أيضا ==', 876 => '{{Div col}}', 877 => '* [[:Category:Finance theories]]', 878 => '* [[:Category:Financial economists]]', 879 => '* [[Deutsche Bank Prize in Financial Economics]]', 880 => '* [[Financial modeling]]', 881 => '* [[Fischer Black Prize]]', 882 => '* {{sectionlink\|List of unsolved problems in economics\|Financial economics}}', 883 => '* [[Monetary economics]]', 884 => '* [[Outline of economics]]', 885 => '* [[Outline of finance]]', 886 => '{{Div col end}}', 887 => false, 888 => '== المراجع ==', 889 => '<references group="" responsive="0"></references>', 890 => false, 891 => '== قائمة المراجع ==', 892 => '{{refbegin\|30em}}', 893 => ''''Financial economics'''', 894 => '* {{cite book\|author=Roy E. Bailey\|title=The Economics of Financial Markets\|publisher=[[Cambridge University Press]]\|location=\|year=2005\|isbn=978-0521612807}}', 895 => '* {{cite book\|author=Marcelo Bianconi\|title=Financial Economics, Risk and Information (2nd Edition)\|publisher=[[World Scientific]]\|location=\|year=2013\|isbn=978-9814355131}}', 896 => '* {{cite book\|author=[[Zvi Bodie]], [[Robert C. Merton]] and David Cleeton\|title=Financial Economics (2nd Edition)\|publisher=[[Prentice Hall]]\|location=\|year=2008\|isbn=978-0131856158}}', 897 => '* {{cite book\|author=James Bradfield\|title=Introduction to the Economics of Financial Markets\|publisher=Oxford University Press\|location=\|year=2007\|isbn=978-0-19-531063-4}}', 898 => '* {{cite book\|author1=Satya R. Chakravarty\|title=An Outline of Financial Economics\|publisher=Anthem Press\|location=\|year=2014\|isbn=978-1783083367}}', 899 => '* {{cite book\|author=[[Jakša Cvitanić]] and Fernando Zapatero\|title=Introduction to the Economics and Mathematics of Financial Markets\|publisher=MIT Press\|location=\|year=2004\|isbn=978-0262033206}}', 900 => '* {{cite book\|author=[[George Constantinides\|George M. Constantinides]], Milton Harris, [[René M. Stulz]] (editors)\|url=http://econpapers.repec.org/bookchap/eeefinchp/\|title=Handbook of the Economics of Finance\|publisher=[[Elsevier]]\|location=\|year=2003\|isbn=978-0444513632}}', 901 => '* {{cite book\|author1=Keith Cuthbertson\|author2=Dirk Nitzsche\|title=Quantitative Financial Economics: Stocks, Bonds and Foreign Exchange\|publisher=Wiley\|location=\|year=2004\|isbn=978-0470091715}}', 902 => '* {{cite book\|author=[[Jean-Pierre Danthine]], [[John Donaldson (economist)\|John B. Donaldson]]\|title=Intermediate Financial Theory (2nd Edition)\|publisher=[[Academic Press]]\|location=\|year=2005\|isbn=978-0123693808}}', 903 => '* {{cite book\|author=Louis Eeckhoudt\|author2=Christian Gollier, [[American Risk and Insurance Association#Presidents\|Harris Schlesinger]]\|title=Economic and Financial Decisions Under Risk\|publisher=Princeton University Press\|location=\|year=2005\|isbn=978-0-691-12215-1}}', 904 => '* {{cite book\|author1=Jürgen Eichberger\|author2=[[Ian Harper\|Ian R. Harper]]\|title=Financial Economics\|publisher=Oxford University Press\|location=\|year=1997\|isbn=978-0198775409}}', 905 => '* {{cite book\|author=Igor Evstigneev, Thorsten Hens, and Klaus Reiner Schenk-Hoppé\|title=Mathematical Financial Economics: A Basic Introduction\|publisher=Springer\|location=\|year=2015\|isbn=978-3319165707}}', 906 => '* {{cite book\|author=[[Frank J. Fabozzi]], Edwin H. Neave and Guofu Zhou\|title=Financial Economics\|publisher=Wiley\|location=\|year=2011\|isbn=978-0470596203}}', 907 => '* {{cite book\|author=Christian Gollier\|title=The Economics of Risk and Time (2nd Edition)\|publisher=[[MIT Press]]\|location=\|year=2004\|isbn=978-0-262-57224-8}}', 908 => '* {{cite book\|author=[[Thorsten Hens]] and Marc Oliver Rieger\|title=Financial Economics: A Concise Introduction to Classical and Behavioral Finance\|publisher=[[Springer Publishing\|Springer]]\|location=\|year=2010\|isbn=978-3540361466}}', 909 => '* {{cite book\|author=[[Chi-fu Huang]] and [[Robert Litzenberger\|Robert H. Litzenberger]]\|title=Foundations for Financial Economics\|publisher=Prentice Hall\|location=\|year=1998\|isbn=978-0135006535}}', 910 => '* {{cite book\|author=[[Jonathan E. Ingersoll]]\|title=Theory of Financial Decision Making\|publisher=Rowman & Littlefield\|location=\|year=1987\|isbn=978-0847673599}}', 911 => '* {{cite book\|author=[[Robert A. Jarrow]]\|title=Finance theory\|publisher=Prentice Hall\|location=\|year=1988\|isbn=978-0133148657}}', 912 => '* {{cite book\|author=Chris Jones\|title=Financial Economics\|publisher=[[Routledge]]\|location=\|year=2008\|isbn=978-0415375856}}', 913 => '* {{cite book\|author=Brian Kettell\|title=Economics for Financial Markets\|publisher=[[Butterworth-Heinemann]]\|location=\|year=2002\|isbn=978-0-7506-5384-8}}', 914 => '* {{cite book\|author=Yvan Lengwiler\|title=Microfoundations of Financial Economics: An Introduction to General Equilibrium Asset Pricing\|publisher=Princeton University Press\|location=\|year=2006\|isbn=978-0691126319}}', 915 => '* {{cite book\|author1=Stephen F. LeRoy\|author2=Jan Werner\|title=Principles of Financial Economics\|publisher=Cambridge University Press\|location=\|year=2000\|isbn=978-0521586054}}', 916 => '* {{cite book\|author1=Leonard C. MacLean\|author2=William T. Ziemba\|title=Handbook of the Fundamentals of Financial Decision Making\|publisher=World Scientific\|location=\|year=2013\|isbn=978-9814417341}}', 917 => '* {{cite book\|author=[[Frederic S. Mishkin]]\|title=The Economics of Money, Banking, and Financial Markets (3rd Edition)\|publisher=[[Prentice Hall]]\|location=\|year=2012\|isbn=978-0132961974}}', 918 => '* {{cite book\|author=[[Harry Panjer\|Harry H. Panjer]], ed.\|title=Financial Economics with Applications\|publisher=Actuarial Foundation\|location=\|year=1998\|isbn=978-0938959489}}', 919 => '* {{cite book\|editor=Geoffrey Poitras\|title=Pioneers of Financial Economics, Volume I\|publisher=[[Edward Elgar Publishing]]\|location=\|year=2007\|isbn=978-1845423810}}; Volume II {{ISBN\|978-1845423827}}.', 920 => '* {{cite book\|author=[[Richard Roll]] (series editor)\|url=http://www.e-elgar.co.uk/search_results.lasso?series_title=The%20International%20Library%20of%20Critical%20Writings%20in%20Financial%20Economics\|title=The International Library of Critical Writings in Financial Economics\|publisher=[[Edward Elgar Publishing]]\|location=[[Cheltenham]]\|year=2006\|isbn=}}', 921 => false, 922 => ''''Asset pricing'''', 923 => '* {{cite book\|author=Kerry E. Back\|title=Asset Pricing and Portfolio Choice Theory\|publisher=Oxford University Press\|location=\|year=2010\|isbn=978-0195380613}}', 924 => '* {{cite book\|author=Tomas Björk\|title=Arbitrage Theory in Continuous Time (3rd Edition)\|publisher=Oxford University Press\|location=\|year=2009\|isbn=978-0199574742}}', 925 => '* {{cite book\|author=[[John H. Cochrane]]\|title=Asset Pricing\|publisher=[[Princeton University Press]]\|location=\|year=2005\|isbn=978-0691121376}}', 926 => '* {{cite book\|author=[[Darrell Duffie]]\|title=Dynamic Asset Pricing Theory (3rd Edition)\|publisher=Princeton University Press\|location=\|year=2001\|isbn=978-0691090221}}', 927 => '* {{cite book\|author=[[Edwin Elton\|Edwin J. Elton]], Martin J. Gruber, Stephen J. Brown, [[William N. Goetzmann]]\|title=Modern Portfolio Theory and Investment Analysis (9th Edition)\|publisher=[[John Wiley & Sons\|Wiley]]\|location=\|year=2014\|isbn=978-1118469941}}', 928 => '* {{cite book\|author=[[Robert Haugen\|Robert A. Haugen]]\|title=Modern Investment Theory (5th Edition)\|publisher=Prentice Hall\|location=\|year=2000\|isbn=978-0130191700}}', 929 => '* {{cite book\|author=[[Mark S. Joshi]], Jane M. Paterson\|title=Introduction to Mathematical Portfolio Theory\|publisher=Cambridge University Press\|location=\|year=2013\|isbn=978-1107042315}}', 930 => '* {{cite book\|author=Lutz Kruschwitz, Andreas Loeffler\|title=Discounted Cash Flow: A Theory of the Valuation of Firms\|publisher=Wiley\|location=\|year=2005\|isbn=978-0470870440}}', 931 => '* {{cite book\|author=[[David Luenberger\|David G. Luenberger]]\|title=Investment Science (2nd Edition)\|publisher=[[Oxford University Press]]\|location=\|year=2013\|isbn=978-0199740086}}', 932 => '* {{cite book\|author=[[Harry M. Markowitz]]\|title=Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments (2nd Edition)\|publisher=Wiley\|location=\|year=1991\|isbn=978-1557861085}}', 933 => '* {{cite book\|author=[[Frank Milne]]\|title=Finance Theory and Asset Pricing (2nd Edition)\|publisher=Oxford University Press\|location=\|year=2003\|isbn=978-0199261079}}', 934 => '* {{cite book\|author=[[George Pennacchi]]\|title=Theory of Asset Pricing\|publisher=Prentice Hall\|location=\|year=2007\|isbn=978-0321127204}}', 935 => '* {{cite book\|author=[[Mark Rubinstein]]\|title=A History of the Theory of Investments\|publisher=Wiley\|location=\|year=2006\|isbn=978-0471770565}}', 936 => '* {{cite book\|author=[[William F. Sharpe]]\|title=Portfolio Theory and Capital Markets: The Original Edition\|publisher=[[McGraw-Hill]]\|location=\|year=1999\|isbn=978-0071353205}}', 937 => false, 938 => ''''Corporate finance'''', 939 => '* {{cite book\|author1=Jonathan Berk\|author2=Peter DeMarzo\|title=Corporate Finance (3rd Edition)\|publisher=[[Pearson Education\|Pearson]]\|location=\|year=2013\|isbn=978-0132992473}}', 940 => '* {{cite book\|author=Peter Bossaerts\|author2=Bernt Arne Ødegaard\|title=Lectures on Corporate Finance (Second Edition)\|publisher=World Scientific\|location=\|year=2006\|isbn=978-981-256-899-1}}', 941 => '* {{cite book\|author=[[Richard Brealey]]\|author2=[[Stewart Myers]]\|author3=[[Franklin Allen]]\|title=Principles of Corporate Finance\|publisher=Mcgraw-Hill\|location=\|year=2013\|isbn=978-0078034763\|title-link=Principles of Corporate Finance}}', 942 => '* {{cite book\|author=[[Aswath Damodaran]]\|title=Corporate Finance: Theory and Practice\|publisher=Wiley\|location=\|year=1996\|isbn=978-0471076803}}', 943 => '* {{cite book\|author=João Amaro de Matos\|title=Theoretical Foundations of Corporate Finance\|publisher=Princeton University Press\|location=\|year=2001\|isbn=9780691087948}}', 944 => '* {{cite book\|author1=Joseph Ogden\|author2=Frank C. Jen\|author3=Philip F. O'Connor\|title=Advanced Corporate Finance\|publisher=Prentice Hall\|location=\|year=2002\|isbn=978-0130915689}}', 945 => '* {{cite book\|author1=Pascal Quiry\|author2=Yann Le Fur\|author3=Antonio Salvi\|author4=Maurizio Dallochio\|author5=Pierre Vernimmen\|title=Corporate Finance: Theory and Practice (3rd Edition)\|publisher=Wiley\|location=\|year=2011\|isbn=978-1119975588}}', 946 => '* {{cite book\|author=[[Stephen Ross (economist)\|Stephen Ross]], Randolph Westerfield, Jeffrey Jaffe\|title=Corporate Finance (10th Edition)\|publisher=[[McGraw-Hill]]\|location=\|year=2012\|isbn=978-0078034770}}', 947 => '* {{cite book\|author=[[Joel Stern\|Joel M. Stern]], ed.\|title=The Revolution in Corporate Finance (4th Edition)\|publisher=[[Wiley-Blackwell]]\|location=\|year=2003\|isbn=9781405107815}}', 948 => '* {{cite book\|author=[[Jean Tirole]]\|title=The Theory of Corporate Finance\|publisher=Princeton University Press\|location=\|year=2006\|isbn=978-0691125565}}', 949 => '* {{cite book\|author=[[Ivo Welch]]\|title=Corporate Finance (3rd Edition)\|publisher=\|location=\|year=2014\|isbn=978-0-9840049-1-1}}', 950 => '{{refend}}', 951 => '[[تصنيف:علم اكتواري]]', 952 => '[[تصنيف:الاقتصاد المالي]]', 953 => '[[تصنيف:Webarchive template wayback links]]', 954 => '[[تصنيف:CS1 maint: Extra text: authors list]]', 955 => '[[تصنيف:صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفون]]', 956 => '[[تصنيف:صفحات بترجمات غير مراجعة]]' ]
السطور المزالة في التعديل `(removed_lines)`	[]
نص الصفحة الجديد، مجردا من أية تهيئة `(new_text)`	'الاقتصاد المالي هو فرع الاقتصاد الذي يتميز بـ "التركيز على الأنشطة النقدية" ، والذي من المحتمل أن يظهر فيه "المال من نوع أو آخر على جانبي التجارة". [1] وبالتالي ، فإن اهتمامها هو الترابط بين المتغيرات المالية ، مثل الأسعار وأسعار الفائدة والأسهم ، مقابل تلك المتعلقة بالاقتصاد الحقيقي . له مجالان رئيسيان للتركيز: [2] تسعير الأصول وتمويل الشركات ؛ الأول هو منظور مقدمي رأس المال ، أي المستثمرين ، والثاني لمستخدمي رأس المال. يتعلق الموضوع بـ "تخصيص ونشر الموارد الاقتصادية ، مكانيا وعبر الزمن ، في بيئة غير مستقرة". [3] لذلك فهو يركز على اتخاذ القرارات في ظل عدم اليقين في سياق الأسواق المالية ، والنماذج والمبادئ الاقتصادية والمالية الناتجة ، ويهتم باستنباط الآثار القابلة للاختبار أو السياسة من الافتراضات المقبولة. إنه مبني على أسس الاقتصاد الجزئي ونظرية القرار . الاقتصاد القياسي هو فرع الاقتصاد المالي الذي يستخدم تقنيات الاقتصاد القياسي لتحديد معالم هذه العلاقات. يرتبط التمويل الرياضي بأنه سيشتق ويوسع النماذج الرياضية أو العددية المقترحة من قبل الاقتصاد المالي. لاحظ على الرغم من أن التركيز هناك هو الاتساق الرياضي ، على عكس التوافق مع النظرية الاقتصادية. يركز الاقتصاد المالي في المقام الأول على الاقتصاد الجزئي ، في حين أن الاقتصاد النقدي هو في المقام الأول الاقتصاد الكلي بطبيعته. يتم تدريس الاقتصاد المالي عادة على مستوى الدراسات العليا ؛ انظر ماجستير في الاقتصاد المالي . في الآونة الأخيرة ، يتم تقديم شهادات جامعية متخصصة في التخصص. [4] توفر هذه المقالة نظرة عامة واستطلاعًا حول الحقل: للحصول على مزيد من الاشتقاقات ومناقشة فنية أكثر ، راجع المقالات المحددة المرتبطة. محتويات 1 الاقتصاد الأساسي 1.1 القيمة الحالية والتوقع والفائدة 1.2 التسعير وخالية من التحكيم 1.3 أسعار الدولة 2 النماذج الناتجة 2.1 السياقات 2.2 شك 3 ملحقات 3.1 نظرية الحافظة 3.2 التسعير المشتق 3.3 نظرية تمويل الشركات 4 التحديات والنقد 4.1 المغادرين من الحياة الطبيعية 4.2 المغادرين من العقلانية 5 أنظر أيضا 6 المراجع 7 قائمة المراجع الاقتصاد الأساسي[عدل] رموز تصنيف JEL في رموز تصنيف مجلة الأدب الاقتصادي ، يعد الاقتصاد المالي واحدًا من التصنيفات الـ 19 الأولية ، في JEL: G. ويتبع الاقتصاد النقدي والدولي ويسبق الاقتصاد العام . للاطلاع على التصنيفات الفرعية التفصيلية ، انظر أكواد تصنيف JEL   الاقتصاد المالي . يستخدم قاموس الجرافيك الجديد للاقتصاد (2008 ، الطبعة الثانية) أيضًا رموز JEL لتصنيف إدخالاته في الإصدار 8 ، فهرس الموضوع ، بما في ذلك الاقتصاد المالي في صفحة.   863-64. فيما يلي روابط لملخصات إدخال The New Palgrave Online لكل فئة من فئات JEL الأساسية أو الثانوية (10 أو أقل لكل صفحة ، على غرار عمليات بحث Google ): JEL: G - الاقتصاد المالي JEL: G0 - عام JEL: G1 - الأسواق المالية العامة JEL: G2 - المؤسسات والخدمات المالية JEL: G3 - تمويل الشركات والحوكمة ويمكن أيضا إدخالات الفئة الثالثة يمكن البحث. [5] كما ذكر أعلاه ، يستكشف الانضباط بشكل أساسي كيف يمكن للمستثمرين العقلانيين تطبيق نظرية القرار على مشكلة الاستثمار . وبالتالي فإن الموضوع مبني على أسس الاقتصاد الجزئي ونظرية القرار ، ويستخلص العديد من النتائج الرئيسية لتطبيق صنع القرار في ظل عدم اليقين في الأسواق المالية . القيمة الحالية والتوقع والفائدة[عدل] تكمن وراء كل الاقتصاد المالي مفاهيم القيمة الحالية والتوقع . [6] يسمح حساب القيمة الحالية لصانع القرار بتجميع التدفقات النقدية (أو العوائد الأخرى) التي يتم إنتاجها بواسطة الأصل في المستقبل ، إلى قيمة واحدة في التاريخ المعني ، وبالتالي مقارنة فرصتين بسهولة أكبر ؛ وبالتالي هذا المفهوم هو نقطة الانطلاق لاتخاذ القرارات المالية. (تاريخها مبكرًا: يناقش ريتشارد ويت الاهتمام المركب بعمق بالفعل في عام 1613 ، في كتابه "أسئلة الحساب" ؛ [7] بتطويره يوهان دي ويت وإدموند هالي . ) يتمثل الامتداد الفوري في الجمع بين الاحتمالات والقيمة الحالية ، مما يؤدي إلى معيار القيمة المتوقعة الذي يحدد قيمة الأصول كدالة لأحجام الدفعات المتوقعة واحتمالات حدوثها. (هذه الأفكار تنبع من بليز باسكال وبيير دي فيرمات . ) ومع ذلك ، تفشل طريقة القرار هذه في النظر في كره المخاطرة ("كما يعرف أي طالب مالي" [6] ). بمعنى آخر ، نظرًا لأن الأفراد يحصلون على فائدة أكبر من دولار إضافي عندما يكونون فقراء وأقل فائدة عندما يكونون أغنياء نسبياً ، فإن الطريقة هي "ضبط" الوزن المعين لمختلف النتائج ("الحالات") في المقابل. (قد يكون بعض المستثمرين في الواقع يبحثون عن المخاطرة بدلاً من تجنب المخاطرة ، ولكن نفس المنطق سينطبق). قد يتم وصف الاختيار تحت عدم اليقين هنا بأنه تعظيم الفائدة المتوقعة . أكثر رسميا، مما أدى إلى فرضية فائدة المتوقع تنص على أنه، إذا راضون بعض البديهيات، و ذاتية القيمة المرتبطة مقامرة من قبل فرد هو أن ' التوقع الإحصائي لتقييم نتائج تلك المقامرة. ينشأ الدافع وراء هذه الأفكار من التناقضات المختلفة التي لوحظت في إطار القيمة المتوقعة ، مثل مفارقة سان بطرسبرغ ؛ انظر أيضا مفارقة إلسبرغ . (التطوير هنا يرجع أصلاً إلى دانييل بيرنولي ، وتم إضفاء طابع رسمي عليه لاحقًا بواسطة جون فون نيومان وأوسكار مورغنسترن ) التسعير وخالية من التحكيم[عدل] ثم تقترن مفاهيم التحكيم- الحر ، "العقلاني" ، التسعير والتوازن مع ما سبق لاستخلاص الاقتصاد المالي "الكلاسيكي" [8] (أو "الكلاسيكي الجديد" [9] ). التسعير العقلاني هو افتراض أن أسعار الأصول (وبالتالي نماذج تسعير الأصول) ستعكس السعر الخالي من المراجحة للأصل ، حيث إن "أي انحراف عن هذا السعر" سيتم "تحريفه". هذا الافتراض مفيد في تسعير الأوراق المالية ذات الدخل الثابت ، وخاصة السندات ، وهو أساسي لتسعير الأدوات المشتقة. التوازن الاقتصادي هو ، بوجه عام ، حالة تتوازن فيها القوى الاقتصادية مثل العرض والطلب ، وفي غياب التأثيرات الخارجية ، لن تتغير قيم التوازن للمتغيرات الاقتصادية. يتعامل التوازن العام مع سلوك العرض والطلب والأسعار في الاقتصاد ككل مع العديد من الأسواق المتفاعلة أو العديد منها ، من خلال السعي لإثبات وجود مجموعة من الأسعار ستؤدي إلى توازن شامل. (هذا على عكس التوازن الجزئي ، الذي يحلل فقط الأسواق الموحدة. ) يرتبط المفهومان على النحو التالي: حيث لا تسمح أسعار السوق بمراجحة مربحة ، أي أنها تشتمل على سوق خالية من المراجحة ، ثم يقال إن هذه الأسعار تشكل "توازن موازنة". حدسيًا ، يمكن ملاحظة ذلك من خلال التفكير في أنه في حالة وجود فرصة تحكيم ، فمن المتوقع أن تتغير الأسعار ، وبالتالي ليست في حالة توازن. [10] وبالتالي فإن موازنة التحكيم شرط مسبق لتحقيق التوازن الاقتصادي العام. على الفور، وغير الرسمية، وتوسيع هذه الفكرة و النظرية الأساسية في تسعير الأصول ، ويظهر أنه عندما تكون الأسواق كما -و صفه هي بالإضافة إلى ذلك (ضمنا وتبعا لذلك) كاملة قد -one ثم اتخاذ القرارات المالية عن طريق بناء مقياس المخاطر محايد احتمال المقابلة إلى السوق. "اكتمال" هنا يعني أن هناك ثمنًا لكل أصل في كل حالة ممكنة من العالم ، وبالتالي يمكن بناء المجموعة الكاملة من الرهانات المحتملة على دول العالم المستقبلية بأصول موجودة (مع عدم الاحتكاك ) أساسا حل في وقت واحد لن الاحتمالات (خالية من المخاطر)، نظرا لارتفاع أسعار ن. سوف يشتق الاشتقاق الرسمي بحجج التحكيم. [6] [10] للاطلاع على مثال عملي ، انظر التسعير الرشيد # التقييم المحايد للمخاطر ، حيث يوجد في بيئة مبسطة ، يوجد حالتان محتملتان فقط - للأعلى والأسفل - وحيث p و (1− p ) هما الاحتمالان المقابلان (أي ضمني) وبدوره ، التوزيع المشتق ، أو "التدبير" . مع وجود هذا الإجراء في مكانه ، فإن عائد أي ورقة مالية (أو محفظة) المتوقعة ، أي ما هو مطلوب ، سوف يساوي بعد ذلك العائد الذي لا ينطوي على مخاطر ، بالإضافة إلى "تسوية للمخاطر" ، [6] أي علاوة المخاطر الخاصة بالأمان ، وتعويض المدى التي لا يمكن التنبؤ بتدفقاتها النقدية. جميع نماذج التسعير هي متغيرات أساسية لذلك ، مع إعطاء افتراضات و / أو شروط محددة. [6] [11] يتماشى هذا النهج مع ما ورد أعلاه ، ولكن مع التوقع القائم على "السوق" (أي خالي من المراجحة ، ووفقًا للنظرية ، وبالتالي في حالة توازن) بدلاً من التفضيلات الفردية. وبالتالي ، مع الاستمرار في المثال ، لتقييم قيمة ورقة مالية معينة ، يتم ضرب التدفقات النقدية المتوقعة في الدول الصاعدة والهابطة من خلال p و (1- p ) على التوالي ، ثم يتم خصمها بسعر فائدة خالي من المخاطر بالإضافة إلى متميزة. بشكل عام ، قد يتم اشتقاق هذه العلاوة بواسطة C A P M (أو الامتدادات) كما سيظهر تحت # اليقين . أسعار الدولة[عدل] مع إقامة العلاقة أعلاه ، يمكن اشتقاق نموذج Arrow-D e b r e u المتخصص. تشير هذه النتيجة المهمة إلى أنه في ظل ظروف اقتصادية معينة ، يجب أن يكون هناك مجموعة من الأسعار بحيث يكون إجمالي الإمدادات مساوياً للطلب الكلي على كل سلعة في الاقتصاد. غالبًا ما يتم إجراء التحليل هنا بافتراض وجود وكيل تمثيلي . [12] ينطبق نموذج Arrow-D e b r e u على الاقتصادات التي تتمتع بأسواق كاملة إلى أقصى حد ، حيث يوجد سوق لكل فترة زمنية وأسعار آجلة لكل سلعة في جميع الفترات الزمنية. الامتداد المباشر ، إذن ، هو مفهوم ضمان أسعار الدولة (يُطلق عليه أيضًا اسم أمان السهم - D e b r e u) ، وهو عقد يوافق على دفع وحدة واحدة من n u m e r a i r e (عملة أو سلعة) في حالة حدوث حالة معينة ("up") "و" لأسفل "في المثال المبسط أعلاه) في وقت معين في المستقبل وتدفع قيمة الصفر في جميع الولايات الأخرى. ثمن هذا الأمن هو سعر الدولة لهذه الحالة بالذات في العالم. في المثال أعلاه ، فإن أسعار الدولة تعادل القيم الحالية التي تبلغ $ p و $ (1 − p): أي ما الذي سيدفعه اليوم ، على التوالي ، للأوراق المالية ذات الحالة العليا والدنيا ؛ ناقل سعر الحالة هو ناقل أسعار الحالة لجميع الولايات. بالتطبيق على التقييم ، سيكون سعر المشتق اليوم هو ببساطة [السعر الأعلى × المردود المدفوع من الدولة + السعر المقلوب من الدولة × المردود المسقط]] ؛ انظر أدناه فيما يتعلق بعدم وجود أي علاوة المخاطرة هنا. بالنسبة للمتغير العشوائي المستمر الذي يشير إلى استمرارية الحالات المحتملة ، يتم العثور على القيمة من خلال التكامل على كثافة أسعار الولاية ؛ انظر عامل الخصم العشوائي . يتم توسيع هذه المفاهيم لتشمل التسعير مارتينجال والتدبير محايد للمخاطر ذات الصلة. تجد أسعار الولاية تطبيقًا فوريًا كأداة مفاهيمية (" تحليل المطالبات الطارئة ") ؛ [6] ولكن يمكن تطبيقها أيضًا على مشكلات التقييم. [13] بالنظر إلى آلية التسعير الموصوفة ، يمكن للمرء تحليل القيمة المشتقة - في الواقع لكل "ورقة مالية" [2] - كتركيبة خطية من أسعارها الحكومية ؛ أي حل الظهر للأسعار الدولة المقابلة لأسعار مشتقة لوحظ. [14] [13] يمكن بعد ذلك استخدام أسعار الحالة المستردة لتقييم الأدوات الأخرى ذات التعرض الأقل من اللازم ، أو لاتخاذ القرارات الأخرى المتعلقة بأقل من اللازم. (عمل B r e e d e n و L i t z e n b e r g e r في عام 1978 [15] أنشأ استخدام أسعار الدولة في الاقتصاد المالي. ) النماذج الناتجة[عدل] Modigliani-Miller Proposition II بدين محفوف بالمخاطر. مع زيادة الرافعة المالية ( D / E ) ، يظل W A C C (k 0) ثابتًا. كفاءة الحواف. يشار أحيانًا إلى "القطع الزائد" باسم "M a r k o w i t z Bullet" ، وجزءه المنحدر الصاعد هو الحدود الفعالة إذا لم تتوفر أصول خالية من المخاطر. مع الأصول الخالية من المخاطر ، فإن الخط الثابت هو الحدود الفعالة. يعرض الرسم CAL ، خط تخصيص رأس المال ، الذي يتكون عندما يكون الأصل الخطير أصل واحد وليس السوق ، وفي هذه الحالة يكون الخط هو C M L. خط سوق رأس المال هو خط الظل المرسوم من نقطة الأصل الخالي من المخاطر إلى المنطقة الممكنة للأصول الخطرة. تمثل نقطة الظل M حافظة السوق . ينتج C M L عن مزيج من محفظة السوق والأصول الخالية من المخاطر (النقطة L). تؤدي إضافة الرافعة المالية (النقطة R) إلى إنشاء حافظات ذات رافعة موجودة أيضًا في C M L. The capital asset pricing model (CAPM) E ( R i ) = R f + β i ( E ( R m ) − R f ) {\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})} خطأ رياضيات (خطأ في الصياغة): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) :<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)} }} </mi><mo stretchy="false"> The capital asset pricing model (CAPM) E ( R i ) = R f + β i ( E ( R m ) − R f ) {\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})} </mo><msub><mi> The capital asset pricing model (CAPM) E ( R i ) = R f + β i ( E ( R m ) − R f ) {\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> The capital asset pricing model (CAPM) E ( R i ) = R f + β i ( E ( R m ) − R f ) {\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})} </mi></mrow></msub><mo stretchy="false"> The capital asset pricing model (CAPM) E ( R i ) = R f + β i ( E ( R m ) − R f ) {\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})} </mo><mo> The capital asset pricing model (CAPM) E ( R i ) = R f + β i ( E ( R m ) − R f ) {\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})} </mo><msub><mi> The capital asset pricing model (CAPM) E ( R i ) = R f + β i ( E ( R m ) − R f ) {\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> The capital asset pricing model (CAPM) E ( R i ) = R f + β i ( E ( R m ) − R f ) {\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})} </mi></mrow></msub><mo> The capital asset pricing model (CAPM) E ( R i ) = R f + β i ( E ( R m ) − R f ) {\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})} </mo><msub><mi> The capital asset pricing model (CAPM) E ( R i ) = R f + β i ( E ( R m ) − R f ) {\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> The capital asset pricing model (CAPM) E ( R i ) = R f + β i ( E ( R m ) − R f ) {\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})} </mi></mrow></msub><mo stretchy="false"> The capital asset pricing model (CAPM) E ( R i ) = R f + β i ( E ( R m ) − R f ) {\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})} </mo><mi> The capital asset pricing model (CAPM) E ( R i ) = R f + β i ( E ( R m ) − R f ) {\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})} </mi><mo stretchy="false"> The capital asset pricing model (CAPM) E ( R i ) = R f + β i ( E ( R m ) − R f ) {\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})} </mo><msub><mi> The capital asset pricing model (CAPM) E ( R i ) = R f + β i ( E ( R m ) − R f ) {\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> The capital asset pricing model (CAPM) E ( R i ) = R f + β i ( E ( R m ) − R f ) {\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})} </mi></mrow></msub><mo stretchy="false"> The capital asset pricing model (CAPM) E ( R i ) = R f + β i ( E ( R m ) − R f ) {\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})} </mo><mo> The capital asset pricing model (CAPM) E ( R i ) = R f + β i ( E ( R m ) − R f ) {\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})} </mo><msub><mi> The capital asset pricing model (CAPM) E ( R i ) = R f + β i ( E ( R m ) − R f ) {\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> The capital asset pricing model (CAPM) E ( R i ) = R f + β i ( E ( R m ) − R f ) {\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})} </mi></mrow></msub><mo stretchy="false"> The capital asset pricing model (CAPM) E ( R i ) = R f + β i ( E ( R m ) − R f ) {\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})} </mo></mstyle></mrow> </math>The capital asset pricing model (CAPM) E ( R i ) = R f + β i ( E ( R m ) − R f ) {\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})} The capital asset pricing model (CAPM) E ( R i ) = R f + β i ( E ( R m ) − R f ) {\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})} </img> The capital asset pricing model (CAPM) E ( R i ) = R f + β i ( E ( R m ) − R f ) {\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})} ملف:SML-chart.png خط سوق الأوراق المالية : يمثل عرض C A P M معدل العائد المتوقع للأوراق المالية الفردية كدالة لمخاطرها المنهجية وغير القابلة للتنوع. حركات البني البراقة الهندسية مع معلمات من بيانات السوق. The Black–Scholes equation ∂ V ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 + r S ∂ V ∂ S − r V = 0 {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0} خطأ رياضيات (خطأ في الصياغة): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal"> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] :<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0} }} </mi><mi> The Black–Scholes equation ∂ V ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 + r S ∂ V ∂ S − r V = 0 {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0} </mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> The Black–Scholes equation ∂ V ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 + r S ∂ V ∂ S − r V = 0 {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0} </mi><mi> The Black–Scholes equation ∂ V ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 + r S ∂ V ∂ S − r V = 0 {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0} </mi></mrow></mfrac></mrow><mo> The Black–Scholes equation ∂ V ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 + r S ∂ V ∂ S − r V = 0 {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0} </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mn> The Black–Scholes equation ∂ V ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 + r S ∂ V ∂ S − r V = 0 {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0} </mn><mn> The Black–Scholes equation ∂ V ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 + r S ∂ V ∂ S − r V = 0 {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0} </mn></mfrac></mrow><msup><mi> The Black–Scholes equation ∂ V ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 + r S ∂ V ∂ S − r V = 0 {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> The Black–Scholes equation ∂ V ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 + r S ∂ V ∂ S − r V = 0 {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0} </mn></mrow></msup><msup><mi> The Black–Scholes equation ∂ V ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 + r S ∂ V ∂ S − r V = 0 {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> The Black–Scholes equation ∂ V ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 + r S ∂ V ∂ S − r V = 0 {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0} </mn></mrow></msup><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mrow><msup><mi mathvariant="normal"> The Black–Scholes equation ∂ V ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 + r S ∂ V ∂ S − r V = 0 {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> The Black–Scholes equation ∂ V ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 + r S ∂ V ∂ S − r V = 0 {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0} </mn></mrow></msup><mi> The Black–Scholes equation ∂ V ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 + r S ∂ V ∂ S − r V = 0 {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0} </mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> The Black–Scholes equation ∂ V ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 + r S ∂ V ∂ S − r V = 0 {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0} </mi><msup><mi> The Black–Scholes equation ∂ V ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 + r S ∂ V ∂ S − r V = 0 {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> The Black–Scholes equation ∂ V ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 + r S ∂ V ∂ S − r V = 0 {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0} </mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo> The Black–Scholes equation ∂ V ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 + r S ∂ V ∂ S − r V = 0 {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0} </mo><mi> The Black–Scholes equation ∂ V ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 + r S ∂ V ∂ S − r V = 0 {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0} </mi><mi> The Black–Scholes equation ∂ V ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 + r S ∂ V ∂ S − r V = 0 {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal"> The Black–Scholes equation ∂ V ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 + r S ∂ V ∂ S − r V = 0 {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0} </mi><mi> The Black–Scholes equation ∂ V ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 + r S ∂ V ∂ S − r V = 0 {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0} </mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> The Black–Scholes equation ∂ V ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 + r S ∂ V ∂ S − r V = 0 {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0} </mi><mi> The Black–Scholes equation ∂ V ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 + r S ∂ V ∂ S − r V = 0 {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0} </mi></mrow></mfrac></mrow><mo> The Black–Scholes equation ∂ V ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 + r S ∂ V ∂ S − r V = 0 {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0} </mo><mi> The Black–Scholes equation ∂ V ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 + r S ∂ V ∂ S − r V = 0 {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0} </mi><mi> The Black–Scholes equation ∂ V ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 + r S ∂ V ∂ S − r V = 0 {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0} </mi><mo> The Black–Scholes equation ∂ V ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 + r S ∂ V ∂ S − r V = 0 {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0} </mo><mn> The Black–Scholes equation ∂ V ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 + r S ∂ V ∂ S − r V = 0 {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0} </mn></mstyle></mrow> </math>The Black–Scholes equation ∂ V ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 + r S ∂ V ∂ S − r V = 0 {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0} The Black–Scholes equation ∂ V ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 + r S ∂ V ∂ S − r V = 0 {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0} </img> The Black–Scholes equation ∂ V ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 V ∂ S 2 + r S ∂ V ∂ S − r V = 0 {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0} The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. خطأ رياضيات (خطأ في الصياغة): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mtable displaystyle="true" rowspacing="3pt"><mtr><mtd><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo stretchy="false"> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mo><mi> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mi><mo> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mo><mi> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mi><mo stretchy="false"> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mo></mtd><mtd><mo> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mo><mi> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mi><mo stretchy="false"> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mo><msub><mi> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mn></mrow></msub><mo stretchy="false"> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mo><mi> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mi><mo> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mo><mi> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mi><mo stretchy="false"> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mo><msub><mi> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mn></mrow></msub><mo stretchy="false"> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mo><mi> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mi><msup><mi> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mo> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mo><mi> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mi><mo stretchy="false"> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mo><mi> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mi><mo> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mo><mi> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mi><mo stretchy="false"> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mo></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mn></mrow></msub></mtd><mtd><mo> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mn> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mn><mrow><mi> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><msqrt><mi> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mi><mo> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mo><mi> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mi></msqrt></mrow></mrow></mfrac></mrow><mrow><mo> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mo><mrow><mi> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mi><mo> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mo><mrow><mo> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mi> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mi><mi> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mi></mfrac></mrow><mo> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mo></mrow><mo> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mo><mrow><mo> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mo><mrow><mi> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mi><mo> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><msup><mi> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mn></mrow></msup><mn> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mn></mfrac></mrow></mrow><mo> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mo></mrow><mo stretchy="false"> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mo><mi> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mi><mo> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mo><mi> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mi><mo stretchy="false"> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mo></mrow><mo> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mn></mrow></msub></mtd><mtd><mo> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mo><msub><mi> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mn></mrow></msub><mo> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mo><mi> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><msqrt><mi> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mi><mo> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mo><mi> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mi></msqrt></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow> </math>The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </img> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. خطأ رياضيات (خطأ في الصياغة): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo stretchy="false"> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mo><msub><mi> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mn></mrow></msub><mo stretchy="false"> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mo></mstyle></mrow> </math>The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </img> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. خطأ رياضيات (خطأ في الصياغة): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo stretchy="false"> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mo><msub><mi> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mn></mrow></msub><mo stretchy="false"> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mo><mi> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </mi></mstyle></mrow> </math>The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. </img> The Black–Scholes formula for the value of a call option: C ( S , t ) = N ( d 1 ) S − N ( d 2 ) K e − r ( T − t ) d 1 = 1 σ T − t [ ln ⁡ ( S K ) + ( r + σ 2 2 ) ( T − t ) ] d 2 = d 1 − σ T − t {\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}} Interpretation: N ( d 2 ) {\displaystyle N(d_{2})} is the probability that the call will be exercised; N ( d 1 ) S {\displaystyle N(d_{1})S} is the present value of the expected asset price at expiration, given that the asset price at expiration is above the exercise price. بتطبيق المفاهيم الاقتصادية أعلاه ، قد نستنتج بعد ذلك مختلف النماذج والمبادئ الاقتصادية والمالية. كما ذكر أعلاه ، فإن مجالي التركيز المعتادين هما تسعير الأصول وتمويل الشركات ، الأول هو منظور مقدمي رأس المال ، والثاني لمستخدمي رأس المال. هنا ، ولجميع نماذج الاقتصاد المالي (تقريبًا) ، تكون الأسئلة التي يتم تناولها مؤطرة عادةً من حيث "الوقت ، وعدم اليقين ، والخيارات ، والمعلومات" ، [1] [12] كما سنرى أدناه. الوقت: يتم تداول المال الآن مقابل المال في المستقبل. عدم اليقين (أو المخاطرة): مبلغ المال الذي سيتم تحويله في المستقبل غير مؤكد. الخيارات : يمكن لطرف واحد في المعاملة اتخاذ قرار في وقت لاحق يؤثر على التحويلات المالية اللاحقة. المعلومات : يمكن للمعرفة بالمستقبل أن تقلل أو ربما تقضي على عدم اليقين المرتبط بالقيمة النقدية المستقبلية (FMV). تطبيق هذا الإطار ، مع المفاهيم المذكورة أعلاه ، يؤدي إلى النماذج المطلوبة. يبدأ هذا الاشتقاق بافتراض "عدم اليقين" ثم يتم توسيعه ليشمل الاعتبارات الأخرى. (يشير هذا القسمة في بعض الأحيان إلى " الحتمية " و "العشوائية" ، [16] أو " العشوائية ". ) السياقات[عدل] نقطة الانطلاق هنا هي "الاستثمار تحت اليقين". تؤكد نظرية فصل فيشر أن هدف الشركة هو زيادة قيمتها الحالية إلى الحد الأقصى ، بغض النظر عن تفضيلات مساهميها. ذات الصلة هي نظرية Modigliani-Miller ، التي توضح أنه في ظل ظروف معينة ، لا تتأثر قيمة الشركة بكيفية تمويل هذه الشركة ، ولا تعتمد على سياسة توزيع الأرباح ولا على قرار جمع رأس المال عن طريق إصدار الأسهم أو بيع الديون. يستمر الدليل هنا باستخدام وسيطات التحكيم ، ويعمل كمعيار لتقييم آثار العوامل خارج النموذج التي تؤثر على القيمة. يتم توفير آلية تحديد القيمة (المؤسسية) من خلال نظرية قيمة الاستثمار (John Burr Williams) ، التي تقترح أن يتم احتساب قيمة الأصل باستخدام "التقييم وفقًا لقيم القيمة الحالية". وبالتالي ، بالنسبة للسهم العادي ، فإن القيمة الحقيقية طويلة الأجل هي القيمة الحالية لصافي التدفقات النقدية المستقبلية ، في شكل أرباح . ما يتبقى هو تحديد سعر الخصم المناسب. تظهر التطورات اللاحقة "عقلانيًا" ، بمعنى رسمي ، أن معدل الخصم المناسب هنا (ينبغي) يعتمد على مخاطرة الأصل بالنسبة للسوق ككل ، بدلاً من تفضيلات مالكيها ؛ انظر أدناه. القيمة الحالية الصافية (NPV) هي الامتداد المباشر لهذه الأفكار التي يتم تطبيقها عادة على اتخاذ القرارات بشأن تمويل الشركات (مقدمة من جويل دين في عام 1951). للحصول على نتائج أخرى ، بالإضافة إلى النماذج المحددة التي تم تطويرها هنا ، راجع قائمة مواضيع "تقييم الأسهم" ضمن مخطط التمويل # تقييم التدفقات النقدية المخصومة . تقييم السندات ، في أن التدفقات النقدية (القسائم وعودة رأس المال) هي الحتمية ، قد تسير بنفس الطريقة. [16] إن الامتداد الفوري ، وهو سعر السندات الخالي من التحكيم ، يقوم بتخفيض كل تدفق نقدي بالسعر المشتق من السوق - أي بسعر الصفر المقابل لكل كوبون - بدلاً من المعدل الإجمالي. لاحظ أنه في العديد من المعالجات ، يسبق تقييم السندات تقييم حقوق الملكية ، والتي بموجبها "التدفقات النقدية (أرباح الأسهم)" غير معروفة في حد ذاتها . يسمح Williams وما بعده بالتنبؤ به - بناءً على النسب التاريخية أو السياسة المنشورة - ثم يتم التعامل مع التدفقات النقدية باعتبارها حتمية بشكل أساسي ؛ انظر أدناه تحت نظرية تمويل الشركات # . يتم استخدام جميع نتائج "اليقين" هذه بشكل شائع في إطار تمويل الشركات. عدم اليقين هو محور "نماذج تسعير الأصول" ، على النحو التالي. شك[عدل] بالنسبة إلى "الاختيار في حالة عدم اليقين" ، فإن الافتراضين التوأمين للعقلانية وكفاءة السوق ، كما تم تعريفه بشكل أوثق ، يؤديان إلى نظرية المحفظة الحديثة (M P T) مع نموذج تسعير الأصول الرأسمالية (CAPM) - نتيجة تستند إلى التوازن - وإلى Black-Scholes نظرية -Merton (BSM ؛ غالبًا ، ببساطة Black-S c h o l e s) لتسعير الخيار - نتيجة خالية من المراجحة . لاحظ أنه يتم احتساب أسعار المشتقات الأخيرة بحيث تكون خالية من المراجحة فيما يتعلق بأسعار الأوراق المالية الأكثر تحديدًا وتوازنًا ؛ رؤية تسعير الأصول . باختصار ، وبشكل حدسي - ومتسق مع # التسعير والتوازن الخاليين من المراجحة أعلاه - يكون الرابط كما يلي. [17] بالنظر إلى القدرة على الاستفادة من المعلومات الخاصة ، يتم تحفيز المتداولين المهتمين بأنفسهم للحصول على معلوماتهم الخاصة والتصرف فيها. عند القيام بذلك ، يساهم المتداولون في المزيد من "الأسعار" الصحيحة ، أي الفعالة : فرضية السوق الفعالة ، أو EMH ( Eugene Fama ، 1965). تفترض EMH (ضمنيًا) أن متوسط التوقعات يشكل "توقعات مثالية" ، أي أن الأسعار التي تستخدم جميع المعلومات المتاحة ، مطابقة لأفضل تخمين للمستقبل : افتراض التوقعات المنطقية . تسمح EMH أنه عند مواجهة معلومات جديدة ، قد يبالغ بعض المستثمرين في رد فعلهم وقد يكون رد فعلهم غير صحيح ، لكن المطلوب هو أن ردود فعل المستثمرين تتبع توزيعا طبيعيا - بحيث لا يمكن استغلال التأثير الصافي على أسعار السوق بشكل موثوق تحقيق ربح غير طبيعي. في الحدود التنافسية ، ستعكس أسعار السوق جميع المعلومات المتاحة ، ويمكن أن تتحرك الأسعار فقط استجابة للأخبار ؛ [18] وهذا ، بالطبع ، يمكن أن يكون "جيدًا" أو "سيئًا" ، كبيرًا أو صغيرًا: فرضية المشي العشوائي . وبالتالي ، إذا كانت أسعار الأصول المالية فعالة (على نطاق واسع) ، فلن تستمر الانحرافات عن هذه القيم (التوازن) لفترة طويلة. (انظر معامل استجابة الأرباح . (على مسارات عشوائية في أسعار الأسهم: جول رينو ، 1863 ؛ لويس باشيلير ، 1900 ؛ موريس كيندال ، 1953 ؛ بول كوتنر ، 1964. ) في ظل هذه الظروف ، يمكن عندئذ افتراض أن المستثمرين يتصرفون بطريقة عقلانية: يجب حساب قرارهم الاستثماري أو التأكد من اتباع الخسارة ؛ في المقابل ، عندما تقدم فرصة التحكيم ، يستغلها المراجحون ، مما يعزز هذا التوازن. هنا ، كما هو الحال في حالة اليقين الموضحة أعلاه ، الافتراض المحدد فيما يتعلق بالتسعير هو أن الأسعار تُحسب كقيمة حالية لتوزيعات الأرباح المستقبلية المتوقعة ، [11] [18] [12] حسب المعلومات المتوفرة حاليًا. ما هو مطلوب رغم ذلك هو نظرية لتحديد معدل الخصم المناسب ، أي "العائد المطلوب" ، بالنظر إلى عدم اليقين هذا: يتم توفيره بواسطة MPT و CAPM الخاص به. ذات الصلة ، والعقلانية - بمعنى المراجحة في الاستغلال - تؤدي إلى ظهور بلاك سكولز ؛ قيم الخيار هنا تتفق في نهاية المطاف مع CAPM. بشكل عام ، إذن ، بينما تدرس نظرية المحفظة كيف ينبغي للمستثمرين الموازنة بين المخاطر والعائد عند الاستثمار في العديد من الأصول أو الأوراق المالية ، فإن CAPM أكثر تركيزًا ، ويصف كيف ، في التوازن ، تحدد الأسواق أسعار الأصول فيما يتعلق بمدى خطورة هذه المخاطر. الأهم من ذلك ، ستكون هذه النتيجة مستقلة عن مستوى كره المخاطرة لدى المستثمر و / أو وظيفة الأداة المفترضة ، وبالتالي توفير معدل خصم محدد بسهولة لصناع القرار في تمويل الشركات على النحو الوارد أعلاه ، [19] وبالنسبة للمستثمرين الآخرين. تستمر الحجة على النحو التالي: إذا كان بإمكان المرء إنشاء حدود فعالة - أي كل مجموعة من الأصول التي تقدم أفضل مستوى متوقع من العائد لمستوى المخاطرة الخاص بها ، انظر الرسم البياني - ثم يمكن تشكيل محافظ كفاءة التباين المتوسط ببساطة على أنها مزيج من حيازات الأصول الخالية من المخاطر و " محفظة السوق " ( نظرية فصل صناديق الاستثمار المشتركة ) ، مع التخطيط هنا للتخطيط كخط لسوق المال ، أو CML. بعد ذلك ، بالنظر إلى CML ، فإن العائد المطلوب على الأوراق المالية المحفوفة بالمخاطر سيكون مستقلاً عن وظيفة المرافق للمستثمر ، وسيتم تحديده فقط من خلال التغاير ("بيتا") مع المخاطر الإجمالية ، أي السوق. وذلك لأن المستثمرين هنا يمكنهم بعد ذلك زيادة الفائدة من خلال الرافعة المالية بدلاً من التسعير ؛ انظر مخطط CML. كما يتضح من الصيغة جانبا ، فإن هذه النتيجة تتسق مع ما سبق ، حيث تساوي العائد بلا مخاطرة بالإضافة إلى تعديل للمخاطر. [11] (تم تقديم الحدود الفعالة بواسطة هاري ماركويتز في عام 1952. تم اشتقاق CAPM بواسطة Jack Treynor (1961 ، 1962) ، و William F. Sharpe (1964) ، و John Lintner (1965) و Jan Mossin (1966) بشكل مستقل. ) يوفر Black – Scholes نموذجًا رياضيًا لسوق مالية تحتوي على أدوات مشتقة ، والمعادلة الناتجة عن سعر الخيارات الأوروبية . يتم التعبير عن النموذج باعتباره معادلة Black-Scholes ، معادلة تفاضلية جزئية تصف السعر المتغير للخيار بمرور الوقت ؛ تم اشتقاقها بافتراض وجود حركة براونية هندسية طبيعية (انظر النموذج البراوني للأسواق المالية ). تتمثل النظرة المالية الرئيسية وراء النموذج في أنه يمكن للمرء أن يحوط الخيار تمامًا عن طريق شراء وبيع الأصل الأساسي بالطريقة الصحيحة وبالتالي "التخلص من المخاطر" ، مع عدم وجود تسوية للمخاطر من السعر ( V {\displaystyle V} ، قيمة ، أو سعر الخيار ، ينمو في خطأ رياضيات (خطأ في الصياغة): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math>r} </mi></mstyle></mrow> </math> r {\displaystyle r} r {\displaystyle r} ، معدل خالية من المخاطر. انظر معادلة بلاك شولز   التفسير المالي ). [6] [11] هذا التحوط ، بدوره ، يعني أن هناك سعرًا واحدًا مناسبًا - بمعنى خالٍ من التحكيم - للخيار. ويتم إرجاع هذا السعر بواسطة صيغة تسعير خيار Black-Scholes. (الصيغة ، وبالتالي السعر ، تتسق مع المعادلة ، لأن الصيغة هي الحل للمعادلة. بما أن الصيغة لا تشير إلى العائد المتوقع للسهم ، فإن Black-Scholes يرث حياد المخاطر ؛ متسقة بشكل حدسي مع "القضاء على المخاطر" هنا ، ومتسقة رياضياً مع # التسعير والتوازن الخاليين من التحكيم . وبالتالي ، يمكن أيضًا اشتقاق صيغة التسعير مباشرةً من خلال التوقعات المحايدة للمخاطرة. (BSM - بحثان أساسيان في عام 1973 [20] [21] - يتوافق مع "الإصدارات السابقة من صيغة" Louis Bachelier (1900) و Edward O. Thorp (1967) ؛ [22] على الرغم من أن هذه كانت "اكتوارية" أكثر في نكهة ، ولم يثبت خصم محايد للمخاطر. [9] انظر أيضا بول صامويلسون (1965). [23] حقق فينزينز برونزين (1908) نتائج مبكرة للغاية ، أيضًا. ) كما ذكرنا ، يمكن إثبات أن النموذجين متسقان ؛ ثم ، كما هو متوقع ، فإن الاقتصاد المالي "الكلاسيكي" موحد. هنا ، يمكن اشتقاق معادلة Black Scholes من CAPM ، وبالتالي فإن السعر الذي يتم الحصول عليه من نموذج Black-Scholes يتسق مع العائد المتوقع من CAPM. [24] [9] نظرية Black-Scholes ، على الرغم من أنها مبنية على التسعير الخالي من التحكيم ، تتفق مع تسعير الأصول الرأسمالية القائمة على التوازن. كلا النموذجين ، بدوره ، يتفقان في النهاية مع نظرية Arrow-Debreu ، ويمكن اشتقاقهما من خلال تسعير الدولة ، [6] لمزيد من التوضيح ، وإذا لزم الأمر ، فإن هذه الوحدة توضح ذلك. ملحقات[عدل] العمل الأكثر حداثة يعمم و / أو يمدد هذه النماذج. فيما يتعلق بتسعير الأصول ، تتم مناقشة التطورات في التسعير على أساس التوازن في إطار "نظرية المحفظة" أدناه ، في حين أن "التسعير المشتق" يتعلق بتسعير محايد من المخاطر ، أي خالي من التحكيم. فيما يتعلق باستخدام رأس المال ، تتعلق "نظرية تمويل الشركات" ، بشكل أساسي ، بتطبيق هذه النماذج. نظرية الحافظة[عدل] قطعة من معيارين عند تعظيم العائد وتقليل المخاطر في المحافظ المالية (نقاط Pareto الأمثل باللون الأحمر) انظر أيضا: نظرية محفظة ما بعد الحداثة والتمويل الرياضي   إدارة المخاطر والمحفظة: العالم ف . تتعلق غالبية التطورات هنا بالعائد المطلوب ، أي التسعير ، وتمديد C A P M الأساسي. تقترح النماذج متعددة العوامل ، مثل نموذج Fa m a-F r e n c h ثلاثي العوامل ونموذج C a r h a r t المكون من أربعة عوامل ، عوامل أخرى غير عائد السوق كما هو مناسب في التسعير. يقوم نظام C A P M in t e rt e m p o r a l و C A P M المعتمد على الاستهلاك بتمديد النموذج بشكل مشابه. من خلال اختيار محفظة i n te r t e m p o r a l ، تقوم المستثمر الآن بتحسين محفظتها بشكل متكرر. بينما يدرج إدراج الاستهلاك (بالمعنى الاقتصادي) جميع مصادر الثروة ، وليس فقط الاستثمارات القائمة على السوق ، في حساب المستثمر للعائد المطلوب. في حين أن ما سبق يمد C A P M ، فإن نموذج الفهرس الفردي هو نموذج أكثر بساطة. إنه يفترض ، فقط ، وجود علاقة بين عوائد الأمن والسوق ، دون افتراضات اقتصادية (عديدة) أخرى. من المفيد أنه يبسط تقدير العلاقة بين الأوراق المالية ، مما يقلل بشكل كبير من المدخلات لبناء مصفوفة الارتباط اللازمة لتحسين المحفظة. تختلف نظرية تسعير المراجحة (APT ؛ ستيفن روس ، 1976) بالمثل فيما يتعلق بافتراضاتها. APT "تتخلى عن فكرة أن هناك محفظة واحدة مناسبة للجميع في العالم ، و ... استبدالها بنموذج توضيحي لما يدفع عائدات الأصول." [25] تقوم بإرجاع العائد المطلوب (المتوقع) للأصل المالي كدالة خطية لمختلف عوامل الاقتصاد الكلي ، ويفترض أن المراجحة يجب أن تعيد الأصول المسعرة بشكل غير صحيح إلى خطها. فيما يتعلق بتحسين المحفظة ، فإن نموذج Black-L i t t e rm a n يغادر من نهج M a r k o w i t z الأصلي المتمثل في بناء المحافظ عبر حدود فعالة . يبدأ Black-Li t term a n بدلاً من ذلك بافتراض توازن ، ثم يتم تعديله لمراعاة "وجهات النظر" (أي الآراء المحددة حول عائدات الأصول) للمستثمر المعني للوصول إلى تخصيص أصل مخصص. حيث تعتبر العوامل الإضافية للتقلبات (التقرن ، الانحراف ...) ثم يمكن تطبيق تحليل القرار متعدد المعايير ؛ هنا اشتقاق محفظة باريتو فعالة . تطبق خوارزمية الحافظة الشاملة ( Thomas M. Cover ) التعلم الآلي على اختيار الأصول ، والتعلم بشكل تكيفي من البيانات التاريخية. تدرك نظرية الحافظة السلوكية أن المستثمرين لديهم أهداف متنوعة وأنشئوا محفظة استثمارية تلبي مجموعة واسعة من الأهداف. تم تطبيق Copulas مؤخرًا هنا . انظر تحسين الحافظة §   تحسين محفظة الأمثل للتقنيات و / أو الأهداف الأخرى. التسعير المشتق[عدل] شعرية ذات الحدين مع صيغ CRR PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} خطأ رياضيات (خطأ في الصياغة): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mn> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0} }} </mn><mn> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </mn></mfrac></mrow><mi> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </mi><mo stretchy="false"> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </mo><mi> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </mi><msup><mo stretchy="false"> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </mn></mrow></msup><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mrow><msup><mi mathvariant="normal"> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </mn></mrow></msup><mi> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </mi><msup><mi> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </mo><mo stretchy="false"> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </mo><mi> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </mi><mo stretchy="false"> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </mo><mi> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </mi><mo stretchy="false"> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </mo><mo> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </mo><mi> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </mi><mo stretchy="false"> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </mo><mi> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </mi><mo stretchy="false"> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </mo><mo> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </mo><mi> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </mi><mo stretchy="false"> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </mo><mi> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </mi><mo> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </mo><mi> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </mi><mo stretchy="false"> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </mo><mo stretchy="false"> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal"> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </mi><mi> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </mi><mi> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </mi></mrow></mfrac></mrow><mo> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal"> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </mi><mi> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </mi><mi> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </mi></mrow></mfrac></mrow><mo> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </mo><mi> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </mi><mi> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </mi><mo> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </mo><mn> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </mn></mstyle></mrow> </math>PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} </img> PDE for a zero-coupon bond 1 2 σ ( r ) 2 ∂ 2 P ∂ r 2 + [ a ( r ) + σ ( r ) + φ ( r , t ) ] ∂ P ∂ r + ∂ P ∂ t − r P = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0} فيما يتعلق بالتسعير المشتق ، يوفر نموذج تسعير الخيارات ذات الحدين إصدارًا تقديريًا من Black-Scholes ، مفيد لتقييم الخيارات الأمريكية. النماذج المبنية من هذا النوع مبنية - على الأقل ضمنيًا - باستخدام أسعار الحالة (على النحو الوارد أعلاه ) ؛ فيما يتعلق بذلك ، استخدم عدد كبير من الباحثين خيارات لاستخراج أسعار الحالة لمجموعة متنوعة من التطبيقات الأخرى في الاقتصاد المالي. [6] [24] [14] بالنسبة إلى المشتقات المعتمدة على المسار ، يتم استخدام طرق مونت كارلو لتسعير الخيارات ؛ هنا النمذجة في وقت مستمر ، ولكن بالمثل يستخدم القيمة المتوقعة للخطر المحايدة. كما تم تطوير تقنيات رقمية مختلفة أخرى . لقد تم تمديد الإطار النظري أيضًا بحيث أصبح تسعير مارتينجال الآن هو النهج القياسي. التطورات المتعلقة التعقيدات في العودة و / أو التقلب تناقش أدناه . بالاعتماد على هذه التقنيات ، تم تطوير نماذج مشتقة للعديد من التطبيقات الفرعية والتطبيقات الأخرى ، وكلها تستند إلى نفس المنطق (باستخدام " تحليل المطالبة الطارئة "). يسمح تقييم الخيارات الحقيقية بأنه يمكن لأصحاب الخيارات التأثير على أساس الخيار ؛ تفترض نماذج تقييم خيارات أسهم الموظف بشكل صريح عدم العقلانية من جانب أصحاب الخيارات ؛ تسمح مشتقات الائتمان بعدم الوفاء بالتزامات الدفع و / أو متطلبات التسليم. يتم الآن تقييم المشتقات الغريبة بشكل روتيني. يتم التعامل مع وكيل الأصول المتعددة عن طريق المحاكاة أو التحليل القائم على الكوبولا. وبالمثل ، بدايةً من أولدريتش فاسيتش (1977) ، تسمح مختلف النماذج ذات المعدلات القصيرة ، وكذلك التقنيات المعتمدة على السعر الآجل H J M و B G M ، بتمديد هذه التقنيات لتشمل المشتقات ذات الدخل الثابت وأسعار الفائدة . (يعتمد طرازا V a s i c e k و CIR على التوازن ، بينما تعتمد النماذج Ho-Lee والنماذج اللاحقة على التسعير الخالي من التحكيم. ) يتم تمديد تقييم السندات ذات الصلة: يسمح أسلوب حساب التفاضل والتكامل في Stochastic ، الذي يستخدم هذه الطرق ، بمعدلات "عشوائية" (مع إعادة سعر خالٍ من المراجحة ، على النحو الوارد أعلاه ) ؛ نماذج شعرية للأوراق المالية المختلطة تسمح بتدفقات نقدية غير حتمية (وأسعار عشوائية). على النحو الوارد أعلاه ، اعتمد تسعير المشتقات ( OTC ) على إطار التسعير المحايد لمخاطر B S M ، في ظل افتراضات التمويل بسعر خالٍ من المخاطر والقدرة على تكرار التدفقات النقدية بشكل مثالي حتى يتم التحوط بالكامل. وهذا ، بدوره ، مبني على افتراض وجود بيئة خالية من مخاطر الائتمان. بعد الأزمة المالية في عام 2008 ، لذلك ، يتم إضافة مسائل مثل مخاطر الائتمان للطرف المقابل ، وتكاليف التمويل وتكاليف رأس المال ، [26] وتعديل تقييم الائتمان ، أو C V A - وتسويات تقييم محتملة أخرى ، مجتمعة x V A - تتم إضافتها عمومًا إلى القيمة المشتقة المحايدة للمخاطر. من التغييرات ذات الصلة ، وربما الأكثر جوهرية ، أن الخصم الآن على منحنى مؤشر مبادلة Overnight ، بدلاً من L I B O R كما كان مستخدمًا من قبل. وذلك لأن ما بعد الأزمة ، يعتبر O I S وكيلًا أفضل "للمعدلات الخالية من المخاطر". [27] (وأيضًا ، من الناحية العملية ، عادة ما تكون الفائدة المدفوعة على ضمان ن قدي هي معدل الليلة الواحدة ؛ يُشار إلى خصم O I S ، في بعض الأحيان ، باسم "خصم C S A ". ) التسعير مبادلة - و، في الواقع، بناء منحنى - يتم تعديل أبعد من ذلك: في السابق، وبلغت قيمة المبادلات قبالة "خصم النفس" منحنى أسعار الفائدة واحد؛ في حين أنه بعد الأزمة ، لاستيعاب خصم O I S ، أصبح التقييم الآن ضمن إطار "متعدد المنحنى" حيث يتم إنشاء "منحنيات التنبؤ" لكل فترة L I B O R عائمة ، مع خصم على منحنى O I S مشترك ؛ انظر مقايضة سعر الفائدة   التقييم والتسعير . نظرية تمويل الشركات[عدل] تقييم المشروع عبر شجرة القرار. تم تمديد نظرية تمويل الشركات أيضًا: تعكس التطورات المذكورة أعلاه وتقييم الأصول واتخاذ القرارات بعد الآن "اليقين". كما تمت مناقشته ، فإن طرق مونت كارلو في مجال التمويل ، التي طرحها ديفيد بي. هيرتز في عام 1964 ، تسمح للمحللين الماليين بإنشاء نماذج "تمويل عشوائية أو احتمالية للشركات" ، على عكس النماذج الثابتة والحتمية التقليدية ؛ [28] انظر تمويل الشركات   قياس عدم اليقين . ذات الصلة ، تسمح نظرية الخيارات الحقيقية للمالك - أي الإجراءات الإدارية - التي تؤثر على القيمة الأساسية: من خلال دمج منطق تسعير الخيارات ، يتم تطبيق هذه الإجراءات بعد ذلك على توزيع النتائج المستقبلية ، مع التغيير مع الوقت ، والتي تحدد بعد ذلك تقييم "المشروع" اليوم. [29] وبشكل أكثر تقليدية ، تم استخدام أشجار القرارات - التي تكمل بعضها البعض - لتقييم المشروعات ، من خلال دمجها في التقييم (جميع) الأحداث (أو الولايات) المحتملة وقرارات الإدارة المترتبة عليها ؛ [30] [28] معدل الخصم الصحيح هنا يعكس "كل نقطة غير قابلة للتنوع تتطلع إلى الأمام". [28] (هذه التقنية تسبق استخدام خيارات حقيقية في تمويل الشركات ؛ [31] فهي مستعارة من بحوث العمليات ، وليست "تنمية اقتصادية مالية" في حد ذاتها . ) يرتبط هذا ، هو التدفقات النقدية المتوقعة في تقييم الأسهم . في كثير من الحالات ، بعد وليامز أعلاه ، تم تخفيض متوسط (أو على الأرجح) التدفقات النقدية ، [32] بدلاً من معاملة أكثر صحة لكل ولاية في ظل عدم اليقين ؛ انظر التعليقات تحت النمذجة المالية § المحاسبة . في العلاجات الأكثر حداثة ، إذن ، فإن التدفقات النقدية المتوقعة ( بالمعنى الرياضي ) مجتمعة في القيمة الإجمالية لكل فترة تنبؤية يتم خصمها. [33] [34] [35] [28] وباستخدام C A P M - أو الامتدادات - يكون الخصم هنا بسعر خالٍ من المخاطر بالإضافة إلى علاوة مرتبطة بعدم اليقين في التدفقات النقدية للمشروع أو المشروع. [28] [34] تتضمن التطورات الأخرى هنا [36] نظرية الوكالة ، التي تحلل الصعوبات في تحفيز إدارة الشركات ("الوكيل") للعمل بما يحقق مصلحة المساهمين ("الموكل") ، وليس لمصالحهم الخاصة. توفر محاسبة الفوائض النظيفة وتقييم الدخل المتبقي ذي الصلة نموذجًا يعيد السعر كدالة للأرباح والعوائد المتوقعة والتغيير في القيمة الدفترية ، بدلاً من توزيعات الأرباح. ينشأ هذا النهج ، إلى حد ما ، بسبب التناقض الضمني في رؤية القيمة كدالة لتوزيعات الأرباح ، مع الإبقاء أيضًا على أن سياسة توزيع الأرباح لا يمكن أن تؤثر على القيمة وفقًا لمبدأ Modigliani و Miller " مبدأ عدم الصلة " ؛ انظر سياسة توزيع الأرباح   عدم أهمية سياسة توزيع الأرباح . التطبيق النموذجي للخيارات الحقيقية هو مشاكل نوع الميزانية الرأسمالية كما هو موضح. ومع ذلك ، يتم تطبيقها أيضًا على مسائل هيكل رأس المال وسياسة توزيع الأرباح ، وعلى التصميم ذي الصلة لأوراق مالية الشركات ؛ [37] وبما أن حاملي الأسهم والسندات لديهم وظائف موضوعية مختلفة ، في تحليل مشاكل الوكالة ذات الصلة. [29] في جميع هذه الحالات ، يمكن أن توفر الأسعار الحكومية المعلومات الضمنية في السوق المتعلقة بالشركة ، على النحو الوارد أعلاه ، والتي يتم تطبيقها بعد ذلك على التحليل. على سبيل المثال ، يمكن (يجب) تسعير السندات القابلة للتحويل بما يتفق مع الأسعار الحكومية لأسهم الشركة. [13] [33] التحديات والنقد[عدل] كما ذكر أعلاه ، هناك صلة وثيقة للغاية بين (1) فرضية المشي العشوائي ، مع التوقعات المرتبطة بأن تغيرات الأسعار يجب أن تتبع التوزيع الطبيعي ، من ناحية ، و (2) كفاءة السوق والتوقعات المنطقية ، من ناحية أخرى. لاحظ ، مع ذلك ، أنه يتم ملاحظة حالات الخروج (الواسعة) عن هذه ، وبالتالي ، هناك ، على التوالي ، مجموعتان رئيسيتان من التحديات. المغادرين من الحياة الطبيعية[عدل] سطح التقلب الضمني. يمثل المحور Z تقلبًا ضمنيًا في المئة ، وتمثل محاور X و Y دلتا الخيار ، والأيام حتى الاستحقاق. كما تمت مناقشته ، فإن الافتراضات القائلة بأن أسعار السوق تتبع مسارًا عشوائيًا و / أو أن عوائد الأصول يتم توزيعها بشكل طبيعي هي أمور أساسية. ومع ذلك ، تشير الدلائل التجريبية إلى أن هذه الافتراضات قد لا تصمد (انظر خطر التعرق ، مخاطر الانحراف ، الذيل الطويل ) وأنه في الممارسة العملية ، يعدل التجار والمحللون ومديرو المخاطر بشكل متكرر "النماذج القياسية" (انظر نموذج المخاطر ). في الواقع ، اكتشف B e n o i t Mandelbrot بالفعل في الستينيات من القرن الماضي أن التغيرات في الأسعار المالية لا تتبع توزيعًا غوسيًا ، وهو الأساس لنظرية تسعير الخيارات ، على الرغم من أن هذه الملاحظة كانت بطيئة في العثور على طريقها إلى الاقتصاد المالي السائد. تم تقديم نماذج مالية ذات توزيعات طويلة الذيل وتجمعات متقلبة للتغلب على مشاكل الواقعية للنماذج المالية "الكلاسيكية" أعلاه ؛ بينما تسمح نماذج الانتقال السريع لأسعار (الخيار) بدمج "القفزات" في السعر الفوري . [38] وبالمثل ، يستكمل مديرو المخاطر (أو البديل) القيمة القياسية في نماذج المخاطر بمحاكاة تاريخية ، ونماذج خليط ، وتحليل مكون رئيسي ، ونظرية القيمة القصوى ، فضلاً عن نماذج لتجميع التقلب . [39] لمزيد من المناقشة رؤية الذيل الدهون § التوزيع   التطبيقات في الاقتصاد ، والقيمة المعرضة للخطر   النقد . مديرو الحافظة ، وبالمثل ، قاموا بتعديل معايير وخوارزميات التحسين الخاصة بهم ؛ انظر نظرية محفظة # أعلاه. يرتبط ارتباطًا وثيقًا بابتسامة التقلب ، حيث يُلاحظ أن التقلب الضمني - التقلب المقابل لسعر B S M - يختلف كدالة لسعر الإضراب (أي النقود ) ، وهذا صحيح فقط إذا كان توزيع تغيير السعر غير طبيعي ، على عكس ذلك المفترض بواسطة B S M. يصف مصطلح مصطلح التقلب مدى اختلاف التقلب (الضمني) بالنسبة للخيارات ذات الصلة مع آجال استحقاق مختلفة. سطح التقلب الضمني هو ثم مؤامرة سطح ثلاثية الأبعاد من ابتسامة التقلب وهيكل المدى. هذه الظواهر التجريبية تنفي افتراض التقلب المستمر والسجلات الطبيعية - التي بنيت عليها بلاك سكولز ؛ [22] [38] انظر نموذج بلاك سكولز   تقلب ابتسامة . نتيجة لذلك ، يستخدم المتداولون (ومديرو المخاطر) نماذج "متسقة مع الابتسامة" ، أولاً ، عند تقييم المشتقات التي لم يتم تعيينها مباشرة إلى السطح ، مما يسهل تسعير المجموعات الأخرى ، مثل مجموعات الأسعار / النضج غير المشتقة ، أو المشتقات غير الأوروبية ، وعموما لأغراض التحوط. الطريقتان الرئيسيتان هما التقلب المحلي وتقلب مؤشر ستوكاستيك . الأول يعيد التقلبات "المحلية" إلى كل نقطة زمنية محددة للتقييم القائم على الفروق أو المحاكاة - أي على عكس التذبذب الضمني ، والذي يبقى ثابتًا بشكل عام. وبهذه الطريقة ، تكون الأسعار المحسوبة - والهياكل الرقمية - متسقة مع السوق بطريقة خالية من المراجحة. النهج الثاني يفترض أن تقلب السعر الأساسي هو عملية عشوائية وليس ثابتة. يتم أولاً "معايرة" النماذج هنا للأسعار المرصودة ، ثم يتم تطبيقها على التقييم المعني ؛ الأكثر شيوعًا هي H e s t o n و S A B R و C E V . يعالج هذا النهج بعض المشكلات المحددة مع التحوط في ظل التقلبات المحلية. [40] تتعلق التقلبات المحلية بالأشجار الضمنية ذات الحدين و الأشجار المستندة إلى شعرية - تقديرا أساسيا للنهج - والتي تستخدم بالمثل في التسعير هذه مبنية على أسعار الدولة المستردة من السطح. تسمح أشجار E d g e w o r t h ذات الحدين بوجود انحراف وخرط محدد (أي غير غاوسي) في السعر الفوري ؛ بسعر هنا ، فإن الخيارات ذات الضربات المختلفة ستعيد التقلبات الضمنية المختلفة ، ويمكن معايرة الشجرة حسب الابتسامة على النحو المطلوب. [41] كما تم تطوير نماذج مقفلة ذات أغراض مماثلة. [42] كما ذكر أعلاه ، يفترض B S M - ونماذج المشتقات الأخرى عادة - (د) القدرة على تكرار التدفقات النقدية تمامًا بحيث يتم التحوط بالكامل ، ومن ثم إلى الخصم دون معدل المخاطرة. وهذا ، بدوره ، مبني على افتراض وجود بيئة خالية من مخاطر الائتمان. بعد الأزمة ، إذن ، يتم إجراء العديد من التعديلات على القيمة x على القيمة المشتقة من المخاطر المحايدة. لاحظ أن هذه العناصر إضافية لأي تأثير على الابتسامة أو السطح: هذا صحيح لأن السطح مبني على بيانات الأسعار المتعلقة بالمراكز المضمونة بالكامل ، وبالتالي لا يوجد " حساب مزدوج " لمخاطر الائتمان (وما إلى ذلك) عند تضمين x V A. (أيضًا ، لو لم يكن الأمر كذلك ، فسيكون لكل طرف مقابل سطحه الخاص. . . ) المغادرين من العقلانية[عدل] الشذوذ في السوق والألغاز الاقتصادية تأثير التقويم تأثير يناير سانتا كلوز تجمع بيع في مايو لغز نهاية مغلقة الصندوق لغز الارباح الإنصاف لغز المنزل التحيز لغز قسط الأسهم إلى الأمام الشذوذ قسط انخفاض الشذوذ الشذوذ الزخم الشذوذ بعد إعلان الأرباح الانجراف الألغاز الحقيقية لسعر الصرف كما رأينا ، هناك افتراض شائع هو أن صناع القرار المالي يتصرفون بعقلانية. رؤية هومو الاقتصادية . لكن في الآونة الأخيرة ، تحدى الباحثون في الاقتصاد التجريبي والتمويل التجريبي هذا الافتراض تجريبياً . كما يتم تحدي هذه الافتراضات من الناحية النظرية ، من خلال التمويل السلوكي ، وهو مجال يتعلق في المقام الأول بالقيود المفروضة على عقلانية العوامل الاقتصادية. تمشيا مع هذه النتائج ومكملة لها ، تم توثيق العديد من الحالات الشاذة المستمرة في السوق ، والتي تمثل تشوهات في الأسعار و / أو العودة - على سبيل المثال أقساط الحجم - والتي تتعارض مع فرضية السوق الفعالة ؛ تأثيرات التقويم هي أفضل مجموعة معروفة هنا. تتعلق هذه الألغاز الاقتصادية المختلفة ، المتعلقة بالظواهر التي تتناقض مع النظرية بالمثل. ينشأ لغز علاوة الأسهم ، على سبيل المثال ، في أن الفرق بين العوائد الملحوظة على الأسهم مقارنة بالسندات الحكومية أعلى باستمرار من عائد المخاطرة في الأسهم العقلانية التي ينبغي على المستثمرين طلبها ، وهو " عائد غير طبيعي ". للحصول على مزيد من السياق ، انظر فرضية المشي العشوائي § فرضية المشي العشوائية ، والشريط الجانبي لحالات محددة. بشكل أعم ، وخاصة بعد الأزمة المالية في 2007-2010 ، تعرض الاقتصاد المالي والتمويل الرياضي إلى نقد أعمق ؛ جدير بالذكر هنا نسيم نيكولاس طالب ، الذي يدعي أن أسعار الأصول المالية لا يمكن وصفها بالنماذج البسيطة المستخدمة حاليًا ، مما يجعل الكثير من الممارسات الحالية غير ذات صلة ، وفي أسوأ الأحوال ، مضللة بشكل خطير ؛ رؤية نظرية البجعة السوداء ، توزيع طالب . كان موضوع الاهتمام العام الذي تمت دراسته في السنوات الأخيرة هو الأزمات المالية ، [43] وفشل الاقتصاديات المالية في تشكيلها. (المشكلة ذات الصلة هي المخاطر النظامية : حيث تحتفظ الشركات بأوراق مالية فيما بينها ، فإن الترابط قد يستلزم "سلسلة تقييم" - وأداء شركة واحدة ، أو أمان ، سوف يؤثر هنا على الجميع ، وهي ظاهرة لا يمكن صياغتها بسهولة ، بغض النظر عما إذا النماذج الفردية صحيحة. انظر المخاطر النظامية § عدم كفاية نماذج التقييم الكلاسيكية ؛ شلالات في الشبكات المالية ؛ رحلة إلى الجودة . ) تشمل مجالات البحث التي تحاول شرح (أو على الأقل نموذج) هذه الظواهر والأزمات ، [12] تجارة الضوضاء والبنية المجهرية للسوق ونماذج العوامل غير المتجانسة . يمتد هذا الأخير إلى الاقتصاد الحسابي القائم على الوكيل ، حيث يتم التعامل مع السعر كظاهرة ناشئة ، الناتجة عن تفاعل مختلف المشاركين في السوق (الوكلاء). تقول فرضية السوق الصاخبة أن الأسعار يمكن أن تتأثر بالمضاربين وتجار الزخم ، وكذلك من الداخل والمؤسسات التي غالباً ما تشتري وتبيع الأسهم لأسباب لا علاقة لها بالقيمة الأساسية ؛ انظر الضوضاء (الاقتصادية) . فرضية السوق التكيفية هي محاولة للتوفيق بين فرضية السوق الفعالة والاقتصاد السلوكي ، من خلال تطبيق مبادئ التطور على التفاعلات المالية. بدلاً من ذلك ، تُظهر سلسلة المعلومات المشاركين في السوق وهم يشاركون في نفس أفعال الآخرين (" سلوك القطيع ") ، على الرغم من التناقضات مع معلوماتهم الخاصة. وقد تم تطبيق النمذجة المستندة إلى Copula بالمثل. انظر أيضًا "فرضية عدم الاستقرار المالي" التي وضعها هيمان مينسكي ، بالإضافة إلى مقاربة جورج سوروس ، الانعكاسية ، الأسواق المالية ، والنظرية الاقتصادية . ولكن على الجانب الآخر ، أظهرت العديد من الدراسات أنه على الرغم من هذه الانحرافات عن الكفاءة ، إلا أن أسعار الأصول عادةً ما تمشي بشكل عشوائي ، وبالتالي لا يمكن للمرء أن يتفوق باستمرار على متوسطات السوق ( "ألفا" ). [44] لذلك فإن الأثر العملي هو أن الاستثمار السلبي (على سبيل المثال من خلال صناديق المؤشرات منخفضة التكلفة) ينبغي ، في المتوسط ، أن يخدم بشكل أفضل من أي استراتيجية نشطة أخرى. [45] تعد لعبة Burton M a l k i e l للمشي العشوائي في وول ستريت - التي نُشرت لأول مرة في عام 1973 ، وفي عددها الحادي عشر اعتبارًا من عام 2015 - تعميمًا شائعًا لهذه الحجج. (راجع أيضًا John C B o g l e 's Sense على صناديق الاستثمار المشتركة ؛ لكن قارن وارين بافيت من S u p e r i n v e s t o r s لـ Graham-and-D o d d s v i l l e . لاحظ أيضًا أن الحدود الموروثة مؤسسيًا للمراجحة - على عكس العوامل المتناقضة مباشرة مع النظرية - تُقترح أحيانًا كتفسير لهذه الانحرافات عن الكفاءة. أنظر أيضا[عدل] Category:Finance theories Category:Financial economists Deutsche Bank Prize in Financial Economics Financial modeling Fischer Black Prize قالب:Sectionlink Monetary economics Outline of economics Outline of finance المراجع[عدل] ↑ أ ب William F. Sharpe, "Financial Economics" نسخة محفوظة 2004-06-04 على موقع واي باك مشين., in "Macro-Investment Analysis". Stanford University (manuscript). تمت أرشفته من الأصل في 2014-07-14. اطلع عليه بتاريخ 06 أغسطس 2009. .mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Lock-green.svg/9px-Lock-green.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center}.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg/9px-Lock-gray-alt-2.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center}.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/aa/Lock-red-alt-2.svg/9px-Lock-red-alt-2.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center}.mw-parser-output .cs1-subscription,.mw-parser-output .cs1-registration{color:#555}.mw-parser-output .cs1-subscription span,.mw-parser-output .cs1-registration span{border-bottom:1px dotted;cursor:help}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Wikisource-logo.svg/12px-Wikisource-logo.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center}.mw-parser-output code.cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:inherit;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;font-size:100%}.mw-parser-output .cs1-visible-error{font-size:100%}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#33aa33;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-subscription,.mw-parser-output .cs1-registration,.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left,.mw-parser-output .cs1-kern-wl-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right,.mw-parser-output .cs1-kern-wl-right{padding-right:0.2em} ↑ أ ب Merton H. Miller ، (1999). تاريخ المالية: حساب شاهد عيان ، مجلة إدارة المحافظ . صيف 1999. ^ Robert C. Merton "Nobel Lecture" (PDF). تمت أرشفته (PDF) من الأصل في 2009-03-19. اطلع عليه بتاريخ 06 أغسطس 2009.  ^ e.g.: Kent نسخة محفوظة 2014-02-21 على موقع واي باك مشين.; City London نسخة محفوظة 2014-02-23 على موقع واي باك مشين.; UC Riverside نسخة محفوظة 2014-02-22 على موقع واي باك مشين.; Leicester نسخة محفوظة 2014-02-22 على موقع واي باك مشين.; Toronto نسخة محفوظة 2014-02-21 على موقع واي باك مشين.; UMBC نسخة محفوظة 2014-12-30 على موقع واي باك مشين. ^ For example, http://www.dictionaryofeconomics.com/search_results?q=&field=content&edition=all&topicid=G00 نسخة محفوظة 2013-05-29 على موقع واي باك مشين.. ↑ أ ب ت ث ج ح خ د ذ روبنشتاين ، مارك . (2005). "لحظات عظيمة في الاقتصاد المالي: رابعا. النظرية الأساسية (الجزء الأول)" ، مجلة إدارة الاستثمار ، المجلد. 3 ، رقم 4 ، الربع الرابع 2005 ؛ ~ (2006). الجزء الثاني ، المجلد. 4 ، رقم 1 ، الربع الأول 2006. انظر تحت عنوان "الروابط الخارجية". ^ C. Lewin (1970). An early book on compound interest نسخة محفوظة 2016-12-21 على موقع واي باك مشين., Institute and Faculty of Actuaries ^ انظر روبنشتاين تحت عنوان "الببليوغرافيا". ↑ أ ب ت Emanuel Derman, A Scientific Approach to CAPM and Options Valuation نسخة محفوظة 2016-03-30 على موقع واي باك مشين. وسم <ref> غير صالح؛ الاسم "Derman" معرف أكثر من مرة بمحتويات مختلفة. وسم <ref> غير صالح؛ الاسم "Derman" معرف أكثر من مرة بمحتويات مختلفة. ↑ أ ب Freddy Delbaen and Walter Schachermayer. (2004). "What is... a Free Lunch?" نسخة محفوظة 2016-03-04 على موقع واي باك مشين. (pdf). Notices of the AMS 51 (5): 526–528 ↑ أ ب ت ث Christopher L. Culp and John H. Cochrane. (2003). ""Equilibrium Asset Pricing and Discount Factors: Overview and Implications for Derivatives Valuation and Risk Management" نسخة محفوظة 2016-03-04 على موقع واي باك مشين., in Modern Risk Management: A History. Peter Field, ed. London: Risk Books, 2003. (ردمك 1904339050) ↑ أ ب ت ث Farmer J. Doyne, Geanakoplos John (2009). "The virtues and vices of equilibrium and the future of financial economics" (PDF). Complexity. 14 (3): 11–38. Bibcode:2009Cmplx..14c..11F. arXiv:0803.2996. doi:10.1002/cplx.20261.  ↑ أ ب ت انظر de Matos ، وكذلك Bossaerts و Ødegaard ، تحت المراجع. ↑ أ ب Don M. Chance (2008). "Option Prices and State Prices" نسخة محفوظة 2012-02-09 على موقع واي باك مشين. ^ Breeden، Douglas T.؛ Litzenberger، Robert H. (1978). "Prices of State-Contingent Claims Implicit in Option Prices". Journal of Business. 51 (4): 621–651. JSTOR 2352653. doi:10.1086/296025.  ↑ أ ب انظر لوينبرجر علوم الاستثمار ، تحت المراجع. ^ للحصول على علاج أكثر رسمية ، انظر ، على سبيل المثال: يوجين فاما. 1965. يسير عشوائي في أسعار البورصة . مجلة المحللين الماليين ، سبتمبر / أكتوبر 1965 ، المجلد. 21 ، رقم 5: 55-59. ↑ أ ب Shiller، Robert J. (2003). "From Efficient Markets Theory to Behavioral Finance" (PDF). Journal of Economic Perspectives. 17 (1 (Winter 2003)): 83–104. doi:10.1257/089533003321164967. تمت أرشفته (PDF) من الأصل في 2015-04-12.  ^ Jensen، Michael C. and Smith، Clifford W.، "Theory of Corporate Finance: A Historical Overview". In: The Modern Theory of Corporate Finance ، New York: McGraw-Hill Inc.، pp. 2-20، 1984. ^ Black، Fischer؛ Myron Scholes (1973). "The Pricing of Options and Corporate Liabilities". Journal of Political Economy. 81 (3): 637–654. doi:10.1086/260062.  [1] ^ Merton، Robert C. (1973). "Theory of Rational Option Pricing". Bell Journal of Economics and Management Science. 4 (1): 141–183. JSTOR 3003143. doi:10.2307/3003143.  [2] ↑ أ ب Haug, E. G. and Taleb, N. N. (2008): Why We Have Never Used the Black-Scholes-Merton Option Pricing Formula نسخة محفوظة 2011-05-03 على موقع واي باك مشين., Wilmott Magazine January 2008 ^ Samuelson Paul (1965). "A Rational Theory of Warrant Pricing" (PDF). Industrial Management Review. 6: 2. تمت أرشفته (PDF) من الأصل في 2017-03-01. اطلع عليه بتاريخ 28 فبراير 2017.  ↑ أ ب Don M. Chance (2008). "Option Prices and Expected Returns" نسخة محفوظة 2015-09-23 على موقع واي باك مشين. ^ نظرية التسعير للتحكيم ، الفصل السادس في جوتزمان ، تحت الروابط الخارجية ^ "Post-Crisis Pricing of Swaps using xVAs" نسخة محفوظة 2016-09-17 على موقع واي باك مشين., Christian Kjølhede & Anders Bech, Master thesis, Aarhus University ^ Hull، John؛ White، Alan (2013). "LIBOR vs. OIS: The Derivatives Discounting Dilemma". Journal of Investment Management. 11 (3): 14–27.  ↑ أ ب ت ث ج Aswath Damodaran (2007). "Probabilistic Approaches: Scenario Analysis, Decision Trees and Simulations". In Strategic Risk Taking: A Framework for Risk Management. Prentice Hall. (ردمك 0137043775) ↑ أ ب Damodaran، Aswath (2005). "The Promise and Peril of Real Options" (PDF). NYU Working Paper (S-DRP-05-02). تمت أرشفته (PDF) من الأصل في 2001-06-13. اطلع عليه بتاريخ 14 ديسمبر 2016.  ^ Smith، James E.؛ Nau، Robert F. (1995). "Valuing Risky Projects: Option Pricing Theory and Decision Analysis" (PDF). Management Science. 41 (5): 795–816. doi:10.1287/mnsc.41.5.795. تمت أرشفته (PDF) من الأصل في 2010-06-12. اطلع عليه بتاريخ 17 أغسطس 2017.  ^ See for example: Magee، John F. (1964). "Decision Trees for Decision Making". Harvard Business Review. July 1964: 795–816. تمت أرشفته من الأصل في 2017-08-16. اطلع عليه بتاريخ 16 أغسطس 2017.  ^ Kritzman، Mark (2017). "An Interview with Nobel Laureate Harry M. Markowitz". Financial Analysts Journal. 73 (4): 16–21. doi:10.2469/faj.v73.n4.3.  ↑ أ ب انظر Kruschwitz و Löffler لكل ببليوغرافيا. ↑ أ ب "Capital Budgeting Applications and Pitfalls" نسخة محفوظة 2017-08-15 على موقع واي باك مشين.. Ch 13 in Ivo Welch (2017). Corporate Finance: 4th Edition ^ George Chacko and Carolyn Evans (2014). Valuation: Methods and Models in Applied Corporate Finance. FT Press. (ردمك 0132905221) ^ انظر جنسن و سميث تحت عنوان "الروابط الخارجية" ، وكذلك روبنشتاين تحت عنوان "المراجع" ^ Kenneth D. Garbade (2001). Pricing Corporate Securities as Contingent Claims. MIT Press. (ردمك 9780262072236) ↑ أ ب Black، Fischer (1989). "How to use the holes in Black-Scholes". Journal of Applied Corporate Finance. 1 (Jan): 67–73. doi:10.1111/j.1745-6622.1989.tb00175.x.  ^ III.A.3 in Carol Alexander, ed. The Professional Risk Managers' Handbook: A Comprehensive Guide to Current Theory and Best Practices. PRMIA Publications (January 2005). (ردمك 978-0976609704) ^ Hagan، Patrick؛ وآخرون. (2002). "Managing smile risk". Wilmott Magazine (Sep): 84–108.  ^ See for example Pg 217 of: Jackson, Mary; Mike Staunton (2001). Advanced modelling in finance using Excel and VBA. New Jersey: Wiley. (ردمك 0-471-49922-6). ^ وتشمل هذه: Jarrow و Rudd (1982) ؛ Corrado and Su (1996)؛ Backus و Foresi و Wu (2004). انظر: Emmanuel Jurczenko ، Bertrand Maillet & Bogdan Negrea ، 2002. "إعادة النظر في نماذج تسعير الخيار التقريبي متعدد اللحظات: مقارنة عامة (الجزء 1)". ورقة عمل ، كلية لندن للاقتصاد والعلوم السياسية . ^ From The New Palgrave Dictionary of Economics, Online Editions, 2011, 2012, with abstract links:   • "regulatory responses to the financial crisis: an interim assessment" نسخة محفوظة 2013-05-29 على موقع واي باك مشين. by Howard Davies   • "Credit Crunch Chronology: April 2007–September 2009" نسخة محفوظة 2013-05-29 على موقع واي باك مشين. by The Statesman's Yearbook team   • "Minsky crisis" نسخة محفوظة 2013-05-29 على موقع واي باك مشين. by L. Randall Wray   • "euro zone crisis 2010" نسخة محفوظة 2013-05-29 على موقع واي باك مشين. by Daniel Gros and Cinzia Alcidi.   • Carmen M. Reinhart and Kenneth S. Rogoff, 2009. This Time Is Different: Eight Centuries of Financial Folly, Princeton. Description نسخة محفوظة 2013-01-18 على موقع واي باك مشين., ch. 1 ("Varieties of Crises and their Dates". pp. 3-20) نسخة محفوظة 2012-09-25 على موقع واي باك مشين., and chapter-preview links. ^ William F. Sharpe (1991). "The Arithmetic of Active Management" نسخة محفوظة 2013-11-13 على موقع واي باك مشين.. Financial Analysts Journal Vol. 47, No. 1, January/February ^ William F. Sharpe (2002). Indexed Investing: A Prosaic Way to Beat the Average Investor نسخة محفوظة 2013-11-14 على موقع واي باك مشين.. Presention: Monterey Institute of International Studies. Retrieved May 20, 2010. قائمة المراجع[عدل] Financial economics Roy E. Bailey (2005). The Economics of Financial Markets. Cambridge University Press. ISBN 978-0521612807.  Marcelo Bianconi (2013). Financial Economics, Risk and Information (2nd Edition). World Scientific. ISBN 978-9814355131.  Zvi Bodie, Robert C. Merton and David Cleeton (2008). Financial Economics (2nd Edition). Prentice Hall. ISBN 978-0131856158.  James Bradfield (2007). Introduction to the Economics of Financial Markets. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-531063-4.  Satya R. Chakravarty (2014). An Outline of Financial Economics. Anthem Press. ISBN 978-1783083367.  Jakša Cvitanić and Fernando Zapatero (2004). Introduction to the Economics and Mathematics of Financial Markets. MIT Press. ISBN 978-0262033206.  George M. Constantinides, Milton Harris, René M. Stulz (editors) (2003). Handbook of the Economics of Finance. Elsevier. ISBN 978-0444513632.  صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفون (link) Keith Cuthbertson؛ Dirk Nitzsche (2004). Quantitative Financial Economics: Stocks, Bonds and Foreign Exchange. Wiley. ISBN 978-0470091715.  Jean-Pierre Danthine, John B. Donaldson (2005). Intermediate Financial Theory (2nd Edition). Academic Press. ISBN 978-0123693808.  Louis Eeckhoudt؛ Christian Gollier, Harris Schlesinger (2005). Economic and Financial Decisions Under Risk. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12215-1.  Jürgen Eichberger؛ Ian R. Harper (1997). Financial Economics. Oxford University Press. ISBN 978-0198775409.  Igor Evstigneev, Thorsten Hens, and Klaus Reiner Schenk-Hoppé (2015). Mathematical Financial Economics: A Basic Introduction. Springer. ISBN 978-3319165707.  صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفون (link) Frank J. Fabozzi, Edwin H. Neave and Guofu Zhou (2011). Financial Economics. Wiley. ISBN 978-0470596203.  Christian Gollier (2004). The Economics of Risk and Time (2nd Edition). MIT Press. ISBN 978-0-262-57224-8.  Thorsten Hens and Marc Oliver Rieger (2010). Financial Economics: A Concise Introduction to Classical and Behavioral Finance. Springer. ISBN 978-3540361466.  Chi-fu Huang and Robert H. Litzenberger (1998). Foundations for Financial Economics. Prentice Hall. ISBN 978-0135006535.  Jonathan E. Ingersoll (1987). Theory of Financial Decision Making. Rowman & Littlefield. ISBN 978-0847673599.  Robert A. Jarrow (1988). Finance theory. Prentice Hall. ISBN 978-0133148657.  Chris Jones (2008). Financial Economics. Routledge. ISBN 978-0415375856.  Brian Kettell (2002). Economics for Financial Markets. Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-7506-5384-8.  Yvan Lengwiler (2006). Microfoundations of Financial Economics: An Introduction to General Equilibrium Asset Pricing. Princeton University Press. ISBN 978-0691126319.  Stephen F. LeRoy؛ Jan Werner (2000). Principles of Financial Economics. Cambridge University Press. ISBN 978-0521586054.  Leonard C. MacLean؛ William T. Ziemba (2013). Handbook of the Fundamentals of Financial Decision Making. World Scientific. ISBN 978-9814417341.  Frederic S. Mishkin (2012). The Economics of Money, Banking, and Financial Markets (3rd Edition). Prentice Hall. ISBN 978-0132961974.  Harry H. Panjer, ed. (1998). Financial Economics with Applications. Actuarial Foundation. ISBN 978-0938959489.  Geoffrey Poitras, المحرر (2007). Pioneers of Financial Economics, Volume I. Edward Elgar Publishing. ISBN 978-1845423810. ; Volume II (ردمك 978-1845423827). Richard Roll (series editor) (2006). The International Library of Critical Writings in Financial Economics. Cheltenham: Edward Elgar Publishing.  Asset pricing Kerry E. Back (2010). Asset Pricing and Portfolio Choice Theory. Oxford University Press. ISBN 978-0195380613.  Tomas Björk (2009). Arbitrage Theory in Continuous Time (3rd Edition). Oxford University Press. ISBN 978-0199574742.  John H. Cochrane (2005). Asset Pricing. Princeton University Press. ISBN 978-0691121376.  Darrell Duffie (2001). Dynamic Asset Pricing Theory (3rd Edition). Princeton University Press. ISBN 978-0691090221.  Edwin J. Elton, Martin J. Gruber, Stephen J. Brown, William N. Goetzmann (2014). Modern Portfolio Theory and Investment Analysis (9th Edition). Wiley. ISBN 978-1118469941.  صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفون (link) Robert A. Haugen (2000). Modern Investment Theory (5th Edition). Prentice Hall. ISBN 978-0130191700.  Mark S. Joshi, Jane M. Paterson (2013). Introduction to Mathematical Portfolio Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-1107042315.  Lutz Kruschwitz, Andreas Loeffler (2005). Discounted Cash Flow: A Theory of the Valuation of Firms. Wiley. ISBN 978-0470870440.  David G. Luenberger (2013). Investment Science (2nd Edition). Oxford University Press. ISBN 978-0199740086.  Harry M. Markowitz (1991). Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments (2nd Edition). Wiley. ISBN 978-1557861085.  Frank Milne (2003). Finance Theory and Asset Pricing (2nd Edition). Oxford University Press. ISBN 978-0199261079.  George Pennacchi (2007). Theory of Asset Pricing. Prentice Hall. ISBN 978-0321127204.  Mark Rubinstein (2006). A History of the Theory of Investments. Wiley. ISBN 978-0471770565.  William F. Sharpe (1999). Portfolio Theory and Capital Markets: The Original Edition. McGraw-Hill. ISBN 978-0071353205.  Corporate finance Jonathan Berk؛ Peter DeMarzo (2013). Corporate Finance (3rd Edition). Pearson. ISBN 978-0132992473.  Peter Bossaerts؛ Bernt Arne Ødegaard (2006). Lectures on Corporate Finance (Second Edition). World Scientific. ISBN 978-981-256-899-1.  Richard Brealey؛ Stewart Myers؛ Franklin Allen (2013). Principles of Corporate Finance. Mcgraw-Hill. ISBN 978-0078034763.  Aswath Damodaran (1996). Corporate Finance: Theory and Practice. Wiley. ISBN 978-0471076803.  João Amaro de Matos (2001). Theoretical Foundations of Corporate Finance. Princeton University Press. ISBN 9780691087948.  Joseph Ogden؛ Frank C. Jen؛ Philip F. O'Connor (2002). Advanced Corporate Finance. Prentice Hall. ISBN 978-0130915689.  Pascal Quiry؛ Yann Le Fur؛ Antonio Salvi؛ Maurizio Dallochio؛ Pierre Vernimmen (2011). Corporate Finance: Theory and Practice (3rd Edition). Wiley. ISBN 978-1119975588.  Stephen Ross, Randolph Westerfield, Jeffrey Jaffe (2012). Corporate Finance (10th Edition). McGraw-Hill. ISBN 978-0078034770.  صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفون (link) Joel M. Stern, ed. (2003). The Revolution in Corporate Finance (4th Edition). Wiley-Blackwell. ISBN 9781405107815.  Jean Tirole (2006). The Theory of Corporate Finance. Princeton University Press. ISBN 978-0691125565.  Ivo Welch (2014). Corporate Finance (3rd Edition). ISBN 978-0-9840049-1-1.  '
مصدر HTML المعروض للمراجعة الجديدة `(new_html)`	'<div class="mw-parser-output"><p><b>الاقتصاد المالي</b> هو فرع <a href="/wiki/%D8%A7%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF_(%D8%B9%D9%84%D9%85)" title="اقتصاد (علم)">الاقتصاد الذي</a> يتميز بـ "التركيز على الأنشطة النقدية" ، والذي من المحتمل أن يظهر فيه "المال من نوع أو آخر على <i>جانبي</i> التجارة". <sup id="cite_ref-stanford1_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-stanford1-1">[1]</a></sup> وبالتالي ، فإن اهتمامها هو الترابط بين المتغيرات المالية ، مثل الأسعار وأسعار <a href="/wiki/%D8%B3%D8%B9%D8%B1_%D8%A7%D9%84%D9%81%D8%A7%D8%A6%D8%AF%D8%A9" title="سعر الفائدة">الفائدة</a> والأسهم ، مقابل تلك المتعلقة <a href="/wiki/%D8%A7%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF" title="اقتصاد">بالاقتصاد الحقيقي</a> . له مجالان رئيسيان للتركيز: <sup id="cite_ref-Miller_2-0" class="reference"><a href="#cite_note-Miller-2">[2]</a></sup> <a href="/w/index.php?title=Asset_pricing&action=edit&redlink=1" class="new" title="Asset pricing (الصفحة غير موجودة)">تسعير الأصول</a> <a href="/wiki/%D8%AA%D9%85%D9%88%D9%8A%D9%84_%D8%A7%D9%84%D8%B4%D8%B1%D9%83%D8%A7%D8%AA" title="تمويل الشركات">وتمويل الشركات</a> ؛ الأول هو منظور مقدمي رأس المال ، أي المستثمرين ، والثاني لمستخدمي رأس المال. </p><p>يتعلق الموضوع بـ "تخصيص ونشر الموارد الاقتصادية ، مكانيا وعبر الزمن ، في بيئة غير مستقرة". <sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3">[3]</a></sup> لذلك فهو يركز على اتخاذ القرارات في ظل عدم اليقين في سياق الأسواق المالية ، والنماذج والمبادئ الاقتصادية والمالية الناتجة ، ويهتم باستنباط الآثار القابلة للاختبار أو السياسة من الافتراضات المقبولة. إنه مبني على أسس <a href="/wiki/%D8%A7%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF_%D8%AC%D8%B2%D8%A6%D9%8A" title="اقتصاد جزئي">الاقتصاد الجزئي</a> <a href="/wiki/%D9%86%D8%B8%D8%B1%D9%8A%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D9%82%D8%B1%D8%A7%D8%B1" title="نظرية القرار">ونظرية القرار</a> . </p><p>الاقتصاد القياسي هو فرع الاقتصاد المالي الذي يستخدم تقنيات الاقتصاد القياسي لتحديد معالم هذه العلاقات. يرتبط <a href="/wiki/%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A7%D8%AA_%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A%D8%A9" title="رياضيات مالية">التمويل الرياضي</a> بأنه سيشتق ويوسع النماذج الرياضية أو العددية المقترحة من قبل الاقتصاد المالي. لاحظ على الرغم من أن التركيز هناك هو الاتساق الرياضي ، على عكس التوافق مع النظرية الاقتصادية. يركز الاقتصاد المالي في المقام الأول على <a href="/wiki/%D8%A7%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF_%D8%AC%D8%B2%D8%A6%D9%8A" title="اقتصاد جزئي">الاقتصاد الجزئي</a> ، في حين أن <a href="/wiki/%D9%86%D8%B8%D8%B1%D9%8A%D8%A9_%D9%86%D9%82%D8%AF%D9%8A%D8%A9_(%D8%A7%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF)" title="نظرية نقدية (اقتصاد)">الاقتصاد النقدي</a> هو في المقام الأول <a href="/wiki/%D8%A7%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF_%D9%83%D9%84%D9%8A" title="اقتصاد كلي">الاقتصاد الكلي</a> بطبيعته. </p><p>يتم تدريس الاقتصاد المالي عادة على مستوى الدراسات العليا ؛ انظر <a href="/w/index.php?title=Master_of_Financial_Economics&action=edit&redlink=1" class="new" title="Master of Financial Economics (الصفحة غير موجودة)">ماجستير في الاقتصاد المالي</a> . في الآونة الأخيرة ، يتم تقديم شهادات جامعية متخصصة في التخصص. <sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4">[4]</a></sup> </p><p>توفر هذه المقالة نظرة عامة واستطلاعًا حول الحقل: للحصول على مزيد من الاشتقاقات ومناقشة فنية أكثر ، راجع المقالات المحددة المرتبطة. </p> <div id="toc" class="toc"><input type="checkbox" role="button" id="toctogglecheckbox" class="toctogglecheckbox" style="display:none" /><div class="toctitle" lang="ar" dir="rtl"><h2>محتويات</h2><span class="toctogglespan"><label class="toctogglelabel" for="toctogglecheckbox"></label></span></div> <ul> <li class="toclevel-1 tocsection-1"><a href="#الاقتصاد_الأساسي"><span class="tocnumber">1</span> <span class="toctext">الاقتصاد الأساسي</span></a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-2"><a href="#القيمة_الحالية_والتوقع_والفائدة"><span class="tocnumber">1.1</span> <span class="toctext">القيمة الحالية والتوقع والفائدة</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-3"><a href="#التسعير_وخالية_من_التحكيم"><span class="tocnumber">1.2</span> <span class="toctext">التسعير وخالية من التحكيم</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-4"><a href="#أسعار_الدولة"><span class="tocnumber">1.3</span> <span class="toctext">أسعار الدولة</span></a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-5"><a href="#النماذج_الناتجة"><span class="tocnumber">2</span> <span class="toctext">النماذج الناتجة</span></a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-6"><a href="#السياقات"><span class="tocnumber">2.1</span> <span class="toctext">السياقات</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-7"><a href="#شك"><span class="tocnumber">2.2</span> <span class="toctext">شك</span></a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-8"><a href="#ملحقات"><span class="tocnumber">3</span> <span class="toctext">ملحقات</span></a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-9"><a href="#نظرية_الحافظة"><span class="tocnumber">3.1</span> <span class="toctext">نظرية الحافظة</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-10"><a href="#التسعير_المشتق"><span class="tocnumber">3.2</span> <span class="toctext">التسعير المشتق</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-11"><a href="#نظرية_تمويل_الشركات"><span class="tocnumber">3.3</span> <span class="toctext">نظرية تمويل الشركات</span></a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-12"><a href="#التحديات_والنقد"><span class="tocnumber">4</span> <span class="toctext">التحديات والنقد</span></a> <ul> <li class="toclevel-2 tocsection-13"><a href="#المغادرين_من_الحياة_الطبيعية"><span class="tocnumber">4.1</span> <span class="toctext">المغادرين من الحياة الطبيعية</span></a></li> <li class="toclevel-2 tocsection-14"><a href="#المغادرين_من_العقلانية"><span class="tocnumber">4.2</span> <span class="toctext">المغادرين من العقلانية</span></a></li> </ul> </li> <li class="toclevel-1 tocsection-15"><a href="#أنظر_أيضا"><span class="tocnumber">5</span> <span class="toctext">أنظر أيضا</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-16"><a href="#المراجع"><span class="tocnumber">6</span> <span class="toctext">المراجع</span></a></li> <li class="toclevel-1 tocsection-17"><a href="#قائمة_المراجع"><span class="tocnumber">7</span> <span class="toctext">قائمة المراجع</span></a></li> </ul> </div> <h2><span id=".D8.A7.D9.84.D8.A7.D9.82.D8.AA.D8.B5.D8.A7.D8.AF_.D8.A7.D9.84.D8.A3.D8.B3.D8.A7.D8.B3.D9.8A"></span><span class="mw-headline" id="الاقتصاد_الأساسي">الاقتصاد الأساسي</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&action=edit&section=1" title="عدل القسم: الاقتصاد الأساسي">عدل</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2> <table class="wikitable floatright" width="250"> <tbody><tr> <td>رموز تصنيف JEL </td></tr> <tr> <td>في رموز تصنيف مجلة الأدب الاقتصادي ، يعد الاقتصاد المالي واحدًا من التصنيفات الـ 19 الأولية ، في JEL: G. ويتبع <a href="/wiki/%D8%A7%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A" title="اقتصاد دولي">الاقتصاد</a> <a href="/wiki/%D9%86%D8%B8%D8%B1%D9%8A%D8%A9_%D9%86%D9%82%D8%AF%D9%8A%D8%A9_(%D8%A7%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF)" title="نظرية نقدية (اقتصاد)">النقدي</a> <a href="/wiki/%D8%A7%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A" title="اقتصاد دولي">والدولي</a> ويسبق الاقتصاد العام . للاطلاع على التصنيفات الفرعية التفصيلية ، انظر أكواد تصنيف JEL   الاقتصاد المالي . <p><i>يستخدم قاموس الجرافيك الجديد للاقتصاد</i> (2008 ، الطبعة الثانية) أيضًا رموز JEL لتصنيف إدخالاته في الإصدار 8 ، فهرس الموضوع ، بما في ذلك الاقتصاد المالي في صفحة.   863-64. فيما يلي روابط <a href="/wiki/%D9%85%D9%88%D8%AC%D8%B2_(%D9%85%D9%84%D8%AE%D8%B5)" title="موجز (ملخص)">لملخصات</a> إدخال The New Palgrave <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.dictionaryofeconomics.com/dictionary">Online</a> لكل فئة من فئات JEL الأساسية أو الثانوية (10 أو أقل لكل صفحة ، على غرار عمليات بحث <a href="/wiki/%D8%AC%D9%88%D8%AC%D9%84" title="جوجل">Google</a> ): </p> <dl><dd><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.dictionaryofeconomics.com/search_results?,q=&field=content&edition=all&topicid=G">JEL: G</a> - الاقتصاد المالي</dd> <dd><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.dictionaryofeconomics.com/search_results?q=&field=content&edition=all&topicid=G0">JEL: G0</a> - عام</dd> <dd><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.dictionaryofeconomics.com/search_results?q=&field=content&edition=all&topicid=G1">JEL: G1</a> - <a href="/wiki/%D8%B3%D9%88%D9%82_%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A%D8%A9" title="سوق مالية">الأسواق المالية العامة</a></dd> <dd><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.dictionaryofeconomics.com/search_results?q=&field=content&edition=all&topicid=G2">JEL: G2</a> - <a href="/wiki/%D9%85%D8%A4%D8%B3%D8%B3%D8%A9_%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A%D8%A9" title="مؤسسة مالية">المؤسسات</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%AF%D9%85%D8%A7%D8%AA_%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A%D8%A9" title="خدمات مالية">والخدمات</a> <a href="/wiki/%D9%85%D8%A4%D8%B3%D8%B3%D8%A9_%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A%D8%A9" title="مؤسسة مالية">المالية</a></dd> <dd><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.dictionaryofeconomics.com/search_results?q=&field=content&edition=all&topicid=G3">JEL: G3</a> - <a href="/wiki/%D8%AA%D9%85%D9%88%D9%8A%D9%84_%D8%A7%D9%84%D8%B4%D8%B1%D9%83%D8%A7%D8%AA" title="تمويل الشركات">تمويل الشركات</a> <a href="/wiki/%D8%AD%D9%88%D9%83%D9%85%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D8%B4%D8%B1%D9%83%D8%A7%D8%AA" title="حوكمة الشركات">والحوكمة</a></dd></dl> <p>ويمكن أيضا إدخالات الفئة الثالثة يمكن البحث. <sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5">[5]</a></sup> </p> </td></tr></tbody></table> <p>كما ذكر أعلاه ، يستكشف الانضباط بشكل أساسي كيف يمكن <a href="/w/index.php?title=Homo_economicus&action=edit&redlink=1" class="new" title="Homo economicus (الصفحة غير موجودة)">للمستثمرين العقلانيين</a> تطبيق <a href="/wiki/%D9%86%D8%B8%D8%B1%D9%8A%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D9%82%D8%B1%D8%A7%D8%B1" title="نظرية القرار">نظرية القرار</a> على مشكلة <a href="/wiki/%D8%A7%D8%B3%D8%AA%D8%AB%D9%85%D8%A7%D8%B1" title="استثمار">الاستثمار</a> . وبالتالي فإن الموضوع مبني على أسس <a href="/wiki/%D8%A7%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF_%D8%AC%D8%B2%D8%A6%D9%8A" title="اقتصاد جزئي">الاقتصاد الجزئي</a> ونظرية القرار ، ويستخلص العديد من النتائج الرئيسية لتطبيق <a href="/wiki/%D8%A7%D8%AA%D8%AE%D8%A7%D8%B0_%D8%A7%D9%84%D9%82%D8%B1%D8%A7%D8%B1" title="اتخاذ القرار">صنع القرار في</a> ظل عدم اليقين في <a href="/wiki/%D8%B3%D9%88%D9%82_%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A%D8%A9" title="سوق مالية">الأسواق المالية</a> . </p> <h3><span id=".D8.A7.D9.84.D9.82.D9.8A.D9.85.D8.A9_.D8.A7.D9.84.D8.AD.D8.A7.D9.84.D9.8A.D8.A9_.D9.88.D8.A7.D9.84.D8.AA.D9.88.D9.82.D8.B9_.D9.88.D8.A7.D9.84.D9.81.D8.A7.D8.A6.D8.AF.D8.A9"></span><span class="mw-headline" id="القيمة_الحالية_والتوقع_والفائدة">القيمة الحالية والتوقع والفائدة</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&action=edit&section=2" title="عدل القسم: القيمة الحالية والتوقع والفائدة">عدل</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h3> <p>تكمن وراء كل الاقتصاد المالي مفاهيم <a href="/wiki/%D9%82%D9%8A%D9%85%D8%A9_%D8%AD%D8%A7%D9%84%D9%8A%D8%A9" title="قيمة حالية">القيمة الحالية</a> <a href="/wiki/%D9%82%D9%8A%D9%85%D8%A9_%D9%85%D8%AA%D9%88%D9%82%D8%B9%D8%A9" title="قيمة متوقعة">والتوقع</a> . <sup id="cite_ref-Rubinstein_6-0" class="reference"><a href="#cite_note-Rubinstein-6">[6]</a></sup> </p><p>يسمح حساب القيمة الحالية لصانع القرار بتجميع <a href="/wiki/%D8%AA%D8%AF%D9%81%D9%82_%D9%86%D9%82%D8%AF%D9%8A" title="تدفق نقدي">التدفقات النقدية</a> (أو العوائد الأخرى) التي يتم إنتاجها بواسطة الأصل في المستقبل ، إلى قيمة واحدة في التاريخ المعني ، وبالتالي مقارنة فرصتين بسهولة أكبر ؛ وبالتالي هذا المفهوم هو نقطة الانطلاق لاتخاذ القرارات المالية. (تاريخها مبكرًا: يناقش <a href="/wiki/%D9%81%D8%A7%D8%A6%D8%AF%D8%A9_%D9%85%D8%B1%D9%83%D8%A8%D8%A9" title="فائدة مركبة">ريتشارد ويت</a> <a href="/wiki/%D9%81%D8%A7%D8%A6%D8%AF%D8%A9_%D9%85%D8%B1%D9%83%D8%A8%D8%A9" title="فائدة مركبة">الاهتمام المركب</a> بعمق بالفعل في عام 1613 ، في كتابه "أسئلة الحساب" ؛ <sup id="cite_ref-7" class="reference"><a href="#cite_note-7">[7]</a></sup> بتطويره <a href="/w/index.php?title=Johan_de_Witt&action=edit&redlink=1" class="new" title="Johan de Witt (الصفحة غير موجودة)">يوهان دي ويت</a> <a href="/wiki/%D8%A5%D8%AF%D9%85%D9%88%D9%86%D8%AF_%D9%87%D8%A7%D9%84%D9%8A" title="إدموند هالي">وإدموند هالي</a> . ) </p><p>يتمثل الامتداد الفوري في الجمع بين الاحتمالات والقيمة الحالية ، مما يؤدي إلى <a href="/wiki/%D9%82%D9%8A%D9%85%D8%A9_%D9%85%D8%AA%D9%88%D9%82%D8%B9%D8%A9" title="قيمة متوقعة">معيار القيمة المتوقعة</a> الذي يحدد قيمة الأصول كدالة لأحجام الدفعات المتوقعة واحتمالات حدوثها. (هذه الأفكار تنبع من <a href="/wiki/%D8%A8%D9%84%D9%8A%D8%B2_%D8%A8%D8%A7%D8%B3%D9%83%D8%A7%D9%84" title="بليز باسكال">بليز باسكال</a> <a href="/wiki/%D8%A8%D9%8A%D9%8A%D8%B1_%D8%AF%D9%8A_%D9%81%D9%8A%D8%B1%D9%85%D8%A7" title="بيير دي فيرما">وبيير دي فيرمات</a> . ) </p><p>ومع ذلك ، تفشل طريقة القرار هذه في النظر في <a href="/wiki/%D8%AA%D8%AC%D9%86%D8%A8_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%AE%D8%A7%D8%B7%D8%B1" title="تجنب المخاطر">كره المخاطرة</a> ("كما يعرف أي طالب مالي" <sup id="cite_ref-Rubinstein_6-1" class="reference"><a href="#cite_note-Rubinstein-6">[6]</a></sup> ). بمعنى آخر ، نظرًا لأن الأفراد يحصلون على <a href="/wiki/%D9%85%D9%86%D9%81%D8%B9%D8%A9" title="منفعة">فائدة</a> أكبر من دولار إضافي عندما يكونون فقراء وأقل فائدة عندما يكونون أغنياء نسبياً ، فإن الطريقة هي "ضبط" الوزن المعين لمختلف النتائج ("الحالات") في المقابل. (قد يكون بعض المستثمرين في الواقع <a href="/wiki/%D8%A7%D9%84%D8%A8%D8%AD%D8%AB_%D8%B9%D9%86_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%AE%D8%A7%D8%B7%D8%B1" title="البحث عن المخاطر">يبحثون عن المخاطرة</a> بدلاً من <a href="/wiki/%D8%AA%D8%AC%D9%86%D8%A8_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%AE%D8%A7%D8%B7%D8%B1" title="تجنب المخاطر">تجنب المخاطرة</a> ، ولكن نفس المنطق سينطبق). </p><p>قد يتم وصف الاختيار تحت عدم اليقين هنا بأنه تعظيم الفائدة المتوقعة . أكثر رسميا، مما أدى إلى فرضية فائدة المتوقع تنص على أنه، إذا راضون بعض البديهيات، و <a href="/wiki/%D9%86%D8%B8%D8%B1%D9%8A%D8%A9_%D8%B0%D8%A7%D8%AA%D9%8A%D8%A9_%D9%84%D9%84%D9%82%D9%8A%D9%85%D8%A9" title="نظرية ذاتية للقيمة">ذاتية</a> القيمة المرتبطة مقامرة من قبل فرد هو <i>أن <span style="padding-left:0.1em;">'</span></i> <a href="/wiki/%D9%82%D9%8A%D9%85%D8%A9_%D9%85%D8%AA%D9%88%D9%82%D8%B9%D8%A9" title="قيمة متوقعة">التوقع الإحصائي</a> لتقييم نتائج تلك المقامرة. </p><p>ينشأ الدافع وراء هذه الأفكار من التناقضات المختلفة التي لوحظت في إطار القيمة المتوقعة ، مثل <a href="/w/index.php?title=St._Petersburg_paradox&action=edit&redlink=1" class="new" title="St. Petersburg paradox (الصفحة غير موجودة)">مفارقة سان بطرسبرغ</a> ؛ انظر أيضا <a href="/w/index.php?title=Ellsberg_paradox&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ellsberg paradox (الصفحة غير موجودة)">مفارقة إلسبرغ</a> . (التطوير هنا يرجع أصلاً إلى <a href="/wiki/%D8%AF%D8%A7%D9%86%D9%8A%D9%8A%D9%84_%D8%A8%D8%B1%D9%86%D9%88%D9%84%D9%8A" title="دانييل برنولي">دانييل بيرنولي</a> ، وتم إضفاء طابع رسمي عليه لاحقًا بواسطة <a href="/wiki/%D8%AC%D9%88%D9%86_%D9%81%D9%88%D9%86_%D9%86%D9%8A%D9%88%D9%85%D8%A7%D9%86" title="جون فون نيومان">جون فون نيومان</a> <a href="/wiki/%D8%A3%D9%88%D8%B3%D9%83%D8%A7%D8%B1_%D9%85%D9%88%D8%B1%D8%BA%D9%8A%D9%86%D8%B3%D8%AA%D8%B1%D9%86" title="أوسكار مورغينسترن">وأوسكار مورغنسترن</a> ) </p> <h3><span id=".D8.A7.D9.84.D8.AA.D8.B3.D8.B9.D9.8A.D8.B1_.D9.88.D8.AE.D8.A7.D9.84.D9.8A.D8.A9_.D9.85.D9.86_.D8.A7.D9.84.D8.AA.D8.AD.D9.83.D9.8A.D9.85"></span><span class="mw-headline" id="التسعير_وخالية_من_التحكيم">التسعير وخالية من التحكيم</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&action=edit&section=3" title="عدل القسم: التسعير وخالية من التحكيم">عدل</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h3> <p>ثم تقترن مفاهيم <a href="/wiki/%D9%86%D9%85%D9%88%D8%B0%D8%AC_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%B1%D8%A7%D8%AC%D8%AD%D8%A9" title="نموذج المراجحة">التحكيم-</a> الحر ، "العقلاني" ، التسعير والتوازن مع ما سبق لاستخلاص الاقتصاد المالي "الكلاسيكي" <sup id="cite_ref-Rubinstein2_8-0" class="reference"><a href="#cite_note-Rubinstein2-8">[8]</a></sup> (أو "الكلاسيكي الجديد" <sup id="cite_ref-Derman_9-0" class="reference"><a href="#cite_note-Derman-9">[9]</a></sup> ). </p><p>التسعير العقلاني هو افتراض أن أسعار الأصول (وبالتالي نماذج تسعير الأصول) ستعكس <a href="/wiki/%D9%86%D9%85%D9%88%D8%B0%D8%AC_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%B1%D8%A7%D8%AC%D8%AD%D8%A9" title="نموذج المراجحة">السعر الخالي من المراجحة</a> للأصل ، حيث إن "أي انحراف عن هذا السعر" سيتم "تحريفه". هذا الافتراض مفيد في تسعير الأوراق المالية ذات الدخل الثابت ، وخاصة السندات ، وهو أساسي لتسعير الأدوات المشتقة. </p><p><a href="/wiki/%D8%AA%D9%88%D8%A7%D8%B2%D9%86_%D8%A7%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D9%8A" title="توازن اقتصادي">التوازن الاقتصادي</a> هو ، بوجه عام ، حالة <a href="/wiki/%D8%AA%D9%88%D8%A7%D8%B2%D9%86_%D8%A7%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D9%8A" title="توازن اقتصادي">تتوازن</a> فيها القوى الاقتصادية مثل العرض والطلب ، وفي غياب التأثيرات الخارجية ، لن تتغير قيم التوازن للمتغيرات الاقتصادية. يتعامل <a href="/wiki/%D9%86%D8%B8%D8%B1%D9%8A%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D8%AA%D9%88%D8%A7%D8%B2%D9%86_%D8%A7%D9%84%D8%B9%D8%A7%D9%85" title="نظرية التوازن العام">التوازن العام</a> مع سلوك العرض والطلب والأسعار في الاقتصاد ككل مع العديد من الأسواق المتفاعلة أو العديد منها ، من خلال السعي لإثبات وجود مجموعة من الأسعار ستؤدي إلى توازن شامل. (هذا على عكس التوازن الجزئي ، الذي يحلل فقط الأسواق الموحدة. ) </p><p>يرتبط المفهومان على النحو التالي: حيث لا تسمح أسعار السوق بمراجحة مربحة ، أي أنها تشتمل على سوق خالية من المراجحة ، ثم يقال إن هذه الأسعار تشكل "توازن موازنة". حدسيًا ، يمكن ملاحظة ذلك من خلال التفكير في أنه في حالة وجود فرصة تحكيم ، فمن المتوقع أن تتغير الأسعار ، وبالتالي ليست في حالة توازن. <sup id="cite_ref-Delbaen_Schachermayer_10-0" class="reference"><a href="#cite_note-Delbaen_Schachermayer-10">[10]</a></sup> وبالتالي فإن موازنة التحكيم شرط مسبق لتحقيق التوازن الاقتصادي العام. </p><p>على الفور، وغير الرسمية، وتوسيع هذه الفكرة و <a href="/w/index.php?title=Fundamental_theorem_of_asset_pricing&action=edit&redlink=1" class="new" title="Fundamental theorem of asset pricing (الصفحة غير موجودة)">النظرية الأساسية في تسعير الأصول</a> ، ويظهر أنه عندما تكون الأسواق كما -و صفه هي بالإضافة إلى ذلك (ضمنا وتبعا لذلك) <a href="/w/index.php?title=Complete_market&action=edit&redlink=1" class="new" title="Complete market (الصفحة غير موجودة)">كاملة</a> قد -one ثم اتخاذ القرارات المالية عن طريق بناء <a href="/w/index.php?title=Risk-neutral_measure&action=edit&redlink=1" class="new" title="Risk-neutral measure (الصفحة غير موجودة)">مقياس المخاطر محايد احتمال</a> المقابلة إلى السوق. </p><p>"اكتمال" هنا يعني أن هناك ثمنًا لكل أصل في كل حالة ممكنة من العالم ، وبالتالي يمكن بناء المجموعة الكاملة من الرهانات المحتملة على دول العالم المستقبلية بأصول موجودة (مع <a href="/wiki/%D8%A3%D8%B3%D9%88%D8%A7%D9%82_%D8%BA%D9%8A%D8%B1_%D8%A7%D8%AD%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%83%D9%8A%D8%A9" title="أسواق غير احتكاكية">عدم الاحتكاك</a> ) أساسا <a href="/wiki/%D9%86%D8%B8%D8%A7%D9%85_%D9%85%D8%B9%D8%A7%D8%AF%D9%84%D8%A7%D8%AA_%D8%AE%D8%B7%D9%8A%D8%A9" title="نظام معادلات خطية">حل في وقت واحد</a> <i>لن</i> الاحتمالات (خالية من المخاطر)، نظرا لارتفاع أسعار <i>ن.</i> سوف يشتق الاشتقاق الرسمي بحجج التحكيم. <sup id="cite_ref-Rubinstein_6-2" class="reference"><a href="#cite_note-Rubinstein-6">[6]</a></sup> <sup id="cite_ref-Delbaen_Schachermayer_10-1" class="reference"><a href="#cite_note-Delbaen_Schachermayer-10">[10]</a></sup> للاطلاع على مثال <a href="/w/index.php?title=Rational_pricing&action=edit&redlink=1" class="new" title="Rational pricing (الصفحة غير موجودة)">عملي ،</a> انظر <a href="/w/index.php?title=Rational_pricing&action=edit&redlink=1" class="new" title="Rational pricing (الصفحة غير موجودة)">التسعير الرشيد # التقييم المحايد للمخاطر</a> ، حيث يوجد في بيئة مبسطة ، يوجد حالتان محتملتان فقط - للأعلى والأسفل - وحيث <i>p</i> و (1− <i>p</i> ) هما الاحتمالان المقابلان (أي ضمني) وبدوره ، التوزيع المشتق ، أو <a href="/w/index.php?title=Probability_measure&action=edit&redlink=1" class="new" title="Probability measure (الصفحة غير موجودة)">"التدبير"</a> . </p><p>مع وجود هذا الإجراء في مكانه ، فإن عائد أي ورقة مالية (أو محفظة) المتوقعة ، أي ما هو مطلوب ، سوف يساوي بعد ذلك العائد الذي لا ينطوي على مخاطر ، بالإضافة إلى "تسوية للمخاطر" ، <sup id="cite_ref-Rubinstein_6-3" class="reference"><a href="#cite_note-Rubinstein-6">[6]</a></sup> أي <a href="/wiki/%D8%B9%D9%84%D8%A7%D9%88%D8%A9_%D9%85%D8%AE%D8%A7%D8%B7%D8%B1%D8%A9" title="علاوة مخاطرة">علاوة المخاطر</a> الخاصة بالأمان ، وتعويض المدى التي لا يمكن التنبؤ بتدفقاتها النقدية. جميع نماذج التسعير هي متغيرات أساسية لذلك ، مع إعطاء افتراضات و / أو شروط محددة. <sup id="cite_ref-Rubinstein_6-4" class="reference"><a href="#cite_note-Rubinstein-6">[6]</a></sup> <sup id="cite_ref-Cochrane_&_Culp_11-0" class="reference"><a href="#cite_note-Cochrane_&_Culp-11">[11]</a></sup> يتماشى هذا النهج مع ما <a href="/w/index.php?title=Financial_economics&action=edit&redlink=1" class="new" title="Financial economics (الصفحة غير موجودة)">ورد أعلاه</a> ، ولكن مع التوقع القائم على "السوق" (أي خالي من المراجحة ، ووفقًا للنظرية ، وبالتالي في حالة توازن) بدلاً من التفضيلات الفردية. </p><p>وبالتالي ، مع الاستمرار في المثال ، لتقييم قيمة ورقة مالية معينة ، يتم ضرب التدفقات النقدية المتوقعة في الدول الصاعدة والهابطة من خلال <i>p</i> و (1- <i>p</i> ) على التوالي ، ثم يتم <a href="/wiki/%D9%82%D9%8A%D9%85%D8%A9_%D8%AD%D8%A7%D9%84%D9%8A%D8%A9" title="قيمة حالية">خصمها</a> بسعر فائدة خالي من المخاطر بالإضافة إلى متميزة. بشكل عام ، قد يتم اشتقاق هذه العلاوة بواسطة <a href="/wiki/%D9%86%D9%85%D9%88%D8%B0%D8%AC_%D8%AA%D9%82%D9%8A%D9%8A%D9%85_%D8%A7%D9%84%D8%A3%D8%B5%D9%88%D9%84_%D8%A7%D9%84%D8%B1%D8%A3%D8%B3%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A%D8%A9" title="نموذج تقييم الأصول الرأسمالية">C A P M</a> (أو الامتدادات) كما سيظهر تحت <a href="/w/index.php?title=Financial_economics&action=edit&redlink=1" class="new" title="Financial economics (الصفحة غير موجودة)"># اليقين</a> . </p> <h3><span id=".D8.A3.D8.B3.D8.B9.D8.A7.D8.B1_.D8.A7.D9.84.D8.AF.D9.88.D9.84.D8.A9"></span><span class="mw-headline" id="أسعار_الدولة">أسعار الدولة</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&action=edit&section=4" title="عدل القسم: أسعار الدولة">عدل</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h3> <p>مع إقامة العلاقة أعلاه ، يمكن اشتقاق <a href="/w/index.php?title=Arrow%E2%80%93Debreu_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Arrow–Debreu model (الصفحة غير موجودة)">نموذج Arrow-D e b r e u</a> المتخصص. تشير هذه النتيجة المهمة إلى أنه في ظل ظروف اقتصادية معينة ، يجب أن يكون هناك مجموعة من الأسعار بحيث يكون إجمالي الإمدادات مساوياً للطلب الكلي على كل سلعة في الاقتصاد. غالبًا ما يتم إجراء التحليل هنا بافتراض وجود <i><a href="/w/index.php?title=Representative_agent&action=edit&redlink=1" class="new" title="Representative agent (الصفحة غير موجودة)">وكيل تمثيلي</a></i> . <sup id="cite_ref-Doyne_Geanakoplos_12-0" class="reference"><a href="#cite_note-Doyne_Geanakoplos-12">[12]</a></sup> </p><p>ينطبق نموذج Arrow-D e b r e u على الاقتصادات التي تتمتع <a href="/w/index.php?title=Complete_market&action=edit&redlink=1" class="new" title="Complete market (الصفحة غير موجودة)">بأسواق كاملة إلى</a> أقصى حد ، حيث يوجد سوق لكل فترة زمنية وأسعار آجلة لكل سلعة في جميع الفترات الزمنية. الامتداد المباشر ، إذن ، هو مفهوم ضمان أسعار الدولة (يُطلق عليه أيضًا اسم أمان السهم - D e b r e u) ، وهو عقد يوافق على دفع وحدة واحدة من n u m e r a i r e (عملة أو سلعة) في حالة حدوث حالة معينة ("up") "و" لأسفل "في المثال المبسط أعلاه) في وقت معين في المستقبل وتدفع قيمة الصفر في جميع الولايات الأخرى. ثمن هذا الأمن هو سعر الدولة لهذه الحالة بالذات في العالم. </p><p>في المثال أعلاه ، فإن أسعار الدولة تعادل القيم الحالية التي تبلغ $ p و $ (1 − p): أي ما الذي سيدفعه اليوم ، على التوالي ، للأوراق المالية ذات الحالة العليا والدنيا ؛ ناقل سعر الحالة هو ناقل أسعار الحالة لجميع الولايات. بالتطبيق على التقييم ، سيكون سعر المشتق اليوم هو ببساطة [السعر الأعلى × المردود المدفوع من الدولة + السعر المقلوب من الدولة × المردود المسقط]] ؛ انظر أدناه فيما يتعلق بعدم وجود أي علاوة المخاطرة هنا. بالنسبة <a href="/wiki/%D8%AA%D9%88%D8%B2%D9%8A%D8%B9_%D8%A7%D8%AD%D8%AA%D9%85%D8%A7%D9%84" title="توزيع احتمال">للمتغير العشوائي المستمر الذي</a> يشير إلى استمرارية الحالات المحتملة ، يتم العثور على القيمة من خلال <a href="/wiki/%D8%AA%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84" title="تكامل">التكامل</a> على كثافة أسعار الولاية ؛ انظر <a href="/w/index.php?title=Stochastic_discount_factor&action=edit&redlink=1" class="new" title="Stochastic discount factor (الصفحة غير موجودة)">عامل الخصم العشوائي</a> . يتم توسيع هذه المفاهيم لتشمل <a href="/w/index.php?title=Martingale_pricing&action=edit&redlink=1" class="new" title="Martingale pricing (الصفحة غير موجودة)">التسعير مارتينجال</a> <a href="/w/index.php?title=Risk-neutral_measure&action=edit&redlink=1" class="new" title="Risk-neutral measure (الصفحة غير موجودة)">والتدبير محايد للمخاطر</a> ذات الصلة. </p><p>تجد أسعار الولاية تطبيقًا فوريًا كأداة مفاهيمية (" تحليل المطالبات الطارئة ") ؛ <sup id="cite_ref-Rubinstein_6-5" class="reference"><a href="#cite_note-Rubinstein-6">[6]</a></sup> ولكن يمكن تطبيقها أيضًا على مشكلات التقييم. <sup id="cite_ref-corp_fin_state_prices_13-0" class="reference"><a href="#cite_note-corp_fin_state_prices-13">[13]</a></sup> بالنظر إلى آلية التسعير الموصوفة ، يمكن للمرء تحليل القيمة المشتقة - في الواقع لكل "ورقة مالية" <sup id="cite_ref-Miller_2-1" class="reference"><a href="#cite_note-Miller-2">[2]</a></sup> - كتركيبة خطية من أسعارها الحكومية ؛ أي حل الظهر للأسعار الدولة المقابلة لأسعار مشتقة لوحظ. <sup id="cite_ref-Chance2_14-0" class="reference"><a href="#cite_note-Chance2-14">[14]</a></sup> <sup id="cite_ref-corp_fin_state_prices_13-1" class="reference"><a href="#cite_note-corp_fin_state_prices-13">[13]</a></sup> يمكن بعد ذلك استخدام أسعار الحالة المستردة لتقييم الأدوات الأخرى ذات التعرض الأقل من اللازم ، أو لاتخاذ القرارات الأخرى المتعلقة بأقل من اللازم. (عمل B r e e d e n و L i t z e n b e r g e r في عام 1978 <sup id="cite_ref-15" class="reference"><a href="#cite_note-15">[15]</a></sup> أنشأ استخدام أسعار الدولة في الاقتصاد المالي. ) </p> <h2><span id=".D8.A7.D9.84.D9.86.D9.85.D8.A7.D8.B0.D8.AC_.D8.A7.D9.84.D9.86.D8.A7.D8.AA.D8.AC.D8.A9"></span><span class="mw-headline" id="النماذج_الناتجة">النماذج الناتجة</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&action=edit&section=5" title="عدل القسم: النماذج الناتجة">عدل</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2> <div class="thumb tleft"><div class="thumbinner" style="width:222px;"><a href="/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:MM2.png" class="image"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/74/MM2.png/220px-MM2.png" decoding="async" width="220" height="167" class="thumbimage" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/74/MM2.png/330px-MM2.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/74/MM2.png 2x" data-file-width="336" data-file-height="255" /></a> <div class="thumbcaption"><div class="magnify"><a href="/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:MM2.png" class="internal" title="كبّر"></a></div>Modigliani-Miller Proposition II بدين محفوف بالمخاطر. مع زيادة <a href="/wiki/%D8%B1%D9%81%D8%B9_%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A" title="رفع مالي">الرافعة المالية</a> ( D / E ) ، يظل <a href="/wiki/%D9%88%D8%B3%D9%8A%D8%B7_%D9%88%D8%B2%D9%86%D9%8A_%D9%84%D8%AA%D9%83%D9%84%D9%81%D8%A9_%D8%B1%D8%A3%D8%B3_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84" title="وسيط وزني لتكلفة رأس المال">W A C C</a> (k 0) ثابتًا.</div></div></div> <div class="thumb tleft"><div class="thumbinner" style="width:222px;"><a href="/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:Markowitz_frontier.jpg" class="image"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e1/Markowitz_frontier.jpg/220px-Markowitz_frontier.jpg" decoding="async" width="220" height="121" class="thumbimage" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e1/Markowitz_frontier.jpg/330px-Markowitz_frontier.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e1/Markowitz_frontier.jpg 2x" data-file-width="434" data-file-height="239" /></a> <div class="thumbcaption"><div class="magnify"><a href="/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:Markowitz_frontier.jpg" class="internal" title="كبّر"></a></div>كفاءة الحواف. يشار أحيانًا إلى "القطع الزائد" باسم "M a r k o w i t z Bullet" ، وجزءه المنحدر الصاعد هو الحدود الفعالة إذا لم تتوفر أصول خالية من المخاطر. مع الأصول الخالية من المخاطر ، فإن الخط الثابت هو الحدود الفعالة. يعرض الرسم CAL ، <a href="/w/index.php?title=Capital_allocation_line&action=edit&redlink=1" class="new" title="Capital allocation line (الصفحة غير موجودة)">خط تخصيص رأس المال</a> ، الذي يتكون عندما يكون الأصل الخطير أصل واحد وليس السوق ، وفي هذه الحالة يكون الخط هو C M L.</div></div></div> <div class="thumb tleft"><div class="thumbinner" style="width:222px;"><a href="/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:CML-plot.png" class="image"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/93/CML-plot.png/220px-CML-plot.png" decoding="async" width="220" height="180" class="thumbimage" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/93/CML-plot.png/330px-CML-plot.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/93/CML-plot.png/440px-CML-plot.png 2x" data-file-width="537" data-file-height="439" /></a> <div class="thumbcaption"><div class="magnify"><a href="/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:CML-plot.png" class="internal" title="كبّر"></a></div>خط سوق رأس المال هو خط الظل المرسوم من نقطة الأصل الخالي من المخاطر إلى <a href="/w/index.php?title=Feasible_region&action=edit&redlink=1" class="new" title="Feasible region (الصفحة غير موجودة)">المنطقة الممكنة</a> للأصول الخطرة. تمثل نقطة الظل M <a href="/w/index.php?title=Market_portfolio&action=edit&redlink=1" class="new" title="Market portfolio (الصفحة غير موجودة)">حافظة السوق</a> . ينتج C M L عن مزيج من محفظة السوق والأصول الخالية من المخاطر (النقطة L). تؤدي إضافة الرافعة المالية (النقطة R) إلى إنشاء حافظات ذات رافعة موجودة أيضًا في C M L.</div></div></div> <table class="wikitable floatright" width="250"> <tbody><tr> <td><small style="font-size:90%;">The capital asset pricing model (CAPM) </small><dl><small style="font-size:90%;"></small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>β<!-- β --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2caeda09206938d724047133529f3f56984f7b1d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:31.677ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"/></span></small></dd></dl> <dl><dd><strong class='error texerror'>خطأ رياضيات (خطأ في الصياغة): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> {{صغير\|The capital asset pricing model (CAPM) :<math>E(R_i) = R_f + \beta_{i}(E(R_m) - R_f)}</strong> }} </mi><mo stretchy="false"> <small style="font-size:90%;">The capital asset pricing model (CAPM)</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>β<!-- β --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2caeda09206938d724047133529f3f56984f7b1d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:31.677ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"/></span></small> </mo><msub><mi> <small style="font-size:90%;">The capital asset pricing model (CAPM)</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>β<!-- β --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2caeda09206938d724047133529f3f56984f7b1d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:31.677ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"/></span></small> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> <small style="font-size:90%;">The capital asset pricing model (CAPM)</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>β<!-- β --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2caeda09206938d724047133529f3f56984f7b1d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:31.677ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"/></span></small> </mi></mrow></msub><mo stretchy="false"> <small style="font-size:90%;">The capital asset pricing model (CAPM)</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>β<!-- β --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2caeda09206938d724047133529f3f56984f7b1d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:31.677ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"/></span></small> </mo><mo> <small style="font-size:90%;">The capital asset pricing model (CAPM)</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>β<!-- β --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2caeda09206938d724047133529f3f56984f7b1d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:31.677ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"/></span></small> </mo><msub><mi> <small style="font-size:90%;">The capital asset pricing model (CAPM)</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>β<!-- β --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2caeda09206938d724047133529f3f56984f7b1d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:31.677ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"/></span></small> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> <small style="font-size:90%;">The capital asset pricing model (CAPM)</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>β<!-- β --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2caeda09206938d724047133529f3f56984f7b1d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:31.677ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"/></span></small> </mi></mrow></msub><mo> <small style="font-size:90%;">The capital asset pricing model (CAPM)</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>β<!-- β --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2caeda09206938d724047133529f3f56984f7b1d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:31.677ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"/></span></small> </mo><msub><mi> <small style="font-size:90%;">The capital asset pricing model (CAPM)</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>β<!-- β --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2caeda09206938d724047133529f3f56984f7b1d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:31.677ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"/></span></small> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> <small style="font-size:90%;">The capital asset pricing model (CAPM)</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>β<!-- β --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2caeda09206938d724047133529f3f56984f7b1d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:31.677ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"/></span></small> </mi></mrow></msub><mo stretchy="false"> <small style="font-size:90%;">The capital asset pricing model (CAPM)</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>β<!-- β --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2caeda09206938d724047133529f3f56984f7b1d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:31.677ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"/></span></small> </mo><mi> <small style="font-size:90%;">The capital asset pricing model (CAPM)</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>β<!-- β --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2caeda09206938d724047133529f3f56984f7b1d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:31.677ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"/></span></small> </mi><mo stretchy="false"> <small style="font-size:90%;">The capital asset pricing model (CAPM)</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>β<!-- β --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2caeda09206938d724047133529f3f56984f7b1d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:31.677ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"/></span></small> </mo><msub><mi> <small style="font-size:90%;">The capital asset pricing model (CAPM)</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>β<!-- β --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2caeda09206938d724047133529f3f56984f7b1d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:31.677ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"/></span></small> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> <small style="font-size:90%;">The capital asset pricing model (CAPM)</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>β<!-- β --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2caeda09206938d724047133529f3f56984f7b1d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:31.677ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"/></span></small> </mi></mrow></msub><mo stretchy="false"> <small style="font-size:90%;">The capital asset pricing model (CAPM)</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>β<!-- β --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2caeda09206938d724047133529f3f56984f7b1d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:31.677ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"/></span></small> </mo><mo> <small style="font-size:90%;">The capital asset pricing model (CAPM)</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>β<!-- β --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2caeda09206938d724047133529f3f56984f7b1d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:31.677ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"/></span></small> </mo><msub><mi> <small style="font-size:90%;">The capital asset pricing model (CAPM)</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>β<!-- β --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2caeda09206938d724047133529f3f56984f7b1d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:31.677ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"/></span></small> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi> <small style="font-size:90%;">The capital asset pricing model (CAPM)</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>β<!-- β --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2caeda09206938d724047133529f3f56984f7b1d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:31.677ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"/></span></small> </mi></mrow></msub><mo stretchy="false"> <small style="font-size:90%;">The capital asset pricing model (CAPM)</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>β<!-- β --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2caeda09206938d724047133529f3f56984f7b1d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:31.677ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"/></span></small> </mo></mstyle></mrow> </math><small style="font-size:90%;">The capital asset pricing model (CAPM)</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>β<!-- β --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2caeda09206938d724047133529f3f56984f7b1d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:31.677ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"/></span></small> <small style="font-size:90%;">The capital asset pricing model (CAPM)</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>β<!-- β --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2caeda09206938d724047133529f3f56984f7b1d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:31.677ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"/></span></small> </img> <small style="font-size:90%;">The capital asset pricing model (CAPM)</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>β<!-- β --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>E</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>m</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>−<!-- − --></mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2caeda09206938d724047133529f3f56984f7b1d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:31.677ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle E(R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(E(R_{m})-R_{f})}"/></span></small></dd></dl> </td></tr></tbody></table> <div class="thumb tleft"><div class="thumbinner" style="width:182px;"><a href="/wiki/ويكيبيديا:رفع?wpDestFile=SML-chart.png" class="new" title="ملف:SML-chart.png">ملف:SML-chart.png</a> <div class="thumbcaption"><a href="/w/index.php?title=Security_market_line&action=edit&redlink=1" class="new" title="Security market line (الصفحة غير موجودة)">خط سوق الأوراق المالية</a> : يمثل عرض C A P M معدل العائد المتوقع للأوراق المالية الفردية كدالة لمخاطرها المنهجية وغير القابلة للتنوع.</div></div></div> <div class="thumb tleft"><div class="thumbinner" style="width:222px;"><a href="/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:Stockpricesimulation.jpg" class="image"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Stockpricesimulation.jpg/220px-Stockpricesimulation.jpg" decoding="async" width="220" height="167" class="thumbimage" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Stockpricesimulation.jpg/330px-Stockpricesimulation.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Stockpricesimulation.jpg/440px-Stockpricesimulation.jpg 2x" data-file-width="1593" data-file-height="1206" /></a> <div class="thumbcaption"><div class="magnify"><a href="/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:Stockpricesimulation.jpg" class="internal" title="كبّر"></a></div>حركات البني البراقة الهندسية مع معلمات من بيانات السوق.</div></div></div> <table class="wikitable floatright" width="250"> <tbody><tr> <td><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_equation&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes equation (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes equation</a> </small><dl><small style="font-size:90%;"></small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>S</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85601f6192ee85748c2deef28240275510d634e" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:38.029ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"/></span></small></dd></dl> <dl><dd><strong class='error texerror'>خطأ رياضيات (خطأ في الصياغة): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal"> {{صغير\|[[Black–Scholes equation\|The Black–Scholes equation]] :<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0}</strong> }} </mi><mi> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_equation&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes equation (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes equation</a></small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>S</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85601f6192ee85748c2deef28240275510d634e" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:38.029ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"/></span></small> </mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_equation&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes equation (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes equation</a></small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>S</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85601f6192ee85748c2deef28240275510d634e" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:38.029ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"/></span></small> </mi><mi> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_equation&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes equation (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes equation</a></small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>S</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85601f6192ee85748c2deef28240275510d634e" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:38.029ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"/></span></small> </mi></mrow></mfrac></mrow><mo> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_equation&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes equation (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes equation</a></small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>S</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85601f6192ee85748c2deef28240275510d634e" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:38.029ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"/></span></small> </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mn> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_equation&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes equation (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes equation</a></small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>S</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85601f6192ee85748c2deef28240275510d634e" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:38.029ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"/></span></small> </mn><mn> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_equation&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes equation (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes equation</a></small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>S</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85601f6192ee85748c2deef28240275510d634e" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:38.029ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"/></span></small> </mn></mfrac></mrow><msup><mi> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_equation&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes equation (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes equation</a></small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>S</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85601f6192ee85748c2deef28240275510d634e" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:38.029ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"/></span></small> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_equation&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes equation (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes equation</a></small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>S</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85601f6192ee85748c2deef28240275510d634e" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:38.029ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"/></span></small> </mn></mrow></msup><msup><mi> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_equation&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes equation (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes equation</a></small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>S</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85601f6192ee85748c2deef28240275510d634e" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:38.029ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"/></span></small> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_equation&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes equation (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes equation</a></small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>S</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85601f6192ee85748c2deef28240275510d634e" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:38.029ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"/></span></small> </mn></mrow></msup><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mrow><msup><mi mathvariant="normal"> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_equation&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes equation (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes equation</a></small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>S</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85601f6192ee85748c2deef28240275510d634e" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:38.029ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"/></span></small> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_equation&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes equation (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes equation</a></small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>S</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85601f6192ee85748c2deef28240275510d634e" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:38.029ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"/></span></small> </mn></mrow></msup><mi> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_equation&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes equation (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes equation</a></small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>S</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85601f6192ee85748c2deef28240275510d634e" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:38.029ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"/></span></small> </mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_equation&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes equation (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes equation</a></small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>S</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85601f6192ee85748c2deef28240275510d634e" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:38.029ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"/></span></small> </mi><msup><mi> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_equation&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes equation (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes equation</a></small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>S</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85601f6192ee85748c2deef28240275510d634e" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:38.029ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"/></span></small> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_equation&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes equation (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes equation</a></small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>S</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85601f6192ee85748c2deef28240275510d634e" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:38.029ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"/></span></small> </mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_equation&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes equation (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes equation</a></small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>S</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85601f6192ee85748c2deef28240275510d634e" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:38.029ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"/></span></small> </mo><mi> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_equation&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes equation (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes equation</a></small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>S</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85601f6192ee85748c2deef28240275510d634e" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:38.029ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"/></span></small> </mi><mi> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_equation&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes equation (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes equation</a></small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>S</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85601f6192ee85748c2deef28240275510d634e" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:38.029ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"/></span></small> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal"> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_equation&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes equation (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes equation</a></small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>S</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85601f6192ee85748c2deef28240275510d634e" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:38.029ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"/></span></small> </mi><mi> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_equation&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes equation (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes equation</a></small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>S</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85601f6192ee85748c2deef28240275510d634e" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:38.029ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"/></span></small> </mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_equation&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes equation (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes equation</a></small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>S</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85601f6192ee85748c2deef28240275510d634e" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:38.029ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"/></span></small> </mi><mi> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_equation&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes equation (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes equation</a></small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>S</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85601f6192ee85748c2deef28240275510d634e" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:38.029ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"/></span></small> </mi></mrow></mfrac></mrow><mo> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_equation&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes equation (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes equation</a></small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>S</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85601f6192ee85748c2deef28240275510d634e" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:38.029ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"/></span></small> </mo><mi> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_equation&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes equation (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes equation</a></small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>S</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85601f6192ee85748c2deef28240275510d634e" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:38.029ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"/></span></small> </mi><mi> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_equation&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes equation (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes equation</a></small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>S</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85601f6192ee85748c2deef28240275510d634e" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:38.029ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"/></span></small> </mi><mo> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_equation&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes equation (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes equation</a></small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>S</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85601f6192ee85748c2deef28240275510d634e" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:38.029ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"/></span></small> </mo><mn> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_equation&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes equation (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes equation</a></small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>S</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85601f6192ee85748c2deef28240275510d634e" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:38.029ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"/></span></small> </mn></mstyle></mrow> </math><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_equation&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes equation (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes equation</a></small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>S</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85601f6192ee85748c2deef28240275510d634e" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:38.029ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"/></span></small> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_equation&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes equation (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes equation</a></small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>S</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85601f6192ee85748c2deef28240275510d634e" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:38.029ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"/></span></small> </img> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_equation&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes equation (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes equation</a></small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mi>r</mi> <mi>S</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>V</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>S</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85601f6192ee85748c2deef28240275510d634e" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:38.029ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}"/></span></small></dd></dl> </td></tr></tbody></table> <table class="wikitable floatright" width="250"> <tbody><tr> <td><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </p> <dl><dd><strong class='error texerror'>خطأ رياضيات (خطأ في الصياغة): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mtable displaystyle="true" rowspacing="3pt"><mtr><mtd><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}}</strong> </dd></dl> <p><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo stretchy="false"> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mo><mi> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mi><mo> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mo><mi> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mi><mo stretchy="false"> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mo></mtd><mtd><mo> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mo><mi> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mi><mo stretchy="false"> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mo><msub><mi> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mn></mrow></msub><mo stretchy="false"> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mo><mi> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mi><mo> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mo><mi> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mi><mo stretchy="false"> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mo><msub><mi> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mn></mrow></msub><mo stretchy="false"> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mo><mi> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mi><msup><mi> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mo> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mo><mi> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mi><mo stretchy="false"> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mo><mi> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mi><mo> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mo><mi> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mi><mo stretchy="false"> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mo></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mn></mrow></msub></mtd><mtd><mo> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mn> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mn><mrow><mi> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><msqrt><mi> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mi><mo> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mo><mi> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mi></msqrt></mrow></mrow></mfrac></mrow><mrow><mo> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mo><mrow><mi> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mi><mo> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mo><mrow><mo> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mi> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mi><mi> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mi></mfrac></mrow><mo> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mo></mrow><mo> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mo><mrow><mo> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mo><mrow><mi> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mi><mo> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><msup><mi> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mn></mrow></msup><mn> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mn></mfrac></mrow></mrow><mo> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mo></mrow><mo stretchy="false"> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mo><mi> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mi><mo> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mo><mi> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mi><mo stretchy="false"> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mo></mrow><mo> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mi> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mn></mrow></msub></mtd><mtd><mo> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mo><msub><mi> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mn></mrow></msub><mo> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mo><mi> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><msqrt><mi> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mi><mo> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mo><mi> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mi></msqrt></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow> </math><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </img> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </p><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> <strong class='error texerror'>خطأ رياضيات (خطأ في الصياغة): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}}</strong> <a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo stretchy="false"> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mo><msub><mi> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mn></mrow></msub><mo stretchy="false"> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mo></mstyle></mrow> </math><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </img> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> <strong class='error texerror'>خطأ رياضيات (خطأ في الصياغة): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> {{صغير\|[[Black–Scholes model#Black–Scholes formula\|The Black–Scholes formula]] for the value of a call option: :<math>\begin{align} C(S, t) &= N(d_1)S - N(d_2) Ke^{-r(T - t)} \\ d_1 &= \frac{1}{\sigma\sqrt{T - t}}\left[\ln\left(\frac{S}{K}\right) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)(T - t)\right] \\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T - t} \\ \end{align}}</strong> <a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.}} </mi><mo stretchy="false"> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mo><msub><mi> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mn></mrow></msub><mo stretchy="false"> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mo><mi> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </mi></mstyle></mrow> </math><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </img> <small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">The Black–Scholes formula</a> for the value of a call option: </small></p><small style="font-size:90%;"> <dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true"> <mtr> <mtd> <mi>C</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>S</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>K</mi> <msup> <mi>e</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mi>ln</mi> <mo>⁡<!-- ⁡ --></mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mi>S</mi> <mi>K</mi> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>r</mi> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <msup> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <msqrt> <mi>T</mi> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>t</mi> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ed0aef39b1aee3a602de0faf6224848c506363" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:52.205ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}"/></span></dd></dl> </small><p><small style="font-size:90%;"><a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Interpretation</a>: <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{2})}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{2})}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cce403c6e8cca0981f18f218be2e7c9a63d301" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.136ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{2})}"/></span> is the probability that the call will be exercised; <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N(d_{1})S}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>N</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <msub> <mi>d</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo stretchy="false">)</mo> <mi>S</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N(d_{1})S}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfe845e15c502c19ce3d02e871b34274a78f5d1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.635ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N(d_{1})S}"/></span> is the present value of the expected asset price at expiration, <a href="/wiki/Conditional_probability" class="mw-redirect" title="Conditional probability">given that</a> the asset price at expiration is above the exercise price.</small> </p> </td></tr></tbody></table> <p>بتطبيق المفاهيم الاقتصادية أعلاه ، قد نستنتج بعد ذلك مختلف النماذج والمبادئ <a href="/wiki/%D9%86%D9%85%D9%88%D8%B0%D8%AC_%D8%A7%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D9%8A" title="نموذج اقتصادي">الاقتصادية</a> والمالية. كما ذكر أعلاه ، فإن مجالي التركيز المعتادين هما تسعير الأصول وتمويل الشركات ، الأول هو منظور مقدمي رأس المال ، والثاني لمستخدمي رأس المال. هنا ، ولجميع نماذج الاقتصاد المالي (تقريبًا) ، تكون الأسئلة التي يتم تناولها مؤطرة عادةً من حيث "الوقت ، وعدم اليقين ، والخيارات ، والمعلومات" ، <sup id="cite_ref-stanford1_1-1" class="reference"><a href="#cite_note-stanford1-1">[1]</a></sup> <sup id="cite_ref-Doyne_Geanakoplos_12-1" class="reference"><a href="#cite_note-Doyne_Geanakoplos-12">[12]</a></sup> كما سنرى أدناه. </p><p>الوقت: يتم تداول المال الآن مقابل المال في المستقبل. عدم اليقين (أو المخاطرة): مبلغ المال الذي سيتم تحويله في المستقبل غير مؤكد. </p><p>الخيارات : يمكن لطرف واحد في المعاملة اتخاذ قرار في وقت لاحق يؤثر على التحويلات المالية اللاحقة. <a href="/wiki/%D9%85%D8%B9%D9%84%D9%88%D9%85%D8%A7%D8%AA_%D9%83%D8%A7%D9%85%D9%84%D8%A9" title="معلومات كاملة">المعلومات</a> : يمكن للمعرفة بالمستقبل أن تقلل أو ربما تقضي على عدم اليقين المرتبط بالقيمة النقدية المستقبلية (FMV). </p><p>تطبيق هذا الإطار ، مع المفاهيم المذكورة أعلاه ، يؤدي إلى النماذج المطلوبة. يبدأ هذا الاشتقاق بافتراض "عدم اليقين" ثم يتم توسيعه ليشمل الاعتبارات الأخرى. (يشير هذا القسمة في بعض الأحيان إلى " <a href="/wiki/%D8%AD%D8%AA%D9%85%D9%8A%D8%A9" title="حتمية">الحتمية</a> " و "العشوائية" ، <sup id="cite_ref-Luenberger_16-0" class="reference"><a href="#cite_note-Luenberger-16">[16]</a></sup> أو " <a href="/wiki/%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D9%81%D9%8A%D8%A9" title="تصادفية">العشوائية</a> ". ) </p> <h3><span id=".D8.A7.D9.84.D8.B3.D9.8A.D8.A7.D9.82.D8.A7.D8.AA"></span><span class="mw-headline" id="السياقات">السياقات</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&action=edit&section=6" title="عدل القسم: السياقات">عدل</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h3> <p>نقطة الانطلاق هنا هي "الاستثمار تحت اليقين". تؤكد <a href="/wiki/%D9%85%D8%A8%D8%B1%D9%87%D9%86%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D8%A7%D9%86%D9%81%D8%B5%D8%A7%D9%84_%D9%84%D9%81%D9%8A%D8%B4%D8%B1" title="مبرهنة الانفصال لفيشر">نظرية فصل فيشر</a> أن هدف الشركة هو زيادة قيمتها الحالية إلى الحد الأقصى ، بغض النظر عن تفضيلات مساهميها. ذات الصلة هي نظرية Modigliani-Miller ، التي توضح أنه في ظل ظروف معينة ، لا تتأثر قيمة الشركة بكيفية تمويل هذه الشركة ، ولا تعتمد على سياسة توزيع الأرباح ولا على قرار جمع رأس المال عن طريق إصدار الأسهم أو بيع الديون. يستمر الدليل هنا باستخدام وسيطات التحكيم ، ويعمل كمعيار لتقييم آثار العوامل خارج النموذج التي تؤثر على القيمة. </p><p>يتم توفير آلية تحديد القيمة (المؤسسية) من خلال <i><a href="/wiki/%D8%AC%D9%88%D9%86_%D8%A8%D9%88%D8%B1_%D9%88%D9%84%D9%8A%D8%A7%D9%85%D8%B2" title="جون بور وليامز">نظرية قيمة الاستثمار</a></i> (John Burr Williams) ، التي تقترح أن يتم احتساب قيمة الأصل باستخدام "التقييم وفقًا لقيم القيمة الحالية". وبالتالي ، بالنسبة للسهم العادي ، فإن القيمة الحقيقية طويلة الأجل هي القيمة الحالية لصافي التدفقات النقدية المستقبلية ، في شكل <a href="/wiki/%D8%AD%D8%B5%D8%A9_%D8%A3%D8%B1%D8%A8%D8%A7%D8%AD" title="حصة أرباح">أرباح</a> . ما يتبقى هو تحديد سعر الخصم المناسب. تظهر التطورات اللاحقة "عقلانيًا" ، بمعنى رسمي ، أن معدل الخصم المناسب هنا (ينبغي) يعتمد على مخاطرة الأصل بالنسبة للسوق ككل ، بدلاً من تفضيلات مالكيها ؛ انظر أدناه. <a href="/wiki/%D8%B5%D8%A7%D9%81%D9%8A_%D8%A7%D9%84%D9%82%D9%8A%D9%85%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D8%AD%D8%A7%D9%84%D9%8A%D8%A9" title="صافي القيمة الحالية">القيمة</a> الحالية الصافية (NPV) هي الامتداد المباشر لهذه الأفكار التي يتم تطبيقها عادة على اتخاذ القرارات بشأن تمويل الشركات (مقدمة من <a href="/w/index.php?title=Joel_Dean_(economist)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Joel Dean (economist) (الصفحة غير موجودة)">جويل دين</a> في عام 1951). للحصول على نتائج أخرى ، بالإضافة إلى النماذج المحددة التي تم تطويرها هنا ، راجع قائمة مواضيع "تقييم الأسهم" ضمن <a href="/w/index.php?title=Outline_of_finance&action=edit&redlink=1" class="new" title="Outline of finance (الصفحة غير موجودة)">مخطط التمويل # تقييم التدفقات النقدية المخصومة</a> . </p><p><a href="/w/index.php?title=Bond_valuation&action=edit&redlink=1" class="new" title="Bond valuation (الصفحة غير موجودة)">تقييم السندات</a> ، في أن التدفقات النقدية (القسائم وعودة رأس المال) هي الحتمية ، قد تسير بنفس الطريقة. <sup id="cite_ref-Luenberger_16-1" class="reference"><a href="#cite_note-Luenberger-16">[16]</a></sup> إن الامتداد الفوري ، <a href="/w/index.php?title=Bond_valuation&action=edit&redlink=1" class="new" title="Bond valuation (الصفحة غير موجودة)">وهو سعر السندات الخالي من التحكيم</a> ، يقوم بتخفيض كل تدفق نقدي بالسعر المشتق من السوق - أي بسعر الصفر المقابل لكل كوبون - بدلاً من المعدل الإجمالي. لاحظ أنه في العديد من المعالجات ، يسبق تقييم السندات تقييم <a href="/wiki/%D8%AA%D9%82%D9%8A%D9%8A%D9%85_%D8%A7%D9%84%D8%A3%D8%B3%D9%87%D9%85_%D8%A7%D9%84%D8%B9%D8%A7%D8%AF%D9%8A%D8%A9" title="تقييم الأسهم العادية">حقوق الملكية</a> ، والتي بموجبها "التدفقات النقدية (أرباح الأسهم)" غير معروفة <i>في حد ذاتها</i> . يسمح Williams وما بعده بالتنبؤ به - بناءً على النسب التاريخية أو السياسة المنشورة - ثم يتم التعامل مع التدفقات النقدية باعتبارها حتمية بشكل أساسي ؛ انظر أدناه تحت <a href="/w/index.php?title=Financial_economics&action=edit&redlink=1" class="new" title="Financial economics (الصفحة غير موجودة)">نظرية تمويل الشركات #</a> . </p><p>يتم استخدام جميع نتائج "اليقين" هذه بشكل شائع في إطار تمويل الشركات. عدم اليقين هو محور "نماذج تسعير الأصول" ، على النحو التالي. </p> <h3><span id=".D8.B4.D9.83"></span><span class="mw-headline" id="شك">شك</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&action=edit&section=7" title="عدل القسم: شك">عدل</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h3> <p>بالنسبة إلى <a href="/wiki/%D9%86%D8%B8%D8%B1%D9%8A%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D9%82%D8%B1%D8%A7%D8%B1" title="نظرية القرار">"الاختيار في حالة عدم اليقين" ،</a> فإن الافتراضين التوأمين للعقلانية وكفاءة السوق ، كما تم تعريفه بشكل أوثق ، يؤديان إلى <a href="/wiki/%D9%86%D8%B8%D8%B1%D9%8A%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%AD%D9%81%D8%B8%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D8%AD%D8%AF%D9%8A%D8%AB%D8%A9" title="نظرية المحفظة الحديثة">نظرية المحفظة الحديثة</a> (M P T) مع <a href="/wiki/%D9%86%D9%85%D9%88%D8%B0%D8%AC_%D8%AA%D9%82%D9%8A%D9%8A%D9%85_%D8%A7%D9%84%D8%A3%D8%B5%D9%88%D9%84_%D8%A7%D9%84%D8%B1%D8%A3%D8%B3%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A%D8%A9" title="نموذج تقييم الأصول الرأسمالية">نموذج تسعير الأصول الرأسمالية</a> (CAPM) - نتيجة <i>تستند إلى التوازن</i> - وإلى <a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Scholes_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Scholes model (الصفحة غير موجودة)">Black-Scholes نظرية -Merton</a> (BSM ؛ غالبًا ، ببساطة Black-S c h o l e s) <a href="/w/index.php?title=Valuation_of_options&action=edit&redlink=1" class="new" title="Valuation of options (الصفحة غير موجودة)">لتسعير الخيار</a> - نتيجة <i>خالية من المراجحة</i> . لاحظ أنه يتم احتساب أسعار المشتقات الأخيرة بحيث تكون خالية من المراجحة فيما يتعلق بأسعار الأوراق المالية الأكثر تحديدًا وتوازنًا ؛ رؤية <a href="/w/index.php?title=Asset_pricing&action=edit&redlink=1" class="new" title="Asset pricing (الصفحة غير موجودة)">تسعير الأصول</a> . </p><p>باختصار ، وبشكل حدسي - ومتسق مع <a href="/w/index.php?title=Financial_economics&action=edit&redlink=1" class="new" title="Financial economics (الصفحة غير موجودة)"># التسعير والتوازن الخاليين من المراجحة</a> أعلاه - يكون الرابط كما يلي. <sup id="cite_ref-17" class="reference"><a href="#cite_note-17">[17]</a></sup> بالنظر إلى القدرة على الاستفادة من المعلومات الخاصة ، يتم تحفيز المتداولين المهتمين بأنفسهم للحصول على معلوماتهم الخاصة والتصرف فيها. عند القيام بذلك ، يساهم المتداولون في المزيد من "الأسعار" الصحيحة ، أي <i>الفعالة</i> : <a href="/wiki/%D9%81%D8%B1%D8%B6%D9%8A%D8%A9_%D9%83%D9%81%D8%A7%D8%A1%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D8%B3%D9%88%D9%82" title="فرضية كفاءة السوق">فرضية السوق الفعالة</a> ، أو EMH ( <a href="/wiki/%D9%8A%D9%88%D8%AC%D9%8A%D9%86_%D9%81%D8%A7%D9%85%D8%A7" title="يوجين فاما">Eugene Fama</a> ، 1965). تفترض EMH (ضمنيًا) أن متوسط التوقعات يشكل "توقعات مثالية" ، أي أن الأسعار التي تستخدم جميع المعلومات المتاحة ، مطابقة <i>لأفضل تخمين للمستقبل</i> : افتراض <a href="/wiki/%D8%AA%D9%88%D9%82%D8%B9%D8%A7%D8%AA_%D8%B1%D8%B4%D9%8A%D8%AF%D8%A9" title="توقعات رشيدة">التوقعات المنطقية</a> . تسمح EMH أنه عند مواجهة معلومات جديدة ، قد يبالغ بعض المستثمرين في رد فعلهم وقد يكون رد فعلهم غير صحيح ، لكن المطلوب هو أن ردود فعل المستثمرين تتبع <a href="/wiki/%D8%AA%D9%88%D8%B2%D9%8A%D8%B9_%D8%A7%D8%AD%D8%AA%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A_%D8%B7%D8%A8%D9%8A%D8%B9%D9%8A" title="توزيع احتمالي طبيعي">توزيعا طبيعيا</a> - بحيث لا يمكن استغلال التأثير الصافي على أسعار السوق بشكل موثوق تحقيق ربح غير طبيعي. في الحدود التنافسية ، ستعكس أسعار السوق جميع المعلومات المتاحة ، ويمكن أن تتحرك الأسعار فقط استجابة للأخبار ؛ <sup id="cite_ref-Shiller_18-0" class="reference"><a href="#cite_note-Shiller-18">[18]</a></sup> وهذا ، بالطبع ، يمكن أن يكون "جيدًا" أو "سيئًا" ، كبيرًا أو صغيرًا: <a href="/w/index.php?title=Random_walk_hypothesis&action=edit&redlink=1" class="new" title="Random walk hypothesis (الصفحة غير موجودة)">فرضية المشي العشوائي</a> . وبالتالي ، إذا كانت أسعار الأصول المالية فعالة (على نطاق واسع) ، فلن تستمر الانحرافات عن هذه القيم (التوازن) لفترة طويلة. (انظر <a href="/w/index.php?title=Earnings_response_coefficient&action=edit&redlink=1" class="new" title="Earnings response coefficient (الصفحة غير موجودة)">معامل استجابة الأرباح</a> . (على مسارات عشوائية في أسعار الأسهم: <a href="/w/index.php?title=Jules_Regnault&action=edit&redlink=1" class="new" title="Jules Regnault (الصفحة غير موجودة)">جول رينو</a> ، 1863 ؛ <a href="/wiki/%D9%84%D9%88%D9%8A_%D8%A8%D8%A7%D8%B4%D9%88%D9%84%D9%8A%D9%8A" title="لوي باشوليي">لويس باشيلير</a> ، 1900 ؛ <a href="/w/index.php?title=Maurice_Kendall&action=edit&redlink=1" class="new" title="Maurice Kendall (الصفحة غير موجودة)">موريس كيندال</a> ، 1953 ؛ <a href="/w/index.php?title=Paul_Cootner&action=edit&redlink=1" class="new" title="Paul Cootner (الصفحة غير موجودة)">بول كوتنر</a> ، 1964. ) </p><p>في ظل هذه الظروف ، يمكن عندئذ افتراض أن المستثمرين يتصرفون بطريقة عقلانية: يجب حساب قرارهم الاستثماري أو التأكد من اتباع الخسارة ؛ في المقابل ، عندما تقدم فرصة التحكيم ، يستغلها المراجحون ، مما يعزز هذا التوازن. هنا ، كما هو الحال في حالة اليقين الموضحة أعلاه ، الافتراض المحدد فيما يتعلق بالتسعير هو أن الأسعار تُحسب كقيمة حالية لتوزيعات الأرباح المستقبلية المتوقعة ، <sup id="cite_ref-Cochrane_&_Culp_11-1" class="reference"><a href="#cite_note-Cochrane_&_Culp-11">[11]</a></sup> <sup id="cite_ref-Shiller_18-1" class="reference"><a href="#cite_note-Shiller-18">[18]</a></sup> <sup id="cite_ref-Doyne_Geanakoplos_12-2" class="reference"><a href="#cite_note-Doyne_Geanakoplos-12">[12]</a></sup> حسب المعلومات المتوفرة حاليًا. ما هو مطلوب رغم ذلك هو نظرية لتحديد معدل الخصم المناسب ، أي "العائد المطلوب" ، بالنظر إلى عدم اليقين هذا: يتم توفيره بواسطة MPT و CAPM الخاص به. ذات الصلة ، والعقلانية - بمعنى المراجحة في الاستغلال - تؤدي إلى ظهور بلاك سكولز ؛ قيم الخيار هنا تتفق في نهاية المطاف مع CAPM. </p><p>بشكل عام ، إذن ، بينما تدرس نظرية المحفظة كيف ينبغي للمستثمرين الموازنة بين المخاطر والعائد عند الاستثمار في العديد من الأصول أو الأوراق المالية ، فإن CAPM أكثر تركيزًا ، ويصف كيف ، في التوازن ، تحدد الأسواق أسعار الأصول فيما يتعلق بمدى خطورة هذه المخاطر. الأهم من ذلك ، ستكون هذه النتيجة مستقلة عن مستوى كره المخاطرة لدى المستثمر و / أو وظيفة الأداة المفترضة ، وبالتالي توفير معدل خصم محدد بسهولة لصناع القرار في تمويل الشركات على <a href="/w/index.php?title=Financial_economics&action=edit&redlink=1" class="new" title="Financial economics (الصفحة غير موجودة)">النحو الوارد أعلاه</a> ، <sup id="cite_ref-Jensen&Smith_19-0" class="reference"><a href="#cite_note-Jensen&Smith-19">[19]</a></sup> وبالنسبة للمستثمرين الآخرين. تستمر الحجة على النحو التالي: إذا كان بإمكان المرء إنشاء <a href="/w/index.php?title=Efficient_frontier&action=edit&redlink=1" class="new" title="Efficient frontier (الصفحة غير موجودة)">حدود فعالة</a> - أي كل مجموعة من الأصول التي تقدم أفضل مستوى متوقع من العائد لمستوى المخاطرة الخاص بها ، انظر الرسم البياني - ثم يمكن تشكيل محافظ كفاءة التباين المتوسط ببساطة على أنها مزيج من حيازات <a href="/wiki/%D8%B9%D8%A7%D8%A6%D8%AF_%D8%AE%D8%A7%D9%84%D9%8A_%D9%85%D9%86_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%AE%D8%A7%D8%B7%D8%B1%D8%A9" title="عائد خالي من المخاطرة">الأصول الخالية من المخاطر</a> و " <a href="/w/index.php?title=Market_portfolio&action=edit&redlink=1" class="new" title="Market portfolio (الصفحة غير موجودة)">محفظة السوق</a> " ( <a href="/w/index.php?title=Mutual_fund_separation_theorem&action=edit&redlink=1" class="new" title="Mutual fund separation theorem (الصفحة غير موجودة)">نظرية فصل صناديق الاستثمار المشتركة</a> ) ، مع التخطيط هنا للتخطيط كخط <a href="/w/index.php?title=Capital_market_line&action=edit&redlink=1" class="new" title="Capital market line (الصفحة غير موجودة)">لسوق المال</a> ، أو CML. بعد ذلك ، بالنظر إلى CML ، فإن العائد المطلوب على الأوراق المالية المحفوفة بالمخاطر سيكون مستقلاً عن <a href="/wiki/%D9%85%D9%86%D9%81%D8%B9%D8%A9" title="منفعة">وظيفة المرافق</a> للمستثمر ، وسيتم تحديده فقط من خلال <a href="/wiki/%D8%AA%D8%BA%D8%A7%D9%8A%D8%B1_(%D8%A5%D8%AD%D8%B5%D8%A7%D8%A1)" title="تغاير (إحصاء)">التغاير</a> ("بيتا") مع المخاطر الإجمالية ، أي السوق. وذلك لأن المستثمرين هنا يمكنهم بعد ذلك زيادة الفائدة من خلال الرافعة المالية بدلاً من التسعير ؛ انظر مخطط CML. كما يتضح من الصيغة جانبا ، فإن هذه النتيجة تتسق مع ما سبق ، حيث تساوي العائد بلا مخاطرة بالإضافة إلى تعديل للمخاطر. <sup id="cite_ref-Cochrane_&_Culp_11-2" class="reference"><a href="#cite_note-Cochrane_&_Culp-11">[11]</a></sup> (تم تقديم الحدود الفعالة بواسطة <a href="/wiki/%D9%87%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%85%D8%A7%D8%B1%D9%83%D9%88%D9%8A%D8%AA%D8%B2" title="هاري ماركويتز">هاري ماركويتز</a> في عام 1952. تم اشتقاق CAPM بواسطة <a href="/w/index.php?title=Jack_L._Treynor&action=edit&redlink=1" class="new" title="Jack L. Treynor (الصفحة غير موجودة)">Jack Treynor</a> (1961 ، 1962) ، و <a href="/wiki/%D9%88%D9%8A%D9%84%D9%8A%D8%A7%D9%85_%D8%B4%D8%A7%D8%B1%D8%A8" title="ويليام شارب">William F. Sharpe</a> (1964) ، و <a href="/w/index.php?title=John_Lintner&action=edit&redlink=1" class="new" title="John Lintner (الصفحة غير موجودة)">John Lintner</a> (1965) و <a href="/w/index.php?title=Jan_Mossin&action=edit&redlink=1" class="new" title="Jan Mossin (الصفحة غير موجودة)">Jan Mossin</a> (1966) بشكل مستقل. ) </p><p>يوفر Black – Scholes نموذجًا رياضيًا لسوق مالية تحتوي على أدوات <a href="/wiki/%D8%B9%D9%82%D8%AF_%D8%A7%D8%B4%D8%AA%D9%82%D8%A7%D9%82%D9%8A" title="عقد اشتقاقي">مشتقة</a> ، والمعادلة الناتجة عن سعر <a href="/w/index.php?title=Option_style&action=edit&redlink=1" class="new" title="Option style (الصفحة غير موجودة)">الخيارات الأوروبية</a> . يتم التعبير عن النموذج باعتباره معادلة Black-Scholes ، معادلة تفاضلية <a href="/wiki/%D9%85%D8%B9%D8%A7%D8%AF%D9%84%D8%A9_%D8%AA%D9%81%D8%A7%D8%B6%D9%84%D9%8A%D8%A9_%D8%AC%D8%B2%D8%A6%D9%8A%D8%A9" title="معادلة تفاضلية جزئية">جزئية</a> تصف السعر المتغير للخيار بمرور الوقت ؛ تم اشتقاقها بافتراض وجود <a href="/w/index.php?title=Geometric_Brownian_motion&action=edit&redlink=1" class="new" title="Geometric Brownian motion (الصفحة غير موجودة)">حركة براونية هندسية</a> طبيعية (انظر <a href="/w/index.php?title=Brownian_model_of_financial_markets&action=edit&redlink=1" class="new" title="Brownian model of financial markets (الصفحة غير موجودة)">النموذج البراوني للأسواق المالية</a> ). تتمثل النظرة المالية الرئيسية وراء النموذج في أنه يمكن للمرء أن يحوط الخيار تمامًا عن طريق شراء وبيع الأصل الأساسي بالطريقة الصحيحة وبالتالي "التخلص من المخاطر" ، مع عدم وجود تسوية للمخاطر من السعر (<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>V</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="V"/></span> ، قيمة ، أو سعر الخيار ، ينمو في <strong class='error texerror'>خطأ رياضيات (خطأ في الصياغة): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi> <math>r}</strong> </mi></mstyle></mrow> </math><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="r"/></span> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>r</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="r"/></span> ، معدل خالية من المخاطر. انظر معادلة بلاك شولز   التفسير المالي ). <sup id="cite_ref-Rubinstein_6-6" class="reference"><a href="#cite_note-Rubinstein-6">[6]</a></sup> <sup id="cite_ref-Cochrane_&_Culp_11-3" class="reference"><a href="#cite_note-Cochrane_&_Culp-11">[11]</a></sup> هذا التحوط ، بدوره ، يعني أن هناك سعرًا واحدًا مناسبًا - بمعنى خالٍ من التحكيم - للخيار. ويتم إرجاع هذا السعر بواسطة صيغة تسعير خيار Black-Scholes. (الصيغة ، وبالتالي السعر ، تتسق مع المعادلة ، لأن الصيغة هي <a href="/wiki/%D9%85%D8%B9%D8%A7%D8%AF%D9%84%D8%A9_%D8%AA%D9%81%D8%A7%D8%B6%D9%84%D9%8A%D8%A9_%D8%AC%D8%B2%D8%A6%D9%8A%D8%A9" title="معادلة تفاضلية جزئية">الحل</a> للمعادلة. بما أن الصيغة لا تشير إلى العائد المتوقع للسهم ، فإن Black-Scholes يرث حياد المخاطر ؛ متسقة بشكل حدسي مع "القضاء على المخاطر" هنا ، ومتسقة رياضياً مع <a href="/w/index.php?title=Financial_economics&action=edit&redlink=1" class="new" title="Financial economics (الصفحة غير موجودة)"># التسعير والتوازن الخاليين من التحكيم</a> . وبالتالي ، يمكن أيضًا اشتقاق صيغة التسعير مباشرةً من خلال التوقعات المحايدة للمخاطرة. (BSM - <a href="/wiki/%D9%84%D9%88%D9%8A_%D8%A8%D8%A7%D8%B4%D9%88%D9%84%D9%8A%D9%8A" title="لوي باشوليي">بحثان أساسيان في</a> عام 1973 <sup id="cite_ref-BlackScholes_paper_20-0" class="reference"><a href="#cite_note-BlackScholes_paper-20">[20]</a></sup> <sup id="cite_ref-Merton_paper_21-0" class="reference"><a href="#cite_note-Merton_paper-21">[21]</a></sup> - يتوافق مع "الإصدارات السابقة من صيغة" <a href="/wiki/%D9%84%D9%88%D9%8A_%D8%A8%D8%A7%D8%B4%D9%88%D9%84%D9%8A%D9%8A" title="لوي باشوليي">Louis Bachelier</a> (1900) و <a href="/w/index.php?title=Edward_O._Thorp&action=edit&redlink=1" class="new" title="Edward O. Thorp (الصفحة غير موجودة)">Edward O. Thorp</a> (1967) ؛ <sup id="cite_ref-Haug_Taleb_22-0" class="reference"><a href="#cite_note-Haug_Taleb-22">[22]</a></sup> على الرغم من أن هذه كانت "اكتوارية" أكثر في نكهة ، ولم يثبت خصم محايد للمخاطر. <sup id="cite_ref-Derman_9-1" class="reference"><a href="#cite_note-Derman-9">[9]</a></sup> انظر أيضا <a href="/wiki/%D8%A8%D9%88%D9%84_%D8%B3%D8%A7%D9%85%D9%88%D9%8A%D9%84%D8%B3%D9%88%D9%86" title="بول سامويلسون">بول صامويلسون</a> (1965). <sup id="cite_ref-23" class="reference"><a href="#cite_note-23">[23]</a></sup> حقق فينزينز برونزين (1908) نتائج مبكرة للغاية ، أيضًا. ) </p><p>كما ذكرنا ، يمكن إثبات أن النموذجين متسقان ؛ ثم ، كما هو متوقع ، فإن الاقتصاد المالي "الكلاسيكي" موحد. هنا ، يمكن اشتقاق معادلة Black Scholes من CAPM ، وبالتالي فإن السعر الذي يتم الحصول عليه من نموذج Black-Scholes يتسق مع العائد المتوقع من CAPM. <sup id="cite_ref-Chance1_24-0" class="reference"><a href="#cite_note-Chance1-24">[24]</a></sup> <sup id="cite_ref-Derman_9-2" class="reference"><a href="#cite_note-Derman-9">[9]</a></sup> نظرية Black-Scholes ، على الرغم من أنها مبنية على التسعير الخالي من التحكيم ، تتفق مع تسعير الأصول الرأسمالية القائمة على التوازن. كلا النموذجين ، بدوره ، يتفقان في النهاية مع نظرية Arrow-Debreu ، ويمكن اشتقاقهما من خلال تسعير الدولة ، <sup id="cite_ref-Rubinstein_6-7" class="reference"><a href="#cite_note-Rubinstein-6">[6]</a></sup> لمزيد من التوضيح ، وإذا لزم الأمر ، فإن هذه الوحدة توضح ذلك. </p> <h2><span id=".D9.85.D9.84.D8.AD.D9.82.D8.A7.D8.AA"></span><span class="mw-headline" id="ملحقات">ملحقات</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&action=edit&section=8" title="عدل القسم: ملحقات">عدل</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2> <p>العمل الأكثر حداثة يعمم و / أو يمدد هذه النماذج. فيما يتعلق بتسعير الأصول ، تتم مناقشة التطورات في التسعير على أساس التوازن في إطار "نظرية المحفظة" أدناه ، في حين أن "التسعير المشتق" يتعلق بتسعير محايد من المخاطر ، أي خالي من التحكيم. فيما يتعلق باستخدام رأس المال ، تتعلق "نظرية تمويل الشركات" ، بشكل أساسي ، بتطبيق هذه النماذج. </p> <h3><span id=".D9.86.D8.B8.D8.B1.D9.8A.D8.A9_.D8.A7.D9.84.D8.AD.D8.A7.D9.81.D8.B8.D8.A9"></span><span class="mw-headline" id="نظرية_الحافظة">نظرية الحافظة</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&action=edit&section=9" title="عدل القسم: نظرية الحافظة">عدل</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h3> <div class="thumb tleft"><div class="thumbinner" style="width:202px;"><a href="/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:Pareto_Efficient_Frontier_for_the_Markowitz_Portfolio_selection_problem..png" class="image"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/08/Pareto_Efficient_Frontier_for_the_Markowitz_Portfolio_selection_problem..png/200px-Pareto_Efficient_Frontier_for_the_Markowitz_Portfolio_selection_problem..png" decoding="async" width="200" height="134" class="thumbimage" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/08/Pareto_Efficient_Frontier_for_the_Markowitz_Portfolio_selection_problem..png/300px-Pareto_Efficient_Frontier_for_the_Markowitz_Portfolio_selection_problem..png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/08/Pareto_Efficient_Frontier_for_the_Markowitz_Portfolio_selection_problem..png/400px-Pareto_Efficient_Frontier_for_the_Markowitz_Portfolio_selection_problem..png 2x" data-file-width="1392" data-file-height="936" /></a> <div class="thumbcaption"><div class="magnify"><a href="/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:Pareto_Efficient_Frontier_for_the_Markowitz_Portfolio_selection_problem..png" class="internal" title="كبّر"></a></div>قطعة من معيارين عند تعظيم العائد وتقليل المخاطر في <a href="/wiki/%D9%85%D8%AD%D9%81%D8%B8%D8%A9_%D8%A7%D8%B3%D8%AA%D8%AB%D9%85%D8%A7%D8%B1%D9%8A%D8%A9" title="محفظة استثمارية">المحافظ المالية</a> (نقاط <a href="/wiki/%D8%A3%D9%85%D8%AB%D9%84%D9%8A%D8%A9_%D8%A8%D8%A7%D8%B1%D9%8A%D8%AA%D9%88" title="أمثلية باريتو">Pareto الأمثل</a> باللون الأحمر)</div></div></div> <dl><dd><i>انظر أيضا: <a href="/w/index.php?title=Post-modern_portfolio_theory&action=edit&redlink=1" class="new" title="Post-modern portfolio theory (الصفحة غير موجودة)">نظرية محفظة ما بعد الحداثة</a> والتمويل الرياضي   إدارة المخاطر والمحفظة: العالم ف .</i></dd></dl> <p>تتعلق غالبية التطورات هنا بالعائد المطلوب ، أي التسعير ، وتمديد C A P M الأساسي. تقترح النماذج متعددة العوامل ، مثل نموذج <a href="/w/index.php?title=Fama%E2%80%93French_three-factor_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Fama–French three-factor model (الصفحة غير موجودة)">Fa m a-F r e n c h ثلاثي العوامل ونموذج</a> <a href="/w/index.php?title=Carhart_four-factor_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Carhart four-factor model (الصفحة غير موجودة)">C a r h a r t المكون من أربعة عوامل</a> ، عوامل أخرى غير عائد السوق كما هو مناسب في التسعير. يقوم نظام <a href="/w/index.php?title=Intertemporal_CAPM&action=edit&redlink=1" class="new" title="Intertemporal CAPM (الصفحة غير موجودة)">C A P M in t e rt e m p o r a l</a> و <a href="/w/index.php?title=Intertemporal_CAPM&action=edit&redlink=1" class="new" title="Intertemporal CAPM (الصفحة غير موجودة)">C A P M</a> <a href="/w/index.php?title=Consumption-based_capital_asset_pricing_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Consumption-based capital asset pricing model (الصفحة غير موجودة)">المعتمد على الاستهلاك</a> بتمديد النموذج بشكل مشابه. من خلال <a href="/w/index.php?title=Intertemporal_portfolio_choice&action=edit&redlink=1" class="new" title="Intertemporal portfolio choice (الصفحة غير موجودة)">اختيار محفظة i n te r t e m p o r a l</a> ، تقوم المستثمر الآن بتحسين محفظتها بشكل متكرر. بينما يدرج إدراج <a href="/wiki/%D8%A7%D8%B3%D8%AA%D9%87%D9%84%D8%A7%D9%83" title="استهلاك">الاستهلاك (بالمعنى الاقتصادي)</a> جميع مصادر الثروة ، وليس فقط الاستثمارات القائمة على السوق ، في حساب المستثمر للعائد المطلوب. </p><p>في حين أن ما سبق يمد C A P M ، فإن <a href="/w/index.php?title=Single-index_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Single-index model (الصفحة غير موجودة)">نموذج الفهرس الفردي</a> هو <a href="/w/index.php?title=Single-index_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Single-index model (الصفحة غير موجودة)">نموذج</a> أكثر بساطة. إنه يفترض ، فقط ، وجود علاقة بين عوائد الأمن والسوق ، دون افتراضات اقتصادية (عديدة) أخرى. من المفيد أنه يبسط تقدير العلاقة بين الأوراق المالية ، مما يقلل بشكل كبير من المدخلات لبناء مصفوفة الارتباط اللازمة لتحسين المحفظة. تختلف <a href="/w/index.php?title=Arbitrage_pricing_theory&action=edit&redlink=1" class="new" title="Arbitrage pricing theory (الصفحة غير موجودة)">نظرية تسعير المراجحة</a> (APT ؛ <a href="/wiki/%D8%B3%D8%AA%D9%8A%D9%81%D9%86_%D8%B1%D9%88%D8%B3_(%D8%A7%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D9%8A)" title="ستيفن روس (اقتصادي)">ستيفن روس</a> ، 1976) بالمثل فيما يتعلق بافتراضاتها. APT "تتخلى عن فكرة أن هناك محفظة واحدة مناسبة للجميع في العالم ، و ... استبدالها بنموذج توضيحي لما يدفع عائدات الأصول." <sup id="cite_ref-25" class="reference"><a href="#cite_note-25">[25]</a></sup> تقوم بإرجاع العائد المطلوب (المتوقع) للأصل المالي كدالة خطية لمختلف عوامل الاقتصاد الكلي ، ويفترض أن المراجحة يجب أن تعيد الأصول المسعرة بشكل غير صحيح إلى خطها. </p><p>فيما يتعلق <a href="/w/index.php?title=Portfolio_optimization&action=edit&redlink=1" class="new" title="Portfolio optimization (الصفحة غير موجودة)">بتحسين المحفظة</a> ، فإن <a href="/w/index.php?title=Black%E2%80%93Litterman_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Black–Litterman model (الصفحة غير موجودة)">نموذج Black-L i t t e rm a n</a> يغادر من <a href="/wiki/%D9%87%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%85%D8%A7%D8%B1%D9%83%D9%88%D9%8A%D8%AA%D8%B2" title="هاري ماركويتز">نهج M a r k o w i t z الأصلي المتمثل</a> في بناء المحافظ عبر <a href="/w/index.php?title=Efficient_frontier&action=edit&redlink=1" class="new" title="Efficient frontier (الصفحة غير موجودة)">حدود فعالة</a> . يبدأ Black-Li t term a n بدلاً من ذلك بافتراض توازن ، ثم يتم تعديله لمراعاة "وجهات النظر" (أي الآراء المحددة حول عائدات الأصول) للمستثمر المعني للوصول إلى تخصيص أصل مخصص. حيث تعتبر العوامل الإضافية للتقلبات (التقرن ، الانحراف ...) ثم يمكن تطبيق <a href="/w/index.php?title=Multiple-criteria_decision_analysis&action=edit&redlink=1" class="new" title="Multiple-criteria decision analysis (الصفحة غير موجودة)">تحليل القرار متعدد المعايير</a> ؛ هنا اشتقاق محفظة <a href="/wiki/%D8%A3%D9%85%D8%AB%D9%84%D9%8A%D8%A9_%D8%A8%D8%A7%D8%B1%D9%8A%D8%AA%D9%88" title="أمثلية باريتو">باريتو فعالة</a> . تطبق <a href="/w/index.php?title=Universal_portfolio_algorithm&action=edit&redlink=1" class="new" title="Universal portfolio algorithm (الصفحة غير موجودة)">خوارزمية الحافظة الشاملة</a> ( <a href="/wiki/%D8%AA%D9%88%D9%85%D8%A7%D8%B3_%D9%83%D9%88%D9%81%D8%B1" title="توماس كوفر">Thomas M. Cover</a> ) <a href="/wiki/%D8%AA%D8%B9%D9%84%D9%85_%D8%A2%D9%84%D9%8A" title="تعلم آلي">التعلم الآلي</a> على اختيار الأصول ، والتعلم بشكل تكيفي من البيانات التاريخية. تدرك <a href="/w/index.php?title=Behavioral_portfolio_theory&action=edit&redlink=1" class="new" title="Behavioral portfolio theory (الصفحة غير موجودة)">نظرية الحافظة السلوكية</a> أن المستثمرين لديهم أهداف متنوعة وأنشئوا محفظة استثمارية تلبي مجموعة واسعة من الأهداف. <a href="/w/index.php?title=Copula_(probability_theory)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Copula (probability theory) (الصفحة غير موجودة)">تم تطبيق</a> Copulas <a href="/w/index.php?title=Copula_(probability_theory)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Copula (probability theory) (الصفحة غير موجودة)">مؤخرًا هنا</a> . انظر تحسين الحافظة §   تحسين محفظة الأمثل للتقنيات و / أو الأهداف الأخرى. </p> <h3><span id=".D8.A7.D9.84.D8.AA.D8.B3.D8.B9.D9.8A.D8.B1_.D8.A7.D9.84.D9.85.D8.B4.D8.AA.D9.82"></span><span class="mw-headline" id="التسعير_المشتق">التسعير المشتق</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&action=edit&section=10" title="عدل القسم: التسعير المشتق">عدل</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h3> <div class="thumb tleft"><div class="thumbinner" style="width:222px;"><a href="/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:Arbre_Binomial_Options_Reelles.png" class="image"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2e/Arbre_Binomial_Options_Reelles.png/220px-Arbre_Binomial_Options_Reelles.png" decoding="async" width="220" height="129" class="thumbimage" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2e/Arbre_Binomial_Options_Reelles.png/330px-Arbre_Binomial_Options_Reelles.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2e/Arbre_Binomial_Options_Reelles.png/440px-Arbre_Binomial_Options_Reelles.png 2x" data-file-width="537" data-file-height="314" /></a> <div class="thumbcaption"><div class="magnify"><a href="/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:Arbre_Binomial_Options_Reelles.png" class="internal" title="كبّر"></a></div>شعرية ذات الحدين مع صيغ CRR</div></div></div> <table class="wikitable floatright" width="250"> <tbody><tr> <td><small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond </small><dl><small style="font-size:90%;"></small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small></dd></dl> <dl><dd><strong class='error texerror'>خطأ رياضيات (خطأ في الصياغة): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mn> {{صغير\|PDE for a zero-coupon bond :<math>\frac{1}{2}\sigma(r)^{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}+[a(r)+\sigma(r)+\varphi(r,t)]\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{\partial P}{\partial t} - rP = 0}</strong> }} </mn><mn> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </mn></mfrac></mrow><mi> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </mi><mo stretchy="false"> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </mo><mi> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </mi><msup><mo stretchy="false"> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </mn></mrow></msup><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mrow><msup><mi mathvariant="normal"> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </mn></mrow></msup><mi> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </mi><msup><mi> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </mo><mo stretchy="false"> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </mo><mi> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </mi><mo stretchy="false"> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </mo><mi> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </mi><mo stretchy="false"> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </mo><mo> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </mo><mi> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </mi><mo stretchy="false"> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </mo><mi> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </mi><mo stretchy="false"> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </mo><mo> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </mo><mi> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </mi><mo stretchy="false"> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </mo><mi> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </mi><mo> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </mo><mi> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </mi><mo stretchy="false"> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </mo><mo stretchy="false"> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal"> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </mi><mi> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </mi><mi> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </mi></mrow></mfrac></mrow><mo> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </mo><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal"> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </mi><mi> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </mi><mi> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </mi></mrow></mfrac></mrow><mo> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </mo><mi> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </mi><mi> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </mi><mo> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </mo><mn> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </mn></mstyle></mrow> </math><small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small> </img> <small style="font-size:90%;">PDE for a zero-coupon bond</small></dd><small style="font-size:90%;"> </small><dd><small style="font-size:90%;"><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <msup> <mo stretchy="false">)</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <msup> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <msup> <mi>r</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo stretchy="false">[</mo> <mi>a</mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>σ<!-- σ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo>+</mo> <mi>φ<!-- φ --></mi> <mo stretchy="false">(</mo> <mi>r</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo stretchy="false">)</mo> <mo stretchy="false">]</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>r</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mfrac> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi mathvariant="normal">∂<!-- ∂ --></mi> <mi>t</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>−<!-- − --></mo> <mi>r</mi> <mi>P</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}</annotation> </semantics> </math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec0f423e539923eb96e77014e6bee05c362cf22d" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:57.096ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (r)^{2}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial r^{2}}}+[a(r)+\sigma (r)+\varphi (r,t)]{\frac {\partial P}{\partial r}}+{\frac {\partial P}{\partial t}}-rP=0}"/></span></small></dd></dl> </td></tr></tbody></table> <p>فيما يتعلق بالتسعير المشتق ، يوفر <a href="/w/index.php?title=Binomial_options_pricing_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Binomial options pricing model (الصفحة غير موجودة)">نموذج تسعير الخيارات ذات الحدين</a> إصدارًا تقديريًا من Black-Scholes ، مفيد لتقييم الخيارات الأمريكية. النماذج المبنية من هذا النوع مبنية - على الأقل ضمنيًا - باستخدام أسعار الحالة (على <a href="/w/index.php?title=Financial_economics&action=edit&redlink=1" class="new" title="Financial economics (الصفحة غير موجودة)">النحو الوارد أعلاه</a> ) ؛ فيما يتعلق بذلك ، استخدم عدد كبير من الباحثين خيارات لاستخراج أسعار الحالة لمجموعة متنوعة من التطبيقات الأخرى في الاقتصاد المالي. <sup id="cite_ref-Rubinstein_6-8" class="reference"><a href="#cite_note-Rubinstein-6">[6]</a></sup> <sup id="cite_ref-Chance1_24-1" class="reference"><a href="#cite_note-Chance1-24">[24]</a></sup> <sup id="cite_ref-Chance2_14-1" class="reference"><a href="#cite_note-Chance2-14">[14]</a></sup> بالنسبة إلى <a href="/w/index.php?title=Option_style&action=edit&redlink=1" class="new" title="Option style (الصفحة غير موجودة)">المشتقات المعتمدة</a> على المسار ، يتم استخدام <a href="/w/index.php?title=Monte_Carlo_methods_for_option_pricing&action=edit&redlink=1" class="new" title="Monte Carlo methods for option pricing (الصفحة غير موجودة)">طرق مونت كارلو لتسعير الخيارات</a> ؛ هنا النمذجة في وقت مستمر ، ولكن بالمثل يستخدم القيمة المتوقعة للخطر المحايدة. كما تم تطوير <a href="/w/index.php?title=Option_(finance)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Option (finance) (الصفحة غير موجودة)">تقنيات رقمية</a> مختلفة أخرى . لقد تم تمديد الإطار النظري أيضًا بحيث أصبح <a href="/w/index.php?title=Martingale_pricing&action=edit&redlink=1" class="new" title="Martingale pricing (الصفحة غير موجودة)">تسعير مارتينجال</a> الآن هو النهج القياسي. التطورات المتعلقة التعقيدات في العودة و / أو التقلب تناقش <a href="/w/index.php?title=Financial_economics&action=edit&redlink=1" class="new" title="Financial economics (الصفحة غير موجودة)">أدناه</a> . </p><p>بالاعتماد على هذه التقنيات ، تم تطوير نماذج مشتقة للعديد من التطبيقات الفرعية والتطبيقات الأخرى ، وكلها تستند إلى نفس المنطق (باستخدام " تحليل المطالبة الطارئة "). يسمح <a href="/w/index.php?title=Real_options_valuation&action=edit&redlink=1" class="new" title="Real options valuation (الصفحة غير موجودة)">تقييم الخيارات الحقيقية</a> بأنه يمكن لأصحاب الخيارات التأثير على أساس الخيار ؛ تفترض نماذج <a href="/w/index.php?title=Employee_stock_option&action=edit&redlink=1" class="new" title="Employee stock option (الصفحة غير موجودة)">تقييم خيارات أسهم الموظف</a> بشكل صريح عدم العقلانية من جانب أصحاب الخيارات ؛ تسمح <a href="/w/index.php?title=Credit_derivative&action=edit&redlink=1" class="new" title="Credit derivative (الصفحة غير موجودة)">مشتقات الائتمان</a> بعدم الوفاء بالتزامات الدفع و / أو متطلبات التسليم. يتم الآن تقييم <a href="/w/index.php?title=Exotic_derivative&action=edit&redlink=1" class="new" title="Exotic derivative (الصفحة غير موجودة)">المشتقات الغريبة</a> بشكل روتيني. يتم التعامل مع وكيل الأصول المتعددة عن طريق المحاكاة أو <a href="/w/index.php?title=Copula_(probability_theory)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Copula (probability theory) (الصفحة غير موجودة)">التحليل القائم على</a> الكوبولا. </p><p>وبالمثل ، بدايةً من أولدريتش فاسيتش (1977) ، تسمح مختلف النماذج ذات المعدلات القصيرة ، وكذلك التقنيات المعتمدة على السعر الآجل H J M و B G M ، بتمديد هذه التقنيات لتشمل المشتقات <a href="/wiki/%D8%AF%D8%AE%D9%84_%D8%AB%D8%A7%D8%A8%D8%AA" title="دخل ثابت">ذات الدخل الثابت</a> وأسعار الفائدة . (يعتمد طرازا <a href="/w/index.php?title=Vasicek_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Vasicek model (الصفحة غير موجودة)">V a s i c e k</a> و <a href="/w/index.php?title=Cox%E2%80%93Ingersoll%E2%80%93Ross_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Cox–Ingersoll–Ross model (الصفحة غير موجودة)">CIR</a> على التوازن ، بينما تعتمد النماذج Ho-Lee والنماذج اللاحقة على التسعير الخالي من التحكيم. ) يتم تمديد تقييم السندات ذات الصلة: يسمح أسلوب <a href="/w/index.php?title=Bond_valuation&action=edit&redlink=1" class="new" title="Bond valuation (الصفحة غير موجودة)">حساب التفاضل والتكامل في Stochastic</a> ، الذي يستخدم هذه الطرق ، بمعدلات "عشوائية" (مع إعادة سعر خالٍ من المراجحة ، على النحو الوارد أعلاه ) ؛ <a href="/w/index.php?title=Lattice_model_(finance)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Lattice model (finance) (الصفحة غير موجودة)">نماذج شعرية للأوراق المالية المختلطة</a> تسمح بتدفقات نقدية غير حتمية (وأسعار عشوائية). </p><p>على النحو الوارد أعلاه ، اعتمد تسعير المشتقات ( <a href="/wiki/%D8%A3%D8%AF%D9%88%D9%8A%D8%A9_%D9%85%D8%AA%D8%A7%D8%AD%D8%A9_%D8%A8%D8%AF%D9%88%D9%86_%D9%88%D8%B5%D9%81%D8%A9" title="أدوية متاحة بدون وصفة">OTC</a> ) على إطار التسعير المحايد لمخاطر B S M ، في ظل افتراضات التمويل بسعر خالٍ من المخاطر والقدرة على تكرار التدفقات النقدية بشكل مثالي حتى يتم التحوط بالكامل. وهذا ، بدوره ، مبني على افتراض وجود بيئة خالية من مخاطر الائتمان. بعد <a href="/wiki/%D8%A7%D9%84%D8%A3%D8%B2%D9%85%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A%D8%A9_2007-2008" title="الأزمة المالية 2007-2008">الأزمة المالية في عام 2008</a> ، لذلك ، يتم إضافة مسائل مثل مخاطر الائتمان للطرف المقابل ، وتكاليف التمويل وتكاليف رأس المال ، <sup id="cite_ref-26" class="reference"><a href="#cite_note-26">[26]</a></sup> <i>وتعديل</i> تقييم الائتمان ، أو C V A - <i>وتسويات تقييم</i> محتملة أخرى ، مجتمعة <a href="/w/index.php?title=XVA&action=edit&redlink=1" class="new" title="XVA (الصفحة غير موجودة)">x V A</a> - تتم إضافتها عمومًا إلى القيمة المشتقة المحايدة للمخاطر. </p><p>من التغييرات ذات الصلة ، وربما الأكثر جوهرية ، أن الخصم الآن على منحنى مؤشر مبادلة Overnight ، بدلاً من L I B O R كما كان مستخدمًا من قبل. وذلك لأن ما بعد الأزمة ، يعتبر O I S وكيلًا أفضل "للمعدلات الخالية من المخاطر". <sup id="cite_ref-27" class="reference"><a href="#cite_note-27">[27]</a></sup> (وأيضًا ، من الناحية العملية ، عادة ما تكون الفائدة المدفوعة على <a href="/wiki/%D8%B6%D9%85%D8%A7%D9%86_%D8%A5%D8%B6%D8%A7%D9%81%D9%8A" title="ضمان إضافي">ضمان</a> ن قدي هي معدل الليلة الواحدة ؛ يُشار إلى خصم O I S ، في بعض الأحيان ، باسم "خصم <a href="/w/index.php?title=Credit_Support_Annex&action=edit&redlink=1" class="new" title="Credit Support Annex (الصفحة غير موجودة)">C S A</a> ". ) <a href="/wiki/%D9%85%D9%82%D8%A7%D9%8A%D8%B6%D8%A9_%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A%D8%A9" title="مقايضة مالية">التسعير مبادلة</a> - و، في الواقع، بناء منحنى - يتم تعديل أبعد من ذلك: في السابق، وبلغت قيمة المبادلات قبالة "خصم النفس" منحنى أسعار الفائدة واحد؛ في حين أنه بعد الأزمة ، لاستيعاب خصم O I S ، أصبح التقييم الآن ضمن إطار "متعدد المنحنى" حيث يتم إنشاء "منحنيات التنبؤ" <i>لكل</i> فترة L I B O R عائمة ، مع خصم على منحنى O I S مشترك ؛ انظر مقايضة سعر الفائدة   التقييم والتسعير . </p> <h3><span id=".D9.86.D8.B8.D8.B1.D9.8A.D8.A9_.D8.AA.D9.85.D9.88.D9.8A.D9.84_.D8.A7.D9.84.D8.B4.D8.B1.D9.83.D8.A7.D8.AA"></span><span class="mw-headline" id="نظرية_تمويل_الشركات">نظرية تمويل الشركات</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&action=edit&section=11" title="عدل القسم: نظرية تمويل الشركات">عدل</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h3> <div class="thumb tleft"><div class="thumbinner" style="width:222px;"><a href="/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:Manual_decision_tree.jpg" class="image"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c6/Manual_decision_tree.jpg/220px-Manual_decision_tree.jpg" decoding="async" width="220" height="260" class="thumbimage" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c6/Manual_decision_tree.jpg/330px-Manual_decision_tree.jpg 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c6/Manual_decision_tree.jpg 2x" data-file-width="400" data-file-height="473" /></a> <div class="thumbcaption"><div class="magnify"><a href="/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:Manual_decision_tree.jpg" class="internal" title="كبّر"></a></div>تقييم المشروع عبر شجرة القرار.</div></div></div> <p>تم تمديد نظرية تمويل الشركات أيضًا: تعكس التطورات المذكورة أعلاه وتقييم الأصول واتخاذ القرارات بعد الآن "اليقين". كما تمت مناقشته ، فإن طرق مونت كارلو في مجال التمويل ، التي طرحها <a href="/wiki/%D8%AF%D9%8A%D9%81%D9%8A%D8%AF_%D8%A8%D9%8A._%D9%87%D9%8A%D8%B1%D8%AA%D8%B2" title="ديفيد بي. هيرتز">ديفيد بي. هيرتز</a> في عام 1964 ، تسمح للمحللين الماليين بإنشاء نماذج "تمويل <a href="/wiki/%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D9%81%D9%8A%D8%A9" title="تصادفية">عشوائية</a> أو <a href="/wiki/%D8%A7%D8%AD%D8%AA%D9%85%D8%A7%D9%84" title="احتمال">احتمالية</a> للشركات" ، على عكس النماذج الثابتة <a href="/wiki/%D8%AD%D8%AA%D9%85%D9%8A%D8%A9" title="حتمية">والحتمية</a> التقليدية ؛ <sup id="cite_ref-Damodaran_Risk_28-0" class="reference"><a href="#cite_note-Damodaran_Risk-28">[28]</a></sup> انظر تمويل الشركات   قياس عدم اليقين . ذات الصلة ، تسمح نظرية الخيارات الحقيقية للمالك - أي الإجراءات الإدارية - التي تؤثر على القيمة الأساسية: من خلال دمج منطق تسعير الخيارات ، يتم تطبيق هذه الإجراءات بعد ذلك على توزيع النتائج المستقبلية ، مع التغيير مع الوقت ، والتي تحدد بعد ذلك تقييم "المشروع" اليوم. <sup id="cite_ref-Damodaran_29-0" class="reference"><a href="#cite_note-Damodaran-29">[29]</a></sup> </p><p>وبشكل أكثر تقليدية ، تم استخدام <a href="/wiki/%D8%B4%D8%AC%D8%B1%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D9%82%D8%B1%D8%A7%D8%B1" title="شجرة القرار">أشجار القرارات</a> - التي تكمل بعضها البعض - لتقييم المشروعات ، من خلال دمجها في التقييم (جميع) <a href="/wiki/%D8%AD%D8%AF%D8%AB_(%D9%86%D8%B8%D8%B1%D9%8A%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D8%A7%D8%AD%D8%AA%D9%85%D8%A7%D9%84%D8%A7%D8%AA)" title="حدث (نظرية الاحتمالات)">الأحداث</a> (أو الولايات) <a href="/wiki/%D8%AD%D8%AF%D8%AB_(%D9%86%D8%B8%D8%B1%D9%8A%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D8%A7%D8%AD%D8%AA%D9%85%D8%A7%D9%84%D8%A7%D8%AA)" title="حدث (نظرية الاحتمالات)">المحتملة</a> <a href="/wiki/%D8%A7%D8%AA%D8%AE%D8%A7%D8%B0_%D8%A7%D9%84%D9%82%D8%B1%D8%A7%D8%B1" title="اتخاذ القرار">وقرارات الإدارة</a> المترتبة عليها ؛ <sup id="cite_ref-30" class="reference"><a href="#cite_note-30">[30]</a></sup> <sup id="cite_ref-Damodaran_Risk_28-1" class="reference"><a href="#cite_note-Damodaran_Risk-28">[28]</a></sup> معدل الخصم الصحيح هنا يعكس "كل نقطة غير قابلة للتنوع تتطلع إلى الأمام". <sup id="cite_ref-Damodaran_Risk_28-2" class="reference"><a href="#cite_note-Damodaran_Risk-28">[28]</a></sup> (هذه التقنية تسبق استخدام خيارات حقيقية في تمويل الشركات ؛ <sup id="cite_ref-31" class="reference"><a href="#cite_note-31">[31]</a></sup> فهي مستعارة من <a href="/wiki/%D8%A8%D8%AD%D9%88%D8%AB_%D8%A7%D9%84%D8%B9%D9%85%D9%84%D9%8A%D8%A7%D8%AA" title="بحوث العمليات">بحوث العمليات</a> ، وليست "تنمية اقتصادية مالية" <i>في حد ذاتها</i> . ) </p><p>يرتبط هذا ، هو التدفقات النقدية المتوقعة في <a href="/wiki/%D8%AA%D9%82%D9%8A%D9%8A%D9%85_%D8%A7%D9%84%D8%A3%D8%B3%D9%87%D9%85_%D8%A7%D9%84%D8%B9%D8%A7%D8%AF%D9%8A%D8%A9" title="تقييم الأسهم العادية">تقييم الأسهم</a> . في كثير من الحالات ، بعد وليامز أعلاه ، تم تخفيض متوسط (أو على الأرجح) التدفقات النقدية ، <sup id="cite_ref-Markowitz_interview_32-0" class="reference"><a href="#cite_note-Markowitz_interview-32">[32]</a></sup> بدلاً من معاملة أكثر صحة لكل ولاية في ظل عدم اليقين ؛ انظر التعليقات تحت <a href="/wiki/%D9%86%D9%85%D8%B0%D8%AC%D8%A9_%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A%D8%A9" title="نمذجة مالية">النمذجة المالية § المحاسبة</a> . في العلاجات الأكثر حداثة ، إذن ، فإن التدفقات النقدية <i>المتوقعة</i> ( <a href="/wiki/%D9%82%D9%8A%D9%85%D8%A9_%D9%85%D8%AA%D9%88%D9%82%D8%B9%D8%A9" title="قيمة متوقعة">بالمعنى الرياضي</a> ) مجتمعة في القيمة الإجمالية لكل فترة تنبؤية يتم خصمها. <sup id="cite_ref-Kruschwitz_and_Löffler_33-0" class="reference"><a href="#cite_note-Kruschwitz_and_Löffler-33">[33]</a></sup> <sup id="cite_ref-welch_34-0" class="reference"><a href="#cite_note-welch-34">[34]</a></sup> <sup id="cite_ref-35" class="reference"><a href="#cite_note-35">[35]</a></sup> <sup id="cite_ref-Damodaran_Risk_28-3" class="reference"><a href="#cite_note-Damodaran_Risk-28">[28]</a></sup> وباستخدام C A P M - أو الامتدادات - يكون الخصم هنا بسعر خالٍ من المخاطر بالإضافة إلى علاوة مرتبطة بعدم اليقين في التدفقات النقدية للمشروع أو المشروع. <sup id="cite_ref-Damodaran_Risk_28-4" class="reference"><a href="#cite_note-Damodaran_Risk-28">[28]</a></sup> <sup id="cite_ref-welch_34-1" class="reference"><a href="#cite_note-welch-34">[34]</a></sup> </p><p>تتضمن التطورات الأخرى هنا <sup id="cite_ref-36" class="reference"><a href="#cite_note-36">[36]</a></sup> <a href="/wiki/%D9%85%D8%B4%D9%83%D9%84%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D9%85%D9%88%D9%83%D9%84_%D9%88%D8%A7%D9%84%D9%88%D9%83%D9%8A%D9%84" title="مشكلة الموكل والوكيل">نظرية الوكالة</a> ، التي تحلل الصعوبات في تحفيز إدارة الشركات ("الوكيل") للعمل بما يحقق مصلحة المساهمين ("الموكل") ، وليس لمصالحهم الخاصة. <a href="/w/index.php?title=Clean_surplus_accounting&action=edit&redlink=1" class="new" title="Clean surplus accounting (الصفحة غير موجودة)">توفر محاسبة الفوائض النظيفة</a> <a href="/w/index.php?title=Residual_income_valuation&action=edit&redlink=1" class="new" title="Residual income valuation (الصفحة غير موجودة)">وتقييم الدخل المتبقي</a> ذي الصلة نموذجًا يعيد السعر كدالة للأرباح والعوائد المتوقعة والتغيير في <a href="/wiki/%D9%82%D9%8A%D9%85%D8%A9_%D8%AF%D9%81%D8%AA%D8%B1%D9%8A%D8%A9" title="قيمة دفترية">القيمة الدفترية</a> ، بدلاً من توزيعات الأرباح. ينشأ هذا النهج ، إلى حد ما ، بسبب التناقض الضمني في رؤية القيمة كدالة لتوزيعات الأرباح ، مع الإبقاء أيضًا على أن سياسة توزيع الأرباح لا يمكن أن تؤثر على القيمة وفقًا لمبدأ Modigliani و Miller " مبدأ عدم الصلة " ؛ انظر سياسة توزيع الأرباح   عدم أهمية سياسة توزيع الأرباح . </p><p>التطبيق النموذجي للخيارات الحقيقية هو مشاكل نوع <a href="/wiki/%D9%85%D9%88%D8%A7%D8%B2%D9%86%D8%A9_%D8%B1%D8%A3%D8%B3%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A%D8%A9" title="موازنة رأسمالية">الميزانية الرأسمالية</a> كما هو موضح. ومع ذلك ، يتم تطبيقها أيضًا على مسائل <a href="/wiki/%D9%87%D9%8A%D9%83%D9%84_%D8%B1%D8%A3%D8%B3_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84" title="هيكل رأس المال">هيكل رأس المال</a> وسياسة توزيع الأرباح ، وعلى التصميم ذي الصلة لأوراق مالية الشركات ؛ <sup id="cite_ref-Garbade_37-0" class="reference"><a href="#cite_note-Garbade-37">[37]</a></sup> وبما أن حاملي الأسهم والسندات لديهم وظائف موضوعية مختلفة ، في تحليل مشاكل الوكالة ذات الصلة. <sup id="cite_ref-Damodaran_29-1" class="reference"><a href="#cite_note-Damodaran-29">[29]</a></sup> في جميع هذه الحالات ، يمكن أن توفر الأسعار الحكومية المعلومات الضمنية في السوق المتعلقة بالشركة ، على النحو الوارد أعلاه ، والتي يتم تطبيقها بعد ذلك على التحليل. على سبيل المثال ، يمكن (يجب) تسعير <a href="/wiki/%D8%B3%D9%86%D8%AF_%D9%82%D8%A7%D8%A8%D9%84_%D9%84%D9%84%D8%AA%D8%AD%D9%88%D9%8A%D9%84" title="سند قابل للتحويل">السندات القابلة للتحويل</a> بما يتفق مع الأسعار الحكومية لأسهم الشركة. <sup id="cite_ref-corp_fin_state_prices_13-2" class="reference"><a href="#cite_note-corp_fin_state_prices-13">[13]</a></sup> <sup id="cite_ref-Kruschwitz_and_Löffler_33-1" class="reference"><a href="#cite_note-Kruschwitz_and_Löffler-33">[33]</a></sup> </p> <h2><span id=".D8.A7.D9.84.D8.AA.D8.AD.D8.AF.D9.8A.D8.A7.D8.AA_.D9.88.D8.A7.D9.84.D9.86.D9.82.D8.AF"></span><span class="mw-headline" id="التحديات_والنقد">التحديات والنقد</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&action=edit&section=12" title="عدل القسم: التحديات والنقد">عدل</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2> <p>كما ذكر أعلاه ، هناك صلة وثيقة للغاية بين (1) فرضية المشي العشوائي ، مع التوقعات المرتبطة بأن تغيرات الأسعار يجب أن تتبع <a href="/wiki/%D8%AA%D9%88%D8%B2%D9%8A%D8%B9_%D8%A7%D8%AD%D8%AA%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A_%D8%B7%D8%A8%D9%8A%D8%B9%D9%8A" title="توزيع احتمالي طبيعي">التوزيع الطبيعي</a> ، من ناحية ، و (2) كفاءة السوق <a href="/wiki/%D8%AA%D9%88%D9%82%D8%B9%D8%A7%D8%AA_%D8%B1%D8%B4%D9%8A%D8%AF%D8%A9" title="توقعات رشيدة">والتوقعات المنطقية</a> ، من ناحية أخرى. لاحظ ، مع ذلك ، أنه يتم ملاحظة حالات الخروج (الواسعة) عن هذه ، وبالتالي ، هناك ، على التوالي ، مجموعتان رئيسيتان من التحديات. </p> <h3><span id=".D8.A7.D9.84.D9.85.D8.BA.D8.A7.D8.AF.D8.B1.D9.8A.D9.86_.D9.85.D9.86_.D8.A7.D9.84.D8.AD.D9.8A.D8.A7.D8.A9_.D8.A7.D9.84.D8.B7.D8.A8.D9.8A.D8.B9.D9.8A.D8.A9"></span><span class="mw-headline" id="المغادرين_من_الحياة_الطبيعية">المغادرين من الحياة الطبيعية</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&action=edit&section=13" title="عدل القسم: المغادرين من الحياة الطبيعية">عدل</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h3> <div class="thumb tleft"><div class="thumbinner" style="width:222px;"><a href="/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:Ivsrf.gif" class="image"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b1/Ivsrf.gif/220px-Ivsrf.gif" decoding="async" width="220" height="201" class="thumbimage" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b1/Ivsrf.gif/330px-Ivsrf.gif 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b1/Ivsrf.gif 2x" data-file-width="395" data-file-height="361" /></a> <div class="thumbcaption"><div class="magnify"><a href="/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:Ivsrf.gif" class="internal" title="كبّر"></a></div>سطح التقلب الضمني. يمثل المحور Z تقلبًا ضمنيًا في المئة ، وتمثل محاور X و Y دلتا الخيار ، والأيام حتى الاستحقاق.</div></div></div> <p>كما تمت مناقشته ، فإن الافتراضات القائلة بأن أسعار السوق تتبع <a href="/wiki/%D8%B3%D9%8A%D8%B1_%D8%B9%D8%B4%D9%88%D8%A7%D8%A6%D9%8A" title="سير عشوائي">مسارًا عشوائيًا</a> و / أو أن عوائد الأصول يتم توزيعها بشكل طبيعي هي أمور أساسية. ومع ذلك ، تشير الدلائل التجريبية إلى أن هذه الافتراضات قد لا تصمد (انظر خطر التعرق ، مخاطر الانحراف ، <a href="/wiki/%D8%A7%D9%84%D8%B0%D9%8A%D9%84_%D8%A7%D9%84%D8%B7%D9%88%D9%8A%D9%84" title="الذيل الطويل">الذيل الطويل</a> ) وأنه في الممارسة العملية ، يعدل التجار والمحللون ومديرو المخاطر بشكل متكرر "النماذج القياسية" (انظر نموذج المخاطر ). في الواقع ، اكتشف <a href="/wiki/%D8%A8%D9%8A%D9%86%D9%88%D8%A7_%D9%85%D8%A7%D9%86%D8%AF%D9%84%D8%A8%D8%B1%D9%88%D8%AA" title="بينوا ماندلبروت">B e n o i t Mandelbrot</a> بالفعل في الستينيات من القرن الماضي أن التغيرات في الأسعار المالية لا تتبع <a href="/wiki/%D8%AA%D9%88%D8%B2%D9%8A%D8%B9_%D8%A7%D8%AD%D8%AA%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A_%D8%B7%D8%A8%D9%8A%D8%B9%D9%8A" title="توزيع احتمالي طبيعي">توزيعًا غوسيًا</a> ، وهو الأساس لنظرية تسعير الخيارات ، على الرغم من أن هذه الملاحظة كانت بطيئة في العثور على طريقها إلى الاقتصاد المالي السائد. </p><p><a href="/w/index.php?title=Financial_models_with_long-tailed_distributions_and_volatility_clustering&action=edit&redlink=1" class="new" title="Financial models with long-tailed distributions and volatility clustering (الصفحة غير موجودة)">تم تقديم نماذج مالية ذات توزيعات طويلة الذيل وتجمعات متقلبة</a> للتغلب على مشاكل الواقعية للنماذج المالية "الكلاسيكية" أعلاه ؛ بينما تسمح <a href="/w/index.php?title=Jump_diffusion&action=edit&redlink=1" class="new" title="Jump diffusion (الصفحة غير موجودة)">نماذج الانتقال السريع</a> لأسعار (الخيار) بدمج <a href="/w/index.php?title=Jump_process&action=edit&redlink=1" class="new" title="Jump process (الصفحة غير موجودة)">"القفزات"</a> في السعر الفوري . <sup id="cite_ref-holes_38-0" class="reference"><a href="#cite_note-holes-38">[38]</a></sup> وبالمثل ، يستكمل مديرو المخاطر (أو البديل) <a href="/w/index.php?title=Value_at_risk&action=edit&redlink=1" class="new" title="Value at risk (الصفحة غير موجودة)">القيمة</a> القياسية في نماذج <a href="/w/index.php?title=Value_at_risk&action=edit&redlink=1" class="new" title="Value at risk (الصفحة غير موجودة)">المخاطر</a> <a href="/w/index.php?title=Historical_simulation_(finance)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Historical simulation (finance) (الصفحة غير موجودة)">بمحاكاة تاريخية</a> ، <a href="/w/index.php?title=Mixture_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Mixture model (الصفحة غير موجودة)">ونماذج خليط</a> ، <a href="/wiki/%D8%AA%D8%AD%D9%84%D9%8A%D9%84_%D8%A7%D9%84%D8%B9%D9%86%D8%B5%D8%B1_%D8%A7%D9%84%D8%B1%D8%A6%D9%8A%D8%B3%D9%8A" title="تحليل العنصر الرئيسي">وتحليل مكون رئيسي</a> ، <a href="/w/index.php?title=Extreme_value_theory&action=edit&redlink=1" class="new" title="Extreme value theory (الصفحة غير موجودة)">ونظرية القيمة القصوى</a> ، فضلاً عن نماذج <a href="/w/index.php?title=Volatility_clustering&action=edit&redlink=1" class="new" title="Volatility clustering (الصفحة غير موجودة)">لتجميع التقلب</a> . <sup id="cite_ref-39" class="reference"><a href="#cite_note-39">[39]</a></sup> لمزيد من المناقشة رؤية الذيل الدهون § التوزيع   التطبيقات في الاقتصاد ، والقيمة المعرضة للخطر   النقد . مديرو الحافظة ، وبالمثل ، قاموا بتعديل معايير وخوارزميات التحسين الخاصة بهم ؛ انظر <a href="/w/index.php?title=Financial_economics&action=edit&redlink=1" class="new" title="Financial economics (الصفحة غير موجودة)">نظرية محفظة #</a> أعلاه. </p><p>يرتبط ارتباطًا وثيقًا <a href="/w/index.php?title=Volatility_smile&action=edit&redlink=1" class="new" title="Volatility smile (الصفحة غير موجودة)">بابتسامة التقلب</a> ، حيث يُلاحظ أن <a href="/w/index.php?title=Implied_volatility&action=edit&redlink=1" class="new" title="Implied volatility (الصفحة غير موجودة)">التقلب الضمني</a> - التقلب المقابل لسعر B S M - <i>يختلف</i> كدالة <a href="/w/index.php?title=Strike_price&action=edit&redlink=1" class="new" title="Strike price (الصفحة غير موجودة)">لسعر الإضراب</a> (أي <a href="/w/index.php?title=Moneyness&action=edit&redlink=1" class="new" title="Moneyness (الصفحة غير موجودة)">النقود</a> ) ، وهذا صحيح فقط إذا كان توزيع تغيير السعر غير طبيعي ، على عكس ذلك المفترض بواسطة B S M. يصف مصطلح مصطلح التقلب مدى اختلاف التقلب (الضمني) بالنسبة للخيارات ذات الصلة مع آجال استحقاق مختلفة. سطح التقلب الضمني هو ثم مؤامرة سطح ثلاثية الأبعاد من ابتسامة التقلب وهيكل المدى. هذه الظواهر التجريبية تنفي افتراض التقلب المستمر والسجلات الطبيعية - التي بنيت عليها بلاك سكولز ؛ <sup id="cite_ref-Haug_Taleb_22-1" class="reference"><a href="#cite_note-Haug_Taleb-22">[22]</a></sup> <sup id="cite_ref-holes_38-1" class="reference"><a href="#cite_note-holes-38">[38]</a></sup> انظر نموذج بلاك سكولز   تقلب ابتسامة . </p><p>نتيجة لذلك ، يستخدم المتداولون (ومديرو المخاطر) نماذج "متسقة مع الابتسامة" ، أولاً ، عند تقييم المشتقات التي لم يتم تعيينها مباشرة إلى السطح ، مما يسهل تسعير المجموعات الأخرى ، مثل مجموعات الأسعار / النضج غير المشتقة ، أو المشتقات غير الأوروبية ، وعموما لأغراض التحوط. الطريقتان الرئيسيتان هما <a href="/w/index.php?title=Local_volatility&action=edit&redlink=1" class="new" title="Local volatility (الصفحة غير موجودة)">التقلب المحلي وتقلب</a> <a href="/w/index.php?title=Stochastic_volatility&action=edit&redlink=1" class="new" title="Stochastic volatility (الصفحة غير موجودة)">مؤشر ستوكاستيك</a> . الأول يعيد التقلبات "المحلية" إلى كل نقطة زمنية <a href="/w/index.php?title=Finite_difference_methods_for_option_pricing&action=edit&redlink=1" class="new" title="Finite difference methods for option pricing (الصفحة غير موجودة)">محددة</a> للتقييم القائم على <a href="/w/index.php?title=Finite_difference_methods_for_option_pricing&action=edit&redlink=1" class="new" title="Finite difference methods for option pricing (الصفحة غير موجودة)">الفروق</a> أو <a href="/w/index.php?title=Monte_Carlo_methods_for_option_pricing&action=edit&redlink=1" class="new" title="Monte Carlo methods for option pricing (الصفحة غير موجودة)">المحاكاة</a> - أي على عكس التذبذب الضمني ، والذي يبقى ثابتًا بشكل عام. وبهذه الطريقة ، تكون الأسعار المحسوبة - والهياكل الرقمية - متسقة مع السوق بطريقة خالية من المراجحة. النهج الثاني يفترض أن تقلب السعر الأساسي هو عملية عشوائية وليس ثابتة. يتم أولاً <a href="/w/index.php?title=Stochastic_volatility&action=edit&redlink=1" class="new" title="Stochastic volatility (الصفحة غير موجودة)">"معايرة"</a> النماذج هنا للأسعار المرصودة ، ثم يتم تطبيقها على التقييم المعني ؛ الأكثر شيوعًا هي <a href="/w/index.php?title=Heston_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Heston model (الصفحة غير موجودة)">H e s t o n</a> و <a href="/w/index.php?title=SABR_volatility_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="SABR volatility model (الصفحة غير موجودة)">S A B R</a> و <a href="/w/index.php?title=Constant_elasticity_of_variance_model&action=edit&redlink=1" class="new" title="Constant elasticity of variance model (الصفحة غير موجودة)">C E V</a> . يعالج هذا النهج بعض المشكلات المحددة مع التحوط في ظل التقلبات المحلية. <sup id="cite_ref-40" class="reference"><a href="#cite_note-40">[40]</a></sup> </p><p>تتعلق التقلبات المحلية بالأشجار الضمنية ذات الحدين و الأشجار المستندة إلى <a href="/w/index.php?title=Lattice_model_(finance)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Lattice model (finance) (الصفحة غير موجودة)">شعرية</a> - تقديرا أساسيا للنهج - والتي تستخدم بالمثل في التسعير هذه مبنية على أسعار الدولة المستردة من السطح. تسمح أشجار E d g e w o r t h ذات الحدين بوجود <a href="/w/index.php?title=Skewness&action=edit&redlink=1" class="new" title="Skewness (الصفحة غير موجودة)">انحراف</a> وخرط محدد (أي غير غاوسي) في السعر الفوري ؛ بسعر هنا ، فإن الخيارات ذات الضربات المختلفة ستعيد التقلبات الضمنية المختلفة ، ويمكن معايرة الشجرة حسب الابتسامة على النحو المطلوب. <sup id="cite_ref-41" class="reference"><a href="#cite_note-41">[41]</a></sup> كما تم تطوير <a href="/w/index.php?title=Closed-form_expression&action=edit&redlink=1" class="new" title="Closed-form expression (الصفحة غير موجودة)">نماذج مقفلة ذات</a> أغراض مماثلة. <sup id="cite_ref-42" class="reference"><a href="#cite_note-42">[42]</a></sup> </p><p>كما ذكر أعلاه ، يفترض B S M - ونماذج المشتقات الأخرى عادة - (د) القدرة على تكرار التدفقات النقدية تمامًا بحيث يتم التحوط بالكامل ، ومن ثم إلى الخصم دون معدل المخاطرة. وهذا ، بدوره ، مبني على افتراض وجود بيئة خالية من مخاطر الائتمان. بعد الأزمة ، إذن ، يتم إجراء العديد من التعديلات على القيمة x على القيمة المشتقة من المخاطر المحايدة. لاحظ أن هذه العناصر <i>إضافية</i> لأي تأثير على الابتسامة أو السطح: هذا صحيح لأن السطح مبني على بيانات الأسعار المتعلقة بالمراكز المضمونة بالكامل ، وبالتالي لا يوجد " حساب مزدوج " لمخاطر الائتمان (وما إلى ذلك) عند تضمين x V A. (أيضًا ، لو لم يكن الأمر كذلك ، فسيكون لكل طرف مقابل سطحه الخاص. . . ) </p> <h3><span id=".D8.A7.D9.84.D9.85.D8.BA.D8.A7.D8.AF.D8.B1.D9.8A.D9.86_.D9.85.D9.86_.D8.A7.D9.84.D8.B9.D9.82.D9.84.D8.A7.D9.86.D9.8A.D8.A9"></span><span class="mw-headline" id="المغادرين_من_العقلانية">المغادرين من العقلانية</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&action=edit&section=14" title="عدل القسم: المغادرين من العقلانية">عدل</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h3> <table class="wikitable floatright" width="200"> <tbody><tr align="center"> <td colspan="1">الشذوذ في السوق والألغاز الاقتصادية </td></tr> <tr> <td rowspan="2"> <ul><li>تأثير التقويم <ul><li>تأثير يناير</li> <li>سانتا كلوز تجمع</li> <li>بيع في مايو</li></ul></li> <li><a href="/wiki/%D8%B1%D8%A3%D8%B3%D9%85%D8%A7%D9%84_%D9%85%D8%BA%D9%84%D9%82" title="رأسمال مغلق">لغز نهاية مغلقة الصندوق</a></li> <li>لغز الارباح</li> <li>الإنصاف لغز المنزل التحيز</li> <li>لغز قسط الأسهم</li> <li>إلى الأمام الشذوذ قسط</li> <li>انخفاض الشذوذ الشذوذ</li> <li>الزخم الشذوذ</li> <li>بعد إعلان الأرباح الانجراف</li> <li>الألغاز الحقيقية لسعر الصرف</li></ul> </td></tr></tbody></table> <p>كما رأينا ، هناك افتراض شائع هو أن صناع القرار المالي يتصرفون بعقلانية. رؤية <a href="/w/index.php?title=Homo_economicus&action=edit&redlink=1" class="new" title="Homo economicus (الصفحة غير موجودة)">هومو الاقتصادية</a> . لكن في الآونة الأخيرة ، تحدى الباحثون في <a href="/wiki/%D8%B9%D9%84%D9%85_%D8%A7%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF_%D8%AA%D8%AC%D8%B1%D9%8A%D8%A8%D9%8A" title="علم اقتصاد تجريبي">الاقتصاد</a> <a href="/w/index.php?title=Experimental_finance&action=edit&redlink=1" class="new" title="Experimental finance (الصفحة غير موجودة)">التجريبي والتمويل التجريبي</a> هذا الافتراض <a href="/wiki/%D8%AF%D9%84%D9%8A%D9%84_%D8%AA%D8%AC%D8%B1%D9%8A%D8%A8%D9%8A" title="دليل تجريبي">تجريبياً</a> . كما يتم تحدي هذه الافتراضات من <a href="/wiki/%D9%86%D8%B8%D8%B1%D9%8A%D8%A9" title="نظرية">الناحية النظرية</a> ، من خلال <a href="/wiki/%D8%A7%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF_%D8%B3%D9%84%D9%88%D9%83%D9%8A" title="اقتصاد سلوكي">التمويل السلوكي</a> ، وهو مجال يتعلق في المقام الأول بالقيود المفروضة على عقلانية العوامل الاقتصادية. </p><p>تمشيا مع هذه النتائج ومكملة لها ، تم توثيق العديد من <a href="/w/index.php?title=Market_anomaly&action=edit&redlink=1" class="new" title="Market anomaly (الصفحة غير موجودة)">الحالات الشاذة</a> المستمرة في <a href="/w/index.php?title=Market_anomaly&action=edit&redlink=1" class="new" title="Market anomaly (الصفحة غير موجودة)">السوق ، والتي تمثل تشوهات في</a> الأسعار و / أو العودة - على سبيل المثال <a href="/w/index.php?title=Size_premium&action=edit&redlink=1" class="new" title="Size premium (الصفحة غير موجودة)">أقساط الحجم</a> - والتي تتعارض مع <a href="/wiki/%D9%81%D8%B1%D8%B6%D9%8A%D8%A9_%D9%83%D9%81%D8%A7%D8%A1%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D8%B3%D9%88%D9%82" title="فرضية كفاءة السوق">فرضية السوق الفعالة</a> ؛ <a href="/w/index.php?title=Calendar_effect&action=edit&redlink=1" class="new" title="Calendar effect (الصفحة غير موجودة)">تأثيرات التقويم</a> هي أفضل مجموعة معروفة هنا. تتعلق هذه <a href="/w/index.php?title=Economic_puzzle&action=edit&redlink=1" class="new" title="Economic puzzle (الصفحة غير موجودة)">الألغاز الاقتصادية</a> المختلفة ، المتعلقة بالظواهر التي تتناقض مع النظرية بالمثل. ينشأ <i><a href="/w/index.php?title=Equity_premium_puzzle&action=edit&redlink=1" class="new" title="Equity premium puzzle (الصفحة غير موجودة)">لغز علاوة الأسهم</a></i> ، على سبيل المثال ، في أن الفرق بين العوائد الملحوظة على الأسهم مقارنة بالسندات الحكومية أعلى باستمرار من <a href="/w/index.php?title=Abnormal_return&action=edit&redlink=1" class="new" title="Abnormal return (الصفحة غير موجودة)">عائد</a> <a href="/wiki/%D8%B9%D9%84%D8%A7%D9%88%D8%A9_%D9%85%D8%AE%D8%A7%D8%B7%D8%B1%D8%A9" title="علاوة مخاطرة">المخاطرة في</a> الأسهم العقلانية التي ينبغي على المستثمرين طلبها ، وهو " <a href="/w/index.php?title=Abnormal_return&action=edit&redlink=1" class="new" title="Abnormal return (الصفحة غير موجودة)">عائد غير طبيعي</a> ". للحصول على مزيد من السياق ، انظر <a href="/w/index.php?title=Random_walk_hypothesis&action=edit&redlink=1" class="new" title="Random walk hypothesis (الصفحة غير موجودة)">فرضية المشي العشوائي § فرضية المشي العشوائية</a> ، والشريط الجانبي لحالات محددة. </p><p>بشكل أعم ، وخاصة بعد <a href="/wiki/%D8%A7%D9%84%D8%A3%D8%B2%D9%85%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A%D8%A9_2007-2008" title="الأزمة المالية 2007-2008">الأزمة المالية في 2007-2010</a> ، تعرض الاقتصاد المالي <a href="/wiki/%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9%8A%D8%A7%D8%AA_%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A%D8%A9" title="رياضيات مالية">والتمويل الرياضي</a> إلى نقد أعمق ؛ جدير بالذكر هنا <a href="/wiki/%D9%86%D8%B3%D9%8A%D9%85_%D9%86%D9%82%D9%88%D9%84%D8%A7_%D8%B7%D8%A7%D9%84%D8%A8" title="نسيم نقولا طالب">نسيم نيكولاس طالب</a> ، الذي يدعي أن أسعار الأصول المالية لا يمكن وصفها بالنماذج البسيطة المستخدمة حاليًا ، مما يجعل الكثير من الممارسات الحالية غير ذات صلة ، وفي أسوأ الأحوال ، مضللة بشكل خطير ؛ رؤية <a href="/wiki/%D9%86%D8%B8%D8%B1%D9%8A%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D8%A8%D8%AC%D8%B9%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D8%B3%D9%88%D8%AF%D8%A7%D8%A1" title="نظرية البجعة السوداء">نظرية البجعة السوداء</a> ، توزيع طالب . كان موضوع الاهتمام العام الذي تمت دراسته في السنوات الأخيرة هو <a href="/wiki/%D8%A3%D8%B2%D9%85%D8%A9_%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A%D8%A9" title="أزمة مالية">الأزمات المالية</a> ، <sup id="cite_ref-43" class="reference"><a href="#cite_note-43">[43]</a></sup> وفشل الاقتصاديات المالية في تشكيلها. (المشكلة ذات الصلة هي <a href="/wiki/%D9%85%D8%AE%D8%A7%D8%B7%D8%B1_%D9%86%D8%B8%D9%85%D9%8A%D8%A9" title="مخاطر نظمية">المخاطر النظامية</a> : حيث تحتفظ الشركات بأوراق مالية فيما بينها ، فإن الترابط قد يستلزم "سلسلة تقييم" - وأداء شركة واحدة ، أو أمان ، سوف يؤثر هنا على الجميع ، وهي ظاهرة لا يمكن صياغتها بسهولة ، بغض النظر عما إذا النماذج الفردية صحيحة. انظر <a href="/wiki/%D9%85%D8%AE%D8%A7%D8%B7%D8%B1_%D9%86%D8%B8%D9%85%D9%8A%D8%A9" title="مخاطر نظمية">المخاطر النظامية § عدم كفاية نماذج التقييم الكلاسيكية</a> ؛ <a href="/w/index.php?title=Cascades_in_financial_networks&action=edit&redlink=1" class="new" title="Cascades in financial networks (الصفحة غير موجودة)">شلالات في الشبكات المالية</a> ؛ <a href="/w/index.php?title=Flight-to-quality&action=edit&redlink=1" class="new" title="Flight-to-quality (الصفحة غير موجودة)">رحلة إلى الجودة</a> . ) </p><p>تشمل مجالات البحث التي تحاول شرح (أو على الأقل نموذج) هذه الظواهر والأزمات ، <sup id="cite_ref-Doyne_Geanakoplos_12-3" class="reference"><a href="#cite_note-Doyne_Geanakoplos-12">[12]</a></sup> <a href="/w/index.php?title=Noise_trader&action=edit&redlink=1" class="new" title="Noise trader (الصفحة غير موجودة)">تجارة الضوضاء</a> <a href="/w/index.php?title=Market_microstructure&action=edit&redlink=1" class="new" title="Market microstructure (الصفحة غير موجودة)">والبنية المجهرية للسوق</a> ونماذج العوامل غير المتجانسة . يمتد هذا الأخير إلى <a href="/w/index.php?title=Agent-based_computational_economics&action=edit&redlink=1" class="new" title="Agent-based computational economics (الصفحة غير موجودة)">الاقتصاد الحسابي القائم على الوكيل</a> ، حيث يتم التعامل مع السعر <a href="/wiki/%D8%AA%D9%88%D9%84%D8%AF" title="تولد">كظاهرة ناشئة</a> ، الناتجة عن تفاعل مختلف المشاركين في السوق (الوكلاء). تقول فرضية السوق الصاخبة أن الأسعار يمكن أن تتأثر بالمضاربين وتجار الزخم ، وكذلك من <a href="/wiki/%D8%AA%D8%AF%D8%A7%D9%88%D9%84_%D9%85%D9%86_%D8%A7%D9%84%D8%AF%D8%A7%D8%AE%D9%84" title="تداول من الداخل">الداخل</a> والمؤسسات التي غالباً ما تشتري وتبيع الأسهم لأسباب لا علاقة لها بالقيمة الأساسية ؛ انظر <a href="/w/index.php?title=Noise_(economic)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Noise (economic) (الصفحة غير موجودة)">الضوضاء (الاقتصادية)</a> . <a href="/w/index.php?title=Adaptive_market_hypothesis&action=edit&redlink=1" class="new" title="Adaptive market hypothesis (الصفحة غير موجودة)">فرضية السوق التكيفية</a> هي محاولة للتوفيق بين فرضية السوق الفعالة والاقتصاد السلوكي ، من خلال تطبيق مبادئ <a href="/wiki/%D8%AA%D8%B7%D9%88%D8%B1" title="تطور">التطور</a> على التفاعلات المالية. بدلاً من ذلك ، تُظهر <a href="/w/index.php?title=Information_cascade&action=edit&redlink=1" class="new" title="Information cascade (الصفحة غير موجودة)">سلسلة المعلومات</a> المشاركين في السوق وهم يشاركون في نفس أفعال الآخرين (" <a href="/wiki/%D8%B3%D9%84%D9%88%D9%83_%D8%A7%D9%84%D9%82%D8%B7%D9%8A%D8%B9" title="سلوك القطيع">سلوك القطيع</a> ") ، على الرغم من التناقضات مع معلوماتهم الخاصة. وقد تم تطبيق <a href="/w/index.php?title=Copula_(probability_theory)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Copula (probability theory) (الصفحة غير موجودة)">النمذجة المستندة إلى Copula</a> بالمثل. انظر أيضًا <a href="/w/index.php?title=Hyman_Minsky&action=edit&redlink=1" class="new" title="Hyman Minsky (الصفحة غير موجودة)">"فرضية عدم الاستقرار المالي" التي</a> <a href="/w/index.php?title=Hyman_Minsky&action=edit&redlink=1" class="new" title="Hyman Minsky (الصفحة غير موجودة)">وضعها هيمان مينسكي</a> ، بالإضافة إلى مقاربة <a href="/wiki/%D8%AC%D9%88%D8%B1%D8%AC_%D8%B3%D9%88%D8%B1%D9%88%D8%B3" title="جورج سوروس">جورج سوروس</a> ، <a href="/wiki/%D8%AC%D9%88%D8%B1%D8%AC_%D8%B3%D9%88%D8%B1%D9%88%D8%B3" title="جورج سوروس">الانعكاسية ، الأسواق المالية ، والنظرية الاقتصادية</a> . </p><p>ولكن على الجانب الآخر ، أظهرت العديد من الدراسات أنه على الرغم من هذه الانحرافات عن الكفاءة ، إلا أن أسعار الأصول عادةً ما تمشي بشكل عشوائي ، وبالتالي لا يمكن للمرء أن يتفوق باستمرار على متوسطات السوق ( "ألفا" ). <sup id="cite_ref-44" class="reference"><a href="#cite_note-44">[44]</a></sup> لذلك فإن الأثر العملي هو أن الاستثمار السلبي (على سبيل المثال من خلال <a href="/w/index.php?title=Index_fund&action=edit&redlink=1" class="new" title="Index fund (الصفحة غير موجودة)">صناديق المؤشرات</a> منخفضة التكلفة) ينبغي ، في المتوسط ، أن يخدم بشكل أفضل من أي استراتيجية نشطة أخرى. <sup id="cite_ref-two_45-0" class="reference"><a href="#cite_note-two-45">[45]</a></sup> <a href="/w/index.php?title=Burton_Malkiel&action=edit&redlink=1" class="new" title="Burton Malkiel (الصفحة غير موجودة)">تعد لعبة Burton M a l k i e l</a> <i><a href="/w/index.php?title=A_Random_Walk_Down_Wall_Street&action=edit&redlink=1" class="new" title="A Random Walk Down Wall Street (الصفحة غير موجودة)">للمشي العشوائي في وول ستريت</a></i> - التي نُشرت لأول مرة في عام 1973 ، وفي عددها الحادي عشر اعتبارًا من عام 2015 - تعميمًا شائعًا لهذه الحجج. (راجع أيضًا <a href="/w/index.php?title=John_C._Bogle&action=edit&redlink=1" class="new" title="John C. Bogle (الصفحة غير موجودة)">John C B o g l e</a> 's <i><a href="/w/index.php?title=Common_Sense_on_Mutual_Funds&action=edit&redlink=1" class="new" title="Common Sense on Mutual Funds (الصفحة غير موجودة)">Sense على صناديق الاستثمار المشتركة</a></i> ؛ لكن قارن <a href="/wiki/%D9%88%D8%A7%D8%B1%D9%86_%D8%A8%D8%A7%D9%81%D8%AA" title="وارن بافت">وارين بافيت</a> <i><a href="/w/index.php?title=The_Superinvestors_of_Graham-and-Doddsville&action=edit&redlink=1" class="new" title="The Superinvestors of Graham-and-Doddsville (الصفحة غير موجودة)">من S u p e r i n v e s t o r s لـ Graham-and-D o d d s v i l l e</a></i> . لاحظ أيضًا أن <i>الحدود</i> الموروثة مؤسسيًا <i><a href="/w/index.php?title=Limits_to_arbitrage&action=edit&redlink=1" class="new" title="Limits to arbitrage (الصفحة غير موجودة)">للمراجحة</a></i> - على عكس العوامل المتناقضة مباشرة مع النظرية - تُقترح أحيانًا كتفسير لهذه الانحرافات عن الكفاءة. </p> <h2><span id=".D8.A3.D9.86.D8.B8.D8.B1_.D8.A3.D9.8A.D8.B6.D8.A7"></span><span class="mw-headline" id="أنظر_أيضا">أنظر أيضا</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&action=edit&section=15" title="عدل القسم: أنظر أيضا">عدل</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2> <div class="div-col columns column-count column-count-2" style="-moz-column-count: 2; -webkit-column-count: 2; column-count: 2;"> <ul><li><a href="/w/index.php?title=%D8%AA%D8%B5%D9%86%D9%8A%D9%81:Finance_theories&action=edit&redlink=1" class="new" title="تصنيف:Finance theories (الصفحة غير موجودة)">Category:Finance theories</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D8%AA%D8%B5%D9%86%D9%8A%D9%81:Financial_economists&action=edit&redlink=1" class="new" title="تصنيف:Financial economists (الصفحة غير موجودة)">Category:Financial economists</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Deutsche_Bank_Prize_in_Financial_Economics&action=edit&redlink=1" class="new" title="Deutsche Bank Prize in Financial Economics (الصفحة غير موجودة)">Deutsche Bank Prize in Financial Economics</a></li> <li><a href="/wiki/Financial_modeling" class="mw-redirect" title="Financial modeling">Financial modeling</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Fischer_Black_Prize&action=edit&redlink=1" class="new" title="Fischer Black Prize (الصفحة غير موجودة)">Fischer Black Prize</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=%D9%82%D8%A7%D9%84%D8%A8:Sectionlink&action=edit&redlink=1" class="new" title="قالب:Sectionlink (الصفحة غير موجودة)">قالب:Sectionlink</a></li> <li><a href="/wiki/Monetary_economics" class="mw-redirect" title="Monetary economics">Monetary economics</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Outline_of_economics&action=edit&redlink=1" class="new" title="Outline of economics (الصفحة غير موجودة)">Outline of economics</a></li> <li><a href="/w/index.php?title=Outline_of_finance&action=edit&redlink=1" class="new" title="Outline of finance (الصفحة غير موجودة)">Outline of finance</a></li></ul> </div> <h2><span id=".D8.A7.D9.84.D9.85.D8.B1.D8.A7.D8.AC.D8.B9"></span><span class="mw-headline" id="المراجع">المراجع</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&action=edit&section=16" title="عدل القسم: المراجع">عدل</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2> <ol class="references"> <li id="cite_note-stanford1-1"><span class="mw-cite-backlink">↑ <a href="#cite_ref-stanford1_1-0"><sup><i><b>أ</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-stanford1_1-1"><sup><i><b>ب</b></i></sup></a></span> <span class="reference-text"><a href="/wiki/%D9%88%D9%8A%D9%84%D9%8A%D8%A7%D9%85_%D8%B4%D8%A7%D8%B1%D8%A8" title="ويليام شارب">William F. Sharpe</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.stanford.edu/~wfsharpe/mia/int/mia_int2.htm">"Financial Economics"</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20040604105441/http://www.stanford.edu/~wfsharpe/mia/int/mia_int2.htm">نسخة محفوظة</a> 2004-06-04 على موقع <a href="/wiki/%D9%88%D8%A7%D9%8A_%D8%A8%D8%A7%D9%83_%D9%85%D8%B4%D9%8A%D9%86" title="واي باك مشين">واي باك مشين</a>., in <span class="citation web"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://web.stanford.edu/~wfsharpe/mia/MIA.HTM">"<i>Macro-Investment Analysis</i>"</a>. Stanford University (manuscript). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20140714034144/http://web.stanford.edu/~wfsharpe/mia/mia.htm">تمت أرشفته</a> من الأصل في 2014-07-14<span class="reference-accessdate">. اطلع عليه بتاريخ 06 أغسطس 2009</span>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.btitle=Macro-Investment+Analysis&rft.genre=unknown&rft.pub=Stanford+University+%28manuscript%29&rft_id=http%3A%2F%2Fweb.stanford.edu%2F~wfsharpe%2Fmia%2FMIA.HTM&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r32919374">.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Lock-green.svg/9px-Lock-green.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center}.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg/9px-Lock-gray-alt-2.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center}.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/aa/Lock-red-alt-2.svg/9px-Lock-red-alt-2.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center}.mw-parser-output .cs1-subscription,.mw-parser-output .cs1-registration{color:#555}.mw-parser-output .cs1-subscription span,.mw-parser-output .cs1-registration span{border-bottom:1px dotted;cursor:help}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4c/Wikisource-logo.svg/12px-Wikisource-logo.svg.png")no-repeat;background-position:right .1em center}.mw-parser-output code.cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:inherit;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;font-size:100%}.mw-parser-output .cs1-visible-error{font-size:100%}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#33aa33;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-subscription,.mw-parser-output .cs1-registration,.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left,.mw-parser-output .cs1-kern-wl-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right,.mw-parser-output .cs1-kern-wl-right{padding-right:0.2em}</style></span> </li> <li id="cite_note-Miller-2"><span class="mw-cite-backlink">↑ <a href="#cite_ref-Miller_2-0"><sup><i><b>أ</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Miller_2-1"><sup><i><b>ب</b></i></sup></a></span> <span class="reference-text"> <a href="/w/index.php?title=Merton_H._Miller&action=edit&redlink=1" class="new" title="Merton H. Miller (الصفحة غير موجودة)">Merton H. Miller</a> ، (1999). تاريخ المالية: حساب شاهد عيان ، <i>مجلة إدارة المحافظ</i> . صيف 1999. </span> </li> <li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><b><a href="#cite_ref-3">^</a></b></span> <span class="reference-text"><a href="/wiki/%D8%B1%D9%88%D8%A8%D8%B1%D8%AA_%D9%85%D9%8A%D8%B1%D8%AA%D9%88%D9%86" title="روبرت ميرتون">Robert C. Merton</a> <span class="citation web"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://nobelprize.org/nobel_prizes/economics/laureates/1997/merton-lecture.pdf">"Nobel Lecture"</a> <span style="font-size:85%;">(PDF)</span>. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20090319202149/http://nobelprize.org/nobel_prizes/economics/laureates/1997/merton-lecture.pdf">تمت أرشفته</a> <span style="font-size:85%;">(PDF)</span> من الأصل في 2009-03-19<span class="reference-accessdate">. اطلع عليه بتاريخ 06 أغسطس 2009</span>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.btitle=Nobel+Lecture&rft.genre=unknown&rft_id=http%3A%2F%2Fnobelprize.org%2Fnobel_prizes%2Feconomics%2Flaureates%2F1997%2Fmerton-lecture.pdf&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></span> </li> <li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><b><a href="#cite_ref-4">^</a></b></span> <span class="reference-text">e.g.: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.kent.ac.uk/courses/undergraduate/126/financial-economics">Kent</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20140221212707/http://www.kent.ac.uk/courses/undergraduate/126/financial-economics">نسخة محفوظة</a> 2014-02-21 على موقع <a href="/wiki/%D9%88%D8%A7%D9%8A_%D8%A8%D8%A7%D9%83_%D9%85%D8%B4%D9%8A%D9%86" title="واي باك مشين">واي باك مشين</a>.; <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.city.ac.uk/courses/undergraduate/financial-economics">City London</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20140223090217/http://www.city.ac.uk/courses/undergraduate/financial-economics">نسخة محفوظة</a> 2014-02-23 على موقع <a href="/wiki/%D9%88%D8%A7%D9%8A_%D8%A8%D8%A7%D9%83_%D9%85%D8%B4%D9%8A%D9%86" title="واي باك مشين">واي باك مشين</a>.; <a rel="nofollow" class="external text" href="http://undergradbusiness.ucr.edu/major/financial_economics.html">UC Riverside</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20140222044845/http://undergradbusiness.ucr.edu/major/financial_economics.html">نسخة محفوظة</a> 2014-02-22 على موقع <a href="/wiki/%D9%88%D8%A7%D9%8A_%D8%A8%D8%A7%D9%83_%D9%85%D8%B4%D9%8A%D9%86" title="واي باك مشين">واي باك مشين</a>.; <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www2.le.ac.uk/departments/economics/undergraduate">Leicester</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20140222003101/http://www2.le.ac.uk/departments/economics/undergraduate">نسخة محفوظة</a> 2014-02-22 على موقع <a href="/wiki/%D9%88%D8%A7%D9%8A_%D8%A8%D8%A7%D9%83_%D9%85%D8%B4%D9%8A%D9%86" title="واي باك مشين">واي باك مشين</a>.; <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.economics.utoronto.ca/index.php/index/undergraduate/load/overview">Toronto</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20140221102435/http://www.economics.utoronto.ca/index.php/index/undergraduate/load/overview">نسخة محفوظة</a> 2014-02-21 على موقع <a href="/wiki/%D9%88%D8%A7%D9%8A_%D8%A8%D8%A7%D9%83_%D9%85%D8%B4%D9%8A%D9%86" title="واي باك مشين">واي باك مشين</a>.; <a rel="nofollow" class="external text" href="http://economics.umbc.edu/bs-in-financial-economics/">UMBC</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20141230165120/http://economics.umbc.edu/bs-in-financial-economics/">نسخة محفوظة</a> 2014-12-30 على موقع <a href="/wiki/%D9%88%D8%A7%D9%8A_%D8%A8%D8%A7%D9%83_%D9%85%D8%B4%D9%8A%D9%86" title="واي باك مشين">واي باك مشين</a>.</span> </li> <li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink"><b><a href="#cite_ref-5">^</a></b></span> <span class="reference-text">For example, <a rel="nofollow" class="external free" href="http://www.dictionaryofeconomics.com/search_results?q=&field=content&edition=all&topicid=G00">http://www.dictionaryofeconomics.com/search_results?q=&field=content&edition=all&topicid=G00</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20130529074942/http://www.dictionaryofeconomics.com/search_results?q=&field=content&edition=all&topicid=G00">نسخة محفوظة</a> 2013-05-29 على موقع <a href="/wiki/%D9%88%D8%A7%D9%8A_%D8%A8%D8%A7%D9%83_%D9%85%D8%B4%D9%8A%D9%86" title="واي باك مشين">واي باك مشين</a>..</span> </li> <li id="cite_note-Rubinstein-6"><span class="mw-cite-backlink">↑ <a href="#cite_ref-Rubinstein_6-0"><sup><i><b>أ</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Rubinstein_6-1"><sup><i><b>ب</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Rubinstein_6-2"><sup><i><b>ت</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Rubinstein_6-3"><sup><i><b>ث</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Rubinstein_6-4"><sup><i><b>ج</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Rubinstein_6-5"><sup><i><b>ح</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Rubinstein_6-6"><sup><i><b>خ</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Rubinstein_6-7"><sup><i><b>د</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Rubinstein_6-8"><sup><i><b>ذ</b></i></sup></a></span> <span class="reference-text"> <a href="/w/index.php?title=Mark_Rubinstein&action=edit&redlink=1" class="new" title="Mark Rubinstein (الصفحة غير موجودة)">روبنشتاين ، مارك</a> . (2005). "لحظات عظيمة في الاقتصاد المالي: رابعا. النظرية الأساسية (الجزء الأول)" ، <i>مجلة إدارة الاستثمار</i> ، المجلد. 3 ، رقم 4 ، الربع الرابع 2005 ؛ ~ (2006). الجزء الثاني ، المجلد. 4 ، رقم 1 ، الربع الأول 2006. انظر تحت عنوان "الروابط الخارجية". </span> </li> <li id="cite_note-7"><span class="mw-cite-backlink"><b><a href="#cite_ref-7">^</a></b></span> <span class="reference-text">C. Lewin (1970). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.actuaries.org.uk/system/files/documents/pdf/0121-0132.pdf">An early book on compound interest</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20161221163926/https://www.actuaries.org.uk/system/files/documents/pdf/0121-0132.pdf">نسخة محفوظة</a> 2016-12-21 على موقع <a href="/wiki/%D9%88%D8%A7%D9%8A_%D8%A8%D8%A7%D9%83_%D9%85%D8%B4%D9%8A%D9%86" title="واي باك مشين">واي باك مشين</a>., Institute and Faculty of Actuaries</span> </li> <li id="cite_note-Rubinstein2-8"><span class="mw-cite-backlink"><b><a href="#cite_ref-Rubinstein2_8-0">^</a></b></span> <span class="reference-text"> انظر روبنشتاين تحت عنوان "الببليوغرافيا". </span> </li> <li id="cite_note-Derman-9"><span class="mw-cite-backlink">↑ <a href="#cite_ref-Derman_9-0"><sup><i><b>أ</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Derman_9-1"><sup><i><b>ب</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Derman_9-2"><sup><i><b>ت</b></i></sup></a></span> <span class="reference-text">Emanuel Derman, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.emanuelderman.com/media/Scientific_Approach_to_Finance.pdf"><i>A Scientific Approach to CAPM and Options Valuation</i></a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20160330002200/http://www.emanuelderman.com/media/Scientific_Approach_to_Finance.pdf">نسخة محفوظة</a> 2016-03-30 على موقع <a href="/wiki/%D9%88%D8%A7%D9%8A_%D8%A8%D8%A7%D9%83_%D9%85%D8%B4%D9%8A%D9%86" title="واي باك مشين">واي باك مشين</a>. <span class="error mw-ext-cite-error" lang="ar" dir="rtl"><small>وسم <code><ref></code> غير صالح؛ الاسم "Derman" معرف أكثر من مرة بمحتويات مختلفة.</small></span> <span class="error mw-ext-cite-error" lang="ar" dir="rtl"><small>وسم <code><ref></code> غير صالح؛ الاسم "Derman" معرف أكثر من مرة بمحتويات مختلفة.</small></span></span> </li> <li id="cite_note-Delbaen_Schachermayer-10"><span class="mw-cite-backlink">↑ <a href="#cite_ref-Delbaen_Schachermayer_10-0"><sup><i><b>أ</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Delbaen_Schachermayer_10-1"><sup><i><b>ب</b></i></sup></a></span> <span class="reference-text">Freddy Delbaen and Walter Schachermayer. (2004). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.ams.org/notices/200405/what-is.pdf">"What is... a Free Lunch?"</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20160304061252/http://www.ams.org/notices/200405/what-is.pdf">نسخة محفوظة</a> 2016-03-04 على موقع <a href="/wiki/%D9%88%D8%A7%D9%8A_%D8%A8%D8%A7%D9%83_%D9%85%D8%B4%D9%8A%D9%86" title="واي باك مشين">واي باك مشين</a>. (pdf). Notices of the AMS 51 (5): 526–528</span> </li> <li id="cite_note-Cochrane_&_Culp-11"><span class="mw-cite-backlink">↑ <a href="#cite_ref-Cochrane_&_Culp_11-0"><sup><i><b>أ</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Cochrane_&_Culp_11-1"><sup><i><b>ب</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Cochrane_&_Culp_11-2"><sup><i><b>ت</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Cochrane_&_Culp_11-3"><sup><i><b>ث</b></i></sup></a></span> <span class="reference-text">Christopher L. Culp and <a href="/w/index.php?title=John_H._Cochrane&action=edit&redlink=1" class="new" title="John H. Cochrane (الصفحة غير موجودة)">John H. Cochrane</a>. (2003). "<a rel="nofollow" class="external text" href="http://faculty.chicagobooth.edu/john.cochrane/research/Papers/cochrane-culp%20asset%20pricing.pdf">"Equilibrium Asset Pricing and Discount Factors: Overview and Implications for Derivatives Valuation and Risk Management"</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20160304190225/http://faculty.chicagobooth.edu/john.cochrane/research/Papers/cochrane-culp%20asset%20pricing.pdf">نسخة محفوظة</a> 2016-03-04 على موقع <a href="/wiki/%D9%88%D8%A7%D9%8A_%D8%A8%D8%A7%D9%83_%D9%85%D8%B4%D9%8A%D9%86" title="واي باك مشين">واي باك مشين</a>., in <i>Modern Risk Management: A History</i>. Peter Field, ed. London: Risk Books, 2003. (<span dir="rtl">ردمك <span dir="ltr"><a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/1904339050" title="خاص:مصادر كتاب/1904339050">1904339050</a></span></span>)</span> </li> <li id="cite_note-Doyne_Geanakoplos-12"><span class="mw-cite-backlink">↑ <a href="#cite_ref-Doyne_Geanakoplos_12-0"><sup><i><b>أ</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Doyne_Geanakoplos_12-1"><sup><i><b>ب</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Doyne_Geanakoplos_12-2"><sup><i><b>ت</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Doyne_Geanakoplos_12-3"><sup><i><b>ث</b></i></sup></a></span> <span class="reference-text"><span class="citation journal">Farmer J. Doyne, Geanakoplos John (2009). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://campuspress.yale.edu/johngeanakoplos/files/2017/07/63.-The-Virtues-and-Vices-of-Equilbrium-and-the-Future-of-Financial-Economics-2009-26baz0x.pdf">"The virtues and vices of equilibrium and the future of financial economics"</a> <span style="font-size:85%;">(PDF)</span>. <i>Complexity</i>. <b>14</b> (3): 11–38. <a href="/wiki/%D8%A8%D9%8A%D8%A8_%D9%83%D9%88%D8%AF" title="بيب كود">Bibcode</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="http://adsabs.harvard.edu/abs/2009Cmplx..14c..11F">2009Cmplx..14c..11F</a>. <a href="/wiki/%D8%A3%D8%B1%D8%AE%D8%A7%D9%8A%D9%81" title="أرخايف">arXiv</a>:<span class="plainlinks"><a rel="nofollow" class="external text" href="//arxiv.org/abs/0803.2996">0803.2996</a><span style="margin-left:0.1em"><img alt="Freely accessible" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Lock-green.svg/9px-Lock-green.svg.png" decoding="async" title="يمكن الوصول إليها بحرية" width="9" height="14" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Lock-green.svg/14px-Lock-green.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/65/Lock-green.svg/18px-Lock-green.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="813" /></span></span>. <a href="/wiki/%D9%85%D8%B9%D8%B1%D9%81_%D8%A7%D9%84%D8%A7%D8%B4%D9%8A%D8%A7%D8%A1_%D8%A7%D9%84%D8%B1%D9%82%D9%85%D9%8A%D8%A9" class="mw-redirect" title="معرف الاشياء الرقمية">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="//dx.doi.org/10.1002%2Fcplx.20261">10.1002/cplx.20261</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.atitle=The+virtues+and+vices+of+equilibrium+and+the+future+of+financial+economics&rft.au=Farmer+J.+Doyne%2C+Geanakoplos+John&rft.date=2009&rft.genre=article&rft.issue=3&rft.jtitle=Complexity&rft.pages=11-38&rft.volume=14&rft_id=https%3A%2F%2Fcampuspress.yale.edu%2Fjohngeanakoplos%2Ffiles%2F2017%2F07%2F63.-The-Virtues-and-Vices-of-Equilbrium-and-the-Future-of-Financial-Economics-2009-26baz0x.pdf&rft_id=info%3Aarxiv%2F0803.2996&rft_id=info%3Abibcode%2F2009Cmplx..14c..11F&rft_id=info%3Adoi%2F10.1002%2Fcplx.20261&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></span> </li> <li id="cite_note-corp_fin_state_prices-13"><span class="mw-cite-backlink">↑ <a href="#cite_ref-corp_fin_state_prices_13-0"><sup><i><b>أ</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-corp_fin_state_prices_13-1"><sup><i><b>ب</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-corp_fin_state_prices_13-2"><sup><i><b>ت</b></i></sup></a></span> <span class="reference-text"> انظر de Matos ، وكذلك Bossaerts و Ødegaard ، تحت المراجع. </span> </li> <li id="cite_note-Chance2-14"><span class="mw-cite-backlink">↑ <a href="#cite_ref-Chance2_14-0"><sup><i><b>أ</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Chance2_14-1"><sup><i><b>ب</b></i></sup></a></span> <span class="reference-text">Don M. Chance (2008). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.bus.lsu.edu/academics/finance/faculty/dchance/Instructional/TN97-13.pdf">"Option Prices and State Prices"</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20120209215717/http://www.bus.lsu.edu/academics/finance/faculty/dchance/Instructional/TN97-13.pdf">نسخة محفوظة</a> 2012-02-09 على موقع <a href="/wiki/%D9%88%D8%A7%D9%8A_%D8%A8%D8%A7%D9%83_%D9%85%D8%B4%D9%8A%D9%86" title="واي باك مشين">واي باك مشين</a>.</span> </li> <li id="cite_note-15"><span class="mw-cite-backlink"><b><a href="#cite_ref-15">^</a></b></span> <span class="reference-text"><span class="citation journal">Breeden، Douglas T.؛ <a href="/w/index.php?title=Robert_Litzenberger&action=edit&redlink=1" class="new" title="Robert Litzenberger (الصفحة غير موجودة)">Litzenberger، Robert H.</a> (1978). "Prices of State-Contingent Claims Implicit in Option Prices". <i><a href="/w/index.php?title=Journal_of_Business&action=edit&redlink=1" class="new" title="Journal of Business (الصفحة غير موجودة)">Journal of Business</a></i>. <b>51</b> (4): 621–651. <a href="/wiki/%D8%AC%D8%A7%D9%8A%D8%B3%D8%AA%D9%88%D8%B1" title="جايستور">JSTOR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.jstor.org/stable/2352653">2352653</a>. <a href="/wiki/%D9%85%D8%B9%D8%B1%D9%81_%D8%A7%D9%84%D8%A7%D8%B4%D9%8A%D8%A7%D8%A1_%D8%A7%D9%84%D8%B1%D9%82%D9%85%D9%8A%D8%A9" class="mw-redirect" title="معرف الاشياء الرقمية">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="//dx.doi.org/10.1086%2F296025">10.1086/296025</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.atitle=Prices+of+State-Contingent+Claims+Implicit+in+Option+Prices&rft.au=Litzenberger%2C+Robert+H.&rft.aufirst=Douglas+T.&rft.aulast=Breeden&rft.date=1978&rft.genre=article&rft.issue=4&rft.jtitle=Journal+of+Business&rft.pages=621-651&rft.volume=51&rft_id=%2F%2Fwww.jstor.org%2Fstable%2F2352653&rft_id=info%3Adoi%2F10.1086%2F296025&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></span> </li> <li id="cite_note-Luenberger-16"><span class="mw-cite-backlink">↑ <a href="#cite_ref-Luenberger_16-0"><sup><i><b>أ</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Luenberger_16-1"><sup><i><b>ب</b></i></sup></a></span> <span class="reference-text"> انظر لوينبرجر <i>علوم الاستثمار</i> ، تحت المراجع. </span> </li> <li id="cite_note-17"><span class="mw-cite-backlink"><b><a href="#cite_ref-17">^</a></b></span> <span class="reference-text"> للحصول على علاج أكثر رسمية ، انظر ، على سبيل المثال: يوجين فاما. 1965. <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.cfapubs.org/toc/faj/1965/21/5">يسير عشوائي في أسعار البورصة</a> . <i><a href="/w/index.php?title=Financial_Analysts_Journal&action=edit&redlink=1" class="new" title="Financial Analysts Journal (الصفحة غير موجودة)">مجلة المحللين الماليين</a></i> ، سبتمبر / أكتوبر 1965 ، المجلد. 21 ، رقم 5: 55-59. </span> </li> <li id="cite_note-Shiller-18"><span class="mw-cite-backlink">↑ <a href="#cite_ref-Shiller_18-0"><sup><i><b>أ</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Shiller_18-1"><sup><i><b>ب</b></i></sup></a></span> <span class="reference-text"><span class="citation journal"><a href="/wiki/Robert_J._Shiller" class="mw-redirect" title="Robert J. Shiller">Shiller، Robert J.</a> (2003). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.econ.yale.edu/~shiller/pubs/p1055.pdf">"From Efficient Markets Theory to Behavioral Finance"</a> <span style="font-size:85%;">(PDF)</span>. <i><a href="/w/index.php?title=Journal_of_Economic_Perspectives&action=edit&redlink=1" class="new" title="Journal of Economic Perspectives (الصفحة غير موجودة)">Journal of Economic Perspectives</a></i>. <b>17</b> (1 (Winter 2003)): 83–104. <a href="/wiki/%D9%85%D8%B9%D8%B1%D9%81_%D8%A7%D9%84%D8%A7%D8%B4%D9%8A%D8%A7%D8%A1_%D8%A7%D9%84%D8%B1%D9%82%D9%85%D9%8A%D8%A9" class="mw-redirect" title="معرف الاشياء الرقمية">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="//dx.doi.org/10.1257%2F089533003321164967">10.1257/089533003321164967</a>. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20150412081613/http://www.econ.yale.edu/~shiller/pubs/p1055.pdf">تمت أرشفته</a> <span style="font-size:85%;">(PDF)</span> من الأصل في 2015-04-12.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.atitle=From+Efficient+Markets+Theory+to+Behavioral+Finance&rft.aufirst=Robert+J.&rft.aulast=Shiller&rft.date=2003&rft.genre=article&rft.issue=1+%28Winter+2003%29&rft.jtitle=Journal+of+Economic+Perspectives&rft.pages=83-104&rft.volume=17&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.econ.yale.edu%2F~shiller%2Fpubs%2Fp1055.pdf&rft_id=info%3Adoi%2F10.1257%2F089533003321164967&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></span> </li> <li id="cite_note-Jensen&Smith-19"><span class="mw-cite-backlink"><b><a href="#cite_ref-Jensen&Smith_19-0">^</a></b></span> <span class="reference-text"> <a href="/wiki/Michael_C._Jensen" class="mw-redirect" title="Michael C. Jensen">Jensen، Michael C.</a> and Smith، Clifford W.، "Theory of Corporate Finance: A Historical Overview". In: <i>The Modern Theory of Corporate Finance</i> ، New York: McGraw-Hill Inc.، pp. 2-20، 1984. </span> </li> <li id="cite_note-BlackScholes_paper-20"><span class="mw-cite-backlink"><b><a href="#cite_ref-BlackScholes_paper_20-0">^</a></b></span> <span class="reference-text"><span class="citation journal">Black، Fischer؛ Myron Scholes (1973). "The Pricing of Options and Corporate Liabilities". <i>Journal of Political Economy</i>. <b>81</b> (3): 637–654. <a href="/wiki/%D9%85%D8%B9%D8%B1%D9%81_%D8%A7%D9%84%D8%A7%D8%B4%D9%8A%D8%A7%D8%A1_%D8%A7%D9%84%D8%B1%D9%82%D9%85%D9%8A%D8%A9" class="mw-redirect" title="معرف الاشياء الرقمية">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="//dx.doi.org/10.1086%2F260062">10.1086/260062</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.atitle=The+Pricing+of+Options+and+Corporate+Liabilities&rft.au=Myron+Scholes&rft.aufirst=Fischer&rft.aulast=Black&rft.date=1973&rft.genre=article&rft.issue=3&rft.jtitle=Journal+of+Political+Economy&rft.pages=637-654&rft.volume=81&rft_id=info%3Adoi%2F10.1086%2F260062&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/> <a rel="nofollow" class="external autonumber" href="https://www.jstor.org/stable/1831029">[1]</a></span> </li> <li id="cite_note-Merton_paper-21"><span class="mw-cite-backlink"><b><a href="#cite_ref-Merton_paper_21-0">^</a></b></span> <span class="reference-text"> <span class="citation journal">Merton، Robert C. (1973). "Theory of Rational Option Pricing". <i>Bell Journal of Economics and Management Science</i>. <b>4</b> (1): 141–183. <a href="/wiki/%D8%AC%D8%A7%D9%8A%D8%B3%D8%AA%D9%88%D8%B1" title="جايستور">JSTOR</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="//www.jstor.org/stable/3003143">3003143</a>. <a href="/wiki/%D9%85%D8%B9%D8%B1%D9%81_%D8%A7%D9%84%D8%A7%D8%B4%D9%8A%D8%A7%D8%A1_%D8%A7%D9%84%D8%B1%D9%82%D9%85%D9%8A%D8%A9" class="mw-redirect" title="معرف الاشياء الرقمية">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="//dx.doi.org/10.2307%2F3003143">10.2307/3003143</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.atitle=Theory+of+Rational+Option+Pricing&rft.aufirst=Robert+C.&rft.aulast=Merton&rft.date=1973&rft.genre=article&rft.issue=1&rft.jtitle=Bell+Journal+of+Economics+and+Management+Science&rft.pages=141-183&rft.volume=4&rft_id=%2F%2Fwww.jstor.org%2Fstable%2F3003143&rft_id=info%3Adoi%2F10.2307%2F3003143&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/> <a rel="nofollow" class="external autonumber" href="https://www.jstor.org/stable/3003143">[2]</a></span> </li> <li id="cite_note-Haug_Taleb-22"><span class="mw-cite-backlink">↑ <a href="#cite_ref-Haug_Taleb_22-0"><sup><i><b>أ</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Haug_Taleb_22-1"><sup><i><b>ب</b></i></sup></a></span> <span class="reference-text">Haug, E. G. and <a href="/wiki/%D9%86%D8%B3%D9%8A%D9%85_%D9%86%D9%82%D9%88%D9%84%D8%A7_%D8%B7%D8%A7%D9%84%D8%A8" title="نسيم نقولا طالب">Taleb, N. N.</a> (2008): <a rel="nofollow" class="external text" href="http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1012075">Why We Have Never Used the Black-Scholes-Merton Option Pricing Formula</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20110503181600/http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1012075">نسخة محفوظة</a> 2011-05-03 على موقع <a href="/wiki/%D9%88%D8%A7%D9%8A_%D8%A8%D8%A7%D9%83_%D9%85%D8%B4%D9%8A%D9%86" title="واي باك مشين">واي باك مشين</a>., <i>Wilmott Magazine</i> January 2008</span> </li> <li id="cite_note-23"><span class="mw-cite-backlink"><b><a href="#cite_ref-23">^</a></b></span> <span class="reference-text"><span class="citation journal"><a href="/wiki/Paul_Samuelson" class="mw-redirect" title="Paul Samuelson">Samuelson Paul</a> (1965). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.dse.unisalento.it/c/document_library/get_file?folderId=1344637&name=DLFE-157230.pdf">"A Rational Theory of Warrant Pricing"</a> <span style="font-size:85%;">(PDF)</span>. <i>Industrial Management Review</i>. <b>6</b>: 2. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20170301092720/http://www.dse.unisalento.it/c/document_library/get_file?folderId=1344637&name=DLFE-157230.pdf">تمت أرشفته</a> <span style="font-size:85%;">(PDF)</span> من الأصل في 2017-03-01<span class="reference-accessdate">. اطلع عليه بتاريخ 28 فبراير 2017</span>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.atitle=A+Rational+Theory+of+Warrant+Pricing&rft.au=Samuelson+Paul&rft.date=1965&rft.genre=article&rft.jtitle=Industrial+Management+Review&rft.pages=2&rft.volume=6&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.dse.unisalento.it%2Fc%2Fdocument_library%2Fget_file%3FfolderId%3D1344637%26name%3DDLFE-157230.pdf&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></span> </li> <li id="cite_note-Chance1-24"><span class="mw-cite-backlink">↑ <a href="#cite_ref-Chance1_24-0"><sup><i><b>أ</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Chance1_24-1"><sup><i><b>ب</b></i></sup></a></span> <span class="reference-text">Don M. Chance (2008). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.bus.lsu.edu/academics/finance/faculty/dchance/Instructional/TN03-01.pdf">"Option Prices and Expected Returns"</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20150923195335/http://www.bus.lsu.edu/academics/finance/faculty/dchance/Instructional/TN03-01.pdf">نسخة محفوظة</a> 2015-09-23 على موقع <a href="/wiki/%D9%88%D8%A7%D9%8A_%D8%A8%D8%A7%D9%83_%D9%85%D8%B4%D9%8A%D9%86" title="واي باك مشين">واي باك مشين</a>.</span> </li> <li id="cite_note-25"><span class="mw-cite-backlink"><b><a href="#cite_ref-25">^</a></b></span> <span class="reference-text"> <i>نظرية التسعير للتحكيم ،</i> الفصل السادس في جوتزمان ، تحت الروابط الخارجية </span> </li> <li id="cite_note-26"><span class="mw-cite-backlink"><b><a href="#cite_ref-26">^</a></b></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://pure.au.dk/portal-asb-student/files/96440392/Master_Thesis_Pure.pdf">"Post-Crisis Pricing of Swaps using xVAs"</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20160917015231/http://pure.au.dk/portal-asb-student/files/96440392/Master_Thesis_Pure.pdf">نسخة محفوظة</a> 2016-09-17 على موقع <a href="/wiki/%D9%88%D8%A7%D9%8A_%D8%A8%D8%A7%D9%83_%D9%85%D8%B4%D9%8A%D9%86" title="واي باك مشين">واي باك مشين</a>., Christian Kjølhede & Anders Bech, Master thesis, <a href="/wiki/%D8%AC%D8%A7%D9%85%D8%B9%D8%A9_%D8%A2%D8%B1%D9%87%D9%88%D8%B3" title="جامعة آرهوس">Aarhus University</a></span> </li> <li id="cite_note-27"><span class="mw-cite-backlink"><b><a href="#cite_ref-27">^</a></b></span> <span class="reference-text"><span class="citation journal">Hull، John؛ White، Alan (2013). "LIBOR vs. OIS: The Derivatives Discounting Dilemma". <i><a href="/w/index.php?title=Journal_of_Investment_Management&action=edit&redlink=1" class="new" title="Journal of Investment Management (الصفحة غير موجودة)">Journal of Investment Management</a></i>. <b>11</b> (3): 14–27.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.atitle=LIBOR+vs.+OIS%3A+The+Derivatives+Discounting+Dilemma&rft.au=White%2C+Alan&rft.aufirst=John&rft.aulast=Hull&rft.date=2013&rft.genre=article&rft.issue=3&rft.jtitle=Journal+of+Investment+Management&rft.pages=14-27&rft.volume=11&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></span> </li> <li id="cite_note-Damodaran_Risk-28"><span class="mw-cite-backlink">↑ <a href="#cite_ref-Damodaran_Risk_28-0"><sup><i><b>أ</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Damodaran_Risk_28-1"><sup><i><b>ب</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Damodaran_Risk_28-2"><sup><i><b>ت</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Damodaran_Risk_28-3"><sup><i><b>ث</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Damodaran_Risk_28-4"><sup><i><b>ج</b></i></sup></a></span> <span class="reference-text"><a href="/w/index.php?title=Aswath_Damodaran&action=edit&redlink=1" class="new" title="Aswath Damodaran (الصفحة غير موجودة)">Aswath Damodaran</a> (2007). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.stern.nyu.edu/~adamodar/pdfiles/papers/probabilistic.pdf">"Probabilistic Approaches: Scenario Analysis, Decision Trees and Simulations"</a>. In <i>Strategic Risk Taking: A Framework for Risk Management</i>. Prentice Hall. (<span dir="rtl">ردمك <span dir="ltr"><a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/0137043775" title="خاص:مصادر كتاب/0137043775">0137043775</a></span></span>)</span> </li> <li id="cite_note-Damodaran-29"><span class="mw-cite-backlink">↑ <a href="#cite_ref-Damodaran_29-0"><sup><i><b>أ</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Damodaran_29-1"><sup><i><b>ب</b></i></sup></a></span> <span class="reference-text"><span class="citation journal"><a href="/w/index.php?title=Aswath_Damodaran&action=edit&redlink=1" class="new" title="Aswath Damodaran (الصفحة غير موجودة)">Damodaran، Aswath</a> (2005). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://stern.nyu.edu/~adamodar/pdfiles/papers/realopt.pdf">"The Promise and Peril of Real Options"</a> <span style="font-size:85%;">(PDF)</span>. <i>NYU Working Paper</i> (S-DRP-05-02). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20010613082802/http://www.stern.nyu.edu/~adamodar/pdfiles/papers/realopt.pdf">تمت أرشفته</a> <span style="font-size:85%;">(PDF)</span> من الأصل في 2001-06-13<span class="reference-accessdate">. اطلع عليه بتاريخ 14 ديسمبر 2016</span>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.atitle=The+Promise+and+Peril+of+Real+Options&rft.aufirst=Aswath&rft.aulast=Damodaran&rft.date=2005&rft.genre=article&rft.issue=S-DRP-05-02&rft.jtitle=NYU+Working+Paper&rft_id=http%3A%2F%2Fstern.nyu.edu%2F~adamodar%2Fpdfiles%2Fpapers%2Frealopt.pdf&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></span> </li> <li id="cite_note-30"><span class="mw-cite-backlink"><b><a href="#cite_ref-30">^</a></b></span> <span class="reference-text"><span class="citation journal">Smith، James E.؛ Nau، Robert F. (1995). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://faculty.fuqua.duke.edu/~jes9/bio/Valuing_Risky_Projects.pdf">"Valuing Risky Projects: Option Pricing Theory and Decision Analysis"</a> <span style="font-size:85%;">(PDF)</span>. <i>Management Science</i>. <b>41</b> (5): 795–816. <a href="/wiki/%D9%85%D8%B9%D8%B1%D9%81_%D8%A7%D9%84%D8%A7%D8%B4%D9%8A%D8%A7%D8%A1_%D8%A7%D9%84%D8%B1%D9%82%D9%85%D9%8A%D8%A9" class="mw-redirect" title="معرف الاشياء الرقمية">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="//dx.doi.org/10.1287%2Fmnsc.41.5.795">10.1287/mnsc.41.5.795</a>. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20100612170613/http://faculty.fuqua.duke.edu/%7Ejes9/bio/Valuing_Risky_Projects.pdf">تمت أرشفته</a> <span style="font-size:85%;">(PDF)</span> من الأصل في 2010-06-12<span class="reference-accessdate">. اطلع عليه بتاريخ 17 أغسطس 2017</span>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.atitle=Valuing+Risky+Projects%3A+Option+Pricing+Theory+and+Decision+Analysis&rft.au=Nau%2C+Robert+F.&rft.aufirst=James+E.&rft.aulast=Smith&rft.date=1995&rft.genre=article&rft.issue=5&rft.jtitle=Management+Science&rft.pages=795-816&rft.volume=41&rft_id=https%3A%2F%2Ffaculty.fuqua.duke.edu%2F~jes9%2Fbio%2FValuing_Risky_Projects.pdf&rft_id=info%3Adoi%2F10.1287%2Fmnsc.41.5.795&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></span> </li> <li id="cite_note-31"><span class="mw-cite-backlink"><b><a href="#cite_ref-31">^</a></b></span> <span class="reference-text">See for example: <span class="citation journal">Magee، John F. (1964). <a rel="nofollow" class="external text" href="https://hbr.org/1964/07/decision-trees-for-decision-making">"Decision Trees for Decision Making"</a>. <i><a href="/wiki/Harvard_Business_Review" class="mw-redirect" title="Harvard Business Review">Harvard Business Review</a></i>. July 1964: 795–816. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20170816192517/https://hbr.org/1964/07/decision-trees-for-decision-making">تمت أرشفته</a> من الأصل في 2017-08-16<span class="reference-accessdate">. اطلع عليه بتاريخ 16 أغسطس 2017</span>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.atitle=Decision+Trees+for+Decision+Making&rft.aufirst=John+F.&rft.aulast=Magee&rft.date=1964&rft.genre=article&rft.jtitle=Harvard+Business+Review&rft.pages=795-816&rft.volume=July+1964&rft_id=https%3A%2F%2Fhbr.org%2F1964%2F07%2Fdecision-trees-for-decision-making&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></span> </li> <li id="cite_note-Markowitz_interview-32"><span class="mw-cite-backlink"><b><a href="#cite_ref-Markowitz_interview_32-0">^</a></b></span> <span class="reference-text"><span class="citation journal">Kritzman، Mark (2017). "An Interview with Nobel Laureate Harry M. Markowitz". <i>Financial Analysts Journal</i>. <b>73</b> (4): 16–21. <a href="/wiki/%D9%85%D8%B9%D8%B1%D9%81_%D8%A7%D9%84%D8%A7%D8%B4%D9%8A%D8%A7%D8%A1_%D8%A7%D9%84%D8%B1%D9%82%D9%85%D9%8A%D8%A9" class="mw-redirect" title="معرف الاشياء الرقمية">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="//dx.doi.org/10.2469%2Ffaj.v73.n4.3">10.2469/faj.v73.n4.3</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.atitle=An+Interview+with+Nobel+Laureate+Harry+M.+Markowitz&rft.aufirst=Mark&rft.aulast=Kritzman&rft.date=2017&rft.genre=article&rft.issue=4&rft.jtitle=Financial+Analysts+Journal&rft.pages=16-21&rft.volume=73&rft_id=info%3Adoi%2F10.2469%2Ffaj.v73.n4.3&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></span> </li> <li id="cite_note-Kruschwitz_and_Löffler-33"><span class="mw-cite-backlink">↑ <a href="#cite_ref-Kruschwitz_and_Löffler_33-0"><sup><i><b>أ</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Kruschwitz_and_Löffler_33-1"><sup><i><b>ب</b></i></sup></a></span> <span class="reference-text"> انظر Kruschwitz و Löffler لكل ببليوغرافيا. </span> </li> <li id="cite_note-welch-34"><span class="mw-cite-backlink">↑ <a href="#cite_ref-welch_34-0"><sup><i><b>أ</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-welch_34-1"><sup><i><b>ب</b></i></sup></a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="http://book.ivo-welch.info/read/chap13.pdf">"Capital Budgeting Applications and Pitfalls"</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20170815234404/http://book.ivo-welch.info/read/chap13.pdf">نسخة محفوظة</a> 2017-08-15 على موقع <a href="/wiki/%D9%88%D8%A7%D9%8A_%D8%A8%D8%A7%D9%83_%D9%85%D8%B4%D9%8A%D9%86" title="واي باك مشين">واي باك مشين</a>.. Ch 13 in <a href="/w/index.php?title=Ivo_Welch&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ivo Welch (الصفحة غير موجودة)">Ivo Welch</a> (2017). <i>Corporate Finance</i>: 4th Edition</span> </li> <li id="cite_note-35"><span class="mw-cite-backlink"><b><a href="#cite_ref-35">^</a></b></span> <span class="reference-text">George Chacko and Carolyn Evans (2014). <i>Valuation: Methods and Models in Applied Corporate Finance</i>. FT Press. (<span dir="rtl">ردمك <span dir="ltr"><a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/0132905221" title="خاص:مصادر كتاب/0132905221">0132905221</a></span></span>)</span> </li> <li id="cite_note-36"><span class="mw-cite-backlink"><b><a href="#cite_ref-36">^</a></b></span> <span class="reference-text"> انظر جنسن و سميث تحت عنوان "الروابط الخارجية" ، وكذلك روبنشتاين تحت عنوان "المراجع" </span> </li> <li id="cite_note-Garbade-37"><span class="mw-cite-backlink"><b><a href="#cite_ref-Garbade_37-0">^</a></b></span> <span class="reference-text">Kenneth D. Garbade (2001). <i>Pricing Corporate Securities as Contingent Claims.</i> <a href="/w/index.php?title=MIT_Press&action=edit&redlink=1" class="new" title="MIT Press (الصفحة غير موجودة)">MIT Press</a>. (<span dir="rtl">ردمك <span dir="ltr"><a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/9780262072236" title="خاص:مصادر كتاب/9780262072236">9780262072236</a></span></span>)</span> </li> <li id="cite_note-holes-38"><span class="mw-cite-backlink">↑ <a href="#cite_ref-holes_38-0"><sup><i><b>أ</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-holes_38-1"><sup><i><b>ب</b></i></sup></a></span> <span class="reference-text"><span class="citation journal">Black، Fischer (1989). "How to use the holes in Black-Scholes". <i><a href="/w/index.php?title=Journal_of_Applied_Corporate_Finance&action=edit&redlink=1" class="new" title="Journal of Applied Corporate Finance (الصفحة غير موجودة)">Journal of Applied Corporate Finance</a></i>. <b>1</b> (Jan): 67–73. <a href="/wiki/%D9%85%D8%B9%D8%B1%D9%81_%D8%A7%D9%84%D8%A7%D8%B4%D9%8A%D8%A7%D8%A1_%D8%A7%D9%84%D8%B1%D9%82%D9%85%D9%8A%D8%A9" class="mw-redirect" title="معرف الاشياء الرقمية">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="//dx.doi.org/10.1111%2Fj.1745-6622.1989.tb00175.x">10.1111/j.1745-6622.1989.tb00175.x</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.atitle=How+to+use+the+holes+in+Black-Scholes&rft.aufirst=Fischer&rft.aulast=Black&rft.date=1989&rft.genre=article&rft.issue=Jan&rft.jtitle=Journal+of+Applied+Corporate+Finance&rft.pages=67-73&rft.volume=1&rft_id=info%3Adoi%2F10.1111%2Fj.1745-6622.1989.tb00175.x&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></span> </li> <li id="cite_note-39"><span class="mw-cite-backlink"><b><a href="#cite_ref-39">^</a></b></span> <span class="reference-text">III.A.3 in Carol Alexander, ed. <i>The Professional Risk Managers' Handbook: A Comprehensive Guide to Current Theory and Best Practices</i>. PRMIA Publications (January 2005). (<span dir="rtl">ردمك <span dir="ltr"><a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-0976609704" title="خاص:مصادر كتاب/978-0976609704">978-0976609704</a></span></span>)</span> </li> <li id="cite_note-40"><span class="mw-cite-backlink"><b><a href="#cite_ref-40">^</a></b></span> <span class="reference-text"><span class="citation journal">Hagan، Patrick؛ وآخرون. (2002). "Managing smile risk". <i><a href="/w/index.php?title=Wilmott_Magazine&action=edit&redlink=1" class="new" title="Wilmott Magazine (الصفحة غير موجودة)">Wilmott Magazine</a></i> (Sep): 84–108.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.atitle=Managing+smile+risk&rft.aufirst=Patrick&rft.aulast=Hagan&rft.date=2002&rft.genre=article&rft.issue=Sep&rft.jtitle=Wilmott+Magazine&rft.pages=84-108&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></span> </li> <li id="cite_note-41"><span class="mw-cite-backlink"><b><a href="#cite_ref-41">^</a></b></span> <span class="reference-text">See for example Pg 217 of: Jackson, Mary; Mike Staunton (2001). <i>Advanced modelling in finance using Excel and VBA</i>. New Jersey: Wiley. (<span dir="rtl">ردمك <span dir="ltr"><a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/0-471-49922-6" title="خاص:مصادر كتاب/0-471-49922-6">0-471-49922-6</a></span></span>).</span> </li> <li id="cite_note-42"><span class="mw-cite-backlink"><b><a href="#cite_ref-42">^</a></b></span> <span class="reference-text"> وتشمل هذه: <a href="/w/index.php?title=Robert_A._Jarrow&action=edit&redlink=1" class="new" title="Robert A. Jarrow (الصفحة غير موجودة)">Jarrow</a> و Rudd (1982) ؛ Corrado and Su (1996)؛ <a href="/w/index.php?title=David_K._Backus&action=edit&redlink=1" class="new" title="David K. Backus (الصفحة غير موجودة)">Backus</a> و Foresi و Wu (2004). انظر: Emmanuel Jurczenko ، Bertrand Maillet & Bogdan Negrea ، 2002. "إعادة النظر في نماذج تسعير الخيار التقريبي متعدد اللحظات: مقارنة عامة (الجزء 1)". ورقة عمل ، <a href="/w/index.php?title=London_School_of_Economics_and_Political_Science&action=edit&redlink=1" class="new" title="London School of Economics and Political Science (الصفحة غير موجودة)">كلية لندن للاقتصاد والعلوم السياسية</a> . </span> </li> <li id="cite_note-43"><span class="mw-cite-backlink"><b><a href="#cite_ref-43">^</a></b></span> <span class="reference-text">From <i><a href="/w/index.php?title=The_New_Palgrave_Dictionary_of_Economics&action=edit&redlink=1" class="new" title="The New Palgrave Dictionary of Economics (الصفحة غير موجودة)">The New Palgrave Dictionary of Economics</a></i>, Online Editions, 2011, 2012, with abstract links:<br /><br />   • <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2012_F000330&edition=1">"regulatory responses to the financial crisis: an interim assessment"</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20130529101109/http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2012_F000330&edition=1">نسخة محفوظة</a> 2013-05-29 على موقع <a href="/wiki/%D9%88%D8%A7%D9%8A_%D8%A8%D8%A7%D9%83_%D9%85%D8%B4%D9%8A%D9%86" title="واي باك مشين">واي باك مشين</a>. by <a href="/wiki/%D9%87%D9%88%D8%A7%D8%B1%D8%AF_%D8%AF%D9%8A%D9%81%D9%8A%D8%B2" title="هوارد ديفيز">Howard Davies</a><br /><br />   • <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2011_C000621&edition=">"Credit Crunch Chronology: April 2007–September 2009"</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20130529092712/http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2011_C000621&edition=">نسخة محفوظة</a> 2013-05-29 على موقع <a href="/wiki/%D9%88%D8%A7%D9%8A_%D8%A8%D8%A7%D9%83_%D9%85%D8%B4%D9%8A%D9%86" title="واي باك مشين">واي باك مشين</a>. by The Statesman's Yearbook team<br /><br />   • <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2011_M000430&edition=current&q=">"Minsky crisis"</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20130529172102/http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2011_M000430&edition=current&q=">نسخة محفوظة</a> 2013-05-29 على موقع <a href="/wiki/%D9%88%D8%A7%D9%8A_%D8%A8%D8%A7%D9%83_%D9%85%D8%B4%D9%8A%D9%86" title="واي باك مشين">واي باك مشين</a>. by <a href="/w/index.php?title=L._Randall_Wray&action=edit&redlink=1" class="new" title="L. Randall Wray (الصفحة غير موجودة)">L. Randall Wray</a><br /><br />   • <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2011_E000326&edition=current&q=">"euro zone crisis 2010"</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20130529092726/http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2011_E000326&edition=current&q=">نسخة محفوظة</a> 2013-05-29 على موقع <a href="/wiki/%D9%88%D8%A7%D9%8A_%D8%A8%D8%A7%D9%83_%D9%85%D8%B4%D9%8A%D9%86" title="واي باك مشين">واي باك مشين</a>. by <a href="/w/index.php?title=Daniel_Gros&action=edit&redlink=1" class="new" title="Daniel Gros (الصفحة غير موجودة)">Daniel Gros</a> and Cinzia Alcidi.<br /><br />   • <a href="/w/index.php?title=Carmen_M._Reinhart&action=edit&redlink=1" class="new" title="Carmen M. Reinhart (الصفحة غير موجودة)">Carmen M. Reinhart</a> and <a href="/w/index.php?title=Kenneth_S._Rogoff&action=edit&redlink=1" class="new" title="Kenneth S. Rogoff (الصفحة غير موجودة)">Kenneth S. Rogoff</a>, 2009. <i>This Time Is Different: Eight Centuries of Financial Folly</i>, Princeton. <a rel="nofollow" class="external text" href="http://press.princeton.edu/titles/8973.html">Description</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20130118213207/http://press.princeton.edu/titles/8973.html">نسخة محفوظة</a> 2013-01-18 على موقع <a href="/wiki/%D9%88%D8%A7%D9%8A_%D8%A8%D8%A7%D9%83_%D9%85%D8%B4%D9%8A%D9%86" title="واي باك مشين">واي باك مشين</a>., ch. 1 ("Varieties of Crises and their Dates". pp. <a rel="nofollow" class="external text" href="http://press.princeton.edu/chapters/s8973.pdf">3-20)</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20120925065855/http://press.princeton.edu/chapters/s8973.pdf">نسخة محفوظة</a> 2012-09-25 على موقع <a href="/wiki/%D9%88%D8%A7%D9%8A_%D8%A8%D8%A7%D9%83_%D9%85%D8%B4%D9%8A%D9%86" title="واي باك مشين">واي باك مشين</a>., and chapter-preview <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=ak5fLB24ircC&printsec=frontcover&source=find&pg=PR7gbs_atb#v=onepage&q&f=false">links.</a></span> </li> <li id="cite_note-44"><span class="mw-cite-backlink"><b><a href="#cite_ref-44">^</a></b></span> <span class="reference-text"><a href="/wiki/%D9%88%D9%8A%D9%84%D9%8A%D8%A7%D9%85_%D8%B4%D8%A7%D8%B1%D8%A8" title="ويليام شارب">William F. Sharpe</a> (1991). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.stanford.edu/~wfsharpe/art/active/active.htm">"The Arithmetic of Active Management"</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20131113071513/http://www.stanford.edu/~wfsharpe/art/active/active.htm">نسخة محفوظة</a> 2013-11-13 على موقع <a href="/wiki/%D9%88%D8%A7%D9%8A_%D8%A8%D8%A7%D9%83_%D9%85%D8%B4%D9%8A%D9%86" title="واي باك مشين">واي باك مشين</a>.. <i>Financial Analysts Journal</i> Vol. 47, No. 1, January/February</span> </li> <li id="cite_note-two-45"><span class="mw-cite-backlink"><b><a href="#cite_ref-two_45-0">^</a></b></span> <span class="reference-text"><a href="/wiki/%D9%88%D9%8A%D9%84%D9%8A%D8%A7%D9%85_%D8%B4%D8%A7%D8%B1%D8%A8" title="ويليام شارب">William F. Sharpe</a> (2002). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.stanford.edu/~wfsharpe/art/talks/indexed_investing.htm"><i>Indexed Investing: A Prosaic Way to Beat the Average Investor</i></a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20131114160728/http://www.stanford.edu/~wfsharpe/art/talks/indexed_investing.htm">نسخة محفوظة</a> 2013-11-14 على موقع <a href="/wiki/%D9%88%D8%A7%D9%8A_%D8%A8%D8%A7%D9%83_%D9%85%D8%B4%D9%8A%D9%86" title="واي باك مشين">واي باك مشين</a>.. Presention: <a href="/w/index.php?title=Monterey_Institute_of_International_Studies&action=edit&redlink=1" class="new" title="Monterey Institute of International Studies (الصفحة غير موجودة)">Monterey Institute of International Studies</a>. Retrieved May 20, 2010.</span> </li> </ol> <h2><span id=".D9.82.D8.A7.D8.A6.D9.85.D8.A9_.D8.A7.D9.84.D9.85.D8.B1.D8.A7.D8.AC.D8.B9"></span><span class="mw-headline" id="قائمة_المراجع">قائمة المراجع</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&action=edit&section=17" title="عدل القسم: قائمة المراجع">عدل</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2> <div class="refbegin references-column-width" style="-moz-column-width: 30em; -webkit-column-width: 30em; column-width: 30em;"> <p><b>Financial economics</b> </p> <ul><li><span class="citation book">Roy E. Bailey (2005). <i>The Economics of Financial Markets</i>. <a href="/w/index.php?title=Cambridge_University_Press&action=edit&redlink=1" class="new" title="Cambridge University Press (الصفحة غير موجودة)">Cambridge University Press</a>. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-0521612807" title="خاص:مصادر كتاب/978-0521612807">978-0521612807</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=Roy+E.+Bailey&rft.btitle=The+Economics+of+Financial+Markets&rft.date=2005&rft.genre=book&rft.isbn=978-0521612807&rft.pub=Cambridge+University+Press&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book">Marcelo Bianconi (2013). <i>Financial Economics, Risk and Information (2nd Edition)</i>. <a href="/w/index.php?title=World_Scientific&action=edit&redlink=1" class="new" title="World Scientific (الصفحة غير موجودة)">World Scientific</a>. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-9814355131" title="خاص:مصادر كتاب/978-9814355131">978-9814355131</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=Marcelo+Bianconi&rft.btitle=Financial+Economics%2C+Risk+and+Information+%282nd+Edition%29&rft.date=2013&rft.genre=book&rft.isbn=978-9814355131&rft.pub=World+Scientific&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book"><a href="/w/index.php?title=Zvi_Bodie&action=edit&redlink=1" class="new" title="Zvi Bodie (الصفحة غير موجودة)">Zvi Bodie</a>, <a href="/wiki/Robert_C._Merton" class="mw-redirect" title="Robert C. Merton">Robert C. Merton</a> and David Cleeton (2008). <i>Financial Economics (2nd Edition)</i>. <a href="/w/index.php?title=Prentice_Hall&action=edit&redlink=1" class="new" title="Prentice Hall (الصفحة غير موجودة)">Prentice Hall</a>. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-0131856158" title="خاص:مصادر كتاب/978-0131856158">978-0131856158</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=Zvi+Bodie%2C+Robert+C.+Merton+and+David+Cleeton&rft.btitle=Financial+Economics+%282nd+Edition%29&rft.date=2008&rft.genre=book&rft.isbn=978-0131856158&rft.pub=Prentice+Hall&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book">James Bradfield (2007). <i>Introduction to the Economics of Financial Markets</i>. Oxford University Press. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-0-19-531063-4" title="خاص:مصادر كتاب/978-0-19-531063-4">978-0-19-531063-4</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=James+Bradfield&rft.btitle=Introduction+to+the+Economics+of+Financial+Markets&rft.date=2007&rft.genre=book&rft.isbn=978-0-19-531063-4&rft.pub=Oxford+University+Press&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book">Satya R. Chakravarty (2014). <i>An Outline of Financial Economics</i>. Anthem Press. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-1783083367" title="خاص:مصادر كتاب/978-1783083367">978-1783083367</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=Satya+R.+Chakravarty&rft.btitle=An+Outline+of+Financial+Economics&rft.date=2014&rft.genre=book&rft.isbn=978-1783083367&rft.pub=Anthem+Press&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book"><a href="/w/index.php?title=Jak%C5%A1a_Cvitani%C4%87&action=edit&redlink=1" class="new" title="Jakša Cvitanić (الصفحة غير موجودة)">Jakša Cvitanić</a> and Fernando Zapatero (2004). <i>Introduction to the Economics and Mathematics of Financial Markets</i>. MIT Press. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-0262033206" title="خاص:مصادر كتاب/978-0262033206">978-0262033206</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=Jak%C5%A1a+Cvitani%C4%87+and+Fernando+Zapatero&rft.btitle=Introduction+to+the+Economics+and+Mathematics+of+Financial+Markets&rft.date=2004&rft.genre=book&rft.isbn=978-0262033206&rft.pub=MIT+Press&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book"><a href="/w/index.php?title=George_Constantinides&action=edit&redlink=1" class="new" title="George Constantinides (الصفحة غير موجودة)">George M. Constantinides</a>, Milton Harris, <a href="/w/index.php?title=Ren%C3%A9_M._Stulz&action=edit&redlink=1" class="new" title="René M. Stulz (الصفحة غير موجودة)">René M. Stulz</a> (editors) (2003). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://econpapers.repec.org/bookchap/eeefinchp/"><i>Handbook of the Economics of Finance</i></a>. <a href="/wiki/Elsevier" class="mw-redirect" title="Elsevier">Elsevier</a>. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-0444513632" title="خاص:مصادر كتاب/978-0444513632">978-0444513632</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=George+M.+Constantinides%2C+Milton+Harris%2C+Ren%C3%A9+M.+Stulz+%28editors%29&rft.btitle=Handbook+of+the+Economics+of+Finance&rft.date=2003&rft.genre=book&rft.isbn=978-0444513632&rft.pub=Elsevier&rft_id=http%3A%2F%2Feconpapers.repec.org%2Fbookchap%2Feeefinchp%2F&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><span class="citation-comment" style="display:none; color:#33aa33"> صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفون (<a href="/wiki/%D8%AA%D8%B5%D9%86%D9%8A%D9%81:%D8%B5%D9%8A%D8%A7%D9%86%D8%A9_CS1:_%D8%A3%D8%B3%D9%85%D8%A7%D8%A1_%D9%85%D8%AA%D8%B9%D8%AF%D8%AF%D8%A9:_%D9%82%D8%A7%D8%A6%D9%85%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A4%D9%84%D9%81%D9%88%D9%86" title="تصنيف:صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفون">link</a>)</span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book">Keith Cuthbertson؛ Dirk Nitzsche (2004). <i>Quantitative Financial Economics: Stocks, Bonds and Foreign Exchange</i>. Wiley. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-0470091715" title="خاص:مصادر كتاب/978-0470091715">978-0470091715</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=Dirk+Nitzsche&rft.au=Keith+Cuthbertson&rft.btitle=Quantitative+Financial+Economics%3A+Stocks%2C+Bonds+and+Foreign+Exchange&rft.date=2004&rft.genre=book&rft.isbn=978-0470091715&rft.pub=Wiley&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book"><a href="/w/index.php?title=Jean-Pierre_Danthine&action=edit&redlink=1" class="new" title="Jean-Pierre Danthine (الصفحة غير موجودة)">Jean-Pierre Danthine</a>, <a href="/w/index.php?title=John_Donaldson_(economist)&action=edit&redlink=1" class="new" title="John Donaldson (economist) (الصفحة غير موجودة)">John B. Donaldson</a> (2005). <i>Intermediate Financial Theory (2nd Edition)</i>. <a href="/w/index.php?title=Academic_Press&action=edit&redlink=1" class="new" title="Academic Press (الصفحة غير موجودة)">Academic Press</a>. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-0123693808" title="خاص:مصادر كتاب/978-0123693808">978-0123693808</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=Jean-Pierre+Danthine%2C+John+B.+Donaldson&rft.btitle=Intermediate+Financial+Theory+%282nd+Edition%29&rft.date=2005&rft.genre=book&rft.isbn=978-0123693808&rft.pub=Academic+Press&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book">Louis Eeckhoudt؛ Christian Gollier, <a href="/w/index.php?title=American_Risk_and_Insurance_Association&action=edit&redlink=1" class="new" title="American Risk and Insurance Association (الصفحة غير موجودة)">Harris Schlesinger</a> (2005). <i>Economic and Financial Decisions Under Risk</i>. Princeton University Press. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-0-691-12215-1" title="خاص:مصادر كتاب/978-0-691-12215-1">978-0-691-12215-1</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=Christian+Gollier%2C+Harris+Schlesinger&rft.au=Louis+Eeckhoudt&rft.btitle=Economic+and+Financial+Decisions+Under+Risk&rft.date=2005&rft.genre=book&rft.isbn=978-0-691-12215-1&rft.pub=Princeton+University+Press&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book">Jürgen Eichberger؛ <a href="/w/index.php?title=Ian_Harper&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ian Harper (الصفحة غير موجودة)">Ian R. Harper</a> (1997). <i>Financial Economics</i>. Oxford University Press. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-0198775409" title="خاص:مصادر كتاب/978-0198775409">978-0198775409</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=Ian+R.+Harper&rft.au=J%C3%BCrgen+Eichberger&rft.btitle=Financial+Economics&rft.date=1997&rft.genre=book&rft.isbn=978-0198775409&rft.pub=Oxford+University+Press&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book">Igor Evstigneev, Thorsten Hens, and Klaus Reiner Schenk-Hoppé (2015). <i>Mathematical Financial Economics: A Basic Introduction</i>. Springer. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-3319165707" title="خاص:مصادر كتاب/978-3319165707">978-3319165707</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=Igor+Evstigneev%2C+Thorsten+Hens%2C+and+Klaus+Reiner+Schenk-Hopp%C3%A9&rft.btitle=Mathematical+Financial+Economics%3A+A+Basic+Introduction&rft.date=2015&rft.genre=book&rft.isbn=978-3319165707&rft.pub=Springer&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><span class="citation-comment" style="display:none; color:#33aa33"> صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفون (<a href="/wiki/%D8%AA%D8%B5%D9%86%D9%8A%D9%81:%D8%B5%D9%8A%D8%A7%D9%86%D8%A9_CS1:_%D8%A3%D8%B3%D9%85%D8%A7%D8%A1_%D9%85%D8%AA%D8%B9%D8%AF%D8%AF%D8%A9:_%D9%82%D8%A7%D8%A6%D9%85%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A4%D9%84%D9%81%D9%88%D9%86" title="تصنيف:صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفون">link</a>)</span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book"><a href="/w/index.php?title=Frank_J._Fabozzi&action=edit&redlink=1" class="new" title="Frank J. Fabozzi (الصفحة غير موجودة)">Frank J. Fabozzi</a>, Edwin H. Neave and Guofu Zhou (2011). <i>Financial Economics</i>. Wiley. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-0470596203" title="خاص:مصادر كتاب/978-0470596203">978-0470596203</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=Frank+J.+Fabozzi%2C+Edwin+H.+Neave+and+Guofu+Zhou&rft.btitle=Financial+Economics&rft.date=2011&rft.genre=book&rft.isbn=978-0470596203&rft.pub=Wiley&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book">Christian Gollier (2004). <i>The Economics of Risk and Time (2nd Edition)</i>. <a href="/w/index.php?title=MIT_Press&action=edit&redlink=1" class="new" title="MIT Press (الصفحة غير موجودة)">MIT Press</a>. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-0-262-57224-8" title="خاص:مصادر كتاب/978-0-262-57224-8">978-0-262-57224-8</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=Christian+Gollier&rft.btitle=The+Economics+of+Risk+and+Time+%282nd+Edition%29&rft.date=2004&rft.genre=book&rft.isbn=978-0-262-57224-8&rft.pub=MIT+Press&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book"><a href="/w/index.php?title=Thorsten_Hens&action=edit&redlink=1" class="new" title="Thorsten Hens (الصفحة غير موجودة)">Thorsten Hens</a> and Marc Oliver Rieger (2010). <i>Financial Economics: A Concise Introduction to Classical and Behavioral Finance</i>. <a href="/w/index.php?title=Springer_Publishing&action=edit&redlink=1" class="new" title="Springer Publishing (الصفحة غير موجودة)">Springer</a>. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-3540361466" title="خاص:مصادر كتاب/978-3540361466">978-3540361466</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=Thorsten+Hens+and+Marc+Oliver+Rieger&rft.btitle=Financial+Economics%3A+A+Concise+Introduction+to+Classical+and+Behavioral+Finance&rft.date=2010&rft.genre=book&rft.isbn=978-3540361466&rft.pub=Springer&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book"><a href="/w/index.php?title=Chi-fu_Huang&action=edit&redlink=1" class="new" title="Chi-fu Huang (الصفحة غير موجودة)">Chi-fu Huang</a> and <a href="/w/index.php?title=Robert_Litzenberger&action=edit&redlink=1" class="new" title="Robert Litzenberger (الصفحة غير موجودة)">Robert H. Litzenberger</a> (1998). <i>Foundations for Financial Economics</i>. Prentice Hall. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-0135006535" title="خاص:مصادر كتاب/978-0135006535">978-0135006535</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=Chi-fu+Huang+and+Robert+H.+Litzenberger&rft.btitle=Foundations+for+Financial+Economics&rft.date=1998&rft.genre=book&rft.isbn=978-0135006535&rft.pub=Prentice+Hall&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book"><a href="/w/index.php?title=Jonathan_E._Ingersoll&action=edit&redlink=1" class="new" title="Jonathan E. Ingersoll (الصفحة غير موجودة)">Jonathan E. Ingersoll</a> (1987). <i>Theory of Financial Decision Making</i>. Rowman & Littlefield. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-0847673599" title="خاص:مصادر كتاب/978-0847673599">978-0847673599</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=Jonathan+E.+Ingersoll&rft.btitle=Theory+of+Financial+Decision+Making&rft.date=1987&rft.genre=book&rft.isbn=978-0847673599&rft.pub=Rowman+%26+Littlefield&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book"><a href="/w/index.php?title=Robert_A._Jarrow&action=edit&redlink=1" class="new" title="Robert A. Jarrow (الصفحة غير موجودة)">Robert A. Jarrow</a> (1988). <i>Finance theory</i>. Prentice Hall. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-0133148657" title="خاص:مصادر كتاب/978-0133148657">978-0133148657</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=Robert+A.+Jarrow&rft.btitle=Finance+theory&rft.date=1988&rft.genre=book&rft.isbn=978-0133148657&rft.pub=Prentice+Hall&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book">Chris Jones (2008). <i>Financial Economics</i>. <a href="/w/index.php?title=Routledge&action=edit&redlink=1" class="new" title="Routledge (الصفحة غير موجودة)">Routledge</a>. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-0415375856" title="خاص:مصادر كتاب/978-0415375856">978-0415375856</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=Chris+Jones&rft.btitle=Financial+Economics&rft.date=2008&rft.genre=book&rft.isbn=978-0415375856&rft.pub=Routledge&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book">Brian Kettell (2002). <i>Economics for Financial Markets</i>. <a href="/w/index.php?title=Butterworth-Heinemann&action=edit&redlink=1" class="new" title="Butterworth-Heinemann (الصفحة غير موجودة)">Butterworth-Heinemann</a>. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-0-7506-5384-8" title="خاص:مصادر كتاب/978-0-7506-5384-8">978-0-7506-5384-8</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=Brian+Kettell&rft.btitle=Economics+for+Financial+Markets&rft.date=2002&rft.genre=book&rft.isbn=978-0-7506-5384-8&rft.pub=Butterworth-Heinemann&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book">Yvan Lengwiler (2006). <i>Microfoundations of Financial Economics: An Introduction to General Equilibrium Asset Pricing</i>. Princeton University Press. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-0691126319" title="خاص:مصادر كتاب/978-0691126319">978-0691126319</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=Yvan+Lengwiler&rft.btitle=Microfoundations+of+Financial+Economics%3A+An+Introduction+to+General+Equilibrium+Asset+Pricing&rft.date=2006&rft.genre=book&rft.isbn=978-0691126319&rft.pub=Princeton+University+Press&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book">Stephen F. LeRoy؛ Jan Werner (2000). <i>Principles of Financial Economics</i>. Cambridge University Press. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-0521586054" title="خاص:مصادر كتاب/978-0521586054">978-0521586054</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=Jan+Werner&rft.au=Stephen+F.+LeRoy&rft.btitle=Principles+of+Financial+Economics&rft.date=2000&rft.genre=book&rft.isbn=978-0521586054&rft.pub=Cambridge+University+Press&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book">Leonard C. MacLean؛ William T. Ziemba (2013). <i>Handbook of the Fundamentals of Financial Decision Making</i>. World Scientific. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-9814417341" title="خاص:مصادر كتاب/978-9814417341">978-9814417341</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=Leonard+C.+MacLean&rft.au=William+T.+Ziemba&rft.btitle=Handbook+of+the+Fundamentals+of+Financial+Decision+Making&rft.date=2013&rft.genre=book&rft.isbn=978-9814417341&rft.pub=World+Scientific&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book"><a href="/w/index.php?title=Frederic_S._Mishkin&action=edit&redlink=1" class="new" title="Frederic S. Mishkin (الصفحة غير موجودة)">Frederic S. Mishkin</a> (2012). <i>The Economics of Money, Banking, and Financial Markets (3rd Edition)</i>. <a href="/w/index.php?title=Prentice_Hall&action=edit&redlink=1" class="new" title="Prentice Hall (الصفحة غير موجودة)">Prentice Hall</a>. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-0132961974" title="خاص:مصادر كتاب/978-0132961974">978-0132961974</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=Frederic+S.+Mishkin&rft.btitle=The+Economics+of+Money%2C+Banking%2C+and+Financial+Markets+%283rd+Edition%29&rft.date=2012&rft.genre=book&rft.isbn=978-0132961974&rft.pub=Prentice+Hall&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book"><a href="/w/index.php?title=Harry_Panjer&action=edit&redlink=1" class="new" title="Harry Panjer (الصفحة غير موجودة)">Harry H. Panjer</a>, ed. (1998). <i>Financial Economics with Applications</i>. Actuarial Foundation. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-0938959489" title="خاص:مصادر كتاب/978-0938959489">978-0938959489</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=Harry+H.+Panjer%2C+ed.&rft.btitle=Financial+Economics+with+Applications&rft.date=1998&rft.genre=book&rft.isbn=978-0938959489&rft.pub=Actuarial+Foundation&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book">Geoffrey Poitras, المحرر (2007). <i>Pioneers of Financial Economics, Volume I</i>. <a href="/w/index.php?title=Edward_Elgar_Publishing&action=edit&redlink=1" class="new" title="Edward Elgar Publishing (الصفحة غير موجودة)">Edward Elgar Publishing</a>. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-1845423810" title="خاص:مصادر كتاب/978-1845423810">978-1845423810</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.btitle=Pioneers+of+Financial+Economics%2C+Volume+I&rft.date=2007&rft.genre=book&rft.isbn=978-1845423810&rft.pub=Edward+Elgar+Publishing&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/>; Volume II (<span dir="rtl">ردمك <span dir="ltr"><a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-1845423827" title="خاص:مصادر كتاب/978-1845423827">978-1845423827</a></span></span>).</li> <li><span class="citation book"><a href="/w/index.php?title=Richard_Roll&action=edit&redlink=1" class="new" title="Richard Roll (الصفحة غير موجودة)">Richard Roll</a> (series editor) (2006). <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.e-elgar.co.uk/search_results.lasso?series_title=The%20International%20Library%20of%20Critical%20Writings%20in%20Financial%20Economics"><i>The International Library of Critical Writings in Financial Economics</i></a>. <a href="/wiki/Cheltenham" class="mw-redirect" title="Cheltenham">Cheltenham</a>: <a href="/w/index.php?title=Edward_Elgar_Publishing&action=edit&redlink=1" class="new" title="Edward Elgar Publishing (الصفحة غير موجودة)">Edward Elgar Publishing</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=Richard+Roll+%28series+editor%29&rft.btitle=The+International+Library+of+Critical+Writings+in+Financial+Economics&rft.date=2006&rft.genre=book&rft.place=Cheltenham&rft.pub=Edward+Elgar+Publishing&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.e-elgar.co.uk%2Fsearch_results.lasso%3Fseries_title%3DThe%2520International%2520Library%2520of%2520Critical%2520Writings%2520in%2520Financial%2520Economics&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li></ul> <p><b>Asset pricing</b> </p> <ul><li><span class="citation book">Kerry E. Back (2010). <i>Asset Pricing and Portfolio Choice Theory</i>. Oxford University Press. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-0195380613" title="خاص:مصادر كتاب/978-0195380613">978-0195380613</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=Kerry+E.+Back&rft.btitle=Asset+Pricing+and+Portfolio+Choice+Theory&rft.date=2010&rft.genre=book&rft.isbn=978-0195380613&rft.pub=Oxford+University+Press&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book">Tomas Björk (2009). <i>Arbitrage Theory in Continuous Time (3rd Edition)</i>. Oxford University Press. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-0199574742" title="خاص:مصادر كتاب/978-0199574742">978-0199574742</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=Tomas+Bj%C3%B6rk&rft.btitle=Arbitrage+Theory+in+Continuous+Time+%283rd+Edition%29&rft.date=2009&rft.genre=book&rft.isbn=978-0199574742&rft.pub=Oxford+University+Press&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book"><a href="/w/index.php?title=John_H._Cochrane&action=edit&redlink=1" class="new" title="John H. Cochrane (الصفحة غير موجودة)">John H. Cochrane</a> (2005). <i>Asset Pricing</i>. <a href="/w/index.php?title=Princeton_University_Press&action=edit&redlink=1" class="new" title="Princeton University Press (الصفحة غير موجودة)">Princeton University Press</a>. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-0691121376" title="خاص:مصادر كتاب/978-0691121376">978-0691121376</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=John+H.+Cochrane&rft.btitle=Asset+Pricing&rft.date=2005&rft.genre=book&rft.isbn=978-0691121376&rft.pub=Princeton+University+Press&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book"><a href="/w/index.php?title=Darrell_Duffie&action=edit&redlink=1" class="new" title="Darrell Duffie (الصفحة غير موجودة)">Darrell Duffie</a> (2001). <i>Dynamic Asset Pricing Theory (3rd Edition)</i>. Princeton University Press. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-0691090221" title="خاص:مصادر كتاب/978-0691090221">978-0691090221</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=Darrell+Duffie&rft.btitle=Dynamic+Asset+Pricing+Theory+%283rd+Edition%29&rft.date=2001&rft.genre=book&rft.isbn=978-0691090221&rft.pub=Princeton+University+Press&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book"><a href="/w/index.php?title=Edwin_Elton&action=edit&redlink=1" class="new" title="Edwin Elton (الصفحة غير موجودة)">Edwin J. Elton</a>, Martin J. Gruber, Stephen J. Brown, <a href="/w/index.php?title=William_N._Goetzmann&action=edit&redlink=1" class="new" title="William N. Goetzmann (الصفحة غير موجودة)">William N. Goetzmann</a> (2014). <i>Modern Portfolio Theory and Investment Analysis (9th Edition)</i>. <a href="/w/index.php?title=John_Wiley_%26_Sons&action=edit&redlink=1" class="new" title="John Wiley & Sons (الصفحة غير موجودة)">Wiley</a>. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-1118469941" title="خاص:مصادر كتاب/978-1118469941">978-1118469941</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=Edwin+J.+Elton%2C+Martin+J.+Gruber%2C+Stephen+J.+Brown%2C+William+N.+Goetzmann&rft.btitle=Modern+Portfolio+Theory+and+Investment+Analysis+%289th+Edition%29&rft.date=2014&rft.genre=book&rft.isbn=978-1118469941&rft.pub=Wiley&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><span class="citation-comment" style="display:none; color:#33aa33"> صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفون (<a href="/wiki/%D8%AA%D8%B5%D9%86%D9%8A%D9%81:%D8%B5%D9%8A%D8%A7%D9%86%D8%A9_CS1:_%D8%A3%D8%B3%D9%85%D8%A7%D8%A1_%D9%85%D8%AA%D8%B9%D8%AF%D8%AF%D8%A9:_%D9%82%D8%A7%D8%A6%D9%85%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A4%D9%84%D9%81%D9%88%D9%86" title="تصنيف:صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفون">link</a>)</span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book"><a href="/w/index.php?title=Robert_Haugen&action=edit&redlink=1" class="new" title="Robert Haugen (الصفحة غير موجودة)">Robert A. Haugen</a> (2000). <i>Modern Investment Theory (5th Edition)</i>. Prentice Hall. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-0130191700" title="خاص:مصادر كتاب/978-0130191700">978-0130191700</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=Robert+A.+Haugen&rft.btitle=Modern+Investment+Theory+%285th+Edition%29&rft.date=2000&rft.genre=book&rft.isbn=978-0130191700&rft.pub=Prentice+Hall&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book"><a href="/w/index.php?title=Mark_S._Joshi&action=edit&redlink=1" class="new" title="Mark S. Joshi (الصفحة غير موجودة)">Mark S. Joshi</a>, Jane M. Paterson (2013). <i>Introduction to Mathematical Portfolio Theory</i>. Cambridge University Press. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-1107042315" title="خاص:مصادر كتاب/978-1107042315">978-1107042315</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=Mark+S.+Joshi%2C+Jane+M.+Paterson&rft.btitle=Introduction+to+Mathematical+Portfolio+Theory&rft.date=2013&rft.genre=book&rft.isbn=978-1107042315&rft.pub=Cambridge+University+Press&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book">Lutz Kruschwitz, Andreas Loeffler (2005). <i>Discounted Cash Flow: A Theory of the Valuation of Firms</i>. Wiley. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-0470870440" title="خاص:مصادر كتاب/978-0470870440">978-0470870440</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=Lutz+Kruschwitz%2C+Andreas+Loeffler&rft.btitle=Discounted+Cash+Flow%3A+A+Theory+of+the+Valuation+of+Firms&rft.date=2005&rft.genre=book&rft.isbn=978-0470870440&rft.pub=Wiley&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book"><a href="/w/index.php?title=David_Luenberger&action=edit&redlink=1" class="new" title="David Luenberger (الصفحة غير موجودة)">David G. Luenberger</a> (2013). <i>Investment Science (2nd Edition)</i>. <a href="/wiki/Oxford_University_Press" class="mw-redirect" title="Oxford University Press">Oxford University Press</a>. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-0199740086" title="خاص:مصادر كتاب/978-0199740086">978-0199740086</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=David+G.+Luenberger&rft.btitle=Investment+Science+%282nd+Edition%29&rft.date=2013&rft.genre=book&rft.isbn=978-0199740086&rft.pub=Oxford+University+Press&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book"><a href="/w/index.php?title=Harry_M._Markowitz&action=edit&redlink=1" class="new" title="Harry M. Markowitz (الصفحة غير موجودة)">Harry M. Markowitz</a> (1991). <i>Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments (2nd Edition)</i>. Wiley. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-1557861085" title="خاص:مصادر كتاب/978-1557861085">978-1557861085</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=Harry+M.+Markowitz&rft.btitle=Portfolio+Selection%3A+Efficient+Diversification+of+Investments+%282nd+Edition%29&rft.date=1991&rft.genre=book&rft.isbn=978-1557861085&rft.pub=Wiley&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book"><a href="/wiki/Frank_Milne" class="mw-redirect" title="Frank Milne">Frank Milne</a> (2003). <i>Finance Theory and Asset Pricing (2nd Edition)</i>. Oxford University Press. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-0199261079" title="خاص:مصادر كتاب/978-0199261079">978-0199261079</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=Frank+Milne&rft.btitle=Finance+Theory+and+Asset+Pricing+%282nd+Edition%29&rft.date=2003&rft.genre=book&rft.isbn=978-0199261079&rft.pub=Oxford+University+Press&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book"><a href="/w/index.php?title=George_Pennacchi&action=edit&redlink=1" class="new" title="George Pennacchi (الصفحة غير موجودة)">George Pennacchi</a> (2007). <i>Theory of Asset Pricing</i>. Prentice Hall. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-0321127204" title="خاص:مصادر كتاب/978-0321127204">978-0321127204</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=George+Pennacchi&rft.btitle=Theory+of+Asset+Pricing&rft.date=2007&rft.genre=book&rft.isbn=978-0321127204&rft.pub=Prentice+Hall&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book"><a href="/w/index.php?title=Mark_Rubinstein&action=edit&redlink=1" class="new" title="Mark Rubinstein (الصفحة غير موجودة)">Mark Rubinstein</a> (2006). <i>A History of the Theory of Investments</i>. Wiley. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-0471770565" title="خاص:مصادر كتاب/978-0471770565">978-0471770565</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=Mark+Rubinstein&rft.btitle=A+History+of+the+Theory+of+Investments&rft.date=2006&rft.genre=book&rft.isbn=978-0471770565&rft.pub=Wiley&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book"><a href="/wiki/William_F._Sharpe" class="mw-redirect" title="William F. Sharpe">William F. Sharpe</a> (1999). <i>Portfolio Theory and Capital Markets: The Original Edition</i>. <a href="/wiki/McGraw-Hill" class="mw-redirect" title="McGraw-Hill">McGraw-Hill</a>. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-0071353205" title="خاص:مصادر كتاب/978-0071353205">978-0071353205</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=William+F.+Sharpe&rft.btitle=Portfolio+Theory+and+Capital+Markets%3A+The+Original+Edition&rft.date=1999&rft.genre=book&rft.isbn=978-0071353205&rft.pub=McGraw-Hill&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li></ul> <p><b>Corporate finance</b> </p> <ul><li><span class="citation book">Jonathan Berk؛ Peter DeMarzo (2013). <i>Corporate Finance (3rd Edition)</i>. <a href="/w/index.php?title=Pearson_Education&action=edit&redlink=1" class="new" title="Pearson Education (الصفحة غير موجودة)">Pearson</a>. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-0132992473" title="خاص:مصادر كتاب/978-0132992473">978-0132992473</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=Jonathan+Berk&rft.au=Peter+DeMarzo&rft.btitle=Corporate+Finance+%283rd+Edition%29&rft.date=2013&rft.genre=book&rft.isbn=978-0132992473&rft.pub=Pearson&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book">Peter Bossaerts؛ Bernt Arne Ødegaard (2006). <i>Lectures on Corporate Finance (Second Edition)</i>. World Scientific. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-981-256-899-1" title="خاص:مصادر كتاب/978-981-256-899-1">978-981-256-899-1</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=Bernt+Arne+%C3%98degaard&rft.au=Peter+Bossaerts&rft.btitle=Lectures+on+Corporate+Finance+%28Second+Edition%29&rft.date=2006&rft.genre=book&rft.isbn=978-981-256-899-1&rft.pub=World+Scientific&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book"><a href="/w/index.php?title=Richard_Brealey&action=edit&redlink=1" class="new" title="Richard Brealey (الصفحة غير موجودة)">Richard Brealey</a>؛ <a href="/w/index.php?title=Stewart_Myers&action=edit&redlink=1" class="new" title="Stewart Myers (الصفحة غير موجودة)">Stewart Myers</a>؛ <a href="/w/index.php?title=Franklin_Allen&action=edit&redlink=1" class="new" title="Franklin Allen (الصفحة غير موجودة)">Franklin Allen</a> (2013). <i><a href="/w/index.php?title=Principles_of_Corporate_Finance&action=edit&redlink=1" class="new" title="Principles of Corporate Finance (الصفحة غير موجودة)">Principles of Corporate Finance</a></i>. Mcgraw-Hill. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-0078034763" title="خاص:مصادر كتاب/978-0078034763">978-0078034763</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=Franklin+Allen&rft.au=Richard+Brealey&rft.au=Stewart+Myers&rft.btitle=Principles+of+Corporate+Finance&rft.date=2013&rft.genre=book&rft.isbn=978-0078034763&rft.pub=Mcgraw-Hill&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book"><a href="/w/index.php?title=Aswath_Damodaran&action=edit&redlink=1" class="new" title="Aswath Damodaran (الصفحة غير موجودة)">Aswath Damodaran</a> (1996). <i>Corporate Finance: Theory and Practice</i>. Wiley. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-0471076803" title="خاص:مصادر كتاب/978-0471076803">978-0471076803</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=Aswath+Damodaran&rft.btitle=Corporate+Finance%3A+Theory+and+Practice&rft.date=1996&rft.genre=book&rft.isbn=978-0471076803&rft.pub=Wiley&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book">João Amaro de Matos (2001). <i>Theoretical Foundations of Corporate Finance</i>. Princeton University Press. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/9780691087948" title="خاص:مصادر كتاب/9780691087948">9780691087948</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=Jo%C3%A3o+Amaro+de+Matos&rft.btitle=Theoretical+Foundations+of+Corporate+Finance&rft.date=2001&rft.genre=book&rft.isbn=9780691087948&rft.pub=Princeton+University+Press&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book">Joseph Ogden؛ Frank C. Jen؛ Philip F. O'Connor (2002). <i>Advanced Corporate Finance</i>. Prentice Hall. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-0130915689" title="خاص:مصادر كتاب/978-0130915689">978-0130915689</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=Frank+C.+Jen&rft.au=Joseph+Ogden&rft.au=Philip+F.+O%27Connor&rft.btitle=Advanced+Corporate+Finance&rft.date=2002&rft.genre=book&rft.isbn=978-0130915689&rft.pub=Prentice+Hall&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book">Pascal Quiry؛ Yann Le Fur؛ Antonio Salvi؛ Maurizio Dallochio؛ Pierre Vernimmen (2011). <i>Corporate Finance: Theory and Practice (3rd Edition)</i>. Wiley. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-1119975588" title="خاص:مصادر كتاب/978-1119975588">978-1119975588</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=Antonio+Salvi&rft.au=Maurizio+Dallochio&rft.au=Pascal+Quiry&rft.au=Pierre+Vernimmen&rft.au=Yann+Le+Fur&rft.btitle=Corporate+Finance%3A+Theory+and+Practice+%283rd+Edition%29&rft.date=2011&rft.genre=book&rft.isbn=978-1119975588&rft.pub=Wiley&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book"><a href="/w/index.php?title=Stephen_Ross_(economist)&action=edit&redlink=1" class="new" title="Stephen Ross (economist) (الصفحة غير موجودة)">Stephen Ross</a>, Randolph Westerfield, Jeffrey Jaffe (2012). <i>Corporate Finance (10th Edition)</i>. <a href="/wiki/McGraw-Hill" class="mw-redirect" title="McGraw-Hill">McGraw-Hill</a>. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-0078034770" title="خاص:مصادر كتاب/978-0078034770">978-0078034770</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=Stephen+Ross%2C+Randolph+Westerfield%2C+Jeffrey+Jaffe&rft.btitle=Corporate+Finance+%2810th+Edition%29&rft.date=2012&rft.genre=book&rft.isbn=978-0078034770&rft.pub=McGraw-Hill&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><span class="citation-comment" style="display:none; color:#33aa33"> صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفون (<a href="/wiki/%D8%AA%D8%B5%D9%86%D9%8A%D9%81:%D8%B5%D9%8A%D8%A7%D9%86%D8%A9_CS1:_%D8%A3%D8%B3%D9%85%D8%A7%D8%A1_%D9%85%D8%AA%D8%B9%D8%AF%D8%AF%D8%A9:_%D9%82%D8%A7%D8%A6%D9%85%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A4%D9%84%D9%81%D9%88%D9%86" title="تصنيف:صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفون">link</a>)</span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book"><a href="/w/index.php?title=Joel_Stern&action=edit&redlink=1" class="new" title="Joel Stern (الصفحة غير موجودة)">Joel M. Stern</a>, ed. (2003). <i>The Revolution in Corporate Finance (4th Edition)</i>. <a href="/w/index.php?title=Wiley-Blackwell&action=edit&redlink=1" class="new" title="Wiley-Blackwell (الصفحة غير موجودة)">Wiley-Blackwell</a>. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/9781405107815" title="خاص:مصادر كتاب/9781405107815">9781405107815</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=Joel+M.+Stern%2C+ed.&rft.btitle=The+Revolution+in+Corporate+Finance+%284th+Edition%29&rft.date=2003&rft.genre=book&rft.isbn=9781405107815&rft.pub=Wiley-Blackwell&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book"><a href="/wiki/Jean_Tirole" class="mw-redirect" title="Jean Tirole">Jean Tirole</a> (2006). <i>The Theory of Corporate Finance</i>. Princeton University Press. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-0691125565" title="خاص:مصادر كتاب/978-0691125565">978-0691125565</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=Jean+Tirole&rft.btitle=The+Theory+of+Corporate+Finance&rft.date=2006&rft.genre=book&rft.isbn=978-0691125565&rft.pub=Princeton+University+Press&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li> <li><span class="citation book"><a href="/w/index.php?title=Ivo_Welch&action=edit&redlink=1" class="new" title="Ivo Welch (الصفحة غير موجودة)">Ivo Welch</a> (2014). <i>Corporate Finance (3rd Edition)</i>. <a href="/wiki/%D8%B1%D9%82%D9%85_%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A_%D9%85%D8%B9%D9%8A%D8%A7%D8%B1%D9%8A_%D9%84%D9%84%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8" title="رقم دولي معياري للكتاب">ISBN</a> <a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/978-0-9840049-1-1" title="خاص:مصادر كتاب/978-0-9840049-1-1">978-0-9840049-1-1</a>.</span><span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Far.wikipedia.org%3A%D8%A7%D9%84%D8%A5%D9%82%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%AF+%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%A7%D9%84%D9%8A&rft.au=Ivo+Welch&rft.btitle=Corporate+Finance+%283rd+Edition%29&rft.date=2014&rft.genre=book&rft.isbn=978-0-9840049-1-1&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"><span style="display:none;"> </span></span><link rel="mw-deduplicated-inline-style" href="mw-data:TemplateStyles:r32919374"/></li></ul> </div> <!-- NewPP limit report Parsed by mw1316 Cached time: 20190420072417 Cache expiry: 2592000 Dynamic content: false CPU time usage: 2.232 seconds Real time usage: 2.773 seconds Preprocessor visited node count: 5890/1000000 Preprocessor generated node count: 0/1500000 Post‐expand include size: 195028/2097152 bytes Template argument size: 49063/2097152 bytes Highest expansion depth: 6/40 Expensive parser function count: 0/500 Unstrip recursion depth: 1/20 Unstrip post‐expand size: 190906/5000000 bytes Number of Wikibase entities loaded: 0/400 Lua time usage: 0.396/10.000 seconds Lua memory usage: 5 MB/50 MB --> <!-- Transclusion expansion time report (%,ms,calls,template) 100.00% 629.012 1 -total 40.18% 252.739 52 قالب:Cite_book 14.38% 90.473 13 قالب:Cite_journal 11.82% 74.373 2 قالب:مرجع_ويب 8.35% 52.517 25 قالب:Webarchive 5.02% 31.553 191 قالب:صغير 1.20% 7.524 1 قالب:Refbegin 0.72% 4.560 1 قالب:Div_col 0.61% 3.840 1 قالب:Refend 0.47% 2.959 6 قالب:ردمك --> </div>'
ما إذا كان التعديل قد تم عمله من خلال عقدة خروج تور `(tor_exit_node)`	false
طابع زمن التغيير ليونكس `(timestamp)`	1555745054