معادلة من الدرجة الأولى: الفرق بين النسختين

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
[نسخة منشورة][نسخة منشورة]
تم حذف المحتوى تمت إضافة المحتوى
ط روبوت - اضافة لشريط البوابات : جبر (218303) (من fr wiki)
JarBot (نقاش | مساهمات)
ط بوت:صيانة
سطر 146: سطر 146:
* [[معادلة تربيعية|معادلة من الدرجة الثانية]]
* [[معادلة تربيعية|معادلة من الدرجة الثانية]]
* [[دالة تكعيبية|معادلة من الدرجة الثالثة]]
* [[دالة تكعيبية|معادلة من الدرجة الثالثة]]
* [[دالة رباعية |معادلة من الدرجة الرابعة]]
* [[دالة رباعية|معادلة من الدرجة الرابعة]]


==وصلات خارجية==
==وصلات خارجية==

نسخة 02:41، 22 يونيو 2017

الحالة العامة للمعادلة من الدرجة الأولى مع بعض الأمثلة

المعادلة من الدرجة الأولى هي كل معادلة يكون فيها أس الأعداد المعروفة أو المجهولة هو 0 أو 1 فقط. على غرار مشاكل التناسبية، عموما يُعتبر هذا النوع من المعادلات بسيط وسهل نسبيا، لكن يمكن العثور على بعض الحالات المعقدة قليلا والتي تستلزم القيام بمجموعة من العمليات الجبرية.

أمثلة لمعادلات من الدرجة الأولى

هناك ما لا نهاية من المعادلات من الدرجة الأولى، وذلك نظرا لكون هناك ما لا نهاية من الأعداد ... من بين المعادلات من الدرجة الأولى:

  • 3x + 5 = 8
  • 7x + 9 = 12x
  • 9x + 13x - 7x + 13 = 17x

تاريخ المعادلات من الدرجة الأولى

لقد بدأ حل المعادلات من الدرجة الأولى مع خوارزميات بابليون ومصريون، ثم بعد ذلك تلتها طرق تحديد المكان الخاطئ، وبعد ذلك ثم العثور على طريقة للحل مباشرة عن طريق العرب، لتأتي بعدها الطرق العصرية والتي تستعمل رموز وأدوات واضحة.

طرق الحل

تحديد العدد الخاطئ

يطبق هذا المبدأ عندما تكون هناك تناسبية في الظاهرة، حيث تكون هناك محاولة في تحديد المكان الخاطئ ومن ثم استنتاج الحل. لقد تم استعمال مثل هذه الطرق منذ قدم الزمن، تحديدا في عصر البابليون:

«لدي حجر، لكنني لا أستطيع تقدير كتلته، وبعدما أضفت عليه سُبُعَ وزنه، قدرت الوزن الكلي فوجدت 1 ما-نا (وحدة الكتلة). ما هي الكتلة الأصلية للحجر؟»

في هذه الحالة، يمكن إعطاء قيمة اعتباطية لا غير (العدد الخاطئ) لوزن الصخرة، على سبيل المثال 7. هذه القيمة لا تُعطى هكذا أو صدفة، بل تُحسب بالطريقة البسيطة المبينة أسفله:

"إذا كانت الصخرة تزن تقريبا 7 ما-نا (وحدة الكتلة)، فسُبُع 7 هو 1، يعني أن الصخرة انخفضت كتلتها ب 6 ما-نا، وبالتالي فهي أكبر ب 6 مرات من القيمة المبحوث عنها (1 ما-نا)".

وحتى تنخفض كتلة الصخرة لتصل تقريبا إلى 1 ما-نا، يجب منذ البداية أخد صخرة أكبر 6 مرات، وبالتالي فالحل هو 6/7 ما-نا.

قد تبدو هذه الطريقة صعبة، حيث كانت تُستعمل منذ زمن بعيد، أما طريقة حل مشكل الصخرة هذه بالطريقة العصرية فهو على الشكل التالي:

x + 1/7 = 1
x = 1 - 1/7
x = 6/7

هذه الطريقة لا تعمل إلا مع بعض الأمثلة، فعلى سبيل المثال لو كان المجاهيل في طرف المتساوية والأعداد المعروفة في الطرف الآخر، من بين المعادلات المقترحة في المقدمة، فقط الأولى هي الصالحة في مثل هذه الحالات.

هذه هي معادلة هذا المشكل، في حالة ما افترضنا أن الحرف P هو وزن الصخرة: p - p/7 = 1

تحديد العدد الخاطئ المضاعف

يطبق مبدأ تحديد المكان الخاطئ المضاعف عندما لا تكون هناك تناسبية في الظاهرة. حيث ينبني على القيام بمحاولتين (إيجاد عددين خاطئين) ومن ثم استنتاح الحل الصحيح (أو الفرضية الصحيحة)، ومن الأفضل القيام باقتراح قوي (صحيح) وآخر ضعيف (نسبيا غير صحيح).

مثال: في قطيع من الأبقار، إذا ثم تغيير ثلث هذه المواشي ب 17 بقرة، فإن عدد الأبقار الإجمالي سيكون 41. كم هو عدد الأبقار الحقيقي؟

  • الفرضية الأولى الضعيفة:

نأخد 24 بقرة، بعد ذلك نحذف منها الثلث ليصبح عدد الأبقار 16 فقط. ثم نضيف 17 بقرة للقطيع فيكون الناتج هو 33 بقرة، وبالتالي هو أصغر ب 8 بقرات من القيمة التي نود الحصول عليها (41 بقرة).

  • الفرضية الثانية القوية:

نأخد 45 بقرة، بعد ذلك نحذف منها الثلث ليصبح عدد الأبقار 30 فقط، ثم نضيف 17 بقرة للقطيع فيكون الناتج هو 47 بقرة، وبالتالي هو أكبر ب 6 بقرات من العدد المرجو (41 بقرة)

إذن العدد الحقيقي للأبقار هو متوسط الفرضيتان مع أخطاء التقدير المرتكبة:

الشرح الرياضي

هذه محاولة للشرح دون القيام بحسابات جبرية. في هذه الإشكالية، ليست هناك تناسبية بين عدد البقرات في البداية وعدد البقرات عند الوصول (في النهاية)، ولكن هناك دوما تناسبية ما بين عدد الأبقار المضافة في البداية وعدد الأبقار المحصل عليها في النهاية:

  • إذا أخدنا في البداية 3 بقرات، نحصل في النهاية على 19.
  • إذا أخدنا في البداية 24 بقرة (أكثر ب 21 من الشرط الأول)، ففي النهاية سنحصل على 33 بقرة (14 إضافية)
  • إذا أخدنا في البداية 45 بقرة (أكثر ب 42 مرة من الشرط الأول)، ففي النهاية سنحصل على 47 بقرة (28 إضافية)

وبالتالي من الممكن بناء وتخطيط جدول التناسبية:

المكان الانطلاق الوصول
العدد الحقيقي ? 8
العدد الخاطئ 45 - 24 14

الطريقة الثلاثية تعطي الناتج التالي: مما يعني أن العدد الكلي للبقر هو:

كما يمكن استعمال طرق هندية وصينية قادرة على تطبيق هذه الطريقة بدون الحاجة إلى الجبر، هذا بالإضافة إلى استعمال الكتابة الجبرية البسيطة لحل هذه المعادلة: يتعلق الأمر بحل المعادلة من الدرجة الأولى التالية:

x - x/3 + 17 = 41

هذه المعادلة هي بكل تأكيد مساوية ل:

تم القيام بحذف 17 من طرفي المتساوية
"تم ضرب العددين في 3/2
وبالتالي فالعدد الأولي للبقر هو 36.

خلاصة عامة

يمكن تعميم كتابة المعادلات من الدرجة الأولى في المعادلة التالية:

وبالتالي هناك 3 حالات رئيسية:

  • إذا كانت فإن حل المعادلة ax = b هو:
  • إذا كانت و فإن تساوي الطرفين في هذه الحالة لا يمكن، وبالتالي فالمعادلة لا تقبل أي حل، إذن فإن مجموعة التعريف فارغة.
  • إذا كانت و فإن التساوي ممكن في هذه الحالة، وبالتالي فإن المعادلة تقبل أي حل، إذن مجموعة التعريف هي كل الأعداد التي تنتمي لمجموعة المعادلة.

كما تكتب المعادلة من الدرجة الأولى على شكل

في هذه الحالة، فإن المعادلة تقبل حلا وحيدا وهو: إذا وفقط إذا كان

بعض الأمثلة

1) حجر كل كرسي في هذا العرض يبلغ 12 أورو، المجموعة دفعت 156 أورور. كم من شخص في المجموعة؟ المعادلة هي: 12x = 56

حيث أن x يمثل عدد الأشخاص في المجموعة، ومنه:
x = 156/12 = 13

إذن هناك 13 شخصا في المجموعة.

2) حجز كل كرسي في هذا العرض يبلغ 12 أورور، المجموعة دفعت 206 أورور، كم من شخص في المجموعة؟ علما أن الحل سيكون في مجموعة الأعداد الحقيقية: المعادلة هي 12x = 206

حيث أن x يمثل عدد أعضاء المجموعة، ومنه:
x = 206/12 = 17,166

هذا العدد ليس حقيقي، وبالتالي فالمشكل لا يقبل أي حل.

3) نبحث عن حل المعادلة

2x - 2 = 5x - (5 + x

في R.

قوانين الجمع والفرق تدل على أن هذه المعادلة مساوية للمعادلات التالية:
2x - 2 = 4x - 5
2x + 3 = 4x تمت إضافة 5 في طرفي المعادلة
3 = 2x تم حذف 2x من طرفي المعادلة
2x = 3 التساوي يمكن أن يكون في الطرفين
x = 3/2 هذا هو الحل الذي على شكل b/a والمذكور في الحالة العامة
حل المعادلة إذن هو 3/2

في حالة التناسبية

المعادلات من شكل أو هما حالات معروفة خاصة بالتناسبية. فحل المعادلة الأولى هو حيث أن "a" غير منعدم.

أما حل المعادلة الثانية فهو بشرط أن يكون كل من "a" و "b" غير منعدم.

مراجع

أنظر أيضا

وصلات خارجية