مسلمات بيانو: الفرق بين النسختين
| [نسخة منشورة] | [نسخة منشورة] |
ط بوت:إضافة مصدر من ويكي الإنجليزية أو الفرنسية (تجريبي) |
|||
| سطر 1: | سطر 1: | ||
{{مصدر|تاريخ=فبراير 2016}} |
|||
تعرف بديهيات بيانو، المسماة أيضاً مسلمات بيانو، في علم المنطق الرياضي بأنها مجموعة من البديهيات المتعلقة بالأعداد الطبيعية. أوجدها في القرن التاسع عشر عالم الرياضيات الإيطالي [[جيوسيبي بيانو]]. استُخدمت هذه البديهيات كما هي وبدون تعديلات تذكر في عدد من الأبحاث الرياضية أهمها التحقق من اتساق وكمال [[نظرية الأعداد]]. |
تعرف بديهيات بيانو، المسماة أيضاً مسلمات بيانو، في علم المنطق الرياضي بأنها مجموعة من البديهيات المتعلقة بالأعداد الطبيعية. أوجدها في القرن التاسع عشر عالم الرياضيات الإيطالي [[جيوسيبي بيانو]]. استُخدمت هذه البديهيات كما هي وبدون تعديلات تذكر في عدد من الأبحاث الرياضية أهمها التحقق من اتساق وكمال [[نظرية الأعداد]]. |
||
أثار هيرمان غراسمان عام [[1860]] الاهتمام حول الشكليات {{إنج|formalism}} [[حسابيات|الحسابية]] من خلال أبحاثه التي بين فيها إمكانية [[استقراء رياضي|استقراء]] العديد من الحقائق الرياضية المعقدة بدءاً من حقائق قاعدية بسيطة توضح ماهية عملية التالي وطريقة القيام بالاستقراء. عام [[1881]] أوجد الرياضي [[شارل ساندرز بيرس|تشارلز ساندرز بيرس]] تبديهاً (أي تبسيطاً للحقائق) {{إنج|Axiomatization}} لحساب الأعداد الطبيعية. وقد اقترح [[ريتشارد ديدكايند]] عام [[1888]] جملةً من البديهيات المتعلقة بالأعداد، ونشر [[جيوسيبي بيانو|بيانو]] عام [[1889]] ضمن كتابه "مبادئ الحساب موضحةً بطريقة جديدة" {{لات|Arithmetices principia, nova methodo exposita}} نسخةً أكثر دقة من هذه البديهيات. |
أثار هيرمان غراسمان عام [[1860]] الاهتمام حول الشكليات {{إنج|formalism}} [[حسابيات|الحسابية]] من خلال أبحاثه التي بين فيها إمكانية [[استقراء رياضي|استقراء]] العديد من الحقائق الرياضية المعقدة بدءاً من حقائق قاعدية بسيطة توضح ماهية عملية التالي وطريقة القيام بالاستقراء. عام [[1881]] أوجد الرياضي [[شارل ساندرز بيرس|تشارلز ساندرز بيرس]] تبديهاً (أي تبسيطاً للحقائق) {{إنج|Axiomatization}} لحساب الأعداد الطبيعية. وقد اقترح [[ريتشارد ديدكايند]] عام [[1888]] جملةً من البديهيات المتعلقة بالأعداد، ونشر [[جيوسيبي بيانو|بيانو]] عام [[1889]] ضمن كتابه "مبادئ الحساب موضحةً بطريقة جديدة" {{لات|Arithmetices principia, nova methodo exposita}} نسخةً أكثر دقة من هذه البديهيات. |
||
تقع بديهيات بيانو ضمن ثلاث فئات: تحتوي '''الفئة الأولى''' على بديهية واحدة تجزم وجوب احتواء مجموعة الأعداد على عنصر واحد على الأقل. تتضمن '''الفئة الثانية''' أربع بديهيات تصف خصائص المساواة، أما '''الفئة الثالثة''' فهي تتضمن جملاً من [[منطق الرتبة الأولى|الرتبة الأولى]] تتعلق بالأعداد الطبيعية وتعبر عن الصفات الرئيسية لعملية التالي، بالإضافة إلى جملة واحدة من [[منطق الرتبة الثانية|الرتبة الثانية]] تُعتبر قاعدةَ الاستقراء الرياضي للأعداد الطبيعية. من الجدير بالذكر أنه يمكن الحصول على نظام من منطق الرتبة الأولى أضعف (أقل قدرة تعبيرية) من حساب بيانو من خلال إضافة رموز عمليات الجمع والضرب إلى جملة البديهيات واستبدال بديهية الاستقراء ذات الرتبة الثانية [[مخطط بديهية|بمخطط بديهية]] من الرتبة الأولى. |
تقع بديهيات بيانو ضمن ثلاث فئات: تحتوي '''الفئة الأولى''' على بديهية واحدة تجزم وجوب احتواء مجموعة الأعداد على عنصر واحد على الأقل.<ref>{{harvnb|Gentzen|1936}}</ref><ref>{{harvp|Hermes|1973|loc=VI.3.1}}</ref><ref>{{harvnb|Hilbert|1900}}</ref> تتضمن '''الفئة الثانية''' أربع بديهيات تصف خصائص المساواة، أما '''الفئة الثالثة''' فهي تتضمن جملاً من [[منطق الرتبة الأولى|الرتبة الأولى]] تتعلق بالأعداد الطبيعية وتعبر عن الصفات الرئيسية لعملية التالي، بالإضافة إلى جملة واحدة من [[منطق الرتبة الثانية|الرتبة الثانية]] تُعتبر قاعدةَ الاستقراء الرياضي للأعداد الطبيعية. من الجدير بالذكر أنه يمكن الحصول على نظام من منطق الرتبة الأولى أضعف (أقل قدرة تعبيرية) من حساب بيانو من خلال إضافة رموز عمليات الجمع والضرب إلى جملة البديهيات واستبدال بديهية الاستقراء ذات الرتبة الثانية [[مخطط بديهية|بمخطط بديهية]] من الرتبة الأولى. |
||
== البديهيات == |
== البديهيات == |
||
عندما قام بيانو بصياغة بديهياته كانت لغة [[منطق رياضي|المنطق الرياضي]] لا تزال حديثة العهد. ولم يلقَ نظام الترميز المنطقي الذي جاء به بيانو لتبيان البديهيات استحساناً وشيوعاً على الرغم من أن بعض الترميزات التي عرّفها لا تزال تستخدم حتى اليوم، فأصل رمز الانتماء إلى [[مجموعة (رياضيات)|مجموعة]] ∈ المستخدم اليوم ليس إلا رمز بيانو ε، وكذلك رمز الاحتواء ⊃ هو في الأصل الحرف 'C' معكوساً الذي عرفه بيانو أيضاً. |
عندما قام بيانو بصياغة بديهياته كانت لغة [[منطق رياضي|المنطق الرياضي]] لا تزال حديثة العهد. ولم يلقَ نظام الترميز المنطقي الذي جاء به بيانو لتبيان البديهيات استحساناً وشيوعاً على الرغم من أن بعض الترميزات التي عرّفها لا تزال تستخدم حتى اليوم، فأصل رمز الانتماء إلى [[مجموعة (رياضيات)|مجموعة]] ∈ المستخدم اليوم ليس إلا رمز بيانو ε، وكذلك رمز الاحتواء ⊃ هو في الأصل الحرف 'C' معكوساً الذي عرفه بيانو أيضاً. |
||
== مراجع == |
|||
{{مراجع}} |
|||
{{شريط بوابات|رياضيات|منطق}} |
{{شريط بوابات|رياضيات|منطق}} |
||
{{بذرة رياضيات}} |
{{بذرة رياضيات}} |
||
نسخة 14:14، 18 ديسمبر 2017
تعرف بديهيات بيانو، المسماة أيضاً مسلمات بيانو، في علم المنطق الرياضي بأنها مجموعة من البديهيات المتعلقة بالأعداد الطبيعية. أوجدها في القرن التاسع عشر عالم الرياضيات الإيطالي جيوسيبي بيانو. استُخدمت هذه البديهيات كما هي وبدون تعديلات تذكر في عدد من الأبحاث الرياضية أهمها التحقق من اتساق وكمال نظرية الأعداد.
أثار هيرمان غراسمان عام 1860 الاهتمام حول الشكليات (بالإنجليزية: formalism) الحسابية من خلال أبحاثه التي بين فيها إمكانية استقراء العديد من الحقائق الرياضية المعقدة بدءاً من حقائق قاعدية بسيطة توضح ماهية عملية التالي وطريقة القيام بالاستقراء. عام 1881 أوجد الرياضي تشارلز ساندرز بيرس تبديهاً (أي تبسيطاً للحقائق) (بالإنجليزية: Axiomatization) لحساب الأعداد الطبيعية. وقد اقترح ريتشارد ديدكايند عام 1888 جملةً من البديهيات المتعلقة بالأعداد، ونشر بيانو عام 1889 ضمن كتابه "مبادئ الحساب موضحةً بطريقة جديدة" (باللاتينية: Arithmetices principia, nova methodo exposita) نسخةً أكثر دقة من هذه البديهيات.
تقع بديهيات بيانو ضمن ثلاث فئات: تحتوي الفئة الأولى على بديهية واحدة تجزم وجوب احتواء مجموعة الأعداد على عنصر واحد على الأقل.[1][2][3] تتضمن الفئة الثانية أربع بديهيات تصف خصائص المساواة، أما الفئة الثالثة فهي تتضمن جملاً من الرتبة الأولى تتعلق بالأعداد الطبيعية وتعبر عن الصفات الرئيسية لعملية التالي، بالإضافة إلى جملة واحدة من الرتبة الثانية تُعتبر قاعدةَ الاستقراء الرياضي للأعداد الطبيعية. من الجدير بالذكر أنه يمكن الحصول على نظام من منطق الرتبة الأولى أضعف (أقل قدرة تعبيرية) من حساب بيانو من خلال إضافة رموز عمليات الجمع والضرب إلى جملة البديهيات واستبدال بديهية الاستقراء ذات الرتبة الثانية بمخطط بديهية من الرتبة الأولى.
البديهيات
عندما قام بيانو بصياغة بديهياته كانت لغة المنطق الرياضي لا تزال حديثة العهد. ولم يلقَ نظام الترميز المنطقي الذي جاء به بيانو لتبيان البديهيات استحساناً وشيوعاً على الرغم من أن بعض الترميزات التي عرّفها لا تزال تستخدم حتى اليوم، فأصل رمز الانتماء إلى مجموعة ∈ المستخدم اليوم ليس إلا رمز بيانو ε، وكذلك رمز الاحتواء ⊃ هو في الأصل الحرف 'C' معكوساً الذي عرفه بيانو أيضاً.
مراجع
- ^ Gentzen 1936
- ^ Hermes (1973)، VI.3.1
- ^ Hilbert 1900
