84٬830
تعديل
ميكانيكا لاغرانج: الفرق بين النسختين
اذهب إلى التنقل
اذهب إلى البحث
تهذيب
(تهذيب) |
(تهذيب) |
||
|
=== معادلات لاغرانج ===
لنعتبر جسيما مفردا ذو [[كتلة]] ''m'' وشعاع موضع '''r'''. تطبق عليه قوة '''F'''، يمكن عندئذ أن نعبر عن هذا النظام بجسيم يتحرك في [[جسيم في صندوق|بئر جهدي]] فتكون له [[طاقة حركة]] و أيضا [[طاقة الوضع|طاقة وضع]]. نفترض أن الجهد المؤثر على الجسيم (''V''('''r''', ''t'' دالة تعتمد على الزمن t و المكان '''r''' (مثل جهد [[نواة الذرة]] التي تؤثر على إلكترون يدور حولها)
:<math>\mathbf{F} = - \nabla V.</math>
مثل هذه القوة تكون مستقلة عن المشتق الثالث أو المشتقات الأعلى رتبة لشعاع الموضع '''r'''، لذا فإن قانون نيوتن الثاني يشكل مجموعة من ثلاث [[معادلات تفاضلية نظامية]] من الرتبة الثانية.
وبناء على ذلك يمكن وصف حركة هذا الجسيم بدلالة متغيرات مستقلة أو ما يدعى
{ ''r''<sub>''j''</sub>, ''r''′<sub>''j''</sub> | ''j'' = 1, 2, 3}
المركبات الديكارتية لمتجه الموضع '''r''' ومشتقاته الزمنية (مشتقاته بالنسبة للزمن), في لحظة زمنية معينة أي أن الموضع (x,y,z) والسرعة بمكوناتها الديكارتية الثلاثة
(''v''<sub>''x''</sub>,''v''<sub>''y''</sub>,''v''<sub>''z''</sub>).
:<math>\mathbf{r} = \mathbf{r}(q_i, q_j, q_k, t)</math>.
فمثلاً عند التعامل مع
وتكون معادلات التحويل
:<math>\mathbf{r}(\theta, \theta ', t) = (l \sin \theta, l \cos \theta)</math>.
مصطلح ''إحداثيات معممة ''أحد بقايا فترة استخدام الإحداثيات الديكارتية كنظام إحداثيات افتراضي.
لنعتبر الإزاحة الاعتبارية للجسم δ'''r''' فيكون الشغل المبذول من قبل القوة '''F''' هو
δW = '''F''' · δ'''r'''.
باستخدام قانون نيوتن الثاني يمكننا أن نكتب
:<math>\begin{matrix}
</math>
عملية تنسيق الجانب الأيمن أكثر صعوبة لكن بعد الترتيب والتبديل
:<math>
</math>
حيث هي الطاقة الحركية للجسيم ''T'' = 1/2 ''m'' r′ <sup>2</sup>. ومعادلة الشغل المبذول ستصبح بالشكل
:<math>
</math>
على أي حال، فإن هذا يجب أن يكون صحيحاً بالنسبة لأي مجموعة من الإزاحات المعممة δ''q''<sub>i</sub>, لذا يكون لدينا
:<math>
بإدخال هذا في المعادلة السابقة واستبدال ''L'' = ''T'' - ''V''
نحصل على معادلات لاجرانج
:<math>
| |||