حسابيات معيارية: الفرق بين النسختين

اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث
تم إضافة 196 بايت ، ‏ قبل سنة واحدة
ط
بوت:الإبلاغ عن رابط معطوب أو مؤرشف V4.2 (تجريبي)
ط (بوت: تعريب V2.0)
ط (بوت:الإبلاغ عن رابط معطوب أو مؤرشف V4.2 (تجريبي))
[[ملف:Disqvisitiones-800.jpg|thumb|الصفحة الأولى من الطبعة الأصلية من كتاب [[كارل فريدريش غاوس]]، '''''[[استفسارات حسابية (كتاب)|استفسارات حسابية]]'''''، الكتاب المؤسس للحسابيات النمطية.]]
 
[[ملف:Clock group.svg|thumb|left|الساعة الحائطية تستعمل الحسابيات النمطية بتردد يساوي 12.]]
 
في [[رياضيات|الرياضيات]] وبالتحديد في مجال [[نظرية جبرية للأعداد|النظرية الجبرية للأعداد]]، '''الحسابيات النمطية''' {{إنج|modular arithmetics}} هي مجموعة من الطرق التي تتيح حل بعض المسائل الخاصة بالأعداد الصحيحة و من ضمنها الطبيعية. وهي ترتكز على دراسة الباقي الحاصل من [[قسمةخوارزمية أقليديةتقسيم|القسمة الإقليدية]].
 
ترتكز الحسابيات النمطية أساسا على النظر إلى باقي قسمة [[عدد طبيعي|الأعداد الطبيعية]] على عدد طبيعي معين ثابت ما، بدلا من النظر إلى هذه الأعداد ذاتها. يظهر هذا جليا في مثال ''حسابيات المنبه''، الذي يوافق حالة ''n=12'' : العقرب الصغير يوجد في نفس الموضع في لحظتين تفصل بينهما اثنتا عشرة ساعة، وبهذا تصير الساعة 1 كالساعة 13.
في [[الرياضيات الأساسية]], هذا المفهوم قليل الاستعمال. التوظيف الأكثر استعمالا هو [[نظرية الأعداد#المبرهنة الجبرية للأعداد|المبرهنة الجيرية للأعداد]]<ref>{{Samuel1}}</ref>, التي تتضمن مجالا أكثر توسعا, تتضمن مثلا مفاهيم [[عدد جبري|الأعداد الجبرية]] و[[مبرهنة غالوا]]<ref>A. Fröhlich, ''Galois Module structure of Algebraic integers'', Springer-Verlag, Berlin, 1983.</ref>.
 
في [[رياضيات تطبيقية|الرياضيات التطبيقية]], لهذه العبارة استعمالات مكثفة في أساسيات الرياضيات في مختلف مجالات [[نظرية المعلوميات]] [[علم التعمية|كالتشفير]] و[[نظرية الترميز]] و[[معلومياتعلم الحاسوب|المعلوميات]]. لعدد من الأدوات و[[خوارزمية|خوارزميات]] داخل هذا المجال نجد [[اختبار أولية عدد ما]] و[[مشكلةتحليل التفكيكعدد صحيح إلى جداء عوامل أولية|التفكيك إلى جداء عوامل أولية]]<ref>Chantal David ''[http://www.mathstat.concordia.ca/faculty/cdavid/TALKS/crypto.pdf Cryptographie à clé publique et factorisation]'' Université Concordia Quebec pp. 11-17 {{Webarchive|url=httphttps://web.archive.org/web/20061008081326/http://www.mathstat.concordia.ca:80/faculty/cdavid/TALKS/crypto.pdf |date=08 أكتوبر 2006}}</ref>, استعمال [[مميزة ديريشلي|مميزات مجموعة]] مثلا بالنسبة ل[[تحويل فورييه المتقطع|تحويل فوريي المتقطع]]<ref>J-M Muller J-C Bajard ''Calcul arithmétique des ordinateurs'' Traité Hermes CNRS 2004 [http://perso.ens-lyon.fr/jean-michel.muller/ExtraitsTraiteIC2.pdf lire] pp. 142-150 et pp. 181-201 {{Webarchive|url=httphttps://web.archive.org/web/20170809105943/http://perso.ens-lyon.fr/jean-michel.muller/ExtraitsTraiteIC2.pdf |date=09 أغسطس 2017}}</ref> أو دراسة [[علاقة التكافؤ|الخارج]] أو الخاصة بالأعداد الطبيعية, كما في [[كثيرةمتعددة الحدود|الدوال الحدودية]]<ref>Pascal Giorgi ''Arithmétique modulaire entière en base polynomiale'' Séminaire de l'université de Perpignan 2005 [http://webdali.univ-perp.fr/~pgiorgi/seminaire-ljk.pdf lire] {{Webarchive|url=httphttps://web.archive.org/web/20070926220344/http://webdali.univ-perp.fr/~pgiorgi/seminaire-ljk.pdf |date=26 سبتمبر 2007}}</ref>.
 
حسب مختلف العلماء والمألفين وحسب مجال التطبيق, تعتبر هذه التمديدات, إما جزء من الحسابيات النمطية<ref>Thomas Plantard ''L'arithmétique modulaire pour la cryptographie'' Université de Montpelier 2005 [http://www.loria.fr/equipes/spaces/200602161000.pdf lire] {{Webarchive|url=httphttps://web.archive.org/web/20121105203017/http://www.loria.fr/equipes/spaces/200602161000.pdf |date=05 نوفمبر 2012}}</ref> أو تطبيقات أو غير مصنفة. في صيغتها البسيطة, تحمل في بعض الأحيان
''حسابيات المنبه''<ref>[[Simon Singh]] ''Histoire des codes secrets'' p. 324-329</ref>. المفهوم نظام نمطي مستعمل<ref>Pascal Paillier ''Low-cost double-size modular exponentiation or how to stretch your cryptoprocessor'' GEMPLUS, ENST Lecture notes in computer science Springer, Berlin 1973</ref> في الحسابيات النمطية في مجموعات أعداد غير الأعداد الطبيعية.
 
 
===الطرق المستعملة===
[[ملف:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|left|[[ليونهارت أويلر]], théoricien des nombres du الثامن عشر، حلحل العديد من [[معادلة ديوفانتيةديفونتية|المعادلات الديوفانتية]].]]
 
===مساهمات كارل فريدريش غاوس===
[[ملف:Kerkhoffs.jpg|right|thumb|[[أوجوست كيركهوفس]] أعلن مبدأ مؤسسا [[علم التعمية|لعلم التعمية]] المعاصر.]]
 
[[ملف:Enigma.jpg|thumb|''[[آلة إنجما]]'', آلة للتعمية استعملت خلال [[الحرب العالمية الثانية]]، كُسر تشفيرها من طرف عالم الرياضيات [[ماريان رييفيسكي|ماريان رييفسكي]].]]
 
====نظرية المعلومات ====
للحصول على حساب من نوع هذه المجموعة, علينا التأكد من كون عمليـّـتي الجمع والضرب متكافئة مع تعريفهما.
 
بالنسبة ل[[كارل فريدريش غاوس|كارل فريدرش غاوس]] فقد أضاف تحليل بنية هذه المجموعة, والمسماة [[حلقة (رياضيات)|حلقة]] ل [[تقارب الأعداد الطبيعية|تقارب]] ورمزها [[حلقة Z/nZ|''Z''/''nZ'']]. تهتم أولا بدراسة عملية الجمع, الذي يعرف ب[[زمرة دائرية]] ذات المولد ''1'' ; ثم عملية الضرب, المستقل عن خصائص التطابق (congruency) . إذا كان هذا [[عدد أولي|عددا أوليا]], نحصل على [[حقل رياضي(رياضيات)|حقل]] . هذه المقاربة تسهل عملية المبرهنة في مجال الحسابيات. المثالان التاريخيان من كتاب ''Disquisitiones arithmeticae'' تبع الرياضياتي الألماني غاوس هما [[مبرهنة ويلسون]]<ref>[[كارل فريدريش غاوس|كارل فريدرش غاوس]], Carl Friedrich Gauß: ''Recherches arithmétiques'', 1801 Traduction M. Poullet-Delisle Ed. Courcier p56 1807</ref> و[[مبرهنة فيرما الصغرى|البرهنة على مبرهنة فيرما الصغرى]] <ref>[[كارل فريدريش غاوس|كارل فريدرش غاوس]], Carl Friedrich Gauß: ''Recherches arithmétiques'', 1801 Traduction M. Poullet-Delisle Ed. Courcier p. 34 1807</ref>.
 
الحسابيات النمطية ، في حالة لم يكن الترديد عددا أوليا ، أكثر تعقيدا. [[مبرهنة الباقي الصيني]] تسمح بتنوير البنية. الحلقة غير [[حلقة داخلية|داخلية]], حيث يوجد [[قاسم للصفر|قواسم الصفر]], وهي أعداد إذا ضربت في أعداد غير منعدمة أعطت كنتيجة العدد صفر. عدد العناصر المقلوبة معطاة بواسطة [[مؤشر أويلر]]. وهي تتيح مثلا, [[مبرهنة فيرما الصغرى|تعميم مبرهنة فيرما الصغرى]].
[[ملف:Dirichlet.jpg|thumb|left|طور [[يوهان بيتر غوستاف لوجون دركليه]] الجزء الأساسي من النظرية في إطار الحلقة ℤ/nℤ.]]
 
درس دركليه [[عدد أولي|الأعداد الأولية]] اللائي يأخذن الشكل ''n'' + λ''m'' حيث m و n [[أعداد أولية فيما بينهانسبيا|عددان أوليان فيما بينهما]] وحيث λ عدد طبيعي ما. فحاول البرهان على أن هناك عددا غير منتهي من هذه الأعداد الأولية.
 
== أساسيات ==

قائمة التصفح