مبرهنة سافيتش

في نظرية التعقيد الحسابي مبرهنة سافيتش هي نتيجة اساسية مهمة تحدد العلاقة بين تعقيد المساحة القطعي وغير القطعي . ونص المبرهنة هو :

$\forall s(n)>log(n){\mbox{ }},{\mbox{ }}NSPACE(s(n)\subseteq SPACE(s^{2}(n))$

في حين أنَّ ((NSPACE(s(n هو قسم كل اللغات التي يمكن تقريرها بواسطة آلة تيورنج غير قطعية التي تستغل (s(n مساحة اضافية على الأكثر , ((SPACE(s(n هو قسم كل اللغات التي يمكن تقريرها بواسطة آلة تيورنج قطعية التي تستغل (s(n مساحة اضافية على الأكثر .

البرهان

فلتكن $L\in NSPACE(s(n))$ لغة التي يمكن تقريرها بواسطة آلة تيورنج غير قطعية , M , التي تستغل (s(n مساحة اضافية . لكل $x\in \{0,1\}^{*}$ مخطط الصُوَر , G=G_M,x , يوجد فيه على الأكثر $m=2^{s(n)}$ رؤوس . لاحظ انَّ $x\in L$ فقط اذا يوجد من الصورة الاولية , نرمز لها s , مسار موجه إلى الصورة النهائية , نرمز لها t , هذه المسألة تُعرف أيضا بمسألة الوصول وهي مسألة تقرير : معطى مخطط G , وكذلك رأسين s و-t ,قرر اذا ما يوجد مسار موجه بين s و- t . يمكن حل هذه المسألة بسهولة بواسطة DFS او BFS ولكن المساحة الاضافية المستخدمة خطية (اي $2^{O(s)}$) وهذا لا يفيد للمبرهنة .

نعرف (Reach(u,v,i على انه "نعم" اذا يوجد مسار بين u و- v طوله على الأكثر 2ⁱ و"لا" خلاف هذا . لاحظ انه :

1. ((Reach(s,t,log(n = "نعم" فقط اذا يوجد مسار بين s و- t . (اي انه يمكننا حل مسألة الوصول)
2. (Reach(u,v,i="نعم" $\iff$ يوجد رأس z بحيث يمكن الوصول من u إلى z وطول المسار بينهما على الأكثر $2^{i-1}$ , ويمكن الوصول من z إلى v حيث ان طول المسار بينهما على الأكثر $2^{i-1}$ .

بواسطة هذه الملاحظات امكن ان نحصل على خوارزمية عودية والتي مساحتها الاضافية التي تستخدمها على الأكثر هي $O(s^{2}(n))$ .

الخوارزمية

من الملاحظات السابقة يظهر انه ليتحقق (Reach(u,v,i="نعم" يكفي ان نجد z الذي يحقق (1-Reach(u,z,i="نعم" و (1-Reach(z,v,i="نعم" , لذا كل ما علينا فعله هو ايجاد z يحقق المطلوب , لذا فاننا سوف نبحث عنه عودياً (recursively) :

def k_edge_path(s, t, k):
    if k == 0:
        return s == t
    else if k == 1:
        return s == t or (s, t) in edges
    else:
        for u in vertices:
            if k_edge_path(s, u, floor(k / 2)) and k_edge_path(u, t, ceil(k / 2)):
                return true
    return false

نلحظ انه يمكن استخدام المساحة التي قد استخدمت سابقا , لذا فان المساحة الاضافية يمكن التعبير عنها بالشكل التالي :

$s_{m,i}=s_{m,i-1}+O(log(m))$ لذا من الملاحظة الاولى : لنحل مسألة الوصول ((i=O(log(m اي : $s_{m,log(m)}=s_{m,log(m)-1}+O(log(m))$ وحل هذه العلاقة العودية هو $s_{m,log(m)}=log^{2}(m)=O(s^{2}(n))$ وهذا هو المطلوب .

استنتاجات

• PSPACE=NPSPACE , وهذا لان تربيع كثير الحدود هو أيضا كثير حدود .
• NL⊆L² حيث أنَّ ((L²=SPACE(log²(n , وهذا ينبع من المبرهنة مباشرة , وكذلك لان مسألة الوصول هي مسألة كاملة في الصنف NL .

انظر أيضا

• مبرهنة اميرمان-زليبتسيني
• بيسبايس

مصادر

• Arora، Sanjeev؛ Barak، Boaz (2009)، Computational complexity. A modern approach، Cambridge University Press، ISBN:978-0-521-42426-4، Zbl:1193.68112
• Papadimitriou، Christos (1993)، "Section 7.3: The Reachability Method"، Computational Complexity (ط. 1st)، Addison Wesley، ص. 149–150، ISBN:0-201-53082-1
• Savitch، Walter J. (1970)، "Relationships between nondeterministic and deterministic tape complexities"، Journal of Computer and System Sciences، ج. 4 ع. 2: 177–192، DOI:10.1016/S0022-0000(70)80006-X
• Sipser، Michael (1997)، "Section 8.1: Savitch's Theorem"، Introduction to the Theory of Computation، PWS Publishing، ص. 279–281، ISBN:0-534-94728-X