افحص التغييرات الفردية
تسمح لك هذه الصفحة بفحص المتغيرات التي تم إنشاؤها بواسطة عامل تصفية إساءة الاستخدام لإجراء تغيير فردي.
المتغيرات المولدة لهذا التغيير
| متغير | قيمة |
|---|---|
عدد التعديلات للمستخدم (user_editcount) | 63 |
اسم حساب المستخدم (user_name) | 'Alanouddd' |
عمر حساب المستخدم (user_age) | 56187 |
المجموعات (متضمنة غير المباشرة) التي المستخدم فيها (user_groups) | [
0 => '*',
1 => 'user'
] |
المجموعات العامة التي ينتمي إليها الحساب (global_user_groups) | [] |
ما إذا كان المستخدم يعدل من تطبيق المحمول (user_app) | false |
ما إذا كان المستخدم يعدل عبر واجهة المحمول (user_mobile) | false |
user_wpzero | false |
هوية الصفحة (page_id) | 6315204 |
نطاق الصفحة (page_namespace) | 0 |
عنوان الصفحة (بدون نطاق) (page_title) | 'ممتد الإجهاد لكوشي' |
عنوان الصفحة الكامل (page_prefixedtitle) | 'ممتد الإجهاد لكوشي' |
آخر عشرة مساهمين في الصفحة (page_recent_contributors) | [
0 => 'Alanouddd',
1 => 'JarBot'
] |
فعل (action) | 'edit' |
ملخص التعديل/السبب (summary) | '' |
نموذج المحتوى القديم (old_content_model) | 'wikitext' |
نموذج المحتوى الجديد (new_content_model) | 'wikitext' |
نص الويكي القديم للصفحة، قبل التعديل (old_wikitext) | '{{مقالة غير مراجعة|تاريخ = أغسطس 2019}}
{{يتيمة|تاريخ=أغسطس 2019}}
[[ملف:Components_stress_tensor_cartesian.svg|يسار|تصغير|370x370بك| الشكل 2.3 مكونات الاجهاد في ثلاثة أبعاد]]
في [[ميكانيكا المتصل|الميكانيكا الاستمرارية]] ، '''[[موتر|ممتد]] الإجهاد لكوشي''' <math>\boldsymbol\sigma</math> ، '''او موتر الاجهاد لكوشي،''' <ref name="Irgens">
Fridtjov Irgens (2008), [https://books.google.com/books?id=q5dB7Gf4bIoC&pg=PA46 "Continuum Mechanics"]. Springer. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190611142849/https://books.google.com/books?id=q5dB7Gf4bIoC&pg=PA46 |date=11 يونيو 2019}}</ref> هو [[موتر]] من الدرجة الثانية تمت تسميته نسبة إلى [[أوغستين لوي كوشي|أوغستين لويس كوشي]] . هذا الموتر عبارة عن مصفوفة ذات تسعة عناصر <math>\sigma_{ij}</math> والتي تحدد حالة [[إجهاد (ميكانيكا)|الإجهاد]] عند نقطة داخل مادة ما. يربط الموتر متجه الوحدة '''<math>\mathbf n</math>''' بمتجه الإجهاد <math>\mathbf{T}^{(\mathbf{n})}</math> عبر سطح وهمي متعامد مع '''<math>\mathbf n</math>''' :
: <math>\mathbf{T}^{(\mathbf n)}= \mathbf n \cdot\boldsymbol{\sigma}\quad \text{or} \quad T_j^{(n)}= \sigma_{ij}n_i.</math>
حيث،
: <math>\boldsymbol{\sigma}=
\left[{\begin{matrix}
\sigma _{11} & \sigma _{12} & \sigma _{13} \\
\sigma _{21} & \sigma _{22} & \sigma _{23} \\
\sigma _{31} & \sigma _{32} & \sigma _{33} \\
\end{matrix}}\right]
\equiv \left[{\begin{matrix}
\sigma _{xx} & \sigma _{xy} & \sigma _{xz} \\
\sigma _{yx} & \sigma _{yy} & \sigma _{yz} \\
\sigma _{zx} & \sigma _{zy} & \sigma _{zz} \\
\end{matrix}}\right]
\equiv \left[{\begin{matrix}
\sigma _x & \tau _{xy} & \tau _{xz} \\
\tau _{yx} & \sigma _y & \tau _{yz} \\
\tau _{zx} & \tau _{zy} & \sigma _z \\
\end{matrix}}\right]
</math>
وحدات كل من موتر الإجهاد ومتجه الإجهاد حسب [[نظام الوحدات الدولي|'''النظام الدولي للوحدات''' (<abbr>SI</abbr>)]] هي N / m <sup>2</sup> مطابقة للجهد ككمية قياسية، حيث ان متجة الوجده ليس له وحدات.
يتبع ممتد الإجهاد لكوشي قانون تحويل الموتر تحت تغيير في نظام الإحداثيات. [[دائرة مور|دائرة موهر]] للاجهاد هي تمثيلا رسوميًا لقانون التحويل.
يُستخدم موتر الإجهاد لكوشي في تحليل الإجهاد للأجسام المادية التي تعاني من [[نظرية الإجهادات متناهية الصغر|تشوهات صغيرة]] : وهو مفهوم مركزي في [[مرونة خطية|النظرية الخطية للمرونة]] . اما بالنسبة للتشوهات الكبيرة ، والتي تسمى أيضًا [[نظرية الإجهاد المنتهي|التشوهات المنتهية]] ، فيلزم اتخاذ قياسات أخرى للإجهاد ، مثل [[إجهاد (ميكانيكا)|ممتدة الإجهاد لكيرشوف وبيولا (Piola-Kirchhoff)]] ، وممتدة الإجهاد لبيوت (Biot) ، ممتدة الاجهاد لكيرشوف (Kirchhoff) .
وفقًا لمبدأ [[زخم الحركة|حفط الزخم الخطي]] ، إذا كانت المادة المتصلة في حالة اتزان حركي ، فيمكن إثبات أن مكونات موتر الإجهاد لكوشي في كل نقطة مادية في الجسم تتبع معادلات الاتزان (معادلات كاكي للحركة بلا تسارع) . في الوقت نفسه ، وفقًا لمبدأ حفظ [[زخم زاوي|الزخم الزاوي]] ، يتطلب الاتزان أن يكون مجموع [[عزم الدوران|العزم الدوراني]] بالنسبة الى نقطة تخيلة صفرًا ، مما يؤدي إلى استنتاج أن [[إجهاد (ميكانيكا)|موتر الإجهاد متماثل]] ، وبالتالي لا يحتوي إلا على ستة مكونات إجهاد مستقلة ، بدلا من تسعة.
هناك بعض العناصر الثابتة المرتبطة بموتر الإجهاد ، والتي لا تعتمد قيمها على نظام الإحداثيات المختار ، أو عنصر المنطقة الذي يعمل عليه موتر الإجهاد. هذه هي [[متجه خاص|القيم الذاتية]] الثلاثة [[متجه خاص|لموتر]] التوتر ، والتي تسمى [[موتر الإجهاد لكوشي|الضغوط الرئيسية]] .
== مبدأ الإجهاد لأويلر وكوشي - متجة الإجهاد ==
[[ملف:Internal_forces_in_continuum.svg|يسار|تصغير|370x370بك| االشكل 2.1a التوزيع الداخلي لقوى التماس وزوج الاجهاد على <math>dS</math> من السطح الداخلي <math>S</math> لمادة متصلة نتيجة للتلامس <span></span>بين جزأين من المادة المتصلة مفصولة بواسطة السطح الداخلي <math>S</math>.]]
[[ملف:Internal_forces_in_continuum_2.svg|يسار|تصغير|370x370بك| الشكل 2.1b التوزيع الداخلي لقوى التماس وزوج الاجهاد على <math>dS</math> من السطح الداخلي <math>S</math> في المادة المتصلة ، نتيجة للتفاعل بين<span></span> جزأين من مادة متصلة مفصولة السطح]]
[[ملف:Stress_vector.svg|يسار|تصغير|370x370بك| الشكل 2.1c متجة الإج<span></span>هاد على سطح داخلي S مع المتجة العامودي للسطح n. اعتمادًا على اتجاه المستوى ، قد لا يكون متجه الإجهاد بالضرورة عموديًا على ذلك السطح ، ''أي'' بالتوازي مع <math>\mathbf{n}</math> ، ويمكن تحليله إلى مكونين: مكون عمودي للسطح ، يسم<span></span>ى ''الإجهاد العمودي'' <math>\sigma_\mathrm{n}</math> ، ومكون آخر موازٍ للسطج ، يُسمى ''إجهاد القص'' <math>\tau</math><math>\tau</math>.]]
ينص '''مبدأ الإجهاد لأويلر وكوشي''' على أن ''الفعل الناتج من أي سطح يقسم الجسم (حقيقي او خيالي) على الجزء الاخر (سطح في الجانب الآخر) هو مكافئ (مساوٍ) لنظام القوى الموزعة والأزواج على السطح الذي يقسم الجسم'' ، <ref name="Truesdell22">{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Truesdell|Toupin|1960}}</ref> ويمثله الحقل <math>\mathbf{T}^{(\mathbf{n})}</math> ، يسمى متجه الإجهاد ، المعرف على السطح <math>S</math> ويفترض أن يعتمد باستمرار على متجة الوحدة للسطح <math>\mathbf n</math>. <ref name="Chadwick22">Peter Chadwick (1999), [https://books.google.ca/books?id=QSXIHQsus6UC&pg=PA95 "Continuum Mechanics: Concise Theory and Problems"]. Dover Publications, series "Books on Physics". {{ردمك|0-486-40180-4}}. pages {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190218021219/https://books.google.ca/books?id=QSXIHQsus6UC&pg=PA95 |date=18 فبراير 2019}}</ref> <ref name="Fung22">Yuan-cheng Fung and Pin Tong (2001) [https://books.google.ca/books?id=hmyiIiiv4FUC&pg=PA66 "Classical and Computational Solid Mechanics"]. World Scientific. {{ردمك|981-02-4124-0}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160308071026/https://books.google.ca/books?id=hmyiIiiv4FUC&pg=PA66 |date=8 مارس 2016}}</ref> {{Rp|p.66–96}}
لصياغة مبدأ الإجهاد لأويلر وكوشي، ينظر لسطح تخيلي <math>S</math>مار بنقطة داخلية <math>P</math> وقاسم للجسم المستمر الى قسمين كما هو موضح في الشكل 2.1a او الشكل 2.1b (يمكن استخدام الرسم التخطيطي للمادة المتصلة مفصولة بواسطة سطح او الرسم التخطيطي للحجم التخيلي داخل الجسم المتصل المحاط بالسطح <math>S</math>)
حسب الديناميكا الكلاسيكية [[إسحاق نيوتن|لنيوتن]] [[ليونهارت أويلر|وأويلر]] ، فإن حركة الجسم المادي تُنتج من خلال [[قوة|قوى]] خارجية، والتي يُفترض أن تكون من نوعين: قوى السطح <math>\mathbf F</math> وقوى الجسم <math>\mathbf b</math> . <ref name="Smith22">Smith & Truesdell p.97</ref> وبالتالي ، فإن القوة الكلية <math>\mathcal F</math> على الجسم أو على جزء من الجسم يمكن وصفها على النحو التالي:
: <math>\mathcal F = \mathbf b + \mathbf F</math>
ستتم مناقشة القوى السطحية فقط في هذه المقالة لأنها ذات صلة بممتدة الإجهاد لكوشي.
عندما يتعرض الجسم لقوى خارجية من نوع قوى السطح أو ''قوى الاتصال'' <math>\mathbf F</math>، باتباع [[قوانين أويلر للحركة|معادلات أويلر للحركة]] ، تنتقل قوى الاتصال الداخلية والعزم الدوراني من نقطة إلى أخرى في الجسم ، ومن شريحة إلى أخرى عبر السطح الفاصل <math>S</math> بسبب التلامس الميكانيكي لجزء من المادة المتصلة على الآخر (الشكل 2.1a و 2.1b). على عنصر مساحة <math>\Delta S</math> محتوي <math>P</math>، مع [[متجهة|متجة]] عمودي <math>\mathbf n</math> ، توزيع القوة مكافئ لقوة التماس <math>\Delta \mathbf F</math> عند النقطة P والعزم الدوراني السطحي <math>\Delta \mathbf M</math>
<math>\Delta \mathbf M</math> . على وجه الخصوص ، يتم وصف قوة الاتصال على النحو التالي:
: <math>\Delta\mathbf F= \mathbf T^{(\mathbf n)}\,\Delta S</math>
حيث،
<math>\mathbf T^{(\mathbf n)}</math>: متوسط الجر للسطح .
يؤكد مبدأ الإجهاد لكوشي انه عندما تصبح <ref name="Mase4">G. Thomas Mase and George E. Mase (1999), [https://books.google.ca/books?id=uI1ll0A8B_UC&pg=PA47 "Continuum Mechanics for Engineers"] (2nd edition). CRC Press. {{ردمك|0-8493-1855-6}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160308075237/https://books.google.ca/books?id=uI1ll0A8B_UC&pg=PA47 |date=8 مارس 2016}}</ref> {{Rp|p.47–102}} <math>\Delta S</math> صغيرة جدا وتميل إلى الصفر، فإن النسبة <math>\Delta \mathbf F/\Delta S</math> تصبح <math>d\mathbf F/dS</math> وزوج متجة الإجهاد<math>\Delta \mathbf M</math> يختفي. في مجالات محددة من الميكانيكا الاستمرارية ، يفترض ألا يتلاشى إجهاد الزوجين ؛ ومع ذلك ، فإن الفروع الكلاسيكية لميكانيكا الاستمرارية تتناول المواد غير [[قطبية كيميائية|القطبية]] التي لا تأخذ في الاعتبار زوج الاجهاد والزخم الزاوي للجسم.
المتجه الناتج<math>d\mathbf F/dS</math> يتم تعريفه بالجر السطحي,<ref name="Liu2">I-Shih Liu (2002), [https://books.google.com/books?id=-gWqM4uMV6wC&pg=PA43 "Continuum Mechanics"]. Springer {{ردمك|3-540-43019-9}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140928155332/http://books.google.com/books?id=-gWqM4uMV6wC&pg=PA43 |date=28 سبتمبر 2014}}</ref> ويسمى متجه الجر<ref name="Wu2">Han-Chin Wu (2005), [https://books.google.com/books?id=OS4mICsHG3sC&pg=PA45 "Continuum Mechanics and Plasticity"]. CRC Press. {{ردمك|1-58488-363-4}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140626220410/http://books.google.com/books?id=OS4mICsHG3sC&pg=PA45 |date=26 يونيو 2014}}</ref><ref name="Fung22" />أو متجه الإجهاد <ref name="Mase4" /> يمثل ب <math>\mathbf{T}^{(\mathbf{n})}=T_i^{(\mathbf{n})}\mathbf{e}_i</math> عند النقطة <math>P</math> المرتبطة بمستوى له متجه عمودي <math>\mathbf n</math>.
: <math>T^{(\mathbf{n})}_i= \lim_{\Delta S \to 0} \frac {\Delta F_i}{\Delta S} = {dF_i \over dS}.</math>
المعادلة السابقة تعني أن متجه الإجهاد يعتمد على موقعه داخل الجسم واتجاه المستوى الذي يتصرف عليه.
هذا يعني أن الفعل الموازن لقوى الاتصال الداخلية يولد ''كثافة قوة تماس'' أو ''مجال كوشي للسحب'' <ref name="Smith22" /> <math>\mathbf T(\mathbf n, \mathbf x, t)</math> وذلك يمثل توزيع قوى التماس الداخلية في جميع أنحاء الجسم في [[ميكانيكا المتصل|تكوين]] معين [[ميكانيكا المتصل|من الجسم]] في وقت معين <math>t</math> . إنه ليس مجال متجه لأنه لا يعتمد فقط على الموضع <math>\mathbf x</math> لنقطة معينة في مادة ، بل أيضًا على الاتجاه المحلي للسطح كما هو محدد بواسطة المتجة العمودي <math>\mathbf n</math> . <ref name="Lubliner2">Lubliner</ref>
اعتمادًا على اتجاه المسوى المنظور اليه ، قد لا يكون متجه الإجهاد بالضرورة عموديًا على ذلك المستوى ، ''أي'' بالتوازي مع <math>\mathbf n</math>، ويمكن تحليله إلى مكونين (الشكل 2.1c):
* احدهما عمودي على السطح، ويدعى ''الإجهاد العمودي''
: <math>\mathbf{\sigma_\mathrm{n}}= \lim_{\Delta S \to 0} \frac {\Delta F_\mathrm n}{\Delta S} = \frac{dF_\mathrm n}{dS},</math>
: حيث <math>dF_\mathrm n</math> هي المركبة العمودية للقوة <math>d\mathbf F</math>على <math>dS</math>
* والآخر موازي لهذا السطح ، ويدعى ''إجهاد القص''
: <math>\mathbf \tau= \lim_{\Delta S \to 0} \frac {\Delta F_\mathrm s}{\Delta S} = \frac{dF_\mathrm s}{dS},</math>
: حيث <math>dF_\mathrm s</math> هو المركبة المماسية للقوة <math>d\mathbf F</math> على المساحة <math>dS</math>. يمكن تحليل اجهاد القص الى متجهين متعامدين ايضًا.
:
== إجهاد [[ثماني السطوح]]==
[[ملف:Octahedral_stress_planes.svg|يسار|تصغير|300x300بك| الشكل 6. مستويات الإجهاد لثماني السطوح]]
بالنظر إلى الاتجاهات الرئيسية كمحور إحداثي ، فإن المستوى الذي يقوم متهه العمودي بعمل زوايا متساوية مع كل من المحاور الرئيسية (أي أن يكون اتجاه جيب التمام يساوي <math>|1/\sqrt{3}|</math> ) يسمى مستوى ''ثماني السطوح'' . هناك ما مجموعه ثماني مستويات ثماني السطوح (الشكل 6). تسمى المكونات العمودية والقص في ممتد الإجهاد على هذه امستويات ''الإجهاد العمودي لثماني السطوح'' <math>\sigma_\mathrm{oct}</math> ''واجهاد القص لثماني السطوح'' <math>\tau_\mathrm{oct}</math> على التوالي. مستوى ثماني السطوح المار بنقطة الأصل يعرف باسم مستوى ''π'' ''.'' على ''المستوى'' <math>s_{ij} = I/3</math> .
ومع العلم أن ممتد الإجهاد من النقطة O (الشكل 6) في المحاور الرئيسية هو
:<math>\sigma_{ij}=
\begin{bmatrix}
\sigma_1 & 0 & 0\\
0 & \sigma_2 & 0\\
0 & 0 & \sigma_3
\end{bmatrix}
</math>
فإن متجة الإجهاد على مستوى ثماني السطوح هو:
: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mtable displaystyle="true" rowspacing="3pt"><mtr><mtd><msubsup><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi mathvariant="bold"> <math>\begin{align}
\mathbf{T}_\mathrm{oct}^{(\mathbf{n})}&= \sigma_{ij}n_i\mathbf{e}_j \\
&=\sigma_1n_1\mathbf{e}_1+\sigma_2n_2\mathbf{e}_2+\sigma_3n_3\mathbf{e}_3\\
&=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(\sigma_1\mathbf{e}_1+\sigma_2\mathbf{e}_2+\sigma_3\mathbf{e}_3)
\end{align}
</math> <span></span><n></mrow></ا الا العا msub><mo> </mo><msub><mi> تات تلتا تال ااتات </m></msub><msub><mi> <math>\begin{align}
\mathbf{T}_\mathrm{oct}^{(\mathbf{n})}&= \sigma_{ij}n_i\mathbf{e}_j \\
&=\sigma_1n_1\mathbf{e}_1+\sigma_2n_2\mathbf{e}_2+\sigma_3n_3\mathbf{e}_3\\
&=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(\sigma_1\mathbf{e}_1+\sigma_2\mathbf{e}_2+\sigma_3\mathbf{e}_3)
\end{align}
</math> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom- تالاتا تالتا ORD"><mn> <math>\begin{align}
\mathbf{T}_\mathrm{oct}^{(\mathbf{n})}&= \sigma_{ij}n_i\mathbf{e}_j \\
&=\sigma_1n_1\mathbf{e}_1+\sigma_2n_2\mathbf{e}_2+\sigma_3n_3\mathbf{e}_3\\
&=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(\sigma_1\mathbf{e}_1+\sigma_2\mathbf{e}_2+\sigma_3\mathbf{e}_3)
\end{align}
</math> </mn></mrow></msub><msub><mrow class="M نمبتلنل نبلا نبل JX-TeXAtom-ORD"><mi mathvariant="bold"> <math>\begin{align}
\mathbf{T}_\mathrm{oct}^{(\mathbf{n})}&= \sigma_{ij}n_i\mathbf{e}_j \\
&=\sigma_1n_1\mathbf{e}_1+\sigma_2n_2\mathbf{e}_2+\sigma_3n_3\mathbf{e}_3\\
&=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(\sigma_1\mathbf{e}_1+\sigma_2\mathbf{e}_2+\sigma_3\mathbf{e}_3)
\end{align}
</math> </mi></mrow><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <math>\begin{align}
\mathbf{T}_\mathrm{oct}^{(\mathbf{n})}&= \sigma_{ij}n_i\mathbf{e}_j \\
&=\sigma_1n_1\mathbf{e}_1+\sigma_2n_2\mathbf{e}_2+\sigma_3n_3\mathbf{e}_3\\
&=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(\sigma_1\mathbf{e}_1+\sigma_2\mathbf{e}_2+\sigma_3\mathbf{e}_3)
\end{align}
</math> </mn></mrow></msub><mo> <math>\begin{align}
\mathbf{T}_\mathrm{oct}^{(\mathbf{n})}&= \sigma_{ij}n_i\mathbf{e}_j \\
&=\sigma_1n_1\mathbf{e}_1+\sigma_2n_2\mathbf{e}_2+\sigma_3n_3\mathbf{e}_3\\
&=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(\sigma_1\mathbf{e}_1+\sigma_2\mathbf{e}_2+\sigma_3\mathbf{e}_3)
\end{align}
</math> </mo><msub><mi> من يبتي بتل نتبل بلستل </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-Oتبدب بتد ينبد RD"><mn> <math>\begin{align}
\mathbf{T}_\mathrm{oct}^{(\mathbf{n})}&= \sigma_{ij}n_i\mathbf{e}_j \\
&=\sigma_1n_1\mathbf{e}_1+\sigma_2n_2\mathbf{e}_2+\sigma_3n_3\mathbf{e}_3\\
&=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(\sigma_1\mathbf{e}_1+\sigma_2\mathbf{e}_2+\sigma_3\mathbf{e}_3)
\end{align}
</math> </mn></mrow></msuتتتيت تبيب بي بيل. ليسل b><><mi> -TeXAtom-ORD"><mn> </mn></mrow></msub><msub><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi mathvariant="bold"> </mi> </mn></mrow></msub><msub><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi mathvariant="bold"> </mi></mrow><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <math>\begin{align}
\mathbf{T}_\mathrm{oct}^{(\mathbf{n})}&= \sigma_{ij}n_i\mathbf{e}_j \\
&=\sigma_1n_1\mathbf{e}_1+\sigma_2n_2\mathbf{e}_2+\sigma_3n_3\mathbf{e}_3\\
&=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(\sigma_1\mathbf{e}_1+\sigma_2\mathbf{e}_2+\sigma_3\mathbf{e}_3)
\end{align}
</math> </mn></mrow></msub><mo> </mo><msub><mi> <math>\begin{align}
\mathbf{T}_\mathrm{oct}^{(\mathbf{n})}&= \sigma_{ij}n_i\mathbf{e}_j \\
&=\sigma_1n_1\mathbf{e}_1+\sigma_2n_2\mathbf{e}_2+\sigma_3n_3\mathbf{e}_3\\
&=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(\sigma_1\mathbf{e}_1+\sigma_2\mathbf{e}_2+\sigma_3\mathbf{e}_3)
\end{align}
</math> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <math>\begin{align}
\mathbf{T}_\mathrm{oct}^{(\mathbf{n})}&= \sigma_{ij}n_i\mathbf{e}_j \\
&=\sigma_1n_1\mathbf{e}_1+\sigma_2n_2\mathbf{e}_2+\sigma_3n_3\mathbf{e}_3\\
&=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(\sigma_1\mathbf{e}_1+\sigma_2\mathbf{e}_2+\sigma_3\mathbf{e}_3)
\end{align}
</math> </mn></mrow></msub><msub><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi mathvariant="bold"> <math>\begin{align}
\mathbf{T}_\mathrm{oct}^{(\mathbf{n})}&= \sigma_{ij}n_i\mathbf{e}_j \\
&=\sigma_1n_1\mathbf{e}_1+\sigma_2n_2\mathbf{e}_2+\sigma_3n_3\mathbf{e}_3\\
&=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(\sigma_1\mathbf{e}_1+\sigma_2\mathbf{e}_2+\sigma_3\mathbf{e}_3)
\end{align}
</math> </mi></mrow><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <math>\begin{align}
\mathbf{T}_\mathrm{oct}^{(\mathbf{n})}&= \sigma_{ij}n_i\mathbf{e}_j \\
&=\sigma_1n_1\mathbf{e}_1+\sigma_2n_2\mathbf{e}_2+\sigma_3n_3\mathbf{e}_3\\
&=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(\sigma_1\mathbf{e}_1+\sigma_2\mathbf{e}_2+\sigma_3\mathbf{e}_3)
\end{align}
</math> </mn></mrow></msub><mo> <math>\begin{align}
\mathbf{T}_\mathrm{oct}^{(\mathbf{n})}&= \sigma_{ij}n_i\mathbf{e}_j \\
&=\sigma_1n_1\mathbf{e}_1+\sigma_2n_2\mathbf{e}_2+\sigma_3n_3\mathbf{e}_3\\
&=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(\sigma_1\mathbf{e}_1+\sigma_2\mathbf{e}_2+\sigma_3\mathbf{e}_3)
\end{align}
</math> </mo><msub><mi> <math>\begin{align}
\mathbf{T}_\mathrm{oct}^{(\mathbf{n})}&= \sigma_{ij}n_i\mathbf{e}_j \\
&=\sigma_1n_1\mathbf{e}_1+\sigma_2n_2\mathbf{e}_2+\sigma_3n_3\mathbf{e}_3\\
&=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(\sigma_1\mathbf{e}_1+\sigma_2\mathbf{e}_2+\sigma_3\mathbf{e}_3)
\end{align}
</math> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <math>\begin{align}
\mathbf{T}_\mathrm{oct}^{(\mathbf{n})}&= \sigma_{ij}n_i\mathbf{e}_j \\
&=\sigma_1n_1\mathbf{e}_1+\sigma_2n_2\mathbf{e}_2+\sigma_3n_3\mathbf{e}_3\\
&=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(\sigma_1\mathbf{e}_1+\sigma_2\mathbf{e}_2+\sigma_3\mathbf{e}_3)
\end{align}
</math> </mn></mrow></msub><msub><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi mathvariant="bold"> <math>\begin{align}
\mathbf{T}_\mathrm{oct}^{(\mathbf{n})}&= \sigma_{ij}n_i\mathbf{e}_j \\
&=\sigma_1n_1\mathbf{e}_1+\sigma_2n_2\mathbf{e}_2+\sigma_3n_3\mathbf{e}_3\\
&=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(\sigma_1\mathbf{e}_1+\sigma_2\mathbf{e}_2+\sigma_3\mathbf{e}_3)
\end{align}
</math> </mi></mrow><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <math>\begin{align}
\mathbf{T}_\mathrm{oct}^{(\mathbf{n})}&= \sigma_{ij}n_i\mathbf{e}_j \\
&=\sigma_1n_1\mathbf{e}_1+\sigma_2n_2\mathbf{e}_2+\sigma_3n_3\mathbf{e}_3\\
&=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(\sigma_1\mathbf{e}_1+\sigma_2\mathbf{e}_2+\sigma_3\mathbf{e}_3)
\end{align}
</math> </mn></mrow>
المكون العمودي لمتجه الاجهاد عند النقطة O المرتبط بمستوى ثماني السطوح هو
: <math>\begin{align}
\sigma_\mathrm{oct} &= T^{(n)}_in_i \\
&=\sigma_{ij}n_in_j \\
&=\sigma_1n_1n_1+\sigma_2n_2n_2+\sigma_3n_3n_3 \\
&=\tfrac{1}{3}(\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3)=\tfrac{1}{3}I_1
\end{align}
</math>
وهو متوسط الإ<span></span>جهاد الهيدروستاتيكي. هذه القيمة تكون متساوية في جميع مستويات ثماني السطوح الثمانية. إجهاد القص على مستوى ثماني السطوح يكون كالتالي:
<math>\begin{align}
\tau_\mathrm{oct} &=\sqrt{T_i^{(n)}T_i^{(n)}-\sigma_\mathrm{n}^2} \\
&=\left[\tfrac{1}{3}(\sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2)-\tfrac{1}{9}(\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3)^2\right]^{1/2} \\
&=\tfrac{1}{3}\left[(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2\right]^{1/2} = \tfrac{1}{3}\sqrt{2I_1^2-6I_2} = \sqrt{\tfrac{2}{3}J_2}
\end{align}</math>
:
== المراجع ==
<references>
<ref name="Hjelmstad">
Keith D. Hjelmstad (2005), [https://books.google.ca/books?id=LVTYjmcdvPwC&pg=PA103 "Fundamentals of Structural Mechanics"] (2nd edition). Prentice-Hall. {{ISBN|0-387-23330-X}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160308065054/https://books.google.ca/books?id=LVTYjmcdvPwC&pg=PA103 |date=8 مارس 2016}}</ref>
<ref name="Atanackovic">
Teodor M. Atanackovic and Ardéshir Guran (2000), [https://books.google.ca/books?id=uQrBWdcGmjUC&pg=PA1 "Theory of Elasticity for Scientists and Engineers"]. Springer. {{ISBN|0-8176-4072-X}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160308064808/https://books.google.ca/books?id=uQrBWdcGmjUC&pg=PA1 |date=8 مارس 2016}}</ref>
<ref name="Basar">Basar</ref>
<ref name="Mase">
G. Thomas Mase and George E. Mase (1999), [https://books.google.ca/books?id=uI1ll0A8B_UC&pg=PA47 "Continuum Mechanics for Engineers"] (2nd edition). CRC Press. {{ردمك|0-8493-1855-6}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160308075237/https://books.google.ca/books?id=uI1ll0A8B_UC&pg=PA47|date=8 مارس 2016}}</ref>
<ref name="Truesdell">{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Truesdell|Toupin|1960}}
</ref>
<ref name="Chadwick">
Peter Chadwick (1999), [https://books.google.ca/books?id=QSXIHQsus6UC&pg=PA95 "Continuum Mechanics: Concise Theory and Problems"]. Dover Publications, series "Books on Physics". {{ردمك|0-486-40180-4}}. pages {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190218021219/https://books.google.ca/books?id=QSXIHQsus6UC&pg=PA95|date=18 فبراير 2019}}</ref>
<ref name="Fung">
Yuan-cheng Fung and Pin Tong (2001) [https://books.google.ca/books?id=hmyiIiiv4FUC&pg=PA66 "Classical and Computational Solid Mechanics"]. World Scientific. {{ردمك|981-02-4124-0}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160308071026/https://books.google.ca/books?id=hmyiIiiv4FUC&pg=PA66|date=8 مارس 2016}}</ref>
<ref name="Liu">
I-Shih Liu (2002), [https://books.google.com/books?id=-gWqM4uMV6wC&pg=PA43 "Continuum Mechanics"]. Springer {{ردمك|3-540-43019-9}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140928155332/http://books.google.com/books?id=-gWqM4uMV6wC&pg=PA43|date=28 سبتمبر 2014}}</ref>
<ref name="Irgens">
Fridtjov Irgens (2008), [https://books.google.com/books?id=q5dB7Gf4bIoC&pg=PA46 "Continuum Mechanics"]. Springer. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190611142849/https://books.google.com/books?id=q5dB7Gf4bIoC&pg=PA46 |date=11 يونيو 2019}}</ref>
<ref name="Chen">
Wai-Fah Chen and Da-Jian Han (2007), [https://books.google.com/books?id=E8jptvNgADYC&pg=PA46 "Plasticity for Structural Engineers"]. J. Ross Publishing {{ISBN|1-932159-75-4}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140929221248/http://books.google.com/books?id=E8jptvNgADYC&pg=PA46 |date=29 سبتمبر 2014}}</ref>
<ref name="Hamrock">
Bernard Hamrock (2005), [https://books.google.com/books?id=jT1XPwAACAAJ "Fundamentals of Machine Elements"]. McGraw–Hill. {{ISBN|0-07-297682-9}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140626220417/http://books.google.com/books?id=jT1XPwAACAAJ |date=26 يونيو 2014}}</ref>
<ref name="Wu">
Han-Chin Wu (2005), [https://books.google.com/books?id=OS4mICsHG3sC&pg=PA45 "Continuum Mechanics and Plasticity"]. CRC Press. {{ردمك|1-58488-363-4}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140626220410/http://books.google.com/books?id=OS4mICsHG3sC&pg=PA45|date=26 يونيو 2014}}</ref>
<ref name="Chatterjee">
Rabindranath Chatterjee (1999), [https://books.google.com/books?id=v2F84PwH0BkC&pg=PA111 "Mathematical Theory of Continuum Mechanics"]. Alpha Science. {{ISBN|81-7319-244-8}}
</ref>
<ref name="Jaeger">
John Conrad Jaeger, N. G. W. Cook, and R. W. Zimmerman (2007), [https://books.google.com/books?id=FqADDkunVNAC&pg=PA10 "Fundamentals of Rock Mechanics"] (4th edition). Wiley-Blackwell. {{ISBN|0-632-05759-9}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140626220416/http://books.google.com/books?id=FqADDkunVNAC&pg=PA10 |date=26 يونيو 2014}}</ref>
<ref name="Ameen">
Mohammed Ameen (2005), [https://books.google.ca/books?id=Gl9cFyLrdrcC&pg=PA33 "Computational Elasticity: Theory of Elasticity and Finite and Boundary Element Methods"] (book). Alpha Science, {{ISBN|1-84265-201-X}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160308063242/https://books.google.ca/books?id=Gl9cFyLrdrcC&pg=PA33 |date=8 مارس 2016}}</ref>
<ref name="Prager">
William Prager (2004), [https://books.google.ca/books?id=Feer6-hn9zsC&pg=PA43 "Introduction to Mechanics of Continua"]. Dover Publications. {{ISBN|0-486-43809-0}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160308060704/https://books.google.ca/books?id=Feer6-hn9zsC&pg=PA43 |date=8 مارس 2016}}</ref>
<ref name="Atanackovic">
Teodor M. Atanackovic and Ardéshir Guran (2000), [https://books.google.ca/books?id=uQrBWdcGmjUC&pg=PA1 "Theory of Elasticity for Scientists and Engineers"]. Springer. {{ISBN|0-8176-4072-X}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160308064808/https://books.google.ca/books?id=uQrBWdcGmjUC&pg=PA1 |date=8 مارس 2016}}</ref>
<ref name="Chen">
Wai-Fah Chen and Da-Jian Han (2007), [https://books.google.com/books?id=E8jptvNgADYC&pg=PA46 "Plasticity for Structural Engineers"]. J. Ross Publishing {{ISBN|1-932159-75-4}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140929221248/http://books.google.com/books?id=E8jptvNgADYC&pg=PA46 |date=29 سبتمبر 2014}}</ref>
</references>
{{شريط بوابات|الفيزياء|علم المواد|علم طبيعة الأرض|علوم الأرض}}
[[تصنيف:موترات]]
[[تصنيف:ميكانيكا استمرارية]]
[[تصنيف:ميكانيكا المواد الصلبة]]' |
نص الويكي الجديد للصفحة، بعد التعديل (new_wikitext) | '{{مقالة غير مراجعة|تاريخ = أغسطس 2019}}
{{يتيمة|تاريخ=أغسطس 2019}}
[[ملف:Components_stress_tensor_cartesian.svg|يسار|تصغير|370x370بك| الشكل 2.3 مكونات الاجهاد في ثلاثة أبعاد]]
في [[ميكانيكا المتصل|الميكانيكا الاستمرارية]] ، '''[[موتر|ممتد]] الإجهاد لكوشي''' <math>\boldsymbol\sigma</math> ، '''او موتر الاجهاد لكوشي،''' <ref name="Irgens">
Fridtjov Irgens (2008), [https://books.google.com/books?id=q5dB7Gf4bIoC&pg=PA46 "Continuum Mechanics"]. Springer. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190611142849/https://books.google.com/books?id=q5dB7Gf4bIoC&pg=PA46 |date=11 يونيو 2019}}</ref> هو [[موتر]] من الدرجة الثانية تمت تسميته نسبة إلى [[أوغستين لوي كوشي|أوغستين لويس كوشي]] . هذا الموتر عبارة عن مصفوفة ذات تسعة عناصر <math>\sigma_{ij}</math> والتي تحدد حالة [[إجهاد (ميكانيكا)|الإجهاد]] عند نقطة داخل مادة ما. يربط الموتر متجه الوحدة '''<math>\mathbf n</math>''' بمتجه الإجهاد <math>\mathbf{T}^{(\mathbf{n})}</math> عبر سطح وهمي متعامد مع '''<math>\mathbf n</math>''' :
: <math>\mathbf{T}^{(\mathbf n)}= \mathbf n \cdot\boldsymbol{\sigma}\quad \text{or} \quad T_j^{(n)}= \sigma_{ij}n_i.</math>
حيث،
: <math>\boldsymbol{\sigma}=
\left[{\begin{matrix}
\sigma _{11} & \sigma _{12} & \sigma _{13} \\
\sigma _{21} & \sigma _{22} & \sigma _{23} \\
\sigma _{31} & \sigma _{32} & \sigma _{33} \\
\end{matrix}}\right]
\equiv \left[{\begin{matrix}
\sigma _{xx} & \sigma _{xy} & \sigma _{xz} \\
\sigma _{yx} & \sigma _{yy} & \sigma _{yz} \\
\sigma _{zx} & \sigma _{zy} & \sigma _{zz} \\
\end{matrix}}\right]
\equiv \left[{\begin{matrix}
\sigma _x & \tau _{xy} & \tau _{xz} \\
\tau _{yx} & \sigma _y & \tau _{yz} \\
\tau _{zx} & \tau _{zy} & \sigma _z \\
\end{matrix}}\right]
</math>
وحدات كل من موتر الإجهاد ومتجه الإجهاد حسب [[نظام الوحدات الدولي|'''النظام الدولي للوحدات''' (<abbr>SI</abbr>)]] هي N / m <sup>2</sup> مطابقة للجهد ككمية قياسية، حيث ان متجة الوجده ليس له وحدات.
يتبع ممتد الإجهاد لكوشي قانون تحويل الموتر تحت تغيير في نظام الإحداثيات. [[دائرة مور|دائرة موهر]] للاجهاد هي تمثيلا رسوميًا لقانون التحويل.
يُستخدم موتر الإجهاد لكوشي في تحليل الإجهاد للأجسام المادية التي تعاني من [[نظرية الإجهادات متناهية الصغر|تشوهات صغيرة]] : وهو مفهوم مركزي في [[مرونة خطية|النظرية الخطية للمرونة]] . اما بالنسبة للتشوهات الكبيرة ، والتي تسمى أيضًا [[نظرية الإجهاد المنتهي|التشوهات المنتهية]] ، فيلزم اتخاذ قياسات أخرى للإجهاد ، مثل [[إجهاد (ميكانيكا)|ممتدة الإجهاد لكيرشوف وبيولا (Piola-Kirchhoff)]] ، وممتدة الإجهاد لبيوت (Biot) ، ممتدة الاجهاد لكيرشوف (Kirchhoff) .
وفقًا لمبدأ [[زخم الحركة|حفط الزخم الخطي]] ، إذا كانت المادة المتصلة في حالة اتزان حركي ، فيمكن إثبات أن مكونات موتر الإجهاد لكوشي في كل نقطة مادية في الجسم تتبع معادلات الاتزان (معادلات كاكي للحركة بلا تسارع) . في الوقت نفسه ، وفقًا لمبدأ حفظ [[زخم زاوي|الزخم الزاوي]] ، يتطلب الاتزان أن يكون مجموع [[عزم الدوران|العزم الدوراني]] بالنسبة الى نقطة تخيلة صفرًا ، مما يؤدي إلى استنتاج أن [[إجهاد (ميكانيكا)|موتر الإجهاد متماثل]] ، وبالتالي لا يحتوي إلا على ستة مكونات إجهاد مستقلة ، بدلا من تسعة.
هناك بعض العناصر الثابتة المرتبطة بموتر الإجهاد ، والتي لا تعتمد قيمها على نظام الإحداثيات المختار ، أو عنصر المنطقة الذي يعمل عليه موتر الإجهاد. هذه هي [[متجه خاص|القيم الذاتية]] الثلاثة [[متجه خاص|لموتر]] التوتر ، والتي تسمى [[موتر الإجهاد لكوشي|الضغوط الرئيسية]] .
== مبدأ الإجهاد لأويلر وكوشي - متجة الإجهاد ==
[[ملف:Internal_forces_in_continuum.svg|يسار|تصغير|370x370بك| االشكل 2.1a التوزيع الداخلي لقوى التماس وزوج الاجهاد على <math>dS</math> من السطح الداخلي <math>S</math> لمادة متصلة نتيجة للتلامس <span></span>بين جزأين من المادة المتصلة مفصولة بواسطة السطح الداخلي <math>S</math>.]]
[[ملف:Internal_forces_in_continuum_2.svg|يسار|تصغير|370x370بك| الشكل 2.1b التوزيع الداخلي لقوى التماس وزوج الاجهاد على <math>dS</math> من السطح الداخلي <math>S</math> في المادة المتصلة ، نتيجة للتفاعل بين<span></span> جزأين من مادة متصلة مفصولة السطح]]
[[ملف:Stress_vector.svg|يسار|تصغير|370x370بك| الشكل 2.1c متجة الإج<span></span>هاد على سطح داخلي S مع المتجة العامودي للسطح n. اعتمادًا على اتجاه المستوى ، قد لا يكون متجه الإجهاد بالضرورة عموديًا على ذلك السطح ، ''أي'' بالتوازي مع <math>\mathbf{n}</math> ، ويمكن تحليله إلى مكونين: مكون عمودي للسطح ، يسم<span></span>ى ''الإجهاد العمودي'' <math>\sigma_\mathrm{n}</math> ، ومكون آخر موازٍ للسطج ، يُسمى ''إجهاد القص'' <math>\tau</math><math>\tau</math>.]]
ينص '''مبدأ الإجهاد لأويلر وكوشي''' على أن ''الفعل الناتج من أي سطح يقسم الجسم (حقيقي او خيالي) على الجزء الاخر (سطح في الجانب الآخر) هو مكافئ (مساوٍ) لنظام القوى الموزعة والأزواج على السطح الذي يقسم الجسم'' ، <ref name="Truesdell22">{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Truesdell|Toupin|1960}}</ref> ويمثله الحقل <math>\mathbf{T}^{(\mathbf{n})}</math> ، يسمى متجه الإجهاد ، المعرف على السطح <math>S</math> ويفترض أن يعتمد باستمرار على متجة الوحدة للسطح <math>\mathbf n</math>. <ref name="Chadwick22">Peter Chadwick (1999), [https://books.google.ca/books?id=QSXIHQsus6UC&pg=PA95 "Continuum Mechanics: Concise Theory and Problems"]. Dover Publications, series "Books on Physics". {{ردمك|0-486-40180-4}}. pages {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190218021219/https://books.google.ca/books?id=QSXIHQsus6UC&pg=PA95 |date=18 فبراير 2019}}</ref> <ref name="Fung22">Yuan-cheng Fung and Pin Tong (2001) [https://books.google.ca/books?id=hmyiIiiv4FUC&pg=PA66 "Classical and Computational Solid Mechanics"]. World Scientific. {{ردمك|981-02-4124-0}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160308071026/https://books.google.ca/books?id=hmyiIiiv4FUC&pg=PA66 |date=8 مارس 2016}}</ref> {{Rp|p.66–96}}
لصياغة مبدأ الإجهاد لأويلر وكوشي، ينظر لسطح تخيلي <math>S</math>مار بنقطة داخلية <math>P</math> وقاسم للجسم المستمر الى قسمين كما هو موضح في الشكل 2.1a او الشكل 2.1b (يمكن استخدام الرسم التخطيطي للمادة المتصلة مفصولة بواسطة سطح او الرسم التخطيطي للحجم التخيلي داخل الجسم المتصل المحاط بالسطح <math>S</math>)
حسب الديناميكا الكلاسيكية [[إسحاق نيوتن|لنيوتن]] [[ليونهارت أويلر|وأويلر]] ، فإن حركة الجسم المادي تُنتج من خلال [[قوة|قوى]] خارجية، والتي يُفترض أن تكون من نوعين: قوى السطح <math>\mathbf F</math> وقوى الجسم <math>\mathbf b</math> . <ref name="Smith22">Smith & Truesdell p.97</ref> وبالتالي ، فإن القوة الكلية <math>\mathcal F</math> على الجسم أو على جزء من الجسم يمكن وصفها على النحو التالي:
: <math>\mathcal F = \mathbf b + \mathbf F</math>
ستتم مناقشة القوى السطحية فقط في هذه المقالة لأنها ذات صلة بممتدة الإجهاد لكوشي.
عندما يتعرض الجسم لقوى خارجية من نوع قوى السطح أو ''قوى الاتصال'' <math>\mathbf F</math>، باتباع [[قوانين أويلر للحركة|معادلات أويلر للحركة]] ، تنتقل قوى الاتصال الداخلية والعزم الدوراني من نقطة إلى أخرى في الجسم ، ومن شريحة إلى أخرى عبر السطح الفاصل <math>S</math> بسبب التلامس الميكانيكي لجزء من المادة المتصلة على الآخر (الشكل 2.1a و 2.1b). على عنصر مساحة <math>\Delta S</math> محتوي <math>P</math>، مع [[متجهة|متجة]] عمودي <math>\mathbf n</math> ، توزيع القوة مكافئ لقوة التماس <math>\Delta \mathbf F</math> عند النقطة P والعزم الدوراني السطحي <math>\Delta \mathbf M</math>
<math>\Delta \mathbf M</math> . على وجه الخصوص ، يتم وصف قوة الاتصال على النحو التالي:
: <math>\Delta\mathbf F= \mathbf T^{(\mathbf n)}\,\Delta S</math>
حيث،
<math>\mathbf T^{(\mathbf n)}</math>: متوسط الجر للسطح .
يؤكد مبدأ الإجهاد لكوشي انه عندما تصبح <ref name="Mase4">G. Thomas Mase and George E. Mase (1999), [https://books.google.ca/books?id=uI1ll0A8B_UC&pg=PA47 "Continuum Mechanics for Engineers"] (2nd edition). CRC Press. {{ردمك|0-8493-1855-6}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160308075237/https://books.google.ca/books?id=uI1ll0A8B_UC&pg=PA47 |date=8 مارس 2016}}</ref> {{Rp|p.47–102}} <math>\Delta S</math> صغيرة جدا وتميل إلى الصفر، فإن النسبة <math>\Delta \mathbf F/\Delta S</math> تصبح <math>d\mathbf F/dS</math> وزوج متجة الإجهاد<math>\Delta \mathbf M</math> يختفي. في مجالات محددة من الميكانيكا الاستمرارية ، يفترض ألا يتلاشى إجهاد الزوجين ؛ ومع ذلك ، فإن الفروع الكلاسيكية لميكانيكا الاستمرارية تتناول المواد غير [[قطبية كيميائية|القطبية]] التي لا تأخذ في الاعتبار زوج الاجهاد والزخم الزاوي للجسم.
المتجه الناتج<math>d\mathbf F/dS</math> يتم تعريفه بالجر السطحي,<ref name="Liu2">I-Shih Liu (2002), [https://books.google.com/books?id=-gWqM4uMV6wC&pg=PA43 "Continuum Mechanics"]. Springer {{ردمك|3-540-43019-9}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140928155332/http://books.google.com/books?id=-gWqM4uMV6wC&pg=PA43 |date=28 سبتمبر 2014}}</ref> ويسمى متجه الجر<ref name="Wu2">Han-Chin Wu (2005), [https://books.google.com/books?id=OS4mICsHG3sC&pg=PA45 "Continuum Mechanics and Plasticity"]. CRC Press. {{ردمك|1-58488-363-4}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140626220410/http://books.google.com/books?id=OS4mICsHG3sC&pg=PA45 |date=26 يونيو 2014}}</ref><ref name="Fung22" />أو متجه الإجهاد <ref name="Mase4" /> يمثل ب <math>\mathbf{T}^{(\mathbf{n})}=T_i^{(\mathbf{n})}\mathbf{e}_i</math> عند النقطة <math>P</math> المرتبطة بمستوى له متجه عمودي <math>\mathbf n</math>.
: <math>T^{(\mathbf{n})}_i= \lim_{\Delta S \to 0} \frac {\Delta F_i}{\Delta S} = {dF_i \over dS}.</math>
المعادلة السابقة تعني أن متجه الإجهاد يعتمد على موقعه داخل الجسم واتجاه المستوى الذي يتصرف عليه.
هذا يعني أن الفعل الموازن لقوى الاتصال الداخلية يولد ''كثافة قوة تماس'' أو ''مجال كوشي للسحب'' <ref name="Smith22" /> <math>\mathbf T(\mathbf n, \mathbf x, t)</math> وذلك يمثل توزيع قوى التماس الداخلية في جميع أنحاء الجسم في [[ميكانيكا المتصل|تكوين]] معين [[ميكانيكا المتصل|من الجسم]] في وقت معين <math>t</math> . إنه ليس مجال متجه لأنه لا يعتمد فقط على الموضع <math>\mathbf x</math> لنقطة معينة في مادة ، بل أيضًا على الاتجاه المحلي للسطح كما هو محدد بواسطة المتجة العمودي <math>\mathbf n</math> . <ref name="Lubliner2">Lubliner</ref>
اعتمادًا على اتجاه المسوى المنظور اليه ، قد لا يكون متجه الإجهاد بالضرورة عموديًا على ذلك المستوى ، ''أي'' بالتوازي مع <math>\mathbf n</math>، ويمكن تحليله إلى مكونين (الشكل 2.1c):
* احدهما عمودي على السطح، ويدعى ''الإجهاد العمودي''
: <math>\mathbf{\sigma_\mathrm{n}}= \lim_{\Delta S \to 0} \frac {\Delta F_\mathrm n}{\Delta S} = \frac{dF_\mathrm n}{dS},</math>
: حيث <math>dF_\mathrm n</math> هي المركبة العمودية للقوة <math>d\mathbf F</math>على <math>dS</math>
* والآخر موازي لهذا السطح ، ويدعى ''إجهاد القص''
: <math>\mathbf \tau= \lim_{\Delta S \to 0} \frac {\Delta F_\mathrm s}{\Delta S} = \frac{dF_\mathrm s}{dS},</math>
: حيث <math>dF_\mathrm s</math> هو المركبة المماسية للقوة <math>d\mathbf F</math> على المساحة <math>dS</math>. يمكن تحليل اجهاد القص الى متجهين متعامدين ايضًا.
:
== إجهاد [[ثماني السطوح]]==
[[ملف:Octahedral_stress_planes.svg|يسار|تصغير|300x300بك| الشكل 6. مستويات الإجهاد لثماني السطوح]]
بالنظر إلى الاتجاهات الرئيسية كمحور إحداثي ، فإن المستوى الذي يقوم متهه العمودي بعمل زوايا متساوية مع كل من المحاور الرئيسية (أي أن يكون اتجاه جيب التمام يساوي <math>|1/\sqrt{3}|</math> ) يسمى مستوى ''ثماني السطوح'' . هناك ما مجموعه ثماني مستويات ثماني السطوح (الشكل 6). تسمى المكونات العمودية والقص في ممتد الإجهاد على هذه امستويات ''الإجهاد العمودي لثماني السطوح'' <math>\sigma_\mathrm{oct}</math> ''واجهاد القص لثماني السطوح'' <math>\tau_\mathrm{oct}</math> على التوالي. مستوى ثماني السطوح المار بنقطة الأصل يعرف باسم مستوى ''π'' ''.'' على ''المستوى'' <math>s_{ij} = I/3</math> .
ومع العلم أن ممتد الإجهاد من النقطة O (الشكل 6) في المحاور الرئيسية هو
:<math>\sigma_{ij}=
\begin{bmatrix}
\sigma_1 & 0 & 0\\
0 & \sigma_2 & 0\\
0 & 0 & \sigma_3
\end{bmatrix}
</math>
فإن متجة الإجهاد على مستوى ثماني السطوح هو:
: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mtable displaystyle="true" rowspacing="3pt"><mtr><mtd><msubsup><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi mathvariant="bold"> <math>\begin{align}
\mathbf{T}_\mathrm{oct}^{(\mathbf{n})}&= \sigma_{ij}n_i\mathbf{e}_j \\
&=\sigma_1n_1\mathbf{e}_1+\sigma_2n_2\mathbf{e}_2+\sigma_3n_3\mathbf{e}_3\\
&=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(\sigma_1\mathbf{e}_1+\sigma_2\mathbf{e}_2+\sigma_3\mathbf{e}_3)
\end{align}
</math> <span></span><n></mrow></ا الا العا msub><mo> </mo><msub><mi> تات تلتا تال ااتات </m></msub><msub><mi> تجرههب نيب بهرس سبا يسهسي سر تيس </mi><mrow class="MJX-TeXAtom- تالاتا تالتا ORD"><mn> </mn></mrow></msub><msub><mrow class="M نمبتلنل نبلا نبل JX-TeXAtom-OR تب سيت يسنيس. يسن. يس D"><mi mathvariant="bold"> <math>\begin{align}
\mathbf{T}_\mathrm{oct}^{(\mathbf{n})}&= \sigma_{ij}n_i\mathbf{e}_j \\
&=\sigma_1n_1\mathbf{e}_1+\sigma_2n_2\mathbf{e}_2+\sigma_3n_3\mathbf{e}_3\\
&=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(\sigma_1\mathbf{e}_1+\sigma_2\mathbf{e}_2+\sigma_3\mathbf{e}_3)
\end{align}
</math> </mi></mrow>< يفلي تنني خه mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <math>\begin{align}
\mathbf{T}_\mathrm{oct}^{(\mathbf{n})}&= \sigma_{ij}n_i\mathbf{e}_j \\
&=\sigma_1n_1\mathbf{e}_1+\sigma_2n_2\mathbf{e}_2+\sigma_3n_3\mathbf{e}_3\\
&=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(\sigma_1\mathbf{e}_1+\sigma_2\mathbf{e}_2+\sigma_3\mathbf{e}_3)
\end{align}
</math> </mn></mrow></msub><mo> <math>\begin{align}
\mathbf{T}_\mathrm{oct}^{(\mathbf{n})}&= \sigma_{ij}n_i\mathbf{e}_j \\
&=\sigma_1n_1\mathbf{e}_1+\sigma_2n_2\mathbf{e}_2+\sigma_3n_3\mathbf{e}_3\\
&=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(\sigma_1\mathbf{e}_1+\sigma_2\mathbf{e}_2+\sigma_3\mathbf{e}_3)
\end{align}
</math> </mo><msub><mi> من يبتي بتل نتبل بلستل </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-Oتبدب بتد ينبد RD"><mn> <math>\begin{align}
\mathbf{T}_\mathrm{oct}^{(\mathbf{n})}&= \sigma_{ij}n_i\mathbf{e}_j \\
&=\sigma_1n_1\mathbf{e}_1+\sigma_2n_2\mathbf{e}_2+\sigma_3n_3\mathbf{e}_3\\
&=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(\sigma_1\mathbf{e}_1+\sigma_2\mathbf{e}_2+\sigma_3\mathbf{e}_3)
\end{align}
</math> </mn></mrow></msuتتتيت تبيب بي بيل. ليسل b><><mi> -TeXAtom-ORD"><mn> </mn></mrow></msub><msub><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi mathvariant="bold"> </mi> </mn></mrow></msub><msub><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi mathvariant="bold"> </mi></mrow><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <math>\begin{align}
\mathbf{T}_\mathrm{oct}^{(\mathbf{n})}&= \sigma_{ij}n_i\mathbf{e}_j \\
&=\sigma_1n_1\mathbf{e}_1+\sigma_2n_2\mathbf{e}_2+\sigma_3n_3\mathbf{e}_3\\
&=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(\sigma_1\mathbf{e}_1+\sigma_2\mathbf{e}_2+\sigma_3\mathbf{e}_3)
\end{align}
</math> </mn></mrow></msub><mo> </mo><msub><mi> <math>\begin{align}
\mathbf{T}_\mathrm{oct}^{(\mathbf{n})}&= \sigma_{ij}n_i\mathbf{e}_j \\
&=\sigma_1n_1\mathbf{e}_1+\sigma_2n_2\mathbf{e}_2+\sigma_3n_3\mathbf{e}_3\\
&=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(\sigma_1\mathbf{e}_1+\sigma_2\mathbf{e}_2+\sigma_3\mathbf{e}_3)
\end{align}
</math> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <math>\begin{align}
\mathbf{T}_\mathrm{oct}^{(\mathbf{n})}&= \sigma_{ij}n_i\mathbf{e}_j \\
&=\sigma_1n_1\mathbf{e}_1+\sigma_2n_2\mathbf{e}_2+\sigma_3n_3\mathbf{e}_3\\
&=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(\sigma_1\mathbf{e}_1+\sigma_2\mathbf{e}_2+\sigma_3\mathbf{e}_3)
\end{align}
</math> </mn></mrow></msub><msub><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi mathvariant="bold"> <math>\begin{align}
\mathbf{T}_\mathrm{oct}^{(\mathbf{n})}&= \sigma_{ij}n_i\mathbf{e}_j \\
&=\sigma_1n_1\mathbf{e}_1+\sigma_2n_2\mathbf{e}_2+\sigma_3n_3\mathbf{e}_3\\
&=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(\sigma_1\mathbf{e}_1+\sigma_2\mathbf{e}_2+\sigma_3\mathbf{e}_3)
\end{align}
</math> </mi></mrow><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <math>\begin{align}
\mathbf{T}_\mathrm{oct}^{(\mathbf{n})}&= \sigma_{ij}n_i\mathbf{e}_j \\
&=\sigma_1n_1\mathbf{e}_1+\sigma_2n_2\mathbf{e}_2+\sigma_3n_3\mathbf{e}_3\\
&=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(\sigma_1\mathbf{e}_1+\sigma_2\mathbf{e}_2+\sigma_3\mathbf{e}_3)
\end{align}
</math> </mn></mrow></msub><mo> </mo><msub><mi> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <math>\begin{align}
\mathbf{T}_\mathrm{oct}^{(\mathbf{n})}&= \sigma_{ij}n_i\mathbf{e}_j \\
&=\sigma_1n_1\mathbf{e}_1+\sigma_2n_2\mathbf{e}_2+\sigma_3n_3\mathbf{e}_3\\
&=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(\sigma_1\mathbf{e}_1+\sigma_2\mathbf{e}_2+\sigma_3\mathbf{e}_3)
\end{align}
</math> </mn></mrow></msub><msub><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi mathvariant="bold"> <math>\begin{align}
\mathbf{T}_\mathrm{oct}^{(\mathbf{n})}&= \sigma_{ij}n_i\mathbf{e}_j \\
&=\sigma_1n_1\mathbf{e}_1+\sigma_2n_2\mathbf{e}_2+\sigma_3n_3\mathbf{e}_3\\
&=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(\sigma_1\mathbf{e}_1+\sigma_2\mathbf{e}_2+\sigma_3\mathbf{e}_3)
\end{align}
</math> </mi></mrow><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <math>\begin{align}
\mathbf{T}_\mathrm{oct}^{(\mathbf{n})}&= \sigma_{ij}n_i\mathbf{e}_j \\
&=\sigma_1n_1\mathbf{e}_1+\sigma_2n_2\mathbf{e}_2+\sigma_3n_3\mathbf{e}_3\\
&=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(\sigma_1\mathbf{e}_1+\sigma_2\mathbf{e}_2+\sigma_3\mathbf{e}_3)
\end{align}
</math> </mn></mrow>
المكون العمودي لمتجه الاجهاد عند النقطة O المرتبط بمستوى ثماني السطوح هو
: <math>\begin{align}
\sigma_\mathrm{oct} &= T^{(n)}_in_i \\
&=\sigma_{ij}n_in_j \\
&=\sigma_1n_1n_1+\sigma_2n_2n_2+\sigma_3n_3n_3 \\
&=\tfrac{1}{3}(\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3)=\tfrac{1}{3}I_1
\end{align}
</math>
وهو متوسط الإ<span></span>جهاد الهيدروستاتيكي. هذه القيمة تكون متساوية في جميع مستويات ثماني السطوح الثمانية. إجهاد القص على مستوى ثماني السطوح يكون كالتالي:
<math>\begin{align}
\tau_\mathrm{oct} &=\sqrt{T_i^{(n)}T_i^{(n)}-\sigma_\mathrm{n}^2} \\
&=\left[\tfrac{1}{3}(\sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2)-\tfrac{1}{9}(\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3)^2\right]^{1/2} \\
&=\tfrac{1}{3}\left[(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2\right]^{1/2} = \tfrac{1}{3}\sqrt{2I_1^2-6I_2} = \sqrt{\tfrac{2}{3}J_2}
\end{align}</math>
:
== المراجع ==
<references>
<ref name="Hjelmstad">
Keith D. Hjelmstad (2005), [https://books.google.ca/books?id=LVTYjmcdvPwC&pg=PA103 "Fundamentals of Structural Mechanics"] (2nd edition). Prentice-Hall. {{ISBN|0-387-23330-X}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160308065054/https://books.google.ca/books?id=LVTYjmcdvPwC&pg=PA103 |date=8 مارس 2016}}</ref>
<ref name="Atanackovic">
Teodor M. Atanackovic and Ardéshir Guran (2000), [https://books.google.ca/books?id=uQrBWdcGmjUC&pg=PA1 "Theory of Elasticity for Scientists and Engineers"]. Springer. {{ISBN|0-8176-4072-X}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160308064808/https://books.google.ca/books?id=uQrBWdcGmjUC&pg=PA1 |date=8 مارس 2016}}</ref>
<ref name="Basar">Basar</ref>
<ref name="Mase">
G. Thomas Mase and George E. Mase (1999), [https://books.google.ca/books?id=uI1ll0A8B_UC&pg=PA47 "Continuum Mechanics for Engineers"] (2nd edition). CRC Press. {{ردمك|0-8493-1855-6}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160308075237/https://books.google.ca/books?id=uI1ll0A8B_UC&pg=PA47|date=8 مارس 2016}}</ref>
<ref name="Truesdell">{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Truesdell|Toupin|1960}}
</ref>
<ref name="Chadwick">
Peter Chadwick (1999), [https://books.google.ca/books?id=QSXIHQsus6UC&pg=PA95 "Continuum Mechanics: Concise Theory and Problems"]. Dover Publications, series "Books on Physics". {{ردمك|0-486-40180-4}}. pages {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190218021219/https://books.google.ca/books?id=QSXIHQsus6UC&pg=PA95|date=18 فبراير 2019}}</ref>
<ref name="Fung">
Yuan-cheng Fung and Pin Tong (2001) [https://books.google.ca/books?id=hmyiIiiv4FUC&pg=PA66 "Classical and Computational Solid Mechanics"]. World Scientific. {{ردمك|981-02-4124-0}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160308071026/https://books.google.ca/books?id=hmyiIiiv4FUC&pg=PA66|date=8 مارس 2016}}</ref>
<ref name="Liu">
I-Shih Liu (2002), [https://books.google.com/books?id=-gWqM4uMV6wC&pg=PA43 "Continuum Mechanics"]. Springer {{ردمك|3-540-43019-9}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140928155332/http://books.google.com/books?id=-gWqM4uMV6wC&pg=PA43|date=28 سبتمبر 2014}}</ref>
<ref name="Irgens">
Fridtjov Irgens (2008), [https://books.google.com/books?id=q5dB7Gf4bIoC&pg=PA46 "Continuum Mechanics"]. Springer. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190611142849/https://books.google.com/books?id=q5dB7Gf4bIoC&pg=PA46 |date=11 يونيو 2019}}</ref>
<ref name="Chen">
Wai-Fah Chen and Da-Jian Han (2007), [https://books.google.com/books?id=E8jptvNgADYC&pg=PA46 "Plasticity for Structural Engineers"]. J. Ross Publishing {{ISBN|1-932159-75-4}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140929221248/http://books.google.com/books?id=E8jptvNgADYC&pg=PA46 |date=29 سبتمبر 2014}}</ref>
<ref name="Hamrock">
Bernard Hamrock (2005), [https://books.google.com/books?id=jT1XPwAACAAJ "Fundamentals of Machine Elements"]. McGraw–Hill. {{ISBN|0-07-297682-9}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140626220417/http://books.google.com/books?id=jT1XPwAACAAJ |date=26 يونيو 2014}}</ref>
<ref name="Wu">
Han-Chin Wu (2005), [https://books.google.com/books?id=OS4mICsHG3sC&pg=PA45 "Continuum Mechanics and Plasticity"]. CRC Press. {{ردمك|1-58488-363-4}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140626220410/http://books.google.com/books?id=OS4mICsHG3sC&pg=PA45|date=26 يونيو 2014}}</ref>
<ref name="Chatterjee">
Rabindranath Chatterjee (1999), [https://books.google.com/books?id=v2F84PwH0BkC&pg=PA111 "Mathematical Theory of Continuum Mechanics"]. Alpha Science. {{ISBN|81-7319-244-8}}
</ref>
<ref name="Jaeger">
John Conrad Jaeger, N. G. W. Cook, and R. W. Zimmerman (2007), [https://books.google.com/books?id=FqADDkunVNAC&pg=PA10 "Fundamentals of Rock Mechanics"] (4th edition). Wiley-Blackwell. {{ISBN|0-632-05759-9}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140626220416/http://books.google.com/books?id=FqADDkunVNAC&pg=PA10 |date=26 يونيو 2014}}</ref>
<ref name="Ameen">
Mohammed Ameen (2005), [https://books.google.ca/books?id=Gl9cFyLrdrcC&pg=PA33 "Computational Elasticity: Theory of Elasticity and Finite and Boundary Element Methods"] (book). Alpha Science, {{ISBN|1-84265-201-X}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160308063242/https://books.google.ca/books?id=Gl9cFyLrdrcC&pg=PA33 |date=8 مارس 2016}}</ref>
<ref name="Prager">
William Prager (2004), [https://books.google.ca/books?id=Feer6-hn9zsC&pg=PA43 "Introduction to Mechanics of Continua"]. Dover Publications. {{ISBN|0-486-43809-0}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160308060704/https://books.google.ca/books?id=Feer6-hn9zsC&pg=PA43 |date=8 مارس 2016}}</ref>
<ref name="Atanackovic">
Teodor M. Atanackovic and Ardéshir Guran (2000), [https://books.google.ca/books?id=uQrBWdcGmjUC&pg=PA1 "Theory of Elasticity for Scientists and Engineers"]. Springer. {{ISBN|0-8176-4072-X}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160308064808/https://books.google.ca/books?id=uQrBWdcGmjUC&pg=PA1 |date=8 مارس 2016}}</ref>
<ref name="Chen">
Wai-Fah Chen and Da-Jian Han (2007), [https://books.google.com/books?id=E8jptvNgADYC&pg=PA46 "Plasticity for Structural Engineers"]. J. Ross Publishing {{ISBN|1-932159-75-4}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140929221248/http://books.google.com/books?id=E8jptvNgADYC&pg=PA46 |date=29 سبتمبر 2014}}</ref>
</references>
{{شريط بوابات|الفيزياء|علم المواد|علم طبيعة الأرض|علوم الأرض}}
[[تصنيف:موترات]]
[[تصنيف:ميكانيكا استمرارية]]
[[تصنيف:ميكانيكا المواد الصلبة]]' |
فرق موحد للتغييرات المصنوعة بواسطة التعديل (edit_diff) | '@@ -107,20 +107,10 @@
&=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(\sigma_1\mathbf{e}_1+\sigma_2\mathbf{e}_2+\sigma_3\mathbf{e}_3)
\end{align}
-</math> <span></span><n></mrow></ا الا العا msub><mo> </mo><msub><mi> تات تلتا تال ااتات </m></msub><msub><mi> <math>\begin{align}
+</math> <span></span><n></mrow></ا الا العا msub><mo> </mo><msub><mi> تات تلتا تال ااتات </m></msub><msub><mi> تجرههب نيب بهرس سبا يسهسي سر تيس </mi><mrow class="MJX-TeXAtom- تالاتا تالتا ORD"><mn> </mn></mrow></msub><msub><mrow class="M نمبتلنل نبلا نبل JX-TeXAtom-OR تب سيت يسنيس. يسن. يس D"><mi mathvariant="bold"> <math>\begin{align}
\mathbf{T}_\mathrm{oct}^{(\mathbf{n})}&= \sigma_{ij}n_i\mathbf{e}_j \\
&=\sigma_1n_1\mathbf{e}_1+\sigma_2n_2\mathbf{e}_2+\sigma_3n_3\mathbf{e}_3\\
&=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(\sigma_1\mathbf{e}_1+\sigma_2\mathbf{e}_2+\sigma_3\mathbf{e}_3)
\end{align}
-</math> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom- تالاتا تالتا ORD"><mn> <math>\begin{align}
-\mathbf{T}_\mathrm{oct}^{(\mathbf{n})}&= \sigma_{ij}n_i\mathbf{e}_j \\
-&=\sigma_1n_1\mathbf{e}_1+\sigma_2n_2\mathbf{e}_2+\sigma_3n_3\mathbf{e}_3\\
-&=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(\sigma_1\mathbf{e}_1+\sigma_2\mathbf{e}_2+\sigma_3\mathbf{e}_3)
-\end{align}
-</math> </mn></mrow></msub><msub><mrow class="M نمبتلنل نبلا نبل JX-TeXAtom-ORD"><mi mathvariant="bold"> <math>\begin{align}
-\mathbf{T}_\mathrm{oct}^{(\mathbf{n})}&= \sigma_{ij}n_i\mathbf{e}_j \\
-&=\sigma_1n_1\mathbf{e}_1+\sigma_2n_2\mathbf{e}_2+\sigma_3n_3\mathbf{e}_3\\
-&=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(\sigma_1\mathbf{e}_1+\sigma_2\mathbf{e}_2+\sigma_3\mathbf{e}_3)
-\end{align}
-</math> </mi></mrow><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <math>\begin{align}
+</math> </mi></mrow>< يفلي تنني خه mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <math>\begin{align}
\mathbf{T}_\mathrm{oct}^{(\mathbf{n})}&= \sigma_{ij}n_i\mathbf{e}_j \\
&=\sigma_1n_1\mathbf{e}_1+\sigma_2n_2\mathbf{e}_2+\sigma_3n_3\mathbf{e}_3\\
@@ -162,15 +152,5 @@
&=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(\sigma_1\mathbf{e}_1+\sigma_2\mathbf{e}_2+\sigma_3\mathbf{e}_3)
\end{align}
-</math> </mn></mrow></msub><mo> <math>\begin{align}
-\mathbf{T}_\mathrm{oct}^{(\mathbf{n})}&= \sigma_{ij}n_i\mathbf{e}_j \\
-&=\sigma_1n_1\mathbf{e}_1+\sigma_2n_2\mathbf{e}_2+\sigma_3n_3\mathbf{e}_3\\
-&=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(\sigma_1\mathbf{e}_1+\sigma_2\mathbf{e}_2+\sigma_3\mathbf{e}_3)
-\end{align}
-</math> </mo><msub><mi> <math>\begin{align}
-\mathbf{T}_\mathrm{oct}^{(\mathbf{n})}&= \sigma_{ij}n_i\mathbf{e}_j \\
-&=\sigma_1n_1\mathbf{e}_1+\sigma_2n_2\mathbf{e}_2+\sigma_3n_3\mathbf{e}_3\\
-&=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(\sigma_1\mathbf{e}_1+\sigma_2\mathbf{e}_2+\sigma_3\mathbf{e}_3)
-\end{align}
-</math> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <math>\begin{align}
+</math> </mn></mrow></msub><mo> </mo><msub><mi> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <math>\begin{align}
\mathbf{T}_\mathrm{oct}^{(\mathbf{n})}&= \sigma_{ij}n_i\mathbf{e}_j \\
&=\sigma_1n_1\mathbf{e}_1+\sigma_2n_2\mathbf{e}_2+\sigma_3n_3\mathbf{e}_3\\
' |
حجم الصفحة الجديد (new_size) | 28116 |
حجم الصفحة القديم (old_size) | 29083 |
الحجم المتغير في التعديل (edit_delta) | -967 |
السطور المضافة في التعديل (added_lines) | [
0 => '</math> <span></span><n></mrow></ا الا العا msub><mo> </mo><msub><mi> تات تلتا تال ااتات </m></msub><msub><mi> تجرههب نيب بهرس سبا يسهسي سر تيس </mi><mrow class="MJX-TeXAtom- تالاتا تالتا ORD"><mn> </mn></mrow></msub><msub><mrow class="M نمبتلنل نبلا نبل JX-TeXAtom-OR تب سيت يسنيس. يسن. يس D"><mi mathvariant="bold"> <math>\begin{align}',
1 => '</math> </mi></mrow>< يفلي تنني خه mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <math>\begin{align}',
2 => '</math> </mn></mrow></msub><mo> </mo><msub><mi> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <math>\begin{align}'
] |
السطور المزالة في التعديل (removed_lines) | [
0 => '</math> <span></span><n></mrow></ا الا العا msub><mo> </mo><msub><mi> تات تلتا تال ااتات </m></msub><msub><mi> <math>\begin{align}',
1 => '</math> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom- تالاتا تالتا ORD"><mn> <math>\begin{align}',
2 => '\mathbf{T}_\mathrm{oct}^{(\mathbf{n})}&= \sigma_{ij}n_i\mathbf{e}_j \\',
3 => '&=\sigma_1n_1\mathbf{e}_1+\sigma_2n_2\mathbf{e}_2+\sigma_3n_3\mathbf{e}_3\\',
4 => '&=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(\sigma_1\mathbf{e}_1+\sigma_2\mathbf{e}_2+\sigma_3\mathbf{e}_3)',
5 => '\end{align}',
6 => '</math> </mn></mrow></msub><msub><mrow class="M نمبتلنل نبلا نبل JX-TeXAtom-ORD"><mi mathvariant="bold"> <math>\begin{align}',
7 => '\mathbf{T}_\mathrm{oct}^{(\mathbf{n})}&= \sigma_{ij}n_i\mathbf{e}_j \\',
8 => '&=\sigma_1n_1\mathbf{e}_1+\sigma_2n_2\mathbf{e}_2+\sigma_3n_3\mathbf{e}_3\\',
9 => '&=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(\sigma_1\mathbf{e}_1+\sigma_2\mathbf{e}_2+\sigma_3\mathbf{e}_3)',
10 => '\end{align}',
11 => '</math> </mi></mrow><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <math>\begin{align}',
12 => '</math> </mn></mrow></msub><mo> <math>\begin{align}',
13 => '\mathbf{T}_\mathrm{oct}^{(\mathbf{n})}&= \sigma_{ij}n_i\mathbf{e}_j \\',
14 => '&=\sigma_1n_1\mathbf{e}_1+\sigma_2n_2\mathbf{e}_2+\sigma_3n_3\mathbf{e}_3\\',
15 => '&=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(\sigma_1\mathbf{e}_1+\sigma_2\mathbf{e}_2+\sigma_3\mathbf{e}_3)',
16 => '\end{align}',
17 => '</math> </mo><msub><mi> <math>\begin{align}',
18 => '\mathbf{T}_\mathrm{oct}^{(\mathbf{n})}&= \sigma_{ij}n_i\mathbf{e}_j \\',
19 => '&=\sigma_1n_1\mathbf{e}_1+\sigma_2n_2\mathbf{e}_2+\sigma_3n_3\mathbf{e}_3\\',
20 => '&=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(\sigma_1\mathbf{e}_1+\sigma_2\mathbf{e}_2+\sigma_3\mathbf{e}_3)',
21 => '\end{align}',
22 => '</math> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <math>\begin{align}'
] |
كل الوصلات الخارجية المضافة في التعديل (added_links) | [] |
كل الوصلات الخارجية المزالة في التعديل (removed_links) | [] |
نص الصفحة الجديد، مجردا من أية تهيئة (new_text) | ' هذه مقالة غير مراجعة. ينبغي أن يزال هذا القالب بعد أن يراجعها محرر عدا الذي أنشأها؛ إذا لزم الأمر فيجب أن توسم المقالة بقوالب الصيانة المناسبة. (أغسطس 2019)
هذه المقالة يتيمة إذ لا تصل إليها مقالة أخرى. ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالة متعلقة بها. (أغسطس 2019)
الشكل 2.3 مكونات الاجهاد في ثلاثة أبعاد
في الميكانيكا الاستمرارية ، ممتد الإجهاد لكوشي
σ
{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}
، او موتر الاجهاد لكوشي، [1] هو موتر من الدرجة الثانية تمت تسميته نسبة إلى أوغستين لويس كوشي . هذا الموتر عبارة عن مصفوفة ذات تسعة عناصر
σ
i
j
{\displaystyle \sigma _{ij}}
والتي تحدد حالة الإجهاد عند نقطة داخل مادة ما. يربط الموتر متجه الوحدة
n
{\displaystyle \mathbf {n} }
بمتجه الإجهاد
T
(
n
)
{\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}
عبر سطح وهمي متعامد مع
n
{\displaystyle \mathbf {n} }
 :
T
(
n
)
=
n
⋅
σ
or
T
j
(
n
)
=
σ
i
j
n
i
.
{\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\quad {\text{or}}\quad T_{j}^{(n)}=\sigma _{ij}n_{i}.}
حيث،
σ
=
[
σ
11
σ
12
σ
13
σ
21
σ
22
σ
23
σ
31
σ
32
σ
33
]
≡
[
σ
x
x
σ
x
y
σ
x
z
σ
y
x
σ
y
y
σ
y
z
σ
z
x
σ
z
y
σ
z
z
]
≡
[
σ
x
τ
x
y
τ
x
z
τ
y
x
σ
y
τ
y
z
τ
z
x
τ
z
y
σ
z
]
{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right]}
وحدات كل من موتر الإجهاد ومتجه الإجهاد حسب النظام الدولي للوحدات (SI) هي N / m 2 مطابقة للجهد ككمية قياسية، حيث ان متجة الوجده ليس له وحدات.
يتبع ممتد الإجهاد لكوشي قانون تحويل الموتر تحت تغيير في نظام الإحداثيات. دائرة موهر للاجهاد هي تمثيلا رسوميًا لقانون التحويل.
يُستخدم موتر الإجهاد لكوشي في تحليل الإجهاد للأجسام المادية التي تعاني من تشوهات صغيرة : وهو مفهوم مركزي في النظرية الخطية للمرونة . اما بالنسبة للتشوهات الكبيرة ، والتي تسمى أيضًا التشوهات المنتهية ، فيلزم اتخاذ قياسات أخرى للإجهاد ، مثل ممتدة الإجهاد لكيرشوف وبيولا (Piola-Kirchhoff) ، وممتدة الإجهاد لبيوت (Biot) ، ممتدة الاجهاد لكيرشوف (Kirchhoff) .
وفقًا لمبدأ حفط الزخم الخطي ، إذا كانت المادة المتصلة في حالة اتزان حركي ، فيمكن إثبات أن مكونات موتر الإجهاد لكوشي في كل نقطة مادية في الجسم تتبع معادلات الاتزان (معادلات كاكي للحركة بلا تسارع) . في الوقت نفسه ، وفقًا لمبدأ حفظ الزخم الزاوي ، يتطلب الاتزان أن يكون مجموع العزم الدوراني بالنسبة الى نقطة تخيلة صفرًا ، مما يؤدي إلى استنتاج أن موتر الإجهاد متماثل ، وبالتالي لا يحتوي إلا على ستة مكونات إجهاد مستقلة ، بدلا من تسعة.
هناك بعض العناصر الثابتة المرتبطة بموتر الإجهاد ، والتي لا تعتمد قيمها على نظام الإحداثيات المختار ، أو عنصر المنطقة الذي يعمل عليه موتر الإجهاد. هذه هي القيم الذاتية الثلاثة لموتر التوتر ، والتي تسمى الضغوط الرئيسية .
مبدأ الإجهاد لأويلر وكوشي - متجة الإجهاد[عدل]
االشكل 2.1a التوزيع الداخلي لقوى التماس وزوج الاجهاد على
d
S
{\displaystyle dS}
من السطح الداخلي
S
{\displaystyle S}
لمادة متصلة نتيجة للتلامس بين جزأين من المادة المتصلة مفصولة بواسطة السطح الداخلي
S
{\displaystyle S}
.
الشكل 2.1b التوزيع الداخلي لقوى التماس وزوج الاجهاد على
d
S
{\displaystyle dS}
من السطح الداخلي
S
{\displaystyle S}
في المادة المتصلة ، نتيجة للتفاعل بين جزأين من مادة متصلة مفصولة السطح
الشكل 2.1c متجة الإجهاد على سطح داخلي S مع المتجة العامودي للسطح n. اعتمادًا على اتجاه المستوى ، قد لا يكون متجه الإجهاد بالضرورة عموديًا على ذلك السطح ، أي بالتوازي مع
n
{\displaystyle \mathbf {n} }
، ويمكن تحليله إلى مكونين: مكون عمودي للسطح ، يسمى الإجهاد العمودي
σ
n
{\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}
، ومكون آخر موازٍ للسطج ، يُسمى إجهاد القص
τ
{\displaystyle \tau }
τ
{\displaystyle \tau }
.
ينص مبدأ الإجهاد لأويلر وكوشي على أن الفعل الناتج من أي سطح يقسم الجسم (حقيقي او خيالي) على الجزء الاخر (سطح في الجانب الآخر) هو مكافئ (مساوٍ) لنظام القوى الموزعة والأزواج على السطح الذي يقسم الجسم ، [2] ويمثله الحقل
T
(
n
)
{\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}
، يسمى متجه الإجهاد ، المعرف على السطح
S
{\displaystyle S}
ويفترض أن يعتمد باستمرار على متجة الوحدة للسطح
n
{\displaystyle \mathbf {n} }
. [3] [4] :p.66–96
لصياغة مبدأ الإجهاد لأويلر وكوشي، ينظر لسطح تخيلي
S
{\displaystyle S}
مار بنقطة داخلية
P
{\displaystyle P}
وقاسم للجسم المستمر الى قسمين كما هو موضح في الشكل 2.1a او الشكل 2.1b (يمكن استخدام الرسم التخطيطي للمادة المتصلة مفصولة بواسطة سطح او الرسم التخطيطي للحجم التخيلي داخل الجسم المتصل المحاط بالسطح
S
{\displaystyle S}
)
حسب الديناميكا الكلاسيكية لنيوتن وأويلر ، فإن حركة الجسم المادي تُنتج من خلال قوى خارجية، والتي يُفترض أن تكون من نوعين: قوى السطح
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
وقوى الجسم
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
. [5] وبالتالي ، فإن القوة الكلية
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
على الجسم أو على جزء من الجسم يمكن وصفها على النحو التالي:
F
=
b
+
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}=\mathbf {b} +\mathbf {F} }
ستتم مناقشة القوى السطحية فقط في هذه المقالة لأنها ذات صلة بممتدة الإجهاد لكوشي.
عندما يتعرض الجسم لقوى خارجية من نوع قوى السطح أو قوى الاتصال
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
، باتباع معادلات أويلر للحركة ، تنتقل قوى الاتصال الداخلية والعزم الدوراني من نقطة إلى أخرى في الجسم ، ومن شريحة إلى أخرى عبر السطح الفاصل
S
{\displaystyle S}
بسبب التلامس الميكانيكي لجزء من المادة المتصلة على الآخر (الشكل 2.1a و 2.1b). على عنصر مساحة
Δ
S
{\displaystyle \Delta S}
محتوي
P
{\displaystyle P}
، مع متجة عمودي
n
{\displaystyle \mathbf {n} }
، توزيع القوة مكافئ لقوة التماس
Δ
F
{\displaystyle \Delta \mathbf {F} }
عند النقطة P والعزم الدوراني السطحي
Δ
M
{\displaystyle \Delta \mathbf {M} }
Δ
M
{\displaystyle \Delta \mathbf {M} }
. على وجه الخصوص ، يتم وصف قوة الاتصال على النحو التالي:
Δ
F
=
T
(
n
)
Δ
S
{\displaystyle \Delta \mathbf {F} =\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,\Delta S}
حيث،
T
(
n
)
{\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}
: متوسط الجر للسطح .
يؤكد مبدأ الإجهاد لكوشي انه عندما تصبح [6] :p.47–102
Δ
S
{\displaystyle \Delta S}
صغيرة جدا وتميل إلى الصفر، فإن النسبة
Δ
F
/
Δ
S
{\displaystyle \Delta \mathbf {F} /\Delta S}
تصبح
d
F
/
d
S
{\displaystyle d\mathbf {F} /dS}
وزوج متجة الإجهاد
Δ
M
{\displaystyle \Delta \mathbf {M} }
يختفي. في مجالات محددة من الميكانيكا الاستمرارية ، يفترض ألا يتلاشى إجهاد الزوجين ؛ ومع ذلك ، فإن الفروع الكلاسيكية لميكانيكا الاستمرارية تتناول المواد غير القطبية التي لا تأخذ في الاعتبار زوج الاجهاد والزخم الزاوي للجسم.
المتجه الناتج
d
F
/
d
S
{\displaystyle d\mathbf {F} /dS}
يتم تعريفه بالجر السطحي,[7] ويسمى متجه الجر[8][4]أو متجه الإجهاد [6] يمثل ب
T
(
n
)
=
T
i
(
n
)
e
i
{\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=T_{i}^{(\mathbf {n} )}\mathbf {e} _{i}}
عند النقطة
P
{\displaystyle P}
المرتبطة بمستوى له متجه عمودي
n
{\displaystyle \mathbf {n} }
.
T
i
(
n
)
=
lim
Δ
S
→
0
Δ
F
i
Δ
S
=
d
F
i
d
S
.
{\displaystyle T_{i}^{(\mathbf {n} )}=\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{i}}{\Delta S}}={dF_{i} \over dS}.}
المعادلة السابقة تعني أن متجه الإجهاد يعتمد على موقعه داخل الجسم واتجاه المستوى الذي يتصرف عليه.
هذا يعني أن الفعل الموازن لقوى الاتصال الداخلية يولد كثافة قوة تماس أو مجال كوشي للسحب [5]
T
(
n
,
x
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {T} (\mathbf {n} ,\mathbf {x} ,t)}
وذلك يمثل توزيع قوى التماس الداخلية في جميع أنحاء الجسم في تكوين معين من الجسم في وقت معين
t
{\displaystyle t}
. إنه ليس مجال متجه لأنه لا يعتمد فقط على الموضع
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
لنقطة معينة في مادة ، بل أيضًا على الاتجاه المحلي للسطح كما هو محدد بواسطة المتجة العمودي
n
{\displaystyle \mathbf {n} }
. [9]
اعتمادًا على اتجاه المسوى المنظور اليه ، قد لا يكون متجه الإجهاد بالضرورة عموديًا على ذلك المستوى ، أي بالتوازي مع
n
{\displaystyle \mathbf {n} }
، ويمكن تحليله إلى مكونين (الشكل 2.1c):
احدهما عمودي على السطح، ويدعى الإجهاد العمودي
σ
n
=
lim
Δ
S
→
0
Δ
F
n
Δ
S
=
d
F
n
d
S
,
{\displaystyle \mathbf {\sigma _{\mathrm {n} }} =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{\mathrm {n} }}{\Delta S}}={\frac {dF_{\mathrm {n} }}{dS}},}
حيث
d
F
n
{\displaystyle dF_{\mathrm {n} }}
هي المركبة العمودية للقوة
d
F
{\displaystyle d\mathbf {F} }
على
d
S
{\displaystyle dS}
والآخر موازي لهذا السطح ، ويدعى إجهاد القص
τ
=
lim
Δ
S
→
0
Δ
F
s
Δ
S
=
d
F
s
d
S
,
{\displaystyle \mathbf {\tau } =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{\mathrm {s} }}{\Delta S}}={\frac {dF_{\mathrm {s} }}{dS}},}
حيث
d
F
s
{\displaystyle dF_{\mathrm {s} }}
هو المركبة المماسية للقوة
d
F
{\displaystyle d\mathbf {F} }
على المساحة
d
S
{\displaystyle dS}
. يمكن تحليل اجهاد القص الى متجهين متعامدين ايضًا.
إجهاد ثماني السطوح[عدل]
الشكل 6. مستويات الإجهاد لثماني السطوح
بالنظر إلى الاتجاهات الرئيسية كمحور إحداثي ، فإن المستوى الذي يقوم متهه العمودي بعمل زوايا متساوية مع كل من المحاور الرئيسية (أي أن يكون اتجاه جيب التمام يساوي
|
1
/
3
|
{\displaystyle |1/{\sqrt {3}}|}
) يسمى مستوى ثماني السطوح . هناك ما مجموعه ثماني مستويات ثماني السطوح (الشكل 6). تسمى المكونات العمودية والقص في ممتد الإجهاد على هذه امستويات الإجهاد العمودي لثماني السطوح
σ
o
c
t
{\displaystyle \sigma _{\mathrm {oct} }}
واجهاد القص لثماني السطوح
τ
o
c
t
{\displaystyle \tau _{\mathrm {oct} }}
على التوالي. مستوى ثماني السطوح المار بنقطة الأصل يعرف باسم مستوى π . على المستوى
s
i
j
=
I
/
3
{\displaystyle s_{ij}=I/3}
.
ومع العلم أن ممتد الإجهاد من النقطة O (الشكل 6) في المحاور الرئيسية هو
σ
i
j
=
[
σ
1
0
0
0
σ
2
0
0
0
σ
3
]
{\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0&0\\0&\sigma _{2}&0\\0&0&\sigma _{3}\end{bmatrix}}}
فإن متجة الإجهاد على مستوى ثماني السطوح هو:
خطأ رياضيات (خطأ في الصياغة): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mtable displaystyle="true" rowspacing="3pt"><mtr><mtd><msubsup><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi mathvariant="bold"> <math>\begin{align} \mathbf{T}_\mathrm{oct}^{(\mathbf{n})}&= \sigma_{ij}n_i\mathbf{e}_j \\ &=\sigma_1n_1\mathbf{e}_1+\sigma_2n_2\mathbf{e}_2+\sigma_3n_3\mathbf{e}_3\\ &=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(\sigma_1\mathbf{e}_1+\sigma_2\mathbf{e}_2+\sigma_3\mathbf{e}_3) \end{align} }
<n></mrow></ا الا العا msub><mo> </mo><msub><mi> تات تلتا تال ااتات </m></msub><msub><mi> تجرههب نيب بهرس سبا يسهسي سر تيس </mi><mrow class="MJX-TeXAtom- تالاتا تالتا ORD"><mn> </mn></mrow></msub><msub><mrow class="M نمبتلنل نبلا نبل JX-TeXAtom-OR تب سيت يسنيس. يسن. يس D"><mi mathvariant="bold">
T
o
c
t
(
n
)
=
σ
i
j
n
i
e
j
=
σ
1
n
1
e
1
+
σ
2
n
2
e
2
+
σ
3
n
3
e
3
=
1
3
(
σ
1
e
1
+
σ
2
e
2
+
σ
3
e
3
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}
</mi></mrow>< يفلي تنني خه mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn>
T
o
c
t
(
n
)
=
σ
i
j
n
i
e
j
=
σ
1
n
1
e
1
+
σ
2
n
2
e
2
+
σ
3
n
3
e
3
=
1
3
(
σ
1
e
1
+
σ
2
e
2
+
σ
3
e
3
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}
</mn></mrow></msub><mo>
T
o
c
t
(
n
)
=
σ
i
j
n
i
e
j
=
σ
1
n
1
e
1
+
σ
2
n
2
e
2
+
σ
3
n
3
e
3
=
1
3
(
σ
1
e
1
+
σ
2
e
2
+
σ
3
e
3
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}
</mo><msub><mi> من يبتي بتل نتبل بلستل </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-Oتبدب بتد ينبد RD"><mn>
T
o
c
t
(
n
)
=
σ
i
j
n
i
e
j
=
σ
1
n
1
e
1
+
σ
2
n
2
e
2
+
σ
3
n
3
e
3
=
1
3
(
σ
1
e
1
+
σ
2
e
2
+
σ
3
e
3
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}
</mn></mrow></msuتتتيت تبيب بي بيل. ليسل b><><mi> -TeXAtom-ORD"><mn> </mn></mrow></msub><msub><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi mathvariant="bold"> </mi> </mn></mrow></msub><msub><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi mathvariant="bold"> </mi></mrow><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn>
T
o
c
t
(
n
)
=
σ
i
j
n
i
e
j
=
σ
1
n
1
e
1
+
σ
2
n
2
e
2
+
σ
3
n
3
e
3
=
1
3
(
σ
1
e
1
+
σ
2
e
2
+
σ
3
e
3
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}
</mn></mrow></msub><mo> </mo><msub><mi>
T
o
c
t
(
n
)
=
σ
i
j
n
i
e
j
=
σ
1
n
1
e
1
+
σ
2
n
2
e
2
+
σ
3
n
3
e
3
=
1
3
(
σ
1
e
1
+
σ
2
e
2
+
σ
3
e
3
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}
</mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn>
T
o
c
t
(
n
)
=
σ
i
j
n
i
e
j
=
σ
1
n
1
e
1
+
σ
2
n
2
e
2
+
σ
3
n
3
e
3
=
1
3
(
σ
1
e
1
+
σ
2
e
2
+
σ
3
e
3
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}
</mn></mrow></msub><msub><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi mathvariant="bold">
T
o
c
t
(
n
)
=
σ
i
j
n
i
e
j
=
σ
1
n
1
e
1
+
σ
2
n
2
e
2
+
σ
3
n
3
e
3
=
1
3
(
σ
1
e
1
+
σ
2
e
2
+
σ
3
e
3
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}
</mi></mrow><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn>
T
o
c
t
(
n
)
=
σ
i
j
n
i
e
j
=
σ
1
n
1
e
1
+
σ
2
n
2
e
2
+
σ
3
n
3
e
3
=
1
3
(
σ
1
e
1
+
σ
2
e
2
+
σ
3
e
3
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}
</mn></mrow></msub><mo> </mo><msub><mi> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn>
T
o
c
t
(
n
)
=
σ
i
j
n
i
e
j
=
σ
1
n
1
e
1
+
σ
2
n
2
e
2
+
σ
3
n
3
e
3
=
1
3
(
σ
1
e
1
+
σ
2
e
2
+
σ
3
e
3
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}
</mn></mrow></msub><msub><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi mathvariant="bold">
T
o
c
t
(
n
)
=
σ
i
j
n
i
e
j
=
σ
1
n
1
e
1
+
σ
2
n
2
e
2
+
σ
3
n
3
e
3
=
1
3
(
σ
1
e
1
+
σ
2
e
2
+
σ
3
e
3
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}
</mi></mrow><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn>
T
o
c
t
(
n
)
=
σ
i
j
n
i
e
j
=
σ
1
n
1
e
1
+
σ
2
n
2
e
2
+
σ
3
n
3
e
3
=
1
3
(
σ
1
e
1
+
σ
2
e
2
+
σ
3
e
3
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}
</mn></mrow>
المكون العمودي لمتجه الاجهاد عند النقطة O المرتبط بمستوى ثماني السطوح هو
σ
o
c
t
=
T
i
(
n
)
n
i
=
σ
i
j
n
i
n
j
=
σ
1
n
1
n
1
+
σ
2
n
2
n
2
+
σ
3
n
3
n
3
=
1
3
(
σ
1
+
σ
2
+
σ
3
)
=
1
3
I
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\mathrm {oct} }&=T_{i}^{(n)}n_{i}\\&=\sigma _{ij}n_{i}n_{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}n_{1}+\sigma _{2}n_{2}n_{2}+\sigma _{3}n_{3}n_{3}\\&={\tfrac {1}{3}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})={\tfrac {1}{3}}I_{1}\end{aligned}}}
وهو متوسط الإجهاد الهيدروستاتيكي. هذه القيمة تكون متساوية في جميع مستويات ثماني السطوح الثمانية. إجهاد القص على مستوى ثماني السطوح يكون كالتالي:
τ
o
c
t
=
T
i
(
n
)
T
i
(
n
)
−
σ
n
2
=
[
1
3
(
σ
1
2
+
σ
2
2
+
σ
3
2
)
−
1
9
(
σ
1
+
σ
2
+
σ
3
)
2
]
1
/
2
=
1
3
[
(
σ
1
−
σ
2
)
2
+
(
σ
2
−
σ
3
)
2
+
(
σ
3
−
σ
1
)
2
]
1
/
2
=
1
3
2
I
1
2
−
6
I
2
=
2
3
J
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\mathrm {oct} }&={\sqrt {T_{i}^{(n)}T_{i}^{(n)}-\sigma _{\mathrm {n} }^{2}}}\\&=\left[{\tfrac {1}{3}}(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+\sigma _{3}^{2})-{\tfrac {1}{9}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})^{2}\right]^{1/2}\\&={\tfrac {1}{3}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]^{1/2}={\tfrac {1}{3}}{\sqrt {2I_{1}^{2}-6I_{2}}}={\sqrt {{\tfrac {2}{3}}J_{2}}}\end{aligned}}}
المراجع[عدل]
^
Fridtjov Irgens (2008), "Continuum Mechanics". Springer. نسخة محفوظة 11 يونيو 2019 على موقع واي باك مشين. وسم <ref> غير صالح؛ الاسم "Irgens" معرف أكثر من مرة بمحتويات مختلفة.
^ Truesdell & Toupin 1960
^ Peter Chadwick (1999), "Continuum Mechanics: Concise Theory and Problems". Dover Publications, series "Books on Physics". (ردمك 0-486-40180-4). pages نسخة محفوظة 18 فبراير 2019 على موقع واي باك مشين.
↑ أ ب Yuan-cheng Fung and Pin Tong (2001) "Classical and Computational Solid Mechanics". World Scientific. (ردمك 981-02-4124-0) نسخة محفوظة 8 مارس 2016 على موقع واي باك مشين.
↑ أ ب Smith & Truesdell p.97
↑ أ ب G. Thomas Mase and George E. Mase (1999), "Continuum Mechanics for Engineers" (2nd edition). CRC Press. (ردمك 0-8493-1855-6) نسخة محفوظة 8 مارس 2016 على موقع واي باك مشين.
^ I-Shih Liu (2002), "Continuum Mechanics". Springer (ردمك 3-540-43019-9) نسخة محفوظة 28 سبتمبر 2014 على موقع واي باك مشين.
^ Han-Chin Wu (2005), "Continuum Mechanics and Plasticity". CRC Press. (ردمك 1-58488-363-4) نسخة محفوظة 26 يونيو 2014 على موقع واي باك مشين.
^ Lubliner
المرجع "Hjelmstad" المذكور في <references> غير مستخدم في نص الصفحة.
المرجع "Atanackovic" المذكور في <references> غير مستخدم في نص الصفحة.
المرجع "Basar" المذكور في <references> غير مستخدم في نص الصفحة.
المرجع "Mase" المذكور في <references> غير مستخدم في نص الصفحة.
المرجع "Truesdell" المذكور في <references> غير مستخدم في نص الصفحة.
المرجع "Chadwick" المذكور في <references> غير مستخدم في نص الصفحة.
المرجع "Fung" المذكور في <references> غير مستخدم في نص الصفحة.
المرجع "Liu" المذكور في <references> غير مستخدم في نص الصفحة.
المرجع "Chen" المذكور في <references> غير مستخدم في نص الصفحة.
المرجع "Hamrock" المذكور في <references> غير مستخدم في نص الصفحة.
المرجع "Wu" المذكور في <references> غير مستخدم في نص الصفحة.
المرجع "Chatterjee" المذكور في <references> غير مستخدم في نص الصفحة.
المرجع "Jaeger" المذكور في <references> غير مستخدم في نص الصفحة.
المرجع "Ameen" المذكور في <references> غير مستخدم في نص الصفحة.
المرجع "Prager" المذكور في <references> غير مستخدم في نص الصفحة.
المرجع "Atanackovic" المذكور في <references> غير مستخدم في نص الصفحة.
المرجع "Chen" المذكور في <references> غير مستخدم في نص الصفحة.
بوابة الفيزياء
بوابة علم المواد
بوابة علم طبيعة الأرض
بوابة علوم الأرض
' |
كل الوصلات الخارجية في النص الجديد (all_links) | [
0 => 'https://books.google.com/books?id=q5dB7Gf4bIoC&pg=PA46',
1 => 'https://web.archive.org/web/20190611142849/https://books.google.com/books?id=q5dB7Gf4bIoC&pg=PA46',
2 => 'https://books.google.ca/books?id=QSXIHQsus6UC&pg=PA95',
3 => 'https://web.archive.org/web/20190218021219/https://books.google.ca/books?id=QSXIHQsus6UC&pg=PA95',
4 => 'https://books.google.ca/books?id=hmyiIiiv4FUC&pg=PA66',
5 => 'https://web.archive.org/web/20160308071026/https://books.google.ca/books?id=hmyiIiiv4FUC&pg=PA66',
6 => 'https://books.google.ca/books?id=uI1ll0A8B_UC&pg=PA47',
7 => 'https://web.archive.org/web/20160308075237/https://books.google.ca/books?id=uI1ll0A8B_UC&pg=PA47',
8 => 'https://books.google.com/books?id=-gWqM4uMV6wC&pg=PA43',
9 => 'https://web.archive.org/web/20140928155332/http://books.google.com/books?id=-gWqM4uMV6wC&pg=PA43',
10 => 'https://books.google.com/books?id=OS4mICsHG3sC&pg=PA45',
11 => 'https://web.archive.org/web/20140626220410/http://books.google.com/books?id=OS4mICsHG3sC&pg=PA45'
] |
الوصلات في الصفحة، قبل التعديل (old_links) | [
0 => 'https://books.google.ca/books?id=QSXIHQsus6UC&pg=PA95',
1 => 'https://books.google.ca/books?id=hmyiIiiv4FUC&pg=PA66',
2 => 'https://books.google.ca/books?id=uI1ll0A8B_UC&pg=PA47',
3 => 'https://books.google.com/books?id=-gWqM4uMV6wC&pg=PA43',
4 => 'https://books.google.com/books?id=OS4mICsHG3sC&pg=PA45',
5 => 'https://books.google.com/books?id=q5dB7Gf4bIoC&pg=PA46',
6 => 'https://web.archive.org/web/20140626220410/http://books.google.com/books?id=OS4mICsHG3sC&pg=PA45',
7 => 'https://web.archive.org/web/20140928155332/http://books.google.com/books?id=-gWqM4uMV6wC&pg=PA43',
8 => 'https://web.archive.org/web/20160308071026/https://books.google.ca/books?id=hmyiIiiv4FUC&pg=PA66',
9 => 'https://web.archive.org/web/20160308075237/https://books.google.ca/books?id=uI1ll0A8B_UC&pg=PA47',
10 => 'https://web.archive.org/web/20190218021219/https://books.google.ca/books?id=QSXIHQsus6UC&pg=PA95',
11 => 'https://web.archive.org/web/20190611142849/https://books.google.com/books?id=q5dB7Gf4bIoC&pg=PA46'
] |
مصدر HTML المعروض للمراجعة الجديدة (new_html) | '<div class="mw-parser-output"><div class="إعلام محتوى" style=""><div class="صورة" style="display:inline"><img alt="N write.svg" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a5/N_write.svg/25px-N_write.svg.png" decoding="async" width="25" height="25" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a5/N_write.svg/38px-N_write.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a5/N_write.svg/50px-N_write.svg.png 2x" data-file-width="44" data-file-height="44" /></div> <div style="display:inline">هذه <b>مقالة غير مراجعة</b>. ينبغي أن يزال هذا القالب بعد أن <a href="/wiki/%D9%88%D9%8A%D9%83%D9%8A%D8%A8%D9%8A%D8%AF%D9%8A%D8%A7:%D9%85%D8%B1%D8%A7%D8%AC%D8%B9%D8%A7%D8%AA_%D9%85%D8%B9%D9%84%D9%85%D8%A9" title="ويكيبيديا:مراجعات معلمة">يراجعها</a> محرر عدا الذي أنشأها؛ إذا لزم الأمر فيجب أن توسم المقالة <a href="/wiki/%D9%88%D9%8A%D9%83%D9%8A%D8%A8%D9%8A%D8%AF%D9%8A%D8%A7:%D9%82%D9%88%D8%A7%D9%84%D8%A8_%D8%B1%D8%B3%D8%A7%D8%A6%D9%84/%D8%AA%D9%87%D8%B0%D9%8A%D8%A8" title="ويكيبيديا:قوالب رسائل/تهذيب">بقوالب الصيانة</a> المناسبة. <small>(أغسطس 2019)</small></div></div>
<div class="إعلام أسلوب مخفي" style="display:none"><div class="صورة" style="display:inline"><a href="/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:Icone_Puzzle.svg" class="image"><img alt="Icone Puzzle.svg" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c4/Icone_Puzzle.svg/30px-Icone_Puzzle.svg.png" decoding="async" width="30" height="30" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c4/Icone_Puzzle.svg/45px-Icone_Puzzle.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c4/Icone_Puzzle.svg/60px-Icone_Puzzle.svg.png 2x" data-file-width="371" data-file-height="371" /></a></div> <div style="display:inline">هذه المقالة <a href="/wiki/%D9%88%D9%8A%D9%83%D9%8A%D8%A8%D9%8A%D8%AF%D9%8A%D8%A7:%D9%8A%D8%AA%D9%8A%D9%85%D8%A9" title="ويكيبيديا:يتيمة">يتيمة</a> إذ <a class="external text" href="https://ar.wikipedia.org/w/index.php?title=%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%A7%D8%B0%D8%A7_%D9%8A%D8%B5%D9%84_%D9%87%D9%86%D8%A7&target=%D9%85%D9%85%D8%AA%D8%AF_%D8%A7%D9%84%D8%A5%D8%AC%D9%87%D8%A7%D8%AF_%D9%84%D9%83%D9%88%D8%B4%D9%8A&namespace=0">لا تصل إليها</a> مقالة أخرى. ساعد بإضافة <a href="/wiki/%D9%85%D8%B3%D8%A7%D8%B9%D8%AF%D8%A9:%D9%88%D8%B5%D9%84%D8%A9" title="مساعدة:وصلة">وصلة</a> إليها في مقالة متعلقة بها. (أغسطس 2019)</div></div>
<div class="thumb tleft"><div class="thumbinner" style="width:372px;"><a href="/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:Components_stress_tensor_cartesian.svg" class="image"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Components_stress_tensor_cartesian.svg/370px-Components_stress_tensor_cartesian.svg.png" decoding="async" width="370" height="311" class="thumbimage" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Components_stress_tensor_cartesian.svg/555px-Components_stress_tensor_cartesian.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Components_stress_tensor_cartesian.svg/740px-Components_stress_tensor_cartesian.svg.png 2x" data-file-width="505" data-file-height="425" /></a> <div class="thumbcaption"><div class="magnify"><a href="/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:Components_stress_tensor_cartesian.svg" class="internal" title="كبّر"></a></div>الشكل 2.3 مكونات الاجهاد في ثلاثة أبعاد</div></div></div>
<p>في <a href="/wiki/%D9%85%D9%8A%D9%83%D8%A7%D9%86%D9%8A%D9%83%D8%A7_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%AA%D8%B5%D9%84" title="ميكانيكا المتصل">الميكانيكا الاستمرارية</a> ، <b><a href="/wiki/%D9%85%D9%88%D8%AA%D8%B1" title="موتر">ممتد</a> الإجهاد لكوشي</b> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold-italic">σ<!-- σ --></mi>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e45fe1b9d8dcbc3103fc7805d69798bfe5ca5b16" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.594ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}"/></span> ، <b>او موتر الاجهاد لكوشي،</b> <sup id="cite_ref-Irgens_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-Irgens-1">[1]</a></sup> هو <a href="/wiki/%D9%85%D9%88%D8%AA%D8%B1" title="موتر">موتر</a> من الدرجة الثانية تمت تسميته نسبة إلى <a href="/wiki/%D8%A3%D9%88%D8%BA%D8%B3%D8%AA%D9%8A%D9%86_%D9%84%D9%88%D9%8A_%D9%83%D9%88%D8%B4%D9%8A" title="أوغستين لوي كوشي">أوغستين لويس كوشي</a> . هذا الموتر عبارة عن مصفوفة ذات تسعة عناصر <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma _{ij}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
<mi>j</mi>
</mrow>
</msub>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{ij}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43acbf52cc4d4f83f187ceaa49f045114b71772e" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.804ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{ij}}"/></span> والتي تحدد حالة <a href="/wiki/%D8%A5%D8%AC%D9%87%D8%A7%D8%AF_(%D9%85%D9%8A%D9%83%D8%A7%D9%86%D9%8A%D9%83%D8%A7)" title="إجهاد (ميكانيكا)">الإجهاد</a> عند نقطة داخل مادة ما. يربط الموتر متجه الوحدة <b><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {n} }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">n</mi>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {n} }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a720c341f39f52fd96028dab83edd34d400be46" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.485ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {n} }"/></span></b> بمتجه الإجهاد <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msup>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">T</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">(</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">n</mi>
</mrow>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msup>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0523584e28619d7f874568f449828fdc4686a2d5" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.421ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}"/></span> عبر سطح وهمي متعامد مع <b><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {n} }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">n</mi>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {n} }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a720c341f39f52fd96028dab83edd34d400be46" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.485ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {n} }"/></span></b> :
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\quad {\text{or}}\quad T_{j}^{(n)}=\sigma _{ij}n_{i}.}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msup>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">T</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">(</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">n</mi>
</mrow>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msup>
<mo>=</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">n</mi>
</mrow>
<mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold-italic">σ<!-- σ --></mi>
</mrow>
<mspace width="1em" />
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mtext>or</mtext>
</mrow>
<mspace width="1em" />
<msubsup>
<mi>T</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>j</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>n</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msubsup>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
<mi>j</mi>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>.</mo>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\quad {\text{or}}\quad T_{j}^{(n)}=\sigma _{ij}n_{i}.}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26be83f4e117822f77559f5c54d1c3b99ff47de3" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:31.96ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\quad {\text{or}}\quad T_{j}^{(n)}=\sigma _{ij}n_{i}.}"/></span></dd></dl>
<p>حيث،
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right]}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold-italic">σ<!-- σ --></mi>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mrow>
<mo>[</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em">
<mtr>
<mtd>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>11</mn>
</mrow>
</msub>
</mtd>
<mtd>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>12</mn>
</mrow>
</msub>
</mtd>
<mtd>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>13</mn>
</mrow>
</msub>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>21</mn>
</mrow>
</msub>
</mtd>
<mtd>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>22</mn>
</mrow>
</msub>
</mtd>
<mtd>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>23</mn>
</mrow>
</msub>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>31</mn>
</mrow>
</msub>
</mtd>
<mtd>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>32</mn>
</mrow>
</msub>
</mtd>
<mtd>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>33</mn>
</mrow>
</msub>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mrow>
<mo>]</mo>
</mrow>
<mo>≡<!-- ≡ --></mo>
<mrow>
<mo>[</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em">
<mtr>
<mtd>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>x</mi>
<mi>x</mi>
</mrow>
</msub>
</mtd>
<mtd>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>x</mi>
<mi>y</mi>
</mrow>
</msub>
</mtd>
<mtd>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>x</mi>
<mi>z</mi>
</mrow>
</msub>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>y</mi>
<mi>x</mi>
</mrow>
</msub>
</mtd>
<mtd>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>y</mi>
<mi>y</mi>
</mrow>
</msub>
</mtd>
<mtd>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>y</mi>
<mi>z</mi>
</mrow>
</msub>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>z</mi>
<mi>x</mi>
</mrow>
</msub>
</mtd>
<mtd>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>z</mi>
<mi>y</mi>
</mrow>
</msub>
</mtd>
<mtd>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>z</mi>
<mi>z</mi>
</mrow>
</msub>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mrow>
<mo>]</mo>
</mrow>
<mo>≡<!-- ≡ --></mo>
<mrow>
<mo>[</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em">
<mtr>
<mtd>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>x</mi>
</mrow>
</msub>
</mtd>
<mtd>
<msub>
<mi>τ<!-- τ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>x</mi>
<mi>y</mi>
</mrow>
</msub>
</mtd>
<mtd>
<msub>
<mi>τ<!-- τ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>x</mi>
<mi>z</mi>
</mrow>
</msub>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<msub>
<mi>τ<!-- τ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>y</mi>
<mi>x</mi>
</mrow>
</msub>
</mtd>
<mtd>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>y</mi>
</mrow>
</msub>
</mtd>
<mtd>
<msub>
<mi>τ<!-- τ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>y</mi>
<mi>z</mi>
</mrow>
</msub>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<msub>
<mi>τ<!-- τ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>z</mi>
<mi>x</mi>
</mrow>
</msub>
</mtd>
<mtd>
<msub>
<mi>τ<!-- τ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>z</mi>
<mi>y</mi>
</mrow>
</msub>
</mtd>
<mtd>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>z</mi>
</mrow>
</msub>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mrow>
<mo>]</mo>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right]}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/150f0bb6d0473b0cc572e736e3f0c61ae490cf0e" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.338ex; width:64.988ex; height:9.843ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right]}"/></span></dd></dl>
<p>وحدات كل من موتر الإجهاد ومتجه الإجهاد حسب <a href="/wiki/%D9%86%D8%B8%D8%A7%D9%85_%D8%A7%D9%84%D9%88%D8%AD%D8%AF%D8%A7%D8%AA_%D8%A7%D9%84%D8%AF%D9%88%D9%84%D9%8A" title="نظام الوحدات الدولي"><b>النظام الدولي للوحدات</b> (<abbr>SI</abbr>)</a> هي N / m <sup>2</sup> مطابقة للجهد ككمية قياسية، حيث ان متجة الوجده ليس له وحدات.
</p><p>يتبع ممتد الإجهاد لكوشي قانون تحويل الموتر تحت تغيير في نظام الإحداثيات. <a href="/wiki/%D8%AF%D8%A7%D8%A6%D8%B1%D8%A9_%D9%85%D9%88%D8%B1" title="دائرة مور">دائرة موهر</a> للاجهاد هي تمثيلا رسوميًا لقانون التحويل.
</p><p>يُستخدم موتر الإجهاد لكوشي في تحليل الإجهاد للأجسام المادية التي تعاني من <a href="/wiki/%D9%86%D8%B8%D8%B1%D9%8A%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D8%A5%D8%AC%D9%87%D8%A7%D8%AF%D8%A7%D8%AA_%D9%85%D8%AA%D9%86%D8%A7%D9%87%D9%8A%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D8%B5%D8%BA%D8%B1" title="نظرية الإجهادات متناهية الصغر">تشوهات صغيرة</a> : وهو مفهوم مركزي في <a href="/wiki/%D9%85%D8%B1%D9%88%D9%86%D8%A9_%D8%AE%D8%B7%D9%8A%D8%A9" title="مرونة خطية">النظرية الخطية للمرونة</a> . اما بالنسبة للتشوهات الكبيرة ، والتي تسمى أيضًا <a href="/wiki/%D9%86%D8%B8%D8%B1%D9%8A%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D8%A5%D8%AC%D9%87%D8%A7%D8%AF_%D8%A7%D9%84%D9%85%D9%86%D8%AA%D9%87%D9%8A" title="نظرية الإجهاد المنتهي">التشوهات المنتهية</a> ، فيلزم اتخاذ قياسات أخرى للإجهاد ، مثل <a href="/wiki/%D8%A5%D8%AC%D9%87%D8%A7%D8%AF_(%D9%85%D9%8A%D9%83%D8%A7%D9%86%D9%8A%D9%83%D8%A7)" title="إجهاد (ميكانيكا)">ممتدة الإجهاد لكيرشوف وبيولا (Piola-Kirchhoff)</a> ، وممتدة الإجهاد لبيوت (Biot) ، ممتدة الاجهاد لكيرشوف (Kirchhoff) .
</p><p>وفقًا لمبدأ <a href="/wiki/%D8%B2%D8%AE%D9%85_%D8%A7%D9%84%D8%AD%D8%B1%D9%83%D8%A9" title="زخم الحركة">حفط الزخم الخطي</a> ، إذا كانت المادة المتصلة في حالة اتزان حركي ، فيمكن إثبات أن مكونات موتر الإجهاد لكوشي في كل نقطة مادية في الجسم تتبع معادلات الاتزان (معادلات كاكي للحركة بلا تسارع) . في الوقت نفسه ، وفقًا لمبدأ حفظ <a href="/wiki/%D8%B2%D8%AE%D9%85_%D8%B2%D8%A7%D9%88%D9%8A" title="زخم زاوي">الزخم الزاوي</a> ، يتطلب الاتزان أن يكون مجموع <a href="/wiki/%D8%B9%D8%B2%D9%85_%D8%A7%D9%84%D8%AF%D9%88%D8%B1%D8%A7%D9%86" title="عزم الدوران">العزم الدوراني</a> بالنسبة الى نقطة تخيلة صفرًا ، مما يؤدي إلى استنتاج أن <a href="/wiki/%D8%A5%D8%AC%D9%87%D8%A7%D8%AF_(%D9%85%D9%8A%D9%83%D8%A7%D9%86%D9%8A%D9%83%D8%A7)" title="إجهاد (ميكانيكا)">موتر الإجهاد متماثل</a> ، وبالتالي لا يحتوي إلا على ستة مكونات إجهاد مستقلة ، بدلا من تسعة.
</p><p>هناك بعض العناصر الثابتة المرتبطة بموتر الإجهاد ، والتي لا تعتمد قيمها على نظام الإحداثيات المختار ، أو عنصر المنطقة الذي يعمل عليه موتر الإجهاد. هذه هي <a href="/wiki/%D9%85%D8%AA%D8%AC%D9%87_%D8%AE%D8%A7%D8%B5" title="متجه خاص">القيم الذاتية</a> الثلاثة <a href="/wiki/%D9%85%D8%AA%D8%AC%D9%87_%D8%AE%D8%A7%D8%B5" title="متجه خاص">لموتر</a> التوتر ، والتي تسمى <a href="/wiki/%D9%85%D9%88%D8%AA%D8%B1_%D8%A7%D9%84%D8%A5%D8%AC%D9%87%D8%A7%D8%AF_%D9%84%D9%83%D9%88%D8%B4%D9%8A" title="موتر الإجهاد لكوشي">الضغوط الرئيسية</a> .
</p>
<h2><span id=".D9.85.D8.A8.D8.AF.D8.A3_.D8.A7.D9.84.D8.A5.D8.AC.D9.87.D8.A7.D8.AF_.D9.84.D8.A3.D9.88.D9.8A.D9.84.D8.B1_.D9.88.D9.83.D9.88.D8.B4.D9.8A_-_.D9.85.D8.AA.D8.AC.D8.A9_.D8.A7.D9.84.D8.A5.D8.AC.D9.87.D8.A7.D8.AF"></span><span class="mw-headline" id="مبدأ_الإجهاد_لأويلر_وكوشي_-_متجة_الإجهاد">مبدأ الإجهاد لأويلر وكوشي - متجة الإجهاد</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D9%85%D9%85%D8%AA%D8%AF_%D8%A7%D9%84%D8%A5%D8%AC%D9%87%D8%A7%D8%AF_%D9%84%D9%83%D9%88%D8%B4%D9%8A&action=edit&section=1" title="عدل القسم: مبدأ الإجهاد لأويلر وكوشي - متجة الإجهاد">عدل</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2>
<div class="thumb tleft"><div class="thumbinner" style="width:372px;"><a href="/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:Internal_forces_in_continuum.svg" class="image"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d6/Internal_forces_in_continuum.svg/370px-Internal_forces_in_continuum.svg.png" decoding="async" width="370" height="225" class="thumbimage" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d6/Internal_forces_in_continuum.svg/555px-Internal_forces_in_continuum.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d6/Internal_forces_in_continuum.svg/740px-Internal_forces_in_continuum.svg.png 2x" data-file-width="590" data-file-height="358" /></a> <div class="thumbcaption"><div class="magnify"><a href="/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:Internal_forces_in_continuum.svg" class="internal" title="كبّر"></a></div>االشكل 2.1a التوزيع الداخلي لقوى التماس وزوج الاجهاد على <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle dS}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>d</mi>
<mi>S</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle dS}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66f6ab8a2a8b85df78efbea896fcfeb3d4ea39e4" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.715ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle dS}"/></span> من السطح الداخلي <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>S</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}"/></span> لمادة متصلة نتيجة للتلامس <span></span>بين جزأين من المادة المتصلة مفصولة بواسطة السطح الداخلي <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>S</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}"/></span>.</div></div></div>
<div class="thumb tleft"><div class="thumbinner" style="width:372px;"><a href="/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:Internal_forces_in_continuum_2.svg" class="image"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0c/Internal_forces_in_continuum_2.svg/370px-Internal_forces_in_continuum_2.svg.png" decoding="async" width="370" height="309" class="thumbimage" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0c/Internal_forces_in_continuum_2.svg/555px-Internal_forces_in_continuum_2.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0c/Internal_forces_in_continuum_2.svg/740px-Internal_forces_in_continuum_2.svg.png 2x" data-file-width="360" data-file-height="301" /></a> <div class="thumbcaption"><div class="magnify"><a href="/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:Internal_forces_in_continuum_2.svg" class="internal" title="كبّر"></a></div>الشكل 2.1b التوزيع الداخلي لقوى التماس وزوج الاجهاد على <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle dS}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>d</mi>
<mi>S</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle dS}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66f6ab8a2a8b85df78efbea896fcfeb3d4ea39e4" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.715ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle dS}"/></span> من السطح الداخلي <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>S</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}"/></span> في المادة المتصلة ، نتيجة للتفاعل بين<span></span> جزأين من مادة متصلة مفصولة السطح</div></div></div>
<div class="thumb tleft"><div class="thumbinner" style="width:372px;"><a href="/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:Stress_vector.svg" class="image"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/80/Stress_vector.svg/370px-Stress_vector.svg.png" decoding="async" width="370" height="219" class="thumbimage" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/80/Stress_vector.svg/555px-Stress_vector.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/80/Stress_vector.svg/740px-Stress_vector.svg.png 2x" data-file-width="496" data-file-height="294" /></a> <div class="thumbcaption"><div class="magnify"><a href="/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:Stress_vector.svg" class="internal" title="كبّر"></a></div>الشكل 2.1c متجة الإج<span></span>هاد على سطح داخلي S مع المتجة العامودي للسطح n. اعتمادًا على اتجاه المستوى ، قد لا يكون متجه الإجهاد بالضرورة عموديًا على ذلك السطح ، <i>أي</i> بالتوازي مع <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {n} }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">n</mi>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {n} }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a720c341f39f52fd96028dab83edd34d400be46" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.485ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {n} }"/></span> ، ويمكن تحليله إلى مكونين: مكون عمودي للسطح ، يسم<span></span>ى <i>الإجهاد العمودي</i> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">n</mi>
</mrow>
</mrow>
</msub>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5387174fc62ff2dabc926190feffe1856eb65e6" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.474ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}"/></span> ، ومكون آخر موازٍ للسطج ، يُسمى <i>إجهاد القص</i> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>τ<!-- τ --></mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \tau }"/></span><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>τ<!-- τ --></mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \tau }"/></span>.</div></div></div>
<p>ينص <b>مبدأ الإجهاد لأويلر وكوشي</b> على أن <i>الفعل الناتج من أي سطح يقسم الجسم (حقيقي او خيالي) على الجزء الاخر (سطح في الجانب الآخر) هو مكافئ (مساوٍ) لنظام القوى الموزعة والأزواج على السطح الذي يقسم الجسم</i> ، <sup id="cite_ref-Truesdell22_2-0" class="reference"><a href="#cite_note-Truesdell22-2">[2]</a></sup> ويمثله الحقل <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msup>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">T</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">(</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">n</mi>
</mrow>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msup>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0523584e28619d7f874568f449828fdc4686a2d5" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.421ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}"/></span> ، يسمى متجه الإجهاد ، المعرف على السطح <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>S</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}"/></span> ويفترض أن يعتمد باستمرار على متجة الوحدة للسطح <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {n} }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">n</mi>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {n} }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a720c341f39f52fd96028dab83edd34d400be46" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.485ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {n} }"/></span>. <sup id="cite_ref-Chadwick22_3-0" class="reference"><a href="#cite_note-Chadwick22-3">[3]</a></sup> <sup id="cite_ref-Fung22_4-0" class="reference"><a href="#cite_note-Fung22-4">[4]</a></sup> <sup class="reference" style="white-space:nowrap;">:p.66–96</sup>
</p><p>لصياغة مبدأ الإجهاد لأويلر وكوشي، ينظر لسطح تخيلي <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>S</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}"/></span>مار بنقطة داخلية <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>P</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="P"/></span> وقاسم للجسم المستمر الى قسمين كما هو موضح في الشكل 2.1a او الشكل 2.1b (يمكن استخدام الرسم التخطيطي للمادة المتصلة مفصولة بواسطة سطح او الرسم التخطيطي للحجم التخيلي داخل الجسم المتصل المحاط بالسطح <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>S</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}"/></span>)
</p><p>حسب الديناميكا الكلاسيكية <a href="/wiki/%D8%A5%D8%B3%D8%AD%D8%A7%D9%82_%D9%86%D9%8A%D9%88%D8%AA%D9%86" title="إسحاق نيوتن">لنيوتن</a> <a href="/wiki/%D9%84%D9%8A%D9%88%D9%86%D9%87%D8%A7%D8%B1%D8%AA_%D8%A3%D9%88%D9%8A%D9%84%D8%B1" title="ليونهارت أويلر">وأويلر</a> ، فإن حركة الجسم المادي تُنتج من خلال <a href="/wiki/%D9%82%D9%88%D8%A9" title="قوة">قوى</a> خارجية، والتي يُفترض أن تكون من نوعين: قوى السطح <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {F} }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">F</mi>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {F} }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da18bef8c979f3548bb0d8976f5844012d7b8256" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.683ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {F} }"/></span> وقوى الجسم <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {b} }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">b</mi>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {b} }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13ebf4628a1adf07133a6009e4a78bdd990c6eb9" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.485ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {b} }"/></span> . <sup id="cite_ref-Smith22_5-0" class="reference"><a href="#cite_note-Smith22-5">[5]</a></sup> وبالتالي ، فإن القوة الكلية <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {F}}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">F</mi>
</mrow>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {F}}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/205d4b91000d9dcf1a5bbabdfa6a8395fa60b676" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.927ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {F}}}"/></span> على الجسم أو على جزء من الجسم يمكن وصفها على النحو التالي:
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {F}}=\mathbf {b} +\mathbf {F} }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">F</mi>
</mrow>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">b</mi>
</mrow>
<mo>+</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">F</mi>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {F}}=\mathbf {b} +\mathbf {F} }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdc2554c9a43a3cdfa2b121c63a33864a6cecc0e" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.033ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {F}}=\mathbf {b} +\mathbf {F} }"/></span></dd></dl>
<p>ستتم مناقشة القوى السطحية فقط في هذه المقالة لأنها ذات صلة بممتدة الإجهاد لكوشي.
</p><p>عندما يتعرض الجسم لقوى خارجية من نوع قوى السطح أو <i>قوى الاتصال</i> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {F} }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">F</mi>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {F} }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da18bef8c979f3548bb0d8976f5844012d7b8256" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.683ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {F} }"/></span>، باتباع <a href="/wiki/%D9%82%D9%88%D8%A7%D9%86%D9%8A%D9%86_%D8%A3%D9%88%D9%8A%D9%84%D8%B1_%D9%84%D9%84%D8%AD%D8%B1%D9%83%D8%A9" title="قوانين أويلر للحركة">معادلات أويلر للحركة</a> ، تنتقل قوى الاتصال الداخلية والعزم الدوراني من نقطة إلى أخرى في الجسم ، ومن شريحة إلى أخرى عبر السطح الفاصل <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>S</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}"/></span> بسبب التلامس الميكانيكي لجزء من المادة المتصلة على الآخر (الشكل 2.1a و 2.1b). على عنصر مساحة <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta S}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi mathvariant="normal">Δ<!-- Δ --></mi>
<mi>S</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta S}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15a2efec755f08f95da4e8d1f7f2682861fb59be" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta S}"/></span> محتوي <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>P</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="P"/></span>، مع <a href="/wiki/%D9%85%D8%AA%D8%AC%D9%87%D8%A9" title="متجهة">متجة</a> عمودي <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {n} }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">n</mi>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {n} }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a720c341f39f52fd96028dab83edd34d400be46" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.485ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {n} }"/></span> ، توزيع القوة مكافئ لقوة التماس <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta \mathbf {F} }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi mathvariant="normal">Δ<!-- Δ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">F</mi>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \mathbf {F} }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afc656820be43d7b371f18daf120adf744a2a649" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.619ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta \mathbf {F} }"/></span> عند النقطة P والعزم الدوراني السطحي <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta \mathbf {M} }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi mathvariant="normal">Δ<!-- Δ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">M</mi>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \mathbf {M} }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1145f706eea34b40fc81e9ea66e7b83fb6e56354" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.473ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta \mathbf {M} }"/></span>
</p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta \mathbf {M} }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi mathvariant="normal">Δ<!-- Δ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">M</mi>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \mathbf {M} }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1145f706eea34b40fc81e9ea66e7b83fb6e56354" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.473ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta \mathbf {M} }"/></span> . على وجه الخصوص ، يتم وصف قوة الاتصال على النحو التالي:
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta \mathbf {F} =\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,\Delta S}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi mathvariant="normal">Δ<!-- Δ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">F</mi>
</mrow>
<mo>=</mo>
<msup>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">T</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">(</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">n</mi>
</mrow>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msup>
<mspace width="thinmathspace" />
<mi mathvariant="normal">Δ<!-- Δ --></mi>
<mi>S</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \mathbf {F} =\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,\Delta S}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb83540b2543587b3d3101809a03039bc8aa1c70" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:14.96ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Delta \mathbf {F} =\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,\Delta S}"/></span></dd></dl>
<p>حيث،
</p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msup>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">T</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">(</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">n</mi>
</mrow>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msup>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0523584e28619d7f874568f449828fdc4686a2d5" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.421ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}"/></span>: متوسط الجر للسطح .
</p><p>يؤكد مبدأ الإجهاد لكوشي انه عندما تصبح <sup id="cite_ref-Mase4_6-0" class="reference"><a href="#cite_note-Mase4-6">[6]</a></sup> <sup class="reference" style="white-space:nowrap;">:p.47–102</sup> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta S}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi mathvariant="normal">Δ<!-- Δ --></mi>
<mi>S</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta S}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15a2efec755f08f95da4e8d1f7f2682861fb59be" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta S}"/></span> صغيرة جدا وتميل إلى الصفر، فإن النسبة <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta \mathbf {F} /\Delta S}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi mathvariant="normal">Δ<!-- Δ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">F</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo>/</mo>
</mrow>
<mi mathvariant="normal">Δ<!-- Δ --></mi>
<mi>S</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \mathbf {F} /\Delta S}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59abbf7f3ba439a0f73eda2ebe9236755b47270f" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.216ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Delta \mathbf {F} /\Delta S}"/></span> تصبح <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d\mathbf {F} /dS}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>d</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">F</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo>/</mo>
</mrow>
<mi>d</mi>
<mi>S</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d\mathbf {F} /dS}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69d473a27d6245aedd6e84a28494c91013f92d6b" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.776ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d\mathbf {F} /dS}"/></span> وزوج متجة الإجهاد<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta \mathbf {M} }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi mathvariant="normal">Δ<!-- Δ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">M</mi>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta \mathbf {M} }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1145f706eea34b40fc81e9ea66e7b83fb6e56354" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.473ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta \mathbf {M} }"/></span> يختفي. في مجالات محددة من الميكانيكا الاستمرارية ، يفترض ألا يتلاشى إجهاد الزوجين ؛ ومع ذلك ، فإن الفروع الكلاسيكية لميكانيكا الاستمرارية تتناول المواد غير <a href="/wiki/%D9%82%D8%B7%D8%A8%D9%8A%D8%A9_%D9%83%D9%8A%D9%85%D9%8A%D8%A7%D8%A6%D9%8A%D8%A9" title="قطبية كيميائية">القطبية</a> التي لا تأخذ في الاعتبار زوج الاجهاد والزخم الزاوي للجسم.
</p><p>المتجه الناتج<span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d\mathbf {F} /dS}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>d</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">F</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo>/</mo>
</mrow>
<mi>d</mi>
<mi>S</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d\mathbf {F} /dS}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69d473a27d6245aedd6e84a28494c91013f92d6b" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.776ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle d\mathbf {F} /dS}"/></span> يتم تعريفه بالجر السطحي,<sup id="cite_ref-Liu2_7-0" class="reference"><a href="#cite_note-Liu2-7">[7]</a></sup> ويسمى متجه الجر<sup id="cite_ref-Wu2_8-0" class="reference"><a href="#cite_note-Wu2-8">[8]</a></sup><sup id="cite_ref-Fung22_4-1" class="reference"><a href="#cite_note-Fung22-4">[4]</a></sup>أو متجه الإجهاد <sup id="cite_ref-Mase4_6-1" class="reference"><a href="#cite_note-Mase4-6">[6]</a></sup> يمثل ب <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=T_{i}^{(\mathbf {n} )}\mathbf {e} _{i}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msup>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">T</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">(</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">n</mi>
</mrow>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msup>
<mo>=</mo>
<msubsup>
<mi>T</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">(</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">n</mi>
</mrow>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msubsup>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
</mrow>
</msub>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=T_{i}^{(\mathbf {n} )}\mathbf {e} _{i}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a968a117c9155c095a8d654a635d1022e2ffeb7" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.826ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=T_{i}^{(\mathbf {n} )}\mathbf {e} _{i}}"/></span> عند النقطة <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>P</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="P"/></span> المرتبطة بمستوى له متجه عمودي <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {n} }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">n</mi>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {n} }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a720c341f39f52fd96028dab83edd34d400be46" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.485ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {n} }"/></span>.
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{i}^{(\mathbf {n} )}=\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{i}}{\Delta S}}={dF_{i} \over dS}.}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msubsup>
<mi>T</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">(</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">n</mi>
</mrow>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msubsup>
<mo>=</mo>
<munder>
<mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">Δ<!-- Δ --></mi>
<mi>S</mi>
<mo stretchy="false">→<!-- → --></mo>
<mn>0</mn>
</mrow>
</munder>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<mrow>
<mi mathvariant="normal">Δ<!-- Δ --></mi>
<msub>
<mi>F</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
</mrow>
</msub>
</mrow>
<mrow>
<mi mathvariant="normal">Δ<!-- Δ --></mi>
<mi>S</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<mrow>
<mi>d</mi>
<msub>
<mi>F</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
</mrow>
</msub>
</mrow>
<mrow>
<mi>d</mi>
<mi>S</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
<mo>.</mo>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{i}^{(\mathbf {n} )}=\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{i}}{\Delta S}}={dF_{i} \over dS}.}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b581da27db126e5eb1cfb6ac1a08d3d6a0c3dbc1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:25.819ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle T_{i}^{(\mathbf {n} )}=\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{i}}{\Delta S}}={dF_{i} \over dS}.}"/></span></dd></dl>
<p>المعادلة السابقة تعني أن متجه الإجهاد يعتمد على موقعه داخل الجسم واتجاه المستوى الذي يتصرف عليه.
</p><p>هذا يعني أن الفعل الموازن لقوى الاتصال الداخلية يولد <i>كثافة قوة تماس</i> أو <i>مجال كوشي للسحب</i> <sup id="cite_ref-Smith22_5-1" class="reference"><a href="#cite_note-Smith22-5">[5]</a></sup> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {T} (\mathbf {n} ,\mathbf {x} ,t)}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">T</mi>
</mrow>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">n</mi>
</mrow>
<mo>,</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">x</mi>
</mrow>
<mo>,</mo>
<mi>t</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {T} (\mathbf {n} ,\mathbf {x} ,t)}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad4ccbabe43d0ddc50adf7e5b1b5dbcb541741c2" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.472ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {T} (\mathbf {n} ,\mathbf {x} ,t)}"/></span> وذلك يمثل توزيع قوى التماس الداخلية في جميع أنحاء الجسم في <a href="/wiki/%D9%85%D9%8A%D9%83%D8%A7%D9%86%D9%8A%D9%83%D8%A7_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%AA%D8%B5%D9%84" title="ميكانيكا المتصل">تكوين</a> معين <a href="/wiki/%D9%85%D9%8A%D9%83%D8%A7%D9%86%D9%8A%D9%83%D8%A7_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%AA%D8%B5%D9%84" title="ميكانيكا المتصل">من الجسم</a> في وقت معين <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>t</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="t"/></span> . إنه ليس مجال متجه لأنه لا يعتمد فقط على الموضع <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {x} }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">x</mi>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {x} }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32adf004df5eb0a8c7fd8c0b6b7405183c5a5ef2" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.411ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {x} }"/></span> لنقطة معينة في مادة ، بل أيضًا على الاتجاه المحلي للسطح كما هو محدد بواسطة المتجة العمودي <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {n} }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">n</mi>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {n} }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a720c341f39f52fd96028dab83edd34d400be46" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.485ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {n} }"/></span> . <sup id="cite_ref-Lubliner2_9-0" class="reference"><a href="#cite_note-Lubliner2-9">[9]</a></sup>
</p><p>اعتمادًا على اتجاه المسوى المنظور اليه ، قد لا يكون متجه الإجهاد بالضرورة عموديًا على ذلك المستوى ، <i>أي</i> بالتوازي مع <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {n} }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">n</mi>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {n} }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a720c341f39f52fd96028dab83edd34d400be46" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.485ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {n} }"/></span>، ويمكن تحليله إلى مكونين (الشكل 2.1c):
</p>
<ul><li>احدهما عمودي على السطح، ويدعى <i>الإجهاد العمودي</i></li></ul>
<dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {\sigma _{\mathrm {n} }} =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{\mathrm {n} }}{\Delta S}}={\frac {dF_{\mathrm {n} }}{dS}},}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">n</mi>
</mrow>
</mrow>
</msub>
</mrow>
<mo>=</mo>
<munder>
<mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">Δ<!-- Δ --></mi>
<mi>S</mi>
<mo stretchy="false">→<!-- → --></mo>
<mn>0</mn>
</mrow>
</munder>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<mrow>
<mi mathvariant="normal">Δ<!-- Δ --></mi>
<msub>
<mi>F</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">n</mi>
</mrow>
</mrow>
</msub>
</mrow>
<mrow>
<mi mathvariant="normal">Δ<!-- Δ --></mi>
<mi>S</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<mrow>
<mi>d</mi>
<msub>
<mi>F</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">n</mi>
</mrow>
</mrow>
</msub>
</mrow>
<mrow>
<mi>d</mi>
<mi>S</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
<mo>,</mo>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {\sigma _{\mathrm {n} }} =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{\mathrm {n} }}{\Delta S}}={\frac {dF_{\mathrm {n} }}{dS}},}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02cfc7bb38a98a9db86358c5dc0fb60563f467b7" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:24.704ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {\sigma _{\mathrm {n} }} =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{\mathrm {n} }}{\Delta S}}={\frac {dF_{\mathrm {n} }}{dS}},}"/></span></dd>
<dd>حيث <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle dF_{\mathrm {n} }}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>d</mi>
<msub>
<mi>F</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">n</mi>
</mrow>
</mrow>
</msub>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle dF_{\mathrm {n} }}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51eaea7df815777de7931a6d9e4469119b56c5eb" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.857ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle dF_{\mathrm {n} }}"/></span> هي المركبة العمودية للقوة <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d\mathbf {F} }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>d</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">F</mi>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d\mathbf {F} }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00a8c0f13f5c44184a96b3dfaaec818d678383b1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.899ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d\mathbf {F} }"/></span>على <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle dS}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>d</mi>
<mi>S</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle dS}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66f6ab8a2a8b85df78efbea896fcfeb3d4ea39e4" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.715ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle dS}"/></span></dd></dl>
<ul><li>والآخر موازي لهذا السطح ، ويدعى <i>إجهاد القص</i></li></ul>
<dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {\tau } =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{\mathrm {s} }}{\Delta S}}={\frac {dF_{\mathrm {s} }}{dS}},}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>τ<!-- τ --></mi>
</mrow>
<mo>=</mo>
<munder>
<mo movablelimits="true" form="prefix">lim</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">Δ<!-- Δ --></mi>
<mi>S</mi>
<mo stretchy="false">→<!-- → --></mo>
<mn>0</mn>
</mrow>
</munder>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<mrow>
<mi mathvariant="normal">Δ<!-- Δ --></mi>
<msub>
<mi>F</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">s</mi>
</mrow>
</mrow>
</msub>
</mrow>
<mrow>
<mi mathvariant="normal">Δ<!-- Δ --></mi>
<mi>S</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<mrow>
<mi>d</mi>
<msub>
<mi>F</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">s</mi>
</mrow>
</mrow>
</msub>
</mrow>
<mrow>
<mi>d</mi>
<mi>S</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
<mo>,</mo>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {\tau } =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{\mathrm {s} }}{\Delta S}}={\frac {dF_{\mathrm {s} }}{dS}},}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e405fa4653958a31cb73c6ea2dfab4a71be4e7e0" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:22.9ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {\tau } =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{\mathrm {s} }}{\Delta S}}={\frac {dF_{\mathrm {s} }}{dS}},}"/></span></dd>
<dd>حيث <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle dF_{\mathrm {s} }}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>d</mi>
<msub>
<mi>F</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">s</mi>
</mrow>
</mrow>
</msub>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle dF_{\mathrm {s} }}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e109a92b378908a2e1da6ead582a7914c2af5b31" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.591ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle dF_{\mathrm {s} }}"/></span> هو المركبة المماسية للقوة <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d\mathbf {F} }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>d</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">F</mi>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d\mathbf {F} }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00a8c0f13f5c44184a96b3dfaaec818d678383b1" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.899ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d\mathbf {F} }"/></span> على المساحة <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle dS}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>d</mi>
<mi>S</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle dS}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66f6ab8a2a8b85df78efbea896fcfeb3d4ea39e4" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.715ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle dS}"/></span>. يمكن تحليل اجهاد القص الى متجهين متعامدين ايضًا.</dd></dl>
<dl><dd></dd></dl>
<h2><span id=".D8.A5.D8.AC.D9.87.D8.A7.D8.AF_.D8.AB.D9.85.D8.A7.D9.86.D9.8A_.D8.A7.D9.84.D8.B3.D8.B7.D9.88.D8.AD"></span><span class="mw-headline" id="إجهاد_ثماني_السطوح">إجهاد <a href="/wiki/%D8%AB%D9%85%D8%A7%D9%86%D9%8A_%D8%A7%D9%84%D8%B3%D8%B7%D9%88%D8%AD" class="mw-redirect" title="ثماني السطوح">ثماني السطوح</a></span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D9%85%D9%85%D8%AA%D8%AF_%D8%A7%D9%84%D8%A5%D8%AC%D9%87%D8%A7%D8%AF_%D9%84%D9%83%D9%88%D8%B4%D9%8A&action=edit&section=2" title="عدل القسم: إجهاد ثماني السطوح">عدل</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2>
<div class="thumb tleft"><div class="thumbinner" style="width:302px;"><a href="/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:Octahedral_stress_planes.svg" class="image"><img alt="" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/88/Octahedral_stress_planes.svg/300px-Octahedral_stress_planes.svg.png" decoding="async" width="300" height="300" class="thumbimage" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/88/Octahedral_stress_planes.svg/450px-Octahedral_stress_planes.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/88/Octahedral_stress_planes.svg/600px-Octahedral_stress_planes.svg.png 2x" data-file-width="650" data-file-height="650" /></a> <div class="thumbcaption"><div class="magnify"><a href="/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:Octahedral_stress_planes.svg" class="internal" title="كبّر"></a></div>الشكل 6. مستويات الإجهاد لثماني السطوح</div></div></div>
<p>بالنظر إلى الاتجاهات الرئيسية كمحور إحداثي ، فإن المستوى الذي يقوم متهه العمودي بعمل زوايا متساوية مع كل من المحاور الرئيسية (أي أن يكون اتجاه جيب التمام يساوي <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |1/{\sqrt {3}}|}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">|</mo>
</mrow>
<mn>1</mn>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo>/</mo>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<msqrt>
<mn>3</mn>
</msqrt>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">|</mo>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |1/{\sqrt {3}}|}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5593ec08ceea5e7a92c5fd9de43e47153225b88f" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.717ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle |1/{\sqrt {3}}|}"/></span> ) يسمى مستوى <i>ثماني السطوح</i> . هناك ما مجموعه ثماني مستويات ثماني السطوح (الشكل 6). تسمى المكونات العمودية والقص في ممتد الإجهاد على هذه امستويات <i>الإجهاد العمودي لثماني السطوح</i> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma _{\mathrm {oct} }}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">o</mi>
<mi mathvariant="normal">c</mi>
<mi mathvariant="normal">t</mi>
</mrow>
</mrow>
</msub>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{\mathrm {oct} }}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6723c6107bd5aa38a500436ec3e1565a2df434ce" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.751ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{\mathrm {oct} }}"/></span> <i>واجهاد القص لثماني السطوح</i> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau _{\mathrm {oct} }}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msub>
<mi>τ<!-- τ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">o</mi>
<mi mathvariant="normal">c</mi>
<mi mathvariant="normal">t</mi>
</mrow>
</mrow>
</msub>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau _{\mathrm {oct} }}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54e0a0045a304edc0ddaf26fca8c7a5172f9cc2f" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.44ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \tau _{\mathrm {oct} }}"/></span> على التوالي. مستوى ثماني السطوح المار بنقطة الأصل يعرف باسم مستوى <i>π</i> <i>.</i> على <i>المستوى</i> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s_{ij}=I/3}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msub>
<mi>s</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
<mi>j</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<mi>I</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo>/</mo>
</mrow>
<mn>3</mn>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s_{ij}=I/3}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5816fb8693574772c4a5cbd7fd5ba44cd1b785bc" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.163ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle s_{ij}=I/3}"/></span> .
</p><p>ومع العلم أن ممتد الإجهاد من النقطة O (الشكل 6) في المحاور الرئيسية هو
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0&0\\0&\sigma _{2}&0\\0&0&\sigma _{3}\end{bmatrix}}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
<mi>j</mi>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow>
<mo>[</mo>
<mtable rowspacing="4pt" columnspacing="1em">
<mtr>
<mtd>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<mn>0</mn>
</mtd>
<mtd>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
<mo>]</mo>
</mrow>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0&0\\0&\sigma _{2}&0\\0&0&\sigma _{3}\end{bmatrix}}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ca769de07da07317cb06b2c74a91604454c38fa" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:21.545ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0&0\\0&\sigma _{2}&0\\0&0&\sigma _{3}\end{bmatrix}}}"/></span></dd></dl>
<p>فإن متجة الإجهاد على مستوى ثماني السطوح هو:
</p>
<dl><dd><strong class="error texerror">خطأ رياضيات (خطأ في الصياغة): {\displaystyle <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mtable displaystyle="true" rowspacing="3pt"><mtr><mtd><msubsup><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi mathvariant="bold"> <math>\begin{align} \mathbf{T}_\mathrm{oct}^{(\mathbf{n})}&= \sigma_{ij}n_i\mathbf{e}_j \\ &=\sigma_1n_1\mathbf{e}_1+\sigma_2n_2\mathbf{e}_2+\sigma_3n_3\mathbf{e}_3\\ &=\tfrac{1}{\sqrt{3}}(\sigma_1\mathbf{e}_1+\sigma_2\mathbf{e}_2+\sigma_3\mathbf{e}_3) \end{align} }</strong>
<span></span><n></mrow></ا الا العا msub><mo> </mo><msub><mi> تات تلتا تال ااتات </m></msub><msub><mi> تجرههب نيب بهرس سبا يسهسي سر تيس </mi><mrow class="MJX-TeXAtom- تالاتا تالتا ORD"><mn> </mn></mrow></msub><msub><mrow class="M نمبتلنل نبلا نبل JX-TeXAtom-OR تب سيت يسنيس. يسن. يس D"><mi mathvariant="bold"> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true">
<mtr>
<mtd>
<msubsup>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">T</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">o</mi>
<mi mathvariant="normal">c</mi>
<mi mathvariant="normal">t</mi>
</mrow>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">(</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">n</mi>
</mrow>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msubsup>
</mtd>
<mtd>
<mi></mi>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
<mi>j</mi>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>j</mi>
</mrow>
</msub>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd />
<mtd>
<mi></mi>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd />
<mtd>
<mi></mi>
<mo>=</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0">
<mfrac>
<mn>1</mn>
<msqrt>
<mn>3</mn>
</msqrt>
</mfrac>
</mstyle>
</mrow>
<mo stretchy="false">(</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a78e3d33ce72db71735a3a3c95fec7cc32086a95" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.715ex; margin-bottom: -0.289ex; width:35.282ex; height:11.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}"/></span> </mi></mrow>< يفلي تنني خه mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true">
<mtr>
<mtd>
<msubsup>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">T</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">o</mi>
<mi mathvariant="normal">c</mi>
<mi mathvariant="normal">t</mi>
</mrow>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">(</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">n</mi>
</mrow>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msubsup>
</mtd>
<mtd>
<mi></mi>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
<mi>j</mi>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>j</mi>
</mrow>
</msub>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd />
<mtd>
<mi></mi>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd />
<mtd>
<mi></mi>
<mo>=</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0">
<mfrac>
<mn>1</mn>
<msqrt>
<mn>3</mn>
</msqrt>
</mfrac>
</mstyle>
</mrow>
<mo stretchy="false">(</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a78e3d33ce72db71735a3a3c95fec7cc32086a95" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.715ex; margin-bottom: -0.289ex; width:35.282ex; height:11.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}"/></span> </mn></mrow></msub><mo> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true">
<mtr>
<mtd>
<msubsup>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">T</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">o</mi>
<mi mathvariant="normal">c</mi>
<mi mathvariant="normal">t</mi>
</mrow>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">(</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">n</mi>
</mrow>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msubsup>
</mtd>
<mtd>
<mi></mi>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
<mi>j</mi>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>j</mi>
</mrow>
</msub>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd />
<mtd>
<mi></mi>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd />
<mtd>
<mi></mi>
<mo>=</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0">
<mfrac>
<mn>1</mn>
<msqrt>
<mn>3</mn>
</msqrt>
</mfrac>
</mstyle>
</mrow>
<mo stretchy="false">(</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a78e3d33ce72db71735a3a3c95fec7cc32086a95" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.715ex; margin-bottom: -0.289ex; width:35.282ex; height:11.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}"/></span> </mo><msub><mi> من يبتي بتل نتبل بلستل </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-Oتبدب بتد ينبد RD"><mn> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true">
<mtr>
<mtd>
<msubsup>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">T</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">o</mi>
<mi mathvariant="normal">c</mi>
<mi mathvariant="normal">t</mi>
</mrow>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">(</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">n</mi>
</mrow>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msubsup>
</mtd>
<mtd>
<mi></mi>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
<mi>j</mi>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>j</mi>
</mrow>
</msub>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd />
<mtd>
<mi></mi>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd />
<mtd>
<mi></mi>
<mo>=</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0">
<mfrac>
<mn>1</mn>
<msqrt>
<mn>3</mn>
</msqrt>
</mfrac>
</mstyle>
</mrow>
<mo stretchy="false">(</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a78e3d33ce72db71735a3a3c95fec7cc32086a95" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.715ex; margin-bottom: -0.289ex; width:35.282ex; height:11.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}"/></span> </mn></mrow></msuتتتيت تبيب بي بيل. ليسل b><><mi> -TeXAtom-ORD"><mn> </mn></mrow></msub><msub><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi mathvariant="bold"> </mi> </mn></mrow></msub><msub><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi mathvariant="bold"> </mi></mrow><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true">
<mtr>
<mtd>
<msubsup>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">T</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">o</mi>
<mi mathvariant="normal">c</mi>
<mi mathvariant="normal">t</mi>
</mrow>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">(</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">n</mi>
</mrow>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msubsup>
</mtd>
<mtd>
<mi></mi>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
<mi>j</mi>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>j</mi>
</mrow>
</msub>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd />
<mtd>
<mi></mi>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd />
<mtd>
<mi></mi>
<mo>=</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0">
<mfrac>
<mn>1</mn>
<msqrt>
<mn>3</mn>
</msqrt>
</mfrac>
</mstyle>
</mrow>
<mo stretchy="false">(</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a78e3d33ce72db71735a3a3c95fec7cc32086a95" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.715ex; margin-bottom: -0.289ex; width:35.282ex; height:11.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}"/></span> </mn></mrow></msub><mo> </mo><msub><mi> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true">
<mtr>
<mtd>
<msubsup>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">T</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">o</mi>
<mi mathvariant="normal">c</mi>
<mi mathvariant="normal">t</mi>
</mrow>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">(</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">n</mi>
</mrow>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msubsup>
</mtd>
<mtd>
<mi></mi>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
<mi>j</mi>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>j</mi>
</mrow>
</msub>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd />
<mtd>
<mi></mi>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd />
<mtd>
<mi></mi>
<mo>=</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0">
<mfrac>
<mn>1</mn>
<msqrt>
<mn>3</mn>
</msqrt>
</mfrac>
</mstyle>
</mrow>
<mo stretchy="false">(</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a78e3d33ce72db71735a3a3c95fec7cc32086a95" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.715ex; margin-bottom: -0.289ex; width:35.282ex; height:11.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}"/></span> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true">
<mtr>
<mtd>
<msubsup>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">T</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">o</mi>
<mi mathvariant="normal">c</mi>
<mi mathvariant="normal">t</mi>
</mrow>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">(</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">n</mi>
</mrow>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msubsup>
</mtd>
<mtd>
<mi></mi>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
<mi>j</mi>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>j</mi>
</mrow>
</msub>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd />
<mtd>
<mi></mi>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd />
<mtd>
<mi></mi>
<mo>=</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0">
<mfrac>
<mn>1</mn>
<msqrt>
<mn>3</mn>
</msqrt>
</mfrac>
</mstyle>
</mrow>
<mo stretchy="false">(</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a78e3d33ce72db71735a3a3c95fec7cc32086a95" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.715ex; margin-bottom: -0.289ex; width:35.282ex; height:11.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}"/></span> </mn></mrow></msub><msub><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi mathvariant="bold"> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true">
<mtr>
<mtd>
<msubsup>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">T</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">o</mi>
<mi mathvariant="normal">c</mi>
<mi mathvariant="normal">t</mi>
</mrow>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">(</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">n</mi>
</mrow>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msubsup>
</mtd>
<mtd>
<mi></mi>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
<mi>j</mi>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>j</mi>
</mrow>
</msub>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd />
<mtd>
<mi></mi>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd />
<mtd>
<mi></mi>
<mo>=</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0">
<mfrac>
<mn>1</mn>
<msqrt>
<mn>3</mn>
</msqrt>
</mfrac>
</mstyle>
</mrow>
<mo stretchy="false">(</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a78e3d33ce72db71735a3a3c95fec7cc32086a95" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.715ex; margin-bottom: -0.289ex; width:35.282ex; height:11.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}"/></span> </mi></mrow><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true">
<mtr>
<mtd>
<msubsup>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">T</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">o</mi>
<mi mathvariant="normal">c</mi>
<mi mathvariant="normal">t</mi>
</mrow>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">(</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">n</mi>
</mrow>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msubsup>
</mtd>
<mtd>
<mi></mi>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
<mi>j</mi>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>j</mi>
</mrow>
</msub>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd />
<mtd>
<mi></mi>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd />
<mtd>
<mi></mi>
<mo>=</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0">
<mfrac>
<mn>1</mn>
<msqrt>
<mn>3</mn>
</msqrt>
</mfrac>
</mstyle>
</mrow>
<mo stretchy="false">(</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a78e3d33ce72db71735a3a3c95fec7cc32086a95" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.715ex; margin-bottom: -0.289ex; width:35.282ex; height:11.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}"/></span> </mn></mrow></msub><mo> </mo><msub><mi> </mi><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true">
<mtr>
<mtd>
<msubsup>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">T</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">o</mi>
<mi mathvariant="normal">c</mi>
<mi mathvariant="normal">t</mi>
</mrow>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">(</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">n</mi>
</mrow>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msubsup>
</mtd>
<mtd>
<mi></mi>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
<mi>j</mi>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>j</mi>
</mrow>
</msub>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd />
<mtd>
<mi></mi>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd />
<mtd>
<mi></mi>
<mo>=</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0">
<mfrac>
<mn>1</mn>
<msqrt>
<mn>3</mn>
</msqrt>
</mfrac>
</mstyle>
</mrow>
<mo stretchy="false">(</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a78e3d33ce72db71735a3a3c95fec7cc32086a95" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.715ex; margin-bottom: -0.289ex; width:35.282ex; height:11.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}"/></span> </mn></mrow></msub><msub><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mi mathvariant="bold"> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true">
<mtr>
<mtd>
<msubsup>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">T</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">o</mi>
<mi mathvariant="normal">c</mi>
<mi mathvariant="normal">t</mi>
</mrow>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">(</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">n</mi>
</mrow>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msubsup>
</mtd>
<mtd>
<mi></mi>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
<mi>j</mi>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>j</mi>
</mrow>
</msub>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd />
<mtd>
<mi></mi>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd />
<mtd>
<mi></mi>
<mo>=</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0">
<mfrac>
<mn>1</mn>
<msqrt>
<mn>3</mn>
</msqrt>
</mfrac>
</mstyle>
</mrow>
<mo stretchy="false">(</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a78e3d33ce72db71735a3a3c95fec7cc32086a95" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.715ex; margin-bottom: -0.289ex; width:35.282ex; height:11.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}"/></span> </mi></mrow><mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"><mn> <span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true">
<mtr>
<mtd>
<msubsup>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">T</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">o</mi>
<mi mathvariant="normal">c</mi>
<mi mathvariant="normal">t</mi>
</mrow>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">(</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">n</mi>
</mrow>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msubsup>
</mtd>
<mtd>
<mi></mi>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
<mi>j</mi>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>j</mi>
</mrow>
</msub>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd />
<mtd>
<mi></mi>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd />
<mtd>
<mi></mi>
<mo>=</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0">
<mfrac>
<mn>1</mn>
<msqrt>
<mn>3</mn>
</msqrt>
</mfrac>
</mstyle>
</mrow>
<mo stretchy="false">(</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a78e3d33ce72db71735a3a3c95fec7cc32086a95" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.715ex; margin-bottom: -0.289ex; width:35.282ex; height:11.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} _{\mathrm {oct} }^{(\mathbf {n} )}&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}n_{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}n_{3}\mathbf {e} _{3}\\&={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}(\sigma _{1}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{2}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{3}\mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}"/></span> </mn></mrow></dd></dl>
<p>المكون العمودي لمتجه الاجهاد عند النقطة O المرتبط بمستوى ثماني السطوح هو
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\mathrm {oct} }&=T_{i}^{(n)}n_{i}\\&=\sigma _{ij}n_{i}n_{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}n_{1}+\sigma _{2}n_{2}n_{2}+\sigma _{3}n_{3}n_{3}\\&={\tfrac {1}{3}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})={\tfrac {1}{3}}I_{1}\end{aligned}}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true">
<mtr>
<mtd>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">o</mi>
<mi mathvariant="normal">c</mi>
<mi mathvariant="normal">t</mi>
</mrow>
</mrow>
</msub>
</mtd>
<mtd>
<mi></mi>
<mo>=</mo>
<msubsup>
<mi>T</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>n</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msubsup>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
</mrow>
</msub>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd />
<mtd>
<mi></mi>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
<mi>j</mi>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>j</mi>
</mrow>
</msub>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd />
<mtd>
<mi></mi>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<msub>
<mi>n</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd />
<mtd>
<mi></mi>
<mo>=</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0">
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mn>3</mn>
</mfrac>
</mstyle>
</mrow>
<mo stretchy="false">(</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo>=</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0">
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mn>3</mn>
</mfrac>
</mstyle>
</mrow>
<msub>
<mi>I</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\mathrm {oct} }&=T_{i}^{(n)}n_{i}\\&=\sigma _{ij}n_{i}n_{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}n_{1}+\sigma _{2}n_{2}n_{2}+\sigma _{3}n_{3}n_{3}\\&={\tfrac {1}{3}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})={\tfrac {1}{3}}I_{1}\end{aligned}}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e930c50879376aa6631f54b8cc6768ce4d689bc3" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.338ex; width:35.121ex; height:13.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\mathrm {oct} }&=T_{i}^{(n)}n_{i}\\&=\sigma _{ij}n_{i}n_{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}n_{1}+\sigma _{2}n_{2}n_{2}+\sigma _{3}n_{3}n_{3}\\&={\tfrac {1}{3}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})={\tfrac {1}{3}}I_{1}\end{aligned}}}"/></span></dd></dl>
<p>وهو متوسط الإ<span></span>جهاد الهيدروستاتيكي. هذه القيمة تكون متساوية في جميع مستويات ثماني السطوح الثمانية. إجهاد القص على مستوى ثماني السطوح يكون كالتالي:
</p><p><span class="mwe-math-element"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\mathrm {oct} }&={\sqrt {T_{i}^{(n)}T_{i}^{(n)}-\sigma _{\mathrm {n} }^{2}}}\\&=\left[{\tfrac {1}{3}}(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+\sigma _{3}^{2})-{\tfrac {1}{9}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})^{2}\right]^{1/2}\\&={\tfrac {1}{3}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]^{1/2}={\tfrac {1}{3}}{\sqrt {2I_{1}^{2}-6I_{2}}}={\sqrt {{\tfrac {2}{3}}J_{2}}}\end{aligned}}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true">
<mtr>
<mtd>
<msub>
<mi>τ<!-- τ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">o</mi>
<mi mathvariant="normal">c</mi>
<mi mathvariant="normal">t</mi>
</mrow>
</mrow>
</msub>
</mtd>
<mtd>
<mi></mi>
<mo>=</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<msqrt>
<msubsup>
<mi>T</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>n</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msubsup>
<msubsup>
<mi>T</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>i</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>n</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msubsup>
<mo>−<!-- − --></mo>
<msubsup>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">n</mi>
</mrow>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msubsup>
</msqrt>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd />
<mtd>
<mi></mi>
<mo>=</mo>
<msup>
<mrow>
<mo>[</mo>
<mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0">
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mn>3</mn>
</mfrac>
</mstyle>
</mrow>
<mo stretchy="false">(</mo>
<msubsup>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msubsup>
<mo>+</mo>
<msubsup>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msubsup>
<mo>+</mo>
<msubsup>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msubsup>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo>−<!-- − --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0">
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mn>9</mn>
</mfrac>
</mstyle>
</mrow>
<mo stretchy="false">(</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<msup>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msup>
</mrow>
<mo>]</mo>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo>/</mo>
</mrow>
<mn>2</mn>
</mrow>
</msup>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd />
<mtd>
<mi></mi>
<mo>=</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0">
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mn>3</mn>
</mfrac>
</mstyle>
</mrow>
<msup>
<mrow>
<mo>[</mo>
<mrow>
<mo stretchy="false">(</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>−<!-- − --></mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<msup>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msup>
<mo>+</mo>
<mo stretchy="false">(</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>−<!-- − --></mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<msup>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msup>
<mo>+</mo>
<mo stretchy="false">(</mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>−<!-- − --></mo>
<msub>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<msup>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msup>
</mrow>
<mo>]</mo>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo>/</mo>
</mrow>
<mn>2</mn>
</mrow>
</msup>
<mo>=</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0">
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mn>3</mn>
</mfrac>
</mstyle>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<msqrt>
<mn>2</mn>
<msubsup>
<mi>I</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msubsup>
<mo>−<!-- − --></mo>
<mn>6</mn>
<msub>
<mi>I</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
</msqrt>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<msqrt>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0">
<mfrac>
<mn>2</mn>
<mn>3</mn>
</mfrac>
</mstyle>
</mrow>
<msub>
<mi>J</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
</msqrt>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\mathrm {oct} }&={\sqrt {T_{i}^{(n)}T_{i}^{(n)}-\sigma _{\mathrm {n} }^{2}}}\\&=\left[{\tfrac {1}{3}}(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+\sigma _{3}^{2})-{\tfrac {1}{9}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})^{2}\right]^{1/2}\\&={\tfrac {1}{3}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]^{1/2}={\tfrac {1}{3}}{\sqrt {2I_{1}^{2}-6I_{2}}}={\sqrt {{\tfrac {2}{3}}J_{2}}}\end{aligned}}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c5ecf56b1d77da5e287c26c746d6c39b11efe90" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -7.171ex; width:76.686ex; height:15.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\mathrm {oct} }&={\sqrt {T_{i}^{(n)}T_{i}^{(n)}-\sigma _{\mathrm {n} }^{2}}}\\&=\left[{\tfrac {1}{3}}(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+\sigma _{3}^{2})-{\tfrac {1}{9}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})^{2}\right]^{1/2}\\&={\tfrac {1}{3}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]^{1/2}={\tfrac {1}{3}}{\sqrt {2I_{1}^{2}-6I_{2}}}={\sqrt {{\tfrac {2}{3}}J_{2}}}\end{aligned}}}"/></span>
</p>
<dl><dd></dd></dl>
<h2><span id=".D8.A7.D9.84.D9.85.D8.B1.D8.A7.D8.AC.D8.B9"></span><span class="mw-headline" id="المراجع">المراجع</span><span class="mw-editsection"><span class="mw-editsection-bracket">[</span><a href="/w/index.php?title=%D9%85%D9%85%D8%AA%D8%AF_%D8%A7%D9%84%D8%A5%D8%AC%D9%87%D8%A7%D8%AF_%D9%84%D9%83%D9%88%D8%B4%D9%8A&action=edit&section=3" title="عدل القسم: المراجع">عدل</a><span class="mw-editsection-bracket">]</span></span></h2>
<ol class="references">
<li id="cite_note-Irgens-1"><span class="mw-cite-backlink"><b><a href="#cite_ref-Irgens_1-0">^</a></b></span> <span class="reference-text">
Fridtjov Irgens (2008), <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=q5dB7Gf4bIoC&pg=PA46">"Continuum Mechanics"</a>. Springer. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20190611142849/https://books.google.com/books?id=q5dB7Gf4bIoC&pg=PA46">نسخة محفوظة</a> 11 يونيو 2019 على موقع <a href="/wiki/%D9%88%D8%A7%D9%8A_%D8%A8%D8%A7%D9%83_%D9%85%D8%B4%D9%8A%D9%86" title="واي باك مشين">واي باك مشين</a>. <span class="error mw-ext-cite-error" lang="ar" dir="rtl"><small>وسم <code><ref></code> غير صالح؛ الاسم "Irgens" معرف أكثر من مرة بمحتويات مختلفة.</small></span></span>
</li>
<li id="cite_note-Truesdell22-2"><span class="mw-cite-backlink"><b><a href="#cite_ref-Truesdell22_2-0">^</a></b></span> <span class="reference-text"><a href="#CITEREFTruesdellToupin1960">Truesdell & Toupin 1960</a></span>
</li>
<li id="cite_note-Chadwick22-3"><span class="mw-cite-backlink"><b><a href="#cite_ref-Chadwick22_3-0">^</a></b></span> <span class="reference-text">Peter Chadwick (1999), <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.ca/books?id=QSXIHQsus6UC&pg=PA95">"Continuum Mechanics: Concise Theory and Problems"</a>. Dover Publications, series "Books on Physics". (<span dir="rtl">ردمك <span dir="ltr"><a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/0-486-40180-4" title="خاص:مصادر كتاب/0-486-40180-4">0-486-40180-4</a></span></span>). pages <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20190218021219/https://books.google.ca/books?id=QSXIHQsus6UC&pg=PA95">نسخة محفوظة</a> 18 فبراير 2019 على موقع <a href="/wiki/%D9%88%D8%A7%D9%8A_%D8%A8%D8%A7%D9%83_%D9%85%D8%B4%D9%8A%D9%86" title="واي باك مشين">واي باك مشين</a>.</span>
</li>
<li id="cite_note-Fung22-4"><span class="mw-cite-backlink">↑ <a href="#cite_ref-Fung22_4-0"><sup><i><b>أ</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Fung22_4-1"><sup><i><b>ب</b></i></sup></a></span> <span class="reference-text">Yuan-cheng Fung and Pin Tong (2001) <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.ca/books?id=hmyiIiiv4FUC&pg=PA66">"Classical and Computational Solid Mechanics"</a>. World Scientific. (<span dir="rtl">ردمك <span dir="ltr"><a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/981-02-4124-0" title="خاص:مصادر كتاب/981-02-4124-0">981-02-4124-0</a></span></span>) <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20160308071026/https://books.google.ca/books?id=hmyiIiiv4FUC&pg=PA66">نسخة محفوظة</a> 8 مارس 2016 على موقع <a href="/wiki/%D9%88%D8%A7%D9%8A_%D8%A8%D8%A7%D9%83_%D9%85%D8%B4%D9%8A%D9%86" title="واي باك مشين">واي باك مشين</a>.</span>
</li>
<li id="cite_note-Smith22-5"><span class="mw-cite-backlink">↑ <a href="#cite_ref-Smith22_5-0"><sup><i><b>أ</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Smith22_5-1"><sup><i><b>ب</b></i></sup></a></span> <span class="reference-text">Smith & Truesdell p.97</span>
</li>
<li id="cite_note-Mase4-6"><span class="mw-cite-backlink">↑ <a href="#cite_ref-Mase4_6-0"><sup><i><b>أ</b></i></sup></a> <a href="#cite_ref-Mase4_6-1"><sup><i><b>ب</b></i></sup></a></span> <span class="reference-text">G. Thomas Mase and George E. Mase (1999), <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.ca/books?id=uI1ll0A8B_UC&pg=PA47">"Continuum Mechanics for Engineers"</a> (2nd edition). CRC Press. (<span dir="rtl">ردمك <span dir="ltr"><a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/0-8493-1855-6" title="خاص:مصادر كتاب/0-8493-1855-6">0-8493-1855-6</a></span></span>) <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20160308075237/https://books.google.ca/books?id=uI1ll0A8B_UC&pg=PA47">نسخة محفوظة</a> 8 مارس 2016 على موقع <a href="/wiki/%D9%88%D8%A7%D9%8A_%D8%A8%D8%A7%D9%83_%D9%85%D8%B4%D9%8A%D9%86" title="واي باك مشين">واي باك مشين</a>.</span>
</li>
<li id="cite_note-Liu2-7"><span class="mw-cite-backlink"><b><a href="#cite_ref-Liu2_7-0">^</a></b></span> <span class="reference-text">I-Shih Liu (2002), <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=-gWqM4uMV6wC&pg=PA43">"Continuum Mechanics"</a>. Springer (<span dir="rtl">ردمك <span dir="ltr"><a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/3-540-43019-9" title="خاص:مصادر كتاب/3-540-43019-9">3-540-43019-9</a></span></span>) <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20140928155332/http://books.google.com/books?id=-gWqM4uMV6wC&pg=PA43">نسخة محفوظة</a> 28 سبتمبر 2014 على موقع <a href="/wiki/%D9%88%D8%A7%D9%8A_%D8%A8%D8%A7%D9%83_%D9%85%D8%B4%D9%8A%D9%86" title="واي باك مشين">واي باك مشين</a>.</span>
</li>
<li id="cite_note-Wu2-8"><span class="mw-cite-backlink"><b><a href="#cite_ref-Wu2_8-0">^</a></b></span> <span class="reference-text">Han-Chin Wu (2005), <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=OS4mICsHG3sC&pg=PA45">"Continuum Mechanics and Plasticity"</a>. CRC Press. (<span dir="rtl">ردمك <span dir="ltr"><a href="/wiki/%D8%AE%D8%A7%D8%B5:%D9%85%D8%B5%D8%A7%D8%AF%D8%B1_%D9%83%D8%AA%D8%A7%D8%A8/1-58488-363-4" title="خاص:مصادر كتاب/1-58488-363-4">1-58488-363-4</a></span></span>) <a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20140626220410/http://books.google.com/books?id=OS4mICsHG3sC&pg=PA45">نسخة محفوظة</a> 26 يونيو 2014 على موقع <a href="/wiki/%D9%88%D8%A7%D9%8A_%D8%A8%D8%A7%D9%83_%D9%85%D8%B4%D9%8A%D9%86" title="واي باك مشين">واي باك مشين</a>.</span>
</li>
<li id="cite_note-Lubliner2-9"><span class="mw-cite-backlink"><b><a href="#cite_ref-Lubliner2_9-0">^</a></b></span> <span class="reference-text">Lubliner</span>
</li>
</ol>
<p><span class="error mw-ext-cite-error" lang="ar" dir="rtl"><small>المرجع "Hjelmstad" المذكور في <code><references></code> غير مستخدم في نص الصفحة.</small></span><br />
<span class="error mw-ext-cite-error" lang="ar" dir="rtl"><small>المرجع "Atanackovic" المذكور في <code><references></code> غير مستخدم في نص الصفحة.</small></span><br />
<span class="error mw-ext-cite-error" lang="ar" dir="rtl"><small>المرجع "Basar" المذكور في <code><references></code> غير مستخدم في نص الصفحة.</small></span><br />
<span class="error mw-ext-cite-error" lang="ar" dir="rtl"><small>المرجع "Mase" المذكور في <code><references></code> غير مستخدم في نص الصفحة.</small></span><br />
<span class="error mw-ext-cite-error" lang="ar" dir="rtl"><small>المرجع "Truesdell" المذكور في <code><references></code> غير مستخدم في نص الصفحة.</small></span><br />
<span class="error mw-ext-cite-error" lang="ar" dir="rtl"><small>المرجع "Chadwick" المذكور في <code><references></code> غير مستخدم في نص الصفحة.</small></span><br />
<span class="error mw-ext-cite-error" lang="ar" dir="rtl"><small>المرجع "Fung" المذكور في <code><references></code> غير مستخدم في نص الصفحة.</small></span><br />
<span class="error mw-ext-cite-error" lang="ar" dir="rtl"><small>المرجع "Liu" المذكور في <code><references></code> غير مستخدم في نص الصفحة.</small></span><br />
<span class="error mw-ext-cite-error" lang="ar" dir="rtl"><small>المرجع "Chen" المذكور في <code><references></code> غير مستخدم في نص الصفحة.</small></span><br />
<span class="error mw-ext-cite-error" lang="ar" dir="rtl"><small>المرجع "Hamrock" المذكور في <code><references></code> غير مستخدم في نص الصفحة.</small></span><br />
<span class="error mw-ext-cite-error" lang="ar" dir="rtl"><small>المرجع "Wu" المذكور في <code><references></code> غير مستخدم في نص الصفحة.</small></span><br />
<span class="error mw-ext-cite-error" lang="ar" dir="rtl"><small>المرجع "Chatterjee" المذكور في <code><references></code> غير مستخدم في نص الصفحة.</small></span><br />
<span class="error mw-ext-cite-error" lang="ar" dir="rtl"><small>المرجع "Jaeger" المذكور في <code><references></code> غير مستخدم في نص الصفحة.</small></span><br />
<span class="error mw-ext-cite-error" lang="ar" dir="rtl"><small>المرجع "Ameen" المذكور في <code><references></code> غير مستخدم في نص الصفحة.</small></span><br />
<span class="error mw-ext-cite-error" lang="ar" dir="rtl"><small>المرجع "Prager" المذكور في <code><references></code> غير مستخدم في نص الصفحة.</small></span><br />
<span class="error mw-ext-cite-error" lang="ar" dir="rtl"><small>المرجع "Atanackovic" المذكور في <code><references></code> غير مستخدم في نص الصفحة.</small></span><br />
<span class="error mw-ext-cite-error" lang="ar" dir="rtl"><small>المرجع "Chen" المذكور في <code><references></code> غير مستخدم في نص الصفحة.</small></span>
</p>
<ul class="bandeau-portail إعلام" id="bandeau-portail">
<li class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone" style="margin-right:1em"><a href="/wiki/%D8%A8%D9%88%D8%A7%D8%A8%D8%A9:%D8%A7%D9%84%D9%81%D9%8A%D8%B2%D9%8A%D8%A7%D8%A1" title="بوابة:الفيزياء"><img alt="أيقونة بوابة" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b4/P_physics.svg/31px-P_physics.svg.png" decoding="async" width="31" height="28" class="noviewer" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b4/P_physics.svg/47px-P_physics.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b4/P_physics.svg/62px-P_physics.svg.png 2x" data-file-width="400" data-file-height="360" /></a></span><span class="bandeau-portail-texte"><a href="/wiki/%D8%A8%D9%88%D8%A7%D8%A8%D8%A9:%D8%A7%D9%84%D9%81%D9%8A%D8%B2%D9%8A%D8%A7%D8%A1" title="بوابة:الفيزياء">بوابة الفيزياء</a></span></li>
<li class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone" style="margin-right:1em"><a href="/wiki/%D8%A8%D9%88%D8%A7%D8%A8%D8%A9:%D8%B9%D9%84%D9%85_%D8%A7%D9%84%D9%85%D9%88%D8%A7%D8%AF" title="بوابة:علم المواد"><img alt="أيقونة بوابة" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c8/Circle-icons-material-logo.svg/28px-Circle-icons-material-logo.svg.png" decoding="async" width="28" height="28" class="noviewer" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c8/Circle-icons-material-logo.svg/42px-Circle-icons-material-logo.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c8/Circle-icons-material-logo.svg/56px-Circle-icons-material-logo.svg.png 2x" data-file-width="512" data-file-height="512" /></a></span><span class="bandeau-portail-texte"><a href="/wiki/%D8%A8%D9%88%D8%A7%D8%A8%D8%A9:%D8%B9%D9%84%D9%85_%D8%A7%D9%84%D9%85%D9%88%D8%A7%D8%AF" title="بوابة:علم المواد">بوابة علم المواد</a></span></li>
<li class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone" style="margin-right:1em"><a href="/wiki/%D8%A8%D9%88%D8%A7%D8%A8%D8%A9:%D8%B9%D9%84%D9%85_%D8%B7%D8%A8%D9%8A%D8%B9%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D8%A3%D8%B1%D8%B6" title="بوابة:علم طبيعة الأرض"><img alt="أيقونة بوابة" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/PdP.png/32px-PdP.png" decoding="async" width="32" height="17" class="noviewer" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/PdP.png/48px-PdP.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/64/PdP.png/64px-PdP.png 2x" data-file-width="714" data-file-height="375" /></a></span><span class="bandeau-portail-texte"><a href="/wiki/%D8%A8%D9%88%D8%A7%D8%A8%D8%A9:%D8%B9%D9%84%D9%85_%D8%B7%D8%A8%D9%8A%D8%B9%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D8%A3%D8%B1%D8%B6" title="بوابة:علم طبيعة الأرض">بوابة علم طبيعة الأرض</a></span></li>
<li class="bandeau-portail-element"><span class="bandeau-portail-icone" style="margin-right:1em"><a href="/wiki/%D8%A8%D9%88%D8%A7%D8%A8%D8%A9:%D8%B9%D9%84%D9%88%D9%85_%D8%A7%D9%84%D8%A3%D8%B1%D8%B6" title="بوابة:علوم الأرض"><img alt="أيقونة بوابة" src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ec/P_globe.svg/31px-P_globe.svg.png" decoding="async" width="31" height="28" class="noviewer" srcset="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ec/P_globe.svg/47px-P_globe.svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ec/P_globe.svg/62px-P_globe.svg.png 2x" data-file-width="400" data-file-height="360" /></a></span><span class="bandeau-portail-texte"><a href="/wiki/%D8%A8%D9%88%D8%A7%D8%A8%D8%A9:%D8%B9%D9%84%D9%88%D9%85_%D8%A7%D9%84%D8%A3%D8%B1%D8%B6" title="بوابة:علوم الأرض">بوابة علوم الأرض</a></span></li></ul>
<!--
NewPP limit report
Parsed by mw1341
Cached time: 20190811062252
Cache expiry: 2592000
Dynamic content: false
Complications: []
CPU time usage: 0.404 seconds
Real time usage: 0.563 seconds
Preprocessor visited node count: 3044/1000000
Preprocessor generated node count: 0/1500000
Post‐expand include size: 19517/2097152 bytes
Template argument size: 6857/2097152 bytes
Highest expansion depth: 27/40
Expensive parser function count: 3/500
Unstrip recursion depth: 0/20
Unstrip post‐expand size: 13144/5000000 bytes
Number of Wikibase entities loaded: 1/400
Lua time usage: 0.068/10.000 seconds
Lua memory usage: 2.52 MB/50 MB
-->
<!--
Transclusion expansion time report (%,ms,calls,template)
100.00% 330.930 1 -total
47.63% 157.609 1 قالب:مقالة_غير_مراجعة
27.38% 90.610 5 قالب:تصنيف_صيانة_مؤرخ_لمقالة
26.52% 87.755 5 قالب:تصنيف_صيانة_مؤرخ
20.54% 67.961 1 قالب:Str_rightc
19.60% 64.866 1 قالب:Str_sub_long
15.36% 50.839 1 قالب:يتيمة
14.12% 46.720 1 قالب:شريط_بوابات
11.31% 37.429 1 قالب:مقالة_غير_مراجعة/تصنيف_حسب_النوع_من_ويكي_بيانات
7.72% 25.537 4 قالب:Str_index_any
-->
</div>' |
ما إذا كان التعديل قد تم عمله من خلال عقدة خروج تور (tor_exit_node) | false |
طابع زمن التغيير ليونكس (timestamp) | 1565504572 |