خوارزمية أقليدس

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
(بالتحويل من خوارزمية إقليدس)
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث
طريقة أقليدس لإيجاد القاسم المشترك الأكبر لعددين ابتُدأ بهما ممثلين بالقطعتين AB و CD، عُرفا كل منهما على أنهما مضاعفين لوحدة طول مشتركة. بما أن طول CD أقصر من AB، استعمل لقياس AB، ولكنه قاسه مرة واحدة لأن الباقي EA أصغر قطعا من CD. الآن، EA تقيس (مرتين) الطول الأقصر DC، حيث الباقي FC أقصر من EA. إذن، FC تقيس (ثلاث مرات) الطولEA. لأنه لم يبق أي باق، تتوقف العملية مع كون FC القاسم المشترك الأكبر. في اليمين، مثال نيكوماكوس مع الأعداد 49 و21 معطيا قاسمهما المشترك الأكبر مساويا لسبعة. (أُخذ من Heath 1908:300).

في الرياضيات، خوارزمية أقليدس (بالإنكليزية: Euclidean algorithm) هي طريقة فعالة تمكن من إيجاد القاسم المشترك الأكبر لعددين وهو أكبر عدد يقسم في نفس الوقت العددين معا بدون أي باق من القسمة. يُرمز له بالفرنسية ب PGCD وبالإنجليزية GCD. سميت هذه الخوارزمية هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الإغريقي أقليدس الذي وصف الخوارزمية لأول مرة في كتابه المعروف باسم الأصول (حوال عام 300 ق.م).


مثال[عدل]

القاسم المشترك الأكبر ل 48 و 60 هو 12.

القاسم المشترك الأكبر للعددين 252 و 198:

252 = 198 * 1 + 54 ‘ أربع وخمسون هو باقي قسمة 252 على 198

فنجد القاسم المشترك للعددين 198 و 54

198 = 54 * 3 + 36 ‘ ست وثلاثون هو باقي القسمة.

نكرر العملية هذه المرة مع : 54 و 36

54 = 36 * 1 + 18

مرة أخرى : 36 = 18 * 2 + 0

هنا وصلنا للصفر فيكون العدد الثاني 18 هو القاسم المشترك الأكبر.

الخلفية : القاسم المشترك الأكبر[عدل]

وصف الخوارزمية[عدل]

القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين A، B يساوي القاسم المشترك الأكبر للعدد الثاني B وباقي قسمة A على B، ونكرر العملية نفسها حتى يصبح باقي القسمة مساويا الصفر، عندئذ يكون القاسم المشترك الأكبر هو العدد الآخر. حيث r هو باقي قسمة A على B.

N هو القاسم المشترك الأكبر.

التطور التاريخي[عدل]

"Depiction of Euclid as a bearded man holding a pair of dividers to a tablet."
من المحتمل أن تكون الخوارزمية الإقليدية قد اكتشفت قرونا قبل إقليدس. بين هنا حاملا ل dividers

خوارزمية أقليدس هي واحدة من أقدم الخوارزميات الجارية الاستعمال. ظهرت في كتاب الأصول لإقليدس (في حوالي عام 300 قبل الميلاد).

تطبيقات رياضياتية[عدل]

متطابقة بوزو[عدل]

تنص متطابقة بوزو على أن القاسم المشترك الأكبر g لعددين a و b يمكن أن يمثل مجموعا خطيا للعددين a و b؛ أي أنه يوجد عددان، s و t حيث يتوفر ما يلي:

الخوارزمية الإقليدية الممتدة[عدل]

یمكن تمثیل القاسم المشترك الأكبر للعددین عن طریق دمج خطي مع عددین آخرین ،

كیف یمكن أیجاد قیمتي n و m وذلك عن طریق خوارزمیة اقلیدس الممتدة وهناك ثلاثة طرق لمعرفة هذه القیم (الطرق هي مشابه لبعض، لكن یمكن القول أنها مختصره من الأخریات). الطريقة الأولى: وهي يمكن ان نطلق عليها التراجع وفي هذه الطريقة نقوم بالحل عن طريق خوارزمية اقليدس وبعدها تقول بالتراجع الخلفي لايجاد قيمتي m،n كما في المثال التالي: مثال: قم بتمثيل العددين 26 و 21 بطريقة اقليدس الممتدة : فنبدأ بالحل كما هو الحال في طريقة اقليدس : 26 = 1* 21 + 5 و 21 = 4 * 5 + 1 و 5 = 5 * 1 + 0 وتتوقف عند الصفر. الآن المعادلة التي قبل المعادلة التي باقيها صفر أي المعادلة الثانية نقوم بكتابتها بالشكل التالي :

أیضا المعادلة الأولى بنفس الشكل :

في المعادلتين السابقتين

1 = 21 – 4 * (26 – 1 * 21)

ومن غیر أجراء عملیة حسابیة، فقط نفك القوس لینتج : 1 = 21 -4*26 +4*21 1=21(1+4)-4*26 حيث 21 عامل مشترك لیكون لدینا الناتج النهائي : 4*21 +21

1 = 5*21 + (-4)*26 نتاكد من النتيجة 5*21+ -4*26 والناتج يساوي واحد إذاً المعادلة صحيحة

اذاً قيمة m هي 5 وقيمة n هي -4.

طريقة المصفوفات[عدل]

المعادلات الديوفانتية الخطية[عدل]

يمكن لخوارزمية أقليدس أيضا أن تستعمل من أجل حلحلة العديد من المعادلات الديوفانتية الخطية. تظهر واحدة من هده المعادلات في مبرهنة الباقي الصيني.

مبرهنة الباقي الصيني[عدل]

مبرهنة الباقي الصيني

شجرة ستيرن-بروكوت[عدل]

شجرة ستيرن-بروكوت، و متتاليات ستيرن-بروكوت من الرتبة i حيث i = 1، 2، 3، 4.

انظر شجرة ستيرن-بروكوت.

الكسور المستمرة[عدل]

الفعالية الخوارزمية[عدل]

"A set of colored lines radiating outwards from the origin of an x-y coordinate system. Each line corresponds to a set of number pairs requiring the same number of steps in the Euclidean algorithm."
عدد الخطوات المطلوبة في الخوارزمية الإقليدية لحساب القاسم المشترك الأكبر(x،y). النقط الحمراء تدل على عدد صغير نسبيا من الخطوات (سريع)، بينما النقط الصفراء والخضراء والزرقاء تدل على عدد أكبر على التوالي من النقط (بطيء). The largest blue area follows المستقيم y = Φx، حيث Φ يمثل النسبة الذهبية.

دُرست فعالية خوارزمية أقليدس بشكل كثيف. تتمثل هذه الفعالية في عدد الخطوات اللازمة من أجل إيجاد القاسم المشترك الأكبر المراد حسابه. أول تحليل لفعالية الخوارزمية يرجع إلى العالم غيينو، (كان ذلك عام 1811)، حيث أثبت أنه أثناء حساب القاسم المشترك الأكبر للعددين u و v، عدد الخطوات اللازمة، لا يمكن أن يتجاوز v. وزاد فيما بعد هذا البرهانَ دقة عندما برهن أن هذا العدد لا يمكن أن يتجاوز v/2 +2.

انظر إلى بيير جوزيف إتيان فينك وإلى إيميل ليجي وإلى غابرييل لامي.

في النظم العددية الأخرى[عدل]

الأعداد الجذرية والأعداد الحقيقية[عدل]

متعددات الحدود[عدل]

الأعداد الطبيعية الغاوسية[عدل]

"A set of dots lying within a circle. The pattern of dots has fourfold symmetry، i.e.، rotations by 90 degrees leave the pattern unchanged. The pattern can also be mirrored about four lines passing through the center of the circle: the vertical and horizontal axes، and the two diagonal lines at ±45 degrees."
توزيع الأعداد الطبيعية الغاوسية u + vi في المستوى العقدي، من معايير u2 + v2 أصغر من 500

المجالات الإقليدية[عدل]

الحلقات غير التبادلية[عدل]

تعميمات إلى بُنى رياضياتية أخرى[عدل]

"A cord wound seven times around a torus and reconnected to its beginning، forming a closed loop. In the process، the cord completes three circuits of the torus، forming a (3، 7) torus knot."
يمكن أن تطبق الخوارزمية الإقليدية في نظرية العقد.[1]

مراجع[عدل]

  • من كتاب مقدمة في التشفير بالطرق الكلاسيكية
  1. ^ Yamada Y (2007). "Generalized rational blow-down، torus knots، and Euclidean algorithm". arXiv:0708.2316Freely accessible [math.GT]. 

وصلات خارجية[عدل]