خوارزمية كارماركر

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث

خوارزمية كارماركر هي خوارزمية قدمها ناريندرا كارماركر في عام 1984 لحل مسائل البرمجة الخطية . كانت أول خوارزمية ذات كفاءة معقولة لحل هذه المسائل في زمن متعدد الحدود . طريقة الإهليلجي هي أيضا متعددة الحدود لكنها أثبتت أنها غير فعالة عمليا.

بجعل تدل على عدد المتغيرات و على عدد وحدات بت في مدخلات الخوارزمية، خوارزمية كارماركر تحتاج إلى عملية على خانات , في المقابل تحتاج إلى عمليات بخوارزمية الاهليجي.

بالتالي زمن تشغيل خوارزمية كارماركر هو:

باستخدام الضرب القائم على FFT (انظر رمز O الكبير ).

تندرج خوارزمية كارماركر ضمن فئة أساليب النقاط الداخلية : لا يتبع التخمين الحالي للحل حدود المجموعة الممكنة كما هو الحال في طريقة simplex ، لكنه يتحرك بداخل المنطقة الممكنة، مما يحسن تقريب الحل الأمثل بكسر واضح مع كل التكرار، والوصول إلى الحل الأمثل مع البيانات المنطقية. [1]

الخوارزمية[عدل]

بالنظر في مشكلة البرمجة الخطية في شكل المصفوفة:

Maximise cTx
.Axb Subject to

تحدد خوارزمية كارماركر الاتجاه التالي الممكن إلى المثالية وتوازن بمعامل 0 < γ ≤ 1 .[2][3][4][5]

وسع كامارك الطريقة [6][7][8][9] ، لتحل مسائل بقيود اعداد صحيحة والمسائل غير المحدبة.[10]


Input: A, b, c, , stopping criterion, γ.

 
 
do while stopping criterion not satisfied


  


  


  


  


  if  then


    return unbounded


  end if


  


  


  


 end do

مثال[عدل]

مثال الحل

بالنظر في البرنامج الخطي

حيث يوجد متغيرين و 11 قيود مرتبطة باختلاف قيم . يوضح هذا الشكل كل تكرار للخوارزمية كنقاط حمراء. وتظهر القيود كخطوط زرقاء.

جدل براءات الاختراع[عدل]

في الوقت الذي ابتكر فيه الخوارزمية، توظف كامارك بواسطة آي بي إم كزميل لما بعد الدكتوراه في مختبر أبحاث سان خوسيه في كاليفورنيا. في 11 أغسطس 1983 ، ألقى ندوة في جامعة ستانفورد لشرح الخوارزمية، وانتمائه لا يزال مدرجًا باسم آي بي إم. بحلول خريف عام 1983 ، بدأ كارماركر العمل في إيه تي آند تي وقدم مقالته إلى Symposium on Theory of Computing ACM لعام 1984 حول نظرية الحوسبة (STOC ، التي عقدت في 30 أبريل - 2 مايو 1984) موضحًا أن انتمائه لمختبرات بيل لإيه تي آند تي . بعد تطبيق الخوارزمية على تحسين شبكة هاتف إيه تي آند تي، [11] أدركوا أن اختراعه يمكن أن يكون ذا أهمية عملية. في أبريل 1985 ، تقدمت إيه تي آند تي بطلب للحصول على براءة اختراع على خوارزمية كارماركر.

المراجع[عدل]

  • Adler, Ilan; Karmarkar, Narendra; Resende, Mauricio G.C.; Veiga, Geraldo (1989). "An Implementation of Karmarkar's Algorithm for Linear Programming". Mathematical Programming. 44 (1–3): 297–335. doi:10.1007/bf01587095. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  • ناريندرا كارماركار (1984). " خوارزمية زمنية جديدة متعددة الحدود للبرمجة الخطية " ، Combinatorica ، المجلد 4 ، العدد. 4 ، ص.   373 – 395.
  1. ^ Strang, Gilbert (1 June 1987). "Karmarkar's algorithm and its place in applied mathematics". The Mathematical Intelligencer. 9 (2): 4–10. doi:10.1007/BF03025891. ISSN 0343-6993. MR = 0883185 0883185. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link)
  2. ^ A new polynomial-time algorithm for linear programming نسخة محفوظة 14 فبراير 2019 على موقع واي باك مشين.
  3. ^ Karmarkar, N. (1984). "A new polynomial-time algorithm for linear programming". Combinatorica. 4 (4): 373–395. doi:10.1007/BF02579150. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  4. ^ Karmarkar, Narendra K. (1989). "Power Series Variants of Karmarkar-Type Algorithms". AT&T Technical Journal. 68 (3): 20–36. doi:10.1002/j.1538-7305.1989.tb00316.x. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  5. ^ Karmarkar N. K., Lagarias, J.C., Slutsman, L., and Wang, P., Power Series Variants of KarmarkarType Algorithm, AT & T technical Journal 68, No. 3, May/June (1989).
  6. ^ Karmarkar, N.K., Interior Point Methods in Optimization, Proceedings of the Second International Conference on Industrial and Applied Mathematics, SIAM, pp. 160181 (1991)
  7. ^ Karmarkar, N. K. and Kamath, A. P., A continuous Approach to Deriving Upper Bounds in Quadratic Maximization Problems with Integer Constraints, Recent Advances in Global Optimization, pp. 125140, Princeton University Press (1992).
  8. ^ 26. Karmarkar, N. K., Thakur, S. A., An Interior Point Approach to a Tensor Optimisation Problem with Application to Upper Bounds in Integer Quadratic Optimization Problems, Proceedings of Second Conference on Integer Programming and Combinatorial Optimisation, (May 1992).
  9. ^ 27. Kamath, A., Karmarkar, N. K., A Continuous Method for Computing Bounds in Integer Quadratic Optimisation Problems, Journal of Global Optimization (1992).
  10. ^ Karmarkar, N. K., Beyond Convexity: New Perspectives in Computational Optimization. Springer Lecture Notes in Computer Science LNCS 6457, Dec 2010
  11. ^ Sinha L.P., Freedman, B. A., Karmarkar, N. K., Putcha, A., and Ramakrishnan K.G., Overseas Network Planning, Proceedings of the Third International Network Planning Symposium, NETWORKS' 86, Tarpon Springs, Florida (June 1986).