دائرة

  هذه المقالة عن شكل هندسي مُستوٍ. لمعانٍ أخرى، طالع دائرة (توضيح) ودائري (توضيح) ودوار (توضيح) ودورة (توضيح) ودويرة (توضيح).

  ميّز عن مدار دائري ودورة.

دائرة

رسم توضيحي للدائرة، يُوضِّحُ القطرَ ونِصفَ القطرِ والوترَ وقوساً منها والمحيطَ.

معلومات عامة

النوع	القائمة ... منحني ريباكور — محل هندسي — قطع ناقص — وردة — هايبرسفير — قطع مخروطي — شكل هندسي
الحواف	حافة واحدة
أويلر	0
مساحة السطح	ط نق2 أو $\pi r^{2}$
المحيط	2ط نق أو $2\pi r$
قياس زاوية ثنائية السطح	عديمة الزَّوايا.
الخصائص	مُنحنىً.

في الهَندسِةِ الرّياضِيّةِ، الدَّائرَة هي شكلٌ هَندَسيٌّ مُستوٍ، تُعرَّفُ على أنّها المحلُّ الهندسيُّ لنقاطِ تقع على سطح مُستوٍ وتَبعدُ بُعداً ثابتاً من نقطةٍ ما. تُسمَّى هَذه المجمُوعةُ غَيرُ المُنتَهيةِ من النقاطِ مُحيط الدائرةِ أو «المُحيطُ» اختصاراً. بينما النُّقطةُ الثابتةُ تُسمَّى مركزَ الدائرةِ. وأخيراً، تُسمّى المَسافةُ من أيِّ نُقطَةٍ على المُحيطِ إلى المركزِ نصفَ قُطْرِ أو شعاعاً، والقطرُ هو قِطعةٌ مُستقيمةٌ تمرُ بمركز الدائرة وتصل بين نقطتين على المحيط. تُصنُّفُ الدائرةُ على أنَّها قطعٌ ناقصٌ تلاشت بؤرتاهُ في نُقطةٍ واحدة أو قطع مخروطي مُنعدِمُ الاختلافِ المركزيّ؛ وعلى ذلك، فإنَّ الدائرةَ قطعٌ مخروطيٌّ ينتج عن تقاطع المخروط مع مستوىً مُوازٍ لقاعدتهِ. كما عُرِّفتِ الدائرةُ بوصفها مُضلَّعاً مُنتظماً لانهائي الأضلاع.

ارتبطتِ الدائرةُ قديماً بالعديدِ منِ المسائل الرياضية، كما أنَّ لها ارتباطاً وثيقاً ببقيةِ الأشكالِ الهندسيّةِ من الزوايا والقطعِ المستقيمةِ والمُضلّعاتِ. يُطلق على المُضلعات التي توجَدُ دائرةٌ تُحيطها صفة «الدائرية»، أي أنَّ رؤوسَها مُشتَرِكَةٌ بِدَائِرَةٍ. ولهذهِ المُضلعاتُ قوانينُ ومبرهناتٌ خاصّةٌ تنطبق عليها. كانت الدائرةُ محطَّ اهتمامٍ بالأخصِّ عِندَ الإغريقِ القدماء. يَنتُجُ عن قِسْمَةِ طولِ مُحيطِ الدّائرةِ على طولِ قطرِها الثّابت الرّياضي $\pi$ أو ط. وقد ابتكر أَرْخَمِيدِس طريقةً لتقريبِ قيمة $\pi$ عبر حصر الدائرة بين مُضلّعين وحَاوَلَ -في مسألةٍ عُرفَت بمسألة «تربيع الدائرة»- تَحويلَ الدّائرةِ إلى مربعٍ ذي المِساحَةِ ذاتها باستِعْمالِ فِرْجَارٍ ومَسطَرَةٍ فقطْ ولكنّه فشلَ في ذلك. قاسَ أبولونيوس وغياث الدين الكاشي قيمة $\pi$ بدقةٍ عاليةٍ. وحَاولَ المَصريُّونَ القُدماءُ والبابليّون إيجادَ مساحةِ الدائرةِ. تُحسَبُ مساحةُ الدائرةِ بضرب $\pi$ في مُربَّعِ نصف قطرها. وتختصُّ الدائرةُ عن غيرها من الأشكال الهندسية الأخرى بأنَّ لها أكبر مساحةٍ بالنِّسبةِ لطولِ مُحيطِها.

وضع فلاسفة الأغريق القدماء نموذج مركزية الأرض الذي استندوا فيه على أنَّ الأرض كرةٌ تقع في مركز الكونِ والسماوات وتدور حولها بقية الأجرام السماوية في دوائرَ. وعندما قدَّم نيكولاس كوبرنيكوس نظرية مركزية الشمس، اعتبر أن نسيج الكون يتكون من حلقات دائرية حول الشمس. إلى أن توصَّلَ كيبلر إلى حقيقة شكل مدارات الأجرام السماوية، وهي قطوع ناقصة بدلاً من كونها دوائرَ، وحدد نيوتن الشروط التي يجب أن تتوفر في الجسم حتى يحذو مساراً دائرياً.

تُعتبرُ الدائرةُ أحد أكملِ الأشكال الهندسية وأكثرها مثاليةً، وكان لها أهميَّة في التقنية والفنون والأديان والثقافات. تُرسَمُ الدوائرَ باستعمال الفرجار. والفرجار هو الأداة الوحيدة إلى جانب المسطرة المسموح باستخدامها في الهندسة الإقليدية؛ وهذا ما جعلها تُسمَّى «هندسة المسطرة والفرجار». تربيع الدائرة، تثليث الزاوية ومضاعفة المُكعَّب كانت من أبرز المسائل الرياضية والمواضيع التي حاول فيها الرياضيون على مر التاريخ، إلى أن أثبت بيير وانتزل وفيردينوند فون ليندمان استحالة تِلكُمُ المسائل.

القُطوعُ المخروطيَّةُ

هذه المقالةُ جزءٌ من سلسلةِ القطوع المخروطية
قطع مكافئ
المعادلة	$y^{2}=4ax\,$
الانحراف المركزي($e$)	$1\,$
البعد البؤري($l$)	$2a\,$
قطع زائد
المعادلة	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$
الانحراف المركزي ($e$)	${\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$
البعد البؤري($l$)	${\frac {b^{2}}{a}}$
قطع ناقص
المعادلة	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$
الانحراف المركزي ($e$)	${\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$
البعد البؤري ($l$)	${\frac {b^{2}}{a}}$
دائرة (حالة خاصة من القطع الناقص)
المعادلة	$x^{2}+y^{2}=a^{2}\,$
الانحراف المركزي ($e$)	$0$
البعد البؤري ($l$)	$a$
• • •

مصطلحات أساسية

يُرمز للدائرة التي مركزها النقطة $O$ ونصف قطرها $r$ رياضيَّاً بالرموز: «$C(O,r)$» و«$\odot C$» أو يُكتَفى بذكر «الدائرة $O$» للإشارة إليها. ويُرمز لها في الترميز العلمي العربي بحرف «د»

جدول مصطلحات الدائرة الأساسية

المصطلح	التّعريف	الترميز العربي	التّرميز اللاتيني	ملاحظة
مركز	نقطة ثابتة تبعد البعد نفسه عن جميع النقاط الواقعة على المحيط.	م	$O$ أو $M$
محيط	مسار المحل الهندسي لنقطة مُتحرّكة في مستوٍ تبعد بعداً ثابتاً عن المركز.	مح	$C_{O}$
مساحة	منطقة السطح المحصور بمحيط الدَّائرة.	م	$A$
نصف قطر	أو الشعاع: قطعة مستقيمة تصل بين المركز وأي نقطة واقعة على المحيط.	نق	$r$
وتر	قطعة مستقيمة تصل بين أي نقطتين على محيط الدائرة.
قطر	وتر مار بمركز الدائرة.	ق	$d$

جدول مصطلحات قِطَع وجُزئيّات الدائرة

الجزء	التّعريف	الرمز	صورة
قوس	جزء متّصل من محيط الدائرة.	︵
قطاع	مساحة منحصرة بين نصفي قطر وقوسٍ واصلٌ بينهما.	⌔
قطعة	مساحة منحصرة بين وتر وقوسٍ يحصره.	⌓
قرص	مساحة تحصرها دائرة.
نصف قرص	مساحة منحصرة بين قطر وقوسٍ يحصره.

التعريف

تعودُ تسمية وتعريفُ الدائرةِ في بعض اللغات إلى أشكال كانت في الطبيعة أو صنعها الإنسان كالخواتم، الحلقات والعجلات، بينما في اللّغة العربيّةِ، تعود لفظة «دائرة» إلى الفعل «دار» أو الجذر «د ور»، والدائرة هي ما أحاط بالشّيء وتعني أيضاً «الحلقة». جاء في لسان العرب لابن منظور: «دار الشيء، يدور دَوراً ودَوَراناً، واستدار، وأدرتُه أنا. والدهر دوَّار بالإنسان. وتدوير الشيء جعله مدوّراً، وفي الحديث: إن الزمان قد استدار كهيئته يوم خلقَ الله السموات والأرض. استدار بمعنى إذا طاف حول الشيء، وإذا عاد إلى الموضع الذي ابتدأ منه...». يضيف ابن منظور: «والدائرة والدارة كلاهما: ما أحاط بالشيء. والدارةُ: دارة القمر التي حوله، وهي الهالة. ودارت عليه الدوائر: أي نزلت به الدواهي، والدائرة: الهزيمة والسوء، يقال: عليهم دائرة السوء... والدَّوَّار والدُّوَّار من أسماء البيت الحرام، لأنهم يطوفون به في شبه دائرة...». وفي اللّغة الإنجليزيّة يعود أصل تسمية الدائرة (بالإنجليزية: Circle)‏ إلى الكلمة الإغريقيّة κίρκος/κύκλος (تُنطق: كيركوس/كوكلس) المُحرَّفة من الكلمة الإغريقية الهومرية κρίκος (كريكوس)، والتي تعني «الطّوق» أو«الخاتم».

وفقاً لتعريف الدّائرة الذي ينصُّ على أنها مجموعة نقاط على مستوى واحد تبعد البعد ذاته عن نقطة ثابتة ما، فَيُمكِنُ إعادةُ صياغةِ التّعريفِ إلى أنَّ الدائرة هي منحنى مغلق أحادي البُعد، وبشكل مكافئ هي مُنحنى ترسمه نّقطةٌ متحرّكة تبعد بُعداً ثابتاً عن نقطة ثابتةٍ أخرى. وكونها كذلك فهي تقسم المستوى إلى جزأين: داخل الدائرة وخارجها. في الاستعمال اليومي المتداول، قد يستعمل مصطلح «دائرة» للإشارة إلى محيط الدائرة، كما أنه قد يستعمل للإشارة إلى ما يوجد بداخل الدائرة؛ لكن في الاستعمال التّقني الدّقيق، الدائرة هي المحيط فقط ويُسمّى ما داخلها قُرصاً. غالباً ما يُفرّق الرَّياضيُّونَ بين السطح الدائري المغلق أو القرص والسطح الدائري المفتوح (يُسمّى بالدائرة الداخلية) اعتماداً على وقوع خط الدائرة في الاعتبار من عدمه.

تعريف إقليدس

طالع أيضًا: إقليدس

عرَّف إقليدس الدائرة في كتابه: الأصول، كما يأتي:

الدّائرة هي شكلٌ مُسطّحٌ يَحصُرُه خطُ واحدٌ، بحيث تكونُ جميعُ القطعِ المستقيمةِ مرسومةً من نقطةٍ مُعيّنة داخلها إلى الخط الحاصر مُتساوية. فإن الخط الحاصر يُسمّى مُحيطاً والنقطة المُعيّنة تُسمّى مركزاً

يُعبِّرُ الرياضيون عن تعريف إقليدس للدائرة أيضاً باستخدام نظرية المجموعات على النحو الآتي:

تعريف إقليدس في نظرية المجموعات — إذا وقعت النقطة $O$ على المستوى $E$ فإن الدائرة $C$ التي مركزها $O$ ونصف قطرها $r$ هي مجموعة جميع النقاط $M$التي تنتمي إلى المستوى $E$، وتبعد عن النقطة $O$ مسافةً مقدارها $r$.

ويمكن صياغة التعريف السابق رياضيَّاً بالشكل التالي:

$$C(O,r)=\left\{M\in E~:~{\overline {OM}}=r\right\}$$

تعريف أبولونيوس

تعريف أبولونيوس للدائرة.

المقالات الرئيسة: دوائر أبولونية ومبرهنة منصف الزاوية

أثبت أبولونيوس أن الدائرة بالإمكان التعبير عنها على أنها المحل الهندسي لجميع النقاط التي نسبة بعدها عن نقطتين ثابتتين ثابتة. أو رياضياً: بفرض أنَّ $A,B$ نقطتين ثابتتين على المستوى، فإنَّ الدائرةَ التي بُؤرَتَيْها $A,B$ هي المحل الهندسي لجميع النقاط $P$ التي تُحقِّقُ أنَّ:
$${\frac {|AP|}{|BP|}}={\frac {|AC|}{|BC|}}$$النسبة التبادلية لدائرة

إسقاط النسب التبادلية من خط مستقيم إلى دائرة والعكس بمركزِ إسقاطٍ يقعُ على الدائرةِ. تُمثِّلُ نقاطُ التقاطُعِ رباعياً توافقياً.

النقاط $A,B,C,D$مع $A',B',C',D'$ مرتبطةٌ معاً تحت تحويلٍ إسقاطيّ. لذا فإن نسبتهم التبادلية ثابتة. وبمعنىً آخر، فإنَّ أي خط آخر (بالأحمر) يقطع الخطوط السوداء فإنه يحمل نفس النسبة التبادلية.

تُعرف النسبة التبادلية للقطعتين المستقيمتين ${\overline {AC}},{\overline {BD}}$ أو لرباعية النقاط $A,B,C,D$ المتسامتة على الترتيب: $(A,B;C,D)={\frac {AC\cdot BD}{BC\cdot AD}}$ حيث أنَّ النّسب نسبٌ مُوجّهةٌ. وتُعمم النسبة التبادلية لتشمل الدائرة بتعريف المستوى العقدي بالصيغة الآتية: $(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})={\frac {(z_{3}-z_{1})(z_{4}-z_{2})}{(z_{3}-z_{2})(z_{4}-z_{1})}}.$. إذا كانت النقاط $A,C,B$ مُتسامتةً في المستوى العقدي كما الشكل، فإنَّ دائرة أبولونيوس لهذه الثلاث نقاط هي مجموعة النقاط $P$ التي تحقق أن معيار النسبة التبادلية مساوية لواحد.$|[A,B;C,P]|=1.\$. بمعنىً آخر: $P$ هي نقطة على دائرة أبولونيوس للنقاط $A,C,B$ إذا وفقط إذا كان معيار النسبة التبادلية $[A,B;C,P]$ مساوياً للواحد.

تُعرّفُ النقطة $D$ على أنّها المرافق التوافقي للنقطة $C$ بالنسبة لـ$A$ و$B$. إذا كانت النسبة التوافقية للنقاط الأربع تساوي $-1$. وتُسمَّى حينئذٍ نسبةً توافقية. ونتيجةً لذلك، فإنَّ النسبة التبادلية بالإمكان اعتبارها على أنها مدى بُعدِ الأربع نقاط عن النسبة التوافقية. النسبة التبادلية مُعرّفة منذ القِدَم، حيث يرجّح أن إقليدس هو أوّل من ذكرها، كما استعملها ببس الرومي الذي لاحظ خاصيّة ثباتها تحت التحويلات الخطية. فالنسبة التبادلية لأيِّ قطعةٍ مُستقيمةٍ تقطع 4 مستقيمات متلاقية هي ثابتة. بشكلٍ مُكافئ، يُعرّفُ ذلكَ في الهندسة الإسقاطية على أنَّ النسبة التبادلية ثابتةٌ تحت أي تحويلٍ خطيٍ كسريٍ. في تعريفِ أبولونيوس للدائرة، تُسمَّى الخطوط ${\overleftrightarrow {PA}},{\overleftrightarrow {PB}},{\overleftrightarrow {PC}},{\overleftrightarrow {PD}}$ «حُزمة توافقية» وهي كل مجموعة خطوط متلاقية نسبتها توافقية (أي: نسبتها التبادلية تساوي $-1$). إنَّ نقاطَ تقاطعِ دائرةٍ مع حُزمةٍ توافقيةٍ رأسها $P$ يقع على الدائرة أيضاً يُنتجُ رباعياً توافقياً.

تعريف الدائرة المعممة

في الهندسة التعاكسية، تتحول الدائرة الزرقاء المارّةُ بالدائرةِ الحمراءِ بعدَ التعاكسِ إلى دائرةٍ مُعممةٍ (الخط المُستقيم الأخضر).

في حال ما كانت $C$ منتصف القطعة ${\overline {AB}}$ فعندئذٍ يُسمّى المحل الهندسي للنقاط $P$ التي تحقق الشرط أعلاه، «دائرة مُعمّمة». الدائرة المعممة قد تكون دائرةً فعليةً وقد تكون خطاً مُستقيماً. وبهذا، فإنَّ التعريف المعمم للدائرة يضمُّ الخطَّ المستقيمَ على أنه دائرة مركزها هو نقطة في اللانهاية أو دائرة ذات نصف قطر لانهائي. وتستعمل فروع هندسة أخرى كالهندسة التعاكسية والهندسة الإسقاطية في المستوى العقدي هذا التعريف للدائرة على أنها خط مستقيم. هُناك أيضاً إعادة تعريف للنقطة على أنَها دائرةٌ مُنعدمة. يُستعمل هذا التعريف افتراضياً في المسائل المتعلقة بالمحور الأساسي.

تأويل لانهائي

المقالة الرئيسة: نهاية (رياضيات)

سلسلة من مضلعات منتظمة محصورة داخل دائرة. لاحظ أنه بازدياد عدد الأضلاع يقترب المُضلع شيئاً فشيئاً من أن يكون دائرةً.

بالإمكان تعريف الدائرة على أنها مُضلّعٌ منتظمٌ بنصف قطر مماسي (بالإنجليزية: Inradius)‏ يُرمز إليه بالرمز $r$ أو نصف قطر محيطي (بالإنجليزية: Circumradius)‏ يُرمز إليه بالرمز $R$ باعتبار أن عدد أضلاع المضلع المنتظم يؤول إلى اللانهاية. بناءً على هذا التعريف بالإمكان اشتقاق طول محيط المضلع عبر العلاقة الجبرية الآتية: $${\begin{aligned}C=\lim _{n\to \infty }2rn\tan {({\tfrac {\pi }{n}})}=2\pi r\\=\lim _{n\to \infty }2Rn\sin {({\tfrac {\pi }{n}})}=2\pi R\end{aligned}}$$والمساحة، عبر العلاقة:$${\begin{aligned}A=\lim _{n\to \infty }nr^{2}\tan {({\pi }{n})}=\pi r^{2}\\=\lim _{n\to \infty }{\tfrac {1}{2}}nR^{2}\sin {({\tfrac {2\pi }{n}})}=\pi R^{2}\end{aligned}}$$والنتيجتان تظهران مُتساويتين سواءً باستخدام نصف القطر المماسي أو نصف القطر المحيطي، لأن نصفي القطرين يؤولان للقيمة نفسها عند المالانهاية.

الدائرة بوصفها حالة حدية

تُوصف الدائرة على أنها حالة حدية خاصة باستعمال أكثر من مُقاربةٍ رياضيةٍ: من أشهرها هي وصفها قطعاً مخروطيّاً. تُصنّف الدائرة على أنها بيضاوي ديكارتي، نسبةً إلى رينيه ديكارت، وهو منحنى مستو ومجموعة النقاط في المستوى التي لها نفس التركيب الخطي (ويُعبّر عنه أيضاً بمجموعٍ موزونٍ) بالنسبة لنقطتين ثابتتين في المستوى. وهي بذلكَ حالةٌ خاصّةٌ منه تكون عند انعدام أحد الأوزان وتؤوُّلِه للصفر. البيضاوي الفائق هو مجموعة نقاط في المستوى تحقق: $\left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1$ حيث أنَّ $n,a,b$ أعدادٌ مُوجبة. تُعرَفُ «الدّائرةُ الفائقة» على أنها بيضاوي فائق يكون فيه $a=b$. والدّائرةُ هي حالةٌ خاصّة من الدائرة الفائقة تكون عندما $n=2$.

القطوع المخروطية

تُوصَفُ الدائرةُ باعتبارها حالةً خاصةً من القطع الناقص، حيث تكونُ حينَ تنطبقا البؤرتان معاً لِتُكوِّنَ مركزَ الدّائرةِ؛ حينئذٍ، يكون الاختلاف المركزي مُساوٍ للصفر ($e=0$) ويتساوى المحور الأكبر مع المحور الأصغر ليُكوِّنا قُطرَيْ الدائرةِ. وعلى الوجه المقابل فهي قطع مخروطي ينتج من تقاطع مخروط قائم مع مستوى عمودي على محوره.

استيفاء المساحة

إن كان الشكلُ مقعراً، فبالإمكانِ زيادةُ مساحَتِه دون تغييرِ مُحيطه بأن يُطوَ جزؤه المقعّر ليكون مُحدّباً.

إذا كان الشكل مُمَطّطاً، فبالإمكانِ جعله أكثر استدارةً وبذلك زيادة مساحته دون تغيُّرٍ يطرأُ على طولِ مُحيطِه.

تعود مسألة المحيط الثابت إلى القِدمِ، وتصاغ كالآتي: «من بين جميعِ المُنحنياتِ المُغلَقةِ ذات مُحيطٍ مُعطىً، أيُّها يجعلُ مساحتها أكبر ما يُمكن؟» وُجِدَ أنّ هذه المسألةَ مُكافئةٌ لمسألة شبيهة: «من بين جميع المنحنيات المُغلقة ذات مساحةٍ مُعطاةٍ، أيُّها يجعلُ محيطَها أكبرُ ما يُمكن؟». وتختصُّ الدائرةُ بأنها الحل لهذا المسألة. إذ توصف على أنَّها الشكلُ الذي يحصر أكبر مساحةٍ نسبةً إلى طول مُحيطه.

ترتبط هذه المسألةُ بمفهومِ مبدأِ الفعلِ الأدنى في الفيزياء، والذي بالإمكان صياغته على الصورة: ما «الفعلُ الذي يجعل المساحة أكبر ما يُمكن بأقلّ جهدٍ ممكن؟» على الرغم من أنَّ الدائرةَ كانت الحل الأوضح لهذه المسألة، إلا أنّ إثباتَ ذلكَ كان صعباً. أوّل محاولة أنَجَزَتْ في السؤالِ كانت سنة 1838م عندما استعمل المهندس الرياضياتي السويسري ياكوب شتاينر طريقةً هندسيةً أُسميَت لاحقاً بطريقةِ شتاينر للاستنظار. أثبت شتاينر أنَّه إذا وُجِدَ حلٌّ لهذه المسألةِ فلا بُدّ وأن يكون دائرةً. استئنف رياضيّون حلّ شتاينر لاحقاً وأكملوه.

بدأ شتاينر بأول الإنشاءات الهندسية التي عُرفت جيداً؛ فعلى سبيلِ المثالِ، إن كان هناك منحنى مغلق ليس محدباً بالكامل، فبالإمكان إيجاد منحنى أكثر تحدباً منه وأعلى في المساحة عن طريق طَيّ الأجزاء المقعرة لجعلها محدبة. وبُرهِنَ أيضاً أن أي شكل لامتماثل بالإمكان تمديده بحيث يُغطي مساحةً أكبر. ولأن الشكل الوحيد المُحدب والمتناظر تماماً هو الدائرة فإن الحل كان لا بد وأن يكون هو. مع ذلك، هذا الحل بمفرده لا يُقدّمُ بُرهاناً صارماً للمسألة، إذ أنَّه مليءٌ بالثغرات التي تحتاج إلى المراجعة.

غالباً ما يُعبّرُ عن مسألة المحيط الثابت بمتباينةٍ تربطُ طولَ منحنىً مغلقٍ بمساحته. تنص متباينة المحيط الثابت على أنَّ:

$$4\pi A\leq L^{2}$$

وتحقّق المساواةُ إذا وفقط إذا كان المنحنى دائرةً. مساحة القرص ذو الشعاع $R$ هو $\pi R^{2}$ ومُحيطُ الدائرةِ هو $2\pi r$ بِهذا فإنّ كلا الطرفين يصبحان $4\pi R^{2}$. وُجدت عشرات البراهين المختلفة لمتباينة المحيط الثابت، ففي 1902، نَشَرَ أدولف هرفيتز بُرهاناً قصيراً باستخدام متسلسلة فورييه التي تُطبّق لأي منحنى محدود الطول حتى ولو كان مقعراً. في عام 1938م، قدّم شميت حلّاً أنيقاً للمسألةِ بناءً على مقارنةٍ بين منحنىً بسيط مغلق سَوِيٌّ مع دائرة معطاة. استخدم الحل صيغة طول القوس، صيغة مساحة السطح من مبرهنة غرين ومتباينة كاوشي شفارتز. لأي منحنى مغلق، كسر المحيط المغلق يُعرف على أنه النسبة بين مساحته وبين مساحة الدائرة ذات المحيط نفسه. رياضياً:

$$Q={\frac {4\pi A}{L^{2}}}$$

تنص متباينة ثباتية المحيط على أنَّ $Q\leq 1$ بالتكافؤ، فإنّ نسبة ثباتيّةُ المحيط${\frac {L^{2}}{A}}$ هي على الأقل $4\pi$ لكل منحنى. أما بالنسبة للمضلعات المنتظمة النونية، فإنّ نسبة ثباتية المحيط هي: $Q_{n}={\frac {\pi }{n\tan {\tfrac {\pi }{n}}}}.$. إذا كان $C$ منحنى مغلقاً محدباً سَويَّاً فإنَّ متباينة ثباتية المحيط المُطوَّرة تنص على أنَّ:

$$L^{2}\geqslant 4\pi A+8\pi \left|{\widetilde {A}}_{0.5}\right|,$$

حيث أن $L,A,{\widetilde {A}}_{0.5}$ ترمز إلى طول $C$ والمساحة التي يحصرها، والمساحة المتجهة له، على الترتيب. تحقق المساواة فقط وإذا فقط كان $C$ منحنى ثابت العرض.

دوائر بإعادة تعريف المسافة

رسم توضيحي لدوائر الوحدة في معايير $p$ مختلفة. حيثُ أنَّ كل متجهٍ من نقطة الأصل إلى دائرة الوحدة يُساوي وحدةً واحدةً. يُحسَبُ الطولُ بناءً على صيغة المسافة المرتبطة مع $p$.

تعريفُ دائرةٍ على أنها مجرد مجموعة نقاط ذات بعد ثابت عن نقطة يُؤدِّي إلى ضمّ أشكالٍ أخرى إلى هذا التعريف. تُعدّ هذه الأشكالُ دوائرَ بسبب يعود إلى تعاريفٍ مُختلفةٍ للمسافة عن التعريف الإقليدي لها المُعتاد. ففي المعيار-$p$ (بالإنجليزية: p-norm)‏، تُعرَّفُ المسافة بالقانون:

$$\left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}.$$

بينما في الهندسة الإقليدية، وكحالةٍ خاصةٍ، تكون $p=2$، وبهذا تكون الصيغة المعروفة:

$$\left\|x\right\|_{2}={\sqrt {|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2}+\dotsb +|x_{n}|^{2}}}.$$

في هندسة سيارة الأجرة، تكون $p=2$. دوائر سيارة الأجرة تُعرّف على أنها مربعات مدوّرة بزاوية 45 بالنسبة إلى محاورها الإحداثية. على الوجه المقابل، فاعتماداً على تعريف المسافة الشبشفية، فإنَّ الدائرة ذات الشعاع $r$ في المستوى هي أيضاً مُربّع ذو ضلع $2r$. لكنها خلاف دائرة سيارة الأجرة، توازي المحاور الإحداثية.

النَّتائِجُ التَّحليليَّة

المقالات الرئيسة: ط (رياضيات) ومساحة القرص

يرتبط الشّعاع مع القطر بالعلاقة $r={\frac {d}{2}}$. يُعتبر القطر حالةً خاصةً من الوتر يقسم فيها الدائرة إلى جزئين متناظرين ومتطابقين. ويُوصف أيضاً على أنه أطول قطعة مستقيمة بين أي نقطتين تقعان على محيط الدائرة. وتُصنّف جميعُ الدوائرَ على أنها مُتشابهة.

المُحِيطُ وثَابِتُ النّسبة $\pi$

ثابت النِّسبة $\pi$هو طول مُحيط دائرة قطرها وِحْدة واحدة.

يتناسبُ طولُ مُحيطِ الدائرةِ مع طول قطرِها. ويُرمز لهذه النسبة بـ«$\pi$» أو «ط». يُربَطُ بينَ ثابتِ النّسبة $\pi$ وبينَ القطرِ والمُحيطِ بالمُعادلة التّالية، مع اختلافِ بعضِ الصّيغِ المُشتّقة منها:$${\frac {C}{d}}=\pi \Leftrightarrow C=\pi d=2\pi r\Leftrightarrow d={\frac {C}{\pi }}$$في مسائل الدّائرة وإيجاد المجاهيل منها، غالباً ما يُستعملُ تَقريبٌ لقيمة $\pi$، وهو مُشتَقٌّ من مُتباينة أرخميدس التي أوجدها عبر حصر مُحيط الدائرة بين مُضلَّعين. الفقرة الآتية توضح التقريبات الشّائعة لقيمة $\pi$:

$$\pi \approx {\frac {22}{7}}\approx 3.14$$$$\pi \approx {\frac {355}{113}}=3.14159\ 29^{+}$$على الرغم من تعريف ${\pi }$ الأساسي على أنه نسبة المحيط إلى القطر، إلا أن لدى ${\pi }$ تعريفاتٍ متكافئة أخرى تظهر في العديد من الصيغ في جميع مجالات الرياضيات والفيزياء. ويُمَثلُ بالحرف اليوناني ${\pi }$ منذ منتصف القرن الثامن عشر. على الرغم من أنه يُنطَق باي، إلا أنه يسمى أيضاً ثابت أرخميدس. بسبب كونه عدداً غير نسبي، ${\pi }$ لا يمكن التعبير عنه ككسر، أي لا يمكن كتابته على صورة $a/b$. بالمقابل، تمثيله العشري لا ينتهي ولا يستقر أبدًا في نمط تكراري منتظم. مع ذلك، فإن الكسور مثل 22/7 والأرقام الحقيقية الأخرى تستخدم عادة لتقريب ${\pi }$. كما أن ${\pi }$ عدد متسامٍ؛ بمعنى أنه ليس جذراً لأي كثيرة حدود ذات معاملات حقيقية. هذه الخاصيَّة حلت المسألة القديمة المتمثلة في تربيع الدائرة باستخدام إنشاءات الفرجار والمسطرة. في القرنين العشرين والواحد والعشرين، اكتشف علماء الرياضيات وعلماء الحاسوب مقاربات جديدة، عندما اقترنت بزيادة القدرة الحسابية، وسعت التمثيل العشري لـ${\pi }$ إلى العديد من تريليونات من الأرقام بعد العلامة العشرية. تعلق الثابت ${\pi }$ بالدائرة، جعله يوجد في العديد من الصيغ في علم المثلثات والهندسة، وخاصة تلك المتعلقة بالدوائر، والقطوع الناقصة، ومجالات التحليل الرياضي.

المِساحَةُ

توضيح للطريقة المُستخدمة في استنتاج قانون مساحة الدائرة تقديريّاً.

تَتَناسبُ مِسَاحةُ الدّائرةِ طرديّاً مع مُربّع نصفِ القطرِ بثابتِ تناسبٍ يُطلق عليهِ $\pi$. ومِسَاحةُ الدائرةِ هي أكبرُ مساحةٍ من بين الأشكالِ نسبةً إلى محيطها. وهذا يربِطُ الدائرةَ بِمُعْضِلَةٍ في مجالِ حسابِ التغيراتِ تُسمَّى مُتَباينةَ المُحيطِ الثَّابِتِ. استُعمل مفهوم النّهايات المُتتالية للحصول على قانون مساحة الدّائرة. وهذا المفهومُ قائمٌ على تقسيمِ قِرْصِ الدّائرةِ إلى قِطاعاتٍ ثمَّ جَمعِها. بعدَ التقسيمِ، ينتجُ مستطيلٌ طُولُه $\pi r$ وعَرْضُه $r$. وعلى هذا، تَكونُ مساحةُ الدّائرةِ مُكافئةً لمساحة المُستطيلِ بالقانون:

$$\mathrm {Area} =\pi r\cdot r=\pi r^{2}={\frac {\pi d^{2}}{4}}\approx 0{.}7854d^{2}$$

الأقْواسُ

المقالات الرئيسة: درجة (زاوية) وراديان

يُعبِّرُ مصطلحُ «قياس القوس» إلى قياسِ الزاويةِ المركزيةِ التي تَحصِرُ القوسَ. وباعتبار أن الدائرة قوساً مُتَّصِلَ الطَّرفَينِ فإن قياسُها بالدرجاتِ $360^{\circ }$. وعلى ذلكَ، فإن قياسَ الأقواسِ الناتجةِ عنْ قَطْعِ زاويةٍ مركزيةٍ لدائرتينِ متحدتَيْ المركزِ لهُمَا القياسَ نَفْسَهُ؛ لاشتراكِهِما في قياسِ الزاويةِ المركزيةِ. ويتطابقُ قوسانِ من دائرةٍ واحدةٍ إذا وفقط إذا كان لهُما القياسَ نَفسه. وهُناكَ قياسانِ شهيرانِ للقوسِ:

الدرجة	الراديان
يُعرَّف القوس الذي قياسه درجة واحدة على أنه ${\frac {1}{360}}$من قياس الدائرة كاملةً.	يُعرَّف القوس الذي قياسه راديان واحد على أنه القوس الذي طوله نصف قطر الدائرة الأصلية $r$.

النقطتان $A,B$تقسمان الدائرة إلى قوسين: قوس أكبر، وقوس أصغر.

كانت $A,B$ نقطتين مختلفتين على الدائرة $C(O,r)$ فإنهما يقسمان الدائرة إلى قوسين: قوس أصغر ${\widehat {AB}}$، وقوس أكبر ${\widehat {AB}}$ يتممان بعضهما بعضاً. يُرمَز إلى القوس الأكبر ${\widehat {AB}}$ أحياناً بالرمز ${\widehat {ACB}}$ عِوَضاً عن ذكر «${\widehat {AB}}$ الأكبر». يُعرّف القوس الأصغر ${\widehat {AB}}$ على أنَّه مجموعةُ النّقاط الناتجةِ عن تقاطعِ الدائرةِ مع نقاطِ الزاويةِ المركزية $\angle AOB$ الداخلية ويُعبَّرُ عنه أيضاً بأنه القوس الأقصر طولاً الذي يصل بين النقطتين $A,B$ على الدَّائرة، حيثُ يُساوي قياسه قياسَ الزَّاويةِ المركزيةِ المُقابلةِ لَهُ، ويقل عن $180^{\circ }$. على الوجه المقابل، فإن القوس الأكبر ${\widehat {AB}}$ هو مجموعةُ النّقاط الناتجةِ عن تقاطعِ الدائرةِ مع نقاطِ الزاويةِ المركزية $\angle AOB$ المُنعكِسة ويُعبَّرُ عنه أيضاً بأنه القوس الأقصر طولاً الذي يصل بين النقطتين $A,B$ على الدَّائرة، حيثُ يُساوي قياسه قياسَ الزَّاويةِ المركزيةِ المُقابلةِ لَهُ، ويزيد عن $180^{\circ }$. تُسمَّى النقطتان $A,B$ طرفا القوس ${\widehat {AB}}$ أو طرفا الوتر ${\overline {AB}}$. في حالِ كَوْنِ النُّقطتينِ $A,B$ نقطتينِ متقابلتينِ قُطريَّاً، فإن كُلاً مِن القَوسَيْنِ المُقَابِلَيْنِ لَهُمَا القياس نفسه، ويُسمَّى القوسُ الواحدُ نِصفَ دَائرةٍ. وكُلُّ قِطْرٍ في دائرةٍ ما يُحدِّدُ نِصفَيْ دائرةٍ.

إذا كانَ طُولُ القوْسِ يُساوي $\ell$، فإنَّ النسبةَ بينَ طولِ القوسِ إلى مُحيطِ الدَّائرةِ يُساوي نسبةَ قياسِ القوسِ إلى قِياسِ الدَّائرةِ كاملةً.

$${\frac {l}{C_{O}}}={\frac {l}{2\pi r}}={\frac {\theta ^{\circ }}{360^{\circ }}}\Leftrightarrow \ell =\pi r\cdot {\frac {\theta ^{\circ }}{180^{\circ }}}$$

القوس الأصغر ${\widehat {AB}}$	القوس الأكبر ${\widehat {AB}}$ (أو اختصاراً ${\widehat {ACB}}$)	نصف الدَّائرة ${\widehat {ADB}}$

القطع والجزئيات

المقالات الرئيسة: قرص (رياضيات) ودائرة مجزأة وقطاع دائري

القرص

قطاع دائري في دائرةٍ شعاعها $r$، مظلل بالأخضر، ويُغطّي قوساً طوله $L$.

هو منطقة المستوى التي تحصرها الدّائرة. ويعرَّف رياضيَّاً:$C(O,r)\cup Int~C(O,r)=\left\{P\in E~:~{\overline {OP}}\leq r\right\}$.

القطاع

يعتمد حجم قطاع الدائرة على قياس الزاوية المركزية التي يحصرها ونصف قطر الدائرة. حيث يُمثِّل القطاع نسبةً من مساحة الدّائرة الكُلّية هي نفسها نسبة قياس زاويته المركزية على قياس الدائرة الكُلّية. أي أن: مساحة القطاع مُساوية لحاصل ضرب نسبة زاويته المركزية لزاوية الدائرة الكلية في مساحة الدائرة الكُلّية.$$A_{S}=\pi r^{2}\cdot {\frac {v}{360^{\circ }}}=(v{\text{ rad}})\cdot r^{2}$$تُستعمل القطاعات كذلك في الإحصاء لتمثيل البيانات. وبطريقةٍ مُشابهة، يُؤخذ تناسب زاوية القطاع المركزية إلى $360^{\circ }$ مع النسبة المئوية للبيانات، حيث تُمثّل الدائرة الكاملة في الإحصاء نسبة $100\%$.

الزوايا

المقالة الرئيسة: زاوية (هندسة)

تصنيفات الزوايا المتعلقة بالدائرة حسب موقع رأسها:

الزاوية	التّعريف	موقع رأس الزَّاوية	قياس الزَّاوية	ملاحظة
زاوية مركزية	زاوية محصورة بين نصفي قطرين ويُرمز لها بـ$v$	مركز الدَّائرة	قياس القوس المقابل
زاوية محيطية	زاوية محصورة بين وترين متلاقيين على المحيط	محيط الدَّائرة	نصف قياس القوس المقابل
زاوية مماسية	زاوية محصورة بين مماس ووتر يمر بنقطة التماس	محيط الدائرة	نصف قياس القوس المَحصُور.
زاوية خارجة	زاوية امتداد أحد زوايا رباعي دائري المحيطة	محيط الدائرة	قياس الزاوية المقابلة لها من الرباعي.
زاوية داخلية	زاوية محصورة بين قاطعين داخل الدَّائرة	داخل الدَّائرة	نصف مجموع قياسي القوس المقابل للزاوية والقوس المقابل للزاوية التي تقابلها بالرأس
زاوية خارجيَّة	زاوية محصورة بين قاطعين خارج الدَّائرة	خارج الدَّائرة	نصف الفرق المطلق بين قياسي القوسين المقابلين لها

حالات الزاوية المحيطية بالنسبة لضلعي الزاوية المركزية

الحالة الأولى	الحالة الثَّانية	الحالة الثَّالثة	مبرهنةُ طالس (حالة خاصَّة)
يَقَعُ مَرْكَزُ الدَّائِرَةِ خَارِجَ الزَّاويةِ المُحيطيَّةِ.	يَقَعُ مَرْكَزُ الدَّائرةِ على أحدِ ضِلْعَيْ الزَّاويةِ المُحيطيةِ.	يَقعُ مَركَزُ الدَّائرةِ دَاخلَ مَنطقةِ الزَّاوية المُحيطيَّة.	الزَّاويةُ المُحيطيةُ زَاوِيةٌ مُستقيمةٌ.

مبرهنة الزوايا المماسية والمحيطية — الزَّاويةُ المركزيةُ تُساوي ضِعفَ الزاويةِ المُحيطيةِ المُشتركةِ معها على القوسِ نفسه وضِعفَ الزاويةِ المماسية التي تحصر القوس نفسه.

المُبرهنة السابقة تُعطي علاقةً بين الزوايا المركزية وبين الزوايا المماسية والمحيطية. كنتيجة، عند تثبيت قوسٍ ما في دائرة، فإنَّ الزوايا المحيطية التي تحصر هذا القوس متساوية. والعكس صحيحٌ أيضاً، فالمحل الهندسي لرؤوس الزوايا متساوية القياسات التي تحصر قطعةً مُستقيمةً ثابتةَ الطول هي قوس دائري. وينتج عن هذه المبرهنة أيضاً مبرهنة طالس: والتي تنص على أنَّ الزاويةَ المُحيطيةَ التي تَحصِرُ قطراً قائمةٌ.

مبرهنة الزاوية الداخلية — الزاوية الداخلية تُساوي نصف مجموع قياسي القوسين المَحصُورَينِ بين ضلعيها.

مبرهنة الزاوية الخارجية — الزاوية الخارجية تساوي نصف الفرق المطلق بين قياسي القوسين المحصورين بين ضلعيها.

النقاط

النِّقاطُ $P_{1},P_{2},P_{3}$ هِيَ نِقاطٌ دَاخليةٌ ومُحيطيَّةٌ وخَارِجَةٌ على التَّرْتيبِ.	النقطتانِ $P,P'$ نُقطَتانِ مُتقَابَلَتان قطْرياً.

هُناك ثلاثُ حالات ممكنةٍ لموقعِ نُقطةٍ ما بالنسبةِ إلى دائرةٍ مُعطاةٍ في المستوى نَفسِهِ تُصنّفُ حَسب بُعدِها من مركز الدائرة: نقاط داخليَّة ومُحيطيَّة وخارجيَّة:

التصنيف	التعريف	الترميز	مراجع
نقطة داخلية	نقطة تقع داخل الدائرة، أي: تبعد عن المركز مسافةً أقل من نصف القطر.	$Int~C(O,r)$
نقطة مُحيطيَّة	نقطة تقع على محيط الدائرة، أي: تبعد عن المركز مسافةً مساوية لنصف القطر.	$C(O,r)$
نقطة خارجيَّة	نقطة تقع خارج الدائرة، أي: تبعد عن المركز مسافةً أكبر من نصف القطر.	$Ext~C(O,r)$
نقطتان متقابلتان	أو النقطتان المتقابلتان قطريَّاً هما نقطتا طرفي قطر ما في الدَّائرة	$P,P'$

إنَّ التعريفَ الرياضيَّ المُقابلَ للجدول السابق بالإمكان التعبير عنه بمبرهنة المجموعات كالآتي: إذا كانت الدائرة مركزها $O$ والنقطة المتغيِّرةُ $P$، فإنَّ مجموعة نقاط $P$ في المستوى $E$ تُعرَّف على أنَّها: $$Int~C(O,r)=\left\{P\in E~:~{\overline {OP}}<r\right\}$$$$Ext~C(O,r)=\left\{P\in E~:~{\overline {PQ}}>r\right\}$$تُصنَّفُ مجموعةُ النقاطِ الداخليةِ على أنَّها مجموعة محدبة: أي أن الضلع الواصل بين أي نقطتين داخل الدائرة لا يقطعها.

برهان

لتكن $A,B\in Int~C(O,r)$ولتكن $P\in {\overline {AB}}$ من تعريف مجموعة النقاط الداخلية فإن $OA,OB<r$، ولأن $P$على القطعة المستقيمة ${\overline {AB}}$فهذا يعني أن إحدى الزاويتين $\angle OPA,\angle OPB$غير منفرجة. بفرض - دون فقد العموميَّة - أنَّ $\angle OPA\leq 90^{\circ }$، بتطبيق متباينة المثلث في المثلث $\triangle OPB$: $OP<OB<r$إذن $P\in Int~C(O,r)$.

يُعرف زوج النقاط التي تمثل طرفي قطر في دائرة على أنهما نقطتان متقابلتان، وهما متماثلتان بالنسبة لمركز الدائرة. تُعرَّف مجموعة أزواج النقاط التي تحقق ذلك رياضياً:.$$\left\{P,P'\in C(O,r)~:~{\overline {PP'}}=2r\right\}$$

شكل توضيحي لقواطع مُختلفةٍ تمرُ بالنقطة $P$ وتقطع الدائرة $O$.

قوة النقطة

المقالة الرئيسة: قوة نقطة

تُعرّفُ قوةُ نقطة ما بالنسبة لدائرة ثابتة على أنها مربع المسافة بين النقطة ومركزِ الدائرة مطروحاً من مربع نصف قطر الدائرة. رياضيّاً: في قوة النقطة $P$ بالنسبة للدائرة $C(O,r)$ هي المقدار:${\mathcal {Pow}}(P)=OP^{2}-r^{2}$. نتيجةً لذلك، إنَّ قوةَ النُقطةِ $P$ تكونُ مقداراً سالباً عندما $OP<r$ أي أّنها نقطةٌ داخليةٌ للدائرة، وتكون مقداراً مُنعدماً عند وقوعها نقطةً مُحيطيّةً، ومقداراً موجباً عندما تقع خارج الدائرة. في الصيغِ الرياضيةِ لمبرهنات قطع الوتر والقاطع وقاطع التماس، يظهرُ في جميعِها مقدار قوة النقطة؛ لذا فإنها تُسمّى جميعها بمبرهنات قوة النقطة. أيّ أنَّ ${\mathcal {Pow}}(P)$ هو مقدارٌ ثابت لكل نقطة ودائرة ثابتتين، وأنَّ أي خط مستقيم يمر بهذه النقطة فإن الصيغ الرياضية المرتبطة به تساوي ${\mathcal {Pow}}(P)$.

كما تُعرّفُ قوة النقطة الواقعة خارج دائرة على أنّها مُربّعُ المماس الخارج من هذه النقطة إلى الدائرة. وتُثبت هذه العلاقات باستخدام مبرهنة فيثاغورس ومبرهنة تعامد شعاع الدائرة مع المماس عند نقطة التماس: لتكن $T$ نقطة تماس المماس الخارج من $P$ إلى الدائرة $O$. من مبرهنة التعامد: $OT\perp PT$، بتطبيق فيثاغورس في المثلث القائم: $\triangle OTP$، فإنَّ $OT^{2}+PT^{2}=OP^{2}$ أو بشكلٍ مكافئ:$OP^{2}-OT^{2}=PT^{2}=OP^{2}-r^{2}$.

نظريات قوة النُّقطة

الاسم	الصيغة الرياضية	النص
مبرهنة قِطَع الوتر	${\mathcal {Pow}}(P)=P_{1}B\cdot P_{1}D=P_{1}A\cdot P_{1}C$	إذا تَقاطعَ وَتَرانِ في دائرةٍ فَإنَّ حَاصلَ ضَرْبِ طُولَيْ جُزأيْ الوَتَرِ الأوَّلِ يُساوي حَاصِلَ ضَرْبِ طُولَيْ جُزْأيْ الوَتَرِ الثَّانِي.
مبرهنة القاطع	${\mathcal {Pow}}(P)=P_{2}X\cdot P_{2}Y=P_{2}Z\cdot P_{2}W$	إذا رُسِمَ قَاطِعَانِ لدائرةٍ من نُقطَةٍ خَارِجها، فإنَّ حَاصِلَ ضَرْبِ طُولِ القاطِعِ الأوَّلِ في طُولِ الجُزْءِ الخَارِجِيِّ مِنهُ، يُساوي حَاصِلَ ضَرْبِ طُولِ القَاطِعِ الثَّانِي فِي طُولِ الجُزْءِ الخَارِجِيِّ مِنهُ.
مبرهنة قاطعُ التَّماسِ	${\mathcal {Pow}}(P)=PT^{2}=PA\cdot PB$	إذا رُسِمَ مَمَاسٌّ وقَاطِعٌ لدائِرَةٍ من نُقطَةٍ خَارِجها فإنَّ مُربَّعَ طُولِ المَماسِ يُساوي حَاصِلَ ضَرْبِ طُولِ القَاطِعِ في طُولِ الجُزءِ الخَارِجِيِّ مِنْه.تEعرف في الهندسة المستوية بأنها عدد حقيقي يعبر عن المسافة النسبية لنقطة معطاة في دائرة.

مبرهنتا قِطَعِ الوترِ والقاطع.	مبرهنة قاطعِ التَّماسِّ.

أزواج الدوائر

تَصْنِيفُ أزْواجِ الدَّوائِرِ حَسب بُعدِها عن بعضها

دائرتان متباعدتان		دائرتان متماستان		دائرتان متقاطعتان
دائرتان لا تشتركان في أي نقطةٍ		دائران تمسان مستقيماً في نقطةٍ مشتركةٍ		أعلى عدد ممكن من التقاطعات بين دائرتين هو تقاطعان.
		خارجيَّاً	داخليَّاً
		دائرتان متماسَّتان يقع مركز كلِّ منهُما خارج مُحيط الأخرى	دائرتان متماسَّتان يقع مركز إحداهما في قرص الأخرى

الدائرتان المتقاطعتان هما دائرتان تشتركان بنقطتين وهو أعلى عدد من النقاط الممكن اشتراكه بين دائرتين. يُعبّر عن ذلك رياضياً كالآتي: باعتبار $r_{1}$ نصف قطر الدائرة الأولى و$r_{2}$ نصف قطر الدائرة الأخرى فإن المستقيم $\ell$ الواصل بين المركزين يحقق المعادلة:$$r_{1}+r_{2}<\ell <r_{1}-r_{2}$$

تَصْنِيفُ أزْواجِ الدَّوائرِ حَسب مَرَاكِزِها وَأنْصافِ أقْطارِها

الدائرتان المُتعامدتان: في الهندسة التعاكسية، هما دائرتان، المماسان لهما في نقطتَيْ تقاطُعِهِما يمر بمركزِ كُلٍّ منهُما.	الدائرتان المتطابقتان: دائرتان لهما نصف القطر نفسه.	الدائرتان متحدتا المركز أو في الهندسة التعاكسية: الدائرتان المتوازيتان هما دائرتان يشتركان في المركز نفسه.	الدائرتان المنطبقتان: دائرتان متحدتان مركزياً لهما الشعاع نفسه.

الدائرتان متحدتا المركز: $\odot O$ التي نصف قطرها ${\overline {OA}}$ و$\odot O$ التي نصف قطرها ${\overline {OB}}$ دائرتان متحدتا المركز. تُعرف الدَّائرة على أنها مُطابقةٌ إلى دائرةٍ أُخرى إذا وفقط إذا تطابقت أنصاف أقطارهما، ويحققان: $\odot O_{1}\cong \odot O_{2}\Leftrightarrow {\overline {O_{1}A}}\cong {\overline {O_{2}B}}$.

أشكالٌ مُركَّبةٌ من دوائرَ

الحلقة: شكل شبيه بالخاتم محصور بدائرتين متحدتيّ المركز.	العدسة: تقاطع قرصين. الهلال: جزء الدائرة غير المتقاطع.	مثلث رولو: تقاطع 3 دوائر تمر كل منهم في مركز الأخرى	سكين الحَذَّاء: أنصاف دوائرَ تشترك في قاعدة ما

حل جُزئي من مسألة تربيع الدائرة اقترحه أبقراط. مساحة المنطقة المظللة تساوي مساحة المثلث ABC. لم يستطع أحد إكمال حل مسألة تربيع الدائرة. وقد أثبت استحالتها.

تُسمَّى العدسة الناتجة عن تقاطع دائرتين متطابقتين عدسة متناظرة، عدا ذلكَ فتُسمّى عدسة جامعة أو غير متناظرة. تُقاس مساحة العدسة المتناظرة بدلالة زاوية القوس المحصورة به $\theta$ بالراديان ونصف قطر الدائرتين $R$ بالصيغة الآتية:$$A=R^{2}\left(\theta -\sin \theta \right)$$بإزالة العدسة من إحدى الدوائر المُتقاطعة يتكوَّن شكل الهلال. وبشكل أكثر عمومية، فإن تقاطع أي دائرتين يُنتج عدسةً وهلالينِ. هلال أبقراط هو هلال مُتكوِّن من تقاطع دائرتين، قُطر إحداهما هو وترٌ في الأخرى.

الأوتار والمستقيمات

تَصْنِيفُ المستقيمات في الدَّائرةِ حسْبَ عدد نقاط تقاطعها معها وبُعدِها عن مركزها

المستقيم	التعريف	رياضياً	ملاحظة
مستقيمٌ قاطِعٌ	مستقيم يقطع الدائرة في نقطتين.	مُستقيمٌ يبعدُ عنِ المركزِ مَسافَةً أصغر من نِصْفِ قِطرِ الدَّائرةِ (${\text{dist}}(O,\ell )<r$)
مستقيمٌ مَاسٌّ	مستقيم يُمسّ الدَّائرة في نقطة وحيدة.	مُستقيمٌ يبعدُ عنِ المركزِ مَسافَةً مساويةً لنِصْفِ قِطرِ الدَّائرةِ (${\text{dist}}(O,\ell )=r$)
مستقيمٌ مَارٌّ	مستقيم لا يمس ولا يقطع الدائرة في أي نقطة.	مُستقيمٌ يبعدُ عنِ المركزِ مَسافَةً أكبر من نِصْفِ قِطرِ الدَّائرةِ (${\text{dist}}(O,\ell )>r$)
مستقيمٌ مُنَصِّفٌ	مستقيم يمر بمركز الدائرة.	مستقيم يمر بنقطة المركز، أو بُعدُه عن المركز معدومٌ. (${\text{dist}}(O,\ell )=0$)

تَصنِيفُ المُستقيمَاتِ المُشتركة في دائرتين

المستقيم	التَّعريف	الترميز
خطُّ مركزين	مستقيم يصل بين مركزي دائرتين	${\overline {O_{1}O_{2}}}$
وتر مُشترك	وتر طرفاه هما نقطتا تقاطع دائرتين	${\overline {AB}}$
مَماسٌ مشتركٌ خارجيّ	أو مماس خارجي، مستقيم يمس كلتا الدائرتين ويقطعُ امتدادَ خَطِّ المَركزين.	${\overleftrightarrow {T_{1}T_{2}}}$
مماسٌ مشتركٌ داخليّ	أو مماس داخلي، مستقيم يمس كلتا الدائرتين ويقطع القطعة الواصلة بين المركزين.	${\overleftrightarrow {T_{1}T_{2}}}$
قطعة تماس	قطعة من مماس مشترك طرفاها نقطتا تماس الدَّائرين	${\overline {T_{1}T_{2}}}$
محور أساسي	المحل الهندسي لمجموعة النقاط في المُستوى التي لها نفس القوة بالنِّسبة لدائرتين مُتباعِدَتين.	${\overleftrightarrow {AB}}$

التناظر في الدائرة

رسم هندسي يُوضِّح أجزاء الدائرة المُتماثلة والمُعلَّمةُ بالألوان: جميعُ النقاط $T,Q,M,O,P$ تتسامَتُ على العمود المنصف للقطعة $AB$ وهي بذلكَ تبعدُ البعدَ نفسه عن $A$ و$B$.

في نظرية الزمر، الدائرة هي أكثرُ الأشكالِ تناظراً. أيُّ مُستقيمٍ مُنصِّفٍ (خطٍّ مُستقيمٍ يمرُ بمركزِ الدائرةِ) يُحَقِّقُ خاصيةَ التناظر الانعكاسي وخاصيةَ التناظر الدوراني. زُمرة تماثل الدائرة هي زمرةٌ متعامدةٌ $O(2,R)$. زمرة الاستدارات الخاصة بالدائرة تُسمى زمرة الدائرة ($\mathbb {T}$) وتُعرّف على أنها زمرة ضربية تحتوي على جميع الأعداد المركبة التي معيارها مساوٍ لـ1.

$$\mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}~.$$

في الدائرة ذات المركز $O$ والوتر ${\overline {AB}}$، المثلث $\triangle ABO$ متطابق الضلعين. إذا كانت $M$ نقطة منتصف ${\overline {AB}}$ فإنَّ $\triangle AMO\cong \triangle BMO$ من تطابق (SSS)، وعليه فإنَّ $\angle AMO\cong \angle BMO$ وكذلك $OM\perp AB$. أيضاً الزاويتان $\angle AOM\cong \angle BOM$. إذا كانت $P,Q$ نقطتا تقاطعِ المستقيمِ $OM$ مع الدائرة، فإنَّ من تطابق $\triangle OAP\cong \triangle OBP$ (SSS) والذي يُنتج ${\overline {AP}}\cong {\overline {BP}}$. كنتيجة، القوسان $AP,BP$ متطابقان أيضاً. بالمثل، $\triangle AOQ\cong \triangle BOQ$ (من تطابق SAS) و${\overline {AQ}}\cong {\overline {BQ}}$. وهذا يعني أن الدائرةَ $O$ ونقطتي مُنتصفي القوس الأكبر والقوس الأصغر جميعهم يقعون على العمود المنصف للوتر ${\overline {AB}}$. إذن، مركز أي دائرة هو تقاطع المنصفين العموديين لأي وترين على الدائرة.

إذا كانت $T$ تقاطع مماسات الدائرة عند $A,B$، فمن مبرهنة فيثاغورس، $TA^{2}=TO^{2}-OA^{2}=TO^{2}-OB^{2}=TB^{2}$. مما يعني أنَّ $TA=TB$. بعبارةٍ أخرى، قطعتا التماس المنطلقة من نقطة إلى دائرة متطابقانِ. من تطابق (SSS تطابق) فإنَّ $\angle OAT\cong \angle OBT$، إذن، الزاوية $TOA=TOB$، ومن النتيجة السابقة، فإنَّ $T$ تقع على المنصف العمودي لـ$AB$. إذا قطع مُستقيمان مُتوازيان الدائرة $O$ في ${\overline {AB}}\parallel {\overline {CD}}$ فإنَّ الشكلَ الناتج هُو شبه مُنحرف متطابق الساقين. والعكس صحيحٌ أيضاً، فإن كُلَّ شبهِ مُنحرفٍ متطابق الساقين يُعدُّ رباعيَّاً دائريَّاً.

تتلخَّصُ النتائج السابقة في ما يلي:

• أي مستقيم يمر بمنتصف وتر، يتعامد عليه إذا وفقط إذا نصَّف القوسين اللذين يحصرهما الوتر. وهذا يكافئ أن يمر بمركز الدائرة.
• يتساوى وتران في الدائرة إذا وفقط إذا وقعا على مسافةٍ متساويةٍ من مركز الدائرة.
• الوتران في دائرة يتوازيان إذا وفقط إذا حصرا قوسين متساويي القياس.
• المماس عند نقطة التماس يتعامد مع نصف القطر الواصل بينها وبين المركز.
• المماسان من نقطة واحدة خارج الدائرة متطابقان.

التطابق في الدائرة

ليكن ${\overline {AB}}$ وتراً في الدائرة $C(O,r)$. بتطبيقِ متباينة المثلث: $OB+OC>AB$ لكنَّ $OA=OB=r$، إذن بالتعويض ينتجُ $AB<2r$. أي أنّ: «طول أي وتر داخل الدائرة لا يزيد عن طول القطر». وتحصل المساواة عند تلاشي المثلث وانتماء مركز الدائرة إلى الوتر أي كون $AB$ قطراً في الدائرة. في الدَّائرة نفسها أو في الدَّوائر المُتطابقة، يتطابق قوسان إذا وفقط إذا تطابقت الزاويتان المركزيَّتان المتقابلتان معهما. والعكس صحيحٌ أيضاً، أي أنَّ أطوال أوتار الدائرة الواحدة أو الدوائر المتطابقة، تتساوى إذا وفقط إذا تساوت قياسات أقواسهما المتناظرة. بفرض أن الوترين ${\overline {AB}},{\overline {CD}}$ لهما الطول نفسه في الدائرة $C(O,r)$، من تساوي أشعة الدائرة الواحدة يكون: $OA=OB=OC=OD=r$. وعلى ذلك $\triangle OAB\cong \triangle OCD$، وبما أن الزوايا المتناظرة لمثلثين متطابقين متطابقة ينتج المطلوب. مبرهنة: الوتر الأكبر يحصر قوساً ذا قياسٍ أكبر من قياس القوس الذي يحصره الوتر الأصغر. والعكس صحيح. كما أنَّ الوترَ الأكبرَ يبعُدُ بعداً عن مركز الدائرة أقل من بعد الوتر الأصغر.

العمق وطول الوتر

عمق القوس (بالأزرق) هو العمود من منتصف القوس إلى منتصفِ وترِهِ.

عمق القوس (بالإنجليزية: Sagitta)‏ هو قطعة مستقيمة تصل بين منتصف قوسٍ ومنتصف وتره. تُستعمل حسابات عمق القوس بكثافة في العمارة. يُحسب عمق القوس ذي الزاوية $\theta$ في الدائرة التي نصف قطرها $r$ بالصيغة:

$$s=r\operatorname {versin} \theta =r\left(1-\cos \theta \right)=2r\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}.$$بشكلٍ مُماثل، يُقاسُ طول الوتر المحصور في قوس قياس زاويته $\theta$ بالصيغة $2r\sin \theta$. أما إذا أُعطي وترٌ طوله $y$ وقوسٌ يحصر الوتر ذو عمقٍ مساوٍ لـ$x$ فباستعمال مبرهنة فيثاغورس يُقاس نصف قطر الدائرة المارَّة بالوتر وعمق القوس كالآتي:$$r={\frac {y^{2}}{8x}}+{\frac {x}{2}}.$$

خط القوة

إذا تقاطعت دائرتان، فإنّ خط قوتهما هو المستقيم المار بنقطتي تقاطعهما أو وترهما المشترك.

مركزُ قوةِ الدوائرِ الثلاثِ هو مركزُ دائرةٍ وحيدةٍ تقطعهم عمودياً .

المقالة الرئيسة: محور أساسي

خط القوة أو المحور الأساسي (بالإنجليزية: Radical axis)‏ لدائرتين ما، هو المحل الهندسي للنقاط في المستوى التي تتساوى قُوَّتها بالنسبة لهما. وبشكل مكافئ، إذا كانت الدائرتان متباعدتان ولا تحتوي إحداهما الأخرى فبالإمكان تعريف خط القوة على أنه المحل الهندسي للنقاط في المستوى التي يكون طول المماسين المارين بها والمماسين للدائرتين متساوٍ. المحور الأساسي دائماً يتَّخذ خطّاً مستقيماً تكون نقاطه متساوية القوى بالنسبة للدائرتين؛ ولذلك فإنه يُسمَّى بخط القوة. عدا أنه في حالة اتحاد الدائرتين مركزياً يصبح خط القوة غير مُعرَّف. وفي حالة تقاطع الدائرتين، فإن خط القوة يمر بنقطتي تقاطعهما أو تماسهما. خط القوة عمودي دائماً على الخط الواصل بين مركزي الدائرتين وهو أقرب لمحيط الدائرة الأكبر. ومن خصائصه:

• خط القوة لدائرتين عمودي على المُستقيم المار بمركزيهما ويُنصِّفُ وترَهُما المُشتركَ.
• خط القوة لدائرتين متقاطعتين يمر بنقطتي تقاطعهما.
• خط القوة لدائرتين متماسَّتين يمر بنقطة تماسّهما ويكون حينئذٍ مماسَّاً مُشتركاً لهما.
• خط القوة لدائرتين مُتماسّتين من الخارج يمر بمنتصف قطعة المماس المُشترك الآخر لهما.
• لأي ثلاث دوائر مراكزها ليست على استقامةٍ واحدةٍ، فإن محاورها الرَّئيسيَّة مثنى مثنى تتقاطع في نقطة واحدة تُسمَّى المركز الأساسي أو مركز القوة للدوائر الثلاث.

مركز القوة

لتكن $A,B,C$ دوائرَ غير متحدةٍ مركزياً مثنىً مثنىً. فإنَّ مبرهنة خط القوة تنصُّ على أنَّ الثلاثَ خطوط القوة لكل زوجِ دوائرَ إما أن تتوازى أو تلتقي في نقطة تُسمَّى: مركز قوة الدوائر. ويُقال تقنياً أيضاً عن خطوط القوى عندما تتوازى بأنّها تلتقي في نقطة في اللانهاية.

وبُرهانُ ذلك: من خواصّ خط القوة لزوجِ دوائرَ، أنَّ المماسات المنطلقة من نقطة تقع عليه لدائرتين تتطابق. فإذا التقى خطّ قوة الدائرتين $A,B$ مع محور الأساسي الدائرتين $C,D$ في نقطة $M$ فإنَّ المماسات المنطلقة من $M$ لجميعِ الدوائرَ تتطابق، أي أنَّ: ${\mathcal {Pow}}(M,A)={\mathcal {Pow}}(M,B)$ وأيضاً ${\mathcal {Pow}}(M,B)={\mathcal {Pow}}(M,C)$ فبالتعدّي، يُصبح ${\mathcal {Pow}}(M,C)={\mathcal {Pow}}(M,A)$وبتطبيق عكسِ مبرهنة خط القوة، فإنّ النقطة $M$ تقعُ على خط القوة للدائرتين $C,A$ وبذلكَ يحصل تلاقي جميع خطوط القوة في النقطة $M$. من البرهانِ السابق، تَصيرُ النقطة $M$ مركزاً لدائرةٍ تقطعُ الدوائر الثلاث. وتُعدّ هذه الدائرةُ دائرةً وحيدةً لكُلِّ 3 أزواج من الدوائر وتكون مُتعامِدةً عليهم جميعاً.

العلاقات مع المضلعات

حالات وعلاقات الكائنات الهندسية فيما بينها
تسامُتٌ	تلاقٍ
توازٍ	تعامد
تنصيف	انطباقٌ
دَائريَّةٌ	تماس
السعي نحو اللانهاية	انعدامٌ
مُخالَفَةٌ	اشتراك في مستوى

لِكلّ مثلثٍ ثمَّةَ دائرةٌ وحيدةٌ تمرُّ برؤوسه. وتُسمَّى هذه الخاصيَّة التي تتمتع بها المُضلعات من أن تقع رؤوسها على دائرة ما «الدّائريَّة»، فيُقال عن المُضلّع أنه «دائري» إذا وُجدت دائرة تمر بجميع رؤوسه. أما النقاط التي تتمتع بهذه الخاصية فتُسمَّى نقاطاً مُشتركةً بدائرةٍ. على الرغم من ان جميع المثلثات دائرية، إلا أنّ ليست جميع المُضلَّعات الأخرى تتمتع بنفس هذه الخاصية. فعلى سبيلِ المثال، جميعُ المضلّعات المُحدَّبة تستحيل وجود دائرة تمر بجميع رؤوسها، وليست جميعُ الرباعيات لها دوائرَ مُحيطة. فجميعُ المُعيَّنات غير المربعة لا يُمكن أن تقع رؤوسها على دائرة. هناك أشكال شهيرة تُصنَّف دائماً على أنها دائرية، من ضمنها المستطيل وشبه منحرف متساوي الساقين، واللذان يُصنّف من ضمنهما المُربّع أيضاً وكذلك المُضلَّعات المُنتظِمة. للرباعيات الدائرية والمضلعات الدائرية الأخرى عموماً نظريات خاصة تنطبق عليها.

هُناك علاقة أخرى تربط الدائرة بالمضلعات، وهي التّماسُّ. تُعرَفُ المضلعاتُ المماسيَّة على أنها مُضلّعات توجد لها دائرة تمسُّ جميعَ أضلاعها أو امتداداتها. جميع المُثلَّثات والمُضلّعات المنتظمة مُضلعات مماسية. ولها خواص ونظريات خاصة تنطبق عليها أيضاً.

المُثلَّث

المقالات الرئيسة: دائرة محيطة ودوائر خارجية وداخلية لمثلث ودائرة النقاط التسع

رسمٌ يُوضَِحُ جميعَ الدوائرِ التي تَمسُّ أضلاعَ المثلثِ أو امتداداتِ أضلاعه. وهي 3 دوائرٍ خارجيةٍ باللون البرتقالي ودائرةٌ داخليةٌ زرقاء.

تُصنّف مراكز الدوائر الخاصة بالمثلث على أنها من مراكز المثلث. من أبرزها: دائرة المثلث الداخلية، دائرة المثلث المحيطة، دائرة النقاط التسع و3 دوائرَ خارجية للمثلث. لكل مثلث يُوجد دائرة وحيدة تمس جميع أضلاعه تُسمَّى الدَّائرة الدَّاخلية أو الدَّاخلة. الدَّوائر الخارجيَّة لمثلث لكل مثلث توجد ثلاث دوائر خارجية تمس امتدادات أضلاعه. تُنشأُ الدوائر الماسة للمثلث بأخذ منصفات الزوايا الخارجية والداخلية للمثلث، إذ تتقاطع هذه المنصفات في مراكز الدوائر الماسة. يمرُّ خط أويلر بمركزَي الدائرتين البارزتين في المثلث: دائرة النقاط التسع ودائرته المحيطة، بالإضافة إلى نقطتي ملتقى ارتفاعات المثلث وملتقى متوسطاته. كما تربط مبرهنة فويرباخ بين أبرز دوائر المثلث: دائرة النقاط التسع ودوائره الماسة: الدائرة الداخلية والدوائر الخارجية الثلاث.

• 
  يقع مركز محيطة مثلثٍ ما داخلَه إذا وفقط إذا كانت جميع زوايا المثلث حادة.
• 
  يقع مركز مُحيطة مثلث قائم على وتره (مبرهنة طاليس).
• 
  يقع مركز محيطة مثلث حاد خارجه.

تُعطى الإحداثيات الخطية الثلاثية لمركز دائرة المثلث المُحيطة بالصيغة:$$a(b^{2}+c^{2}-a^{2}):b(c^{2}+a^{2}-b^{2}):c(a^{2}+b^{2}-c^{2})$$يرتبطُ نصفُ قطرِ مُحيطةِ الُمثلَّثِ بعلاقةٍ هامّة تُسمّى قانون الجيوب أو قانون الجيوب المُوسَّع:$$2R={\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}.$$كما يُعبّرُ عنه في علاقاتٍ أخرى مُشتقّةٍ من قانون الجيب الموسّع وصيغة هيرون لمساحة المثلث: $${\begin{aligned}2R&{}={\frac {abc}{2\cdot {\text{area}}}}={\frac {|AB||BC||CA|}{2|\Delta ABC|}}\\[5pt]&{}={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\\[5pt]&{}={\frac {2abc}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}\end{aligned}}$$

تنُصُّ مبرهنةُ أويلر على أنَّ:$d=|IO|={\sqrt {R(R-2r)}}$

والصيغةُ المُثلَّثية المكافئة لما سبق تكون كالآتي:

$$2R={\sqrt {\frac {2\cdot {\text{area}}}{\sin A\sin B\sin C}}}.$$تربط مبرهنة أويلر في الهندسة بين شُعاعَي الدائرة المحيطة والدائرة الداخلية بالعلاقة:$$OI={\sqrt {R(R-2r)}}$$تُقاسُ المسافةُ بين مركز محيطة المثلث ونقطة تقاطع ارتفاعاته بالصيغة:$$OH={\sqrt {R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C}}={\sqrt {9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}.$$

حتى لو وقعت نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث خارجَه، فإن إنشاء دائرة النقاط التسع يبقى مُمكناً.

تنص مبرهنة كارنو على أنَّ مجموع الأبعاد المُؤشّرة من مركز محيطة المثلث إلى أضلاعه يساوي مجموع شعاعَيْ دائرتَيْ المثلث المحيطة والداخلية:$$DF+DG+DH=R+r$$دائرة النقاط التسع هي دائرةٌ في المثلث تَمُرُّ بتسعِ نقاطٍ مُهمّةٍ فيه. تحديداً:

• منتصف كل ضلع المثلث.
• مسقط كل رأس المثلث.
• منتصف كل قطعة واصلة بين رأس المثلث وملتقى ارتفاعاته.

من تعريفات دائرة النقاط التسع أنَّها صورة دائرة المثلث المحيطة بعد تحاكٍ مركزه ملتقى الارتفاعات ومعامل تصغير النصف. وكنتيجة، فإنَّ قطر دائرة النقاط التسع يساوي نصف قطر الدائرة المحيطة. وكذلكَ فإنَّ دائرة النقاط التسع تمر بمنتصف أيّ وتر يمر بنقطة ملتقى ارتفاعات المثلث. بينما بشكلٍ مُشابه، يُنصّف مركز دائرة النقاط التسع (والذي يُرمز إليه بالنقطة $N$) القطعة المستقيمة ${\overline {OH}}$ الواصلة بين مركز محيطته ونقطة ملتقى ارتفاعاته أي أنَّ: ${\overline {NO}}={\overline {NH}}$.

الرباعي الدائري

رُباعَيَّاتٌ دَائريَّةٌ مُتنوِّعَةٌ. يَظهَرُ من أبرزها: المُستَطِيلُ والمُرَبَّعُ وشِبهُ المُنحَرِفِ مُتطابِقُ الساقينِ.

المقالة الرئيسة: رباعي دائري

الرباعي الدائري هو مُضلع رباعي تُوجَدُ دائرةٌ تمرُّ بجميعِ رؤوسِه. الشروط المذكورة للرباعي الدائري هي شروط مُتكافئة، أي أنَّ تَحقُّقَ أحد الشروط يُؤدي إلى تحقُّقِ بقيةِ الشروط. تُعرَف أيضاً الشروط على أنها شروطٌ كافية وضرورية أي أنَّ تحقُّقَ عكسِ الشرط المذكور يُؤدّي إلى أن يكونَ الرباعيُّ دائرياً. يُعدُّ الشكلُ الرُّباعيُّ دائريَّاً إذا وفقط إذا:

• تقاطعت مُنصَِفاتُ أضلاعِه العموديةِ في نُقطَةٍ واحدةٍ.
• وُجِدَت زاويتان مُتقابلتان فيه مُتكاملتان.
• وُجِدَت زاويتان متساويتان رأسهما إحدى رأسي الرُّباعي على جهةٍ واحدةٍ من قاعدته. (رياضيّاً: $\angle CAD=\angle CBD$)
• انطبقَ عليه عكسُ مبرهنة بطليموس.
• انطبقت عليه عكس مبرهنة قوة النقطة.

جميعُ المربعات، المستطيلات، أشباه المنحرف متطابقة الساقين وأضداد متوازي الأضلاع رباعيات دائرية. بينما الطائرة الورقية تُعدُّ دائريةً إذا وفقط إذا احتوت على زاويتين قائمتين. والرباعي التوافقي هو دائري يكون فيه حاصل ضرب أطوال أضلاعه المتقابلة متساوٍ.

بحسب صيغة مساحة براهماغوبتا، تُحسَب مساحة الرباعي الدائري الذي أطوال أضلاعه: $a,b,c,d$ ونصف محيطه $s$ حيث $S={\frac {a+b+c+d}{2}}$ بالصيغة الآتية:

$$A={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$$في القرن الخامس عشر الميلادي، استنتج العالم الهندي ڤاتاسِّيري پاراميشڤارا صيغة إيجاد نِصفِ قُطرِ الدَّائرةِ المُحِيطَةِ بدلالةِ أطوالِ الأضلاعِ ونصف المحيط:
$$R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}$$

مُضلَّعاتٌ مماسيَّة

المقالات الرئيسة: مضلع مماسي ورباعي مماسي

شبه منحرف مماسي.

المُضلَّع المماسي هو مضلع تُوجد دائرة ما تمس جميع أضلاعه. تُسمَّى هذه الدَّائرة: الدَّائرةَ الدَّاخليَّةَ للمضلَّع. الرُّباعي المُحيط بدائرة يختص بأن كل مجموع طولي كل ضلعين متقابلين منه متساوٍ. فإذا كان الرباعي المُحيط دائرياً أيضاً سُميَّ رباعيّاً ثُنائيَّ المركزِ.و يُختص الرباعي ثنائي المركز (بالإنجليزية: Bicentric quadrilateral)‏ على أنه رباعي مماسي ودائري ومن خواصه أنَّ مجموعَ أطوالِ أضلاعِه المتقابلةِ مُتساوٍ. بينما الرباعي ثنائي المركز الخارجي (بالإنجليزية: Ex-bicentric quadrilateral)‏ هو رباعي مماسي خارجي ودائري في الوقت نفسه.

يحتوي المضلع المحدب على دائرةٍ داخليةٍ إذا وفقط إذا التقت جميع منصفات زواياه في نقطة وحيدة. تُعرف هذه النقطة على أنها مركز دائرته الداخلية. أما إذا كانت أضلاع مضلع ذو $n$ رأس هي $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ ومساحته $K$ ونصف محيطه $s$ فإنَّ نصف قطر دائرته الداخلية يُحسب بالصيغة: $$r={\frac {K}{s}}={\frac {2K}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}$$

مبرهنات

تربط مبرهنة بطليموس بين أطوال أضلاع الرباعي الدائري وقُطريه.

المقالات الرئيسة: نظريات في هندسة الدائرة ومبرهنة بطليموس وخط أويلر وخط سيمسون ومبرهنة باسكال ومبرهنة فويرباخ ومبرهنة مونج ومبرهنة ميكيل

بالإضافة إلى مبرهنتَيْ خطُّ القوة وقوة النقطة اللتين ذُكرتا وبقية مبرهنات الزوايا الخاصة بالدائرة، فإنّ هناك مبرهناتٌ أخرى مُتعلقةٌ بالدائرةِ، من أبرزها وأكثرها استعمالاً:

مبرهنة بطليموس

مبرهنة بطليموس هي مبرهنة تربط بين أضلاع الرباعي الدائري وقطريه. سميت هذه المبرهنة نسبةً لعالم الفلك والرياضيات الإغريقي بطليموس. وتنص على أنَّ مجموع جداء كُلٌّ من ضلعي رباعي متقابلين مُساوٍ لجداء قُطرَيْه إذا وفقط إذا كان الرباعيُّ دائريّاً. يُعبَّرُ عن العلاقةِ السابقة رياضياً كالآتي: ${\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}={\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {AD}}$. كما أنَّ عكسَ المبرهنةِ صحيحٌ أيضاً.

خط أويلر

يظهر مستقيم أويلر (بالأحمر) مارّاً بملتقى الارتفاعات (بالأزرق)، ومركز الدائرة المحيطة (بالأخضر)، وملتقى متوسطات المثلث (بالبرتقالي) ومركز دائرة النقاط التسع (بالأحمر).

خط أويلر، نسبةً إلى ليونهارد أويلر، هو مُستقيمٌ مُعرّفٌ لكلِّ مثلثِ مختلف الأضلاع. يمرُّ بعدّة مراكز بارزة للمثلث. حيث يمر من عدة نقاط هامة محددة في المثلث. برهن أويلر في عام 1767م أن أربعة من مراكز المثلث تتسامت، وهي: ملتقى الارتفاعات $H$، ملتقى المتوسطات $G$، مركزَي الدائرتين المحيطية ودائرة النقاط التسع $O,N$. تنطبق هذه النقاط عند كَوْنِ المثلث متطابقَ الأضلاعِ. يمكن رسم مستقيم أويلر بإيجاد أي نقطتين من النقاط الأربعة والوصل بينهما.

خط سيمسون

خط سيمسون (بالإنجليزية: Simson line)‏ هو مستقيمٌ يمُرّ بمساقط نقطةٍ مشتركةٍ مع مثلثٍ في دائرته المحيطة على أضلاعه. رياضياً: إذا كان $\triangle ABC$ مثلثاً ذو دائرةٍ محيطةٍ $\Omega$ والنّقطةُ $P$ واقعةٌ عليها ومساقطها على مستقيمات المثلث $CA,AB,BC$ هي $L,M,N$ على الترتيب، فإنّ النقاط $L,M,N$ هي نقاطٌ متسامتةٌ ويُسمّى خطّها خط سيمسون. كما أنَّ عكسَ المبرهنة صحيحٌ أيضاً؛ إذا تسامتت مساقطُ نقطةٍ على أضلاع مثلث، فلا بدَّ أنَّ تقع هذه النقطة على دائرة المثلث المحيطة. بالإمكان التعبير عن ذلك أيضاً بأنَّ نقطةً ينعدمُ عندها مثلث المساقط إذا وفقط إذا وقعت على دائرته المحيطة.

مبرهنة باسكال

خط باسكال GHK للسداسي المُركّب ABCDEF المحصور في شكلٍ بيضاويٍّ. الأضلاع المتقابلة للسداسي لها اللون ذاته.

في الهندسةِ الإسقاطية، تنصُّ مُبرهنةُ باسكال (بالإنجليزية: Pascal's theorem)‏ على أنَّ لأيّ ستِّ نقاطٍ على قطعٍ مخروطيٍّ (أي: قطع ناقص، مكافئ أو زائد) وُصِلَت بينَهم قطعٌ مستقيمةٌ بأيّ ترتيبٍ بحيث تُشكّل سداسياً، فإنَّ أزواجَ الأضلاع المتقابلة من السداسي (أو امتداداتها) تتتلاقى في نقاطٍ تتسامتُ على خطّ يُسمّى خطَّ باسكال للسداسي. أسميت المبرهنة نسبةً إلى بليز باسكال، وتصحُّ أيضاً في الهندسةِ الإقليدية إلا أن هناك حالة خاصة من أن تتوازى المستقيمات ينبغي أن تؤخذ بعينِ الاعتبار.

الصيغة الرياضية لمبرهنة باسكال هي كالآتي: لأي سداسي $ABCDEF$ تقع رؤوسه على قطعٍ مخروطيٍّ فإنّ ملتقياتِ أزواج المستقيمات الآتية مُتسامتة:

$$H=AF\cap DC,G=AB\cap DE,K=AF\cap BC$$.

كنتيجة لمبرهنة باسكال، تنتج العلاقة الآتية بين أطوال الأضلاع:

$${\frac {\overline {GB}}{\overline {GA}}}\times {\frac {\overline {HA}}{\overline {HF}}}\times {\frac {\overline {KF}}{\overline {KE}}}\times {\frac {\overline {GE}}{\overline {GD}}}\times {\frac {\overline {HD}}{\overline {HC}}}\times {\frac {\overline {KC}}{\overline {KB}}}=1.$$

مبرهنة مونج

مبرهنة فويرباخ: دائرة النقاط التسع للمثلث تمس دوائره الماسّة جميعها. نقطة تماس دائرة النقاط التسع مع الدائرة الداخلية هي نقطة فويرباخ.

تنصُّ مبرهنة مونج (بالإنجليزية: Monge's theorem)‏، نسبةً إلى غاسبار مونج، على أنَّ لأيِّ 3 دوائر في المستوى لا تقع إحداهن داخل الأخرى تماماً، فإن ملتقيات أزواج المماسات المشتركة الخارجية تُسمّى مراكز التشابه الخارجية لأزواج الدوائر لها متسامتة. بالإمكان إثبات مبرهنة مونج باستعمال مبرهنة ديزارغ وكذلك بمبرهنة مينيلاوس، حيث تُحسَب النسب الداخلة في المبرهنة باستعمال بدلالة أشعة الدوائر.

مبرهنة فويرباخ

تنص مبرهنة فويرباخ (بالإنجليزية: Feuerbach's theorem)‏ على أنّ دائرةَ النقاط التسع لمثلثٍ ما تمسُّ دوائرَه الخارجية والداخلية. تُسمّى نقطة تماس دائرة النقاط التسع مع الدائرة الداخلية نقطة فويرباخ بينما نقاط تماس دائرة النقاط التسع مع دوائر المثلث الخارجية فتُسمّى مُثلثَ فويرباخ. وتُعدُّ نقطة فويرباخ مركزاً للمثلث. أي أن تعريفها لا يعتمد على أطوال أضلاع المثلث أو موضعه. أسميت النقطة نسبةً إلى المهندس الرياضي الألماني كارل فويرباخ والذي نشر مبرهنته عام 1822م. أقصر بُرهانٍ لمبرهنة فويرباخ هي باستخدام مبرهنة كايزي التي نشرها جون كايزي عام 1866م، وذلك بتطبيقها على المماسات لدوائر المثلث الخارجية والداخلية الأربع تمسُّ الدائرة الخامسة.

مبرهنة ميكيل

مبرهنة ميكيل (بالإنجليزية: Miquel's theorem)‏ هي مبرهنة تخص تقاطع 3 دوائر تمر برؤوس مثلثٍ ما. ورياضياً: إذا كان $\triangle ABC$ مثلثاً واختيرت النقاط $A',B',C'$ على أضلاعه $CA,AB,BC$ فإنَّ الدوائر المحيطة بالمثلثات $\triangle AB'C',\triangle A'BC',\triangle A'B'C$ تُسمّى دوائرَ ميكيل، وهي دوائرٌ متلاقية في نقطة وحيدة $M$ تُسمّى نقطة ميكيل. ينطبقُ عكس مبرهنة ميكيل أيضاً، وتُبرهن باستخدام خصائص الرباعيات الدائرية الناتجة عن تقاطع الدوائر مع بعضها بعضاً ومع المثلث.

خط سيمسون $LN$ (بالأحمر) للنقطة $P$ بالنسبة للمثلث $\triangle ABC$ يمُرُّ على النقاط $L,M,N$.	مبرهنة ميكيل: الدوائرُ المارةُ برؤوس مثلثٍ $\triangle ABC$ونقاطٍ مشتركةٍ على أضلاعه $A',B',C'$، تُسمّى دوائرَ ميكيل وهي متلاقية في نقطةٍ ما $M$.	تنص مبرهنة دوائر ميكيل الست على أنَّ إذا رسمت خمسُ دوائرٍ تتشارك في نقاطٍ دائريةٍ، فإنَّ نقاط تقاطعهم الأخرى أيضاً تقع على دائرةٍ سادسةٍ.
مبرهنة ميكيل وشتاينر على الرباعي التام: الدوائر المارة بمثلثات رباعي تام تلتقي في نقطة وحيدة.	مبرهنة ميكيل على الخماسي.	مبرهنةٌ الفراشة: النقطة $M$ هي منتصف $X,Y$ حيث أنَّ الوترين $AB,CD$ يمرّان بمنتصف $PQ$.

مبرهنة كايزي

المقالات الرئيسة: مبرهنة كايزي ومبرهنة الفراشة

تنصُّ مبرهنة كايزي على أنَّ:$t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}-t_{13}\cdot t_{24}=0$

مبرهنة كايزي (بالإنجليزية: Casey's theorem)‏ وتُعرَفُ أيضاً على أنها تعميمُ مبرهنة بطليموس ، هي مبرهنةٌ في الهندسة الإقليدية أسميت نسبةً إلى الرياضياتي جون كايزي. تعريفها الرياضي هو كالآتي: لتكن $\,O$ دائرةً شعاعها $\,R$. ولتكن $\,O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}$ أربعَ دوائرٍ غير متقاطعةٍ تقع داخل $\,O$وتمسها على الترتيب. وليرمز $\,t_{ij}$ إلى المماس المشترك الخارجي للدائرتين ذواتي المركزين $\,O_{i},O_{j}$، فإنَّ مبرهنة كايزي تنصُّ على أنَّ:

$\,t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}.$

لاحظ أنَّ الحالةَ المُنعدمةَ لمبرهنة كايزي هي مبرهنة بطليموس. وعكسُ المبرهنةِ صحيحٌ أيضاً، أي إذا وجدت 4 دوائر تُحقق العلاقة السابقة فإنَّ هناكَ دائرةٌ تمسُّهم جميعاً.

مبرهنة الفراشة

تنصُ مبرهنة الفراشة على أن الأوتار الواصلة بين طرفي وترين في دائرة يمران بمنتصف وتر ثالث يقطعان الوتر الثالث في نقطتين متناظرتين بالنسبة لمنتصفه. تُوصف هذه العلاقة رياضياً كالآتي: إذا كانت النقطة $M$ هي منتصف الوتر $PQ$ في دائرة، وُرسم وتران آخران $AB,CD$ يمران خلالها. فإنَّ المُستقيمان $AD,BC$ يقطعان الوتر $PQ$ في نقطتين متماثلتين $X,Y$ حول $M$، أي أنَّ النقطة $M$ هي منتصف القطعة المستقيمة $XY$.

التحويلات الهندسية

المقالات الرئيسة: تحاك وتعاكس

هُناكَ تحويلان هندسيانِ رئيسانِ بالنسبةِ للدوائر:

التحاكي

مركز التشابه الخارجي لدائرتين	مركز التشابه الداخلي لدائرتين

مركزا التشابه الداخلي والخارجي هو نقطة يحدث عليها التحويل الهندسي لجميع النقاط على الدائرتين.

التحاكي (بالإنجليزية: Homothety)‏ هو تحويل هندسي ينقل الخطوط المُستقيمة المتوازية إلى خطوط مُتوازية بمعامل تكبير عدد حقيقي غير صفري. للدائرتان المُتباعدتان مركزا تشابهٍ (أو تحاكٍ) اثنان: مركز التشابه الخارجي ومركز التشابه الداخلي. ولأنَّ جميعَ الدوائرِ مُتشابهةٌ، فإنَّه يُوجد مركز تشابهٍ (أو تحاكٍ) واحدٍ على الأقل لكل دائرتين. بالإمكان إيجاد مركزَيْ التحاكي لدائرة بعدد من الطرق. في الهندسة التحليلية، مركز التشابه الداخلي يُحسَبُ بالمتوسط الموزون لمركزي الدائرتين موزوناً بنصفي قطري الدائرتين. رياضياً، لتكن $C_{1}=(x_{1},y_{1}),C_{2}=(x_{2},y_{2})$ مركَزَيْ الدائرتين و$r_{1},r_{2}$ هما نصفَيْ قُطريهما. فإنَّ مركز التشابه الداخلي $(x_{0},y_{0})$ يُحسَب عبر الصيغة:

$$(x_{0},y_{0})={\frac {r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}(x_{1},y_{1})+{\frac {r_{1}}{r_{1}+r_{2}}}(x_{2},y_{2}).$$

بينما يُحسب مركز التشابه الخارجي $(x_{e},y_{e})$ بصيغةٍ مُماثلة عدا أنَ الإشارة مُختلفة.

مبرهنة مونج: ملتقيات أزواج المستقيمات: الحمراء، الخضراء والزرقاء مُتسامتة (على الخط الأسود).

$$(x_{e},y_{e})={\frac {-r_{2}}{r_{1}-r_{2}}}(x_{1},y_{1})+{\frac {r_{1}}{r_{1}-r_{2}}}(x_{2},y_{2}).$$كنتيجةٍ من خصائص التحاكي، يمر خط المركزين لدائرتين بمركزَيْ تشابههما الخارجي والداخلي. بالنسبة للدائرتين المُتماستين خارجياً، فإنّ طول قطعة التماس لهما مُساوٍ لوسط شعاعيهما التوافقي. تربط مبرهنة مونج بين مراكز التشابه الخاصة بثلاثٍ من الدوائر مثنىً مثنىً. وتنصُّ على أنَّ كلَّ ثلاثَةِ مراكزِ تشابهٍ لزوجٍ من الدوائر حاصل ضرب إشاراتها $1$، فإنّ هذه المراكز متسامتة.

التعاكس

النقطة $P'$ هي انعكاس النقطة $P$ بالنسبة للدائرة ذات المركز $O$.

إنشاء انعكاس لنقطة حول دائرة.

التعاكس (بالإنجليزية: Inversion)‏ هو تحويل هندسي يعكِسُ كلَّ نُقطةٍ على المُستوى حول دائرةٍ ثابتة. يُعرّف انعكاسُ النقطة $P$ المُختلفة عن المركز حول الدائرة $C(O,r)$ على أنه نُقطةٌ $P'$ تقع على الشّعاع ${\overrightarrow {OP}}$ تُحقّق العلاقة: $OP\cdot OP'=r^{2}$. هُناك اختلاف حول صورة المركز $O$، هناك من يُعرِّفُه على أن صورة $O$ هي نفسها، لكن في الغالب فإنَّه يُعرّف على أنه نقطة في اللانهاية. إنّ التعاكسَ الذي ينقلُ النقطةَ $P$ إلى صورتها $P'$ أيضاً ينقل الصورة $P'$ إلى الأصل $P$؛ وبهذا تكون دالة التحويل الهندسي الخاصة بالتعاكس دالةً ارتداديَّة، أي بعبارةٍ أخرى: الأصل يؤدي إلى الصورة والصورة تؤدي إلى الأصل.

• 
  انعكاس دائرة مارة بمركز الدائرة أخرى حول الأخيرة، يُنتج خطاً مُستقيماً.
• 
  انعكاس الدائرة الخضراء هو الدائرة الزرقاء بالنسبة للدائرة الحمراء.
• 
  التعاكس لا ينقل مراكز الدوائر إلى بعضها بعضاً.

ينقل التعاكس كُل نقطة داخل الدائرة إلى صورةٍ نظيرةٍ لها خارجها، وكل نقطة تقع على محيط الدائرة فإنَّها تبقى كما هي. يُعبِّر هذا التحويل الهندسي عن اختزالٍ للصورة المستوى اللا نهائي الواقعة عليه الدائرة، بمعنى أنه كلما قربت النقطة من مركز الدائرة كُلمَّا كانت صورتها أبعد عن الدائرة، وكلَّما كانت النقطة بعيدة من مركز الدائرة فإن صورتها تُصبح أقرب لمركز الدائرة.

الهندسة التحليلية

المقالات الرئيسة: دوال مثلثية وإحداثيات ديكارتية وإحداثيات قطبية ومستوى عقدي وتفاضل وتكامل

دائرة الوحدة والدوال المثلثية

رسمٌ توضيحيٌّ للإنشاءات الهندسية لمختلف الدوال المثلثية من الوتر $AD$ الذي يصنع زاوية $\theta$ مع محور السينات في دائرة الوحدة. بالإضافة إلى استعمال الدوال المثلثية الشائعة الحالية: sin و cos و tan و cot وsec وcsc، فإنَّ الشكل يظهرُ بعضَ الدوالِ المثلثيّةِ التي هُجِرَ استعمالُها مثل: cvs وexcsc وcrd وexsec وversin .

يمكنُ تعريفِ الدوالِ المثلثيةِ: الجيب وجيب التمام والظل ومقلوباتها، بقيمِ إحداثياتِ النقاطِ على المستوى الإقليدي المرتبطةِ بدائرة الوحدة. دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها وحدةٌ واحدةٌ ومركزها نقطة الأصل. رغم أن تعريفات المثلثِ قائمِ الزاوية للدول المثلثية تسمحُ بتعريفِها للزوايا بينَ 0 و${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ راديان فقط، إلا أنَّ تعريفاتِ دائرةِ الوِحدةِ تُعمّمُ ذلك وتمدد مجال الدوال المثلثية لتسمحَ بجميع الأعداد الحقيقية الموجبةِ والسالبةِ.

تُعطى تعريفات الدوال المثلثية من تقاطع مستقيمات مرتبطة بزاوية واقعةٍ على نقطة الأصل. إذا قطعَ الشعاعُ المنطلق من نقطة الأصل بزاويةَ $\theta$ دائرةَ الوحدةِ في النقطة $A=(x,y)$ فإنّ الدالةُ $\cos \theta$ تُعرّف على أنها الإحداثي $x$ والدالة $\sin \theta$ هي الإحداثي $y$ لنقطة التقاطع، وبمعنى آخر فإنَّ: $(x,y)=(\cos \theta ,\sin \theta )$. وبرسم مماس من النقطة $(x,y)$ يقطع محورَي السينات والصادات في النقطتين $E=(a,0),F=(0,b)$ على الترتيب، فإنَّ $a=\sec \theta ,b=\csc \theta$.

رسم دالتي الجيب وجيب التمام باستخدام دائرة الوحدة

يتطابقُ هذا التعريفُ مع تعريفِ المثلث قائم الزاوية في الفترة $(0,{\frac {\pi }{2}})$ باعتبار أنَّ نصفَ قطرِ دائرة الوحدة $OA=r$ هو وترٌ للمثلث القائم. ولأنّ كل نقطة $P=(x_{0},y_{0})$ على دائرة الوحدة تُحقّق أنَّ $x^{2}+y^{2}=1$ من مبرهنة فيثاغورس في المثلث القائم $\triangle OCA$. فإنَّ تعريف الدوال المثلثية على أنها الإحداثيات $x,y$ يُنتِجُ متطابقة فيثاغورس: $\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1$. وأخيراً فإنَّ المسافات $AF,AE$ تُعرّفُ على أنّها الدوال المثلثية: $\cot {\theta },\tan {\theta }$ على الترتيب. بشكلٍ مُشابهٍ للاستنتاج السابق، يمكن تطبيق مبرهنة فيثاغورس في بقية المثلثات القائمة $\triangle OAF,\triangle OAE,\triangle OEF$للوصول إلى متطابقات فيثاغورس الخاصة ببقية المتطابقات المثلثية. ومن تشابه هذه المثلثات القائمة السابقة، تُعطى العلاقات التي تربط بين جميع الدوال المثلثية كالآتي:

$\tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }},\quad \cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }},\quad \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }},\quad \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}.$

بما أنَّ دوراناً بزاوية $\pm 2\pi$ لا يُغير موضعَ الشكلِ ولا حجمَهُ، فإن النقاط $F,A,E$ ستبقى نفسها بالنسبة لزاويتين فرقَهُما مضاعف صحيح لـ $2\pi$. وعلى ذلكَ، فإنَّ المساواةَ $\sin \theta =\sin \left(\theta +2k\pi \right)$ و$\cos \theta =\cos \left(\theta +2k\pi \right)$ صالحةٌ لأي زاوية $\theta$ ولأي عدد صحيح $k$. تنطبق الخاصية ذاتها على الدوال المثلثية الأربع الأخرى.

الإحداثيات الديكارتية

دائرة شعاعها $r=1$، ومركزها $(a,b)$ مساوٍ إلى $(1.2,-0.5)$.

في النظام الإحداثي الديكارتي، إذا كانت النقطة $(a,b)$ مركزاً لدائرةٍ $C(a,b)$ نصف قطرها $r$، والنُّقطةُ $(x,y)$ مُتغيّرةً على مُحيطِ الدائرةِ، فإنَّ من تعريف الدائرة الذي ينص على أن البُعد بين النقطتين $C,P$ هو بُعدٌ ثابت مُساوٍ إلى $r$، فإنَّ مُعادلة تمثيل الدائرة في النظام الإحداثي الديكارتي هي الآتي:

$$\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}=r^{2}$$

تنبثقُ هذه المعادلةُ أيضاً من مبرهنة فيثاغورس عند تطبيقها بإنشاء ضلعي القائمة على الوتر $r$. عندئذٍ، تُصبحُ المسافتان $x-a$ و$y-b$ طُولَينِ للضلعين الآخرين في المثلث قائم الزاوية. هناك ثلاثةُ مواضعٍ للدائرةِ بالنّسبةِ للمحاورِ الإحداثيَّةِ: دائرةُ المركزِ ودائرة مماسة للمحور الأفقي ودائرة مماسة للمحور الرأسي. تُعتبرُ مُعادلة كلٌّ منها عن حالة خاصّة من مُعادلة تمثيل الدائرة في الإحداثيات الديكارتية الأصلية.

كحالة خاصّة، تُحسب معادلة دائرة المركز، وهي الدائرة التي مركزها نقطة تقاطع المحورين، عند انطباق مركز الدائرة على نقطة الأصل $(0,0)$ تُصبح المُعادلة بتعويض قيم $a,b$: كالآتي$$x^{2}+y^{2}=r^{2}\!\$$وبالإمكانِ كتابةُ هذهِ المعادلةِ على شكل معادلة وسيطية (بالإنجليزية: Parametric equation)‏ باستعمال الدوال المثلثية: جيب وجيب تمام على الشكل الآتي:$$x=a+r\,\cos t,\,$$$$y=b+r\,\sin t\,$$حيث أن $t$ هو وَسِيطٌ (بالإنجليزية: Parameter)‏ تتغيرُ قيمتُه بين العددين $0$ و $2\pi$. هندسيَّاً، يُمثّل هذا الوسيطُ الزاويةَ التي يُكَوِّنُها الشَّعاعُ المَارُّ بالنقطتين $(a,b)$ و $(x,y)$ مع المحور الأفقي. المعادلة الوسيطية التالية تمثل أيضاً دائرة:

$$x=a+r\cdot {\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\,$$$$y=b+r\cdot {\frac {2t}{1+t^{2}}}$$

إذا كانت الدائرة تمس المحور الأفقي فتُسمّى دائرة مماسة للمحور الأفقي وتُصبح المُعادلة على الصورة: $\left(x-a\right)^{2}+\left(y-r\right)^{2}=r^{2}$. وبصورةٍ مماثلةٍ، إذا كانت الدائرة مماسةً للمحور الرأسي فتُصبح المُعادلة على الصورة: $\left(x-r\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}=r^{2}$.

كما أنه بالإمكان أيضاً إيجاد مُعادلة الدائرة بمعلوميَّة إحداثيات طرفي قطر فيها. إذا كان $AB$ قطراً في الدائرة، وكانت إحداثيَّات النقطتين $A,B$ هي $A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$ بحيث أنهما نقطتان معلومتان عليها. تُؤخذ نقطة ثالثة $P(x,y)$ على مُحيط الدائرة وبما أن $AB$ قُطر في الدائرة، فإن $m{\widehat {\displaystyle APB}}={\frac {1}{2}}\cdot 180=90$ وعليه فإن $AP\perp PB$، ليكن ميل المستقيمين $m_{1},m_{2}$ هما على الترتيب، حيث:

$$m_{1}={\frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}},m_{2}={\frac {y-y_{2}}{x-x_{2}}}$$ولِكَوْن $AP\perp PB$ فإن $m_{1}m_{2}=-1$ وعليه تكون مُعادلة الدائرة بمعلومية طرفي قطر فيها تُصبح على الصورة:$$(x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})=0$$إذا كانت $P=(x_{1},y_{1})$ نقطةً على دائرةٍ نصف قطرها $r$ على المستوى الإحداثيّ، فإنَّ المماسَ المنطلقَ منها تُكتَب مُعادلَتُه على الشكل:$$(x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}.\!\$$

صيغة الثلاث نقاط

بالإمكان تحديد مُعادلة الدائرة من أي ثلاثِ نقاطٍ ليست على استقامةٍ واحدةٍ: $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})$عبر المعادلة الآتية:$${\frac {({\color {green}x}-x_{1})({\color {green}x}-x_{2})+({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {green}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {green}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}$$

يُعبَّر عن المُعادلة أحياناً بالمصفوفة الصفرية الآتية أيضاً:$${\begin{bmatrix}x^{2}+y^{2}&x&y&1\\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&1\end{bmatrix}}=0$$وبالإمكان كتابتها أيضاً على صورة المعادلة التربيعية:

$ax^{2}+cy^{2}+dx+ey+f=0$

حيثُ أنَّ $c=a$ وَ: