دائرة

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث
دائرة
Circle - Arabic.png
رسم توضيحي للدائرة، يُوضِّحُ القطرَ ونِصفَ القطرِ والوترَ وقوساً منها والمحيطَ.
أضلاع ورؤوس حافة واحدة
المساحة ط نق۲
المحيط ۲ط نق
زاوية داخلية (درجة) عديمة الزَّوايا.
خصائص مُنحنىً.

الدَّائرَة هي شكلٌ مُغلقٌ بسيطٌ مُستوٍ في الهَندسِةِ الإقليدية. تُعرّف الدّائرة على أنّها المحل الهندسي لنقاط غير منتهية واقعة في المستوى من على بعد ثابت من نقطة ثابتة ما، هي مركز الدائرة.[ملاحظة 1][1][2][3] وبشكل مكافئ هي مُنحنىً ترسمه النّقطة المتحرّكة ذات مسافة ثّابتة مع نقطة ثابتة أخرى. تُسمّى المسافة من أي نقطة من على المحيط إلى المركز نصفَ قُطْرِ أو شعاعاً، وينتج عن قسمة محيط الدّائرة على قطرها عدداً حقيقيّاً يُعرف بالثّابت الرّياضي (ط).


حاول المصريون القدماء والبابليّون سابقاً إيجاد مساحة الدائرة. وكانت الدّائرة محط اهتمام بالأخص عند الإغريقيّة القديمة، حيث حاول أرخميدس تحويل الدّائرة إلى مربع ذو المساحة ذاتها باستعمال فرجار ومسطرة فقط ولكنّه فشل في ذلك. أُطلق على عملية تحويل الدائرة إلى مربع اسم "تربيع الدائرة".

محتويات

التّسمية[عدل]

تعود تسمية الدائرة في اللغة العربية إلى الفعل «دار»، والدائرة هي ما أحاط بالشّيء وتعني أيضاً «الحلقة».[4][5][6] وفي اللغة الإنجليزية يعود أصل تسمية الدائرة (بالإنجليزية: Circle) إلى الكلمة الإغريقية κίρκος/κύκλος (تُنطق: كيركوس/كوكلس) والتي هي تحريف من الكلمة الإغريقية الهومرية κρίκος (كريكوس)،[ِ 1] والتي تعني «الطّوق» أو«الخاتم» مع تشابه أصول مرادفات الدّائرة في اللغة الإنجليزية.

التاريخ[عدل]

الفرجار في هذا المخطوط الذي يرجع تاريخه إلى القرن الثالث عشر الميلادي يرمز إلى الخلق. وتظهر هالة القداسة هي أيضاً دائرية الشكل.
قطعة من برديّة ريند الرّياضيّة.

عُرفت الدّائرة قبل بداية تسجيل التاريخ. لوحظت الدّوائر في الطبيعيّة، كالقمر، الشمس والنّباتات ذات الأزهار الدّائرية. الدّائرة كانت الأساس للعجلة، والتي ارتبطت مع ابتكارات أخرى كالتروس التي مكّنت من تطور الآلات الحديثة. في الرياضيات، دراسة الدائرة ساعدت في تطوير علوم الهندسة، والفلك، والتفاضل والتكامل. العلوم المُبكّرة، بالأخص علوم الهندسة، والتنجيم، والفلك ارتبطت بالأديان لمعظم علماء القرون الوسطى، والعديد منهم اعتقد بأن الدائرة -جوهريّاً- تحمل شيئاً «مُقدّساً» أو «كاملاً مثاليّاً».[ِ 2][ِ 3]

عهد حضارة المصريين القدماء[عدل]

تقدير لمساحة الدائرة في بردية بيبرس، الشّكل المرسوم في البرديّة أعلاه هو ثماني غير منتظم.

علاوة على النّقطة والخط المستقيم، عُرفت الدائرة على أنها أقدم العناصر للهندسة ما قبل الأغريقية.[ِ 4] في الألفية الثانية قبل الميلاد، عمل المصريّون القدماء على دراسة الهندسة. ووصلوا إلى تغطية موضوع مساحة الدائرة، عن طريق تربيع ثمانية أتساع طول قطرها، فحسبوا المساحة كالآتي:

وعندها قد حسبوا مساحة الدّائرة بنسبة خطأ تُقدّر بزيادة 0.6% وُجد هذا التّقدير في بردية ريند الرّياضيّة، والّذي جاء بعد تقريب مساحة الدائرة إلى ثُماني غير منتظم.[ِ 4]

عهد الحضارة البابليّة[عدل]

استعمل البابليّون (1,900 حتى 1,600 ق.م) طريقة مُغايرة تماماً لحساب مساحة الدّائرة. خلافاً لما فعله المصريّون فقد حسبوا مُحيط الدّائرة، وقدّروه بأن طوله مساوٍ لثلاث أضعاف قطر الدّائرة.[ملاحظة 2] وقدّروا مساحة الدّائرة بإنها واحد من إثني عشر من مربع طول المحيط، والّتي هي:[ِ 4]

عنوان كتاب العناصر المُترجم إلى الإنجليزيّة سنة 1570م.

بنسبة خطأ -4.5%.

ارتبط البابليون بأضلاع الدائرة أيضاً، وكانوا قادرين على إيجاد طول وتر أو إيجاد المسافة العمودية المنصّفة بين الوتر والمحيط. وبهذه الطّريقة أنشأوا هندسة الأوتار، والّذي طوّرها بعدها هيبارخوس، ووضع بطليموس كلوديوس أساساتها في كتابه الفلكي "المجسطي".[ِ 4]

عهد الإغريق[عدل]

يُعتبر طالس (546-624 ق.م.) فيلسوفاً مُهمّاً في فترته، كما كان مُهتّماً بالرّياضيات. وقد نقل العلوم الهندسية من مصر إلى الإغريق. الجملة المنسوبة إلى طالس تنص على أن الزوايا المحيطية لنصف الدائرة قائمة.[ِ 4]

أول تعريف عُرف للدائرة يرجع إلى الفيلسوف الإغريقي أفلاطون (428/427-348/347 ق.م.)، والّذي صاغها في حواره بارمنيدس:[ِ 5]

«الدّائرة قد تكون ذلك الشّكل الذي أطرافه تحمل نفس البُعد من المركز.» – أفلاطون، بارمنيدس

لم يُعرف عن الرياضياتي الإغريقي أقليدس الإسكندرية (300 ق.م.) سوى القليل، ولكن كان أغلب عمله في مجال الهندسة مُعتبراً حتى الوقت الحاضر، ولا زالت تُنسب بعض المفاهيم والأفكار في الرّياضيات إليه كالفضاء الإقليدي، والهندسة الإقليدية أو القياسات الإقليدية. استخلص إقليدس مقترحات لمسلّمات رياضية، أطلقها في كتابه العناصر:[ِ 6][ِ 4]

«الدّائرة هي شكل مُسطّح يحصره خط واحد، وبحيث جميع الخطوط المستقيمة مرسومة من نقطة مُعيّنة داخلها إلى الخط الحاصر مُتساوية. فإن الخط الحاصر يُسمّى مُحيطاً والنقطة المُعيّنة تُسمّى مركزاً. » – إقليدس، كتاب العناصر

كتاب العناصر لإقليدس كان أحد أنجح وأهم أعماله، وهو عبارة عن 13 فضلاً جمع فيها مقالات مُلخّصة نظّمت وجمعت أفكار وعلوم الحساب والهندسة في وقته. في الفصل الثالث من الكتاب جمع إقليدس جميع المفاهيم المُتعلّقة بالدّائرة ونظّمها فيه.

حلٌّ (بالوردي) لمسألة أبولونيوس، الدوائر المعطاة مُلّونة بالأسود.

أثبت أرخميدس في دراساته "كرسيمس" أن مساحة الدائرة مُساوية لنصف المحيط مضروباً في نصف القطر.[ِ 7] وبهذا المفهوم فقد حول مسألة تربيع الدائرة إلى سؤال "كيف تُنشئ المحيط من نصف قطر مُعطىً". وفي ورقته قياس الدّائرة حصر أرخميدس قيمة عن طريق رسم مُضلّعات مُنتظمة تمس الدائرة من الخارج تارةً ومن الدّاخل تارةً أخرى وإيجادها بنسبة المُحيط إلى القطر: . ومن المتباينة يُستخدم التّقدير الشّائع، والّذي لا زال يُستعمل حتى اليوم بأن . ومن العلاقتين يُمكن استنتاج أن مساحة الدائرة إلى مربع قطرها مُساوٍ تقريباً إلى . وكان أقليدس على علم بأن مساحة الدائرة تتناسب مع مربع قطرها.[ِ 8][ِ 5] وهنا أعطى أرخميدس تقديراً جيّداً لهذا الثّابت النسبي.

وفي عمل آخر لأرخميدس "على اللوالب"[ِ 7] يصف أرخميدس الإنشاء الّذي نُسب اسمه لاحقاً إليه بتسميته لولب أرخميدس. بهذا الإنشاء كان أرخميدس قادراً على تحويل محيط دائرة ما إلى خط مستقيم. وبهذه الطّريقة، فإنه يُمكن لمساحة الدائرة تحديدها بدقة. ومع ذلك فإنه لا يُمكن إنشاء اللولب باستعمال المسطرة والفرجار.[ِ 9]

فصّل أبولونيوس البرغاوي (262-190ق.م) في قطاعه المخروطي كونيكي أن الإهليلج والدّائرة ما هما إلا جزئي قمع مخروطي قائم، والتّي لا زالت حتّى الآن تُعرّف على أنها كذلك في الهندسة الجبرية. رجعت رؤاه وراءً إلى سابقيه في هذا المجال إقليدس وأرسطيوس (حوالي سنة 330 ق.م.)، والذي كثّف الأطروحات والدّراسات حول القطوع المخروطية.[ِ 4]

وفقاً لأبولونيوس، فإن مسألة أبولونيوس تطرح تساؤلاً حول كيفية إنشاء دائرة تمسّ ثلاث دوائر باستعمال الأدوات الإقليديّة: الفرجار والمسطرة فقط. مقارنةً بالعناصر الإقليديّة التّي وضعت أساسات الهندسة في العصور الوسطى، أعمال أبولونيوس كانت ملحوظة أكثر في العالم الإسلامي. في أوروبا الغربيّة، أصبحت كتبه أكثر أهمية في القرن السابع عشر الميلادي، عندما لاحظ يوهانز كيبلر أن الإهليلج هو المسار الحقيقي التي تتخذه الكواكب حول الشمس.[ِ 4]

عصر النّهضة[عدل]

فيرديناند اللينديمان.

في تاريخ العلوم، الفترة بين 1400 ق.م. وَ 1630 ق.م. كان غالباً ما يُرمز لها بعصر النّهضة العلمية، بالرّغم من أن الفترة الزمنية لا تُصادف دوريات تاريخ الفنون. في هذه الفترة، كانت العناصر الإقليدية تجذب اهتمامات أكثر، حيث كانت بين أوائل الكتب المطبوعة والمنشورة في القرون اللاحقة في العديد من الطبعات المختلفة. في عام 1482 ق.م. أنتج إرهارد راتدولت أول نسخة مطبوعة من كتاب العناصر لإقليدس في البندقية. واحدة من أهم النسخ لكتاب عناصر إقليدس عدّلها جيسويت كريستوف كلافيوس، حيث جمع بين النّصوص الأصلية لإقليدس مع كتب أواخر XIV وَXV.

القرن التاسع عشر[عدل]

في عام 1882م، كان فيرديناند فون لينديمان قادراً على إثبات أن العدد عدد حقيقي غير نسبيٍّ، وفقاً لمساهمات ليونهارد أويلر، الّذي وضع متطابقة أويلر، ويوهان هينريتش، وتشارلز هيرمايت فإنه لا توجد دالّة كثيرة حدود مع معاملات نسبيّة أحد حلولها . ومع ذلك فقد أُثبت في القرن السابع عشر الميلادي أن عدد الدائرة يجب أن يكون حلّاً للدالة كثيرة الحدود بحيث تكون عملية تربيع الدائرة بالمسطرة والفرجار فقط، وبهذا فقط أُثبت أنه لا توجد طريقة كهذه.[ِ 4]

أحداث بارزة أخرى[عدل]

بعض من الأحداث التّاريخية البارزة والهامّة في تاريخ الدائرة:

  • دوائرٌ فِي رسمٍ فلكيِّ عربيٍّ قديمٍ.
    في عام 1700 قبل الميلاد، أعطت ورقة قديمة تعود إلى ذلك الزمان طريقة تمكن من إيجاد مساحة الدائرة. تعطي هاته الطريقة قيمة مقربة ل π و هي 256 / 81 (أي 3.16049...).[ِ 10]
  • في عام 300 قبل الميلاد، تحدث الجزء الثالث من كتاب أصول أقليدس عن خصائص الدوائر.
  • في الرسالة السابعة لأفلاطون، هناك تعريف وشرح للدائرة.
  • في عام 1880، أثبت فيردينوند فون ليندمان أن عدد متسام، ليحل وبشكل نهائي المعضلة المطروحة منذ آلاف السنين والمتمثلة في تربيع الدائرة.[ِ 11]

المصطلحات والتعاريف[عدل]

يُمكن وصف الدائرة على أنها حالة خاصة من الإهليلج، وتكون حين تنطبق بؤرتا الإهليلج مع مركز الدائرة وعلى الوجه المقابل فهي قطع مخروطي ينتج من تقاطع مخروط قائم مع مستوى عمودي على محوره. وتوصف أيضاً بأنّها الشكل الذي يحصر أكبر مساحة نسبةً إلى طول مُحيطه. وفقاً لتعريف الدّائرة والذي ينص على أنها مجموعة نقاط على مستوى تبعد البعد ذاته عن نقطة ثابتة ما، فيمكن إعادة صياغة التّعريف إلى أن الدائرة هي منحنىً مغلق أحادي البُعد.[ملاحظة 3] وكونها كذلك فهي تقسم المستوى إلى جزئين: داخل الدائرة وخارجها. في الاستعمال اليومي المتداول، قد يستعمل مصطلح «دائرة» للإشارة إلى محيط الدائرة[ِ 12]، كما أنه قد يستعمل للإشارة إلى ما يوجد بداخل الدائرة؛ ولكن في الاستعمال التّقني الدّقيق، الدائرة هي المحيط فقط ويُسمّى ما داخلها قُرصاً. غالباً ما يُفرّق الرَّياضيُّونَ بين السطح الدائري المغلق أو القرص والسطح الدائري المفتوح (يُسمّى بالدائرة الداخلية) اعتماداً على وقوع خط الدائرة في الاعتبار من عدمه.

المصطلحات الرئيسة[عدل]

يُرمز للدائرة التي مركزها ونصف قطرها [ملاحظة 4] رياضيَّاً بالرموز: «» و«» أو يُكتَفى بذكر «الدائرة » للإشارة إليها.[1] ويُرمز لها في الترميز العلمي العربي بحرف "د".

المصطلح التّعريف / الملاحظات الترميز العربي التّرميز اللاتيني صورة
المركز أو نقطة المنتصف أو النّقطة المركزية هي نقطة ثابتة تبعد البعد نفسه عن جميع النقاط الواقعة على المحيط.[ملاحظة 5][2] م أو تعريفات الدائرة الرئيسة.svg
المحيط طول مسار المحل الهندسي لنقطة مُتحرّكة في مستوٍ تبعد بعداً ثابتاً عن المركز.[2] مح [ملاحظة 6]
المساحة قياس السطح المحصور بمحيط الدَّائرة. م
نصف قطر أو الشعاع هو قطعة مستقيمة تصل بين المركز وأي نقطة واقعة على المحيط.[2] نق
قطر وتر مار بمركز الدائرة. ويتكون من نصفَي قطْرين يقعان على استقامة واحدة. ق
وتر قطعة مستقيمة تصل بين أي نقطتين على محيط الدائرة.[1]

أجزاء الدائرة[عدل]

الجزء التّعريف / الملاحظات الترميز العربي التّرميز اللاتيني صورة
قوس جزء متّصل من محيط الدائرة. قوس-قطاع-قطعة.svg
قطاع المساحة المنحصرة بين نصفي قطر والقوس الواصل بينهما.
قطعة المساحة المنحصرة بين وتر والقوس الذي يحصره.
نصف الدائرة القوس الممتد من طرفي القطر.
قرص منطقة المستوى التي تحصرها الدائرة
نصف قرص المنطقة المحصورة بين القطر والقوس الممتد من طرفيه.[ملاحظة 7]

النتائج والعلاقات[عدل]

التَّعريف الرِّياضيٌّ للدائرَةِ[عدل]

إذا وقع مركز الدائرة على المستوى فإن الدائرة تُعرَّف رياضيَّاً باستخدام نظرية المجموعات:[7][1]

وتُقرأ: الدائرة التي مركزها ونصف قطرها هي مجموعة جميع النقاط التي تنتمي إلى المستوى ، وتبعد المسافة عن النقطة .[7][1]

المحيط وثابت النّسبة[عدل]

القطر والشعاع[عدل]

يرتبط الشّعاع مع القطر بالعلاقة أو .[7][1] القطر: قطعة مستقيمة تصل بين أي نقطتين واقعتين على المحيط مروراً بالمركز. والقطر هو أطول قطعة مستقيمة بين أي نقطتين من على الدائرة ويُعتبر حالة خاصة من الوتر، القطر يقسم الدائرة إلى قسمين متطابقين.[ملاحظة 8][2][1]

مُحيط الدّائرة مُساوِ لثابت النّسبة ط () إذا وفقط إذا كان قطر الدّائرة مُساوٍ لوحدة طول واحدة.

بما أن جميع الدّوائر مُتشابهة، فإن النّسبة بين محيط الدائرة وقطرها ثابت لجميع الدّوائر. وقد وجد العلماء[ملاحظة 9] ذلك عندما حاولوا اكتشاف قانون عام لإيجاد طول محيط الدائرة لوحظ أن النسبة بين محيط الدائرة[ملاحظة 10] على القطر ثابتة رغم اختلاف الدوائر وأطوال مُحيطاتها، وتُعرف النّسبة كذلك بناتج قسمة المحيط على القطر ويُرمز لها بالرّمز ط أو (باي) باللاتينية.[8][2] ويمكن القول أيضاً بأن محيط الدّائرة يكون مُساويّاً للثابت ط إذا وفقط إذا كان قطر دائرة مساوياً لوحدة طول واحدة. يُربط بين ثابت النّسبة ط وبين القطر والمُحيط بالمُعادلة التّالية، مع اختلاف بعض الصّيغ المُشتّقة أصلاً منها:[2]

في مسائل الدّائرة وإيجاد المجاهيل منها، غالباً ما يُستعمل تقريب لقيمة ط، وهو غالباً التقريب المُشتق من مُتباينة أرخميدس التي أوجدها. الفقرة الآتية توضح التقريبات الشّائعة لقيمة ط:

مثال1: دائرة قطرها 7 وحدات طول، يُمكن إيجاد مُحيطها بالعلاقة وبأخذ التّقريب لقيمة ط عندها، وبالتعويض: ويظهر أن طول المُحيط -تقريباً- 22 وحدة طول.

مثال2: دائرة نصف قطرها 17.5 وحدة طول، بالإمكان إيجاد مُحيطها بالعلاقة وبأخذ التّقريب لقيمة ط مُجددّاً فعندها، وبالتعويض: ويظهر أن طول المُحيط -تقريباً- 110 وحدة طول.

مثال2: دائرة مُحيطها 157 وحدة طول، بالإمكان إيجاد نصف قطرها بالعلاقة وفي هذه المرّة بأخذ التّقريب لقيمة ط فعندها، وبالتعويض: ويظهر أن طول نصف القطر-تقريباً- 25 وحدة طول.

المساحة[عدل]

توضيح للطريقة المُستخدمة في استنتاج قانون مساحة الدائرة تقديريّاً.

تتناسب مساحة الدّائرة طرديّاً مع مُربّع نصف القطر أو مُربّع القطر بثابت تناسب ، ومساحة الدائرة هي أكبر مساحة من بين الأشكال نسبةً إلى محيطها. وهذا يربط الدائرة بمعضلة في مجال حساب التغيرات وبالتحديد بمعضلة متباينة المحيط الثابت. يُرمز لمساحة الدّائرة بالعربية بالحرف م، وباللاتينيّة بالرّمز (من اللاتينيّة: Area أي: مساحة).

مساحة الدائرة تساوي: × مساحة المربع الملون. يُوضّح هذا الرّسم أن مساحة الدّائرة ينبغي -قطعاً- أن تكون أقل من .[9]

النّهايات المُتتالية أساسية للحصول على قانون مساحة الدّائرة. بتقسيم قرص الدّائرة إلى قطاعات وجمعها، يظهر لنا مستطيل طوله وعرضه وعلى هذا تكون مساحة الدّائرة مُكافئة لمساحة المُستطيل بالقانون:[8][2]

مثال: مساحة دائرة طول نصف قطرها 10 وحدات طول تُساوي ط × نق2 ≈ 3.14 × 10 × 10 = 314 وحدة مُربّعة.

القطع والقطاعات[عدل]

أي وتر في الدائرة يقسمها إلى جُزأين يُسمّى كلُّ منهما قطعةً. وأي نصفي قطرين في الدائرة يُحددان معاً جزءاً من الدّائرة يُسمّى قطاعاً.[2]

القطاع[عدل]

يعتمد حجم قطاع الدائرة على قياس الزاوية المركزية التي يحصرها، وحيث أن القطاع يُمثّل نسبةً من مساحة الدّائرة الكُلّية فبالإمكان التوصل إلى قيمة تلك النسبة عن طريق قسمة قياس الزاوية المركزية التي يحصرها على 360 وهي قياس الدائرة الكُلّية ومن ثمّ تُضرب النّسبة في مساحة الدائرة الأصلية حتى يُحصل على مساحة القطاع. أي أن: مساحة القطاع مُساوية لحاصل ضرب نسبة الزاوية المركزية التي يحصرها إلى 360 في مساحة الدائرة الكُلّية.[2]

تُستعمل القطاعات كذلك في الإحصاء لتمثيل البيانات، وبطريقةٍ مُشابهة فإنه يُؤخذ تناسب زاوية القطاع المركزية إلى 360 مع النسبة المئوية للبيانات، حيث تُمثّل الدائرة الكاملة في الإحصاء نسبة 100%.

الزّوايا والأقواس[عدل]

تُصنَّف الزوايا في الدائرة حسب موقع رأسها بالنسبة للدائرة:

التصنيف التّعريف / الملاحظات الترميز العربي التّرميز اللاتيني صورة
زاوية مركزية[ملاحظة 11] زاوية محصورة بين نصفي قطرين[1] [2] Inscribed angle theorem.svg
زاوية محيطية[ملاحظة 12] زاوية محصورة بين وترين متلاقيين على المحيط
زاوية مماسية زاوية محصورة بين مماس وأي وتر فيها يمر بنقطة التماس
زاوية داخلية زاوية ناتجة عن تقاطع وترين داخل الدَّائرة
زاوية خارجيَّة زاوية محصورة بين قاطعين
الزاوية المُحيطيّة للقطر قائمة.

الزاوية المركزية والزَّاوية المُحيطيَّة[عدل]

حالات الزاوية المحيطية
الحالة الأولى الحالة الثَّانية الحالة الثَّالثة
زاوية-محيطية1.svg زاوية-محيطية2.svg زاوية-محيطية3.svg
يقع مركز الدَّائرة خارج الزَّاوية المُحيطيَّة يقع مركز الدَّائرة على أحد ضلعي الزَّاوية المُحيطية يقع مركز الدَّائرة داخل منطقة الزَّاوية المُحيطيَّة
  • الزاوية المركزية تُساوي ضعفَ الزاوية المُحيطية المُشتركة معها على القوس نفسه.[10]
    • نتيجة: الزوايا المحيطية التي تحصر القوس نفسه متساوية.[10]
    • نتيجة: الزاوية المُحيطية التي تحصر قطراً قائمةٌ.[10]
  • الزوايا المُحيطية المُتساوية تحصر أقواساً مُتساويةً وأوتاراً متساوية والعكس صحيح.[10]

الزوايا الخارجيَّة والزوايا الدَّاخليَّة[عدل]

  • الزاوية الداخلية تُساوي نصف مجموع قياسي القوسين المَحصُورَينِ بين ضلعاها.[10]
  • الزاوية الخارجية تساوي نصف الفرق بين قياسي القوسين المحصورين بين ضلعاها.[10]

الزَّاوية المماسيَّة[عدل]

وتُساوي نصف قياس القوس الذي تحصره.[10]

الأقواس[عدل]

الأقواس وقياساتها
القوس التعريف قياسه صورة
القوس الأصغر القوس الأقصر الذي يصل بين نقطتين على الدَّائرة يُساوي قياس الزَّاوية المركزية المُقابلة له، ويقل قياسه عن 180. قوس-أصغر.svg
القوس الأكبر القوس الأطول الذي يصل بين نقطتين على الدَّائرة قوس-أكبر.svg
نصف الدَّائرة قوس تقع نقطتا طرفيه على قطر الدَّائرة نصف-دائرة.svg
النقطتان تقسمان الدائرة إلى قوسين: قوس أكبر، وقوس أصغر.

إذا كانت نقطتين مختلفتين على دائرة فإنهما يقسمان الدائرة إلى قوسين: قوس أصغر : وهو مجموعة النقاط الناتجة عن تقاطع الدائرة مع نقاط الزاوية المركزية الداخلية، والقوس الأكبر وهو متمم القوس الأصغر للدائرة كاملةً، النقطتان هما طرفا كل من القوس والوتر وبالإمكان التعبير عن القوس بالتعبير: القوس يواجه الوتر . لاحظ أنَّ إذا كانت نقطتين متقابلتين قطريَّاً، فإن كلاً من القوسين المقابلين لهما يُسمَّى نصف دائرة، وأن كل قطر يُحدد نصفين للدائرة.[1]

يُعبِّرُ مصطلح «قياس القوس» إلى قياس الزاوية المركزية التي تحصر القوس، وباعتبار أن الدائرة قوساً مُتَّصِلَ الطَّرفَينِ فإن قياسها بالدرجات . من ذلك فإن قياس الأقواس الناتجة عن قطع زاوية مركزية لدائرتين متحدتي المركز لهما القياس نفسه؛ لاشتراكهما في قياس الزاوية المركزية. ويتطابق قوسان من دائرة واحدة إذا وفقط إذا كان لهما القياس نفسه.[1]

طول القوس[عدل]

إذا كان طول القوس يساوي ، فإنَّ النسبة بين طول القوس إلى مُحيط الدَّائرة يُساوي نسبة قياس القوس إلى قياس الدَّائرة كاملةً.

التّطابق في الأقواس[عدل]
  • في الدَّائرة نفسها أو في الدَّوائر المُتطابقة يتطابق قوسان إذا وفقط إذا تطابقت الزاويتان المركزيَّتان المتقابلتان معهما.
  • مبرهنة: أطوال أوتار الدائرة الواحدة تتساوى إذا وفقط إذا تساوت قياسات أقواسهما المتناظرة.[1]

البرهان:

بفرض أن الوترين لهما الطول نفسه في الدائرة ، من تساوي أشعة الدائرة الواحدة يكون: . وعلى ذلك ، وبما أن الزوايا المتناظرة لمثلثين متطابقين متطابقة ينتج المطلوب.[1]

  • مبرهنة: الوتر الأكبر يحصر قوساً ذا قياسٍ أكبر من قياس القوس الذي يحصره الوتر الأصغر. والعكس صحيح.
  • مبرهنة: الوتر الأكبر يبعد بعداً عن مركز الدائرة أقل من بعد الوتر الأصغر.
الدَّائرة وعلاقات الزَّوايا
موقع رأس الزَّاوية نماذج قياس الزَّاوية
على مركز الدَّائرة قياس القوس المقابل نفسه
على الدَّائرة نصف قياس القوس المقابل
داخل الدَّائرة نصف مجموعي قياسي القوس المقابل للزاوية والقوس المقابل للزاوية التي تقابلها بالرأس
خارج الدَّائرة نصف الفرق المطلق بين قياسي القوسين المقابلين لها

المُستقيمات[عدل]

تُصنَّف المستقيمات بالنسبة لدائرةٍ ما حسب عدد نقاط تقاطعها معها:

التصنيف التّعريف / الملاحظات الترميز العربي التّرميز اللاتيني رسمٌ يُظهرُ موضع كُلٌ من القاطع والمماس والمار بالنسبة للدائرة. الزّاوية التي يصنعها المماس مع نصف قطر الدائرة هي زاوية قائمة.
مستقيم قاطع مستقيم يقطع الدائرة في نقطتين. SekTangPass-ar.svg
مستقيم ماس مستقيم يُمسّ[ملاحظة 13] الدَّائرة في نقطة وحيدة.
مستقيم مار و مستقيم لا يمس ولا يقطع الدائرة في أي نقطة.
مستقيم منصف مستقيم يمر بمركز الدائرة.[1]

الأوتار[عدل]

  • طول أي وتر داخل الدائرة لا يزيد عن .[1]

البرهان:

ليكن وتراً في الدائرة . من متباينة المثلث: لكن إذن وتحصل المساواة عند تلاشي المثلث وانتماء مركز الدائرة إلى الوتر أي كون قطراً في الدائرة.[1][ملاحظة 14]

  • العمود المنصف لوتر يُنصف القوسين اللذان يحصرهما ويمر بمركز الدائرة.[1]
  • يتساوى وتران في الدائرة إذا وفقط إذا وقعا على مسافة واحدة من مركز الدائرة.[1]
  • الوتران الموازيان في دائرة يقسمانها يحصران قوسين متساويي الأطول.[1]
  • القطر العمودي على وتر في دائرة يُنصِّفه ويُنصِف كلاً من قوسيه. القطر الذي يُنصِّف وتراً (ليس قطراً) في دائرة يكون عموديَّاً على هذا الوتر. العمود المنصف لوتر في دائرة يمر بمركز الدَّائرة.

المستقيمات المماسة[عدل]

هو مستقيم يمس الدائرة عند نقطة وحيدة. عند كون المسافة[ملاحظة 15] بين المركز والمستقيم مُساوية لنصف القطر، فإن للدائرة والخط المستقيم نقطة تماس مشتركة واحدة ويُسمّى حينها مماسّاً للدائرة.[1][10]

  • المماس عند نقطة التماس يكون عموديّاً بنصف القطر الواصل بينها وبين المركز.[1][10]
  • المماسان المرسومان من نقطة واحدة متطابقان.[1][10]
  • مماس الدَّائرة هو مماس لنصف هذه الدَّائرة التي تحوي نقطة التماس.

مستقيم مماس لدائرة ما في نقطة P تنتمي إلى الدائرة هو مستقيم عمودي على قطر الدائرة ويمر من النقطة P. إذا كانت (P = (x1, y1, وكان مركز الدائرة هو (a, b)، وكان شعاعها هو r، فإن المستقيم المماس للدائرة هو مستقيم عمودي على المستقيم المار من النقطتين (a, b) و (x1, y1). ولهذا السبب، تكتب معادلته الديكارتية على شكل

وبتعويض قيمة العددين x و y ب x1 و y1 على التوالي، يُحصل على المعادلة التالية:

أو

المستقيمات القاطعة[عدل]

عند كون المسافة بين المركز والمستقيم أصغر من نصف القطر، فإن للدائرة والخط المستقيم تقاطعان مُختلفان ويُسمّى حينها مُستقيماً قاطعاً للدائرة.

المستقيمات المارَّة[عدل]

المستقيم المار هو مستقيم لا يمس ولا يقطع الدائرة في أي نقطة. عند كون المسافة بين المركز والمستقيم أقل من نصف القطر، فإنه لا يكون للدائرة والخط المستقيم أي نُقاط مشتركة. وفي هذه الحالة يُسمّى بالمستقيم المار أو المستقيم العابر.[1]

قوُّة النُّقطة[عدل]

قوة النُّقطة
الاسم النص صورة
نظرية قِطَع الوتر إذا تقاطع وتران في دائرة فإن حاصل ضرب طولي جزأي الوتر الأول يساوي حاصل ضرب طولي جزأي الوتر الثاني[10]
نظرية القاطع إذا رسم قاطعان لدائرة من نقطة خارجها، فإن حاصل ضرب طول القاطع الأول في طول الجزء الخارجي منه، يساوي حاصل ضرب طول القاطع الثاني في طول الجزء الخارجي منه.[10]
نظرية إذا رسم مماس وقاطع لدائرة من نقطة خارجها فإن مربع طول المماس يساوي حاصل ضرب ول القاطع في طول الجزء الخارجي منه.[10]

خط القوَّة[عدل]

خط القُوَّة أو المحور الأساسي (بالإنجليزية: Radical axis) هو المحل الهندسي لمجموعة النقاط في المُستوى التي لها نفس القوة بالنِّسبة لدائرتين مُتباعِدَتين.[10]

  • خط القوة لدائرتين عمودي على المُستقيم المار بمركزيهما.[10]
  • خط القوة لدائرتين متقاطعتين يمر بنقطتي تقاطعهما.[10]
  • خط القوة لدائرتين متماسَّتين يمر بنقطة تماسّهما ويكون حينئذٍ مماسَّاً مُشتركاً لهما.[10]
  • خط القوة لدائرتين مُتماسّتين من الخارج يمر بمنتصف قطعة المماس المُشترك الآخر لهما.[10]
  • لأي ثلاث دوائر مراكزها ليست على استقامة واحدة، فإن محاورها الرَّئيسيَّة مثنى مثنى تتقاطع في نقطة واحدة تُسمَّى المركز الأساسي أو مركز القوة للدوائر الثلاث.[10]

النقاط[عدل]

هُناك ثلاث حالات ممكنة لموقع نقطة ما بالنسبة إلى دائرة مُعطاة في المستوى نفسه تُصنّفُ حَسب بُعدِها من مركز الدائرة:

التصنيف التّعريف / الملاحظات الترميز العربي الترميز اللاتيني صورة
نقطة داخلية عند كون المسافة بين المركز والنقطة أصغر من نصف القطر، فإن النقطة تقع داخل الدائرة.[3] [ملاحظة 16] أو [ملاحظة 17]
نقطة مُحيطيَّة عند كون المسافة بين المركز والنقطة مساوية لنصف القطر، فإن النقطة تقع على محيط الدائرة.[3] [ملاحظة 16] أو
نقطة خارجيَّة عند كون المسافة بين المركز والنقطة أكبر من نصف القطر، فإن النقطة تقع خارج الدائرة.[3] [ملاحظة 16] أو [ملاحظة 18]
نقطتان متقابلتان أو النقطتان المتقابلتان قطريَّاً هما نقطتا طرفي قطر ما في الدَّائرة[1]

النقاط الدَّاخليَّة[عدل]

تُعرَّف نقاط الدائرة الداخلية على أنها مجموعة نقاط في المستوى بحيث .[7][1][3] [ملاحظة 19]

مجموعة النقاط الداخلية مجموعة محدبة.[1]

البرهان:

لتكن ولتكن من تعريف مجموعة النقاط الداخلية فإن ، ولأن على القطعة المستقيمة فهذا يعني أن إحدى الزاويتين غير منفرجة[ملاحظة 20]. بفرض - دون فقد العموميَّة - أنَّ ، بتطبيق متباينة المثلث في المثلث : إذن .[1]

النقاط المُحيطيَّة[عدل]

النقطة المحيطية هي أي نقطة تنتمي إلى كما سبق تعريفها.[1][3][ملاحظة 21]

النقاط الخَارِجيَّة[عدل]

تُعرَّف نقاط الدائرة الخارجية على أنها مجموعة نقاط في المستوى بحيث [3][1][ملاحظة 22]

نقطتان متقابلتان[عدل]

وهما متماثلتان بالنسبة لمركز الدائرة. وتُعرَّف مجموعة أزواج النقاط التي تحقق ذلك رياضياً:[1]

القرص[عدل]

هو منطقة المستوى التي تحصرها الدّائرة. ويعرَّف رياضيَّاً:[1]

أزواج الدَّوائر[عدل]

دائرتان متطابقتان دائرتان متحدتا المركز دائرتان منطبقتان
تُعرف الدَّائرة على أنها مُطابقةٌ إلى دائرةٍ أُخرى إذا وفقط إذا تطابقت أنصاف أقطارهما.[1] دائرتان يشتركان في المركز نفسه. دائرتان متحدتان مركزياً لهما الشعاع نفسه.
تطابق دائرتين.svg دائرتان متحدتا المركز.svg
التي نصف قطرها والتي نصف قطرها دائرتان متحدتا المركز.
دائرتان متباعدتان دائرتان متماستان دائرتان متقاطعتان
دائرتان لا تشتركان في أي نقطةٍ دائران تمسان مستقيماً في نقطةٍ مشتركةٍ أعلى عدد ممكن من التقاطعات بين دائرتين هو تقاطعان.
دائرتان متباعدتان2.svg دائرتان متباعدتان.svg خارجيَّاً داخليَّاً دائرتان متقاطعتان.svg دائرتان متقاطعتان2.svg
دائرتان متماسَّتان يقع مركز كلِّ منهُما خارج مُحيط الأخرى دائرتان متماسَّتان يقع مركز إحداهما في قرص الأخرى
دائرتان متقاطعتان1.svg دائرتان متماستان.svg

دائرتان متقاطعتان[عدل]

الاتحاد المركزي[عدل]

التطابق[عدل]

المماسَّات المُشتَرَكَة والمُستقيمات الخاصَّة[عدل]

التصنيف التّعريف / الملاحظات الترميز العربي التّرميز اللاتيني
مماسٌ مشتركٌ داخليّ
مَماسٌ مشتركٌ خارجيّ
قطعة التماس قطعة من مماس مشترك طرفاها نقطتا تماس الدَّائرين
خطُّ المركزين قطعة مستقيمة تصل بين مركزي دائرتين
وتر مُشترك وتر طرفاه هما نقطتا تقاطع دائرتين

خط المركزين[عدل]

  • خط المركزين لدائرتين متقاطعتين عموديّ على وترهما المُشترك ويُنصِّفه.
  • نقطة التماس لدائرتين تقع على خط المركزين أو على امتداده.
  • طول قطعة التَّماس بين دائرتين يُساوي الوسط الهندسي لأنصاف أقطارهما.

أشكال مُركَّبة[عدل]

المصطلح التّعريف / الملاحظات الترميز العربي التّرميز اللاتيني صورة
حلقة شكل شبيه بالخاتم محصور بدائرتين متحدتيّ المركز.
عدسة تقاطع قرصين.

أربيلوس[عدل]

العلاقات بين الدَّوائر والمُضلََّعات[عدل]

الرُّباعيُّ الدَّائِريّ[عدل]

تعريفه[عدل]

يكون الشكل الرُّباعي دائريَّاً إذا وفقط إذا تحقق أحد الشروط الآتية:[10]

  • وُجدت نُقطة داخل الرُّباعي بحيث تبعد بعداً متساوٍ عن رؤوسه.
  • وُجدت زاويتان مُتقابلتان منه مُتكاملتان.
  • وُجدت زاويتين متساويتين رأسهما إحدى رأسي الرُّباعي على جهة واحدة من قاعدته.

المُثلَّث[عدل]

الدَّائرة المُحيطة لمثلث[عدل]

  • لكل مُثلّث[ملاحظة 23] توجد دائرة وحيدة تمر برؤوسه.

البرهان: لتكن ، ، ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة. عندئذ، يكون المُنصّفان العموديّان للقطعتين وَ غير متوازيين لانعدام استقامة النقاط؛ ولذا لتكن نقطة تقاطعهما هي ، وبما أن فإن الدائرة التي تمر بالنقاط الثلاث يكون مركزها .

الدَّائرة الدَّاخليَّة لمثلث[عدل]

لكل مثلث يُوجد دائرة وحيدة تمس جميع أضلاعه تُسمَّى الدَّائرة الدَّاخلية أو الدَّاخلة. الدَّوائر الخارجيَّة لمثلث

لكل مثلث توجد 3 دوائر خارجية تمس امتدادات أضلاعه.

دائرة النُّقاط التسع[عدل]

مضلَّع مُحيط بدَائرة[عدل]

المُضلَّع المُحيط بالدَّائرة هو مضلع تمس جميع أضلاعه دائرة وحيدة. وتُسمَّى هذه الدَّائرة: الدَّائرة الدَّاخليَّة للمضلَّع. الرُّباعي المُحيط بدائرة يختص بأن كل مجموع طولي كل ضلعين متقابلين منه متساوٍ.

المضلَّعات المُنتظمة[عدل]

التمثيل والرّسم بالمعادلات[عدل]

الإحداثيات الديكارتية[عدل]

دائرة شعاعها ، ومركزها مساوٍ إلى .

في النظام الإحداثي الديكارتي، إذا كانت النقطة هي مركزٌ لدائرة نصف قطرها ، والنُّقطة مُتغيّرة على مُحيط الدائرة، فإن من تعريف الدائرة أن البُعد بين النقطتين هو بُعدٌ ثابت مُساوٍ إلى ، وبذلك تُستنتج مُعادلة تمثيل الدائرة في النظام الإحداثي بالشكل الآتي:[3]

وهذه المعادلة تنبثق من مبرهنة فيثاغورس، عند تطبيقها بإنشاء ضلعي القائمة على الوتر . وعندها تُصبح المسافتان و هما طولا الضلعين الآخرين في المثلث قائم الزاوية.

في المُستوى الإحداثي، هناك ثلاث مواضع للدائرة بالنّسبة للمحاور الإحداثيَّة، وتُعتبر مُعادلة كلٌّ منها حالة خاصّة من مُعادلة تمثيل الدائرة في الإحداثيات الديكارتية الأصلية:

  1. دائرة المركز: عند انطباق مركز الدائرة على نقطة الأصل تُصبح المُعادلة بتعويض قيم :[3]
    وبالإمكان كتابة هذه المعادلة على شكل معادلة وسيطية (ويُطلق عليها اسم معادلة بارامترية أيضاً) باستعمال الدوال المثلثية جيب وجيب تمام:
    حيث أن وسيط تتغير قيمته بين العددين و . هندسيَّاً، يُمثّل هذا الوسيط الزاوية التي يكونها الشعاع المار من النقطتين و مع محور السينات. المعادلة الوسيطية التالية تمثل أيضاً دائرة:
  2. دائرة مماسّة لمحور السينات: إذا كانت الدائرة تمس محورَ السيناتِ تُصبح المُعادلة على الصورة: .[3]
  3. دائرة مماسّة لمحور الصادات: إذا كانت الدائرة تمس محورَ الصاداتِ تُصبح المُعادلة على الصورة: .[3]

بالإمكان أيضاً إيجاد مُعادلة الدائرة بمعلوميَّة إحداثيات طرفي قطر فيها. إذا كان قطراً في الدائرة، وكانت إحداثيَّات النقطتين هي بحيث أنهما نقطتان معلومتان عليها. تُؤخذ نقطة ثالثة على مُحيط الدائرة وبما أن قُطر في الدائرة، فإن وعليه فإن ، ليكن ميل المستقيمين هما على الترتيب، حيث:[3]

.

ولِكَوْن فإن وعليه تكون مُعادلة الدائرة بمعلومية طرفي قطر فيها تُصبح على الصورة:[3]

مركز الدَّائرة المُحيطة لمثلث[عدل]

الإحداثيات القطبية[عدل]

في النظام الإحداثي القطبي، المعادلة القطبية للدائرة التي نصف قطرها ومركزها عن النقطة يُمكن الحصول عليها باستخدام قانون جيب تمام الزاوية للمثلث ، حيث أن النقطة تُعبّر عن أي نقطة على الدائرة، على الصورة:[3]

حيث أن هي الإحداثية القطبية لنقطة ما من الدائرة و هي الإحداثية القطبية لمركز الدائرة. حالة خاصّة من ذلك عند كون مركز الدائرة عند النقطة فإن وَ وبالتالي تأخذ معادلة الدائرة في الصورة القطبية الصورة: .[3]

وعند كون مركز الدائرة عند النقطة تأخذ المعادلة الصورة: .[3]

المستوى العقدي[عدل]

في المستوى العقدي، دائرة مركزها هو c ونصف قطرها هو r تمثل بالمعادلة . وقد تكتب هاته المعادلة بالشكل البارامتري التالي : .

التناظر[عدل]

الدائرة هي أكثر الأشكال تناظراً، أي خط مستقيم يمر بمركز الدائرة يحقق خاصية التناظر الانعكاسي وخاصية التناظر الدوراني. زمرة تماثل الدائرة هي زمرة متعامدة.

الرسم والإنشاء[عدل]

يُستخدم الفرجار في الرسومات الهندسية الدقيقة للدوائر، وأخذ قياسات الأضلاع ومطابقتها.

الفرجار[عدل]

مرسام[عدل]

تُستخدَم حواف المرسام لرسم الدوائر الصغيرة أو طلائها بالبخاخ والدهان على الجدران.

دوائر خاصَّة[عدل]

دائرة الوِحْدَة[عدل]

مبرهنات ومسائل[عدل]

تربيع الدائرة[عدل]

تربيع دائرة هي معضلة وضعها علماء الهندسة القدامى، تتمثل في إنشاء مربع مساحته تساوي مساحة دائرة معينة باستعمال عدد منته من الخطوات فقط بواسطة الفرجار والمسطرة.

في عام 1882، أُثبت أن هذه المهمة مستحيلة، نتيجة لمبرهنة ليندمان-ويرستراس التي تُبرهن على أن π عدد متسام بدلا من أن يكون مجرد عدد جبري غير جذري (عدد جبري هو عدد يكون جذرا لمتعددة حدود عواملها كلها أعداد كسرية).

في الأبعاد الأخرى[عدل]

الكرة[عدل]

تختص الدائرة في تعريفها أن تكون النقاط التي تبعد البعد نفسه عن المركز على أن تكون في المستوى نفسه أيضاً، وبهذا فإن النظير الثلاثي الأبعاد للدائرة هو الكرة، حيث أنها مجموعة النقاط التي تبعد البعد نفسه عن نقطة ثابتة في الفضاء. يتكون المقطع الجانبي للكرة من دوائر.

الأُسطوانة[عدل]

معرض صور[عدل]

في الأعلام والرموز[عدل]

في اللغات والثقافة[عدل]

في التقنية[عدل]

في القياس والعلوم[عدل]

في العمارة والفنون[عدل]

في الطَّبيعةِ[عدل]

انظر أيضاً[عدل]

ملاحظات[عدل]

  1. ^ في بعض الكُتب يُذكر هذا التّعريف نفسه، مع تقليل المصطلحات لمراعاة المرحلة الدّراسية التي يستهدفها الكتاب. كالتعريف الآتي على سبيل المثال: "الدائرة: هي مجموعة نّقاط على مستوى تبعد البعد ذاته من نقطة ثابتة ما، هي مركز الدّائرة".
  2. ^ وهو في الواقع ضعف طول القطر أي ما يُساوي تقريباً 3.14 ضعف طول القطر، وهو تقدير قريب جداً نسبةً إلى ذلك الزّمن.
  3. ^ لاحظ أن تعريف الدّائرة ينص على أنّها "مجموعة نقاط".
  4. ^ يُشتَرط لنصف قطر الدائرة أن يكون عدداً حقيقيَّاً موجباً.
  5. ^ جاء التّرميز العبي للمصطلح نسبةً إلى كلمة "مركز".
  6. ^ ويُقرأ مُحيط الدَّائرة .
  7. ^ نصف القرص هو حالة خاصة من القطعة، ويُعرف أيضاً بأنه "أكبر قطعة في الدائرة".
  8. ^ القطر هو حالة خاصّة من الوتر، حيث ينطبق عليه نفس تعريف الوتر ويُمكن القول بإنّ القطر هو أطول وتر ممكن في الدّائرة. يُرمز للقطر بـ"ق" أو "2 نق" حيث أن طوله ضعف طول الشّعاع.
  9. ^ أبرزهم: غياث الدين الكاشي. نسخة محفوظة 08 سبتمبر 2018 على موقع واي باك مشين.
  10. ^ كانوا يقيسون طول محيط الدّائرة عن طريق إحاطته بخيط ثُمّ قياس طوله مستقيماً لاحقاً.
  11. ^ لأن رأسها يكون نقطةَ المركز.
  12. ^ لكون رأسها على المحيط من الداخل
  13. ^ أو يقطع الدائرة في نقطة واحدة.
  14. ^ لاحظ أن طول قطر الدائرة ثابت ويساوي وأن أي وتر آخر لا يمثل قطراً فإن طوله أصغر من قطر الدائرة.
  15. ^ المسافة بين نُقطة ومُستقيم تُعرف بأنها المسافة العموديّة بين النّقطة والمُستقيم. وتُقاس بقياس طول العمود السّاقط من النقطة على المستقيم، ويُرمز للمسافة بين نقطةٍ ما ومستقيم ما بـ.
  16. أ ب ت ترميز النقطة الواحدة.
  17. ^ هو ترميز لمجموعة النقاط الداخلية. وهو اختصار للكلمة الإنگليزيَّة: والتي تعني داخليّ.
  18. ^ هو ترميز لمجموعة النقاط الخارجية. وهو اختصار للكلمة الإنگليزيَّة: والتي تعني خارجيّ.
  19. ^ أو بمعنى آخر: عندَ كون المسافة بين المركز والنقطة أصغر من نصف القطر، فإن النقطة تقع داخل الدائرة.
  20. ^ أي: إما أن تكون حادة أو قائمة.
  21. ^ أو بمعنى آخر: عند كون المسافة بين المركز والنقطة مساوية لنصف القطر، فإن النقطة تقع على محيط الدائرة.
  22. ^ أو بمعنى آخر: عند كون المسافة بين المركز والنقطة أكبر من نصف القطر، فإن النقطة تقع خارج الدائرة.
  23. ^ أو يُعبَّر عنه أحياناً بـ: ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة.

مراجع[عدل]

باللغة العربية[عدل]

  1. أ ب ت ث ج ح خ د ذ ر ز س ش ص ض ط ظ ع غ ف ق ك ل م ن ه و ي أأ أب أت سمحان، معروف؛ التويجري، نجلاء؛ توبان، ليانا (1437هـ/2016م). رياضيات الأولمبياد - مرحلة الإعداد: الهندسة (الطبعة الأولى). الرياض: العبيكان للنشر. ISBN 978-603-503-866-9. اطلع عليه بتاريخ 6 سبتمبر، 2017م.. 
  2. أ ب ت ث ج ح خ د ذ ر ز "الدوائر (العام الدراسي 8, الهندسة والوحدات) – Matteboken". Matteboken. اطلع عليه بتاريخ 05 سبتمبر 2017. 
  3. أ ب ت ث ج ح خ د ذ ر ز س ش ص ض ط أديب، عادل نسيم (2009-01-01). الهندسة التحليلية. Al Manhal. ISBN 9796500139 تأكد من صحة |isbn= القيمة: checksum (مساعدة). 
  4. ^ Team، Almaany. "تعريف و معنى دائرة في معجم المعاني الجامع، المعجم الوسيط ،اللغة العربية المعاصر - معجم عربي عربي - صفحة 1". www.almaany.com (باللغة الإنجليزية). اطلع عليه بتاريخ 14 أغسطس 2017. 
  5. ^ مجمع اللغة العربية (2004م). المعجم الوسيط. مكتبة الشروق الدولية. اطلع عليه بتاريخ 14 آب، 2017م. 
  6. ^ عمر، أحمد (2008م). معجم اللغة العربية المعاصرة. القاهرة، مصر: عالم الكتاب. اطلع عليه بتاريخ 14 آب، 2017م. 
  7. أ ب ت ث Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg New York 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 143.
  8. أ ب "الهندسة - الدائرة". www.schoolarabia.net. اطلع عليه بتاريخ 05 سبتمبر 2017. 
  9. ^ "الدوائر (العام الدراسي 8, الهندسة والوحدات) – Matteboken". Matteboken. اطلع عليه بتاريخ 05 سبتمبر 2017. 
  10. أ ب ت ث ج ح خ د ذ ر ز س ش ص ض ط ظ ع غ ف صابر، طارق؛ أندريكا، دورين (1434هـ). رياضيَّات الأولمبياد، الهندسة، الجزء الأول. الرياض. دار الخريجي للنشر والتوزيع. اطلع عليه بتاريخ 21 سبتمبر، 2018م. 

بلغات أجنبية[عدل]

  1. ^ "Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon, κρίκ-ος". www.perseus.tufts.edu. اطلع عليه بتاريخ 14 أغسطس 2017. 
  2. ^ آرثر كوستلر, The Sleepwalkers: A History of Man's Changing Vision of the Universe (1959)
  3. ^ برقلس, The Six Books of Proclus, the Platonic Successor, on the Theology of Plato Tr. Thomas Taylor (1816) Vol. 2, Ch. 2, "Of Plato" نسخة محفوظة 13 مارس 2017 على موقع واي باك مشين.
  4. أ ب ت ث ج ح خ د ذ Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin, Heidelberg, New York, ISBN 3-540-67924-3.
  5. أ ب Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. Springer, Berlin, Heidelberg, 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage 2007, Korrigierter Nachdruck 2009, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 145.
  6. ^ Euclid (2013-05-09). The Thirteen Books of the Elements (باللغة الإنجليزية). Courier Corporation. ISBN 9780486157290. 
  7. أ ب بالإنجليزية: Thomas Little Heath: The works of Archimedes, ed. in modern notation, with introductory chapters. University press, Cambridge 1897. Kreismessung: S. 91  ff., Über Spiralen: S. 151 ff., (Digitalisat).
  8. ^ Euklids Elemente. XII, § 2.
  9. ^ Siehe Gericke: Antike und Orient. S. 120 ff.
  10. ^ "Chronology for 30000BC to 500BC". www-history.mcs.st-andrews.ac.uk. اطلع عليه بتاريخ 14 أغسطس 2017. 
  11. ^ Squaring the circle. History.mcs.st-andrews.ac.uk. Retrieved on 2012-05-03. نسخة محفوظة 20 مايو 2017 على موقع واي باك مشين.
  12. ^ Ilia Nikolaevich Bronštein: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri German, 5th edition, Thun and Frankfurt 2001, p. 143.

وصلات خارجية[عدل]