دالة التكامل اللغارتمي

في الرياضيات، دالة التكامل اللغارتمي (الإنجليزية: Logarithmic integral function) أو اللغارتم التكاملي^[1] $\operatorname {li} (x)$ هي دالة خاصة. إنها ذات صلة بمشاكل الفيزياء ولها أهمية في نظرية الأعداد. على وجه الخصوص، وفقًا لمبرهنة سيغل-فالفيش ^{[الإنجليزية]}، يعتبر هذا تقريبًا جيدًا للدالة العادّة للأعداد الأولية، التي هي معرفة على أنها عدد الأعداد الأولية أقل من أو تساوي قيمة معينة $x$ .

التمثيل التكاملي

التكامل اللغارتمي له تمثيل تكاملي المعرفة على جميع الأعداد الحقيقية الموجبة مع $x$ ≠1 من قبل التكامل المحدد.

\operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}~.

هنا، يشير $ln$ إلى اللغارتم الطبيعي . الدالة $1/ln(t)$ لها نقطة تفرد عند $t$ =1 ، والتكامل من أجل $x$ > 1 يجب أن تفسر على أنها قيمة رئيسية لكوشي.

\operatorname {li} (x)=\lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\int _{0}^{1-\varepsilon }{\frac {dt}{\ln t}}+\int _{1+\varepsilon }^{x}{\frac {dt}{\ln t}}\right)~.

يتم تعريف التكامل اللغارتمي لأويلر كما يلي:

\operatorname {Li} (x)=\operatorname {li} (x)-\operatorname {li} (2)\,

يمكن تمثيله على شكل التكامل:

\operatorname {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}\,

على هذا النحو، فإن تمثيل التكامل له ميزة تجنب التفرد في مجال المكاملة.

الدالة li(x) لها جذر موجب؛ تنعدم عند

x ≈ 1.45136 92348 83381 05028 39684 85892 02744 94930...

؛ يُعرف هذا العدد باسم ثابت رامانوجان-سولدنر (الإنجليزية: Ramanujan–Soldner constant).

−Li(0) = li(2) ≈ 1.045163 780117 492784 844588 889194 613136 522615 578151...

تمثل القيمة السابقة: $-(\Gamma \left(0,-\ln 2\right)+i\,\pi )$ ، حيث $\Gamma \left(a,x\right)$ هي دالة غاما غير كاملة ^{[الإنجليزية]}؛ تُعرف هذه القيمة بقيمة كوشي الرئيسية للدالة.

\operatorname {li} (x)=\gamma +\ln \ln x+{\sqrt {x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(\ln x)^{n}}{n!\,2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}.

دالة التكامل اللغارتمي مهمة في نظرية الأعداد، وفيها تظهر في تقديرات عدد الأعداد الأولية أقل من قيمة معينة. على سبيل المثال، تنص مبرهنة الأعداد الأولية على أن دالة التكامل اللغارتمي لأويلر تشبه الدالة العادة للأعداد الأولية، بتعبير رياضي: