دالة الجيب الزائدية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث
جيب زائدي
منحنى دالة الجيب الزائدي على جزء من ℝ.
منحنى دالة الجيب الزائدي على جزء من ℝ.
ترميز
دالة عكسية
مشتق الدالة
مشتق عكسي
(تكامل)
الميزات الأساسية
زوجية أم فردية؟ فردية
مجال الدالة
المجال المقابل
دورة الدالة 2πi
قيم محددة
القيمة/النهاية عند الصفر 0
نهاية الدالة عند +∞
نهاية الدالة عند -∞
جذور الدالة 0
نقاط ثابتة 0


الجيب الزائدي (بالإنجليزية: Hyperbolic Sine)‏ في الرياضيات هي دالة زائدية لها خصائص ومميزات مُعَرِّفَة لها.

تعريف[عدل]

يُرمز لدالة الجيب الزائدي بـ sinh (أو sh)[1] وهي معرفة بالعلاقة التالية:

حيث هو الأس المركب.

دالة الجيب الزائدي هي دالة فردية.

دالة الجيب الزائدية هي نظيرة دالة جيب الزاوية في الهندسة الزائدية.

خصائص[عدل]

الخصائص العامة[عدل]

الخصائص المثلثية[عدل]

من خلال تعاريف الدالتين (جيب التمام الزائدي والجيب الزائدي)، يًمكن استنتاج المتساويات التالية:

هذه المتساويات هي مماثلة لصيغة أويلر في علم المثلثات الكلاسيكية.

إذا كانت الإحداثيات ((cos(t), sin(t)) تُحدد دائرة، فإن نفس الإحداثيات ((cos(t)، sin(t)) تُحددان الجزء الموجب من القطع الزائد، إذن لكل فإن:

.

من ناحية أخرى، لكل  :

 ;
 ;
 ;
.

استخدام الصيغ المثلثية مثل يُمَكِّنُ من الحصول على علاقات أكثر تفصيلا، وذلك على غرار:

 ;

دالة الجيب الزائدي في متسلسلة تايلور[عدل]

في متسلسلة تايلور، يُصبح تعبير دالة Sinh على الشكل التالي:

.

القيم[عدل]

هذه بعض قيم دالة Sinh:

  •  ;
  •  ;
  • .

الأصفار[عدل]

الدالة Sinh لها جذر حقيقي وجذور خيالية محضة حيث: .

الدالة العكسية[عدل]

رسم بياني للدالة العكسية للجيب الزائدي على جزء من ℝ.

الدالة sinh تقبل دالة عكسية يُرمز لها بـ arsinh (أو argsinh أو argsh أو في بعض الأحيان sinh-1)[2]، وتُسمى الدالة العكسية لدالة الجيب الزائدي، وهي دالة متعددة الفروع، لكن لها فرع رئيسي وعادة ما يكون معرف على:[3] و  :
بحيث:

,

وبما أن و هي دوال تنتمي إلى اللوغاريتم العقدي والجذر التربيعي العقدي، إذن إذا كانت فإن:

أو

البناء الهندسي لدالة sinh في ℝ على ℝ يُحقق إذن المتساوية التالية:

.


انظر أيضا[عدل]

المراجع[عدل]

  1. ^ يوصي المعيار الدولي ISO 80000-2:2009 بالترميز: sinh. "نسخة مؤرشفة". Archived from the original on 7 أكتوبر 2016. اطلع عليه بتاريخ 28 مايو 2019. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)صيانة CS1: BOT: original-url status unknown (link)
  2. ^ يوصي المعيار ISO 80000-2:2009 بالترميز: arsinh.
  3. ^ وليام كاهان (1987), Branch cuts for complex elementary functions or Much ado about nothing's sign bit (PDF), Clarendon Press, صفحة 165-210 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link).