دالة بيتا

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
الخط المنسوب لدالة بيتا
الرسم البياني لدالة بيتا لقيم موجبة لكل من x و y

في الرياضيات، دالة بيتا (بالإنجليزية: Beta function)، والمعروفة أيضا باسم تكامل أويلر من النوع الأول، هي دالة خاصة تعطي بالعلاقة التالية:


 \mathrm{\Beta}(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt
\!

لكل \textrm{Re}(x), \textrm{Re}(y) > 0.\,

تعاقب علي دراسة هذه الدالة كل من أويلر وليجاندر والذي أعطاها هذا الاسم هو جاك بينيه. يعد الرمز B هوأحد الحروف الكبيرة في الكتابة اليونانية أما الحرف الصغير له فهو β.

الخصائص[عدل]

تعتبر دالة بيتا دالة دالة متماثلة ، وهذا يعني:


 \Beta(x,y) = \Beta(y,x).
\!

يمكن تعريف دالة بيتا بدلالة دالة غاما وذلك عن طريق الصيغة التالية :


 \Beta(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}
\!

عندما يكون كل من x و y عددا صحيحا موجبا تكون صيغة دالة بيتا كالتالي :


 \Beta(x,y)=\dfrac{(x-1)!\,(y-1)!}{(x+y-1)!}
\!

حيث (Gamma (x تساوي x! عندما يكون x عددا صحيحا موجبا.

وتوجد العديد من الصيغ لدالة بيتا منها :


 \Beta(x,y) =
  2\int_0^{\pi/2}(\sin\theta)^{2x-1}(\cos\theta)^{2y-1}\,d\theta,
  \qquad \mathrm{Re}(x)>0,\ \mathrm{Re}(y)>0
\!

 \Beta(x,y) =
  \int_0^\infty\dfrac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,dt,
  \qquad \mathrm{Re}(x)>0,\ \mathrm{Re}(y)>0
\!

 \Beta(x,y) =
  \sum_{n=0}^\infty \dfrac{{n-y \choose n}} {x+n},
\!

 \Beta(x,y) = \frac{x+y}{x y} \prod_{n=1}^\infty \left(1+ \dfrac{x y}{n (x+y+n)}\right)^{-1},
\!

 \Beta(x,y)\cdot(t \mapsto t_+^{x+y-1}) = (t \to t_+^{x-1}) * (t \to t_+^{y-1}) \qquad x\ge 1, y\ge 1,
\!

 \Beta(x,y) \cdot \Beta(x+y,1-y) =
  \dfrac{\pi}{x \sin(\pi y)},
\!


العلاقة بين دالة بيتا ودالة غاما[عدل]

لايجاد التكامل الذي يمثل دالة بيتا، نبدأ بحاصل ضرب دالتين غاما :


 \Gamma(x)\Gamma(y) =
  \int_0^\infty\ e^{-u} u^{x-1}\,du \int_0^\infty\ e^{-v} v^{y-1}\,dv
=\int_0^\infty\int_0^\infty\ e^{-u-v} u^{x-1}v^{y-1}\,du  \,dv.
\!

بتبديل المتغيرين بوضع u=zt و (v=z(1-t يتضح ما يلي:


\int_{z=0}^\infty\int_{t=0}^1\ e^{-z} (zt)^{x-1}(z(1-t))^{y-1}z\,dt  \,dz
=\int_{z=0}^\infty \ e^{-z}z^{x+y-1} \,dz\int_{t=0}^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt.
\!

ومن ثم،


 \Gamma(x)\,\Gamma(y)=\Gamma(x+y)\Beta(x,y).

المشتقات[عدل]

تكون مشتقة دالة بيتا علي الصورة :

{\partial \over \partial x} \mathrm{B}(x, y) = \mathrm{B}(x, y) \left({\Gamma'(x) \over \Gamma(x)} - {\Gamma'(x + y) \over \Gamma(x + y)} \right) = \mathrm{B}(x, y) (\psi(x) - \psi(x + y)),

حيث \ \psi(x) هي دالة ثنائي غاما

التكاملات[عدل]

يشمل تكامل نورلايد-ريز تكامل دالة بيتا.

التقريب[عدل]

يمكن تقريب دالة بيتا عن طريق تقريب ستيرلينغ ويعطي الصيغة التالية :

\Beta(x,y) \sim \sqrt {2\pi } \frac{{x^{x - \frac{1}{2}} y^{y - \frac{1}{2}} }}{{\left({x + y} \right)^{x + y - \frac{1}{2}} }}

وذلك لكل من x و y كبيرين ، أما ان كان x كبير و y محدود فتكون الصيغة كالتالي:

\Beta(x,y) \sim \Gamma(y)\,x^{-y}.

دالة بيتا غير الكاملة[عدل]

تعتبر دالة بيتا غير الكاملة تعميما لدالة بيتا وتعطي بالصيغة:

 \Beta(x;\,a,b) = \int_0^x t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt. \!

عندما x=1 توؤل دالة بيتا غير الكاملة الي دالة بيتا الكاملة والعلاقة بين الدالتين كالعلاقة بين دالة غاما وتعميماها دالة غاما غير الكاملة.

دالة بيتا غير الكاملة المنظمة أو المعرفة اختصارا ب دالة بيتا المنظمة تعرف عن طريق دالة بيتا غير الكاملة والكاملة كالتالي:

 I_x(a,b) = \dfrac{\Beta(x;\,a,b)}{\Beta(a,b)}. \!

بحل هذا التكامل (يمكن حله بالتكامل بالتجزئة) سوف نجد:

 I_x(a,b) = \sum_{j=a}^{a+b-1} {(a+b-1)! \over j!(a+b-1-j)!} x^j (1-x)^{a+b-1-j}.

خصائصها[عدل]

 I_0(a,b) = 0 \,
 I_1(a,b) = 1 \,
 I_x(a,b) = 1 - I_{1-x}(b,a) \,
 I_x(a+1,b) = I_x(a,b)-\frac{x^a(1-x)^b}{a B(a,b)} \,

حساب دالة بيتا[عدل]

أنظر أيضا[عدل]

المراجع[عدل]

وصلات خارجية[عدل]