دالة بيتا

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
الخط المنسوب لدالة بيتا
الرسم البياني لدالة بيتا لقيم موجبة لكل من x و y

في الرياضيات، دالة بيتا (بالإنجليزية: Beta function)، والمعروفة أيضا باسم تكامل أويلر من النوع الأول، هي دالة خاصة تعطي بالعلاقة التالية:

لكل

تعاقب علي دراسة هذه الدالة كل من أويلر وليجاندر والذي أعطاها هذا الاسم هو جاك بينيه. يعد الرمز B هوأحد الحروف الكبيرة في الكتابة اليونانية أما الحرف الصغير له فهو β.

الخصائص[عدل]

تعتبر دالة بيتا دالة دالة متماثلة ، وهذا يعني:

يمكن تعريف دالة بيتا بدلالة دالة غاما وذلك عن طريق الصيغة التالية :

عندما يكون كل من x و y عددا صحيحا موجبا تكون صيغة دالة بيتا كالتالي :

حيث (Gamma (x تساوي x! عندما يكون x عددا صحيحا موجبا.

وتوجد العديد من الصيغ لدالة بيتا منها :


العلاقة بين دالة بيتا ودالة غاما[عدل]

لايجاد التكامل الذي يمثل دالة بيتا، نبدأ بحاصل ضرب دالتين غاما :

بتبديل المتغيرين بوضع u=zt و (v=z(1-t يتضح ما يلي:

ومن ثم،

المشتقات[عدل]

تكون مشتقة دالة بيتا علي الصورة :

حيث هي دالة ثنائي غاما

التكاملات[عدل]

يشمل تكامل نورلايد-ريز تكامل دالة بيتا.

التقريب[عدل]

يمكن تقريب دالة بيتا عن طريق تقريب ستيرلينغ ويعطي الصيغة التالية :

وذلك لكل من x و y كبيرين ، أما ان كان x كبير و y محدود فتكون الصيغة كالتالي:

دالة بيتا غير الكاملة[عدل]

تعتبر دالة بيتا غير الكاملة تعميما لدالة بيتا وتعطي بالصيغة:

عندما x=1 توؤل دالة بيتا غير الكاملة الي دالة بيتا الكاملة والعلاقة بين الدالتين كالعلاقة بين دالة غاما وتعميماها دالة غاما غير الكاملة.

دالة بيتا غير الكاملة المنظمة أو المعرفة اختصارا ب دالة بيتا المنظمة تعرف عن طريق دالة بيتا غير الكاملة والكاملة كالتالي:

بحل هذا التكامل (يمكن حله بالتكامل بالتجزئة) سوف نجد:

خصائصها[عدل]

حساب دالة بيتا[عدل]

أنظر أيضا[عدل]

المراجع[عدل]

وصلات خارجية[عدل]