المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر، أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها.

دالة تكعيبية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث
Question book-new.svg
المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر. يرجى إيراد مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (مارس 2016)
مخطط الدالة التكعيبية ، ذات ثلاث جذور حقيقية. جذور الدالة هي عند تقاطع المخطط مع محور السينات x.

في الرياضيات وبالتحديد في الجبر، الدالة التكعيبية (بالإنجليزية: Cubic function) هي دالة رياضية لها الشكل التالي:

حيث a لا يساوي الصفر. أو هي متعددة حدود من الدرجة الثالثة.

مشتق الدالة التكعيبية هي دالة تربيعية، وتكامل الدالة التكعيبية هي دالة من الدرجة الرابعة.

إذا كان يصبح لدينا "معادلة تكعيبية" أو معادلة من الدرجة الثالثة :

حيث :. إذا كانت a = 0, فتصبح معادلة تربيعية. أما إذا كان a و b مساويين للصفر, فإن المعادلة تصير خطية. عادة، تكون أعدادا صحيحة.

إذا كانت كل معاملات الدالة التكعيبية أعدادا حقيقية، فإن للمعادلة على الأقل حلا حقيقيا (هذه الخاصية صحيحة بالنسبة لجميع متعددات الحدود ذات درجة فردية).

كل جذور المعادلات التكعيبية يمكن أن توجد جبريا. هذه الخاصية صحيحة أيضا بالنسبة إلى المعادلات التربيعية وتبقى صحيحة أيضا بالنسبة إلى المعادلات الرباعية ولكنها تصير خاطئة عندما يتعلق الأمر بمتعددات الحدود ذات الدرجة الخامسة و ما فوق، أخذا بعين الاعتبار مبرهنة أبيل-روفيني. يمكن أيضا أن يتم ايجاد الجذور باستعمال الحساب المثلثي. مقابل ذلك يمكن أن يُقترب من الچذور باستعمال خوارزمية إيجاد جذور دالة، طريقة نيوتن مثالا على ذلك.

لا يفترض في معاملات المعادلة من الدرجة الثالثة أن تكون أعدادا مركبة. كل ما يلي يبقى صحيحا عندما تنتمي المعاملات إلى حقل ما محدده يساوي الصفر أي يتجاوز الثلاثة. جذور المعادلات من الدرجة الثالثة لا تنتمي حتما إلى نفس الحقل الذي تنتمي إليه معاملات هذه المعادلة. على سبيل المثال، قد يتم ايجاد معادلة من الدرجة الثالثة معاملاتها أعداد جذرية وجذورها ليست جذرية وليست حتى حقيقية بل هن جذور مركبة.

التاريخ[عدل]

كانت الدوال التكعيبية معروفة لدى البابليين القدامى والإغريق والصينيين والهنديين والمصريين.

انظر إلى مضاعفة المكعب.

في القرب الحادي عشر، قام عالم الرياضيات والشاعر الفارسي عمر الخيام (1048-1131) بتطورات مهمة في نظرية المعادلات التكعيبية.

في القرن الثاني عشر، حاول عالم الرياضيات الهندي باسكارا حلحلة المعادلة التكعيبية ولكن محاولته باءت بالفشل. ولكنه أعطى المثال x3 + 12x = 6x2 + 35 عن هؤلاء المعادلات.

في القرن الثاني عشر ذاته كتب عالم الرياضيات الفارسي شرف الدين الطوسي (1135-1213) كتابا سماه المعادلات، تطرق فيه إلى ثمانية أنواع من المعادلات التكعيبية ذات جذور موجبة وخمسة أنواع أخرى قد لا يكون لها جذور موجبة. استعمل من أجل ذلك ما أطلق عليه فيما بعد اسم طريقة روفيني-هورنر الممكنة من الاقتراب من جذور المعادلة حسابيا.

في بداية القرن السادس عشر، وجد عالم الرياضيات الإيطالي سيبيوني ديل فيرو (1465-1526) طريقة لحلحلة المعادلات من الدرجة الثالثة من صنف خاص هو x3 + mx = n.

أشار كاردانو أن طريقة تارتاغليا قد تتطلب منه في بعض الأحيان اعتبار الجذور التربيعية للأعداد السالبة. كان ذلك أول بداية لظهور الأعداد المركبة. درس رافائيل بومبيلي هذه المسألة بدقة ليصبح عادة بذلك المكتشف الفعلي للأعداد المركبة

تمكن فرانسوا فييت (1540-1603) بشكل مستقل من ايجاد الحلحلة باستعمال الحساب المثلثي لمعادلة تكعيبية جذورها أعداد حقيقية. أتم عملَ فييت وعممه العالم رينيه ديكارت (1596-1650).

نيكولو فونتانا تارتاغليا، أحد عالمي الرياضيات الإيطاليين اللذان حلحلا المعادلات التكعيبية

النقط الحرجة ونقطة الانعطاف لدالة تكعيبية[عدل]

النقط الحرجة لدالة هن تلك القيم ل x حيث يكون انحناء الدالة مساويا للصفر. النقط الحرجة لدالة تكعيبية معرفة كما يلي f(x) = ax3 + bx2 + cx + d من النقط اللائي يحققن المعادلة التالية:

الحلحلة العامة لدالة تكعيبية معاملاتها أعداد حقيقية[عدل]

حل المعادلة التكعيبية يعني ايجاد الجذر التكعيبي للدالة التكعيبية وهو ليس بالأمر السهل كما في معادلة الدرجة الثانية. يمكن إثبات القانون العام لجذور معادلة الدرجة الثالثة إما باستخدام صيغة كاردان أو الإثبات العكسي (بضرب الجذور الثلاثة في بعضها):

الحلحلة الجبرية[عدل]

المميز[عدل]

عدد جذور دالة تكعيبية الحقيقية والمركبة يحدد بحساب مميز المعادلة التكعيبية كما يلي:

  • إذا كان Δ > 0، فإن للمعادلة ثلاثة جذور مختلفة الواحدة منها عن الأخريين.
  • إذا كان Δ = 0، فإن للمعادلة جذرا متكررا وأن جميع حلول المعادلة حقيقية.
  • إذا كان Δ < 0، فإن للمعادلة جذرا حقيقيا وجذرين أخريين مركبين الواحد منهما مرافق للآخر.


تعطى الصيغة العامة لجذور معادلة الدرجة الثالثة، بدلالة معاملاتها كما يلي:

صيغة كاردانو[عدل]

كان كاردانو عالم رياضيات وفيزيائيا وفلكيا. استطاع أن ينشر هذه الصيغة في كتابه عام 1545 م.

كانت الطريقة تقتضي:

  • أولا تبسيط المعادلة القياسية لتصبح على الشكل
  • ثم التخلص من معامل الدرجة الثانية باستخدام التعويض المناسب لتصبح المعادلة بالشكل الجديد:

حيث

  • وبتعويض مناسب : في المعادلة (2) يمكن الحصول على:
.
  • وهنا افترض كاردان حدا جديدا للمتغيرات u وv بحيث
  • عند دمج هذه في (3) بتعويض v نحصل على:
  • يمكن ملاحظة أن هذه معادلة من الدرجة السادسة التي يمكن أن تبسط إلى الدرجة الثانية في u3 وتحل مباشرة لتصبح:
وبالتالي:
  • ولما كانت t = v + u, t = x + a/3, وv = −p/3u, نجد أن:

لاحظ أنه يوجد 6 احتمالات لحساب u في(4), وذلك لأن الجذر التربيعي يحمل احتمالين () والجذور ثلاثة. ولكن الجذر التربيعي ليس له تأثير على القيمة الناتجة t (ومع ذلك يجب الانتباه للحالات الثلاث لتجنب القسمة على صفر):

أولا, إذا كانت p = q = 0, فإنه لدينا ثلاثة جذور حقيقية
ثانيا, إذا كانت p = 0 وq ≠ 0, فإن:
ثالثا إذا كانت p ≠ 0 وq = 0 فإن:
وفي أي من الحالات تكون الجذور الثلاثة هي:
حيث

الصيغة العامة[عدل]

من أجل حل المعادلة التكعيبية

تعطى جذور x بالشكل:

حيث

انظر أيضا[عدل]

وصلات خارجية[عدل]