المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر، أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها.

دالة تكعيبية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث
Question book-new.svg
المحتوى هنا ينقصه الاستشهاد بمصادر. يرجى إيراد مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (مارس 2016)
مخطط الدالة التكعيبية ، ذات ثلاث جذور حقيقية. جذور الدالة هي عند تقاطع المخطط مع محور السينات x.

في الرياضيات وبالتحديد في الجبر، الدالة التكعيبية (بالإنجليزية: Cubic function) هي دالة رياضية لها الشكل التالي:

حيث a لا يساوي الصفر. أو هي متعددة حدود من الدرجة الثالثة.

مشتق الدالة التكعيبية هي دالة تربيعية، وتكامل الدالة التكعيبية هي دالة من الدرجة الرابعة.

إذا كان يصبح لدينا "معادلة تكعيبية" أو معادلة من الدرجة الثالثة :

حيث :. إذا كانت a = 0, فتصبح معادلة تربيعية. أما إذا كان a و b مساويين للصفر, فإن المعادلة تصير خطية. عادة، تكون أعدادا صحيحة.

إذا كانت كل معاملات الدالة التكعيبية أعدادا حقيقية، فإن للمعادلة على الأقل حلا حقيقيا (هذه الخاصية صحيحة بالنسبة لجميع متعددات الحدود ذات درجة فردية).

كل جذور المعادلات التكعيبية يمكن أن توجد جبريا. هذه الخاصية صحيحة أيضا بالنسبة إلى المعادلات التربيعية وتبقى صحيحة أيضا بالنسبة إلى المعادلات الرباعية ولكنها تصير خاطئة عندما يتعلق الأمر بمتعددات الحدود ذات الدرجة الخامسة و ما فوق، أخذا بعين الاعتبار مبرهنة أبيل-روفيني.

التاريخ[عدل]

كانت الدوال التكعيبية معروفة لدى البابليين القدامى والإغريق والصينيين والهنديين والمصريين.

في بداية القرن السادس عشر، وجد عالم الرياضيات الإيطالي سيبيوني ديل فيرو طريقة لحلحلة المعادلات من الدرجة الثالثة من صنف خاص هو x3 + mx = n.

أشار كاردانو أن طريقة تارتاغليا قد تتطلب منه في بعض الأحيان اعتبار الجذور التربيعية للأعداد السالبة. كان ذلك أول بداية لظهور الأعداد المركبة.

انظر إلى مضاعفة المكعب وإلى رافائيل بومبيلي.

نيكولو فونتانا تارتاغليا، أحد عالمي الرياضيات الإيطاليين اللذان حلحلا المعادلات التكعيبية

جذور المعادلة[عدل]

حل المعادلة التكعيبية يعني ايجاد الجذر التكعيبي للدالة التكعيبية وهو ليس بالأمر السهل كما في معادلة الدرجة الثانية. يمكن إثبات القانون العام لجذور معادلة الدرجة الثالثة إما باستخدام صيغة كاردان أو الإثبات العكسي (بضرب الجذور الثلاثة في بعضها):

القانون العام للجذور[عدل]

تعطى الصيغة العامة لجذور معادلة الدرجة الثالثة، ا س3 + ب س2+ حـ س + د = 0 ، بدلالة معاملاتها كما يلي:

صيغة كاردان[عدل]

كان كاردان عالما رياضيا, فيزيائيا وفلكيا وقد استطاع أن ينشر هذه الصيغة في كتابه عام 1545م. كانت الطريقة تقتضي:

  • أولا تبسيط المعادلة القياسية لتصبح على الشكل
  • ثم التخلص من معامل الدرجة الثانية باستخدام التعويض المناسب لتصبح المعادلة بالشكل الجديد:

حيث

  • وبتعويض مناسب : في المعادلة (2) يمكن الحصول على:
.
  • وهنا افترض كاردان حدا جديدا للمتغيرات u وv بحيث
  • عند دمج هذه في (3) بتعويض v نحصل على:
  • يمكن ملاحظة أن هذه معادلة من الدرجة السادسة التي يمكن أن تبسط إلى الدرجة الثانية في u3 وتحل مباشرة لتصبح:
وبالتالي:
  • ولما كانت t = v + u, t = x + a/3, وv = −p/3u, نجد أن:

لاحظ أنه يوجد 6 احتمالات لحساب u في(4), وذلك لأن الجذر التربيعي يحمل احتمالين () والجذور ثلاثة. ولكن الجذر التربيعي ليس له تأثير على القيمة الناتجة t (ومع ذلك يجب الانتباه للحالات الثلاث لتجنب القسمة على صفر):

أولا, إذا كانت p = q = 0, فإنه لدينا ثلاثة جذور حقيقية
ثانيا, إذا كانت p = 0 وq ≠ 0, فإن:
ثالثا إذا كانت p ≠ 0 وq = 0 فإن:
وفي أي من الحالات تكون الجذور الثلاثة هي:
حيث

الخلاصة[عدل]

من أجل حل المعادلة التكعيبية

تعطى جذور x بالشكل:

حيث

انظر أيضا[عدل]

وصلات خارجية[عدل]