دالة غاما

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى: تصفح، ‏ ابحث
منحنى لدالة غاما على طول المحور الحقيقي
منحنى لدالة غاما في معلم مركب

في الرياضيات، دالة غاما (بالإنجليزية: Gamma function) (والممثلة عموما بالحرف الإغريقي Γ) هي امتداد لدالة المضروب في الأعداد الحقيقية والمركبة. إذن، دالة غاما هي دالة تحقق ما يلي بالنسبة عدد صحيح موجب n:

دالة غاما هي دالة معرفة عند جميع الأعداد المركبة باستثناء الأعداد الصحيحة السالبة. فللعدد z الذي يتكون من جزء حقيقي موجب تعرف دالة غاما كما يلي:

ويمكن أن يمتد هذا التعريف بالامتداد التحليلي لباقي المستوى المركب عدا الأعداد غير الموجبة الصحيحة (حيث للدالة أقطاب).

انظر إلى تحويل ميلين.

تظهر دالة غاما في العديد من دوال التوزيعات الاحتمالية، مما يجعلها مهمة في مجالات الاحتمال والإحصاء كما في مجال التوافقيات.

أهداف تعريف دالة غاما[عدل]

من حيث التبيان، من السهل تمديد دالة عاملي إلى أعداد غير طبيعية، ولكن هل من صيغة تمثل المنحنى الناتج عن هذا التمديد؟

تعريف[عدل]

التعريف الأساسي[عدل]

الصيغة المعممة لدالة غاما على المستوى العقدي

عالم الرياضيات الفرنسي ليجاندر هو أول من استعمل الرمز (Γ(z. باستعمال التكامل بالتجزيء، يمكن أن نجد أن دالة غاما تحقق المعادلة التالية :

علما أن 1 = (Γ(z، نحصل على ما يلي:

تعريفات أخرى[عدل]

حيث ...γ ≈ 0.577216 هي ثابتة أويلر-ماسكيروني.

دالة غاما في المستوى العقدي[عدل]

خصائص[عدل]

خصائص عامة[عدل]

انظر إلى تكامل غاوسي.

الامتداد باستعمال متسلسلة فورييه[عدل]

صيغة راب[عدل]

دالة Pi[عدل]

التكامل عبر لوغارتم دالة غاما[عدل]

العلاقة بدوال أخرى[عدل]

قيم خاصة[عدل]

فيما يلي بعض من القيم الخاصة لدالة غاما

تقريبات[عدل]

تطبيقات[عدل]

التاريخ[عدل]

القرن الثامن عشر : أويلر وستيرلينغ[عدل]

معضلة تمديد دالة العاملي إلى الأعداد غير الصحيحة درست لأول مرة من طرف كل من دانييل برنولي وكريستيان غولدباخ في عشرينات القرن الثامن عشر. إلا أنها حلحلت من طرف عالم الرياضيات ليونهارت أويلر. كان ذلك في نهاية ذلك العقد ذاته. أعطى أويلر تعريفين اثنين لدالة عاملي. الأول لم يكن تكامله ولكنه كان جداءا غير منته.

والذي أخبر به غولدباخ في رسالة أرسلها إليه في الثالث عشر من أكتوبر عام 1729. كتب أويلر مجددا إلى غولدباخ في الثامن من يناير عام 1730 من إجل إخباره أن توصل إلى صيغة أخرى عل شكل تكامل تساوي دالة العاملي.

انظر إلى جيمس ستيرلينغ وإلى صيغته صيغة ستيرلينغ وإلى جداء غير منته.

القرن التاسع عشر : غاوس وويرستراس وليجاندر[عدل]

انظر إلى كارل فريدريش غاوس وإلى كارل ويرستراس وإلى أدريان ماري ليجاندر.

القرن العشرون[عدل]

انظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

وصلات خارجية[عدل]