دوال زائدية عكسية

من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث
شعاع مار بنقطة الأصل ويقطع القطع الزائد في النقاط , حيث تكون المساحة بين الشعاع, وانعكاسه بالنسبه للمحور , والقطع الزائد (إنظر صورة متحركة للمقارنة مع الدوال المثلثية.
تمثيل بياني للدوال الزائدية العكسية

الدوال الزائدية العكسية (ويطلق عليها أيضا اسم الدوال المساحية)[بحاجة لمصدر] هي الدوال العكسية للدوال الزائدية.

للحصول على قيمة معينة من دالة الزائدية ، توفر الدالة الزائدية العكسية المقابلة الزاوية الزائدية المقابلة. حجم الزاوية الزائدية يساوي مساحة القطاع الزائدي المقابل للقطع الزائد الذي معادلته xy = 1، أو ضعف مساحة القطاع المقابل لقطع زائد الوحدة [الإنجليزية] الذي معادلته x2y2 = 1، تمامًا كما تكون الزاوية الدائرية ضعف مساحة القطاع الدائري لدائرة الوحدة.[1][2][3][4][5][6][7][8]

تدخل الدوال الزائدية ومعكوساتها في العديد من المعادلات التفاضلية الخطية، على سبيل المثال المعادلة التي تحدد السلسلة السالبة لبعض المعادلات التكعيبية، في حسابات الزوايا والمسافات في الهندسة الزائدية ومعادلة لابلاس في الإحداثيات الديكارتية. تعد معادلات لابلاس مهمة في العديد من مجالات الفيزياء، بما في ذلك النظرية الكهرومغناطيسية وانتقال الحرارة وجريان الموائع والنسبية الخاصة .

الترميز[عدل]

الترميز أكثر شيوعا وتلك المحددة من قبل ISO 80000-2 هو تسمية الدوال الزائدية العكسية باستخدام البادئة ar- (من الكلمة الإنجليزية area التي تعني "مساحة") لأن عمدتها هي عبارة عن مساحة القطاع الزائدي المحدد بشعاعين، مثال: arsinh ،arcosh.

يفضل مؤلفون آخرون استخدام الترميز (argsinh، وargcosh، وargtanh)، حيث arg هي اختصار للكلمة اللاتينية argumentum[9] التي تعني "عُمْدة"، هذا الترميز اللاتيني يقابله باللغة العربية عمدة الجيب الزائدي، عمدة جيب تمام الزائدي، ... وهكذا.

في علوم الحاسوب، تُختصَر غالبا إلى asinh.

العبارات اللوغاريتمية للدوال[عدل]

عكس الجيب الزائدي[عدل]

دالة معرفة على جميع الأعداد الحقيقية بـ:

عكس جيب التمام الزائدي[عدل]

دالة معرفة على المجال : بـ:

عكس الظل الزائدي[عدل]

دالة معرفة على المجال بـ:

عكس ظل التمام الزائدي[عدل]

دالة معرفة على المجال بـ:

عكس القاطع الزائدي[عدل]

دالة معرفة على المجال بـ:

عكس قاطع التمام الزائدي[عدل]

دالة معرفة على جميع الأعداد الحقيقية ما عدا الصفر بـ:

إثبات[عدل]

صيغ الإضافة[عدل]

تركيب الدوال الزائدية والزائدية العكسية[عدل]

المشتقات[عدل]

إثبات:

نضع على سبيل المثال θ = arsinh x (حيث sinh 2 θ = (sinh θ) 2):

التكاملات[عدل]

متسلسلات[عدل]

يمكننا التعبير عن الدوال بواسطة المتسلسلات التالية:

انظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

  1. ^ Bronshtein, Ilja N.; Semendyayev, Konstantin A.; Musiol, Gerhard; Mühlig, Heiner (2007). "Chapter 2.10: Area Functions". Handbook of Mathematics (5 ed.). سبرنجر. p. 91. doi:10.1007/978-3-540-72122-2. ISBN 3-540-72121-5.
  2. ^ Ebner, Dieter (2005-07-25). Preparatory Course in Mathematics (PDF) (6 ed.). Department of Physics, جامعة كونستانز. Archived (PDF) from the original on 2017-07-26. Retrieved 2017-07-26. نسخة محفوظة 26 يوليو 2017 على موقع واي باك مشين.
  3. ^ Mejlbro, Leif (2006). Real Functions in One Variable – Calculus (PDF). 1a (1 ed.). Ventus Publishing ApS / Bookboon. ISBN 87-7681-117-4. Archived (PDF) from the original on 2017-07-26. Retrieved 2017-07-26. نسخة محفوظة 26 يوليو 2017 على موقع واي باك مشين.
  4. ^ Mejlbro, Leif (2008). The Argument Principle and Many-valued Functions - Complex Functions Examples (PDF). c-9 (1 ed.). Ventus Publishing ApS / Bookboon. ISBN 978-87-7681-395-6. Archived (PDF) from the original on 2017-07-26. Retrieved 2017-07-26. نسخة محفوظة 10 نوفمبر 2019 على موقع واي باك مشين.
  5. ^ Mejlbro, Leif (2010-11-11). Stability, Riemann Surfaces, Conformal Mappings - Complex Functions Theory (PDF). a-3 (1 ed.). Ventus Publishing ApS / Bookboon. ISBN 978-87-7681-702-2. ISBN 87-7681-702-4. Archived (PDF) from the original on 2017-07-26. Retrieved 2017-07-26. نسخة محفوظة 26 يوليو 2017 على موقع واي باك مشين.
  6. ^ Durán, Mario (2012). Mathematical methods for wave propagation in science and engineering. 1: Fundamentals (1 ed.). Ediciones UC. p. 89. ISBN 978-956141314-6. ISBN 956141314-0.
  7. ^ Weltner, Klaus; John, Sebastian; Weber, Wolfgang J.; Schuster, Peter; Grosjean, Jean (2014-06-27) [2009]. Mathematics for Physicists and Engineers: Fundamentals and Interactive Study Guide (2 ed.). سبرنجر. ISBN 978-364254124-7. ISBN 3642541240.
  8. ^ Detlef Reimers http://tug.ctan.org/macros/latex/contrib/lapdf/fplot.pdf
  9. ^ Bacon، Harold Maile (1942). Differential and Integral Calculus. McGraw-Hill. صفحة 203. مؤرشف من الأصل في 26 يوليو 2014.